Gesammelte Abhandlungen von Ernst Witt (Œuvres de Ernst Witt)

Edité par Ina Kersten, avec un essai de Günter Harder sur les vecteurs de Witt.

Springer-Verlag, Berlin 1998

XVI + 420 pages.

Recension de J.-L. Colliot-Thélène et M. Ojanguren.

Ce volume contient tous les articles de Witt, quelques fac-similés (Witt aimait les démonstrations d’une page, comme celle qu’il donne du théorème des nombres premiers, p. 397), ainsi que certains articles non publiés (pour certains reconstitués à partir de notes manuscrites). De nombreux commentaires de l’éditrice et de ses collègues mettent les articles en perspective. Certains, comme celui de U. Rehmann sur la contribution de Witt à la classification des algèbres de Lie simples, sont particulièrement instructifs. Les textes de Witt sont en allemand, sauf deux en espagnol. La loi du marché fait que la plupart des commentaires sont écrits (ou traduits) en anglais.

Un complément utile au volume est l’article d’Ina Kersten dans Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 95 (1993). Elle y passe en revue les contributions de Witt, et évoque sa personnalité.

Witt publia ses principaux articles entre sa vingt-troisième et sa trentième année, entre 1934 et 1941. La plupart de ces articles sont devenus des classiques. Ces résultats s’insèrent dans les travaux algébriques et arithmétiques de l’école allemande des années vingt et trente (Artin, Schreier, Brauer, Hasse, E. Noether, H. L. Schmid, F. K. Schmidt, Tsen, Arf, Teichmüller).

Les résultats obtenus par Witt après la guerre sont moins impressionnants, mais ils témoignent encore d’une grande ouverture d’esprit et d’un sens aigu de la démonstration élégante.

A un titre ou un autre, le lecteur algébriste a rencontré des résultats de Witt. Mais on peut gager que tout comme nous, qui connaissions bien certains des travaux de Witt, il sera surpris de découvrir dans combien de domaines Witt a laissé des traces, et il appréciera l’élégance de ses rédactions (et de la langue), qui n’ont guère vieilli.

Voici, sommairement regroupés, les principaux domaines auxquels Witt a contribué :

1) Théorie du corps de classes, géométrie algébrique en caractéristique positive (matrice de Hasse-Witt), cohomologie galoisienne (particulièrement en caractéristique positive).

2) Corps locaux (invention des vecteurs de Witt).

3) Formes quadratiques sur un corps arbitraire (classification, théorème de simplification de Witt).

4) Courbes algébriques réelles.

5) Algèbres de Lie et systèmes de Coxeter (théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt; classification des algèbres de Lie simples).

6) Groupes finis et combinatoire (groupes de Mathieu et systèmes de Steiner), réseaux unimodulaires.

Dans certains domaines, Witt n’a pas publié tous ses résultats (découverte en 1940 du réseau étudié par Leech en 1967).

En préparant ce rapport, nous avons parcouru de nombreux articles et ouvrages. Il n’est pas question ici d’en faire un bilan systématique. Nous renvoyons le lecteur à l’article d’Ina Kersten cité plus haut, et aux divers commentaires inclus dans les Œuvres. Nous nous contenterons ici de rappeler les principales contributions de Witt, et de donner de brèves indications sur l’influence qu’ont eue ces contributions. Cette influence a été importante. Cela tient d’une part à la profondeur des résultats, d’autre part à la perfection de l’exposé (“umfassend und in gewisser Weise abschließend”, comme l’écrit P. Roquette). Plusieurs des articles de Witt servirent de référence pendant de nombreuses années.

Pour citer un article, nous utilisons la numérotation adoptée dans les Œuvres.

1) Théorie du corps de classes, géométrie algébrique en caractéristique positive, cohomologie galoisienne (particulièrement en caractéristique positive).

