Conjectures de type local-global sur l’image

des groupes de Chow dans la cohomologie étale

Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE

Introduction

Dans un précédent article [CT95], j’ai fait le point sur certaines conjectures de type localglobal sur le groupe de Chow des zéro-cycles. Ces conjectures généralisent la “suite duale” de Cassels [Ca64] de la théorie des courbes elliptiques (c’est un complexe dont on sait qu’il est exact sous l’hypothèse que le groupe de Tate-Shafarevich est fini) ainsi qu’une suite exacte conjecturale pour les surfaces rationnelles, proposée par Sansuc et l’auteur [CT/S81]. Elles englobent aussi la conjecture que l’obstruction de Brauer-Manin à l’existence d’un zéro-cycle de degré un est la seule obstruction.

Pour les surfaces fibrées en coniques sur la droite projective, ces conjectures furent établies par Salberger [Sal88], et la plupart des progrès ultérieurs (pour les zéro-cycles) ont été obtenus par une élaboration de sa méthode ([CT/SwD94], [CT/Sk/SwD98a], [CT99]).

Dans le présent article, pour toute variété X projective, lisse et géométriquement connexe sur un corps global k, je formule une conjecture simple sur l’image, par l’application cycle, des groupes de Chow CH^{i}(X) (cycles de codimension i modulo l’équivalence rationnelle) dans la cohomologie étale. Pour les cycles de codimension i maximale (zéro-cycles), la conjecture est très proche de conjectures dues à Kato et Saito ([K/S86], [Sai89b]) et de conjectures décrites dans [CT95]. Je dégage ensuite une proposition générale (prop. 3.1) qui a les deux conséquences suivantes :

1) Lorsque k est un corps de nombres, la conjecture vaut pour les cycles de codimension 1 dès que le groupe de Tate-Shafarevich de la variété de Picard de la variété X considérée est fini (prop. 3.3). On retrouve ainsi des résultats de Cassels, Manin, Saito (prop. 3.7, 3.8, 3.9). L’hypothèse sur le groupe de Tate-Shafarevich est trivialement satisfaite si la variété de Picard est réduite à un point, i.e. si le groupe de cohomologie cohérente H^{1}(X, O_{X}) s’annule.

2) Lorsque k est le corps des fonctions d’une courbe projective et lisse C sur un corps fini 𝔽, et que X/k admet un modèle régulier X /C, la validité d’une forme entière de la conjecture de Tate pour les groupes de Chow de cycles de codimension i sur X entraîne la validité de la conjecture pour CH^{i}(X) (prop. 3.2). En codimension i maximale, i.e. pour les zéro-cycles sur X, ceci fut observé par Saito [Sai89b]. Mais ce critère ne semble guère applicable pour i > 1.

Mes travaux communs avec Sansuc, Swinnerton-Dyer, Skorobogatov, le travail de Salberger [Sal88], le progrès récent (surfaces fibrées en coniques au-dessus d’une courbe de genre quelconque [CT99]), et l’espoir de progrès pour les surfaces fibrées en courbes de genre un au-dessus de la droite projective [CT/Sk/SwD98b] m’encouragent à porter par écrit des conjectures formulées oralement dans diverses conférences. Les diverses conjectures énoncées par K. Kato, S. Saito, S. Bloch ont aussi joué un rôle dans la formulation présente des conjectures. Ce texte doit par ailleurs beaucoup à une discussion avec W. Raskind en Juillet 1995.

§1. La suite exacte de Poitou-Tate-Saito

Soient k un corps global et Ω l’ensemble de ses places. Si k est un corps de nombres, soit C le spectre de l’anneau des entiers de k. Si k est un corps de fonctions d’une variable sur un corps fini 𝔽 (algébriquement clos dans k), soit C/𝔽 la courbe projective, lisse, géométriquement intègre de corps des fonctions k. Soit X une k-variété projective, lisse, géométriquement intègre, de dimension d. Pour v place de k, notons k_{v} le complété de k en v et X_{v} = X ×_{k} k_{v}. Soit n > 0 un entier premier à la caractéristique de k. Notons μ_{n} le faisceau sur le grand site étale de Spec(k) défini par les racines n-ièmes de l’unité. Pour i > 0, notons μ_{n}^{⊗i} le produit tensoriel de i exemplaires de μ_{n} et μ_{n}^{⊗0} = ℤ/n. Pour i < 0, notons μ_{n}^{⊗i} = Hom_{ℤ}(μ_{n}^{⊗(−i)}, ℤ/n). Sauf mention du contraire, les groupes de cohomologie ici considérés sont les groupes de cohomologie étale. Pour A un groupe abélien, on note A^{∘} = Hom(A, ℚ/ℤ).

