COHOMOLOGIE GALOISIENNE DES CORPS VALUÉS DISCRETS HENSELIENS, d’après K. Kato et S. Bloch

Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE C.N.R.S., U.R.A. 752, Mathématiques, Bâtiment 425, Université de Paris-Sud, F-91405 Orsay FRANCE

Notons K_{r}^{M} (E) le r-ième groupe de Milnor d’un corps E. Dans les articles fondamentaux [9] et [2], Kato et Bloch-Kato (et Gabber) ont établi les deux résultats suivants. (1) Pour un corps F de caractéristique p > 0, le symbole différentiel qui envoie le quotient K_{r}^{M} (F)/p vers le sous–groupe des différentielles absolues Ω_{F}^{r} annulé par l’opérateur d’Artin-Schreier, est un isomorphisme. (2) Pour un corps valué discret hensélien E de caractéristique nulle et de caractéristique résiduelle p > 0, le symbole galoisien induit un isomorphisme entre K_{r}^{M} (E)/p et le r-ième groupe de cohomologie galoisienne de E à coefficients dans les racines p-ièmes de l’unité convenablement tordues. Le résultat et la méthode de Kato et de Bloch-Kato ont joué un rôle important dans beaucoup de développements ultérieurs (théorie du corps de classes supérieur, théorèmes de comparaison en cohomologie p-adique). Les présentes notes de lecture ont été rédigées à l’occasion de cours donnés à Bordeaux et à Trieste en 1997. Après quelques rappels, on détaille la démonstration de la surjectivité du symbole différentiel, puis on décrit les grandes étapes de la démonstration du deuxième énoncé.

1 Différentielles

1.1 Rappels

Soit A→B un homomorphisme d’anneaux commutatifs unitaires. Le module des différentielles de Kähler Ω_{B/A}^{1} est le B-module engendré par les symboles db, b ∈ B, avec les relations suivantes :

(i) d(ab) = adb pour a ∈ A et b ∈ B; (ii) d(a + b) = da + db pour a, b ∈ B; (iii) d(ab) = adb + bda pour a, b ∈ B. Notons que (i) et (ii) impliquent da = d(a · 1) = ad1 = 0 pour tout a ∈ A. Si A = Z, le B-module Ω_{B/Z}^{1} = Ω_{B}^{1} est appelé module des différentielles

absolues de B. Nous nous intéresserons plus bas au cas où B = F est un corps de caractéristique p > 0, dont on note F^{p} le sous-corps formé des puissances p-ièmes. Dans ce cas, Ω_{F}^{1} = Ω_{F/F^{p}}^{1} car d(x^{p}) = 0 pour tout x ∈ F.

On pose Ω_{B/A}^{r} = ⋀^{r} Ω_{B/A}^{1}. Pour tout r ≥ 1, il y a des homomorphismes A-linéaires d : Ω_{B/A}^{r} ⟶ Ω_{B/A}^{r+1}, qui prolongent l’application d : B→Ω_{B/A}^{1}, satisfont d ∘ d = 0 et sont tels que pour ω ∈ Ω^{s} et ω′ ∈ Ω^{r−s} on ait

d(ω ∧ ω′) = d(ω) ∧ ω′ + (−1)^{s}ω ∧ d(ω′).

Les modules de différentielles ont les propriétés suivantes (voir par exemple le chapitre VI de [1]). Soient A et B des k-algèbres (commutatives).

Si A = B_{1} × B_{2} alors Ω_{A/k}^{1} = Ω_{B_{1}/k}^{1} ⊕ Ω_{B_{2}/k}^{1}.

Si A = B_{1} ⊗_{k} B_{2} alors Ω_{A/k}^{1} = (Ω_{B_{1}/k}^{1} ⊗_{B_{1}} A) ⊕ (Ω_{B_{2}/k}^{1} ⊗_{B_{2}} A).

En général, si A → B est un k-homomorphisme de k-algèbres, il existe une suite exacte

B ⊗_{A} Ω_{A/k}^{1} ⟶ Ω_{B/k}^{1} ⟶ Ω_{B/A}^{1} ⟶ 0.

Supposons k noethérien, A et B de type fini sur k et B/A étale, alors

B ⊗_{A} Ω_{A/k}^{1} ⟶^{≃} Ω_{B/k}^{1}.

Lorsque F est une extension finie séparable (comme algèbre) d’un corps E contenant k, on a

F ⊗_{E} Ω_{E/k}^{1} ⟶^{≃} Ω_{F/k}^{1}

et donc pour tout q ≥ 1

F ⊗_{E} Ω_{E/k}^{q} ⟶^{≃} Ω_{F/k}^{q}.

Dans ce cas, il existe un homomorphisme de trace Tr_{F/E} : Ω_{F/k}^{q}→Ω_{E/k}^{q}, défini par le diagramme suivant

Ω_{F/k}^{q} ⟶^{≃}  F ⊗_{E} Ω_{E/k}^{q}
↓ Tr_{F/E}  ↓ Tr_{F/E}
Ω_{E/k}^{q} ⟶^{≃} Ω_{E/k}^{q} = E ⊗_{E} Ω_{E/k}^{q}.

Cet homomorphisme satisfait de façon évidente une formule du produit, et le composé de la restriction Ω_{E/k}^{q}→Ω_{F/k}^{q} avec la trace est la multiplication par le degré [F : K].

Bloch et Kato utilisent aussi une telle trace lorsque F/E est une extension purement inséparable de degré p. La définition est nettement plus élaborée ([2], p. 126).

1.2 Présentation de Ω_{E}^{i} par générateurs et relations

Soit E un anneau commutatif unitaire tel que le groupe additif E^{+} soit engendré par le groupe des unités E^{∗} (c’est le cas pour E un anneau local). On notera simplement Ω_{E}^{i} le module des différentielles absolues Ω_{E/Z}^{i}. Le

E-module Ω_{E}^{1} admet la présentation suivante.

L’application E^{+} × E^{∗} → Ω_{E}^{1} qui envoie (a, b) sur a\frac{db}{b} est clairement bilinéaire. Elle induit donc un homomorphisme E^{+} ⊗Z E^{∗} → Ω_{E}^{1}. Soit J_{1} le sous-groupe additif de E^{+} ⊗Z E^{∗} engendré par les éléments du type

(a + b) ⊗ (a + b) − a ⊗ a − b ⊗ b

avec a, b, a+b ∈ E^{∗}. C’est un E-module pour la multiplication à gauche par E (on a z(x⊗y) = zx⊗y), et J_{1} est dans le noyau de l’homomorphisme ci-dessus. On a donc un homomorphisme induit de E-modules

\begin{aligned}f : & E^{+} ⊗Z E^{∗}/J_{1} & ⟶ & Ω_{E}^{1} \\ & \overline{a ⊗ b} & ↦ & a\frac{db}{b}. \end{aligned}

C’est en fait un isomorphisme, comme on le voit en définissant l’application

Ω_{E}^{1} ⟶^{g} E^{+} ⊗ E^{∗}/J_{1}

qui pour b ∈ E^{∗} et a ∈ E envoie adb sur la classe de ab⊗b (exercice : vérifier que ceci définit bien une (unique) application). Une fois cette application définie, on voit immédiatement qu’elle est inverse de f.

On a de même une présentation par générateurs et relations de Ω_{E}^{r} pour r ≥ 1. Il existe un isomorphisme

E^{+} ⊗ E^{∗} ⊗ ⋯ ⊗ E^{∗}/J_{r} ⟶^{≃} Ω_{E}^{r}

envoyant le générateur a⊗b_{1}⊗⋯⊗b_{r} sur a\frac{db_{1}}{b_{1}} ∧⋯ \frac{db_{r}}{b_{r}}. Ici J_{r} est le sous-groupe du produit tensoriel engendré par les éléments de l’une des formes suivantes :

(i) (∑_{i=1}^{n} a_{i} ⊗ a_{i} − ∑_{j=1}^{m} a′_{j} ⊗ a′_{j}) ⊗ b_{1} ⊗ ⋯ ⊗ b_{r−1} avec a_{i}, a′_{j}, b_{k} ∈ E^{∗} et ∑_{i=1}^{n} a_{i} = ∑_{j=1}^{m} a′_{j} ∈ E;

(ii) a ⊗ b_{1} ⊗ ⋯ ⊗ b_{r} avec b_{i} = b_{j} pour un couple i ≠ j.

Ce sont les relations de Bloch-Kato ([2], Lemme 4.2). Dans Kato [8], II, Lemma 5, p. 616, au lieu de (i) on trouve

{(∑_{i=1}^{n} a_{i}) ⊗ (∑_{i=1}^{n} a_{i}) − ∑_{i=1}^{n} a_{i} ⊗ a_{i}} ⊗ b_{1} ⊗ ⋯ ⊗ b_{r−1}

avec n ≥ 0 et tous les a_{i}, b_{j}, ∑_{i}^{n} a_{i} ∈ E^{∗}.

1.3 Différentielles en caractéristique p > 0 (d’après Cartier)

Soit F un corps de caractéristique p > 0. On note Z_{F}^{r} ⊂ Ω_{F}^{r}, le noyau de la différentielle d : Ω_{F}^{r} → Ω_{F}^{r+1}, et on note B_{F}^{r} ⊂ Z_{F}^{r} l’image de la différentielle d : Ω_{F}^{r−1} → Ω_{F}^{r}.

On a d(α^{p}ω) = α^{p}dω ∈ Ω_{F}^{r+1} pour tout α ∈ F et ω ∈ Ω_{F}^{r} . La multiplication par F^{p} respecte donc les sous-groupes B_{F}^{r} et Z_{F}^{r}, qui sont par ce biais équipés d’une structure de F -vectoriels, puisque l’élévation à la puissance p est un isomorphisme de F sur F^{p}. Un élément x de F satisfait dx = 0 si et seulement si c’est une puissance p-ième. Ces deux derniers énoncés constituent le cas r = 0 du théorème suivant.

Théorème 1.3.1 (Cartier) Soit F un corps de caractéristique p. Pour tout r ≥ 0, il existe un (unique) isomorphisme

γ : Ω_{F}^{r} ≅ Z_{F}^{r} /B_{F}^{r}

envoyant le générateur x\frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dy_{r}}{y_{r}} sur la classe de x^{p} \frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dy_{r}}{y_{r}}.

Pour la démonstration que cette application est un isomorphisme, on renvoie à l’article initial de Cartier [4], qui repose sur l’utilisation de “p-bases” de l’extension purement inséparable F/F^{p}, ou aux versions plus géométriques (les corps sont remplacés par les variétés lisses au-dessus d’un corps parfait de caractéristique p) décrites dans Katz [10] et Illusie [6].

Il y a aussi une version relative du théorème 1.3.1, où E est un sous-corps de F contenant F^{p}. On a alors l’isomorphisme :

γ : Ω_{F/E}^{r} ≅ Z_{F/E}^{r}/B_{F/E}^{r}.

L’inverse de l’isomorphisme γ définit une application C : Z_{F}^{r} → Ω_{F}^{r}; c’est l’application de Cartier. Cette opération satisfait les deux propriétés

C(x^{p} \frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dy_{r}}{y_{r}}) = x\frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dy_{r}}{y_{r}}

et

C(dω) = 0.

Le théorème de Cartier dit par ailleurs que les formes différentielles exactes et les formes du type x^{p} \frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dy_{r}}{y_{r}} engendrent le groupe Z_{F}^{r} des formes différentielles fermées.

Pour des raisons qui échappent au rédacteur, les spécialistes notent C^{−1}, et appellent opération de Cartier inverse, l’application notée γ ci-dessus.

Citons deux cas particuliers célèbres du théorème ci-dessus.

Corollaire 1.3.2 (Cartier [4], Prop. 7 et 8)

(a) Une différentielle ω ∈ Ω_{F}^{1} est logarithmique, i.e. s’écrit sous la forme dx/x pour x convenable dans F^{∗} si et seulement si elle satisfait les deux propriétés suivantes : dω = 0 et C(ω) = ω.

(b) Une différentielle ω ∈ Ω_{F}^{1} est exacte, i.e. s’écrit sous la forme dx pour x convenable dans F si et seulement si elle satisfait les deux propriétés suivantes : elle est fermée, i.e. dω = 0, et C(ω) = 0.

1.4 Le groupe ν(q)_{F}

Pour q ≥ 0 on dispose donc de l’homomorphisme de groupes

\begin{matrix}Ω_{F}^{q} & ⟶^{γ−1} & Ω_{F}^{q} /B_{F}^{q} \\ ω & ↦ & γω − ω (mod B_{F}^{q}) \end{matrix}

qui sur les générateurs se lit

xdy_{1}/y_{1} ∧ ⋯ ∧ dy_{q}/y_{q} ↦ (x^{p} − x)dy_{1}/y_{1} ∧ ⋯ ∧ dy_{q}/y_{q} modulo B_{F}^{q} .

On notera parfois ℘ cet homomorphisme, car c’est une généralisation de l’homomorphisme d’Artin-Schreier ℘ : Ω_{F}^{0} = F → F = Ω_{F}^{0} envoyant x ∈ F sur x^{p}−x.

Définition 1.4.1 (Milne [13], Illusie [6]) Soit F un corps de caractéristique p > 0. On définit le sous-groupe ν(q)_{F} de Ω_{F}^{q} comme le noyau

ν(q)_{F} = Ker [Ω_{F}^{q} ⟶^{γ−1} Ω_{F}^{q} /B_{F}^{q}].

On a le diagramme commutatif de suites exactes :

0  0
↓  ↓
B_{F}^{q} ⟶^{id} B_{F}^{q}
↓  ↓
Z_{F}^{q} ⟶^{1−C} Ω_{F}^{q}
↓ C  ↓
0 ⟶ ν(q)_{F} ⟶ Ω_{F}^{q} ⟶^{γ−1} Ω_{F}^{q} /B_{F}^{q}
↓  ↓
0  0

On voit donc que la flèche C : Z_{F}^{q} → Ω_{F}^{q} induit un isomorphisme entre le groupe

Ker[Z_{F}^{q} ⟶^{1−C} Ω_{F}^{q}]

et le groupe ν(q)_{F}, groupe que l’on trouve parfois défini dans la littérature comme ce second noyau.

Proposition 1.4.2 On a des isomorphismes Z/p ≅ ν(0)_{F} et F^{∗}/F^{∗p} ≅ ν(1)_{F}, ce dernier étant induit par la différentielle logarithmique x ↦ dx/x.

Démonstration Le groupe ν(0)_{F} est le noyau de l’application d’Artin-Schreier ℘ : F → F, qui est clairement isomorphe à Z/p. Pour identifier le groupe ν(1)_{F}, on utilise la seconde présentation mentionnée ci-dessus. Le groupe ν(1)_{F} est isomorphe au noyau de l’application 1−C : Z_{F}^{1} → Ω_{F}^{1} . Par le corollaire 1.3.2 (a), ce groupe est isomorphe au groupe des différentielles logarithmiques dx/x, x ∈ F^{∗}, dans Ω_{F}^{1} . Le noyau de la différentielle logarithmique dlog : F^{∗} → Ω_{F}^{1} est par ailleurs égal à F^{∗p}, ce qui achève la démonstration.

Soit F_{s} une clôture séparable de F. Comme l’application d’Artin-Schreier ℘ : F_{s} → F_{s} envoyant x sur x^{p} − x est séparable, elle est surjective.

Pour tout q, on a donc la suite exacte :

0 ⟶ ν(q)_{F_{s}} ⟶ Ω_{F_{s}}^{q} ⟶^{γ−1} Ω_{F_{s}}^{q}/B_{F_{s}}^{q} ⟶ 0.