Le résultat de Witt le plus connu dans ces domaines se trouve dans 14 (1936), Zyklische unverzweigte Erweiterungskörper vom Primzahlgrade p über einem algebraischen Funktionenkörper der Characteristik p (travail commun avec Hasse), où est introduite la “matrice de Hasse-Witt”, qui permet de déterminer le groupe des Z/p-revêtements non ramifiés d’une courbe projective et lisse X définie sur un corps k de caractéristique p. L’interprétation moderne de cette matrice a été donnée par Serre, dans l’article où il introduit la cohomologie à valeurs dans des faisceaux de vecteurs de Witt (Serre, Œuvres, article 38 (1958)). Considérons la suite dite d’Artin-Schreier sur le faisceau structural O_{X} de la courbe. Lorsque k est séparablement clos, le groupe H_{ét}^{1}(X, Z/p) des Z/p-revêtements non ramifiés apparaît comme le noyau de 𝔭 = Frob^{∗} − id agissant sur H^{1}(X, O_{X}) (cohomologie étale ou cohérente). La matrice de Hasse-Witt est l’application additive définie par Frob^{∗} sur le k-vectoriel H^{1}(X, O_{X}), lequel est de dimension le genre g de X. Cette application est p-linéaire. Le noyau de 𝔭 est un groupe (Z/p)^{ρ} avec 1 ≤ ρ ≤ g (le résultat est plus précis). Le cas g = 1 avait été considéré antérieurement par Hasse, mais 14 représente sans doute la première étude systématique d’algèbre p-linéaire. L’étude des revêtements non ramifiés de groupe Z/p^{n} pour n > 1 (Schmid et Witt, 15 (1937)) requiert l’usage des vecteurs de Witt (23, voir ci-dessous). Ce fut d’ailleurs là leur première application. Les mêmes arguments valent en dimension arbitraire (Serre, Œuvres, article 38 (1958); cf. Milne, Étale Cohomology, p. 127-128). L’usage de la cohomologie à valeurs dans les faisceaux de vecteurs de Witt a connu des développements extrêmement importants : voir Illusie, Ann. Sc. E.N.S. 12 (1979) 501-561.

Dans 8 (1934), Riemann-Rochscher Satz und Z-Funktion im Hyperkomplexen, Witt établit, sur une courbe projective et lisse C sur un corps k, un théorème de Riemann-Roch pour des cas particuliers de ce que l’on appellera plus tard des fibrés vectoriels sur C (l’article de Witt a été réexaminé de ce point de vue par Brzezinski, Math. Ann., 276). La recherche d’un théorème de Riemann-Roch pour de telles entités avait à l’époque fait l’objet de quelques travaux, en particulier de Weil (Œuvres complètes, articles 1935a, 1938c et Commentaires). Lorsque k est un corps fini et A une algèbre simple centrale sur le corps K = k(C) des fonctions rationnelles sur C, Witt définit une fonction zêta attachée à A. En utilisant son théorème de Riemann-Roch, il établit l’équation fonctionnelle de cette fonction zêta. Witt en déduit une démonstration (dans le cas fonctionnel) de l’énoncé suivant de la théorie du corps de classes : Sur le corps K des fonctions rationnelles d’une courbe sur un corps fini, une algèbre simple centrale qui en chaque complétion de K devient une algèbre de matrices est elle-même une algèbre de matrices. Sur les corps de nombres une telle démonstration avait été donnée par K. Hey en 1929; pour une version plus récente, voir A. Weil, Basic Number Theory (1967).

En utilisant les propriétés de la fonction zêta, Witt obtient également (sans argument spécifique pour la p-torsion) la description du groupe de Brauer d’un corps de fonctions d’une courbe sur un corps fini en termes d’invariants locaux dans Q/Z, de somme nulle.

L’article 10 (1935), Der Existenzsatz für abelsche Funktionenkörper, complète les travaux de Herbrand et Hasse en théorie du corps de classes, dans le cas fonctionnel. Il s’agit ici du “théorème d’existence”, dont la p-partie n’était pas alors connue. La théorie d’Artin-Schreier, formalisée ici, et le théorème de Riemann-Roch sont les outils. On note au passage une démonstration de l’analogue additif H^{i}(G, K^{+}) = 0 du théorème 90 de Hilbert pour K/k une extension galoisienne de groupe G, du moins pour i = 1, 2, seuls cas utiles ici (à l’époque on parlait de systèmes de facteurs, c’eût été plus compliqué à écrire pour i ≥ 3). Dans 11 (1936, non publié) Witt traite la question de l’équation fonctionnelle des fonctions L dans le cas fonctionnel, question mentionnée dans 10.

L’article 20 (1936), Konstruktion von galoisschen Körper der Charakteristik p zu vorgegebener Gruppe der Ordnung p^{f}, concerne les extensions de groupe Z/p^{n} d’un corps k de caractéristique p. Le Corollaire 1, chap. II, 2.2, du livre de Serre, Cohomologie galoisienne, Springer LNM 5 (1994) disant que le plus grand pro-p-quotient du groupe de Galois absolu est un pro-p-groupe libre, et la remarque subséquente sur le rang de ce groupe en termes de k/𝔭(k), en sont une version à peine modernisée. Les ingrédients de la démonstration sont les mêmes : annulation des groupes H^{1}(g, k_{s}^{+}), H^{2}(g, k_{s}^{+}) (cf. 10), donc de H^{2}(g, Z/p) via la suite d’Artin-Schreier (ici k_{s} est une clôture séparable de k et g le groupe de Galois de k_{s} sur k).