Fixons i ≥ 0, et définissons j = d + 1 − i. Un cas particulier d’un énoncé dégagé par Shuji Saito [Sai89a], et qui est une extension à la cohomologie étale de la suite de Poitou-Tate en cohomologie des corps globaux, assure que l’on a une longue suite exacte

(1)  ⋯ → H^{2i}(X, μ_{n}^{⊗i}) → ∏ ∐_{v∈Ω}H̃^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) → H^{2j}(X, μ_{n}^{⊗j})^{∘} → ⋯

Explicitons les termes et flèches de cette suite. Le groupe ∏ ∐_{v∈Ω}H̃^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) est ainsi défini. On définit d’abord les groupes H̃^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}). Pour v place non-archimédienne, on a simplement H̃^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) = H^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}). Pour v place complexe, on a H̃^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) = 0, et pour v place réelle, le groupe H̃^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) est un certain groupe annulé par 2 (en particulier nul lorsque n est impair) ([Sai89a], 1.6), équipé d’une flèche naturelle H^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) → H̃^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}). La variété X admet un modèle projectif et lisse X au-dessus d’un ouvert Spec(O) de C, sur lequel on peut supposer n inversible. Pour v ∈ Spec(O) notons X_{v} = X ×_{O} O_{v}, où O_{v} est l’anneau des entiers de k_{v}. On dispose alors du sous-groupe H^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) ⊂ H^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}). Le groupe ∏ ∐_{v∈Ω}H̃^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) est défini comme le produit restreint des H̃^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) par rapport à la famille des sous-groupes H^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) ⊂ H^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}), pour v ∈ Spec(O). Ce produit restreint ne dépend pas du choix de O.

La flèche H^{2i}(X, μ_{n}^{⊗i}) → ∏ ∐_{v∈Ω}H̃^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) est la flèche diagonale obtenue à partir des applications de restriction naturelles (dont l’image est clairement dans le produit restreint).

On a une flèche de restriction H^{2j}(X, μ_{n}^{⊗j}) → H̃^{2j}(X_{v}, μ_{n}^{⊗j}) et un accouplement de dualité (non dégénéré)

H̃^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) × H̃^{2j}(X_{v}, μ_{n}^{⊗j}) → H̃^{2d+2}(X_{v}, μ_{n}^{⊗d+1})

et ce dernier groupe s’identifie à ℤ/n ⊂ ℚ/ℤ si v est une place non-archimédienne, à ℤ/2 ⊂ ℚ/ℤ si v est réelle, et est nul si v est complexe ([Sai89a], Lemma 2.9 et Lemma 2.10). Pour v ∈ Spec(O), l’accouplement ci-dessus s’annule sur H^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) × H^{2j}(X_{v}, μ_{n}^{⊗j}). Ceci permet de définir un accouplement

∏ ∐_{v∈Ω}H̃^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) × ∏ ∐_{v∈Ω}H̃^{2j}(X_{v}, μ_{n}^{⊗j}) → ℚ/ℤ

et a fortiori un accouplement

∏ ∐_{v∈Ω}H̃^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) × H^{2j}(X, μ_{n}^{⊗j}) → ℚ/ℤ,

ce qui définit la flèche ∏ ∐_{v∈Ω}H̃^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) → H^{2j}(X, μ_{n}^{⊗j})^{∘}.

Pour n et m premiers à la caractéristique de k, et v place non archimédienne, les dualités mentionnées ci-dessus induisent des diagrammes commutatifs :

H^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) × H^{2j}(X_{v}, μ_{n}^{⊗j}) →  ℤ/n
↑ ↓ ↓ ×m
H^{2i}(X_{v}, μ_{nm}^{⊗i}) × H^{2j}(X_{v}, μ_{nm}^{⊗j}) →  ℤ/nm,

où la flèche verticale de gauche est induite par l’élévation à la puissance m sur μ_{nm}^{⊗i}, et où la flèche verticale de droite est induite par l’inclusion naturelle μ_{n}^{⊗j} ↪ μ_{nm}^{⊗j}. On a un énoncé analogue aux places réelles.

§2. Les conjectures

Soient k un corps global et C le schéma de Dedekind de corps des fonctions k défini au §1. Soit X une k-variété projective, lisse et géométriquement intègre, de dimension d. Soit n > 0 entier. Soit X /Spec(O) un modèle projectif et lisse de X/k au-dessus d’un ouvert Spec(O) ⊂ C où n est inversible.

Soit i ≥ 0 un entier et j = d+1−i. Soit CH^{i}(X) le groupe de Chow des cycles de codimension i sur X modulo l’équivalence rationnelle (on identifiera souvent un cycle avec sa classe dans le groupe de Chow). On dispose d’une application cycle (Grothendieck, Deligne [SGA4 1/2], voir aussi [Mi80], VI.9) à valeurs dans la cohomologie étale :

cl_{n} : CH^{i}(X) → H^{2i}(X, μ_{n}^{⊗i}).

On dispose d’applications analogues

cl_{n} : CH^{i}(X_{v}) → H̃^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i})

pour toute place v ∈ Ω. Pour n = mr, l’application de μ_{n}^{⊗i} dans μ_{m}^{⊗i} définie par l’élévation à la puissance r induit une application H^{2i}(X, μ_{n}^{⊗i}) → H^{2i}(X, μ_{m}^{⊗i}). La composée de l’application cl_{n} avec cette dernière est l’application cl_{m}.

