Exposant et indice d’algèbres simples centrales non ramifiées

par J.-L. Colliot-Thélène

avec un appendice par O. Gabber

Soient K un corps et A une K-algèbre simple centrale (de dimension finie sur son centre). On appelle indice de A la racine carrée de la dimension, sur K, d’un corps gauche Brauer-équivalent à A. On appelle exposant de A l’exposant de la classe de A dans le groupe Br(K), groupe de Brauer du corps K. Comme le montra Richard Brauer, l’exposant divise l’indice, et les facteurs premiers de l’un et de l’autre coïncident (voir [Al2] et [D]). En outre, pour un corps quelconque, ce sont là les seules restrictions ([Br2], voir aussi [N]).

Le premier exemple où l’exposant e divise strictement l’indice i apparaît dans [Br1], et il est généralisé dans [K]. Brauer donne un exemple avec e = 2 et i = 4. C’est un produit tensoriel de deux algèbres de quaternions (ce qu’on appelle maintenant une algèbre de biquaternions – une terminologie anciennement utilisée pour les octonions). Pour tout entier n ≥ 1, Köthe donne un exemple avec e = 2 et i = 2^{n}; c’est un produit tensoriel de n algèbres de quaternions. Dans [Br2], la méthode qu’emploie Brauer est différente. Ces méthodes ont depuis été reprises par de nombreux auteurs (qui ne se limitent pas au problème exposant versus indice, mais s’intéressent à la construction de corps gauches indécomposables). On peut citer des travaux de Albert, Saltman, Tignol, Rowen, Jacob, Wadsworth, Fein-Saltman-Schacher, Brussel. Pour semble-t-il tous les exemples de Kalgèbre simple centrale A construits par ces auteurs, à commencer par Brauer, il existe une valuation discrète de rang un du corps K par rapport à laquelle l’algèbre A est ramifiée.

En 1985, Schofield et van den Bergh ([vdB], [SvdB]) établirent un important théorème de “réduction d’indice”, qui leur permit, sur une suggestion de D. Saltman, de donner de nouveaux exemples d’algèbres simples centrales pour lesquelles l’exposant divise strictement l’indice, et aussi de nouveaux exemples d’algèbres indécomposables ([SvdB], §2). Certains de ces exemples avaient été déjà obtenus par d’autres, sur des corps convenables, par la méthode “valuative”, mais la méthode de [SvdB] est radicalement nouvelle, elle n’implique pas de valuations.

Dans un récent article, A. Kresch [Kr] montre comment construire une variété projective et lisse X de dimension 3 sur le corps des complexes, et une algèbre A de biquaternions sur le corps des fonctions K = C(X) qui est un corps gauche (donc e = 2 et i = 4) et qui est non ramifiée sur X (c’est-à-dire par rapport à toute valuation discrète de K). La méthode qu’il emploie est fort élaborée : il a recours aux champs algébriques, applications cycles sur ces champs, gerbes etc.

Je me propose ici de montrer que son résultat (un peu généralisé) peut être établi par la méthode de Schofield-van den Bergh. Par cette méthode, je montre en effet (pour un énoncé plus précis, voir le théorème 10) :

Théorème. Soit l = 2 ou l = 3 (*). Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique différente de l. Pour 1 ≤ n < m entiers quelconques, il existe une variété

(*) Un résultat récent de A. J. de Jong permet d’étendre le résultat à tout l premier. projective et lisse Y sur k, de dimension l^{m−n} + 1, et une algèbre à division sur le corps des fonctions k(Y), non ramifiée sur Y, d’exposant l^{n} et d’indice l^{m}.

Pour l = 2, n = 1, m = 2, on retrouve le résultat de Kresch ([Kr], Thm. 2). En effet un théorème d’Albert ([Al2], chap. XI, Thm. 2, p. 174) dit qu’une telle algèbre d’exposant 2 et d’indice 4 est automatiquement une algèbre de biquaternions.

Dans un premier paragraphe, je passe en revue quelques-uns des exemples ramifiés évoqués ci-dessus. Ce paragraphe de nature historique ne prétend à nulle originalité, son seul but est de mettre les résultats suivants en perspective. Au paragraphe 2 on rappelle le résultat de Schofield et van den Bergh, et on établit le théorème ci-dessus. Au paragraphe 3, je considère des familles d’algèbres non ramifiées, définies sur des produits de courbes, d’exposant un nombre premier p, et de degré une puissance de p. Sont-elles à division, i.e. d’indice égal à leur degré ? Pour la première famille, j’obtiens une réponse positive dans un cas particulier (Proposition 11). Il se pose alors la question : pour des courbes suffisamment générales, ces algèbres sont-elles à division ?

O. Gabber a répondu par l’affirmative à cette question. On trouvera sa solution décrite dans l’Appendice. Grosso modo, Gabber montre que la situation non ramifiée considérée se spécialise en une situation ramifiée où l’on peut contrôler l’indice, grâce précisément aux résultats classiques décrits au paragraphe 1.

Notations. Soient K/k une extension de corps et A une k-algèbre simple centrale. On note A_{K} la K-algèbre simple centrale A ⊗_{k} K. Pour K/k extension finie cyclique de corps, de groupe de Galois engendré par un élément σ, et b ∈ k^{∗}, on note (K/k, σ, b) l’algèbre cyclique standard : c’est la k-algèbre ⊕_{i=0}^{r−1}Kξ^{i}, satisfaisant ξ^{r} = b et ξ · α = σ(α) · ξ pour tout α ∈ K.

Pour K/k cyclique de degré r (premier à la caractéristique), et k contenant une racine primitive r-ième de l’unité ζ_{r}, on peut écrire K = k(a^{1/r}) avec a ∈ k^{∗} et on définit σ par la condition σ(a^{1/r}) = ζ_{r}a^{1/r}. On note alors (K/k, σ, b) = (a, b)_{ζ_{r}}. Pour r = 2, on trouve une algèbre de quaternions, simplement notée (a, b).

Je remercie Jean-Pierre Tignol pour plusieurs messages. Je remercie Ofer Gabber de ses réponses à mes questions, et d’avoir accepté de les faire paraître en appendice à cet article.