Cet article laissait ouverte la question d’un analogue pour H^{1}(k, Z/p^{n}), n ≥ 2, de la formule k/𝔭(k) ≃ H^{1}(k, Z/p) déduite de la suite d’Artin-Schreier. Pour k parfait, l’article 23 (1937) sur les vecteurs de Witt résoud ce problème (23, §5).

Dans 22 (1958), p-Algebren und Pfaffsche Formen, Witt montre, “auf völlig neue Weise”, que la partie p-primaire du groupe de Brauer d’un corps k de caractéristique p non parfait peut s’exprimer en termes de différentielles de Kähler. Un tel résultat suit aussi des travaux de Cartier (1958), comme le remarquera K. Kato (1980). Ce dernier établira en 1982 la généralisation de ce résultat aux groupes de cohomologie supérieure. Il donnera aussi une description très précise de la partie p-primaire de la cohomologie d’un corps local, lorsque le corps résiduel, non parfait, est de caractéristique p.

L’article 9 (1935), Über ein Gegenbeispiel zum Normensatz, a été souvent cité. Il commence (§1) par une démonstration du fait que toute courbe C (géométriquement intègre) sur un corps F fini possède un diviseur de degré un (un théorème dû à F. K. Schmidt (1931)). La démonstration de Witt est plus algébrique. Elle utilise des arguments généraux sur la cohomologie galoisienne des courbes sur un corps quelconque. L’hypothèse de finitude de F est utilisée ainsi : elle assure la surjectivité de la norme sur les extensions de F, et elle assure la finitude du groupe des classes de degré nul.

Le §2 de l’article expose ce qu’on appellerait maintenant la théorie des variétés de Severi-Brauer (formes tordues de l’espaces projectif) en dimension un : correspondance entre classes de k-isomorphie d’algèbres de quaternions et de coniques.

Notant k(C) le corps des fonctions d’une conique C sur un corps k (car.(k)≠ 2), le noyau de l’application de groupes de Brauer Br(k) → Br(k(C)) est d’ordre au plus 2, engendré par la classe de l’algèbre de quaternions attachée à C.

Parmi les travaux qui prolongèrent cette partie, citons tout d’abord la thèse de F. Châtelet (Ann. Sc. E.N.S., 1945), à qui l’on doit la théorie des variétés de Severi-Brauer en dimension quelconque, puis des travaux d’Amitsur (1955) et de Roquette (1963). Ces variétés ont joué un rôle considérable chez Merkur’ev et Suslin (1982), et des généralisations devraient continuer à jouer un tel rôle, comme dans les travaux en cours de Rost et de Voevodsky.

C’est pour son §3 que cet article est souvent cité : Witt exhibe une conique C sur le corps des rationnels Q, de corps des fonctions K = Q(C) et un élément non-nul du groupe de Brauer Br(K) (provenant en fait de Br(Q)) d’image nulle dans Br(K_{v}) pour tout complété K_{v} de K (en une valuation v de K). Ceci peut être vu comme le premier d’une série d’exemples. Pour des courbes de genre plus grand que un avec un point rationnel, on obtient de tels exemples au moyen d’éléments non-triviaux du groupe de Tate-Shafarevich.

La vraie réponse à ces exemples fut conjecturée par K. Kato (Crelle, 1986) : pour K un corps de fonctions de d variables sur un corps de nombres k, le groupe de cohomologie pour lequel il doit y avoir un principe local-global est le groupe H^{d+2}(K, Q/Z(d + 1)). Pour d = 0, ce groupe est le groupe de Brauer de K. Pour les courbes (d = 1), la conjecture de Kato fut prouvée par lui dans l’article cité.

2) Théorie des corps locaux (invention des vecteurs de Witt)

Cette section des Œuvres regroupe deux articles :

23 (1937) Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad p^{n} (Struktur diskret bewerteter Körper mit vollkommenen Restklassenkörper der Characteristik p).

24 (non publié, 1969) Vektorkalkül und Endomorphismen der Einspotenzreihengruppe. Le travail 23 est à la base de très importants travaux de géométrie arithmétique contem-