Soit v ∈ Spec(O) une place finie de bonne réduction pour X, et soit n un entier premier à la caractéristique de k et à la caractéristique résiduelle de v. Comme tout cycle sur X_{v} provient d’un cycle sur X_{v}, l’application cycle cl_{n} : CH^{i}(X_{v}) → H^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) a son image dans H^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) (voir [Sai91], §5). Avec les notations du §1, on dispose donc du diagramme commutatif, où la suite inférieure est exacte :

(2)  \begin{aligned}CH^{i}(X)/n & → & ∏_{v∈Ω} CH^{i}(X_{v})/n \\ ↓ & & ↓ \\ H^{2i}(X, μ_{n}^{⊗i}) & → & ∏ ∐_{v∈Ω}H̃^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) & → & H^{2j}(X, μ_{n}^{⊗j})^{∘}, \end{aligned}

et donc du complexe :

(C_{n})  CH^{i}(X)/n → ∏_{v∈Ω} CH^{i}(X_{v})/n → H^{2j}(X, μ_{n}^{⊗j})^{∘}

L’existence même de ce complexe permet de définir des obstructions à l’existence d’un cycle global ayant une classe donnée (modulo n) pour toute place v, obstruction qu’on peut si l’on souhaite reformuler ainsi : il y a un accouplement naturel

∏_{v∈Ω} CH^{i}(X_{v}) × H^{2j}(X, μ_{n}^{⊗j}) → ℤ/n,

et l’image diagonale de CH^{i}(X) dans ∏_{v∈Ω} CH^{i}(X_{v}) est dans le noyau de cet accouplement. On dispose aussi pour tout l premier à la caractéristique de k d’un accouplement :

∏_{v∈Ω} CH^{i}(X_{v}) × H^{2j}(X, ℚ_{l}/ℤ_{l}(j)) → ℚ_{l}/ℤ_{l}

qui s’annule sur l’image diagonale de CH^{i}(X) dans ∏_{v∈Ω} CH^{i}(X_{v}).

CONJECTURE 1. Soit X/k une variété projective, lisse et géométriquement intègre sur un corps de nombres k. Soit d la dimension de X. Soient i > 0 entier et j = d + 1 − i. Supposons donné pour toute place v de k un cycle z_{v} ∈ CH^{i}(X_{v}). Supposons que toute classe ξ ∈ H^{2j}(X, ℚ/ℤ(j)) est orthogonale à la famille {z_{v}}_{v∈Ω}. Alors pour tout n > 0, il existe un cycle global z_{n} ∈ CH^{i}(X) tel que pour toute place v, la classe de z_{n} dans H̃^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) coïncide avec celle de z_{v}.

CONJECTURE 2. Soit X/k une variété projective, lisse et géométriquement intègre sur un corps global k. Soit d la dimension de X. Soit i > 0 entier. Soit l un nombre premier différent de la caractéristique de k. Supposons donné pour toute place v de k un cycle z_{v} ∈ CH^{i}(X_{v}). Supposons que toute classe ξ ∈ H^{2j}(X, ℚ_{l}/ℤ_{l}(j)) est orthogonale à la famille {z_{v}}_{v∈Ω}. Alors pour tout n > 0, il existe un cycle global z_{n} ∈ CH^{i}(X) tel que, pour toute place v, la classe de z_{n} dans H̃^{2i}(X_{v}, μ_{l^{n}}^{⊗i}) coïncide avec celle de z_{v}.

Considérons le cas i = d, c’est-à-dire celui des zéro-cycles. Soit k un corps de nombres. On peut vérifier (c’est un fait purement algébrique) que les applications

CH^{d}(X_{v})/n → H^{2}(X, μ_{n})^{∘}

se factorisent par le dual de la n-torsion du groupe de Brauer de X :

CH^{d}(X_{v})/n → [_{n}Br(X)]^{∘} ⊂ H^{2}(X, μ_{n})^{∘}.

Dans ce cas, la conjecture 1 se réécrit donc :

CONJECTURE 3. Soit X une variété projective, lisse et géométriquement intègre sur un corps de nombres k. Soit {z_{v}}_{v∈Ω} une famille de zéro-cycles locaux sur X, telle que pour tout A ∈ Br(X) on ait

∑_{v∈Ω} inv_{v}(A(z_{v})) = 0.

Alors pour tout entier n > 0 il existe un zéro-cycle z_{n} ∈ CH_{0}(X) tel que pour toute place v et tout élément A de _{n}Br(X_{v}) on ait A(z_{v}) = A(z_{n}) ∈ Br(k_{v}).

Soit {z_{v}}_{v∈Ω} une famille de zéro-cycles orthogonale à tout élément du groupe de Brauer de X. On vérifie qu’alors les degrés des z_{v} pour v place non archimédienne coïncident, et ont même parité que ceux des z_{v} pour v place réelle.

La conjecture 1 (ou 3) dit que pour tout entier n positif, il existe un zéro-cycle z_{n} sur X tel que les images de z_{n} et de z_{v} coïncident dans H^{2d}(X_{v}, μ_{n}^{⊗d}), ce pour toute place finie v. Un cas particulier est donc la conjecture suivante, déjà apparue dans la littérature (voir [CT/S81], [Sai89b], [Lg90], [CT/SwD94], [CT95]) :

CONJECTURE 4. Soit X une variété projective, lisse et géométriquement intègre sur un corps de nombres k. Soit {z_{v}}_{v∈Ω} une famille de zéro-cycles locaux de degré un sur X, telle que pour tout A ∈ Br(X) on ait

∑_{v∈Ω} inv_{v}(A(z_{v})) = 0.

Alors il existe un zéro-cycle de degré un sur X. En d’autres termes, l’obstruction de Brauer-Manin à l’existence d’un zéro-cycle de degré un sur X est la seule obstruction.

Remarques.