1. Quelques résultats et exemples classiques.

Proposition 1 (Albert; [Al1], Thm. 3). Soit k un corps de caractéristique différente de 2, et soient a, b, c, d ∈ k^{∗}. La k-algèbre simple centrale (a, b) ⊗_{k} (c, d) est un corps gauche si et seulement si la forme quadratique diagonale < a, b, −ab, −c, −d, cd > est anisotrope sur le corps k.

Des variantes de la proposition suivante se trouvent chez divers auteurs ([T1], Prop. 2.4, p. 211; [JW], Thm. 5.15; [FSS], Lemma 4.6, p. 473; [Bru], Lemma 4, p. 382).

Proposition 2. Soient K/k une extension cyclique de corps, σ un générateur du groupe de Galois de K/k, et t une variable. Soit A une k-algèbre simple centrale. On a alors les formules

i(A_{k(t)} ⊗_{k(t)} (K(t)/k(t), σ, t)) = i(A_{K}) · [K : k]

et

i(A_{k((t))} ⊗_{k((t))} (K((t))/k((t)), σ, t)) = i(A_{K}) · [K : k].

En particulier, si A est un corps gauche, les conditions suivantes sont équivalentes : (i) A_{K} est un corps gauche; (ii) A_{k(t)} ⊗_{k(t)} (K(t)/k(t), σ, t) est un corps gauche; (iii) A_{k((t))} ⊗_{k((t))} (K((t))/k((t)), σ, t) est un corps gauche.

En particulier, on a l’énoncé suivant :

Corollaire 3. Soit k un corps de caractéristique différente de 2, et soient a, b, c ∈ k^{∗}. Supposons c ∉ k^{∗2}, et soit K = k(\sqrt{c}). Soit t une variable. La K-algèbre de quaternions (a, b)_{K} est un corps gauche si et seulement si la k(t)-algèbre de biquaternions (a, b) ⊗ (c, t) est un corps gauche.

Comme le lecteur le vérifiera, ce dernier énoncé peut aussi se déduire de la proposition 1, du critère de Springer ([L1], chap. 6, Prop. 1.9) sur l’isotropie des formes quadratiques sur un corps k((t)), et du fait bien connu qu’une forme quadratique q de rang 4 sur un corps k est isotrope sur k si et seulement si elle l’est sur l’extension discriminant k(\sqrt{d(q)}) (conséquence immédiate de [L1], chap. 7, Lemma 3.1).

Un cas encore plus particulier est le suivant :

Corollaire 4. Soit k un corps de caractéristique différente de 2. Soient a, b ∈ k^{∗}. Soit K = k(x, y) le corps de fonctions rationnelles en deux variables. L’algèbre de biquaternions A = (a, x) ⊗ (b, y) sur le corps k(x, y) est un corps gauche si et seulement si les classes de a et b dans k^{∗}/k^{∗2} sont indépendantes.

Démonstration. Le cas où les classes de a et b ne sont pas indépendantes est clair. Si elles sont indépendantes, alors a n’est pas un carré dans k(\sqrt{b}), et donc l’algèbre de quaternions (a, x) sur le corps k(x)(\sqrt{b}) = k(\sqrt{b})(x) est un corps gauche. On applique alors le corollaire 3 à (k(x), a, x, b, y) en lieu et place de (k, a, b, c, t).

Le corollaire 4 donne immédiatement des exemples de corps d’exposant 2 et d’indice 4 sur le corps k(x, y) avec k l’un quelconque des corps suivants : k = Q (on retrouve là l’exemple original de Brauer [Br1]), k un corps p-adique, k un corps de fonctions d’au moins une variable sur un corps quelconque, par exemple le corps des complexes. Le cas le plus simple est celui de l’algèbre de biquaternions générique (x, y) ⊗ (z, t) sur le corps de fractions rationnelles K = C(x, y, z, t), mais on donne tout aussi facilement des exemples sur le corps K = C(x, y, z).

Le corollaire 3 permet de donner des exemples de type un peu différent.

Exemple 5. Soit k un corps de caractéristique différente de 2, et soit a ∈ k^{∗}, a ∉ k^{∗2}. L’algèbre simple centrale D = (x, a) ⊗ (x + 1, y) sur le corps K = k(x, y) est d’exposant 2 et d’indice 4.

Démonstration. D’après le corollaire 3, il suffit de montrer que la k(x)-algèbre de quaternions (x, a) reste non-triviale par extension du corps de base de k(x) à k(z), avec z^{2} = x + 1. Sur le corps k(z), cette algèbre se lit (a, 1 − z^{2}), et elle a un résidu non trivial a ∈ k^{∗}/k^{∗2} en z = 1 (et z = −1). En particulier sa classe dans le groupe de Brauer est non triviale, c’est un corps gauche.

Ainsi, pour F un corps fini de caractéristique différente de 2, il existe des algèbres d’indice 2 et d’exposant 4 sur F(x, y).

L’avantage de la proposition 2 est qu’elle permet d’itérer des exemples.

Exemple 6. Soit k un corps de caractéristique différente de 2. Soient x_{i} (i = 1, …, n) des variables indépendantes, et a_{i} (i = 1, …, n) des éléments de k^{∗}. Le produit tensoriel A = (a_{1}, x_{1})⊗⋯⊗(a_{n}, x_{n}), sur le corps k(x_{1}, …, x_{n}), des algèbres de quaternions (a_{i}, x_{i}), d’indice 2^{n}, est un corps gauche si et seulement si les classes des a_{i} dans le F_{2}-espace vectoriel k^{∗}/k^{∗2} sont indépendantes.

On sait que pour une extension quadratique K = k(\sqrt{c})/k, le noyau de la restriction k^{∗}/k^{∗2} → K^{∗}/K^{∗2} est le groupe {1, c}. L’exemple 6 se déduit alors de la proposition 2 par récurrence.

Si l’on prend pour k le corps engendré sur un corps de base k_{0} par n variables indépendantes y_{i}, on voit que le produit tensoriel (y_{1}, x_{1}) ⊗ ⋯ ⊗ (y_{n}, x_{n}), sur le corps k_{0}(x_{1}, y_{1}, …, x_{n}, y_{n}) est un corps gauche. On retrouve ainsi un exemple dû à Köthe ([K], 1931).

