Master2 Probabilités et Statistiques
Théorie des processus, processus de Lévy et processus de Poisson
Ce cours introduit les principales notions associées aux processus à temps continu. La notion de convergence faible dans les espaces de fonctions y est élément clefs pour
établir des résultats du type du théorème de Donsker, qui assure qu'une marche aléatoire (de pas de variance finie), convenablement renormalisée, converge en loi vers un mouvement brownien.
La seconde partie du cours est consacrée aux processus de Poisson et aux processus de Lévy, qui sont des outils fondamentaux en probabilités.
Plan du cours
- Loi d'un processus, théorème de Kolmogorov, critère de Kolmogorov. Topologie des espace de fonctions continues et càdlàg.
- Convergence faible des mesures de probabilités. Familles tendues, théorème de Prokhorov. Processus continus et càdlàg: critères de tension, théorème de Donsker. Théorème de représentation de Skorokhod.
- Processus de Poisson, lois indéfiniment divisibles et processus de Lévy. Fonctionnelle de Laplace pour une mesure de Poisson.
- Lois ID, formule de Lévy-Khintchine. Processus de Lévy, construction poissonnienne de Lévy-Itô. Lois et processus stables.
Références Bibliographiques :
- J. Bertoin : Lévy processes. Cambridge U. Press
- P. Billingsley : Convergence of probability measures. Wiley
- S.N. Ethier, T.G. Kurtz : Markov processes : characterization and convergence. Wiley
- W. Feller : An introduction to probability theory and its applications, II. Wiley
- J.F.C. Kingman : Poisson processes. Oxford U. Press
Documents de cours
Polycopié du cours de Gregory Miermont