Partie 2 - Résolution numérique d'equations non-linéaires (EO)

@c jean-baptiste.apoung@math.u-psud.fr

ATTENTION:

LES EXERCICES 1 et 2 SONT À FAIRE ENTIÈREMENT SUR COPIES

In [1]:
%matplotlib inline
%config InlineBackend.figure_format = 'retina'

import numpy as np
from scipy.integrate import quad
import matplotlib.pyplot as plt
In [2]:
%%javascript
MathJax.Hub.Config({
    TeX: { equationNumbers: { autoNumber: "AMS" } }
});

Exercice 1: Une convegence globale de la méthode de Newton

On sait que la congergence de la méthode de Newton n'est garantie que si l'on choisi $x_0$ suffisamment proche de $x^*$.

On va s'intéresser ici à une configuration où la méthode de Newton convergera pour tout point $x_0$ dans tout un intervalle contenu dans $I = [a,b]$ où se trouve la solution $x^*$.

Dans tout ce qui suit on suppose que $f$ est de classe $C^2$ avec :

  • $f'(x) > 0$ et $ f^{''}(x) > 0 $ pour tout $x$ dans un intervalle $[a,b]$ contenant $x^*$ et $x_0$.
  • $x_0 > x^* $

On rappelle l'itération de Newton : $x_{k+1} = x_{k} - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$

Q-1 : Soit $k$ tel que $x_k > x^*$ . Montrer que $x_{k+1} < x_k$. En déduire que la suite $(x_k)_k$ est décroisante.

Q-2 : Soit $k \geq 0$. Montrer que $x_{k+1} - x^* = \frac{f^{''}(\eta_k)}{2 f'(x_k)} (x_k - x^*)^2, \, $ où $ \eta_k \in ]x^*, x_k[$ . Déduire que $x_{k+1} > x^*$. Conclure que la suite $(x_k)_k$ est minorée.

Q-3 : Déduire des deux questions précédentes que la suite $(x_k)_k$ converge vers un point $x_*$ dans $I=[a,b]$. Et qu'on a $f(x_*) = 0$.

Q-4 : Montrer que $x_* = x^*$. Et conclure que la convergence de $(x_k)_k$ vers $x^*$ est quadratique.

Exercice 2: Influence de l'initialisation dans la méthode de Newton (analyse)

On va s'intéresser à l'influence du choix du $x_0$ dans la méthode de Newton pour la recherche de la racine d'une fonction scalaire $f$.

On désignera par $(x_k)_{k=0,\ldots}$ la suite générée par la méthode de Newton.

Dans toute la suite, afin d'observer l'influence de $x_0$, on va s'intéresser à la recherche de la racine $x^* = 1$ de la fonction $f(x) = x(x^2 - 1)$.

Q-1 : Préparation : soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = 4 x^3 + 3 x^2 -1$.

Q-1-1 : Montrer qu'e $g$ admet une unique racine dans $\mathbb{R}$., qu'on notera $\beta$.

Q-1-2 : Si l'on devait déterminer $\beta$ par la méthode de dichothomie sur l'intervalle $[-1, 1]$ avec 4 bons chiffres décimaux.

  • Cela serait-il possible ? justifier
  • Si oui donner l'expression du nombre minimal d'itérations nécessaires.

Q-2 : Influence de $x_0$ dans la méthode de Newton pour la recherche de la racine $1$ de $f(x) = x(x^2 - 1)$.

Q-2-1 : Déterminer $ x_0 \neq 1 $ tel que la méthode de Newton converge en une seule itération.

Q-2-2 : Montrer qu'on peut déterminer $x_0$ tel qu'il y ait convergence en exactement 2 itérations. Comparer $x_0$ à $\beta$ (de Q-1-1).

Q-2-3: On pose $x_0 = \frac{1}{\sqrt{5}}$ . Montrer que $x_k = \frac{(-1)^k}{\sqrt{5}}$. La méthode converge-t-elle ?

In [ ]:

Exerxice 3 : Influence de l'initialisation dans la méthode de Newton (numérique)

On répond aux intérogations de l'exercice précédent par des expériences numériques.

Q-1 : Préparation

Q-1-1 : Représentez graphiquement la fonction $g(x) = 4 x^3 + 3 x^2 -1$ sur l'intervalle $[-1,1]$. Et déduire qu'elle y admet une seule racine qu'on notera $\beta$.

In [122]:
## METTRE LA REPONSE ICI

Q-1-2 : A l'aide de la méthode de dichotomie, déterminer $\beta$ avec 4 bons chiffres dans la partie décimale.

In [123]:
## METTRE LA REPONSE ICI

Q-2 : Influence de l'initialisation ($x_0$) dans la méthode de Newton

On s'intéresse à la recherche de la racine $x^* = 1$ de $f(x) = x(x^2 -1)$ par la méthode de Newton, en partant de $x_0 \neq 1$.

Les représentations graphiques pourront se faire sur l'intervalle $[-1, 1]$.

Q-2-1 : Cas $x_0 = -\frac{1}{2}$

  • Représenter sur un même graphique :

    • la courbe de f,
    • l'axe des abscisses (c'est-à-dire la droite y = 0),
    • la tangente à la courbes au point d'abscisse $x_0$,
    • les flèches reliant successivement les points $(x_0, 0), (x_0, f(x_0)), (x_1, 0)$.(On pourra utiliser la commande plt.arrow(..)),
    • les points $(x_0, 0), (x_1, 0)$. (On pourra utiliser la commande plt.text() pour mettre le texte x0 à la position (x0,0)),

  • Mettre enfin les légendes et un titre.

  • Puis conclure si une convergence vers la racine $x^* =1$ est possible en précisant le nombre d'itérations nécessaires. (On pourra indiquer celà directement dans le titre de la figure)

Indication: Pour dessiner une flèche du point $(x_1,y_1)$ au point $(x_2,y_2)$, on peut utiliser l'instruction

plt.arrow(x1, y1, x2 - x1, y2 - y1, width=0.015, length_includes_head=True, overhang = 0.)

In [124]:
##  METTRE LA REPONSE ICI

Q-2-2 : Cas $x_0 = \beta$

  • Représenter sur un même graphique :

    • la courbe de f,
    • l'axe des abscisses (c'est-à-dire la droite y = 0),
    • les tangentes à la courbes au point d'abscisse $x_0$ et $x_1$,
    • les flèches reliant successivement les points $(x_0, 0), (x_0, f(x_0)), (x_1, 0), (x_1, f(x_1)), (x_2, 0)$.(On pourra utiliser la commande plt.arrow(..)),
    • les points $(x_0, 0), (x_1, 0), (x_2, 0)$. (On pourra utiliser la commande plt.text() pour mettre le texte x0 à la position (x0,0)),

  • Mettre enfin les légendes et un titre.

  • Puis conclure si une convergence vers la racine $x^* =1$ est possible en précisant le nombre d'itérations nécessaires. (On pourra indiquer celà directement dans le titre de la figure)

In [125]:
##  METTRE LA REPONSE ICI

Q-2-3 : Cas $x_0 = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Reprendre la question Q-2-2.

(Le script ne sera qu'une reprise de celui de la question Q-2-2)

In [126]:
##  METTRE LA REPONSE ICI