poraine. L’introduction est très instructive, elle décrit les contributions antérieures d’Artin, Artin-Schreier, Albert, Hasse, F. K. Schmidt, H. L. Schmid, Teichmüller, Witt. Witt définit les composantes fantômes (Nebenkomponenten) et établit les propriétés fondamentales d’intégralité des formules d’addition et de multiplication sur les vraies composantes (Hauptkomponenten). Pour tout anneau commutatif unitaire A, ces formules définissent une structure d’anneau sur l’ensemble W (A) des suites (x_{0}, x_{1}, ..., x_{n}, ...), avec x_{i} ∈ A. Soit p un nombre premier, et supposons A de caractéristique p. Soit F : A → A l’application qui à (x_{0}, x_{1}, ..., x_{n}, ...) associe (x_{0}^{p}, x_{1}^{p}, ..., x_{n}^{p}, ...). Witt introduit l’opération de Verschiebung (qui a gardé ce nom), envoyant (x_{0}, x_{1}, ...) sur (0, x_{0}, x_{1}, ..). Il établit les formules p.x = V F x = F V x (pour tout x ∈ W (A)) et V^{i}x.V^{j}x = V^{i+j}(F^{j}x.F^{i}y). Il suppose ensuite que A est un corps de caractéristique p, soit 𝔨. Il montre qu’alors W (𝔨) est un anneau local intègre, de corps résiduel 𝔨, muni d’une valuation (indice du premier vecteur non nul) induisant une topologie pour laquelle W (𝔨) est complet. Si de plus 𝔨 est parfait (𝔨 = 𝔨^{p}; dans le texte, un tel corps est appelé vollkommen, alors que ce nous appelons complet est appelé perfekt !), alors W (𝔨) est un anneau de valuation discrète absolument non ramifié, i.e. d’idéal maximal engendré par p, et de corps des fractions de caractéristique nulle.

Witt décrit ensuite le résultat de Teichmüller : pour tout anneau de valuation discrète R complet, de corps résiduel 𝔨 parfait de caractéristique p, il existe un unique système de représentants S ⊂ R satisfaisant S^{p} = S, multiplicativement clos. Si R est de caractéristique p, alors S est additivement clos : c’est alors un corps de représentants, et R s’identifie à l’anneau des séries formelles en une variable sur 𝔨.

Si R est de caractéristique nulle, W (𝔨) se plonge naturellement dans R et fait de ce dernier une extension totalement ramifiée (Eisenstein) de W (𝔨).

Au §5, Witt étudie les extensions cycliques de degré p^{n} d’un corps de caractéristique p. Soit W_{n}(A) l’anneau des vecteurs de Witt de longueur n.

Le noyau de l’application 𝔭 = F − 1 : W_{n}(k) → W_{n}(k) s’identifie à W_{n}(F_{p}) = Z/p^{n}. De la suite exacte

0 → Z/p^{n} → W_{n}(k_{s}) → W_{n}(k_{s}) → 0

et de H^{1}(k, W_{n}(k_{s})) = 0 (version généralisée de Hilbert 90 additif) Witt déduit l’isomorphisme W_{n}(k)/𝔭(W_{n}(k)) ≃ H^{1}(k, Z/p^{n}), ce qui est la généralisation cherchée de l’isomorphisme d’Artin-Schreier (cas n = 1).

Au §6, Witt étudie les algèbres simples centrales de degré p^{n} d’un corps k de caractéristique p. En substance, il définit l’accouplement k^{∗} × H^{2}(k, Z) → Br(k), plus précisément pour tout n l’accouplement k^{∗} × H^{1}(k, Z/p^{n}) → Br(k)_{p^{n}}, à valeurs dans le sous-groupe des éléments de p^{n}- torsion du groupe de Brauer. Que cet accouplement soit surjectif (toute p-algèbre est semblable à une somme d’algèbres cycliques) sera montré par Teichmüller (1936).

L’article 24 traite des “grands vecteurs de Witt”, découverts semble-t-il indépendamment par Witt et par plusieurs autres auteurs (sous le nom d’“anneau universel”, voir l’introduction du livre de Demazure-Gabriel).

L’essai de Harder décrit les principaux développements auxquels l’article de Witt a donné lieu. Nous nous contenterons ici de mentionner les noms de Cohen, Lazard, Dieudonné, Cartier, Manin, Serre, Barsotti, Grothendieck, Berthelot, Ogus, Illusie, Messing, Fontaine (dont les — gros — anneaux de périodes constituent un développement formidable des constructions de Witt), ses élèves, Kato et ses élèves. Les développements de la cohomologie p-adique ces dernières années (cf. Astérisque 223 (1994)) ne sauraient être résumés en quelques mots.

3) Classification des formes quadratiques sur un corps arbitraire.