Par le même argument que plus haut, on a aussi une suite exacte

0 ⟶ ν(q)_{F_{s}} ⟶ Z_{F_{s}}^{q} ⟶^{1−C} Ω_{F_{s}}^{q} ⟶ 0,

cette dernière étant envoyée dans la première par l’application C sur les termes médians, et la projection sur les termes de droite.

Les modules galoisiens Ω_{F_{s}}^{q}, Z_{F_{s}}^{q}, B_{F_{s}}^{q} sont tous des F_{s}-vectoriels (les deux derniers via l’action de F_{s}^{p}). Leur cohomologie galoisienne est donc nulle en degré au moins 1.

Les suites exactes de cohomologie galoisienne associées à ces deux suites s’écrivent donc simplement :

0 ⟶ ν(q)_{F} ⟶ Ω_{F}^{q} ⟶^{γ−1} Ω_{F}^{q} /B_{F}^{q} ⟶ H^{1}(F, ν(q)_{F_{s}}) ⟶ 0

et

0 ⟶ ν(q)_{F} ⟶ Z_{F}^{q} ⟶^{1−C} Ω_{F}^{q} ⟶ H^{1}(F, ν(q)_{F_{s}}) ⟶ 0,

et l’on a H^{i}(F, ν(q)_{F_{s}}) = 0 pour i ≥ 2.

Examinons les valeurs des groupes de cohomologie pour q = 0, 1 et i = 0, 1. Pour q = 0, la première de ces suites est la suite d’Artin-Schreier, elle donne H^{0}(F, ν(0)_{F_{s}}) = ν(0)_{F} = Z/p et F/℘F = H^{1}(F, ν(0)_{F_{s}}). Comme expliqué plus haut, on a ν(1)_{F_{s}} = F_{s}^{∗}/F_{s}^{∗p}, i.e. on a la suite exacte :

1 ⟶ F_{s}^{∗} ⟶^{x→x^{p}} F_{s}^{∗} ⟶ ν(1)_{F_{s}} ⟶ 1.

On a H^{0}(F, ν(1)_{F_{s}}) = ν(1)_{F} = F^{∗}/F^{∗p}. La suite de cohomologie galoisienne associée donne la suite exacte suivante

0 ⟶ H^{1}(F, ν(1)_{F_{s}}) ⟶ H^{2}(F, F_{s}^{∗}) ⟶^{a↦pa} H^{2}(F, F_{s}^{∗}).

Par définition, H^{2}(F, F_{s}^{∗}) est le groupe de Brauer Br(F), donc H^{1}(F, ν(1)_{F_{s}}) est isomorphe au sous-groupe Br(F)_{p} ⊂ Br(F) formé des éléments de p-torsion.

Sur la base de ces divers calculs, Milne [13] a suggéré de définir les groupes H_{p}^{q}(F) et H_{p}^{q+1}(F) comme suit

H_{p}^{q}(F) := H^{0}(F, ν(q)_{F_{s}}) = ν(q)_{F}

et

H_{p}^{q+1}(F) := H^{1}(F, ν(q)_{F_{s}}),

la notation suggérant que H_{p}^{q}(F), resp. H_{p}^{q+1}(F), jouent le rôle de substituts pour des groupes de “cohomologie plate” H_{plat}^{q}(F, μ_{p}^{⊗q}), resp. H_{plat}^{q+1}(F, μ_{p}^{⊗q}).

Ces groupes jouent un rôle très important dans l’étude de la cohomologie des variétés en caractéristique p, et dans la théorie du corps de classes supérieur de Kato et Saito (voir le rapport de Raskind [15]).

Terminons cette sous-section en observant que l’application trace définie au §1.1 permet de définir une trace dans le présent contexte. Soit F/E une extension finie séparable de corps de caractéristique p > 0. On vérifie que la trace Tr_{F/E} : Ω_{F}^{q} →Ω_{E}^{q} envoie d(Ω_{F}^{q−1}) dans d(Ω_{E}^{q−1}). Le diagramme

Ω_{F}^{q} ⟶^{γ−1} Ω_{F}^{q} /d(Ω_{F}^{q−1})
Tr_{F/E} ↓  ↓ Tr_{F/E}
Ω_{E}^{q} ⟶^{γ−1} Ω_{E}^{q}/d(Ω_{E}^{q−1})

est commutatif : ceci se ramène immédiatement à l’assertion que pour x ∈ F, on a Tr_{F/E}(x^{p}) = (Tr_{F/E}(x))^{p}. La trace induit donc un homomorphisme entre les noyaux des flèches horizontales :

Tr_{F/E} : ν(q)_{F} ⟶ ν(q)_{E},

homomorphisme qui satisfait les propriétés fonctorielles usuelles.

2 K-Théorie de Milnor; symboles galoisiens et différentiels

2.1 K-Théorie de Milnor des corps [14]

Soit K un corps. On pose K_{0}(K) = Z et K_{1}(K) = K^{∗}. Pour n ≥ 2, suivant Milnor [14], on définit le n-ième groupe de Milnor K_{n}^{M}(K) comme étant

K_{n}^{M}(K) = (K^{∗} ⊗Z ⋯ ⊗Z K^{∗})/J

où J est le sous-groupe du produit tensoriel qui est engendré par les éléments x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ x_{n} tels qu’il existe i ≠ j avec x_{i} + x_{j} = 1. Dans la suite on ne considérera pas d’autres groupes de K-théorie que ceux de Milnor et on écrira donc systématiquement K_{n}(K) au lieu de K_{n}^{M}(K). Pour x_{1}, …, x_{n} ∈ K^{∗}, on note {x_{1}, ..., x_{n}} la classe de x_{1} ⊗ ⋯ ⊗ x_{n} dans K_{n}(K). Le produit tensoriel induit une structure d’algèbre sur la somme directe ⊕_{n≥0}K_{n}(K). Dans le groupe abélien K_{n}(K), on a les relations

(i) {x_{1}, ..., x_{n}} = 0 s’il existe i ≠ j avec x_{i} +x_{j} = 1 (relation de Steinberg); (ii) {x_{1}, ..., ab, ..., x_{n}} = {x_{1}, ..., a, ..., x_{n}} + {x_{1}, ..., b, ..., x_{n}}.

Lemme 2.1.1 Soient K un corps et x ∈ K^{∗}. Alors dans K_{2}(K) on a (i) {x, −x} = 0; (ii) {x, y} + {y, x} = 0; (iii) {x, x} = {−1, x}. Démonstration (i) On peut supposer x ≠ −1, 1. On a {1/x+1, −1/x} = 0,

donc

0 = {1/x + 1, −1/x} = −{(1 + x)/x, −x} = −{1 + x, −x} + {x, −x}.

De {1 + x, −x} = 0 on conclut {x, −x} = 0.

(ii) En utilisant (i) on obtient

0 = {xy, −xy} = {x, −x} + {x, y} + {y, x} + {y, −y} = {x, y} + {y, x}.

(iii) En utilisant (ii) on obtient {x, x} = {−1, x} + {−x, x} = {−1, x}.

Le lemme précédent s’étend immédiatement à K_{n}(K) pour n > 2. Pour x ∈ K_{n}(K) et y ∈ K_{m}(K) on a x.y = (−1)^{nm}y.x ∈ K_{n+m}(K).

Exemple 2.1.2 : la K-théorie de Milnor d’un corps fini F_{q}

Par définition K_{0}(F_{q}) = Z et K_{1}(F_{q}) = F_{q}^{∗}. Pour n ≥ 2 on a
K_{n}(F_{q}) = 0, n ≥ 2.

Cette dernière affirmation nous servira au §4.4.2. Démontrons-la. Il suffit de montrer K_{2}(F_{q}) = 0. Le groupe multiplicatif F_{q}^{∗} est cyclique, soit ρ un générateur. Pour x, y ∈ F_{q}^{∗}, on a x = ρ^{i}, y = ρ^{j} pour i, j entiers convenables, et donc {x, y} = {ρ^{i}, ρ^{j}} = ij{ρ, ρ}. Il suffit donc de montrer {ρ, ρ} = 0. D’après le lemme 1 (iii), on a {ρ, ρ} = {ρ, −1}, donc 2{ρ, ρ} = 0. Ainsi 2{x, y} = 0 ∈ K_{2}(F_{q}), et le groupe K_{2}(F_{q}) est annulé par 2. Pour tous a, b ∈ F_{q}^{∗}, l’équation ax^{2} + by^{2} = 1 a une solution non triviale avec x, y ∈ F_{q} (argument de comptage bien connu). En particulier il existe x, y ∈ F_{q} avec ρx^{2} +ρy^{2} = 1. Si xy = 0 alors ρ est un carré dans F_{q} et donc {ρ, ρ} appartient à 2K_{2}(F_{q}) = 0. Supposons xy ≠ 0. De l’équation ρx^{2} + ρy^{2} = 1 il résulte {ρx^{2}, ρy^{2}} = 0 ∈ K_{2}(F_{q}); par multilinéarité, on a {ρ, ρ} ∈ 2K_{2}(F_{q}) = 0.

2.2 Le symbole galoisien [18]

Soient K un corps et n un entier naturel inversible dans K. Soient K_{s} une clôture séparable de K et G_{K} = Gal(K_{s}/K) le groupe de Galois absolu de K. Soit μ_{n} ⊂ K_{s}^{∗} le sous-groupe des racines n-ièmes de l’unité. C’est un G_{K}- module isomorphe à Z/n lorsque l’on oublie l’action galoisienne. Pour tout entier q ≥ 0 on note μ_{n}^{⊗q} le produit tensoriel de q exemplaires de μ_{n} (on a μ_{n}^{⊗0} = Z/q avec action triviale de G_{K}).

La suite exacte de G_{K}-modules (appelée suite de Kummer)

1 ⟶ μ_{n} ⟶ K_{s}^{∗} ⟶^{x↦x^{n}} K_{s}^{∗} ⟶ 1

donne (en passant à la cohomologie) l’isomorphisme

h_{n,K}^{1} : K^{∗}/K^{∗}^{n} ≅ H^{1}(K, μ_{n}).

Pour tout entier q ≥ 0 le cup-produit ∪ permet alors de définir un homomorphisme

(K^{∗}/K^{∗}^{n})^{⊗q} ⟶ (H^{1}(K, μ_{n}))^{⊗q} ⟶^{∪} H^{q}(K, μ_{n}^{⊗q}) .

(Le cas q = 0 correspond à l’isomorphisme évident Z/q = Z/q.)

Définition-Lemme 2.2.1 Cette application induit un homomorphisme

\begin{aligned}h_{n,K}^{q} : & K_{q}(K)/n & ⟶ & H^{q}(K, μ_{n}^{⊗q}) \\ & \{a_{1}, …, a_{q}\} & ⟶ & h_{n}^{1}(a_{1}) ∪ … ∪ h_{n}^{1}(a_{q}) \end{aligned}

qui est appelé symbole galoisien.

Démonstration Il suffit d’établir l’énoncé pour q = 2, et donc de montrer que pour a ≠ 1, 0 dans K^{∗} on a a ∪ (1 − a) = (a, 1 − a) = 0 dans H^{2}(K, μ_{n}^{⊗2}). Le polynôme T^{n} − a est séparable (n est inversible dans K). Soit

T^{n} − a = ∏_{i} f_{i}(T)

sa factorisation en polynômes unitaires irréductibles dans K[T]. Soit K_{i} = K[T]/f_{i}(T) = K(x_{i}) (ici x_{i} est la classe de T dans K_{i}). Soit N_{K_{i}/K} la norme de K_{i} à K. De la décomposition ci-dessus résulte l’égalité

1 − a = ∏_{i} N_{K_{i}/K}(1 − x_{i}) ∈ K.

Dans le groupe H^{2}(K, μ_{n}^{⊗2}), qui est annulé par n, on a alors

\begin{aligned}(a, 1 − a) & = & ∑_{i}(a, N_{K_{i}/K}(1 − x_{i})) \\ & = & ∑_{i} Cor_{K_{i}/K}(a, 1 − x_{i}) & = n ∑_{i} Cor_{K_{i}/K}(x_{i}, 1 − x_{i}) = 0. \end{aligned}

La seconde égalité provient de la formule du produit en cohomologie galoisienne, la troisième de l’égalité a = x_{i}^{n} ∈ K_{i}.

Conjecture 2.2.2 (Bloch-Kato) Soient K un corps, n un entier inversible dans K et q ≥ 1 un entier. Le symbole galoisien h_{n,K}^{q} est un isomorphisme.

En Mai 1998, cette conjecture est connue dans les cas suivants.

(i) q = 0 et n est quelconque (c’est clair) et q = 1 et n est quelconque (isomorphisme de la théorie de Kummer).

(ii) q = 2 et n est quelconque. C’est un célèbre théorème de Merkur’ev et Suslin [12].

(iii) q = 3 et n est une puissance de 2. C’est un théorème démontré par Merkur’ev et Suslin, et, indépendamment, par M. Rost.

(iv) q = 4 et n est une puissance de 2. Cela a été établi par M. Rost il y a quelques années.

(v) q est quelconque et n est une puissance de 2. C’est l’un des principaux résultats annoncés par V. Voevodsky en 1996. Une très grande partie des (nombreux) textes qui concourent à ce résultat est disponible. On se reportera à l’exposé de Bruno Kahn [7] au séminaire Bourbaki.

(vi) K, de caractéristique 0, est le corps des fractions d’un anneau de valuation discrète hensélien, de corps résiduel un corps F de caractéristique p > 0, l’entier q est quelconque et n est une puissance de p. C’est le théorème de Kato et Bloch qui fait l’objet du §4.

Remarques onomastiques Dans [9] et [2], h_{n}^{q} est appelé le symbole cohomologique. Dans [15] il est appelé symbole galoisien. Dans [8], I, il est appelé symbole galoisien de Tate (“Tate’s Galois symbol”) (cas q = 2) et dans [7], “pour des raisons historiques”, h_{n}^{q} est appelé homomorphisme de résidu normique. La conjecture ci-dessus a porté des noms divers (en particulier celui de Milnor). Bloch et Kato ont tous deux établi des cas particuliers intéressants de la conjecture.

2.3 Le symbole différentiel

Soit k un corps. Pour tout q ≥ 1 il existe un homomorphisme

\begin{matrix}K_{q}(k) & ⟶ & Ω_{k}^{q} \\ \{x_{1}, ⋯, x_{q}\} & ↦ & \frac{dx_{1}}{x_{1}} ∧ ⋯ \frac{dx_{q}}{x_{q}} \end{matrix}

(la notation signifie : un générateur \{x_{1}, ⋯, x_{q}\} est envoyé sur \frac{dx_{1}}{x_{1}} ∧ ⋯ \frac{dx_{q}}{x_{q}}.) Cet homomorphisme étend la différentielle logarithmique dlog : k^{∗}→Ω_{k}^{1} envoyant x ∈ k^{∗} sur \frac{dx}{x}. Cela résulte des faits suivants : d’une part la formule d(ab) = adb + bda implique \frac{d(ab)}{ab} = \frac{da}{a} + \frac{db}{b}, d’où la multilinéarité, d’autre part a + b = 1 implique da + db = 0, et donc \frac{da}{a} ∧ \frac{db}{b} = 0, d’où la relation de Steinberg.

Supposons k de caractéristique p > 0. Notons k_{q}(k) = K_{q}(k)/pK_{q}(k). On obtient alors un homomorphisme

k_{q}(k) → Ω_{k}^{q}

dont l’image tombe trivialement dans le sous-groupe ν(q)_{k} ⊂ Ω_{k}^{q}. On note

h_{p}^{q} : k_{q}(k) → ν(q)_{k},

et on appelle symbole différentiel cet homomorphisme.