On peut généraliser l’exemple, en considérant un corps k, des caractères χ_{1}, …, χ_{n} du groupe de Galois de k, d’exposants respectifs n_{i}, des variables x_{1}, …, x_{n}, et l’algèbre A = (χ_{1}, x_{1})⊗⋯⊗(χ_{n}, x_{n}) sur le corps k(x_{1}, …, x_{n}). C’est un corps gauche si et seulement si le sous-groupe de H^{1}(k, Q/Z) engendré par les χ_{i} est d’ordre ∏_{i} n_{i}. On retrouve ici l’énoncé de Nakayama ([N], 1935).

La proposition 1 interdit de construire des exemples d’algèbres de biquaternions à division sur un corps K lorsque ce corps est C_{2} (par exemple sur un corps de fonctions de deux variables sur le corps des complexes).

De façon plus générale, on a l’énoncé suivant, établi par de nombreux auteurs (voir la remarque ci-dessous). Pour la commodité du lecteur, nous rappelons le principe de la démonstration.

Un corps K est dit C_{i} si toute forme homogène à coefficients dans K de degré d > 0 en n > d^{i} variables possède un zéro non trivial. Un corps K est dit C′_{i} si pour tout r ≥ 1 et tout ensemble de formes homogènes f_{j}(X_{1}, …, X_{n}) (j = 1, …, r) à coefficients dans K, si l’on a n > ∑_{j} d_{j}^{i}, où d_{j} désigne le degré de f_{j}, alors il existe un zéro commun non nul (x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n} pour les formes f_{j}. Un corps C′_{i} est C_{i}; la réciproque n’est pas connue en général (cf. [NSW], p. 310 à 312).

Proposition 7. Soit K un corps C′_{2}. Toute classe dans le groupe de Brauer de K d’exposant 2^{r} · 3^{s} est représentée par un corps gauche d’indice 2^{r} · 3^{s}. Pour s = 0, ceci vaut pour tout corps C_{2}.

Démonstration ([A], [MS]). Comme toute algèbre simple se décompose en produit d’algèbres simples d’indices deux à deux premiers entre eux, il suffit d’établir le résultat pour l’exposant p^{n} avec p = 2 ou 3 et n quelconque.

Supposons l’énoncé établi pour n = 1, pour tout corps C′_{2} (resp. C_{2} si p = 2). L’énoncé suit alors par récurrence pour tout exposant p^{n}. En effet si A sur un tel corps K est d’exposant p^{n+1}, alors l’algèbre A^{⊗p} est d’exposant p^{n}, donc par hypothèse de récurrence d’indice p^{n}, donc déployée par une extension L/K de degré p^{n}. Le corps L est C′_{2} (resp. C_{2} si p = 2), et l’algèbre A_{L} est d’exposant p, donc d’indice p, donc déployée par une extension M/L de degré p. Ainsi A est déployée par une extension M/K de degré p^{n+1}, donc est d’indice p^{n+1}. Pour cette réduction, voir aussi le théorème 3 p. 175 du livre d’Albert [Al2].

On est donc réduit au cas n = 1. Toute algèbre simple centrale d’exposant p est semblable à un produit tensoriel d’algèbres d’indice p. En caractéristique p > 0, c’est un théorème classique (Teichmüller, Albert; [Al2], Chap. VII, Thm. 28; [J], Thm. 4.2.17 p. 162). Lorsque la caractéristique de K est différente de p et que K contient les racines p-ièmes de l’unité, c’est le théorème de Merkur’ev-Suslin ([MS], Thm. (16.1)). Merkur’ev ([M1], Thm. 2 p. 2617) en a déduit le cas où K ne contient pas toutes les racines p-ièmes de l’unité (pour p = 3, voir déjà [MS] (16.4)).

Il suffit donc de voir : si A et B sont deux algèbres à division d’indice p = 2 ou p = 3 sur un corps K qui est C′_{2}, ou simplement C_{2} si p = 2, alors A ⊗_{K} B n’est pas un corps gauche. Pour p = 2 et K de caractéristique différente de 2, ceci résulte immédiatement du critère d’Albert (Proposition 1). En général, on écrit la condition pour qu’il existe une extension L = K(α) de degré p qui déploie simultanément A et B. Soit A = k ⊕ V_{A}, resp. B = k ⊕ V_{B}, une décomposition de A, resp. B, comme espace vectoriel sur k.

Pour trouver α, il suffit de trouver v_{1} ∈ V_{1} et v_{2} ∈ V_{2}, non nuls, tels que le polynôme caractéristique (de degré p) de v_{1} ∈ A coïncide avec celui de v_{2} ∈ B.

Ceci correspond à un système de formes homogènes sur V_{1} ⊕V_{2}. Pour p = 2, on trouve une forme quadratique en 6 variables. Pour p = 3, on trouve un système formé d’une forme quadratique et d’une forme cubique, en 16 variables. On a 6 > 2^{2} et 16 > 2^{2} + 3^{2}; le corps K étant C′_{2}, le système a donc une solution non triviale.

Remarque. La proposition ci-dessus est énoncée par Artin et Harris ([A], Thm. 6.2), Artin et Tate ([A], Appendix), Merkur’ev et Suslin ([MS], (16.4) et (16.8)), Yanchevskiǐ, Platonov). Notons que ce qui est appelé C_{2} dans [A] est ici appelé C′_{2}. Comme me l’a fait observer O. Gabber, la démonstration du théorème de l’appendice de [A] (p. 208) et celle donnée dans [MS], qui considèrent le système d’équations homogènes correspondant à A, B (plutôt que V_{1}, V_{2} comme ci-dessus), requièrent une précision : les scalaires de K sont alors solutions du système d’équations homogènes considéré, et ce ne sont pas des solutions intéressantes.

2. Algèbres non ramifiées via la réduction d’indice.

Pour construire des exemples d’algèbres non ramifiées pour lesquelles exposant et indice diffèrent, j’utilise le calcul de “réduction d’indice” dû à Schofield et van den Bergh ([vdB], [SvdB]). La question générale, étudiée par la suite par Merkur’ev, Panin, Wadsworth (voir [M2], [M3], [L2]), est d’étudier le comportement de l’indice d’une algèbre simple centrale A sur un corps k par passage au corps des fonctions K = k(X) d’une k-variété projective X qui est un espace homogène d’un groupe linéaire connexe (exemples : variétés de Severi-Brauer, quadriques de dimension au moins un).