L’article 1 (1937), Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern, a fait couler beaucoup d’encre. Il met en place la théorie des formes quadratiques sur un corps k quelconque (car(k)≠ 2). Il établit le théorème de simplification de Witt, et le théorème de structure : toute forme est somme d’une forme anisotrope, d’une hyperbolique et de son noyau. Witt montre que deux formes diagonales isomorphes le sont par une suite de transformations n’affectant que deux coordonnées à la fois. Il définit le groupe de Witt des formes quadratiques et le munit d’une structure d’anneau. A toute forme quadratique sur un corps k on savait associer son discriminant à valeurs dans k^{∗}/k^{∗2} = H^{1}(k, Z/2). Généralisant ce que Minkowski (sur Q) et Hasse (sur un corps de nombres quelconque) avaient fait, E. Artin avait défini un second invariant, à valeurs dans la 2-torsion H^{2}(k, Z/2) du groupe de Brauer Br(k). C’est une variante de cet invariant que l’on trouve, sous le nom d’invariant de Hasse, de Hasse-Witt ou de Clifford, dans la littérature (voir T.Y. Lam, The Algebraic Theory of Quadratic Forms, p. 122). Cet invariant était défini en termes d’une diagonalisation d’une forme. Dans son article, Witt définit directement ce qu’il appelle l’algèbre de Clifford d’une forme quadratique sur un corps quelconque, en étudie le comportement sur une somme orthogonale et établit le lien avec l’invariant proposé par Artin.

Dans la suite de l’article, Witt repasse en revue la théorie des formes sur un corps local et sur un corps de nombres (son article servira par la suite de référence, quand bien même les résultats dans ce cas sont essentiellement dus à Minkowski et Hasse) et termine par un joli théorème sur les formes quadratiques sur les corps de fonctions d’une variable sur les réels, sujet sur lequel il reviendra dans 12.

A la fin des années 60, Witt reviendra sur ce sujet. Il donnera des démonstrations simplifiées de résultats de Pfister sur les formes multiplicatives (6, voir F. Lorenz, Springer LNM 130) et du théorème de norme de Knebusch (7).

Parmi les développements ultérieurs, citons :

1) La notion de groupe algébrique anisotrope : A Witt-type theorem for the semisimple groups, p. 43 de l’article de J. Tits, Classification of algebraic semisimple groups, 33-62, in Algebraic groups and discontinuous subgroups, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol IX, Amer. Math. Soc. 1966.

2) La “théorie algébrique des formes quadratiques”, principalement sur un corps : Formes multiplicatives (Pfister, aussi Witt), théorèmes de norme de Knebusch et de Scharlau, théorème d’Arason-Pfister selon lequel l’intersection des puissances de l’idéal fondamental I(k) ⊂ W (k) (idéal des classes de formes de rang pair) est nulle, suite exacte de Milnor (et Tate) calculant le groupe de Witt du corps k(t) des fractions rationnelles en une variable. On consultera les livre de Lam, déjà cité, et le livre de W. Scharlau pour les développements principaux antérieurs aux travaux fondamentaux de Merkur’ev et Suslin.

3) La recherche des invariants supérieurs sur un corps k : Liens entre la K-théorie de Milnor de k, l’anneau de Witt de k et la cohomologie galoisienne à coefficients Z/2 de k (questions posées dans un article de Milnor). Travaux de Arason, Merkur’ev, Suslin, Rost, résultats annoncés par Voevodsky et al.

4) Définition des groupes de Witt et de L-théorie des anneaux et des schémas, étude de ces groupes.

4) Courbes algébriques réelles

Les contributions de Witt se trouvent dans les articles 1 (cité ci-dessus) et 12 (1934), Zerlegung reeller algebraischer Funktionen in Quadrate. Schiefkörper über reellem Funktionenkörper. Le sujet avait été considéré au dix-neuvième siècle par Hurwitz, Klein, Weichold, Harnack (inégalité s ≤ g+1 pour le nombre s de composantes connexes réelles d’une courbe réelle de genre g). Hilbert (dix-septième problème) avait soulevé la question des sommes de carrés dans les corps de fonctions. Après les travaux de Hilbert et de Landau, le travail d’Artin et Schreier sur les corps réels clos et la caractérisation des sommes de carrés dans un corps comme éléments totalement positifs avait mené au brillant résultat d’E. Artin en 1926 : si une fonction rationnelle f sur une variété irréductible réelle X ne prend que des valeurs positives sur l’ensemble X(R) des points réels de X, alors f est une somme de carrés dans le corps des fonctions R(X).

En Italie, Comessatti avait obtenu des résultats intéressants dans d’autres directions (variétés abéliennes réelles, surfaces rationnelles réelles). On consultera à ce sujet l’article de C. Ciliberto et C. Pedrini, Annibale Comessatti and real algebraic geometry, in Algebra e geometria (1860-1940): il contributo italiano, Brigaglia, A. (ed.) et al., Suppl. Rend. Circ. Mat. Palermo, II. Ser. 36 (1994), 71-102.

En termes modernes, Witt exploite d’une part les résultats de Weichold, d’autre part le théorème de Tsen et la cohomologie galoisienne. Notons C/R une courbe algébrique réelle, projective, lisse, géométriquement connexe, et R(C) son corps des fonctions rationnelles. Witt obtint les résultats suivants :

1) Toute fonction rationnelle qui est positive sur C(R) est somme de deux carrés.