Soit E/k une extension finie séparable. On dispose d’applications traces ν_{q}(E)→ν_{q}(k) (fin du §1.4) et k_{q}(E)→k_{q}(k). Pour la définition de la trace (ou norme) en K-théorie de Milnor, voir [3], Chap. I, §5, et [8], II, §1.7. Ces applications sont compatibles au symbole différentiel. Pour le voir, comme l’application de restriction Ω_{k}^{q}→Ω_{F}^{q} est injective si F/k est une extension séparable de corps, on peut supposer que k est séparablement clos. La trace se lit alors comme une somme, et le résultat est clair.

2.4 Le symbole modéré

Soit K un corps équipé d’une valuation discrète v : K^{∗}→Z , soit R l’anneau de cette valuation et soit F son corps résiduel. Pour tout entier q ≥ 1, il existe un unique homomorphisme

r_{q} : K_{q}(K) ⟶ K_{q−1}(F)

satisfaisant la propriété suivante. Soient x_{1} ∈ K^{∗} et x_{2}, …, x_{q} ∈ R^{∗}. Alors

r_{q}(\{x_{1}, …, x_{q}\}) = v(x_{1})\{\overline{x_{2}}, …, \overline{x_{q}}\} ∈ K_{q−1}(F).

Le lecteur se reportera à [14] et [3].

3 Surjectivité du symbole différentiel

Théorème 3.0 (Kato, Bloch-Kato, Gabber) Soient k un corps de caractéristique p > 0 et k_{q}(k) = K_{q}(k)/p. Pour tout entier q ≥ 0, le symbole différentiel

h_{p}^{q} : k_{q}(k) → ν(q)_{k}

est un isomorphisme.

Pour q = 0, 1, c’est précisément le contenu de la proposition 1.3.1 ci-dessus. Du point de vue du groupe H_{p}^{q}(F) introduit à la fin du §1.4, le théorème 3.0 est l’analogue de la conjecture de Bloch-Kato.

La surjectivité est établie par Kato dans [9], l’injectivité (due indépendamment à O. Gabber) est établie dans [2]. Je me contenterai ici de détailler les pages 221 à 223 de [9], qui établissent la surjectivité de h_{p}^{q}.

Soit k comme ci-dessus et soit F ⊂ k un sous-corps contenant k^{p}. Supposons k/F de degré fini, soit p^{n} ce degré. Soit {b_{1}, …, b_{n}} une p-base de k sur F. Pour toute application ϑ : {1, …, n}→{0, 1, …, p − 1}, notons b^{ϑ} = b_{1}^{ϑ(1)} ⋯ b_{n}^{ϑ(n)}. On a donc k = ⨁_{ϑ} F b^{ϑ}.

On a

Ω_{k/F}^{1} = k \frac{db_{1}}{b_{1}} ⊕ ⋯ ⊕ k \frac{db_{n}}{b_{n}} .

Soit q un entier, q ≥ 1. Soit S_{q} l’ensemble des fonctions strictement croissantes de {1, …, q} dans {1, …, n}. Pour s ∈ S_{q}, notons

w_{s} = \frac{db_{s(1)}}{b_{s(1)}} ∧ ⋯ ∧ \frac{db_{s(q)}}{b_{s(q)}} ∈ Ω_{k/F}^{q} .

On a

Ω_{k/F}^{q} = ⨁_{s∈S_{q}} kw_{s}.

Pour ϑ comme ci-dessus on définit le F -espace vectoriel

Ω_{k/F}^{q} (ϑ) = ⨁_{s∈S_{q}} F b^{ϑ}w_{s} ⊂ Ω_{k/F}^{q} .

On a alors

Ω_{k/F}^{q} = ⨁_{ϑ} Ω_{k/F}^{q} (ϑ).

On munit S_{q} de l’ordre lexicographique, i.e. pour s, t ∈ S_{q} on écrit t < s si et seulement s’il existe m dans {1, …, q} tel que t(i) = s(i) pour tout i < m, et t(m) < s(m). On note

Ω_{k/F,<s}^{q} = ⨁_{t<s} k · w_{t},

le sous-k-espace vectoriel de Ω_{k/F}^{q} engendré par les w_{t} avec t < s.

La F -différentielle d : k→Ω_{k/F}^{1} induit des différentielles d : Ω_{k/F}^{q} →Ω_{k/F}^{q+1} pour tout q ≥ 1.

Lemme 3.1 (i) On a d(Ω_{k/F}^{q} (0)) = 0 et d(Ω_{k/F}^{q} (ϑ)) ⊂ Ω_{k/F}^{q+1}(ϑ) pour tous q et ϑ.

(ii) Pour ϑ ≠ 0, on a une suite exacte de F -vectoriels :

0 ⟶ F b^{ϑ} →^{d} Ω_{k/F}^{1} (ϑ) →^{d} Ω_{k/F}^{2} (ϑ) ⟶ ⋯ ⟶ Ω_{k/F}^{n} (ϑ) ⟶ 0.

Démonstration On calcule

d(b^{ϑ}) = b^{ϑ} ∑_{i=1}^{n} ϑ(i)\frac{db_{i}}{b_{i}} =: ν(ϑ).

On a d(w_{s}) = 0, et donc d(b^{ϑ}w_{s}) = ν(ϑ) ∧ w_{s} pour tout w_{s}. Ceci établit le (i).

Soit ϑ ≠ 0. Alors ν(ϑ) = b^{ϑ} ∑_{i=1}^{n} ϑ(i)\frac{db_{i}}{b_{i}} ≠ 0 ∈ Ω_{k/F}^{1} (0). Compte tenu de la formule ci-dessus, le complexe de F -vectoriels de dimension finie

0 ⟶ F ⟶^{∧ν(ϑ)} Ω_{k}^{1}(0) ⟶^{∧ν(ϑ)} ⋯ ⟶^{∧ν(ϑ)} Ω_{k}^{n}(0) ⟶ 0

s’identifie par multiplication par b^{ϑ} au complexe de l’énoncé. De ν(ϑ) ≠ 0 on conclut que le complexe ci-dessus est exact, donc aussi celui de (ii).

Lemme 3.2 Soit k un corps de caractéristique p. Supposons que k n’a pas d’extension de degré premier à p. Soit E = k(b), avec b^{p} ∈ k mais b ∉ k. Soit g : E→k une application k-linéaire. Alors il existe c ∈ E^{∗} avec g(c^{i}) = 0 pour i = 1, …, p − 1.

Le E-vectoriel Ω_{E/k}^{1} est de dimension 1, on a Ω_{E/k}^{1} = E \frac{db}{b}. Commençons par établir deux lemmes auxiliaires.

Lemme 3.2.1 Soit E/k comme dans le lemme 3.2. Alors tout élément de Ω_{E/k}^{1} qui n’est pas dans dE s’écrit udy/y avec u ∈ k et y ∈ E^{∗}, y ∉ k.

Démonstration Soit w = a\frac{db}{b} ∉ dE, avec a ∈ E. Le k-vectoriel Ω_{E/k}^{1}/dE est de dimension 1, donc la classe de w en est un générateur. En particulier il existe ρ ∈ k^{∗} avec

a^{p} \frac{db}{b} = ρa\frac{db}{b} ∈ Ω_{E/k}^{1}/dE.

Comme k n’a pas d’extension de degré premier à p, tout élément de k est une puissance (p − 1)-ième. Soit ρ = u^{p−1} avec u ∈ k^{∗}. Alors

a^{p} \frac{db}{b} − au^{p−1} \frac{db}{b} ∈ dE ⊂ Ω_{E/k}^{1},

donc

(a/u)^{p} \frac{db}{b} − (a/u)\frac{db}{b} ∈ dE ⊂ Ω_{E/k}^{1}.

Mais d’après le théorème de Cartier (version relative), on a la suite exacte

E^{∗} ⟶^{x→dx/x} Ω_{E/k}^{1} ⟶^{γ−1} Ω_{E/k}^{1}/dE

Ainsi il existe y ∈ E^{∗} tel que \frac{dy}{y} = (a/u)\frac{db}{b} ∈ Ω_{E/k}^{1}, et donc a\frac{db}{b} = u\frac{dy}{y} avec u ∈ k^{∗} et y ∈ E^{∗}. Comme w ≠ 0, on a y ∉ k.

Lemme 3.2.2 Soit K/k une extension finie de corps. Si V_{1} ⊂ K et V_{2} ⊂ K sont deux k-sous-espaces vectoriels de codimension 1 alors il existe α ∈ K^{∗} tel que αV_{1} = V_{2}.

Démonstration C’est clair en passant aux k-vectoriels duaux.

Démonstration du lemme 3.2 On peut supposer g(1) ≠ 0 (sinon on prend c = 1). Fixons un isomorphisme entre les E-vectoriels Ω_{E/k}^{1} et E, par exemple celui donné par Ω_{E/k}^{1} = Ev avec v = \frac{db}{b}. L’application k-linéaire surjective g : E→k induit alors une application k-linéaire surjective g_{1} : Ω_{E/k}^{1}→k. Le sous-k-vectoriel dE ⊂ Ω_{E/k}^{1} est de codimension un. Par le lemme 3.2.2, il existe α ∈ E^{∗} tel que α.Ker(g_{1}) = dE ⊂ Ω_{E/k}^{1}. Pour x ∈ E, on a donc les équivalences

g(x) = 0 ⇔ g_{1}(xv) = 0 ⇔ αxv ∈ dE ⊂ Ω_{E/k}^{1} ⇔ x(αv) ∈ dE ⊂ Ω_{E/k}^{1}.

De g(1) ≠ 0 et des équivalences ci-dessus on conclut αv ∉ dE. Par le lemme 3.2.1, il existe donc u ∈ k^{∗} et y ∈ E^{∗}, y ∉ k, tels que αv = udy/y. On a donc

g(x) = 0 ⇔ xudy/y ∈ dE ⇔ xdy/y ∈ dE,

cette dernière équivalence provenant de u ∈ k^{∗}. Pour tout i = 1, …, p − 1, on a y^{i}dy/y ∈ dE, comme on vérifie aisément. L’élément c = y convient.

Proposition 3.3 Soient k un corps de caractéristique p et F = k^{p}. Supposons que k n’admet pas d’extension de degré premier à p, et que l’extension k/F est finie. Soit b_{1}, …, b_{n} une p-base de k/F. Soit s ∈ S_{q} (notations comme au début du paragraphe). Soient a ∈ k et w_{s} comme au début du paragraphe. Supposons

(3.1)  (a^{p} − a)w_{s} ∈ Ω_{k,<s}^{q} + d(Ω_{k}^{q−1}).

Alors on peut écrire

aw_{s} = v + \frac{dx_{1}}{x_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dx_{q}}{x_{q}}

avec v ∈ Ω_{k,<s}^{q} et x_{1}, …, x_{q} ∈ k^{∗} convenables.

Démonstration Définissons les corps k_{0}, k_{1} et k_{2} par :

k_{0} = F (b_{j} : j < s(1)); k_{1} = k_{0}(b_{s(1)}); k_{2} = k_{0}(b_{s(1)}, b_{s(1)+1}, …, b_{s(q)}).

On a [k_{2} : k_{0}] = p^{r}, où r désigne le nombre d’entiers j avec s(1) ≤ j ≤ s(q).

Notons m(1), …, m(r − q) les entiers dans l’intervalle {s(1), …, s(q)} qui ne sont pas de la forme s(j). Soit

w_{m} = \frac{db_{m(1)}}{b_{m(1)}} ∧ ⋯ ∧ \frac{db_{m(r−q)}}{b_{m(r−q)}} ∈ Ω_{k}^{r−q}

et soit w_{max} = w_{m} ∧ w_{s} (si r = q, alors w_{m} = 1 ∈ k et w_{max} = w_{s}.)

On passera d’hypothèses concernant Ω_{k}^{q} à des hypothèses sur Ω_{k/k_{0}}^{q}. On a la projection naturelle k-linéaire Ω_{k}^{q}→Ω_{k/k_{0}}^{q}, qui est compatible avec les différentielles. On s’autorisera donc à noter toutes les différentielles par d. Notons que pour toute chaîne d’extensions k^{p} ⊂ K ⊂ L ⊂ M ⊂ k, et tout entier naturel q ≥ 0, on a des inclusions Ω_{L/K}^{q} ⊂ Ω_{M/K}^{q}, respectant les différentielles, et que Ω_{L/K}^{q+1} ∩ d(Ω_{M/K}^{q}) = d(Ω_{L/K}^{q}).

Remarque 3.4 Le noyau de la projection Ω_{k}^{q}→Ω_{k/k_{0}}^{q} est le k-vectoriel de

base les éléments de la forme \frac{db_{r(1)}}{b_{r(1)}} ∧ … ∧ \frac{db_{r(q)}}{b_{r(q)}} avec r strictement croissante et r(1) < s(1). En particulier ce noyau est contenu dans Ω_{k,<s}^{q}.

Montrons d’abord :

(3.2) Sous l’hypothèse de la proposition, a est dans k_{2}.

Appliquons en effet d à l’équation (3.1). On trouve da ∧ w_{s} ∈ d(Ω_{k,<s}^{q}). On vérifie aisément que w_{m} ∧ d(Ω_{k,<s}^{q}) ⊂ Ω_{k}^{r} a une image nulle dans Ω_{k/k_{0}}^{r}. Ainsi da ∧ w_{max} = 0 ∈ Ω_{k/k_{0}}^{r}. Mais alors a ∈ k_{2}, sinon b_{s(1)}, …, b_{s(q)}, a serait une partie d’une p-base de k sur k_{0}, et on aurait da ∧ w_{max} ≠ 0.

On a donc

(3.3)  aw_{s} ∈ Ω_{k_{2}/k_{0}}^{q}.

L’hypothèse (3.1) et la décomposition de Ω_{k/k_{0}}^{q} (voir le lemme 3.1 et les préliminaires) impliquent

(3.4)  (a^{p} − a)w_{s} = ω + dω_{1}, avec ω ∈ Ω_{k_{2}/k_{0},<s}^{q}, ω_{1} ∈ Ω_{k_{2}/k_{0}}^{q−1}.

Multiplions cette dernière égalité par w_{m}. On a

(a^{p} − a)w_{s} ∧ w_{m} = ω ∧ w_{m} + dω_{1} ∧ w_{m} = d(ω_{1} ∧ w_{m}) ∈ Ω_{k_{2}/k_{0}}^{r},

la dernière égalité utilisant ω ∧ w_{m} = 0 ∈ Ω_{k_{2}/k_{0}}^{r}. On a donc

(3.5)  (a^{p} − a)w_{max} ∈ d(Ω_{k_{2}/k_{0}}^{r−1}) ⊂ Ω_{k_{2}/k_{0}}^{r}.

Etablissons alors l’énoncé de la proposition lorsque q = 1. Dans ce cas s s’identifie à un élément s ∈ 1, …, n, et r = q = 1. On a k_{0} = F (b_{1}, …, b_{s−1}), et k_{1} = k_{0}(b_{s}) = k_{2}. D’après (3.2) et (3.4), on a (a^{p} − a)\frac{db_{s}}{b_{s}} ∈ d(k_{2}). D’après le théorème de Cartier (relatif), ceci implique l’existence de x ∈ k_{2} tel que a\frac{db_{s}}{b_{s}} = \frac{du}{u} ∈ Ω_{k_{2}/k_{0}}^{1}. D’après la Remarque 3.4 ceci implique a\frac{db_{s}}{b_{s}} ∈ Ω_{k_{2}/F,<s}^{1}, et donc a\frac{db_{s}}{b_{s}} ∈ Ω_{k,<s}^{1}. On va démontrer l’énoncé de la proposition par récurrence sur q. On supposera désormais q ≥ 2.