Théorème 8 (Schofield et van den Bergh, 1985). Soient k un corps et A et B deux k-algèbres simples centrales à division. Soit X la k-variété de Severi-Brauer associée à B.

L’indice de A_{k(X)} sur le corps des fonctions k(X) est égal au plus petit des indices des k-algèbres A ⊗_{k} B^{⊗n}, pour n parcourant les entiers.

Ce résultat est obtenu par un calcul à la Quillen de la K-théorie des O_{X}-modules cohérents sur X équipés d’une action de A. Le cas particulier suivant, qui est aussi un cas particulier d’un résultat de Merkur’ev [M2], suffit pour établir le résultat de Kresch. Tignol en a donné une démonstration “élémentaire” ([T2], voir aussi [M3]).

Théorème 9. Soient k un corps de caractéristique différente de 2, C/k une conique lisse sans point rationnel, B/k l’algèbre de quaternions associée, A/k une k-algèbre simple centrale à division. Soit i(A) l’indice de A. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) L’algèbre A_{k(C)} n’est pas un corps gauche.

(ii) Il existe une k-algèbre simple centrale E/k d’indice i(A)/2 telle que A ≃ B ⊗ E.

Nous sommes maintenant à pied d’œuvre pour établir le

Théorème 10. Soit X une surface connexe, projective et lisse sur un corps k algébriquement clos de caractéristique p ≥ 0, et soit l premier, l ≠ p. Supposons que le rang ρ du groupe de Néron-Severi de X est strictement plus petit que la dimension b_{2,l} du second groupe de cohomologie l-adique H_{ét}^{2}(X, Q_{l}). Supposons l = 2 ou l = 3 (*).

a) Pour tout entier n ≥ 1, il existe une variété Y_{n} connexe, projective et lisse sur k, qui est un schéma de Severi-Brauer sur X, de dimension relative l^{n} − 1, sur laquelle il existe, pour tout entier m ≥ 1, une algèbre d’Azumaya A_{n,m}, dont la restriction au point générique de Y_{n} est un corps gauche d’exposant l^{m} et d’indice l^{n+m}.

b) Pour m ≥ 2, ce corps gauche est indécomposable.

c) Pour m = 1, l = 2 et n = 1, ce corps gauche est un produit tensoriel de deux algèbres de quaternions.

Démonstration. Le sous-groupe de torsion l-primaire Br(X){l} de Br(X) est une extension d’un groupe fini l-primaire par le groupe divisible non trivial (Q_{l}/Z_{l})^{b_{2}−ρ} ([GB], II, §3) (on fixe l et note b_{2} = b_{2,l}). Soit γ_{n} ∈ (Q_{l}/Z_{l})^{b_{2}−ρ} ⊂ Br(X), n ∈ N une suite d’éléments, avec γ_{n} d’exposant l^{n} et lγ_{n+1} = γ_{n}.

La fibre de γ_{n} au point générique de la surface X est une classe d’exposant l^{n} sur le corps des fonctions k(X), qui est un corps C′_{2}. Puisque l’on a l = 2 ou l = 3, la proposition 7 implique que cette classe est représentée par un corps gauche d’indice l^{n} sur le corps k(X). Comme X est une surface régulière et que la classe de ce corps gauche dans Br(k(X)) est dans l’image du groupe de Brauer de X, un argument de Auslander-Goldman et Grothendieck ([GB], II, §2, Corollaire 2.2) montre que ce corps gauche est la restriction d’une algèbre d’Azumaya sur X. A cette algèbre d’Azumaya on associe un schéma de Severi-Brauer Y_{n} → X ([GB], I, §8), de dimension relative l^{n} −1 sur X. On sait (Châtelet, Amitsur) que le noyau de l’application de restriction Br(k(X)) → Br(k(Y_{n})) est engendré par la classe de l’image de γ_{n} dans Br(k(X)). Les applications de restriction

(*) Cette restriction est inutile. En effet, dans la démonstration du théorème, on peut remplacer la référence à la proposition 7 par le résultat récent de A. J. de Jong : pour l premier, l ≠ p, indice et exposant des algèbres centrales simples l-primaires sur le corps des fonctions k(X) de la surface X coïncident.

Br(X) → Br(k(X)) et Br(Y_{n}) → Br(k(Y_{n})) sont injectives, puisque X et Y_{n} sont lisses. On a donc une suite exacte

0 → Z/l^{n} → Br(X) → Br(Y_{n}),

où la flèche Z/l^{n} → Br(X) envoie 1 sur γ_{n}. (En analysant la suite spectrale de Leray pour le faisceau étale G_{m} et la projection Y_{n} → X, on obtient cette suite exacte directement, ainsi que l’information, non utilisée dans la suite, que la flèche Br(X) → Br(Y_{n}) est surjective.)

Soit m ≥ 1. L’image de γ_{m+n} dans Br(Y_{n}) ⊂ Br(k(Y_{n})) est un élément d’exposant l^{m}. Soit par ailleurs A_{n,m}, notée simplement A, une algèbre à division représentant γ_{m+n} sur k(X). Pour les mêmes raisons que ci-dessus, cette algèbre est d’indice l^{n+m}, et elle est la restriction au point générique d’une algèbre d’Azumaya A sur X. Le théorème de Schofield et van den Bergh (Théorème 8) assure que l’indice de A étendue au corps k(Y_{n}) est le plus petit des indices des algèbres A ⊗_{k(X)} B^{⊗r} sur le corps k(X) (pour r entier), où B est une k(X) algèbre représentant γ_{n} au point générique de X. La classe de B est égale à celle de A^{⊗l^{m}}, celle de A ⊗_{k(X)} B^{⊗r} est égale à celle de A^{⊗1+rl^{m}}. Comme 1 + rl^{m} est premier à l’indice de A (qui est une puissance de l, en fait l^{n+m}), tous les indices des algèbres A ⊗_{k(X)} B^{⊗r} sont égaux à celui de A sur le corps k(X). Puisque l’on a l = 2 ou l = 3, la proposition 7 assure que cet indice est l^{n+m}. L’indice de A_{k(Y_{n})} est donc l^{n+m}.

En conclusion, l’indice de γ_{n+m} sur k(Y_{n}) est l^{n+m}, et son exposant est l^{m}. Par ailleurs A_{k(Y_{n})} est la restriction au point générique de Y_{n} de l’algèbre d’Azumaya A×_{X} Y_{n}. L’assertion a) est établie.