1) On peut énoncer une variante (a priori plus forte) de ces conjectures, où l’on postule l’existence d’un élément dans la limite projective \underleftarrow{lim}_{n} CH^{i}(X)/n, resp. \underleftarrow{lim}_{n} CH^{i}(X)/l^{n}, dont

l’image coïncide avec celle de z_{v} dans H̃^{2i}(X_{v}, ℤ̂(i)), resp H̃^{2i}(X_{v}, ℤ_{l}(i)).

2) On ne peut pas énoncer les conjectures en considérant le complexe (C_{n}) pour n > 0 fixé (sans passer à la limite sur les coefficients), comme on voit déjà en prenant i = d = 1 et en choisissant pour X une courbe elliptique E sur un corps de nombres k, telle que la 2-torsion _{2}E de E soit rationnelle sur le corps de base, i.e. k-isomorphe à ℤ/2 × ℤ/2, et telle que la 2-torsion du groupe de Tate-Shafarevich de E soit non nulle.

3) Pour k un corps de nombres, la validité de la conjecture 2 pour tout premier l implique celle de la conjecture 1 (par une application du théorème du reste chinois). Pour k un corps de fonctions d’une variable sur un corps fini de caractéristique p, il conviendrait d’énoncer l’analogue p-adique de la conjecture 2.

4) On pourrait être plus ambitieux et sous les hypothèses de la conjecture 1 postuler pour tout n > 0 l’existence d’un cycle z_{n} tel que les images des classes de z_{n} et z_{v} coïncident dans CH^{i}(X_{v})/n pour toute place v. C’est d’ailleurs ce que je fais dans [CT95] pour les zéro-cycles (cas i = d). Mais si pour tout entier n premier à la caractéristique du corps de base et toute variété lisse X/k, l’application cycle en codimension un

CH^{1}(X)/n = Pic(X)/n → H^{2}(X, μ_{n}),

donnée par la suite de Kummer, est injective, il n’en est plus de même en codimension i > 1, même pour une variété projective et lisse possédant un point rationnel (contre-exemples de Kollár/van Geemen et de Totaro sur ℂ, de Parimala/Suresh [Pa/Su95] sur un corps p-adique, de Bloch/Esnault et de Schoen sur une clôture algébrique de ℚ). Dans un premier temps, il est donc plus raisonnable de formuler les conjectures 1, 2 et 3 comme ci-dessus. On comparera les différents énoncés obtenus dans des cas concrets ([CT/SwD94], Thm. 6.2 ; [CT/Sk/SwD98a], Thm. 4.8 ; [CT99]). Notons ici que dans les différents cas traités à ce jour, c’est en utilisant des définitions ad hoc de l’application cycle qu’on arrive au résultat. La vérification que ces définitions ad hoc coïncident avec la définition générale de [SGA4 1/2] peut requérir des efforts importants.

5) Inspirés en partie par [CT/S81], Kato et Saito ont formulé une conjecture très générale ([K/S86], p. 303), dont le lien avec l’étude des zéro-cycles est développé dans un article de S. Saito ([Sai89b], §8). Ce dernier discute en particulier une forme de la conjecture 4.

6) A la suite de son travail avec Kato, S. Bloch [Bl90] a proposé des conjectures reliant le noyau de l’application CH^{i}(X) → ∏_{v∈Ω} CH^{i}(X_{v}) au noyau des applications H^{2i}(X, μ_{n}^{⊗i}) → ∏_{v∈Ω} H^{2i}(X_{v}, μ_{n}^{⊗i}) (il s’agit donc de la partie gauche du diagramme (2)). Ces conjectures demandent à être affinées, comme le montre un exemple de Suresh [Su96]. La difficulté relevée par Suresh provient du fait que l’application cycle CH^{2}(X)/n → H^{4}(X, μ_{n}^{⊗2}) n’est pas nécessairement injective.

7) On peut se demander quels sont les rapports entre les conjectures ici faites et les conjectures de Beilinson, de Bloch/Kato, de Fontaine/Perrin-Riou. A ma connaissance, les diverses conjectures faites par ces auteurs n’impliquent aucune des conjectures ci-dessus. Les conjectures de ces auteurs concernent les modules galoisiens fournis par la cohomologie l-adique de la variété sur la clôture algébrique du corps de base. Pour une surface rationnelle, le seul groupe intéressant est le H^{2}, et il est entièrement contrôlé par le module galoisien défini par le groupe de Picard géométrique. Mais déjà pour une surface de Châtelet d’équation affine

y^{2} − az^{2} = (x − e_{1})(x − e_{2})(x − e_{3})

sur ℚ, seule l’arithmétique de l’extension ℚ(\sqrt{a}) joue un rôle dans le module galoisien défini par le groupe de Picard géométrique, alors que la torsion du groupe de Chow des zéro-cyles est aussi sensible à l’arithmétique des éléments e_{i} − e_{j} ∈ ℚ^{∗} (voir [CT/S/SwD87]).