2) Si l’on se donne une décomposition de C(R) comme union finie d’intervalles deux à deux disjoints (aux extrémités près), et si l’on se donne sur chaque intervalle un signe (±), il existe une fonction rationnelle qui prend sur ces intervalles ces signes (là où elle est définie). Parmi les conséquences de ce résultat, citons : Pour la jacobienne J d’une courbe C telle que C(R) ait s ≥ 1 composantes connexes, les groupes Ĥ^{0}(C/R, J(C)) et Ĥ^{1}(C/R, J(C)) ont le même ordre 2^{s−1}.

3) Pour qu’une forme quadratique en au moins trois variables sur R(C) soit isotrope, il faut et il suffit que, sur un ensemble dense de points P ∈ C(R), la forme évaluée en P soit isotrope.

Là encore, l’influence de Witt fut importante. Parmi les directions qui furent explorées, citons :

1) Etude, pour un corps formellement réel k, de l’application signature (Sylvester) W (k) → Cont(X, Z), où X est l’espace des ordres du corps k muni d’une topologie convenable et Cont(X, Z) l’espace des applications continues de X à valeurs dans Z (travaux de Becker, Bröcker (Stabilitätsindex), Prestel, Arason, Elman, Lam).

2) Généralisations des résultats de Witt aux corps de base réels clos (Geyer, Pfister, Delfs-Knebusch).

3) Sommes de carrés dans les corps de fonctions (Ax, Pfister). C’est un résultat de Pfister (1967) que toute somme de carrés dans un corps de fonctions de d variables sur R (et plus généralement sur un corps réel clos) est somme d’au plus 2^{d} carrés. Des extensions aux sommes de puissances n-ièmes sont dues à Becker.

4) Etude des “applications cycles” allant du groupe de Chow d’une variété X algébrique réelle dans l’homologie de X(R).

5) Fibrés vectoriels sur une variété algébrique réelle et fibrés topologiques induits sur l’espace des points réels.

6) Séparation des composantes connexes par les fibrés quadratiques (question de Knebusch résolue par Mahé).

7) Cohomologie étale des variétés réelles (voir C. Scheiderer, Real and Étale Cohomology, Springer LNM 1588).

8) Etude des espaces (principaux) homogènes sous un groupe linéaire sur un corps k lorsque la dimension cohomologique de k(\sqrt{−1}) est 1 ou 2.

9) Interprétation de l’énoncé Ĥ^{0}(C/R, J(C)) ≃ Ĥ^{1}(C/R, J(C)) comme analogue réel du théorème de dualité de Tate (1957) pour les variétés abéliennes sur un corps p-adique (voir l’étude subséquente de Lichtenbaum sur la cohomologie des courbes sur les corps p-adiques).

Terminons par une question intéressante, soulevée par Pfister : Soit R(X) le corps des fonctions d’une R-surface algébrique X sans point réel. On sait que toute forme quadratique en au moins 7 variables sur le corps R(X) possède un zéro non-trivial. Est-ce vrai pour toute forme en au moins 5 variables ?

5) Algèbres de Lie et systèmes de Coxeter

Witt semble avoir donné, parallèlement à Jacobson, les premiers exemples d’algèbre de Lie non standard en caractéristique p (voir article 30, p. 276). C’est un sujet qui a connu de nombreux développements (p-algèbres de Lie).

Dans 25 (1937), Treue Darstellung Liescher Ringe, Witt introduit d’abord l’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie sur un corps — qu’il caractérise par sa propriété universelle — et établit le théorème maintenant connu sous le nom de théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt. Ensuite, il étudie l’algèbre de Lie libre à q générateurs L_{q} et son algèbre enveloppante A_{q}. Il démontre que l’espace des éléments homogènes de degré n de L_{q} est de dimension

ψ_{n} = \frac{1}{n} ∑_{d|n} μ(d) · q^{\frac{d}{n}} ,

où μ est la fonction de Möbius, et que A_{q} est une algèbre libre à q générateurs. Dans la dernière partie de son article, s’inspirant des travaux de Magnus, il applique ces résultats à l’étude des quotients F^{(n)}/F^{(n+1)} où F est le groupe libre à q générateurs et F^{(2)} = [F, F], F^{(3)} = [F, F^{(2)}], etc. Il démontre que F^{(n)}/F^{(n+1)} est un groupe abélien libre de rang ψ_{n}, que l’intersection de tous les F^{(n)} est réduite à l’élément neutre, et que le centre de F/F^{(n+1)} est F^{(n)}/F^{(n+1)}.