Montrons :

(3.6) Il existe c ∈ k_{1}, c ∉ k_{0} (donc k_{1} = k_{0}(c)), tel que l’on ait

c^{i}aw_{s} ∧ w_{m} ∈ d(Ω_{k_{2}/k_{0}}^{r−1})

pour tout i = 1, …, p − 1.

Démonstration Considérons l’application k_{0}-linéaire composée

k_{1}aw_{max} ⊂ Ω_{k_{2}/k_{0}}^{r} \underrightarrow{proj} Ω_{k_{2}/k_{0}}^{r}/dΩ_{k_{2}/k_{0}}^{r−1}.

L’espace Ω_{k_{2}/k_{0}}^{r}/dΩ_{k_{2}/k_{0}}^{r−1} est un k_{0}-espace vectoriel de dimension 1 engendré par w_{max}. L’application composée ci-dessus définit donc une application k_{0}- linéaire g : k_{1} → k_{0} à laquelle on peut appliquer le lemme 3.2 (observer d’une part que [k_{1} : k_{0}] = p, d’autre part que l’hypothèse que k n’a pas d’extension de degré premier à p implique le même énoncé pour toute extension algébrique de F = k^{p}, en particulier pour k_{0}. Il existe donc c ∈ k_{1}^{∗} tel que c^{i}aw_{max} ∈ dΩ_{k_{2}/k_{0}}^{r−1} pour i = 1, …, p − 1. Si l’on avait c ∈ k_{0}, de caw_{max} ∈ dΩ_{k_{2}/k_{0}}^{r−1} il résulterait aw_{max} ∈ dΩ_{k_{2}/k_{0}}^{r−1} ce qui compte tenu de (3.5) impliquerait a^{p}w_{max} ∈ dΩ_{k_{2}/k_{0}}^{r−1} et donc w_{max} ∈ dΩ_{k_{2}/k_{0}}^{r−1}, ce qui est absurde, cet élément étant précisément le générateur de Ω_{k_{2}/k_{0}}^{r}/dΩ_{k_{2}/k_{0}}^{r−1}.

On a k_{1} = k_{0}(c). Définissons s′ ∈ S_{q−1} par s′(i) = s(i + 1) pour i ≤ q − 1. L’élément aw_{s} s’écrit

aw_{s} = a\frac{db_{s(1)}}{b_{s(1)}} ∧ w_{s′} ∈ Ω_{k_{2}/k_{0}}^{q}.

Écrivons b_{s(1)} comme un polynôme en c à coefficients dans k_{0}. Alors db_{s(1)}/b_{s(1)} = ρdc/c avec ρ ∈ k_{1}^{∗} et donc

(3.7)  aw_{s} = a′ \frac{dc}{c} ∧ w_{s′} ∈ Ω_{k_{2}/k_{0}}^{q}

avec a′ = aρ ∈ k_{2}.

On dispose donc de la p-base c, b_{i}, avec s(1) < i ≤ s(q) de k_{2} sur k_{0}, et de l’application ϑ correspondante. Sauf mention du contraire, c’est maintenant à cette p-base que nous nous référons. Soit V ⊂ k_{2} le k_{1}-sous-espace vectoriel de k_{2} de base les éléments ∏_{s(1)<i≤s(q)} b_{i}^{ϑ(i)} avec ϑ ≠ 0. Alors k_{2} = k_{1} ⊕ V.

De (3.6) et (3.7) on déduit

(3.8)  c^{i}a′ \frac{dc}{c} ∧ w_{s′} ∧ w_{m} ∈ d(Ω_{k_{2}/k_{0}}^{r−1}),

pour tout i = 1, …, p − 1.

D’après le lemme 3.1, pour tout i avec 1 ≤ i ≤ p − 1 l’élément (3.8) a une composante nulle dans Ω_{k_{2}/k_{0}}^{r}(0) (ici la parenthèse (0) se réfère à la p-base {c, b_{s(1)+1} …, b_{s(q)}}). Soit

a′ = α_{0} + α_{1}c + … + α_{p−1}c^{p−1} + a′_{1}

la décomposition de a′ ∈ k_{2}, avec les α_{j} ∈ k_{0} et a′_{1} ∈ V. Par multiplication par c^{i}, on obtient

a′c^{i} = α_{0}c^{i} + α_{1}c^{i+1} + … + α_{p−1}c^{i+p−1} + a′_{1}c^{i}.

De (3.8) on déduit donc α_{p−i} = 0 pour i = 1, …, p − 1. Ainsi :

(3.9) On a a′ = a′_{0} + a′_{1} avec a′_{0} ∈ k_{0} et a′_{1} ∈ V.

Dans Ω_{k_{2}/k_{0}}^{q}, appliquons γ − 1 : Ω_{k_{2}/k_{0}}^{q} → Ω_{k_{2}/k_{0}}^{q}/d(Ω_{k_{2}/k_{0}}^{q−1}) à (3.7). On obtient

(a^{p} − a)w_{s} = (a′^{p} − a′)\frac{dc}{c} ∧ w_{s′} ∈ Ω_{k_{2}/k_{0}}^{q} mod d(Ω_{k_{2}/k_{0}}^{q−1}).

D’après (3.4), on a donc

(3.10)  (a′^{p} − a′)\frac{dc}{c} ∧ w_{s′} ∈ Ω_{k_{2}/k_{0},<s}^{q} + d(Ω_{k_{2}/k_{0}}^{q−1}) ⊂ Ω_{k_{2}/k_{0}}^{q}.

Par multiplication par w_{m}, on obtient

(a′^{p} − a′)\frac{dc}{c} ∧ w_{s′} ∧ w_{m} ∈ d(Ω_{k_{2}/k_{0}}^{r−1}) ⊂ Ω_{k_{2}/k_{0}}^{q}.

En effet w_{m} ∧ Ω_{k_{2}/k_{0},<s}^{q} = 0, comme on vérifie aisément.

La composante de (a′^{p} − a′)\frac{dc}{c} ∧ w_{s′} ∧ w_{m} dans Ω_{k_{2}/k_{0}}^{r}(0) est

(a′^{p} − a′_{0})\frac{dc}{c} ∧ w_{s′} ∧ w_{m},

avec a′_{0} comme en (3.9). D’après le lemme 3.1, on a d(Ω_{k_{2}/k_{0}}^{r−1}) ∩ Ω_{k_{2}/k_{0}}^{r}(0) = 0. Comme \frac{dc}{c} ∧w_{s′} ∧w_{m} est un générateur du k_{2}-vectoriel de dimension un Ω_{k_{2}/k_{0}}^{r}, on conclut a′^{p} − a′_{0} = 0 et donc, via (3.9) :

(3.11)  a′^{p} − a′ = −a′_{1}.

De (3.10) et (3.11) on déduit

a′_{1} \frac{dc}{c} ∧ w_{s′} ∈ Ω_{k_{2}/k_{0},<s}^{q} + d(Ω_{k_{2}/k_{0}}^{q−1}) ⊂ Ω_{k_{2}/k_{0}}^{q},

d’où l’on tire

d(a′_{1}w_{s′}) ∧ \frac{dc}{c} ∈ d(Ω_{k_{2}/k_{0},<s}^{q}).

Comme on a \frac{dc}{c} = ρ\frac{db_{s(1)}}{b_{s(1}} , avec ρ ∈ k_{1} ⊂ k_{2}, on a

Ω_{k_{2}/k_{0},<s}^{q} ⊂ Ω_{k_{2}/k_{0},<s′}^{q−1} ∧ \frac{dc}{c}.

Ainsi il existe ω ∈ Ω_{k_{2}/k_{0},<s′}^{q−1} tel que d(a′_{1}w_{s′}) ∧ \frac{dc}{c} = d(ω) ∧ \frac{dc}{c} soit

d(a′_{1}w_{s′} − ω) ∧ \frac{dc}{c} = 0 ∈ Ω_{k_{2}/k_{0}}^{q}.

Ceci implique

d(a′_{1}w_{s′} − ω) = \frac{dc}{c} ∧ ω_{1} ∈ Ω_{k_{2}/k_{0}}^{q}

pour ω_{1} ∈ Ω_{k_{2}/k_{0}}^{q−1} convenable. Ainsi

(3.12)  d(a′_{1}w_{s′} − ω) = 0 ∈ Ω_{k_{2}/k_{1}}^{q}

(rappelons k_{1} = k(c)). Considérons la décomposition (lemme 3.1) de Ω_{k_{2}/k_{1}}^{q} associée à la p-base b_{i}, s(1) < i ≤ s(q) (soit encore b_{i}, s′(1) ≤ i ≤ s′(q − 1)). Vu le lemme 3.1, on peut supposer dans (3.12) que ω, vu comme élément de Ω_{k_{2}/k_{1}}^{q−1}, a une composante nulle dans Ω_{k_{2}/k_{1}}^{q−1}(0). C’est par ailleurs le cas de a′_{1}w_{s′} d’après (3.9). Il résulte alors du lemme 3.1 (ii) que l’on a

a′_{1}w_{s′} − ω ∈ d(Ω_{k_{2}/k_{1}}^{q−2}) ⊂ Ω_{k_{2}/k_{1}}^{q−1}.

Mais de ω ∈ Ω_{k_{2}/k_{0},<s′}^{q−1} résulte ω ∈ Ω_{k_{2}/k_{1},<s′}^{q−1}. Ainsi

a′_{1}w_{s′} ∈ Ω_{k_{2}/k_{1},<s′}^{q−1} + d(Ω_{k_{2}/k_{1}}^{q−2}) ⊂ Ω_{k_{2}/k_{1}}^{q−1},

soit encore, vu (3.11) :

(a′^{p} − a′)w_{s′} ∈ Ω_{k_{2}/k_{1},<s′}^{q−1} + d(Ω_{k_{2}/k_{1}}^{q−2}) ⊂ Ω_{k_{2}/k_{1}}^{q−1}.

Ceci implique

(a′^{p} − a′)w_{s′} ∈ Ω_{k/k_{1},<s′}^{q−1} + d(Ω_{k/k_{1}}^{q−2}) ⊂ Ω_{k}^{q−1}

et, comme le noyau de la projection Ω_{k}^{r}→Ω_{k/k_{1}}^{r} est contenu dans Ω_{k,<s′}^{r} pour tout r,

(a′^{p} − a′)w_{s′} ∈ Ω_{k,<s′}^{q−1} + d(Ω_{k}^{q−2}) ⊂ Ω_{k}^{q−1}.

Par l’hypothèse de récurrence, on a

a′w_{s′} = v′ + \frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧ … ∧ \frac{dy_{q−1}}{y_{q−1}} ∈ Ω_{k}^{q−1}

pour v′ ∈ Ω_{k,<s′}^{q−1} et y_{i} ∈ k^{∗} (i = 1, …, q − 1) convenables. On a

aw_{s} = a′ \frac{dc}{c} ∧ w_{s′} ∈ Ω_{k/k_{0}}^{q}

d’après (3.7) et donc

aw_{s} = a′ \frac{dc}{c} ∧ w_{s′} mod Ω_{k,<s}^{q}

dans Ω_{k}^{q}, puisque le noyau de de la projection Ω_{k}^{q}→Ω_{k/k_{0}}^{q} est contenu dans Ω_{k,<s}^{q}. Ainsi,

aw_{s} = \frac{dc}{c} ∧ (a′w_{s′}) = \frac{dc}{c} ∧ v′ + \frac{dc}{c} ∧ \frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧ … ∧ \frac{dy_{q−1}}{y_{q−1}} mod Ω_{k,<s}^{q}

dans Ω_{k}^{q}. On a \frac{dc}{c} ∧ v′ ∈ Ω_{k,<s}^{q}, ce qui achève la démonstration.

Théorème 3.5 Soit k un corps de caractéristique p > 0. Pour tout q > 0, le symbole différentiel h_{p}^{q} : k_{q}(k)→ν(q)_{k} est surjectif : le groupe ν(q)_{k} ⊂ Ω_{k}^{q} est engendré par les éléments de la forme dx_{1}/x_{1} ∧ ⋯ ∧ dx_{q}/x_{q}.

Démonstration (1) Supposons d’abord que le corps k n’a pas d’extension de degré premier à p, et que l’extension de corps k/k^{p} est finie. Reprenons les notations de la proposition. En particulier, S_{q} est totalement ordonné par l’ordre lexicographique. Pour tout s ∈ S_{q}, l’application

γ − 1 : Ω_{k}^{q} → Ω_{k}^{q}/d(Ω_{k}^{q−1})

envoie Ω_{k,s}^{q} dans la projection de Ω_{k,s}^{q} dans Ω_{k}^{q}/d(Ω_{k}^{q−1}). Soit ω dans le noyau de γ −1. Si z n’est pas une somme de termes de la forme \frac{dx_{1}}{x_{1}} ∧…∧ \frac{dx_{q}}{x_{q}}, alors il existe un plus petit s ∈ S_{q} tel que ω s’écrive aw_{s}+ω′+η avec a ∈ k^{∗}, ω′ ∈ Ω_{k,<s}^{q} et η une somme de termes de la forme \frac{dx_{1}}{x_{1}} ∧…∧ \frac{dx_{q}}{x_{q}}. Par application de γ −1,

on obtient (a^{p} − a)w_{s} ∈ Ω_{k,<s}^{q} + d(Ω_{k}^{q−1}). La proposition 3.3 assure alors aw_{s} = v + \frac{dx_{1}}{x_{1}} ∧ … ∧ \frac{dx_{q}}{x_{q}} avec v ∈ Ω_{k,<s}^{q} et x_{1}, …, x_{q} convenables, ce qui est une contradiction.

(2) Soit maintenant k un corps de caractéristique p quelconque. Le corps k est la réunion de ses sous-corps F qui sont de type fini sur F_{p}. Ainsi Ω_{k}^{q} est la limite inductive des Ω_{F}^{q} pour de tels F et ν(q)_{k} est la limite inductive des ν(q)_{F}. Le symbole différentiel h_{p}^{q} commute évidemment à l’extension de corps. Il suffit de démontrer la surjectivité du symbole différentiel pour un corps F de type fini sur F_{p}. Montrons-la plus généréralement pour tout corps k qui est une extension finie de k^{p}.

Soit E/k une extension finie séparable (de corps) de k. Si α_{i} (i = 1, …, n) est une base du k-vectoriel L, alors les α_{i}^{p} (i = 1, …, n) forment une base du k^{p}-vectoriel L^{p}, les corps k et L^{p} sont linéairement disjoints sur k^{p}, l’application naturelle k ⊗_{k^{p}} L^{p} → L est donc injective, et les dimensions de ces deux k^{p}-vectoriels coïncident. Ainsi k ⊗_{k^{p}} L^{p} → L est un isomorphisme et l’extension E/E^{p} est finie de degré d = [k : k^{p}].

Soit L/k le corps fixe d’un pro-p-groupe de Sylow de l’extension k_{s}/k, où k_{s} est une clôture séparable de k. Passant à la limite sur toutes les sousextensions finies de L/k, on voit donc que L est finie sur L^{p} (de degré celui de k sur k^{p}). Par ailleurs L n’a pas d’extension de degré premier à p. Elle est donc du type considéré en (1), le symbole différentiel k_{q}(L) → ν(q)_{L} est surjectif. Soit z ∈ ν(q)_{k}. Il existe une sous-extension finie E/k de L/k telle que l’image z_{E} de z dans ν(q)_{E} soit dans l’image de k_{q}(E) → ν(q)_{E}. En utilisant les propriété fonctorielles de la trace (voir §1.3 et §2.3), on voit que [E : k]z est dans l’image de k_{q}(k) → ν(q)_{k}, et donc aussi z, puisque [E : k] est premier à p. Ceci conclut la démonstration du théorème.