Montrons b). L’argument est celui du théorème 2.2 de [SvdB]. Soit m ≥ 2. L’algèbre A_{k(Y_{n})} est d’indice l^{n+m}. L’algèbre A_{k(Y_{n})}^{⊗l} est d’indice l^{n+m−1}. Supposons A_{k(Y_{n})} décomposable, i.e. supposons que le corps gauche sous-jacent soit isomorphe à un produit tensoriel de deux corps gauches E et F d’indice strictement plus petit, soit l^{a} et l^{b} avec a + b = n + m. L’algèbre A_{k(Y_{n})}^{⊗l} est alors semblable au produit tensoriel de E^{⊗l} avec F^{⊗l}, et son indice divise le produit des indices de E^{⊗l} et F^{⊗l}. Mais l’indice de E^{⊗l} (resp. de F^{⊗l}) divise strictement celui de E (resp. de F) (c’est une propriété générale, voir [Al2], Lemma 7, p. 76, [A] (5.4) p. 204 ou [KMRT] (10.5) p. 116). Ainsi l’indice de A_{k(Y_{n})}^{⊗l} divise l^{a−1} · l^{b−1} = l^{n+m−2}, ce qui est absurde. Donc A_{k(Y_{n})}^{⊗l} est indécomposable.

L’assertion c) de l’énoncé est un cas particulier d’un théorème d’Albert ([Al2], chap. XI, Thm. 2, p. 174).

Remarque 1. En caractéristique zéro, les nombres de Betti l-adiques b_{i,l} sont égaux aux nombres de Betti topologiques b_{i}; par ailleurs, après réduction au cas où k = C, la théorie de Hodge dit que la condition b_{2} −ρ > 0 équivaut à la non annulation du groupe de cohomologie cohérente H^{2}(X, O_{X}), soit encore à la non annulation du groupe H^{0}(X, Ω_{X}^{2}), c’est-à-dire à l’existence d’une différentielle holomorphe de degré 2 non triviale. La classification des surfaces algébriques nous fournit de nombreux exemples de surfaces satisfaisant ces propriétés. Il en est ainsi par exemple du produit de deux courbes elliptiques, mais aussi de toute surface projective et lisse dans l’espace projectif P^{3} de degré au moins égal à 4.

Remarque 2. Une partie de la démonstration donnée ci-dessus s’étend à d’autres cadres. Si l’on veut par exemple, sur un corps K, simplement construire des algèbres simples centrales d’exposant divisant strictement l’indice, il suffit de disposer d’un corps k et d’une k-algèbre simple centrale d’exposant l^{r} avec r ≥ 2. Alors l’algèbre B = A^{⊗l} est d’indice strictement plus petit que celui de A (par le résultat rappelé ci-dessus). Soit Y la k-variété de Severi-Brauer attachée au corps gauche sous-jacent à B et soit K = k(Y) son corps des fonctions. Le théorème de Schofield et van den Bergh montre que l’indice de A_{K} est égal à celui de A, soit l^{r} ≥ l^{2}. Mais l’exposant de A_{K} est égal à l. Le cas le plus simple est celui où k est un corps de nombres arbitraire, on trouve un exemple avec une algèbre d’exposant 2 et d’indice 4 sur le corps des fonctions d’une conique définie sur k.

Si l’on veut fabriquer des exemples dans une tour infinie, comme dans le théorème, il suffit de considérer un corps k, de caractéristique différente de l et dont le groupe de Brauer contient un exemplaire de Q_{l}/Z_{l}. C’est le cas pour les corps locaux non archimédiens, et pour les corps de nombres. D’après le théorème de Merkur’ev-Suslin [MS], c’est le cas pour tout corps qui contient toutes les racines de l’unité d’ordre une puissance de l, et qui possède au moins un élément non trivial d’ordre l dans son groupe de Brauer. On trouvera dans Merkur’ev [M1] des conditions nettement plus faibles assurant l’existence d’un tel sous-groupe.

Pour les corps de nombres, pour toute algèbre simple centrale, l’exposant est égal à l’indice, on peut donc recopier entièrement le théorème ci-dessus, avec X = Spec(k) à la place de la surface complexe X, et avec l premier quelconque.

3. Algèbres non ramifiées sur les produits de courbes.

Au paragraphe 1, on a donné des exemples de corps gauches provenant par diverses constructions (produit de variétés, cup-produit de classes de cohomologie, somme dans le groupe de Brauer) d’une classe fondamentale, la classe de x ∈ C(x)^{∗}/C(x)^{∗n} = H_{ét}^{1}(C(x), Z/n), qui est une classe de cohomologie (nécessairement) ramifiée sur le corps des fractions de la droite projective sur le corps des complexes. Sur une courbe elliptique E sur C, on dispose de classes non ramifiées dans H_{ét}^{1}(E, Z/n) ⊂ H^{1}(C(E), Z/n) ≃ C(E)^{∗}/C(E)^{∗n}. Des constructions analogues vont ici donner des classes de cohomologie non ramifiées, des classes d’algèbres simples centrales non ramifiées. Mais il n’est pas clair que ces classes sont non triviales.

Question 1. Soit l un nombre premier. Soient E_{1}, …, E_{m} des courbes elliptiques sur le corps C. Pour i = 1, …, m, soit g_{i} une classe non triviale dans H_{ét}^{1}(E_{i}, Z/l) ↪ C(E_{i})^{∗}/C(E_{i})^{∗l}. Sur le corps des fractions du produit X = E_{1} × ⋯ × E_{m}, la restriction du cup-produit g_{1} ∪ ⋯ ∪ g_{m} ∈ H_{ét}^{m}(X, Z/l) est-elle non triviale ?

Une question a priori plus faible (mais équivalente pour m = 2, par le théorème de Merkur’ev-Suslin, et conjecturalement équivalente pour tout m) est la suivante : Voyant g_{i} comme un élément de C(E_{i})^{∗}/C(E_{i})^{∗l}, le symbole {g_{1}, …, g_{m}} est-il non trivial dans le quotient K_{m}^{M}(C(X))/l du groupe de Milnor K_{m}^{M}(C(X)) ?