Il reprendra ces questions dans 26 (1953),Treue Darstellung beliebiger Liescher Ringe, où il démontre l’existence d’une Ω-algèbre enveloppante A pour tout algèbre de Lie L sur un anneau commutatif Ω et l’injectivité de L → A pour une classe d’anneaux Ω qui inclut les anneaux principaux. Ce résultat a aussi été démontré par Šišov, qui a également donné un contreexemple à l’injectivité dans le cas général. Dans 29 (1956), Die Unterringe der freien Lieschen Ringe, il étudie les générateurs et relations d’une sous-algèbre de Lie U d’une Ω-algèbre de Lie L donnée par générateurs et relations. Il arrive à déterminer, sous certaines conditions (toujours satisfaites lorsque Ω est un corps), un ensemble de générateurs et relations pour U. En particulier, si L est libre, U est aussi libre, ce qui est l’analogue, pour les algèbres de Lie sur un corps, du théorème de Schreier sur les groupes. Si Ω est l’anneau des entiers, il démontre que toute sous-algèbre U homogène est libre, pourvu que L/U soit un groupe abélien libre ou que L soit de génération finie et L/U sans torsion.

Il n’est pas opportun, ici, de s’étendre sur le développement des algèbres enveloppantes. Pour en avoir une idée il suffira de consulter, par exemple, le livre de J. Dixmier Algèbres enveloppantes (Gauthier-Villars, 1974). Les relations entre les quotients de la suite centrale descendante et les algèbres de Lie ont d’abord été étudiées dans la thèse de Lazard (Ann. Sci.

ENS 71 (1954)) et ensuite, entre autres, par des mathématiciens russes, comme le montre la bibliographie du livre de J.A. Bahturin Lectures on Lie Algebras, Berlin, 1978.

L’article 27 (1937), Spiegelungsgruppen und Aufzählung halbeinfacher Liescher Ringe, a servi de modèle aux rédactions de Tits et de Bourbaki sur les systèmes de racines.

Ce travail fait suite à une série de travaux antérieurs : Killing, Elie Cartan, Weyl, Schouten, van der Waerden, Coxeter.

Van der Waerden avait montré que la classification des algèbres de Lie simples complexes est équivalente à celle des systèmes de racines réduits, ou plutôt montré qu’à un système de racines donné correspondait au plus une algèbre de Lie simple complexe. Coxeter avait étudié et classifié les groupes qui portent son nom. Witt mit tout ensemble. Tout d’abord il donne une démonstration élégante des résultats de Coxeter. Ensuite il classifie des “diagrammes de vecteurs” qui sont des généralisations des systèmes de racines réduits (on omet la condition s_{α}(β) − β ∈ ℤα). A ceux-ci il associe un groupe de Coxeter, auquel il associe, comme Coxeter, des Figuren (une variante évidente des diagrammes dits maintenant de Coxeter, donnant une présentation des groupes de Coxeter). Il classifie ces Figuren. Il y en a de deux types, celles correspondant à un groupe fini (il retrouve la liste de Coxeter) et celles correspondant à un groupe infini : la liste qu’il obtient est entièrement nouvelle. Se servant de résultats de E. Cartan et H. Weyl, il associe à toute algèbre de Lie simple complexe un Vektordiagramm. Il donne ensuite la liste des Figuren qui peuvent correspondre à de tels diagrammes. Enfin, il établit l’existence d’algèbres pour chaque type de diagramme. Witt fut ainsi le premier à utiliser des diagrammes pour classifier les algèbres simples. Le travail de Dynkin (années 1944/1947) est indépendant mais postérieur. Le travail de Witt concerne aussi des groupes de Coxeter infinis.

6) Théorie des groupes finis (groupes de Mathieu et systèmes de Steiner), théorie des réseaux unimodulaires.

En 1861, Émile Mathieu avait publié la construction de son groupe M_{12} et annoncé sans démonstration l’existence de M_{24}. Cette découverte ne semble pas avoir soulevé beaucoup d’intérêt chez les contemporains, bien que Jordan donne les générateurs de M_{12} dans son Traité des substitutions et que Frobenius, dans son article sur les caractères des groupes plusieurs fois transitifs, parle de M_{24} comme s’il s’agissait d’un groupe bien connu. La première construction digestible des groupes de Mathieu est sans doute celle de 32 (1938), Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu. Dans cet article, Witt démontre d’abord un critère pour construire un groupe t-transitif sur s+t éléments, à partir d’un groupe 2-transitif sur s+2 éléments. Ensuite il applique ce critère au groupe SL(3, 𝔽_{4}) qui agit de façon doublement transitive sur les 21 points de ℙ^{2}(𝔽_{4}) et obtient un groupe M_{24} qui agit de façon quintuplement transitive sur un ensemble de 24 points. Il déduit facilement de la simplicité de SL(3, 𝔽_{4}) celle de M_{24}. La construction de M_{12} est basée sur le même principe.