4 Cohomologie des corps valués discrets henséliens

4.1 Filtrations sur les groupes de K-théorie d’un corps valué discret

Soient R un anneau de valuation discrète de corps des fractions K et de corps résiduel F. Pour n ≥ 1, on définit sur les groupes K_{n}(K) une filtration, classique lorsque n = 1. On pose U^{0}K_{n}(K) = K_{n}(K), et pour i ≥ 1 on définit U^{i}K_{n}(K) comme étant le sous-groupe de K_{n}(K) engendré par les éléments {1 + a_{1}π^{i}, a_{2}, …, a_{n}}, avec a_{1} ∈ R, a_{j} ∈ K^{∗}, 2 ≤ j ≤ n. On notera qu’on a une suite décroissante (exhaustive)

U^{0}K_{n}(K) = K_{n}(K) ⊃ U^{1}K_{n}(K) ⊃ U^{2}K_{n}(K) ⊃ ⋯

Proposition 4.1.1 Soit R un anneau de valuation discrète de corps des fractions K et de corps résiduel F.

(a) (Bass-Tate) On a K_{n}(K)/U^{1}K_{n}(K) ≅ K_{n}(F) ⊕ K_{n−1}(F).

(b) Pour tous i, j ≥ 0, on a {U^{i}K_{r}(K), U^{j}K_{s}(K)} ⊂ U^{i+j}K_{r+s}(K).

(c) Soit c ∈ R de valuation v_{R}(c) = i ≥ 1. Alors pour x, y ∈ R avec x.y.(x + y) ≠ 0 on a

{1 + (x + y)c, x + y} − {1 + xc, x} − {1 + yc, y} ∈ U^{i+1}K_{2}(K).

Démonstration (a) Voir [3], I, §4, Prop. 4.3. L’application est obtenue par passage au quotient à partir de la somme d’une flèche de spécialisation K_{n}(K) → K_{n}(F) (dépendant du choix d’une uniformisante) et du symbole modéré K_{n}(K) → K_{n−1}(F).

(b) On peut supposer i ≥ 1, j ≥ 1. On se ramène au cas r = s = 1.

On voit que

{1 + aπ^{i}, 1 + bπ^{j}} ≡^{(1)} {1 + aπ^{i}(1 + bπ^{j}), 1 + bπ^{j}} mod U^{i+j}K_{2}(K)
=^{(2)}  −{1 + aπ^{i}(1 + bπ^{j}), −aπ^{i}}
=^{(3)}  − \{1 + \frac{abπ^{i+j}}{1+aπ^{i}} , −aπ^{i}\}

et ce dernier élément est clairement dans U^{i+j}K_{2}(K). Pour (1), on calcule

\{\frac{1 + aπ^{i} + abπ^{i+j}}{1 + aπ^{i}} , 1 + bπ^{j}\}+\{1+aπ^{i}, 1+bπ^{j}\} = \{1+aπ^{i} +abπ^{i+j}, 1+bπ^{j}\},

le terme de gauche dans le membre de gauche appartient à U^{i+j}K_{2}(K). Pour (2), on utilise

{1 + aπ^{i}(1 + bπ^{j}), −aπ^{i}(1 + bπ^{j})} = 0.

Pour (3), on utilise

\{1 + aπ^{i}(1 + bπ^{j}), −aπ^{i}\} = \{\frac{1 + aπ^{i}(1 + bπ^{j})}{1 + aπ^{i}}, −aπ^{i}\} − \{1 + aπ^{i}, −aπ^{i}\}.

(c) On voit que {1 + xc, x} = −{1 + xc, −c}. Donc

{1 + (x + y)c, x + y} − {1 + xc, x} − {1 + yc, y}
= {1 + xc, −c} + {1 + yc, −c} − {1 + (x + y)c, −c}
= \{\frac{1+(x+y)c+xyc^{2}}{1+(x+y)c} , −c\} ≡ 0 mod U^{2i}K_{2}(K).

Remarque On observe que (c) permet de définir un homomorphisme

R^{+} ⟶ U^{i}K_{2}(K)/U^{i+1}K_{2}(K)
x ↦ {1 + xc, x}.

En effet la propriété (c) dit que

x + y ↦ {1 + (x + y)c, x + y} ≡ {1 + xc, x} + {1 + yc, y} mod U^{i+1}K_{2}(K).

Pour x = 0 ou y = 0 on définit l’image comme étant zéro. Il faut vérifier que {1 + xc, x} + {1 − xc, −x} a une classe nulle. Mais, dans U^{2i}K_{2}(K), on a :

{1 + xc, x} + {1 − xc, −x} = −({1 + xc, −c} + {1 − xc, −c}) = −{1 − x^{2}c^{2}, −c}.

Proposition 4.1.2 Soit R un anneau hensélien de valuation discrète, de corps de fractions K de caractéristique zéro, de corps résiduel F de caractéristique p > 0. Soit e = v(p) l’indice de ramification absolu de K. Supposons que R contient une racine primitive p-ième de l’unité ζ. Soit η = ζ − 1.

(i) On a (p − 1)v(η) = e, en particulier p − 1 divise e.

(ii) Si α ∈ R et α ≡ 1(mod π^{m}) avec m > ep/(p − 1), alors α ∈ R^{∗p}.

Démonstration (i) L’élément η est racine du polynôme

η^{p−1} + pη^{p−2} + ⋯ + p = 0

donc η^{p−1} = −p(η^{p−2}+⋯+1), on obtient le résultat en prenant les valuations. Notons qu’on a, plus précisément :

η^{p−1} + p = 0 mod (π^{e+1}).

(ii) Il faut voir que x^{p} = α = 1 + η^{p}(α − 1)/η^{p} a des solutions dans R. Posons y = \frac{x−1}{η}. Considérons le polynôme

F (Y) = \frac{(ηY + 1)^{p} − 1}{η^{p}} − \frac{α − 1}{η^{p}}.

Le calcul de la valuation de η fait ci-dessus et l’hypothèse m > ep/(p − 1) entraînent que ce polynôme unitaire a tous les autres coefficients dans R, celui de Y étant une unité et les autres ayant une valuation strictement positive. La solution y = 0 de l’équation F (Y) = 0 mod π n’annule donc pas le polynôme dérivé F′(Y) qui, modulo π, est congru à une unité de R. Par le lemme de Hensel, l’équation F (Y) = 0 a une solution dans R.

Remarque Si R est complet, l’énoncé (ii) est vérifié sans l’hypothèse ζ ∈ R, voir [5] Corollary 2, §(5.8), chap. I.

Corollaire 4.1.3 Si R est hensélien, car(K) = 0, car(F) = p > 0 et K contient une racine primitive p-ième de l’unité, alors U^{m}K_{n}(K) ⊂ pK_{n}(K) pour tout m > \frac{ep}{p−1}.

Supposons désormais, et jusqu’à la fin du chapitre, que R est un anneau de valuation discrète hensélien, de corps des fractions K et de corps résiduel F. On suppose K de caractéristique zéro et F de caractéristique p > 0. On fixe une uniformisante π de K. On note e = v_{R}(p) l’indice de ramification absolu. Sauf au théorème 4.3.2, on suppose désormais que K contient une racine primitive p-ième de 1, notée ζ. Alors (Prop. 4.1.2) p − 1 divise e. Le choix de cette racine de l’unité permet d’identifier les modules galoisiens Z/p et μ_{p} sur K, et aussi les modules galoisiens tordus μ_{p}^{⊗n} à Z/p .

Notations. On pose : k_{q}(K) = K_{q}(K)/pK_{q}(K) et on note H_{p}^{q}(K) = H^{q}(K, μ_{p}^{⊗q}) ≅ H^{q}(K, Z/p) (ce dernier isomorphisme reposant sur le choix de la racine ζ).

Avec les hypothèses ci-dessus, le symbole galoisien définit une application

h_{p}^{q} : k_{q}(K) → H_{p}^{q}(K)

notée simplement h lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté.

On définit, pour i ≥ 0, le groupe U^{i}k_{q}(K) comme l’image de U^{i}K_{q}(K) dans k_{q}(K), i.e.

U^{i}k_{q}(K) = [U^{i}K_{q}(K) + pK_{q}(K)] /pK_{q}(K).

On pose aussi

U^{i}H_{p}^{q}(K) = image par h_{p}^{q} de U^{i}k_{q}(K) dans H_{p}^{q}(K).

Pour m ≥ 0, les quotients successifs de ces filtrations sont notés

gr^{m}k_{q}(K) := U^{m}k_{q}(K)/U^{m+1}k_{q}(K)

et

gr^{m}H_{p}^{q}(K) := U^{m}H_{p}^{q}(K)/U^{m+1}H_{p}^{q}(K).

Remarque D’après le corollaire 4.1.3, si m > ep/(p−1), on a U^{m}k_{q}(K) = 0 et donc aussi U^{m}H_{p}^{q}(K) = 0.

4.2 Quotients de la filtration sur k_{q}K et différentielles absolues de F

Dans la suite de ce chapitre, pour a ∈ F, on désigne par ã ∈ R un relevé quelconque de a dans R.

Proposition 4.2.1 Pour q ≥ 1 et m ≥ 1 il existe un homomorphisme

Ω_{F}^{q−1} ⟶ gr^{m}k_{q}(K)

qui envoie le générateur x\frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dy_{q−1}}{y_{q−1}} sur \{1 + x̃π^{m}, ỹ_{1}, …, ỹ_{q−1}\}, et un homomorphisme

Ω_{F}^{q−2} ⟶ gr^{m}k_{q}(K)

qui envoie le générateur x\frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dy_{q−2}}{y_{q−2}} sur \{π, 1 + x̃π^{m}, ỹ_{1}, …, ỹ_{q−2}\}.

Démonstration On utilise la présentation de Ω_{F}^{q−1} donnée au §1. En utilisant la proposition 4.1.1, on voit que l’application de F^{+} × F^{∗} × ⋯ × F^{∗} dans gr^{m}k_{q}(K) donnée par

(x, y_{1}, ⋯, y_{q−1}) → {1 + x̃π^{m}, ỹ_{1}, …, ỹ_{q−2}, ỹ_{q−1}}

est bien définie, i.e. qu’elle ne dépend pas des choix des relevés, et on voit qu’elle est multilinéaire, donc induit un homomorphisme

F^{+} ⊗ F^{∗} ⊗ ⋯ ⊗ F^{∗} ⟶ gr^{m}k_{q}(K).

On montre ensuite que J_{q−1} (cf. §1.2 pour la définition) est envoyé sur 0. Traitons le cas q = 2, laissant le cas général au lecteur. Prenons un élément de J_{1} du type

α = (a + b) ⊗ (a + b) − a ⊗ a − b ⊗ b.

On a vu au §4.1 que

{1 + (ã + b̃)π^{m}, ã + b̃} − {1 + ãπ^{m}, ã} − {1 + b̃π^{m}, b̃} ∈ U^{m+1}K_{2}(K) .

Donc α s’envoie sur 0.

Revenons au cas q quelconque, et considérons maintenant un élément de J_{q−1} du type a ⊗ b_{1} ⊗ ⋯ b_{q−1} avec b_{i} = b_{j} = b pour i ≠ j. Il suffit de voir que pour b̃ ∈ R non nul, on a {b̃, b̃} = 0 ∈ k_{2}(K). Mais {b̃, b̃} = {b̃, −1} ∈ K_{2}(K) qui est divisible par p si p est impair. Pour p = 2, on peut relever (b, b) = (b, −b) en {b̃, −b̃} = 0.

On laisse au lecteur le soin de faire le calcul pour Ω_{F}^{q−2}.

Pour m ≥ 1 il existe donc un homomorphisme

ρ_{m} : Ω_{F}^{q−1} ⊕ Ω_{F}^{q−2} ⟶ gr^{m}k_{q}(K)

défini comme suit sur les générateurs :

\begin{matrix}(x\frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dy_{q−1}}{y_{q−1}} , 0) & ⟶ & \{1 + x̃π^{m}, ỹ_{1}, …, ỹ_{q−1}\} \\ (0, x\frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dy_{q−2}}{y_{q−2}} ) & ⟶ & \{π, 1 + x̃π^{m}, ỹ_{1}, …, ỹ_{q−2}\}. \end{matrix}

Proposition 4.2.2 Pour tout m ≥ 1, l’application ρ_{m} est surjective; si p |̸m alors Ω_{F}^{q−1}→ gr^{m}k_{q}(K) est surjective.

Démonstration La surjectivité de ρ_{m} résulte du fait que tout élément de K_{q−1}K peut s’écrire comme une somme d’éléments de la forme {x̃_{1}, ⋯, x̃_{q−1}} ou {ỹ_{1}, ⋯, ỹ_{q−2}, π} avec tous les x̃_{i} et ỹ_{i} dans R^{∗}. Si p |̸m alors il existe r ∈ Z tel que rm ≡ 1(mod p). Soit x̃ ∈ R^{∗} une unité. On a

\begin{aligned}\{1 + x̃π^{m}, π\} & ≡ & \{(1 + rπ^{m}x̃)^{m}, π\} mod U^{m+1}K_{2}(K) \\ & = & \{1 + rx̃π^{m}, π^{m}\} = −\{1 + rx̃π^{m}, −rx̃\}, \end{aligned}

et rx̃ est une unité dans R.

Proposition 4.2.3 Soit 1 ≤ m < ep/(p − 1). Supposons que p|m. Alors

ρ_{m}(Z_{F}^{q−1} ⊕ Z_{F}^{q−2}) = 0.

Démonstration Soit ω ∈ Z_{F}^{q−1}, alors par le théorème 1.3.1 ω s’écrit comme une somme d’éléments de B_{F}^{q−1} de la forme ω_{1} = d(αdy_{1}/y_{1}∧⋯∧dy_{q−2}/y_{q−2}) = αdα/α ∧ dy_{1}/y_{1} ∧ ⋯ ∧ dy_{q−2}/y_{q−2} = αd(−α)/(−α) ∧ dy_{1}/y_{1} ∧ ⋯ ∧ dy_{q−2}/y_{q−2} et d’éléments de la forme ω_{2} = x^{p}dx_{1}/x_{1} ∧ ⋯ ∧ dx_{q−1}/x_{q−1}. On a :

\begin{aligned}ρ_{m}(ω_{1}) & = & \{1 + α̃π^{m}, −α̃, ỹ_{1}, …, ỹ_{q−2}\} \\ & = & \{1 + α̃π^{m}, (π^{−1})^{m}, …, ỹ_{q−2}\} & = & 0 & ∈ gr^{m}k_{q}(K) \end{aligned}

car p divise m.

Maintenant voyons comment ρ_{m} agit sur ω_{2}. Pour m = pr on a la formule

(1 + x̃π^{r})^{p} = 1 + p(x̃π^{r} + ⋯) + x^{p}π^{m}.

La valuation (dans K) de p(x̃π^{r} + ⋯) est au moins e + r . De m < ep/(p − 1) on déduit e + r > rp, et donc

(1 + x̃π^{r})^{p} ≡ 1 + x^{p}π^{m} mod π^{m+1}.

