Groupe de Travail: Théorie des modèles et applications
géométriques et diophantiennes. (2006-2007)
Premières Séances: Introduction à la
Théorie des modèles du 8 Mars au 29 Mars 2007.
(E. Bouscaren) . Résumé des
premières séances
Introduction à la théorie des valuations : Le 5 avril (J-B. Bost)
Corps valués et applications de la théorie des modèles: théorème
d'Ax-Kochen-Ersov, conjecture d'Artin. le 12 avril (E.Bouscaren)
Critères pour l'élimination des quantificateurs, exemple
des corps algébriquement clos. le 3 mai (E.Bouscaren)
Corps réels et réels clos (J-B. Bost)
; Espace des
types (E. Bouscaren), le 10 mai.
Le 17 mai. Pas de séance
Le 24 mai: Exposé de David Marker (Chicago et
Oxford) : "Real closed fields and O-minimality"
Le 31 mai: J-B. Bost , Fin des corps réèls
clos et E. Bouscaren, Suite sur les types.
Le 7 Juin: : Exposé d'Emmanuel Breuillard
(CNRS-École Polytechnique) : "Le théorème de
Nori-Weisfeiler revisité par la théorie des
modèles".
Résumé : Le théorème de
Nori-Weisfeiler montre (en particulier) qu'un sous-groupe de SL_n(Z)
est Zariski-dense si et seulement si il se surjecte
sur SL_n(Z/pZ) pour tous les nombres premiers p sauf peut-etre un
nombre fini d'entre eux. Ce thé:orème profond admet deux preuves
distinctes, l'une due à Matthews-Vaserstein-Weisfeiler utilise la
classification des groupes simples finis et l'autre due à Nori est
plus directe mais non effective. Comme l'ont montré Hrushovski et
Pillay, la théorie des modèles permet de jeter un regard nouveau sur
la preuve de Nori. Dans cet exposé j'essaierai de
raconter ces différents points de vue.
Dernière séance, Le 14 juin 2007 horaire habituel (10h-13h): Applications de la
théorie des modèles à la géométrie diophantienne: conjectures de
Mordell-Lang et de Manin-Mumford
1. (JB. Bost) Présentation des conjectures.
2. ( Thomas Scanlon, Berkeley ) : Pourquoi et comment la
théorie des modèles peut démontrer ce type de résultats (in english).
Première série de Notes
Ceci
est une version très préliminaire. Ces notes
seront régulièrement
corrigées et étendues.
Notes I.
La moitié du 15 Mars et tout le 23
Mars. (version du 10 avril 07)
Notes II Cours
du 29 Mars (version du 10 avril 07)
En attendant la suite des notes, (en particulier les premières
définitions!) on pourra s'aider,
pour les définitions et les énoncés des
résultats,
de mes Notes de cours pour
le magistère Math-Info (Ulm, 2003-2004) (les notations sont un peu
différentes, plus "précises", les
résultats parfois plus détaillés):
Notes 1: Calcul des Prédicats, premières définitions. (22 octobre 2003)
Format pdf.
Notes 2: Théorie des modèles, premiers résultats. Plongements élémentaires, Test de Tarski-Vaught, Lowenheim-Skolem descendant. (4 Novembre 2003)
Format pdf.
Notes 3: Théorie des modèles (suite): théorème de compacité et applications, méthode des diagrammes, ensembles définissables. (21 novembre 2003)
Format pdf.
ou bien, de
Introduction à la théorie des modèles pour la
Rentrée de Majeure 2005, Ecole Polytechnique.