APPENDICE B : LE GROUPE V (C) EST EN GÉNÉRAL DE RANG INFINI

par J.-L. Colliot-Thélène

Dans cet appendice, on établit un fait annoncé dans l’introduction de l’article de T. Szamuely (dont nous reprenons les notations) : pour une courbe C projective lisse connexe sur un corps p-adique, de genre au moins un, le noyau V (C) de l’application norme N : SK_{1}(C) → k^{∗} est “gros”.

LEMME 1. — Soit C une courbe projective, lisse, géométriquement connexe sur un corps k. Pour tout corps K contenant k, les applications de restriction SK_{1}(C) → SK_{1}(C_{K}) et V (C) → V (C_{K}) ont un noyau de torsion.

Démonstration (bien connue). Donnons la démonstration pour F (C) = SK_{1}(C) = H^{1}(C, K_{2}). Le foncteur K ↦ F (C_{K}) commute aux limites directes filtrantes. Il suffit donc de montrer le résultat dans les deux cas suivants : K est une extension finie de k, et K = k(t) est le corps des fonctions rationnelles en une variable sur k (il convient ensuite bien sûr d’appliquer le résultat obtenu aux extensions de k). Pour K/k finie, le résultat provient de l’existence d’une application norme F (C_{K}) → F (C) satisfaisant : le composé de la restriction F (C) → F (C_{K}) avec la norme est la multiplication par le degré de K sur k. C’est bien connu, mais c’est aussi facile à montrer sur le complexe de Gersten-Quillen. Soit K = k(t). Le groupe H^{1}(C_{k(t)}, K_{2}) est la limite directe des groupes H^{1}(C ×_{k} U, K_{2}) pour U parcourant les ouverts non vides de la droite affine. Si α ∈ H^{1}(C, K_{2}) s’annule dans H^{1}(C_{k(t)}, K_{2}), alors il s’annule dans un H^{1}(C ×_{k} U, K_{2}). Lorsque le corps k est infini, il existe un point k-rationnel dans U et le résultat s’obtient en spécialisant en ce point. Le cas d’un corps fini se traite par un argument de norme.

LEMME 2. — Soit C/k comme ci-dessus. Notons K = k(t) le corps des fractions rationnelles en une variable et C_{K} la K-courbe C ⊗_{k} K. Le groupe SK_{1}(C_{K}) contient le groupe Pic(C) comme facteur direct, et le groupe V (C_{K}) contient le groupe Pic^{0}(C) comme facteur direct.

Démonstration (bien connue). On a le diagramme commutatif, où Div(C) est le groupe des diviseurs de C :

k(C)^{∗} →  K_{2}K(C)  → k(C)^{∗}
↓  ↓  ↓
Div(C) → ⊕_{M∈C_{K}^{(1)}}K(M)^{∗} → Div(C)

Dans ce diagramme, les flèches issues de K_{2}K(C) proviennent de symboles modérés associés à des points de codimension 1 de la k-surface C ×_{k} k[t]_{(t)} (où k[t]_{(t)} est le localisé de l’anneau de polynômes k[t] en l’idéal (t)). La flèche verticale de gauche est l’application diviseur et celle de droite son opposé ; la flèche en bas à droite est également une flèche diviseur. La flèche en haut à gauche envoie f ∈ k(C)^{∗} sur le symbole {f, t} et celle en dessous envoie le diviseur ∑_{P} n_{P} P (avec P ∈ C^{(1)} et n_{P} ∈ Z) sur la famille α_{M} avec α_{M} = t^{n_{P}} si M est de la forme P ×_{k} K pour P ∈ C^{(1)} et α_{M} = 1 sinon. Le carré de gauche commute par construction et celui de droite par l’existence du complexe de Gersten.

Passant aux conoyaux des flèches verticales, on obtient une suite d’homomorphismes Pic(C) → SK_{1}(C_{K}) → Pic(C) dont le composé est l’identité par construction, d’où le premier énoncé du lemme. Le deuxième en résulte en prenant la restriction au sous-groupe Pic^{0}(C) qui s’envoie dans V (C_{K}).

PROPOSITION. — Soit k un corps p-adique (extension finie de Q_{p}) et soit C/k une k-courbe projective, lisse, géométriquement connexe. Si le genre g de C est au moins un, alors le vectoriel V (C) ⊗_{Z} Q est de rang infini.

Démonstration. Il suffit de montrer que pour tout entier n > 0 il existe n éléments linéairement indépendants dans V (C).

Soit J/k la jacobienne de C, qui est une k-variété abélienne de dimension g. Soit \overline{k} une clôture algébrique de k et G = Gal(\overline{k}/k). On a la suite exacte bien connue

0 → Pic(C) → Pic(C ×_{k} \overline{k})^{G} → Br(k),

où Br(k) est le groupe de Brauer de k, qui est un groupe de torsion. Par restriction aux classes de diviseurs de degré zéro, cette suite exacte induit la suite exacte

0 → Pic^{0}(C) → J(k) → Br(k).

Ainsi le quotient J(k)/Pic^{0}(C) est un groupe de torsion (ce groupe est nul si C possède un point k-rationnel).

Soit O_{k} l’anneau des entiers de k. C’est un résultat classique (E. Lutz, Weil, Mattuck, Tate) que le groupe J(k) contient un sous-groupe ouvert isomorphe à (O_{k})^{g}, groupe sans torsion de rang infini. Ainsi Pic^{0}(C) contient lui aussi un groupe sans torsion de rang infini.

Il existe un corps k_{0} ⊂ k, de type fini sur le corps premier, et une k_{0}-courbe C_{0} telle que C_{0} ×_{k_{0}} k ≃ C. Pour L extension de k_{0}, notons ici C_{L} = C_{0} ×_{k_{0}} L. Le groupe Pic^{0}(C) = Pic^{0}(C_{k}) est la réunion de ses sous-groupes Pic^{0}(C_{L}) pour L parcourant les corps L avec k_{0} ⊂ L ⊂ k et L de type fini sur k_{0}. Il existe donc un L tel que Pic^{0}(C_{L}) contienne n éléments linéairement indépendants. Comme k est de degré de transcendance infini sur k_{0}, il existe un élément t ∈ k transcendant sur L. Le lemme 2 montre que Pic^{0}(C_{L}) s’injecte dans V (C_{L(t)}). Le lemme 1 montre que le noyau de la restriction V (C_{L(t)}) → V (C) est de torsion. Ainsi V (C) contient n éléments linéairement indépendants, et il en est donc de même de V (C) ⊗ Q.

Remarque

L’argument développé ci-dessus est l’une des innombrables variantes de l’argument donné par Bloch (à Angers en 1979) pour établir le théorème de Mumford sur la nonreprésentabilité du groupe des zéro-cycles sur une surface X (projective lisse) sur les complexes avec H^{2}(X, O_{X}) ≠ 0. On peut aussi développer l’argument ci-dessus avec k un corps algébriquement clos de degré de transcendance infini (on sait que pour k algébriquement clos de caractéristique zéro, le groupe des k-points d’une variété abélienne non nulle est de rang infini), puis donner des énoncés de non-représentabilité de groupes K_{i}(X) (resp. de cran particulier des filtrations naturelles de ces groupes) par K_{i}(Y) (resp. ...) pour Y sous-variété de X de dimension trop petite. Dans ce contexte, l’idée d’utiliser des résidus fut trouvée en 1992, à Santa Barbara (Californie).