Prépublication d'Orsay numéro 59 (20/09/2000)

FAMILIES TORSION AND MORSE FUNCTIONS.
BISMUT Jean-Michel - Topologie et Dynamique, Université Paris-Sud, Bât. 425, 91405 Orsay cedex
GOETTE, Sebastian - Universitat Tubingen, auf der Morgen-Stelle 10, 72076 Tubingen, Germany.

A un fibré plat, on peut associer des classes caractéristiques impaires réelles. Bismut et Lott on montré un théorème de Riemann-Roch-Grothendieck, quand on prend l'image directe d'un fibré plat par une submersion propre. Ils ont aussi construit des invariants secondaires, les formes de torsion analytique en théorie de Rham, qui sont des formes paires sur la base de la fibration considérée. La composante de degré 0 de ces formes est la torsion analytique de Ray-Singer. Le présent article, a pour objet : - D'étendre la théorie des formes de torsion analytique dans une situation équivariante. - De normaliser les formes de torsion analytique. - D'établir des résultats de rigidité, qui montrent qu'a des termes explicites calculables localement prés, les formes de torsion ne varient pas par déformation de la connexion plate considérée, et ceci en degré positif. - D'évaluer les formes de torsion analytique équivariantes , sous l'hypothèse qu'il existe un champ de gradient de Morse-Smale dans les fibrés. - D'évaluer les formes de torsion équivariantes des fibrés en sphère provenant de fibrés vectoriels. le résultat principal généralise des résultats de Cheeger, Muller, et Lott-Rothenberg et Bismut-Zhang sur le lien entre torsion analytique et torsion de Reidemeister, et aussi des calculs de Bunke pour les fibrés en sphères.

To a flat vector bundle, one can associate odd real characteristic classes. Bismut and Lott have proved a Riemann-Roch-Grothendieck theorem for such classes, when taking the direct image of a flat vector bundle by a proper submersion. They have also constructed associated secondary invariants, the analytic torsion forms in the Rham theory. The component of degree 0 of these forms is the classical Ray-Singer torsion. The present paper have five purpose : - To extend the theory of analytic torsion forms to the equivariant setting. - To give a proper normalization of these torsion forms. - To prove rigidity formulas, showing that in positive degree, and up to locally computable terms, these forms are rigid under deformation of the flat connection. - To evaluate the equivariant analytic torsion forms modulo coboundaries, under the assumption that there exits a fibrewise gradient vector field which verifies the Morse-Smale transversality conditions in every fibre. - To compute the equivariant analytic torsion forms of the sphere bundles associates to vector bundles. Our main formula generalizes the results by Cheeger, Muller, Lott-Rothenberg and Bismut-Zhang on the relation of Ray-Singer torsion to Reidemeister torsion, and also computations by Bunke for sphere bundles.