Sergey LYSENKO

Titre de la thèse :

Relations d'orthogonalité entre les faisceaux automorphes attachés aux systèmes locaux irréductibles de rang 2 sur une courbe.

Date de soutenance : 9 avril 1999

Etablissement de soutenance : Université Paris-Sud, Centre d'Orsay

Laboratoire de soutenance : Laboratoire de Géométrie Algébrique

Directeur de thèse : Gérard LAUMON

Résumé :
L'objet principal de cette thèse est de donner une interprétation géométrique des résultats de Rankin et Selberg sur le produit scalaire de deux formes automorphes (cuspidales et partout non ramifiées) pour GL(2) sur un corps de fonctions. Cette géométrisation fait partie du Programme de Langlands Géométrique initié par V.Drinfeld, A.Beilinson et G.Laumon.

Soit tex2html_wrap_inline47 un système local tex2html_wrap_inline49 -adic irréductible de rang 2 sur une courbe X. Par la correspondence de Langlands géométrique, à tex2html_wrap_inline47 est associé un faisceau pervers irréductible tex2html_wrap_inline55 sur le champ tex2html_wrap_inline57 de modules des fibrés vectoriels de rank 2 et de degrée n sur X, qui est un vecteur propre des operateurs de Hecke. On introduit un champ tex2html_wrap_inline63 , le quotient de tex2html_wrap_inline57 par 2-action de tex2html_wrap_inline67 par les automorphismes scalaires des fibrés vectoriels. On démontre que tex2html_wrap_inline55 est l'image inverse d'un faisceau pervers tex2html_wrap_inline71 sur tex2html_wrap_inline63 . On calcule

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tex2html_wrap_inline77 et tex2html_wrap_inline79 sont deux déformations universelles de tex2html_wrap_inline47 "indépendentes" l'une de l'autre. Le résultat, consideré comme un faisceau sur le schéma formel des paramètres, est un faisceau constant sur le diagonal.

La démonstration est basée sur un résultat local qui n'apparait pas dans la méthode classique de Rankin-Selberg pour les formes automorphes correspondantes.

Abstract :
The main purpose of this thesis is to give a geometric interpretation of the results of Rankin and Selberg on the scalar product of two automorphic forms (cuspidal and non-ramified) on tex2html_wrap_inline107 over a function field. This geometrisation is one of the aspects of the Geometric Langlands Program initiated by V.Drinfeld, A.Beilinson and G.Laumon.

Let tex2html_wrap_inline47 be an irreducible tex2html_wrap_inline49 -adic local system of rank 2 on a curve X. By the geometric Langlands correspondence, to tex2html_wrap_inline47 is associated an irreducible perverse sheaf tex2html_wrap_inline117 on the moduli stack tex2html_wrap_inline57 of vector bundles of rank 2 and of degree n on X, which is a Hecke-eigensheaf w.r.t. tex2html_wrap_inline47 . We introduce the stack tex2html_wrap_inline63 , the quotient of tex2html_wrap_inline57 by the 2-action of tex2html_wrap_inline67 , which acts by the scalar automorphisms of vector bundles. We show that tex2html_wrap_inline55 is the inverse image of a perverse sheaf tex2html_wrap_inline71 on tex2html_wrap_inline63 . We calculate

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where tex2html_wrap_inline77 and tex2html_wrap_inline79 are two universal deformations of tex2html_wrap_inline47 "independent" of each other. The result, considered as a sheaf on the formal scheme of parameters, is the constant sheaf on the diagonal.

The proof is based on some local result, which does not appear explicitely in the classical Rankin-Selberg method for the corresponding automorphic forms.

Membres du jury : Arnaud BEAUVILLE (Président), Alexandre BEILINSON (Rapporteur), Kari VILONEN (Rapporteur), Henri CARAYOL, Laurent CLOZEL, Gérard LAUMON, Éric VASSEROT

Mots-Clefs : programme de Langlands géométrique; faisceau automorphe; methode de Rankin-Selberg

Keywords : geometric Langlands program; automorphic sheaf; Rankin-Selberg method

Classification MSC : 11R39, 14H60, 14F32, 22E55, 11S37

Article : Fichier postscript

Contact : Sergey.Lysenko@math.u-psud.fr