COMTE, Fabienne - Analyse Numérique et E.D.P., Université René Descartes Paris V, 45 rue des Saints Pères 75270 Paris Cedex 06
TAUPIN, Marie-Luce - Modélisation Stochastique et Statistique, Université Paris-Sud, Bât. 425, 91405 Orsay cedex
| Considérons le modèle de régression avec erreurs sur les variables : Yi=f(Xi)+Ui, Zi=Xi+sigma Ei, où Ei et U sont des erreurs i.i.d., independantes de X, et où la densité de sigma E, (1/sigma)fE(./sigma), est connue. Notre but est d'estimer la fonction de régression f en utilisant un échantillon d'observation (Yi,Zi), i=1,...,n. Nous proposons d'estimer f par le ratio de deux estimateurs de l=fg et de g, où g désigne la densité inconnue des Xi, ces deux estimateurs étant obtenus par minimum de contraste pénalisé. Nous établissons que le risque L2 sur un compact de l'estimateur de f est majoré par la somme du risque L2(R) de l'estimateur de l=fg et du risque L2(R) de l'estimateur de g. Nous fournissons alors les vitesses de convergence d'un tel estimateur pour des classes de régularité variés pour l et pour g, quand les erreurs E sont soit peu régulières (avec une transformée de Fourier à décroissance polynomiale) ou très régulières (avec une transformée de Fourier à décroissance exponentielle). La vitesse de convergence de notre estimateur de f est optimale au sens minimax quand les deux fonctions l et g appartiennent à la mêeme classe de Sobolev. Dans les autres cas, notre estimateur s'ajuste automatiquement sans à priori ni sur f ni sur g. |
Abstract :
| In this paper, we consider the regression model with errors-in-variables: Yi=f(Xi)+Ui, Zi=Xi+sigma Ei, where E and U are i.i.d. noises, independent of X, the density of sigma E, (1/sigma)fE(./sigma), is known. Our aim is to estimate the regression function f from a sample (Yi,Zi), i=1,...,n, of observations. We propose to estimate f by the ratio of two penalized minimum contrast estimators of l=fg and of g, where g denotes the density of the Xi's. We prove that the L2-risk of our estimator on a compact set is given by the sum of the L2(R)-risk of the estimator of l=fg and of the L2(R)-risk of the estimator of g. We give the rate of convergence of such estimators for various smoothness classes for l and g, when the errors E are either ordinary smooth or super smooth. The resulting rate is optimal in a minimax sense when both l and g belong to the same Sobolev class and when the errors are ordinary or super smooth. In the other cases, our estimator automatically adjusts. |
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