La réponse à cette question ne saurait être uniforme. Considérons le cas m = 2, l = 2. Soient E_{1}/C et E_{2}/C deux courbes elliptiques liées par une isogénie E_{2} → E_{1} de degré 2. Il existe alors g_{1} sur E_{1} et g_{2} sur E_{2} comme ci-dessus tels que l’algèbre de quaternions (g_{1}, g_{2}) sur le corps des fonctions de E_{1}×E_{2} soit une algèbre de matrices (pour le voir, poser F = C(E_{2}), considérer le point de E_{1}(F)/2 défini par l’isogénie E_{2} → E_{1} et appliquer la suite exacte donnée dans la proposition 11 ci-après).

On a néanmoins :

Proposition 11. Soient E_{1} et E_{2} deux courbes elliptiques, et x ∈ C(E_{1})^{∗}, y ∈ C(E_{2})^{∗}, non carrés, et de diviseur un double. Si E_{1} et E_{2} ne sont pas isogènes, alors l’algèbre de quaternions (x, y) sur le corps des fonctions de E_{1} × E_{2} est à division.

Démonstration. Soit E une courbe elliptique sur un corps F de caractéristique différente de 2. Supposons que E possède tous ses points d’ordre 2 sur F. On peut supposer E donnée par l’équation y^{2} = (x − a)(x − b)(x − c). Soient f, g ∈ F (E)^{∗}/F (E)^{∗2} les classes de (x − a) et (x − b). Ces classes proviennent d’éléments de H_{ét}^{1}(E, Z/2). La suite de Kummer pour la multiplication par 2 sur E donne naissance à la suite exacte :

0 → E(F)/2 → (F^{∗}/F^{∗2})^{2} → _{2}Br^{0}(E) → 0.

Dans cette suite, Br^{0}(E) est le sous-groupe des éléments de Br(E) nuls en l’origine de E, la flèche E(F)/2 → (F^{∗}/F^{∗2})^{2} envoie le point M sur la classe de la paire (g(M), f(M)), et la flèche (F^{∗}/F^{∗2})^{2} → _{2}Br^{0}(C) envoie (α, β) sur (α, f) + (β, g).

Notons désormais E_{1} = E et considérons alors le cas particulier où F = C(E_{2}) est le corps des fonctions d’une autre courbe elliptique E_{2} sur les complexes, non isogène à E_{1}. Alors E_{1}(F) = E_{1}(C), et donc E_{1}(F)/2 = 0. Par ailleurs le groupe de Brauer de F = C(E_{2}) est nul. Ainsi (F^{∗}/F^{∗2})^{2} ≃ _{2}Br(E_{1F}).

Ceci implique que l’application naturelle

H_{ét}^{1}(E_{2}, Z/2) ⊕ H_{ét}^{1}(E_{2}, Z/2) → _{2}Br(E_{1} × E_{2})

définie par (α, β) ↦ (α, f) + (β, g) est injective; on peut en fait montrer qu’elle est surjective, et définit un isomorphisme

H_{ét}^{1}(E_{1}, Z/2) ⊗ H_{ét}^{1}(E_{2}, Z/2) ≃ _{2}Br(E_{1} × E_{2}).

(On pourrait faire le même argument avec la multiplication par un premier l ≥ 2 à la place de l = 2, et avec deux fonctions f et g de diviseur une puissance l-ième.)

Ceci donne en particulier le résultat annoncé.

Question 2. Soit l un nombre premier. Soient E_{1}, …, E_{d} des courbes elliptiques (non nécessairement distinctes) sur le corps des complexes, et soit C/C une courbe projective lisse connexe, de genre suffisamment grand pour que la dimension de H_{ét}^{1}(C, Z/l) sur F_{l} soit au moins d. Soient f_{1}, …, f_{d} ∈ H_{ét}^{1}(C, Z/l) ⊂ C(C)^{∗}/C(C)^{∗l}, linéairement indépendants, et pour i = 1, …, d, soit g_{i} ∈ H_{ét}^{1}(E_{i}, Z/l) ⊂ C(E_{i})^{∗}/C(E_{i})^{∗l} non trivial. Fixons une racine primitive l-ième de 1 dans C. Sur le produit X = C × E_{1} × ⋯ × E_{d}, on peut considérer le produit tensoriel d’algèbres cycliques (f_{1}, g_{1})_{ζ_{l}} ⊗ ⋯ ⊗ (f_{d}, g_{d})_{ζ_{l}}. C’est une algèbre non ramifiée. Si l’on prend C, E_{1}, …, E_{d} suffisamment générales, cette algèbre est-elle un corps gauche ?

Appendice, par O. Gabber

La question 2, et aussi la question 1 pour des courbes générales, ont une réponse affirmative.

Nous commençons par discuter la question 2. L’idée est de déformer la situation ramifiée de l’exemple 6 en une situation non ramifiée : on peut voir un revêtement de Kummer de G_{m} (revêtement qui est ramifié à l’infini) comme limite de revêtements non ramifiés de courbes elliptiques. Par ailleurs une algèbre simple centrale qui a une (bonne) spécialisation à division est elle-même à division.

Nous aurons besoin d’énoncés algébriques généraux.

Lemme A1. Soit V un anneau de valuation, de corps résiduel k = V/m et de corps des fractions K, et soit A une V -algèbre, libre comme V -module. Si A ⊗_{V} k est intègre (i.e. est non nulle, et n’admet pas de diviseurs de zéro) alors A ⊗_{V} K est intègre.

Démonstration. Il suffit d’observer : A ⊗_{V} K \ {0} = K^{∗} · (A \ mA).

Lemme A2. Soient k un corps algébriquement clos et X un k-schéma intègre. Soit K un corps contenant k, et soit A une algèbre d’Azumaya sur X. La fibre de A au point générique de X est une algèbre à division si et seulement si la fibre de A ⊗_{k} K au point générique de X ×_{k} K est une algèbre à division.

Démonstration. Soit η le point générique de X. Pour établir l’implication non triviale, il suffit de montrer que l’algèbre A_{η} ⊗_{k} K est intègre. Ceci résulte du lemme A1, car K possède une valuation triviale sur k et de corps résiduel k.