Dans ce même article il montre comment on peut associer à un groupe t-transitif sur n points des systèmes de Steiner du type S(t, m, n). Il s’agit de construire un système de \binom{n}{t}/\binom{m}{t} blocs à m points de telle façon que tout ensemble de t points soit contenu dans un unique bloc. En utilisant ce résultat général, il associe à M_{24} un système de Steiner S(5, 8, 24) et à M_{12} un S(5, 6, 12). Pour terminer il démontre que M_{24} et M_{12} sont, respectivement, le groupe des automorphismes des systèmes S(5, 8, 24) et S(5, 6, 12) qu’il a construits.

L’article 33 (1938), Über Steinersche Systeme, publié dans le même journal à la suite de 32, traite des systèmes de Steiner. Il contient, entre autres, la démonstration de l’unicité de S(4, 5, 11), S(5, 6, 12), S(4, 7, 23), et S(5, 8, 24) et les deux principales conjectures sur les systèmes de Steiner:

(a) Les S(2, q^{2}, q) et les S(2, q^{2} +q +1, q +1) n’existent que si q est une puissance d’un premier.

(b) Tout S(q^{2}, q, 2) (respectivement tout S(q^{2}+q+1, q+1, 2)) est un plan affine (respectivement projectif) sur 𝔽_{q}, les blocs étant, dans les deux cas, les droites.

Ces conjectures sont encore ouvertes.

Ces articles ont eu une influence considérable. Celui sur les groupes de Mathieu est resté une des plus agréables introductions au sujet. Les groupes de Mathieu ont été mis en relation avec les codes de Golay (M_{24}, par exemple, est le groupe d’automorphismes du code binaire étendu de Golay) et les systèmes de Steiner ont été étudiés dans le cadre plus général des “block designs” (on demande que t points appartiennent exactement à un nombre fixé λ de blocs). Toutefois les systèmes particuliers étudiés par Witt restent, dans toute théorie, des singularités d’une envoûtante beauté.

Il faut féliciter l’éditrice du livre d’avoir mis tant de soin dans la publications des papiers inédits. A propos des systèmes de Steiner, elle nous révèle que Witt, en étudiant le système S(5, 8, 24), découvrit, en 1940, le réseau de Leech et détermina l’ordre de son groupe d’automorphismes. Il en interrompit l’étude parce qu’il ne contribuait qu’en très petite mesure à la densité de Minkowski-Siegel des réseaux unimodulaires de dimension 24.

Dans 37 (1941), Eine Identität zwischen Modulformen zweiten Grades, Witt étudie les classes de formes unimodulaires paires définies positives en dimension 16. Il décrit celles qu’aujourd’hui on note d’habitude E_{8}^{2} et D_{16}. Il calcule l’ordre de leurs groupes d’automorphismes et démontre, à l’aide de la formule “des masses” de Minkowski-Siegel, qu’elles sont les seules. Il trouve aussi une condition pour qu’une forme modulaire de degré 2 soit identiquement nulle et utilise ce résultat pour démontrer que non seulement tous les entiers naturels sont représentés le même nombre de fois par E_{8}^{2} que par D_{16}, mais que ceci vaut également pour toutes les formes binaires. Le même résultat pour les formes ternaires sera démontré indépendamment par Igusa et Kneser en 1967.

Une conséquence intéressante de l’existence de ces deux formes est la remarque, faite par Milnor en 1964, que R^{16}/E_{8}^{2} et R^{16}/D_{16} sont isospectraux, mais ne sont pas isométriques.

Dans ce même travail, Witt dit avoir trouvé plus de 10 classes de formes unimodulaires paires positives définies de dimension 24. Il ajoute que la détermination de leur nombre exact semble être un problème difficile. En effet, ce problème ne sera résolu qu’en 1973, par Niemeier. Il est impossible de s’étendre sur les développements de ces questions. Le lecteur pourra se référer au livre de Conway et Sloane, (Sphere Packings, Lattices and Groups, Grundlehren 290, Springer-Verlag) qui décrit aussi les liens avec les codes autocorrecteurs.

Un autre article délicieux est 36 (1955), Über die Kommutatorgruppe kompakter Gruppen, dans lequel Witt démontre que dans tout groupe compact qui possède un sous-groupe abélien d’indice fini, le sous-groupe des commutateurs est fermé. La démonstration n’est pas difficile, mais l’exemple qu’il donne, d’un groupe compact avec un groupe dérivé non fermé, est un bijou.

Jean-Louis Colliot-Thélène,

C.N.R.S.

UMR 8628, Mathématiques

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France

e-mail : colliot@math.u-psud.fr Manuel Ojanguren, Institut de mathématiques Université de Lausanne CH-1015 Lausanne Suisse e-mail: Manuel.Ojanguren@ima.unil.ch