§3. Une proposition générale ; deux applications

Proposition 3.1. Soit k un corps global, et soit X une k-variété projective, lisse, géométriquement intègre de dimension d. Soit C un schéma de Dedekind intègre de corps des fractions le corps k, tel que X/k admette un modèle X → C avec X intègre et régulier et X → C projectif. Supposons que X /C est lisse, ou que C est une courbe sur un corps fini. Soit l un nombre premier inversible sur C, et soit i entier, 1 ≤ i ≤ d. Soit {z_{v}}_{v∈Ω} une famille de cycles de codimension i sur X. Si toute classe ξ ∈ H^{2j}(X, ℚ_{l}/ℤ_{l}(j)) est orthogonale à la famille {z_{v}}_{v∈Ω}, alors il existe une classe ζ ∈ H^{2i}(X , ℤ_{l}(i)) = \underleftarrow{lim}_{n} H^{2i}(X , μ_{l^{n}}^{⊗i}) telle que, pour tout n > 0, les images de ζ et de z_{v} dans H̃^{2i}(X_{v}, μ_{l^{n}}^{⊗i}) coïncident.

Démonstration. Soit n > 0 un entier. Comme la famille {z_{v}}_{v∈Ω} est orthogonale à H^{2j}(X, μ_{l^{n}}^{⊗j}), il existe, d’après la suite exacte (1) (théorème de Saito [Sai89a]), un élément z_{n} ∈ H^{2i}(X, μ_{l^{n}}^{⊗i}) dont l’image dans H̃^{2i}(X_{v}, μ_{l^{n}}^{⊗i}), pour toute place v, coïncide avec celle de z_{v}.

Pour toute place v ∈ C (de telles places sont non-archimédiennes), soit Ô_{C,v} le complété de l’anneau local en v, 𝔽_{v} son corps résiduel, puis X_{v} = X ×_{C} Spec(Ô_{C,v}) et Y_{v} = X ×_{C} Spec(𝔽_{v}). On a un diagramme commutatif :

CH^{i}(X_{v})/l^{n} → CH^{i}(X_{v})/l^{n}
↓  ↓
H^{2i}(X_{v}, μ_{l^{n}}^{⊗i}) → H^{2i}(X_{v}, μ_{l^{n}}^{⊗i}) → H_{Y_{v}}^{2i+1}(X_{v}, μ_{l^{n}}^{⊗i})

où les flèches verticales sont les applications cycles, ou des substituts (c’est ici qu’interviennent les hypothèses restrictives sur X/C, voir la remarque ci-dessous), et la suite exacte inférieure est la suite de localisation sur X_{v}.

Comme les applications CH^{i}(X_{v}) → CH^{i}(X_{v}) sont surjectives, on voit que l’image de cl(z_{v}) ∈ H^{2i}(X_{v}, μ_{l^{n}}^{⊗i}) dans H_{Y_{v}}^{2i+1}(X_{v}, μ_{l^{n}}^{⊗i}) est nulle. Il en est donc de même de l’image de z_{n}. Mais on dispose de la suite de localisation au-dessus de C :

H^{2i}(X , μ_{l^{n}}^{⊗i}) → H^{2i}(X, μ_{l^{n}}^{⊗i}) → ⊕_{v∈C}H_{Y_{v}}^{2i+1}(X , μ_{l^{n}}^{⊗i}),

compatible avec chaque suite de localisation pour X_{v}. Par excision ([Mi80], III.1.27 p. 93), l’application naturelle H_{Y_{v}}^{2i+1}(X , μ_{l^{n}}^{⊗i}) → H_{Y_{v}}^{2i+1}(X_{v}, μ_{l^{n}}^{⊗i}) est un isomorphisme (il convient ici de passer d’abord des complétés en v aux hensélisés en v, et d’utiliser le fait que la cohomologie étale à coefficients finis de torsion inversible ne change pas par passage du hensélisé de k en v au complété k_{v}; ceci résulte du théorème de changement de base propre). On conclut maintenant que la classe z_{n} est dans l’image de H^{2i}(X , μ_{l^{n}}^{⊗i}) → H^{2i}(X, μ_{l^{n}}^{⊗i}). Soit alors M_{n} ⊂ H^{2i}(X , μ_{l^{n}}^{⊗i}) l’ensemble des éléments dont l’image dans chaque H^{2i}(X_{v}, μ_{l^{n}}^{⊗i}) coïncide avec celle de z_{v}. Nous venons de montrer que cet ensemble est non vide.

L’application naturelle H^{2i}(X , μ_{l^{n+1}}^{⊗i}) → H^{2i}(X , μ_{l^{n}}^{⊗i}) envoie clairement M_{n+1} dans M_{n}. Les théorèmes de finitude pour la cohomologie étale ([SGA4 1/2], Théorèmes de finitude) assurent que chaque groupe H^{2i}(X , μ_{l^{n}}^{⊗i}) est fini, donc aussi chaque ensemble M_{n}. Mais alors la limite projective des M_{n} (sous-ensemble de la limite projective des H^{2i}(X , μ_{l^{n}}^{⊗i})) est, par un argument de compacité, non vide. Ceci achève la démonstration.

Remarque. L’application cycle est construite dans [SGA4 1/2] pour une variété lisse sur un corps. Le théorème de pureté absolu (Gabber, en préparation) permet de définir une application cycle CH^{i}(X) → H^{2i}(X , μ_{l^{n}}^{⊗i}) sous la simple hypothèse que X est régulier et l inversible sur X. On trouvera dans [Sai91], §5, une démonstration du fait que lorsque X /C comme ci-dessus est projectif et lisse, l’image de l’application cycle CH^{i}(X_{v}) → H^{2i}(X_{v}, μ_{l^{n}}^{⊗i}) tombe dans l’image de l’application H^{2i}(X_{v}, μ_{l^{n}}^{⊗i}) → H^{2i}(X_{v}, μ_{l^{n}}^{⊗i}).