Proposition A3. Soit S un schéma quasi-compact et quasi-séparé, soit π : X → S un morphisme lisse et de présentation finie, à fibres géométriques connexes. Soit A une algèbre d’Azumaya sur X. Alors l’ensemble Φ des points s ∈ S tels que la restriction de A au point générique de la fibre géométrique de π en s ne soit pas une algèbre à division est une union dénombrable de sous-ensembles fermés constructibles de S.

Démonstration. Par l’approximation noethérienne absolue de Thomason, on peut écrire S comme une limite projective filtrante S = \underleftarrow{lim}_{λ} S_{λ} de schémas de type fini sur Z, les morphismes de transition étant affines. On peut trouver λ tel que X → S provienne par image réciproque d’un morphisme de présentation finie π_{λ} : X_{λ} → S_{λ} satisfaisant les mêmes hypothèses que π, et que A provienne d’une algèbre d’Azumaya A_{λ} sur X_{λ}.

Le lemme A2 implique que l’ensemble Φ ⊂ S est l’image réciproque de l’ensemble analogue Φ_{λ} ⊂ S_{λ}. On est donc ramené à établir la proposition pour S de type fini sur Z. L’ensemble des points du schéma S est alors dénombrable. Il suffit alors pour établir le résultat voulu de montrer que l’ensemble Φ est stable par spécialisation. On peut pour cela remplacer la base par un trait S = Spec(V). Il faut montrer que si le point générique de S est dans Φ alors il en est de même du point fermé. Soit K′/K une extension finie du corps des fractions K de V tel que la fibre de A au point générique de X_{K′} ne soit pas une algèbre à division, soit V′ l’anneau d’une valuation de K′ étendant celle de V. Il suffit alors d’appliquer le lemme A1 à l’anneau local de X_{V′} au point générique de la fibre spéciale.

Remarque. La proposition A3 sera appliquée plus bas dans une situation où S est un produit de courbes (lisses). Il est dans ce cas évident que X → S et A proviennent d’objets analogues définis sur un corps de type fini sur le corps premier (ce qui suffirait pour l’argument de dénombrabilité), et même sur une Z-algèbre de type fini. Notons aussi que pour S noethérien, “fermé” et “fermé constructible” sont deux termes équivalents.

Proposition A4. Soit l un nombre premier. Il existe une courbe U/Q, de corps des fonctions L, un point P ∈ U(Q) et une courbe elliptique E/L dont le modèle de Néron E/U est un schéma abélien sur U \ P, qui a les propriétés suivantes :

(i) Il a pour fibre en P le groupe multiplicatif G_{m}.

(ii) Sur U, on a une suite exacte de U-schémas en groupes

0 → μ_{l,U} → E → E′ → 0,

la fibre en P de E → E′ étant donnée par l’élévation à la puissance l dans G_{m}.

(iii) Toute l-isogénie de courbes elliptiques sur C équipée d’un isomorphisme de son noyau avec μ_{l} est donnée par évaluation de la suite exacte ci-dessus en un point de U(C).

Démonstration Pour l = 2 on peut utiliser la famille de Legendre de courbes elliptiques, soit U = Spec(Q[λ, λ^{−1}]), P = (λ = 1), E′ la U-courbe définie comme la partie lisse de la fermeture projective de y^{2} = x(x−1)(x−λ), la section neutre étant l’infini, et E la normalisation de E′ dans l’extension quadratique de son corps des fonctions définie par \sqrt{x − 1}. Ceci définit un revêtement non ramifié de E′. Ce revêtement se scinde au-dessus de l’origine : on choisit l’un des relèvements comme section neutre de E. Pour l impair on définit U′ comme le schéma des plongements de μ_{l} dans E. La théorie transcendante (remarque ci-après) montre que U′ est une courbe géométriquement irréductible. Soit U′′ l’ouvert de U′ complémentaire de tous les points situés au-dessus de P sauf un. On dispose alors d’une immersion fermée μ_{l,U′′} → E_{U′′} et on prend le quotient.

Remarque. Pour établir l’irréductibilité géométrique de U′, il suffit de considérer le schéma des structures canoniques de niveau l sur la famille de Legendre. Le schéma U′ est aussi le schéma des plongements de μ_{l} dans E′. L’irréductibilité voulue est une conséquence du fait connu (Igusa, [I], Thm. 1) que le groupe de monodromie géométrique du système local _{l}E′ (des points de l-torsion) est SL(2, Z/l).

Dans l’anneau local, sur E′, du point générique de la fibre E′_{P}, il existe alors une fonction inversible g telle que le revêtement non ramifié E → E′ soit obtenu par adjonction de g^{1/l}. L’extension L(E) = L(E′)(g^{1/l})/L(E′) se spécialise en P en l’extension C(t^{1/l})/C(t), où G_{m} = Spec(C[t, t^{−1}]).

Nous pouvons maintenant répondre par l’affirmative à la question 2.

Soit d ≥ 2 un entier et l un nombre premier. Soit k ⊂ C un corps de type fini sur Q, sur lequel la courbe C est définie. Quitte à faire une extension finie de k, on peut supposer que k contient μ_{l} et que H_{ét}^{1}(C, Z/l) ⊂ k(C)^{∗}/k(C)^{∗l} contient des éléments f_{1}, …, f_{d} qui sont Z/l-indépendants et qui le restent par extension du corps de base k à C.

Pour i = 1, …, d, soient U_{i}, P_{i}, E_{i}/L_{i}, E_{i}/U_{i}, g_{i}, des exemplaires, au-dessus de k, des objets décrits ci-dessus. Soient S = U_{1} ×_{k} ⋯ ×_{k} U_{d} et X = C ×_{S} E′_{1} ×_{S} ⋯ ×_{S} E′_{d} (les différentes courbes C/k et E′_{i}/U_{i} étant toutes relevées sur S). Comme chaque (f_{i}, g_{i})_{ζ_{l}} provient d’une algèbre d’Azumaya (évidente), le produit (f_{1}, g_{1})_{ζ_{l}} ⊗ ⋯ ⊗ (f_{d}, g_{d})_{ζ_{l}} est la restriction d’une algèbre d’Azumaya A sur X.

Par la proposition A3 appliquée au morphisme π : X → S, l’ensemble Φ des points s ∈ S tels que la restriction de A au point générique de la fibre géométrique de π en s ne soit pas une algèbre à division est une union dénombrable ⋃_{r=1}^{∞} F_{r} de sous-ensembles fermés de S.