On obtient donc :

ρ_{m}(x^{p}dx_{1}/x_{1} ∧ ⋯ ∧ dx_{q−1}/x_{q−1}) = {1 + x^{p}π^{m}, x̃_{1}, …, x̃_{q−1}}
= {(1 + x̃π^{r})^{p}, x̃_{1}, …, x̃_{q−1}}
=  0 ∈ gr^{m}k_{q}(K).

Le calcul est entièrement analogue sur le facteur Z_{F}^{q−2}.

Proposition 4.2.4 Soit m = ep/(p − 1), qui est un entier puisque K contient les racines p-ièmes de l’unité. Soit s = e/(p − 1) ∈ N.

(i) Alors

ρ_{m}((1 + aC)Z^{q−1} ⊕ (1 + aC)Z^{q−2}) = 0,

où C est l’opérateur de Cartier et a est la classe de p/π^{e} dans F.

(ii) Soit η = ζ − 1. Soient ρ = η/π^{s} ∈ R^{∗} et \overline{ρ} sa classe dans F^{∗}. Pour tout i, la multiplication par \overline{ρ}^{p} sur Ω_{F}^{i} induit un isomorphisme

σ_{i} : Ω_{F}^{i} /(1 − C)Z_{F}^{i} ≅ Ω_{F}^{i} /(1 + aC)Z_{F}^{i} .

(iii) Si F est séparablement clos alors U^{ep/(p−1)}k_{q}(K) et U^{ep/(p−1)}H_{p}^{q}(K) sont nuls.

Démonstration (i) On utilise à nouveau la représentation de Z_{F}^{i} donnée par le théorème de Cartier (§1). Sur B^{q−1}, l’opération 1 + aC agit comme l’identité. On a

ρ_{m}((1 + aC)B_{F}^{q−1}) = ρ_{m}(B_{F}^{q−1}) = 0.

En effet si ω = αdy_{1}/y_{1}∧⋯∧dy_{q−2}/y_{q−2} ∈ Ω_{F}^{q−2} alors, comme à la proposition 4.2.3, on a :

\begin{aligned}ρ_{m}(dω) & = & \{1 + α̃π^{m}, −α̃, ỹ_{1}, …\} & = & −\{1 + α̃π^{m}, π^{m}, ỹ_{1}, …\} \\ & & & = & \{(1 + α̃π^{m})^{m}, π, ỹ_{1}, …\} = 0, \end{aligned}

car p|m.

Pour les autres générateurs de Z_{F}^{q−1} on a

ρ_{m} [(1 + aC) (x^{p} \frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dy_{q−1}}{y_{q−1}} )] =

ρ_{m} ((x^{p} + ax)\frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dy_{q−1}}{y_{q−1}} ) =

{1 + (x^{p} + ãx̃)π^{m}, ỹ_{1}, …} = 0,

avec ã = p/π^{e}, car

1 + (x^{p} + ãx̃)π^{m} ≡ (1 + x̃π^{m/p})^{p} (mod π^{m+1}).

Cette dernière congruence se vérifie en développant le terme de droite et en calculant les valuations.

Que la composante de ρ_{m} sur le terme de droite s’annule sur (1+aC)Z^{q−2} résulte essentiellement du même calcul.

(ii) On a ρ^{p−1} = η^{p−1}/π^{s(p−1)} = η^{p−1}/π^{e}. On a η^{p−1} + p = 0 mod π^{e+1} (proposition 4.1.2). De la définition de a comme la classe de p/π^{e} on déduit que \overline{ρ}^{p−1} = −a ∈ F^{∗} (le surlignage indique la réduction de R dans F).

Comme \overline{ρ}^{p} est une puissance p-ième dans F^{∗}, pour tout i, l’isomorphisme de Ω_{F}^{i} dans lui-même donné par la multiplication par \overline{ρ}^{p} commute aux différentielles, et induit donc pour tout i un isomorphisme de Z_{F}^{i} dans lui-même. Des remarques précédentes il résulte que le diagramme

Z_{F}^{i} ≃^{\overline{ρ}^{p}} Z_{F}^{i}
1−C ↓  ↓ 1+aC
Ω_{F}^{i} ≃^{\overline{ρ}^{p}} Ω_{F}^{i}

est commutatif. L’application C est en effet nulle sur B_{F}^{i} ⊂ Z_{F}^{i}, donc le diagramme commute clairement sur ce sous-groupe (notons que la mutliplication par \overline{ρ}^{p} respecte B_{F}^{i}). D’après le théorème de Cartier, il suffit donc de vérifier la commutativité sur un élément du type x^{p} \frac{dx_{1}}{x_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dx_{i}}{x_{i}}. Or d’un côté cet élément s’envoie sur \overline{ρ}^{p}(x^{p} − x)\frac{dx_{1}}{x_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dx_{i}}{x_{i}}, de l’autre sur (\overline{ρ}^{p}x^{p} + a\overline{ρ}x)\frac{dx_{1}}{x_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dx_{i}}{x_{i}}. Puisque \overline{ρ}^{p−1} = −a, ces deux éléments coïncident.

Par passage au quotient sur les flèches verticales, ce diagramme induit l’isomorphisme σ_{i} du point (ii). (On notera qu’à la page 132 de [2], ligne –13, il y a une faute d’impression).

(iii) Si F est séparablement clos, alors on a Ω_{F}^{r} ≅ (1−C)Z_{F}^{r} pour tout r ≥ 1 (§1.3) et ρ_{ep/(p−1)} est surjectif (Prop. 4.2.2) donc U^{ep/(p−1)}k_{q}(K) = 0.

Rappelons (§1) que la projection Ω_{F}^{i} → Ω_{F}^{i} /B_{F}^{i} induit un isomorphisme de Ω_{F}^{i} /(1−C)Z_{F}^{i} avec (Ω_{F}^{i} /B_{F}^{i})/℘(Ω_{F}^{i}) (aussi isomorphe à H^{1}(F, ν(i)_{F_{s}})). Cette identification canonique sera utilisée dans la suite sans mention explicite, en conjonction avec l’énoncé (ii) (voir par exemple 4.3.1 (d)).

4.3 Enoncé du théorème et plan de la démonstration

Théorème 4.3.1 Soient R, K, F comme ci-dessus (en particulier K contient toutes les racines p-ièmes de l’unité). Alors l’application h : k_{q}(K) → H_{p}^{q}(K) est un isomorphisme. Les quotients gr^{m}k_{q}(K) et gr^{m}H_{p}^{q}(K) admettent les représentations suivantes.

(a) On a les isomorphismes :

k_{q}(F) ⊕ k_{q−1}(F) ≅ k_{q}(K)/U^{1}k_{q}(K) ≃^{ρ_{0}} H_{p}^{q}(K)/U^{1}H_{p}^{q}(K),

où le premier isomorphisme est celui donné par la proposition 4.1.1 (a), et où l’application ρ_{0} est induite par le symbole galoisien. Par ailleurs les symboles différentiels induisent un isomorphisme

k_{q}(F) ⊕ k_{q−1}(F) ≅ ν_{q}(F) ⊕ ν_{q−1}(F) ⊂ Ω_{F}^{q} ⊕ Ω_{F}^{q−1}.

(b) Pour 0 < m < ep/(p − 1) et p |̸m

Ω_{F}^{q−1} ⟶^{ρ_{m}} gr^{m}k_{q}(K) ≅ gr^{m}H_{p}^{q}(K)

est un isomorphisme.

(c) Pour 0 < m < ep/(p − 1) et p|m

\frac{Ω_{F}^{q−1}}{Z_{F}^{q−1}} ⊕ \frac{Ω_{F}^{q−2}}{Z_{F}^{q−2}} ⟶^{ρ_{m}} gr^{m}k_{q}(K) ≅ gr^{m}H_{p}^{q}(K)

est un isomorphisme.

(d) Pour m = e′ = ep/(p − 1) et σ comme dans 4.2.4 (ii)

\frac{Ω_{F}^{q−1}}{B_{F}^{q−1}} /℘(Ω_{F}^{q−1}) ⊕ \frac{Ω_{F}^{q−2}}{B_{F}^{q−2}} /℘(Ω_{F}^{q−2}) ⟶^{ρ_{m}∘σ} U^{m}k_{q}(K) ≅ U^{m}H_{p}^{q}(K)

est un isomorphisme.

(e) Si m > ep/(p − 1) alors U^{m}k_{q}(K) = U^{m}H_{p}^{q}(K) = 0.

Ce théorème implique immédiatement le suivant :

Théorème 4.3.2 Soit R un anneau de valuation discrète hensélien de corps des fractions K de caractéristique zéro et de corps résiduel de caractéristique p > 0. Pour tout entier q, et tout entier n ≥ 1, le symbole galoisien

h_{p^{n}}^{q} : K_{q}^{M}(K)/p^{n} → H^{q}(K, μ_{p^{n}}^{⊗q})

est un isomorphisme.

Le théorème 4.3.1 donne 4.3.2 pour n = 1 lorsque K contient une racine primitive p-ième de l’unité ζ. On passe de ce cas-là au cas général avec n = 1 en rajoutant ζ et en utilisant un argument de transfert (le degré de k(ζ) sur k est premier à p). Le passage au cas n quelconque est alors standard (voir tout article sur le théorème de Merkur’ev-Suslin).

Pour la commodité du lecteur nous explicitons à nouveau les applications intervenant dans le théorème 4.3.1 (on désigne par x, x_{i}, y_{j} des éléments du corps F).

(a) La composée des deux flèches se calcule ainsi :

\{ \begin{matrix}(\{x_{1}, …, x_{q}\}, 0) & ↦ & \{x̃_{1}, …, x̃_{q}\} \\ (0, \{x_{1}, …, x_{q−1}\}) & ↦ & \{π, x̃_{1}, …, x̃_{q−1}\} \end{matrix}

(b) 1 ≤ m < ep/(p − 1), p |̸m.

ρ_{m} : x\frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dy_{q−1}}{y_{q−1}} ↦ \{1 + x̃π^{m}, ỹ_{1}, …, ỹ_{q−1}\}, ỹ_{i} ∈ R^{∗}, x̃ ∈ R.

(c) 1 ≤ m < ep/(p − 1), p|m.

ρ_{m} : \{ \begin{matrix}(x\frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dy_{q−1}}{y_{q−1}} , 0) & ↦ & \{1 + x̃π^{m}, ỹ_{1}, …, ỹ_{q−1}\}, \\ (0, x\frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dy_{q−2}}{y_{q−2}} ) & ↦ & \{π, 1 + x̃π^{m}, ỹ_{1}, …, ỹ_{q−2}\}. \end{matrix}

(d) m = e′ = ep/(p − 1).

ρ_{m} ∘ σ : \{ \begin{matrix}(x\frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dy_{q−1}}{y_{q−1}} , 0) & ↦ & \{1 + x̃(ζ − 1)^{p}, ỹ_{1}, …, ỹ_{q−1}\}, \\ (0, x\frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dy_{q−2}}{y_{q−2}} ) & ↦ & \{π, 1 + x̃(ζ − 1)^{p}, ỹ_{1}, …, ỹ_{q−2}\}, \end{matrix}

où σ désigne l’isomorphisme de 4.2.4 (ii) (à vrai dire, il aurait encore fallu composer avec un autre isomorphisme, voir la démonstration de 4.2.4 (ii).) On vérifie aisément que cette composition est bien donnée par la formule ci-dessus.

De la définition de la filtration et du §4.2 résulte la surjectivité de ρ_{m} pour (b), (c), et (d).

La démonstration du Théorème 4.3.1 se découpe de la façon suivante :

4.4.1 On établit le théorème dans le cas q = 1. 4.4.2 On établit le théorème dans le cas où q = 2 et F est un corps fini

(cas d’un corps local classique).

4.4.3 Lorsque F est un corps de type fini sur le corps premier, de degré de transcendance r, et q = r + 2, l’application ρ_{e′} n’est pas nulle.

4.4.4 Si F est un corps de type fini sur le corps premier, et q quelconque, les applications ρ_{m} pour 1 ≤ m < e′ sont bijectives.

4.4.5 Le dernier énoncé vaut encore lorsque F est quelconque. 4.4.6 L’application ρ_{0} est injective. 4.4.7 Lorsque F est séparablement clos, h est un isomorphisme. 4.4.8 Pour F arbitraire, h est un isomorphisme et ρ_{0} et ρ_{e′} sont des iso-

morphismes.

4.4 Démonstration du théorème

4.4.1 Le cas q = 1

La théorie de Kummer affirme que K^{∗}/K^{∗p} ≅ H^{1}(K, μ_{p}) = H_{p}^{1}(K). Voyons comment se traduit le théorème.

(a) ρ_{0} : F^{∗}/F^{∗p} ⊕ Z/pZ ≅ H_{p}^{1}(K)/U^{1}H_{p}^{1}(K).

(b) 1 ≤ m < ep/(p − 1), p |̸m : l’application x ↦ {1 + π^{n}x̃} induit un isomorphisme de Ω_{F}^{0} = F dans gr^{m}K^{∗}/K^{∗p}.

(c) 1 ≤ m < ep/(p − 1), p|m : l’application x ↦ {1 + π^{m}x̃} induit un isomorphisme de F/F^{p} = Ω_{F}^{0} /Z_{F}^{0} dans gr^{m}K^{∗}/K^{∗p}.

(d) m = e′ F/℘(F) ≅ H^{1}(F, Z/p) : x ↦ {1 + (ζ − 1)^{p}x̃} ∈ K^{∗}/K^{∗p}. On démontre directement tous les isomorphismes ci-dessus en utilisant les

formules suivantes, déjà utilisées au §4.2 :

(1 + π^{r}x̃)^{p} ≡ 1 + π^{m}x^{p} (mod π^{m+1})

où m = pr < ep/(p − 1), x̃ ∈ R.

Par ailleurs :

(1 + π^{m/p}x̃)^{p} ≡ 1 + (x^{p} + ax̃)π^{m} (mod π^{m+1})

où a = p/π^{e}.

Enfin, si η = ζ − 1 alors

η^{p−1} + p ≡ 0 (mod π^{e+1}).

En particulier ρ_{e′} est non nul si F/℘F = H^{1}(F, Z/p) ≠ 0.

4.4.2 Le cas classique : q = 2 et F fini

Soit K un corps local (i.e. avec corps résiduel F fini) de caractéristique zéro. Le groupe k_{1}(F) = F^{∗}/F^{∗p} est clairement nul. Il en est de même du groupe k_{2}(F) (Exemple 2.1.2). Les groupes de différentielles Ω_{F}^{i} sont tous nuls pour i ≥ 1.

La seule application a priori non nulle est la composante de ρ_{e′} sur le terme de droite :

ρ_{e′} : Z/p ≅ F/℘(F) ≅ H^{1}(F, Z/p) ⟶ U^{e′}k_{2}(K) ⟶ U^{e′}H_{p}^{2}(K).

Le groupe H_{p}^{2}(K) = H^{2}(K, μ_{p}^{⊗2}) s’identifie modulo le choix de la racine p-ième de l’unité ζ à la p-torsion Br(K)_{p} du groupe de Brauer Br(K) = H^{2}(K, K_{s}^{∗}), comme on voit par la suite de Kummer.

L’homomorphisme composé est défini comme suit :

x ∈ F ↦ (π, 1 + (ζ − 1)^{p}x̃)_{ζ} ∈ Br(K)_{p}.

Soit x ∉ ℘(F). Alors le symbole (π, 1 + (ζ − 1)^{p}x̃)_{ζ} est non nul, car π n’est pas une norme de l’extension non ramifiée K( ^{p} \sqrt{1 + (ζ − 1)^{p}x̃})/K. Ainsi ρ_{e′} est non nul. On sait par la théorie du corps de classes local ([16]) que le groupe Br(K)_{p} est d’ordre exactement p. Le théorème est alors clair.

