Nous avons mis au point avec Francesca Rapetti et Alain Bossavit un procédé entièrement algébrique qui permet dans le cas de conditions aux limites homogènes de détecter les trous et de représenter simplement un champ de vecteurs solenoïdal. Nous avons publié une Note aux Comptes Rendus de l'Académie des Sciences en février 2002 : Integer matrix factorization for mesh defects detection (série 1, volume 334, p. 717-720) puis un article Discrete vector potentials for non-simply connected three-dimensional domains dans le journal Siam Journal on Numerical Analysis en 2003 (volume 41, numéro 4, p. 1505-1527).

Nous avions abordé le cas non simplement connexe où le domaine a un ou plusieurs trous à l'occasion de l'exposé (sans support électronique !) "Du tourbillon au champ de vitesse", proposé lors de deux journées Modèles fluides et représentation en toubillons, au Conservatoire des Arts et Métiers en mai 2000 (tome 1, p. 127-153, 2000, voir aussi Matapli, volume 65, p. 87-88, 2001).

Dans l'article Discrete Vector Potential Representation of a Divergence-Free Vector Field in Three-Dimensional Domains: Numerical Analysis of a Model Problem publié dans Sinum en octobre 1990 (volume 27, numéro 5, p. 1103-1141) [pdf], nous proposons d'utiliser la théorie des graphes et en particulier des arbres maximaux pour représenter de manière unique un champ de vecteurs à divergence nulle au moyen du rotationnel d'un champ de vecteurs discrétisé par des éléments finis de Jean-Claude Nédélec, avec des degrés de liberté placés sur les arêtes du maillage. Nous avons traité le cas d'un ouvert de l'espace tridimensionnel connexe et simplement connexe en prenant en considération la courbure de la frontière. Voir hal-00660366.

Nous avions commençé l'étude des éléments d'arêtes par la résolution de l'équation du potentiel transsonique A three Dimensional Vector Potential Formulation for Solving Transonic Flows with Mixed Finite Elements, avec Jean Marc Dupuy, communication au sixième congrès "Finite Elements in Flow Problems", Antibes, juin 1986.