Proposition 3.2. Soient 𝔽 un corps fini, C/𝔽 une courbe projective, lisse et géométriquement intègre, de corps des fonctions K = 𝔽(C) et soit X une 𝔽-variété projective et lisse de dimension d + 1, équipée d’un morphisme plat X → C à fibre générique X/k lisse et géométriquement intègre. Soit l un nombre premier distinct de la caractéristique de 𝔽. Soit i entier, 1 ≤ i ≤ d. Si l’application CH^{i}(X) ˆ⊗ℤ_{l} → H^{2i}(X , ℤ_{l}(i)) est surjective, alors la conjecture 2 vaut pour i et l.

Démonstration. Rappelons que par définition CH^{i}(X) ˆ⊗ℤ_{l} = \underleftarrow{lim}_{n} CH^{i}(X)/l^{n}. L’énoncé est une conséquence immédiate de la proposition 3.1. L’on part d’une famille {z_{v}}_{v∈Ω} orthogonale à H^{2j}(X, ℚ_{l}/ℤ_{l}(j)) ; la proposition 3.1 fournit une classe dans H^{2i}(X , ℤ_{l}(i)), d’image celle de z_{v} dans chaque H^{2i}(X_{v}, μ_{l^{n}}^{⊗i}).

Remarques.

1) Le cas i = d de la proposition 3.2 est dû à Saito ([Sai89b], Thm. 8.6).

2) Une conjecture de Tate prédit que l’application

CH^{i}(X) ˆ⊗ℚ_{l} → H^{2i}(X , ℚ_{l}(i))

est surjective (où CH^{i}(X) ˆ⊗ℚ_{l} = CH^{i}(X) ˆ⊗ℤ_{l} ⊗ ℚ_{l}). Mais d’une part très peu de cas de cette conjecture ont été établis pour i > 1. D’autre part, la surjectivité à coefficients ℚ_{l}, pour i > 1, ne semble pas suffisante pour assurer la surjectivité à coefficients ℤ_{l}. Plusieurs personnes ont suggéré, par analogie avec l’exemple de Atiyah-Hirzebruch, que l’application à coefficients ℤ_{l} n’est pas forcément surjective. Cependant, pour les cycles de dimension un, certaines versions entières de la conjecture de Tate ont été récemment discutées par Ch. Schoen [Sch98].

3) Pour i = d + 1, l’application CH^{d+1}(X) ˆ⊗ℤ_{l} → H^{2d+2}(X , ℤ_{l}(d + 1)) est surjective. Par dualité pour la cohomologie étale sur le corps fini 𝔽, ceci résulte du théorème de densité de Tchebotarev (Lang, Serre).

Proposition 3.3. Soient k un corps de nombres, Ω l’ensemble de ses places, et soit X une k-variété projective, lisse et géométriquement intègre. Soit l un nombre premier. Soit J = Pic_{X/k}^{o} (la composante neutre de) la variété de Picard de X. Supposons que la partie l-primaire du groupe de Tate-Shafarevich �(J) = Ker[H^{1}(k, J) → ∏_{v∈Ω} H^{1}(k_{v}, J)] est finie. Alors la conjecture 2 vaut pour i = 1, i.e. pour les cycles de codimension 1 sur X.

La démonstration va occuper la fin du paragraphe. Commençons par quelques préliminaires. Soit \overline{k} une clôture algébrique de k. Soit G = Gal(\overline{k}/k) le groupe de Galois absolu de k. On note H^{1}(k, J) = H^{1}(G, J(\overline{k})) et H^{1}(k_{v}, J) = H^{1}(G_{v}, J(\overline{k}_{v})) où \overline{k}_{v} est une clôture algébrique de k_{v} équipée d’un plongement \overline{k} ↪ \overline{k}_{v} , et G_{v} ⊂ G son groupe de Galois, correspondant à un groupe de décomposition de v dans \overline{k}. On appelle ici module galoisien un groupe abélien discret muni d’une action continue de G. Etant donné un tel module A, on appelle groupe de Tate-Shafarevich de A le groupe

�(A) = Ker[H^{1}(G, A) → ∏_{v∈Ω} H^{1}(G_{v}, A)],

la flèche étant donnée par la restriction usuelle. On sait bien que ce noyau ne dépend pas du choix des groupes de décomposition G_{v}. On vérifie que pour J comme ci-dessus, pour tout groupe de décomposition G_{v} ⊂ G, l’application évidente H^{1}(G_{v}, J(\overline{k})) → H^{1}(G_{v}, J(\overline{k}_{v})) est un isomorphisme. Ainsi �(J) = �(J(\overline{k})). Pour contrôler les phénomènes de torsion 2-primaire, il sera également utile d’introduire la variante

�_{f}(A) = Ker[H^{1}(G, A) → ∏_{v∈Ω_{f}} H^{1}(G_{v}, A)],

où Ω_{f} désigne l’ensemble des places finies de Ω. On a clairement �(A) ⊂ �_{f}(A), le conoyau étant d’exposant 2. Pour J comme ci-dessus et A = J(\overline{k}), et v place archimédienne, le groupe H^{1}(k_{v}, J) est fini ; la finitude de �(J) équivaut donc à celle de �_{f}(J).