4.4.3 Lorsque F est un corps de type fini sur le corps premier, de degré de transcendance r, et q = r + 2, l’application ρ_{e′} n’est pas nulle.

Sous ces hypothèses, on a Ω_{F}^{q−2} = Ω_{F}^{r} ≅ F, et Ω_{F}^{q−1} = Ω_{F}^{r+1} = 0. Il s’agit donc de voir que l’application

ρ_{e′} : 0 ⊕ Ω_{F}^{r} ⟶ U^{e′}H_{p}^{r+2}(F)

qui envoie (0, xdy_{1}/y_{1} ∧ ⋯ ∧ dy_{r}/y_{r}) sur {π, 1 + (ζ − 1)^{p}x̃, ỹ_{1}, …, ỹ_{r}} est non nulle (on emploie abusivement la même notation pour la classe dans la Kthéorie et dans la cohomologie galoisienne).

4.4.3.1 Démonstration de 4.4.3 dans un cas particulier

Soit A l’anneau des entiers d’une extension finie k de Q_{p}(ζ), soit π une uniformisante de A, soit F son corps résiduel et soit R le hensélisé de l’anneau de polynômes A[x_{1}, ⋯, x_{r}] en l’idéal premier de hauteur un défini par π. Soit K son corps des fractions. Le corps résiduel de R est le corps F(x_{1}, ⋯, x_{r}), et π est encore une uniformisante.

On peut décomposer l’inclusion k ⊂ K en une chaîne k ⊂ K_{1} ⊂ ⋯ ⊂ K_{r} = K, où les K_{i} sont définis comme suit. On regarde la chaîne d’inclusions A ⊂ A[x_{1}] ⊂ A[x_{1}, x_{2}] ⊂ ⋯ ⊂ A[x_{1}, ⋯, x_{r}], on hensélise chaque niveau en l’idéal premier π, on rajoute la variable suivante, et on hensélise à nouveau. Les corps résiduels successifs sont les corps F_{i} = F(x_{1}, ⋯, x_{i}), avec F_{0} = F et F_{r} = F.

On sait que l’énoncé vaut au niveau r = 0. On considère le diagramme

Ω_{F_{s}}^{s} ⟶ H_{p}^{s+2}(K_{s})
↓  ↓
Ω_{F_{s+1}}^{s+1} ⟶ H_{p}^{s+3}(K_{s+1})

où les flèches horizontales sont des applications ρ_{e′} (sur les seconds facteurs), où la flèche verticale de gauche est donnée par la multiplication par dx_{s+1}/x_{s+1} et la flèche verticale de droite est donnée par le cup-produit avec la classe de x_{s+1} dans K_{s+1}^{∗}/K_{s+1}^{∗p} = H^{1}(K_{s+1}, μ_{p}). On vérifie aisément qu’il est commutatif.

Pour établir l’assertion voulue, il suffit donc de montrer que la flèche verticale de droite est injective. On a le lemme général suivant :

Lemme. Soit k un corps valué complet de caractéristique zéro de corps résiduel F de caractéristique p > 0, d’anneau des entiers R et soit K le corps de fractions du complété de l’anneau de valuation discrète R[X]_{(π)} (localisé de R[X] en l’idéal (π)). Alors pour tout i ∈ N l’application

H_{p}^{i}(k) ⟶^{∪X} H_{p}^{i+1}(K),

composée de la restriction H_{p}^{i}(k) → H_{p}^{i}(K) avec le cup-produit par la classe de X dans K^{∗}/K^{∗p} ≅ H^{1}(K, μ_{p}), est une injection.

Ce lemme algébrique d’énoncé simple requiert une démonstration assez élaborée (“résidu cohomologique” de Kato, voir Lemma 14, [8], II p. 624). Disons simplement ici qu’un rôle important est joué par la flèche K^{∗} → Z définie ainsi : pour a ∈ K^{∗}, choisir b ∈ k^{∗} de même valuation, considérer le quotient a/b qui est une unité dans K, prendre la classe de cet élément dans le corps résiduel F (X), et prendre la valuation de cette classe en X = 0.

4.4.3.2 Démonstration de 4.4.3 dans le cas général

Soient K un corps complet et F son corps résiduel, supposé de type fini sur un corps fini F. On peut écrire F comme une extension finie séparable d’un corps de fonctions rationnelles F(x_{1}, …, x_{r}), et le corps K s’insère dans le diagramme

K −  F
tot. ramifié | |
K_{1} −  F
non ramifié |  | séparable
K_{0} − F(x_{1}, …, x_{r})
|
Q_{p}(ζ)

Pour la construction du corps complet K_{0}, du type étudié en 4.4.3.1 voir EGA Ch. 0 §19, Théorème 19.8.2 (anneaux de Cohen).

L’extension F/F(x_{1}, …, x_{r}) est séparable, ce qui permet de construire K_{1} à l’aide du lemme de Hensel. L’extension K/K_{1} est totalement ramifiée, elle s’écrit K = \underrightarrow{lim}K_{i}, la limite étant prise sur les extensions K_{i} ⊂ K finies.

Voyons que ρ_{e′} est non nul. Pour cela on étudie la tour d’extensions cidessus à chaque niveau. Commençons avec l’extension K_{1}/K_{0}, qui est non ramifiée. Considérons le diagramme d’applications :

F ⊗_{F(x_{1},...,x_{r})} Ω_{F(x_{1},...,x_{r})}^{r} ≅  Ω_{F}^{r}  ⟶^{ρ_{e{′ \atop K_{1}}}} H_{p}^{r+2}(K_{1})
↓ Tr  ↓ Cor_{K_{1}/K_{0}}
Ω_{F_{p}(x_{1},...,x_{r})}^{r} ⟶^{ρ_{e{′ \atop K_{0}}}} H_{p}^{r+2}(K_{0}).

On vient de démontrer que

ρ_{e′_{K_{0}}} : Ω_{F(x_{1},...,x_{n})}^{r} ⟶ H_{p}^{r+2}(K_{0})

est non nul, soit donc αdx_{1}/x_{1} ∧ ⋯ ∧ dx_{r}/x_{r} d’image différente de 0.

Puisque la trace est surjective il existe β ∈ F tel que Tr(β) = α. Par définition

\begin{matrix}β \frac{dx_{1}}{x_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dx_{r}}{x_{r}} & ↦ & \{π, 1 + (ζ − 1)^{p}β̃, x̃_{1}, …, x̃_{r}\} \\ α\frac{dx_{1}}{x_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dx_{r}}{x_{r}} & ↦ & \{π, 1 + (ζ − 1)^{p}α̃, x̃_{1}, …, x̃_{r}\} ≠ 0. \end{matrix}

Mais

\begin{aligned}Cor_{K_{1}/K_{0}}\{π, 1 + (ζ − 1)^{p}β̃, x̃_{1}, …, x̃_{r}\} & = & \{π, N_{K_{1}/K_{0}}(1 + (ζ − 1)^{p}β̃), x̃_{1}, …\} \\ & = & \{π, 1 + (ζ − 1)^{p}Tr(β̃) + (∗∗), x̃_{1}, …\}, \end{aligned}

et Tr(β̃) = α̃, (avec (∗∗) on indique des éléments de valuation (très) grande). Cette classe coïncide donc avec ρ_{e′}(α\frac{dx_{1}}{x_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dx_{r}}{x_{r}}) ≠ 0. Donc ρ_{e′_{K_{1}}} ≠ 0. (Ici e′_{K_{1}} = e_{K_{1}}p/(p − 1).)

Voyons la situation pour l’extension K/K_{1}, qui est totalement ramifiée. On se ramène au cas où K/K_{1} est finie. Considérons le diagramme

Ω_{F}^{r}  ⟶^{ρ_{e′}} H_{p}^{r+2}(K)
↓ ρ_{e′}_{K1}  ↓ N_{K/K1}
H_{p}^{r+2}(K_{1}) ⟶^{=} H_{p}^{r+2}(K_{1})

et le diagramme avec les éléments

0 ≠ α\frac{dβ_{1}}{β_{1}} ∧ ⋯ ∧ \frac{dβ_{r}}{β_{r}}  ⟶^{ρ_{e′}_{K_{1}}} \{π_{K}, 1 + (ζ − 1)^{p}α̃, β̃_{1}, …, β̃_{r}\}
↓  ↓ Cor_{K/K_{1}}
{π_{K_{1}}, 1 + (ζ − 1)^{p}α̃, β̃_{1}, …} ⟶^{=} {π_{K_{1}}, 1 + (ζ − 1)^{p}α̃, β̃_{1}, …} ≠ 0

On a déjà démontré que ρ_{e′}_{K_{1}} est non nul, donc le diagramme ci-dessus démontre que ρ_{e′} est non nul. (Observer qu’on a N_{K/K_{1}}(π_{K}) = u·π_{K_{1}}, u ∈ O_{K_{1}}^{∗}.)

4.4.4 Si F est un corps de type fini sur le corps premier, et q quelconque, les applications ρ_{m} pour 1 ≤ m < e′ sont bijectives.

Soit r le degré de transcendance de F sur son corps premier F. Soit n = e′ − m. Supposons d’abord p |̸m. On veut voir l’injection suivante

ρ_{m} : Ω_{F}^{q−1} ⟶ gr^{m}H_{p}^{q}(K).

Considérons ρ_{n} : Ω_{F}^{r−q+1}→gr^{n}H_{p}^{r−q+2}(K) (on a p |̸n), et le diagramme :

Ω_{F}^{q−1} × Ω_{F}^{r−q+1} ⟶^{ρ_{m}×ρ_{n}} gr^{m}H_{p}^{q}(K) × gr^{n}H_{p}^{r−q+2}(K)
prod. extérieur ↓  ↓ cup-produit
Ω_{F}^{r}  ⟶^{ρ_{e′} (0,·)}  U^{e′}H_{p}^{r+2}(K).

Ce diagramme est commutatif, à multiplication par un élément de F_{p}^{∗} près (ceci est le point de vue adopté dans [2]; dans ses articles antérieurs, Kato remplace π^{n}, dans la définition de l’application ρ_{n}, par un élément de valuation n judicieusement choisi, et alors le nouveau diagramme est exactement commutatif).

Voyons l’injectivité de ρ_{m} avec 1 ≤ m < ep/(p − 1) et p |̸m. D’après 4.4.3, il existe η ∈ Ω_{F}^{r} avec ρ_{e′}(0, η) ≠ 0. Soit α non nul dans Ω_{F}^{q−1}. On a Ω_{F}^{r} = F, et l’accouplement Ω_{F}^{q−1} × Ω_{F}^{r−q+1}→Ω_{F}^{r} est non dégénéré. Il existe donc β ∈ Ω_{F}^{r−q+1} tel que α ∧ β = η. De la commutativité du diagramme ci-dessus on conclut ρ_{m}(α) ≠ 0.

Pour ρ_{m} avec p|m on utilise un argument analogue. On veut démontrer que l’application

ρ_{m} : Ω_{F}^{q−1}/Z_{F}^{q−1} ⊕ Ω_{F}^{q−2}/Z_{F}^{q−2} ⟶ gr^{m}H_{p}^{q}(K)

est injective. On a le diagramme commutatif suivant

[\frac{Ω_{F}^{q−1}}{Z_{F}^{q−1}} ⊕ \frac{Ω_{F}^{q−2}}{Z_{F}^{q−2}} ] × [\frac{Ω_{F}^{r−q+1}}{Z_{F}^{r−q+1}} ⊕ \frac{Ω_{F}^{r−q}}{Z_{F}^{r−q}} ]  ⟶  gr^{m}H_{p}^{q}(K) × gr^{n}H_{p}^{r−q+2}(K)
↓ (∗)  ↓ cup-produit
Ω_{F}^{r} /d(Ω_{F}^{r−1})  ⟶^{ρ_{e′} (0,·)}  U^{e′}H_{p}^{r+2}(K),

avec ρ_{e′}(0, ·) ≠ 0 comme on a déjà vu. L’application (∗) est définie par la formule : [(v, v′), (w, w′)] ↦ dv ∧ w′ + dv′ ∧ w. L’injectivité est démontrée comme précédemment (cf. [8], II, p. 626).

4.4.5 Les applications ρ_{m} pour 1 ≤ m < e′ sont bijectives.

On sait déjà qu’elles sont surjectives, et on vient de voir qu’elles sont injectives lorsque F est de type fini sur le corps premier. Pour établir le cas général, on utilise les deux énoncés suivants.

Proposition ([8], II, Corollary 2 p. 622) Soit K un corps complet par rapport à une valuation discrète avec corps résiduel F. Alors il existe un système direct (k_{i}, f_{ji}) de corps complets de valuation discrète avec un ensemble direct d’indices ayant les propriétés suivantes :

(i) Si i ≤ j et π est une uniformisante de k_{ji} alors f_{ji}(π) est une uniformisante de k_{ji}.

(ii) La limite directe \underrightarrow{lim}K_{i} est un corps de valuation discrète hensélien et sa complétion est isomorphe à K comme corps de valuation discrète.

(iii) Le corps résiduel de chaque k_{i} est de type fini comme corps sur le corps premier.

Proposition (Greenberg, cf. [8], II, p. 623) Soit k un corps hensélien de valuation discrète et k̂ sa complétion. Si k̂/k est séparable (e.g. car(k) = 0) alors k̂ = \underrightarrow{lim}A_{i}, la limite étant prise sur toutes les k-algèbres A_{i} de type fini sur k équipées d’un k-homomorphisme A_{i} → k.

4.4.6 L’application ρ_{0} est injective.

Soit comme précédemment R un anneau de valuation discrète hensélien, d’uniformisante π, de corps des fractions K. Soit S le hensélisé de R[X] en l’idéal premier (π), et soit L son corps des fractions. Son corps résiduel est F (X).

On a le diagramme commutatif suivant :

k_{q}(F) ⊕ k_{q−1}(F) ⟶^{≅} k_{q}(K)/U^{1} ⟶^{ρ_{0}} U^{0}H_{p}^{q}(K)/U^{1}H_{p}^{q}(K)
↓ (1)  ↓ ∪{1+Xπ}
Ω_{F (X)}^{q}  ⟶^{ρ_{1}}  U^{1}H_{p}^{q+1}(L)/U^{2}H_{p}^{q+1}(L)

La flèche (1) est définie par composition du symbole différentiel

k_{q}(F) ⊕ k_{q−1}(F) → ν(q)_{F} ⊕ ν(q − 1)_{F} ⊂ Ω_{F}^{q} ⊕ Ω_{F}^{q−1}

avec l’application Ω_{F}^{q} ⊕Ω_{F}^{q−1} ⟶ Ω_{F (X)}^{q} qui au couple (w_{1}, w_{2}) associe l’élément Xw_{1}+dX ∧w_{2}, application dont on vérifie immédiatement qu’elle est injective.

L’isomorphisme supérieur gauche dans le diagramme est celui donné par Bass-Tate. Le symbole différentiel est injectif (Thm. 2.4.1). Il résulte alors du diagramme, et de 4.4.5, que l’application ρ_{0} est injective.

4.4.7 Lorsque F est séparablement clos, h_{p}^{q} : k_{q}(K) → H_{p}^{q}(K) est un isomorphisme.

Supposons F séparablement clos, c’est-à-dire K égal à son extension maximale non ramifiée K_{nr}. Sous cette hypothèse, nous savons que le dernier cran de la filtration gr^{e′}k_{q}(K) s’annule, donc aussi gr^{e′}H_{p}^{q}(K).