La restriction de l’algèbre au-dessus d’un C-point s de S d’image O = (P_{1}, …, P_{d}) ∈ S définit sur le point générique de X_{s} = C×_{C}G_{m}×_{C}⋯×_{C}G_{m} une algèbre à division, comme il résulte de l’exemple 6 (ou plutôt de son extension immédiate aux algèbres cycliques de degré l). Chacun des fermés F_{r} est donc un fermé propre de S.

Soient alors A_{1}, …, A_{d} des C-courbes elliptiques équipées d’une l-isogénie, données par un point s ∈ S(C) = U_{1}(C) × ⋯ × U_{d}(C) n’appartenant pas à l’un des fermés propres F_{r}. Il suffit par exemple pour cela que les invariants j_{A_{i}} des différentes courbes soient algébriquement indépendants sur k. Alors l’algèbre (non ramifiée) (f_{1}, g_{1})_{ζ_{l}} ⊗⋯⊗(f_{d}, g_{d})_{ζ_{l}} sur le corps des fonctions du produit C ×_{C} A_{1} ×_{C} ⋯ ×_{C} A_{d} est une algèbre à division.

Remarque. Si l’on avait considéré la situation directement sur les complexes, puis appliqué la proposition A3, on aurait alors invoqué le théorème de Baire pour assurer l’existence d’un point de S(C) en dehors de l’union, dénombrable, des fermés propres F_{r}.

Considérons maintenant la question 1.

Lemme A5. Soit V un anneau de valuation hensélien de corps résiduel k et de corps des fractions K, et soit M un faisceau abélien localement constant pour la topologie étale sur V. Pour tout entier i ≥ 0, la flèche de restriction H_{ét}^{i}(V, M) → H_{ét}^{i}(Spec(K), M) = H^{i}(K, M) est injective.

Démonstration. Soit \overline{K} une clôture algébrique de K, et soit \overline{k} le corps résiduel de la normalisation de V dans \overline{K}. Soit I ⊂ Gal(\overline{K}/K) le groupe d’inertie. L’énoncé résulte du fait connu que l’extension

1 → I → Gal(\overline{K}/K) → Gal(\overline{k}/k) → 1

est scindée. Dans le cas particulier considéré plus bas, l’anneau V est un anneau de valuation discrète (de rang un) dont le corps résiduel est de caractéristique zéro, le choix d’une uniformisante et d’un système compatible de racines de cette uniformisante définit un scindage.

Lemme A6. Soit k un corps algébriquement clos et soient K et L deux corps extensions de k. Soit M un Gal(\overline{K}/K)-module. Pour tout entier i ≥ 0, la flèche de restriction H_{ét}^{i}(Spec(K), M) → H_{ét}^{i}(Spec(K ⊗_{k} L), M) est injective.

Démonstration. Soit α ∈ H_{ét}^{i}(Spec(K), M) un élément du noyau. Il existe des kvariétés de type fini X et Y, un faisceau étale M sur X et un ouvert non vide V ⊂ X ×_{k} Y, tels que α provienne d’un élément β du noyau de la restriction H_{ét}^{i}(X, M) → H_{ét}^{i}(V, M). En se restreignant à une fibre non vide de V → Y au-dessus d’un point rationnel de Y, on voit que la restriction de β au corps des fonctions rationnelles de X est nulle. A fortiori α est nul.

Nous pouvons maintenant établir l’analogue de la proposition A3 :

Proposition A7. Soit S un schéma quasi-compact et quasi-séparé, soit π : X → S un morphisme lisse et de présentation finie, à fibres géométriques connexes. Soit i un entier, F un faisceau étale abélien localement constant constructible sur X et α ∈ H_{ét}^{i}(X, F). Alors l’ensemble Φ des points s ∈ S tels que la restriction de α au point générique de la fibre géométrique de π en s est nulle est une union dénombrable de sous-ensembles fermés constructibles de S.

Démonstration On procède comme pour la proposition A3. Le lemme A6 permet de se ramener au cas où S est de type fini sur Z. Il suffit alors d’établir un énoncé de spécialisation pour Φ. Celui-ci résulte du lemme A5.

Pour i = 1, …, d, soient U_{i}, P_{i}, E_{i}/L_{i}, E_{i}/U_{i}, g_{i}, des exemplaires, au-dessus de Q, des objets décrits dans la proposition A4. Soient S = U_{1} ×_{Q} ⋯ ×_{Q} U_{d} et X = E′_{1} ×_{S} ⋯ ×_{S} E′_{d} (les différentes courbes E′_{i}/U_{i} étant toutes relevées sur S). Soit α = (g_{1}) ∪ ⋯ ∪ (g_{m}) ∈ H_{ét}^{m}(X, Z/l).

Par la proposition A7 appliquée au morphisme π : X → S, l’ensemble Φ des points s ∈ S tels que la restriction de α au point générique de la fibre géométrique de π en s ne soit pas nulle est une union dénombrable ⋃_{r=1}^{∞} F_{r} de sous-ensembles fermés de S.

La restriction de α au-dessus d’un C-point s de S d’image O = (P_{1}, …, P_{d}) ∈ S définit sur le point générique de X_{s} = G_{m} ×_{C} ⋯ ×_{C} G_{m} la classe (x_{1}) ∪ ⋯ ∪ (x_{m}) (on note ici G_{m,C} = Spec(C[x, 1/x]). Un calcul immédiat de résidus successifs montre que cette classe est non triviale. Chacun des fermés F_{r} est donc un fermé propre de S. En particulier, on obtient le résultat suivant, qui répond affirmativement à la question 1 :

Soient E′_{1}, …, E′_{m} des courbes elliptiques sur C, et X = E′_{1} ×_{C} ⋯ ×_{C} E′_{m}. Si les invariants j(E′_{i}), i = 1, …, m sont algébriquement indépendants sur Q, alors la question 1 a une réponse affirmative : la classe g_{1} ∪ ⋯ ∪ g_{m} ∈ H_{ét}^{m}(X, Z/l) a une restriction non nulle au point générique de X.

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J.-L. Colliot-Thélène

C.N.R.S., U.M.R. 8628, Mathématiques, Bâtiment 425, Université de Paris-Sud, F-91405 Orsay, France courriel : colliot@math.u-psud.fr

O. Gabber

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