ECALLE, Jean - Analyse Harmonique, Université Paris-Sud, Bât. 425, 91405 Orsay cedex
VALLET, Bruno - Analyse Harmonique, Université Paris-Sud, Bât. 425, 91405 Orsay cedex
| Nous tâchons de faire le point sur l'arborification-coarborification. Il s'agit là d'une transformation générale qui effectue, au sein de séries multiples divergentes, des regroupements judicieux susceptibles d' instaurer la convergence. Nous examinons la méthode tour à tour sous trois angles: combinatoire, analyse, algèbre. La partie algèbrique présente une multitude de ``$\sigma$-fonctions" (i.e. de fonctions définies simultanément sur tous les groupes de permutations) apparemment nouvelles et aux propriétés très riches. Tous ces objets, liés qu'ils sont à l'arborification, confirment indirectement le statut privilégié de cette dernière parmi toutes les transformations concurrentes. |
Abstract :
| This expository paper is devoted to the so-called {\it arborification-coarborification transform} which, by automatically carrying out suitable regroupings, often manages to restore convergence in multiple expansions that, in raw form, would seem hopelessly divergent. We first unravel the underlying combinatorics. Then we review 14 applications to complex analysis and holomorphic dynamics. Lastly, we present some new algebraic material\,: a bevy of some twenty richly structured ``$\sigma$-functions", which are defined simultaneously on all symmetric groups $\mathbb{S}_r$. Since all these objects originate in arborification, their `distinctiveness' rubs off on that particular transform, reinforcing its privileged status among all possible alternatives. |
Article :
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