Compte tenu des résultats précédents, h est donc injective. Soit SH_{p}^{q}(K) ⊂ H_{p}^{q}(K) l’image de h (la partie symbolique), et soit C(K) = H_{p}^{q}(K)/SH_{p}^{q}(K). On veut voir que C(K) = 0.

Il suffit de démontrer :

Proposition 4.4.7.1 Pour toute extension L/K du type L = K(a) où a^{p} = b, b ∈ R^{∗} et \overline{b} ∉ F^{p} (et donc b ∉ K^{∗p}), l’application C(K) ↪ C(L) est injective. (Notons que l’extension résiduelle \overline{L} = F (\overline{b})/F est purement inséparable de degré p.)

En effet, par limite d’extensions successives de telles extensions, on obtient un corps de valuation discrète hensélien K̃ avec corps résiduel algébriquement clos. Dans ce cas on sait que la dimension cohomologique de K̃ est 1 (théorème de Lang) donc H_{p}^{q}(K̃) = 0 pour q ≥ 2 et donc C(K̃) = 0. D’après la proposition, C(K) s’injecte dans C(K̃), donc C(K) = 0.

Nous ne donnerons pas tous les détails de la démonstration de la proposition, peut-être l’une des plus délicates de [9] et [2]. Cette démonstration procède par récurrence sur q. On suppose donc SH_{p}^{q−1}(K) = H_{p}^{q−1}(K) et SH_{p}^{q−1}(L) = H_{p}^{q−1}(L). On pose G = Gal(L/K), et on note M^{G}, resp. M_{G}, les G-invariants, resp. G-coinvariants, d’un G-module M.

On considère le diagramme

H_{p}^{q−1}(K)
↓
0 ⟶ SH_{p}^{q}(K) ⟶ H_{p}^{q}(K) ⟶ C(K) ⟶ 0
↓  ↓ Res  ↓
SH_{p}^{q}(L)^{G} ⟶ H_{p}^{q}(L)^{G} ⟶ C(L)^{G}
↓ Cor
H_{p}^{q}(K)

où les suites horizontales sont exactes, et la suite verticale est simplement un complexe. Dans cette dernière suite, la flèche H_{p}^{q−1}(K) → H_{p}^{q}(K) est le cup-produit par la classe de b dans K^{∗}/K^{∗p}. Pour démontrer l’injectivité C(K) ↪ C(L), par une simple chasse au diagramme, il suffit d’établir

(a) l’exactitude du complexe

SH_{p}^{q}(K) → SH_{p}^{q}(L)^{G} → H_{p}^{q}(K),

où la dernière flèche est donnée par la corestriction; (b) l’exactitude de la suite verticale jusqu’à H_{p}^{q}(L)^{G}. L’énoncé (a) est l’énoncé 4.4.7.2 (i) ci-dessous. L’énoncé (b) résulte de

la combinaison de 4.4.7.2 (ii) et 4.4.7.3 (i), compte tenu de l’hypothèse de récurrence (H_{p}^{q−1}(K) = SH_{p}^{q−1}(K) et H_{p}^{q−1}(L) = SH_{p}^{q−1}(L)).

Proposition 4.4.7.2 Soit L/K l’extension définie ci-dessus. Alors les suites

(i)  SH_{p}^{q}(K) \underrightarrow{Res} SH_{p}^{q}(L)^{G} \underrightarrow{Cor} SH_{p}^{q}(K)

(ii)  SH_{p}^{q}(K) \underrightarrow{Res} SH_{p}^{q}(L)_{G} \underrightarrow{Cor} SH_{p}^{q}(K),

sont exactes pour q ≥ 0.

Nous ne donnerons pas la difficile démonstration de cette proposition ([9], p. 229 à 234; Proposition (5-4) de [2], pages 126 à 130). Disons seulement qu’à ce point de la démonstration, on connaît la structure des groupes SH_{p}^{q}(K) et SH_{p}^{q}(L) en termes de différentielles de F et de son extension purement inséparable F (\overline{b}).

La deuxième proposition porte sur des corps quelconques.

Proposition 4.4.7.3 Soient K un corps et L/K une extension cyclique de corps, de degré p premier à la caractéristique. Soit χ ∈ H^{1}(K, Z/p) le caractère correspondant à L, et soit G = Gal(L/K). Alors

(1) La suite

(i)  H^{q−1}(K, Z/p) ⟶^{∪χ} H^{q}(K, Z/p) \underrightarrow{Res} H^{q}(L, Z/p)

est exacte si et seulement si la suite

(ii)  H^{q−1}(K, Z/p) \underrightarrow{Res} H^{q−1}(L, Z/p)_{G} \underrightarrow{Cor} H^{q−1}(K, Z/p)

est exacte.

(2) La suite

(i)  H^{q−1}(L, Z/p) \underrightarrow{Cor} H^{q−1}(K, Z/p) ⟶^{∪χ} H^{q}(K, Z/p)

est exacte si et seulement si la suite

(ii)  H^{q}(K, Z/p) \underrightarrow{Res} H^{q}(L, Z/p)^{G} \underrightarrow{Cor} H^{q}(K, Z/p)

est exacte.

On trouvera la démonstration de cette proposition dans [2], §3, pp. 118 à 121. C’est une question ouverte si ces suites sont toujours exactes. Le cas p = 2 est particulier (et facile). Pour p quelconque, le résultat est connu pour les basses valeurs de q, grâce au théorème de Merkur’ev-Suslin [12].

4.4.8 Dans le cas général, ρ_{0} et ρ_{e′} sont des isomorphismes.

Soit K_{nr} l’extension maximale non ramifiée de K. Le groupe de Galois G de K_{nr} sur K est celui de la clôture séparable F_{s} de F. Pour le corps K_{nr}, de corps résiduel séparablement clos, nous avons déjà établi le théorème.

Les groupes gr^{i}H_{p}^{q−1}(K_{nr}) sont connus, en particulier U^{e′}H_{p}^{q−1}(K_{nr}) = 0 (Prop. 4.2.4 (iii)).

Lemme 4.4.8.1 L’application naturelle

H^{1}(F, H_{p}^{q−1}(K_{nr})) ⟶ H^{1}(F, H_{p}^{q−1}(K_{nr})/U^{1}H_{p}^{q−1}(K_{nr}))

est un isomorphisme.

Démonstration La suite exacte

0 ⟶ B_{F_{s}}^{q−1} ⟶ Ω_{F_{s}}^{q−1} ⟶ Ω_{F_{s}}^{q−1}/B_{F_{s}}^{q−1} ⟶ 0,

donne pour tout i ≥ 1

H^{i}(F, Ω_{F_{s}}^{q−1}/B_{F_{s}}^{q−1}) = 0,

car H^{i}(F, B_{F_{s}}^{q−1}) = 0. Ce dernier point se voit ainsi : le groupe B_{F_{s}}^{q−1} = d(Ω_{F_{s}}^{q−2}) est un F_{s}-vectoriel, via l’action de F_{s}^{p}, et donc H^{i}(F, B_{F_{s}}^{q−1}) = 0, pour i ≥ 1. Cela implique que la cohomologie des gr^{m}U^{1}H_{p}^{q−1}(K_{nr}) est nulle pour m ≥ 1, ainsi

H^{i}(F, U^{1}H_{p}^{q−1}(K_{nr})) = 0, i ≥ 1.

La suite exacte de cohomologie associée à la suite exacte

0 ⟶ U^{1}H_{p}^{q−1}(K_{nr}) ⟶ H_{p}^{q−1}(K_{nr}) ⟶ H_{p}^{q−1}(K_{nr})/U^{1} ⟶ 0,

donne alors l’isomorphisme annoncé.

Considérons la suite spectrale d’Hochschild-Serre

E_{2}^{p,q} = H^{p}(F, H^{q}(K_{nr}, Z/p)) ⟹ H^{n}(K_{nr}, Z/p).

Le corps F étant de caractéristique p, on a cd_{p}(F) ≤ 1 (voir [17]). La suite spectrale dégénère, elle donne la suite exacte courte

0 ⟶ H^{1}(F, H^{q−1}(K_{nr}, Z/p)) ⟶ H^{q}(K, Z/p) ⟶ H^{q}(K_{nr}, Z/p)^{G_{F}} ⟶ 0.

Considérons le diagramme :

k_{q−1}F_{s} ⊕ k_{q−2}F_{s} ⟶^{≅(1)} k_{q−1}(K_{nr})/U^{1} ⟶^{≅(2)} H_{p}^{q−1}(K_{nr})/U^{1}H_{p}^{q−1}(K_{nr})
↓ (∗)  ↑
ν(q − 1)_{F_{s}} ⊕ ν(q − 2)_{F_{s}}  H_{p}^{q−1}(K_{nr})

Dans ce diagramme, on sait déjà que toutes les flèches horizontales sont des isomorphismes. Le symbole différentiel (∗) est aussi un isomorphisme (théorème 3.0). A ce diagramme appliquons le foncteur H^{1}(F, −). En utilisant le lemme 4.4.8.1, on obtient un isomorphisme

H^{1}(F, H^{q−1}(K_{nr}, Z/p)) ≅ H^{1}(F, ν(q − 1)_{F_{s}} ⊕ ν(q − 2)_{F_{s}}).

On rappelle ici qu’on a la suite exacte :

0 → ν(q)_{F_{s}} → Ω_{F_{s}}^{q} ⟶^{℘} Ω_{F_{s}}^{q}/B_{F_{s}}^{q} → 0,

et donc l’isomorphisme (Ω_{F}^{q} /B_{F}^{q})/℘(Ω_{F}^{q}) ≅ H^{1}(F, ν(q)_{F_{s}}) ceci pour tout q.

On obtient donc un isomorphisme (composé d’une suite d’isomorphismes et d’inverses d’isomorphismes)

(Ω_{F}^{q−1}/B_{F}^{q−1})/℘(Ω_{F}^{q−1}) ⨁(Ω_{F}^{q−2}/B_{F}^{q−2})/℘(Ω_{F}^{q−2}) ≅ H^{1}(F, H^{q−1}(K_{nr}, Z/p))

qui s’insère dans le diagramme

0 ⟶ H^{1}(F, H^{q−1}(K_{nr}, Z/p)) ⟶ H^{q}(K, Z/p) ⟶ H^{q}(K_{nr}, Z/p)^{G_{F}} ⟶ 0
↓ ≅(∗) ↗ρ_{e′}

(Ω_{F}^{q−1}/B_{F}^{q−1})/℘(Ω_{F}^{q−1}) ⊕ (Ω_{F}^{q−2}/B_{F}^{q−2})/℘(Ω_{F}^{q−2})

On démontre que ce diagramme est commutatif (ce n’est pas évident, cela se fait par récurrence sur q (Merkur’ev [11])). Ceci implique immédiatement que ρ_{e′} est injective.

Montrons maintenant que l’application k_{q}(K)/U^{1} → H_{p}^{q}(K)/U^{1} est surjective, ce qui achèvera la démonstration du théorème, compte tenu des isomorphismes

k_{q}(K)/U^{1} ≅ k_{q}(F) ⊕ k_{q−1}(F) ≅ ν(q)_{F} ⊕ ν(q − 1)_{F} ,

le dernier isomorphisme étant le théorème 3.0.

Le diagramme-clé est le suivant

(ν(q)_{F_{s}} ⊕ ν(q − 1)_{F_{s}})^{G_{F}}  ⟶^{≅(1)} ((k_{q}(K_{nr})/U^{1})^{G_{F}}  ⟶^{≅(2)} [H_{p}^{q}(K_{nr}/U^{1})]^{G_{F}}
↑ ≅  ↑  ↑ (∗)
ν(q)_{F} ⊕ ν(q − 1)_{F}  ⟶^{≅}  k_{q}(K)/U^{1}  ⟶^{ρ_{0}}  H_{p}^{q}(K)/U^{1}

La flèche (1) est un isomorphisme d’après 4.1.1 et le théorème 3.0. La flèche (2) est un isomorphisme d’après 4.4.7.

En considérant les divers crans de la filtration sur U^{i}H_{p}^{q} pour i ≥ 1 (que nous connaissons déjà), on voit que la flèche U^{1}H_{p}^{q}(K) → U^{1}H_{p}^{q}(K_{nr})^{G} est surjective. On en déduit que l’application (∗) est injective. Une chasse dans le diagramme ci-dessus montre alors que ρ_{0} est un isomorphisme.

Remerciements

Ces notes sont issues d’un cours post-DEA donné à l’UFR de Mathématiques et Informatique de l’Université Bordeaux I au Printemps 1997, à l’initiative de Boas Erez, et du cours donné à l’Ecole “Algebraic K-Theory and applications” tenue à l’I.C.T.P. (Trieste) en Septembre 1997, en réponse à une invitation de H. Bass, A. Kuku et C. Pedrini.

Je remercie vivement Luca Spriano. Une première rédaction de mon cours de Bordeaux, effectuée par ses soins, a servi de base au présent texte.

Des notes manuscrites de A. Merkur’ev [11], obligeamment transmises par I. Fesenko, m’ont été très utiles dans la compréhension des travaux [8], [9] et [2].

Bibliographie

1. A. Altman and S. Kleiman, Introduction to Grothendieck Duality Theory, Springer L. N. M. 146 (1970).

2. S. Bloch, K. Kato, p-adic étale cohomology, Publ. Math. I. H. E. S. 63 (1986), 107-152.

3. H. Bass and J. Tate, The Milnor ring of a global field, in Algebraic K-Theory, II, Springer LNM 342 (1972), 349-442.

4. P. Cartier, Questions de rationalité des diviseurs en géométrie algébrique, Bull. Soc. Math. France 86 (1958), 177-251.

5. I. B. Fesenko, S. V. Vostokov, Local fields and their extensions : a constructive approach, A.M.S., Providence, R. I. 1993.

6. L. Illusie, Complexe de de Rham-Witt et cohomologie cristalline, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 12 (1979) 501-661.

7. B. Kahn, La conjecture de Milnor, d’après V. Voevodsky, in Séminaire Bourbaki, 49-ième année, 1996-97, n^{∘} 834.

8. K. Kato, A generalisation of local class field theory by using K-groups, Chap. I, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, IA 26 (1979), 303-376; Chap. II, ibid. 27 (1980), 603-683; Chap. III, ibid. 29 (1982), 31-43.

9. K. Kato, Galois cohomology of complete discrete valuation fields, in Algebraic K-Theory, Springer L. N. M. 967 (1982), 215-238.

10. N. Katz, Nilpotent connections and the monodromy theorem, Publ. Math. I. H. E. S. 39 (1970) 175-232.

11. A. S. Merkur’ev, notes manuscrites, Leningrad, Printemps 1985.

12. A. S. Merkur’ev et A. A. Suslin, K-cohomologie des variétés de Severi-Brauer et homomorphisme de norme résiduelle (en russe), Izv. Akad. Nauk Math. SSSR 46 (1982) 1011-1061.

13. J. S. Milne, Duality in the flat cohomology of a surface, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 9 (1976) 171-202.

14. J. Milnor, Algebraic K-Theory and Quadratic Forms, Inventiones math. 9 (1970) 318-344.

15. W. Raskind, Abelian class field theory of arithmetic schemes, in Proc. Symp. Pure Math. Vol. 58.1 (1995), 85-187.

16. J-P. Serre, Corps locaux, 3-ième édition, Hermann, Paris 1967.

17. J-P. Serre, Cohomologie galoisienne, 5-ième édition, Springer L. N. M. 5 (1994).

18. J. Tate, Relations between K_{2} and Galois cohomology, Inventiones math. 36 (1976) 257-274.