Lemme 3.4. Soient A et B deux G-modules galoisiens, et f : A → B un G-homomorphisme dont le noyau et le conoyau sont des groupes d’exposant fini. Alors le groupe �(A) est d’exposant fini si et seulement si le groupe �(B) l’est. Le même énoncé vaut pour �_{f}(A) et �_{f}(B).

Démonstration. Il suffit d’établir l’énoncé lorsque f : A → B est un G-homomorphisme surjectif à noyau d’exposant fini et lorsque f : A → B est un G-homomorphisme injectif à conoyau d’exposant fini. L’énoncé résulte par une chasse au diagramme facile du fait que tous les groupes de cohomologie H^{i}(G, C) et H^{i}(G_{v}, C) pour C module galoisien d’exposant fini sont annulés par l’exposant de C.

Lemme 3.5. Soit k un corps de nombres, et soit X une k-variété projective, lisse et géométriquement intègre. Notons \overline{X} = X ×_{k} \overline{k}. Soit J = Pic_{X/k}^{o} la variété de Picard de X et NS(\overline{X}) le groupe de Néron-Severi, qui est un module galoisien de type fini sur ℤ. Le module galoisien Pic(\overline{X}) est isogène à la somme directe J(\overline{k}) ⊕ NS(\overline{X}).

Démonstration. On a la suite exacte de modules galoisiens :

0 → J(\overline{k}) → Pic(\overline{X}) → NS(\overline{X}) → 0.

Comme le groupe J(\overline{k}) est divisible, il existe un homomorphisme de groupes abéliens s : NS(\overline{X}) → Pic(\overline{X}) qui est une section de la projection Pic(\overline{X}) → NS(\overline{X}). Comme le groupe NS(\overline{X}) est de type fini, cette section est définie sur une extension finie L de k, qu’on peut supposer galoisienne. Soient n son degré et G = Gal(L/k). Soit ensuite σ = ∑_{g∈G} g ∘ s ∘ g^{−1}. L’application σ : NS(\overline{X}) → Pic(\overline{X}) est alors G-équivariante, et la composée de cette application avec la projection Pic(\overline{X}) → NS(\overline{X}) est la multiplication par n. On voit alors aisément que l’application de modules galoisiens

J(\overline{k}) ⊕ NS(\overline{X}) → Pic(\overline{X})

donnée par (α, β) ↦ α + σ(β) a noyau et conoyau finis.

Rappelons qu’étant donnés un groupe abélien A et un nombre premier l, on note T_{l}(A) = \underleftarrow{lim}_{l^{n}}A le module de Tate (dans le sytème projectif, les applications sont données par la multiplication par l). Pour tout groupe abélien A dont le sous-groupe de torsion l-primaire est d’exposant fini, on a T_{l}(A) = 0.

Lemme 3.6. Soient k un corps de nombres, Ω l’ensemble de ses places et Ω_{f} l’ensemble de ses places finies. Soient X une k-variété projective lisse géométriquement intègre et J sa variété de Picard. Supposons que la partie l-primaire du groupe de Tate-Shafarevich �(J) est finie. Alors le noyau de l’application de modules de Tate

T_{l}(Br(X)) → ∏_{v∈Ω_{f}} T_{l}(Br(X_{v}))

est nul.

Démonstration. Soit

K = ρBr(X) = Ker[Br(X) → ∏_{v∈Ω_{f}} Br(X_{v})].

Soit Br_{1}(X) = Ker[Br(X) → Br(\overline{X})], et de même, Br_{1}(X_{v}) = Ker[Br(X_{v}) → Br(\overline{X}_{v})], pour chaque place v de k. Soit

K_{1} = ρBr_{1}(X) = Ker[Br_{1}(X) → ∏_{v∈Ω_{f}} Br_{1}(X_{v})].

L’inclusion K_{1} ⊂ K est clairement une égalité. Par ailleurs, le noyau apparaissant dans l’énoncé s’identifie à T_{l}(K), donc à T_{l}(K_{1}).

On a les suites exactes

0 → Br_{0}(X) → Br_{1}(X) → H^{1}(k, Pic(\overline{X}))

et pour toute place v

0 → Br_{0}(X_{v}) → Br_{1}(X_{v}) → H^{1}(k_{v}, Pic(\overline{X}_{v})).

Ici Br_{0}(X) désigne l’image de Br(k) dans Br_{1}(X), et de même, Br_{0}(X_{v}) désigne l’image de Br(k_{v}) dans Br_{1}(X_{v}). Envoyant la première suite dans le produit des suites pour v ∈ Ω_{f}, et prenant les noyaux, on obtient une suite exacte

0 → ρBr_{0}(X) → ρBr_{1}(X) → ρH^{1}(k, Pic(\overline{X})).

Lorsque X possède un point rationnel, les flèches Br(k) → Br_{0}(X) et Br(k_{v}) → Br_{0}(X_{v}) sont des isomorphismes, et ρBr(k) est fini (d’exposant 2) d’après la théorie du corps de classes. Dans le cas général, on voit que ρBr_{0}(X) est fini et annulé par le double du degré d’un point fermé de X.

