GUILLOTIN-PLANTARD, Nadine - Université Claude-Bernard, Lyon 1,50 avenue Tony-Garnier, Domaine de Gerland, 69366 Lyon cedex 07
LE NY, Arnaud - Modélisation Stochastique et Statistique, Université Paris-Sud, Bât. 425, 91405 Orsay cedex
| Nous étudions le comportement asymptotique de la marche aléatoire simple sur un réseau bi-dimensionel. Les réseaux considérés ne sont pas orientés verticalement mais sont unidirectionnel sur l'axe horizontal, avec des orientations aléatoires dont la distribution est générée par un système dynamique. Nous donnons une condition suffisante sur la régularité de la génération assurant la transience de la marche aléatoire simple pour presque tout réseau, et comme illustration nous décrivons une large classe d'exemples de distributions inhomogènes ou corrélées de ces orientations. Dans le cas de systèmes dynamiques ergodiques, nous prouvons également une loi forte des grands nombres et, dans le cas particulier d'orientations i.i.d., nous résolvons un problème ouvert et prouvons un théorème central limite fonctionnel dans l'espace D des fonctions cadlag, avec une normalisation non conventionnelle. |
Abstract :
| We study the asymptotic behavior of the simple random walk on oriented versions of the two dimensional grid. The considered lattices are not directed on the vertical axis but unidirectional on the horizontal one, with random orientations whose distributions are generated by a dynamical system. We find a sufficient condition on the smoothness of the generation for the transience of the simple random walk on a.e. such oriented lattices, and as an illustration we provide a wide class of examples of inhomogeneous or correlated distributions of the orientations. For ergodic dynamical systems, we also prove a strong law of large numbers and, in the particular case of iid orientations, we solve an open problem and prove a functional limit theorem in the space D of cadlag functions, with an unconventional normalization. |
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Contact : Arnaud.leny@math.u-psud.fr