NIEDERMAN Laurent - Topologie et Dynamique, Université Paris-Sud, Bât. 425, 91405 Orsay cedex
| N.N. Nekhorochev a montré en 1977 que pour un système Hamiltonien quasi-intégrable analytique, les variables d'actions du système non perturbé sont presque constantes sur un temps exponentiellement long par rapport à l'inverse de la taille de la perturbation sous réserve que le Hamiltonien non perturbé (intégrable) est "raide". Il s'agit de conditions de transversalité qui sont génériquement satisfaites par les fonctions infiniment différentiables. Récemment, Guzzo à construit des Hamiltoniens intégrables exponentiellement stables qui ne sont pas "raides" mais vérifient seulement une condition de transversalité faible qui ne concerne que les sous espaces affines engendrés par des vecteurs à coordonnées entières. On définit cette propriété dans un cadre général et nous montrons que les estimations de Nekhorochev restent valables avec une hypothèse plus faible que la raideur du Hamiltonien intégrable. L'intérêt de ce raffinement est de montrer l'existence d'un ensemble générique de Hamiltoniens intégrables réels-analytiques qui sont exponentiellement stables avec des exposants de stabilité qui sont fixes. il s'agit d'un ensemble générique au sens de la mesure (ensemble "prévalent" suivant la terminologie de Kaloshin). Ce résultat est obtenu grâce à l'application d'une version quantitative du théorème de Sard due à Yomdin. |
Abstract :
| In the 70's, Nekhorochev proved that for an analytic nearly integrable Hamiltonian system, the action variables of the unperturbed Hamiltonian remain nearly constant over an exponentially long time with respect to the size of the perturbation, provided that the unperturbed Hamiltonian satisfies some generic transversality condition known as steepness. Recently, Guzzo has given examples of exponentially stable integrable Hamiltonians which are non steep but satisfy a weak condition of transversality which involves only the affine subspaces spanned by integer vectors. We generalize this notion for an arbitrary integrable Hamiltonian and prove the Nekhorochev's estimates in this setting. The point in this refinement lies in the fact that we can exhibit a generic class of real analytic integrable Hamiltonians which are exponentially stable with fixed exponents. Genericity is proved in the sense of measure since we exhibit a prevalent set of integrable Hamiltonian which satisfy the latter property. This is obtained by an application of a quantitative Sard theorem given by Yomdin. |
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