Sous l’hypothèse de finitude de la partie l-primaire du groupe de Tate-Shafarevich de J, compte tenu du lemme 3.4, on voit que le groupe ρH^{1}(k, Pic(\overline{X}))\{l\} = �_{f}(Pic(\overline{X}))\{l\} est d’exposant fini. La suite exacte ci-dessus implique alors que ρBr_{1}(X){l} est d’exposant fini, donc aussi K{l} = ρBr(X){l}. Ceci implique T_{l}(K) = 0, ce qui par l’exactitude à gauche du foncteur T_{l} est l’énoncé du lemme.

Après ces préliminaires, nous pouvons maintenant établir la proposition 3.3. Soit {z_{v}}_{v∈Ω} comme dans l’énoncé de la conjecture 2. Soit X /Spec(O) un modèle projectif et lisse au-dessus d’un ouvert non vide du spectre de l’anneau des entiers de k, ouvert où l est inversible. D’après la proposition 3.1, il existe ζ ∈ H^{2}(X , ℤ_{l}(1)) tel que, pour toute place v et tout entier n, l’image de ζ dans H̃^{2}(X_{v}, μ_{l^{n}}) coïncide avec celle de ζ. On a les suites exactes

0 → Pic(X)/l^{n} → H^{2}(X, μ_{l^{n}}) → _{l^{n}}Br(X) → 0

et les suites analogues sur X_{v} pour chaque place v.

Par passage à la limite projective, on obtient la suite exacte

0 → Pic(X) ˆ⊗ℤ_{l} → \underleftarrow{lim}_{n}H^{2}(X, μ_{l^{n}}) → T_{l}(Br(X))

et les suites analogues sur chaque X_{v}. Il est alors clair que l’image de ζ ∈ H^{2}(X , ℤ_{l}(1)) par l’application composée

H^{2}(X , ℤ_{l}(1)) → \underleftarrow{lim}_{n}H^{2}(X, μ_{l^{n}}) → T_{l}(Br(X))

est dans le noyau de l’application

T_{l}(Br(X)) → ∏_{v∈Ω_{f}} T_{l}(Br(X_{v})),

et donc est nulle d’après le lemme ci-dessus. Il existe donc une classe ξ ∈ Pic(X) ˆ⊗ℤ_{l} dont l’image dans H̃^{2}(X_{v}, μ_{l^{n}}) coïncide avec celle de z_{v}, ce pour tout n et toute place v. Ceci établit l’énoncé.

Comme pour toute place v l’application Pic(X_{v})/l^{n} → H^{2}(X_{v}, μ_{l^{n}}) déduite de la suite de Kummer est une injection, on conclut même que l’image de ξ coïncide avec celle de z_{v} dans Pic(X_{v})/l^{n}, pour toute place finie v et tout n.

En dimension un, compte tenu de la remarque 3 du §2, la proposition 3.3 a les corollaires immédiats suivants.

Proposition 3.7. Soient k un corps de nombres et X une courbe projective, lisse et géométriquement intègre. Supposons le groupe de Tate-Shafarevich de la jacobienne de X fini. Supposons qu’il existe sur X une famille {z_{v}}_{v∈Ω} de zéro-cycles locaux de degré un, telle que pour tout A ∈ Br(X) on ait ∑_{v∈Ω} inv_{v}(A(z_{v})) = 0. Alors il existe un zéro-cycle de degré un sur X. En d’autres termes, l’obstruction de Brauer-Manin à l’existence d’un zéro-cycle de degré un sur X est la seule obstruction.

Pour un énoncé d’apparence autre, mais essentiellement équivalent, voir [Sai89b], Cor. (8.5).

Sur une courbe projective et lisse de genre un, tout zéro-cycle de degré un est rationnellement équivalent à un zéro-cycle effectif de degré un, c’est-à-dire à un point rationnel. On a donc l’énoncé suivant (voir [Ma70], §6) :

Proposition 3.8. Soient k un corps de nombres et X une courbe projective, lisse, géométriquement intègre, de genre un. Supposons le groupe de Tate-Shafarevich de la jacobienne de X fini. S’il existe {P_{v}}_{v∈Ω} ∈ ∏_{v∈Ω} X(k_{v}) tel que ∑_{v∈Ω} inv_{v}(A(P_{v})) = 0 pour tout A ∈ Br(X), alors X possède un point k-rationnel. En d’autres termes, l’obstruction de Brauer-Manin à l’existence d’un point rationnel sur X est la seule obstruction.

La proposition 3.3 redonne aussi une partie de la “suite duale” de Cassels-Tate, pour la jacobienne d’une courbe (voir [Ca64], [Ma70], §6 et [Mi86], chap. I, Remark 6.14(b) p. 102). Pour une courbe elliptique, l’énoncé obtenu est le suivant :

Proposition 3.9. Soit E une courbe elliptique sur un corps de nombres k. Le complexe naturel

\underleftarrow{lim}_{n}E(k)/n → ∏_{v∈Ω} E(k_{v})′ → Hom(Br(E), ℚ/ℤ)

est exact. Ici E(k_{v})′ = E(k_{v}) si v est une place non archimédienne, et E(k_{v})′ est le quotient de E(k_{v}) par la composante connexe de l’élément neutre sinon.

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J.-L. Colliot-Thélène,

C.N.R.S.,

URA D0752, Mathématiques,

Bâtiment 425,

Université de Paris-Sud,

F-91405 Orsay

France

e-mail : colliot@math.u-psud.fr