§1. Pourquoi ce GDR : actions prévues et budget

1.1. Motivations

La présente proposition entend construire l'avenir sur les acquis précédents, en prenant aussi appui partiellement sur l'ancien GDR 1111, Analyse Pluricomplexe du Sud, tout en mettant à jour ses contours et son mode d'action. Nous entendons maintenir une orientation prioritaire en faveur des jeunes chercheurs : subventionner leur participation à des congrès financés ou co-financés par le GDR ; inciter les post-doctorants à des projets en commun ; encourager et supporter financièrement l'organisation de cours de DEA intensifs. De tels cours sont destinés à présenter sur une durée d'une semaine des thèmes de recherche intéressant tout particulièrement les équipes du réseau.

La volonté de travailler en réseau s'est notamment traduite par une mobilité remarquable dans les recrutements effectués au cours des huit dernières années. Rappelons en effet le grand nombre de recrutements ``extérieurs" parmi les jeunes participants (recrutés sur un poste stable depuis 1994) qui figurent dans la proposition actuelle :
 
 
 

· Youssef Barkatou (de Grenoble à Poitiers).

· Jean-François Barraud (de Toulouse à Lille).

· Jean-Yves Briend (de Toulouse à Marseille).

· Tien-Cuong Dinh (de Paris 6 à Orsay).

· Damien Gayet (de Toulouse à Orsay).

· Vincent Guedj (d'Orsay à Toulouse).

· Karim Kellay (de Bordeaux à Marseille).

· Emmanuel Mazzilli (de Toulouse à Lille).

· Chantal Menini (de Toulouse à Bordeaux).

· Michel Méo (de Grenoble à Angers).

· Joël Merker (de Paris 6 à Marseille).

· Christophe Mourougane (de Grenoble à Paris 6).

· Stéphanie Nivoche (de Paris 6 à Toulouse).

· Myriam Ounaïes (de Toulouse à Strasbourg).

· Victoria Paolantoni (de Marseille à Grenoble).

· Stéphane Rigat (de Paris 6 à Marseille).

· Frédéric Sarkis (de Paris 6 à Lille).

· Frédéric Symesak (d'Orléans à Poitiers).
 
 
 

A la lecture de cette liste, il est aussi manifeste que les différents pôles de l'analyse complexe en France, désormais bien établis, doivent tous continuer à travailler ensemble. Une proposition comme la nôtre se doit de rassembler toute la communauté concernée et d'encourager les ouvertures thématiques.

1.2. Actions prévues

A. Des Journées Complexes  devraient se tenir deux fois par an, probablement toujours le plus souvent dans le sud, pour des raisons de centralité géographique, de commodité, et pour profiter de l'équipement remarquable qu'est le CIRM. Le GDR les supporterait de deux façons :

• 1. En subventionnant les frais de déplacement (et une partie des frais de séjour, selon les moyens) des participants ``jeunes'' (i.e. n'occupant pas un emploi stable).
• 2. En subventionnant l'invitation d'un spécialiste reconnu chargé de faire un exposé panoramique susceptible d'intéresser tous les participants, sur un sujet qui pourrait relever autant du coeur du domaine que de l'ouverture thématique.

B. La deuxième priorité serait d'aider à l'organisation de ``cours de DEA intensifs", typiquement d'une durée d'une semaine, avec deux (ou trois) intervenants qui consacreraient le temps nécessaire (une dizaine d'heures) à introduire les auditeurs dans un sujet de recherche actuel. Au cours d'une semaine, on aborderait deux (ou trois) sujets ; l'un des deux serait un thème généralement situé aux frontières des thématiques du GDR mais très précisément utile pour l'ouverture scientifique des doctorants
 
 
 

C. Enfin, le GDR viserait aussi à encourager les collaborations scientifiques entre ses chercheurs permanents. A cet effet, il pourrait subventionner des séjours au CIRM de petits groupes de chercheurs du réseau (deux ou trois, au plus), provenant de sites différents, et engagés dans un projet commun (le CIRM prend déjà en charge une partie du coût de tels séjours, le GDR financerait le reste).

1.3. Budget annuel demandé

A. Frais de jeunes participants : 6000 Euros (sur la base de quarante participations de jeunes par an à des Journées ou autres réunions scientifiques). Invitations de spécialistes conférenciers : 2000 Euros (deux invitations par an).
 
 
 

B. Cours intensifs : 5000 Euros (un cours par an en moyenne).
 
 
 

C. Séjours de recherche en commun : 2000 Euros (de 2 à 4 séjours par an).
 

TOTAL : 15 000 Euros.

1.4. Rapport d'activité

§2. Organigramme du GDR

2.1. Comité scientifique du GDR

Composition proposée du Comité scientifique du GDR :
 
 
 

· Julien Duval (Université Paul Sabatier, Toulouse).

· Guennadi Henkin (Institut Mathématique de Jussieu, Paris).

· Nessim Sibony (Université de Paris-Sud, Orsay).

2.2. Conseil du GDR

Composition proposée du Conseil du GDR :
 
 
 

· Eric Amar (Bordeaux).

· François Berteloot (Toulouse).

· Anne-Marie Chollet (Lille).

· Tien-Cuong Dinh (Orsay).

· Sandrine Grellier (Orléans).

· Sergueï Ivachkovitch (Lille).

· Christine Laurent (Grenoble).

· Jean-Jacques Loeb (Angers).

· Joël Merker (Marseille).

· Joachim Michel (Littoral).

· Myriam Ounaïes (Strasbourg).

· Frédéric Symesak (Poitiers).

· Pascal Thomas (Toulouse).

· Jean-Marie Trépreau (Paris).

· Alain Yger (Bordeaux).

· El Hassan Youssfi (Marseille).
 
 
 

Des membres du Conseil sont chargés plus particulièrement de suivre l'activité scientifique dans les cinq grands thèmes dégagés ci-dessous, voir §6 à §10 : Eric Amar (§ 6), Guennadi Henkin et Alain Yger (§ 7), Joël Merker (§ 8), Dinh Tien-Cuong (§ 9) et Sergueï Ivachkovitch (§ 10).

2.2. Directeur du GDR

Proposition de directeur du GDR :
 
 
 

· Pascal Thomas (Toulouse).

§3. Liste des membres par site

Université d'Angers

http://math.univ-angers.fr/themes.html#sm
 

· Moha Boutat.

· Jean-Jacques Loeb (correspondant).

· Michel Méo.
 

Doctorants et ATER en 2001-2002 :
 

· Mathieu Scotet.
 
 
 

Université de Bordeaux 1

http://www.math.u-bordeaux.fr/Math_Pures/
 

· Eric Amar (correspondant).

· Philippe Charpentier.

· Yves Dupain.

· Gérard Galuzinsky.

· Roger Gay (émérite).

· Marcel Grangé.

· Andreas Hartmann.

· Alain Hénaut.

· Chantal Menini.

· Ahmed Sebbar.

· Alain Yger.
 

Doctorants et ATER en 2001-2002 :
 
 
 

· Nabil Aboudi.

· Abdila Bouali.

· Jessica Hergoualch.

· James Silipo.

Université Joseph Fourier (Grenoble 1)

http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/THEMES/geoanalyt/
 

· Jean-Pierre Demailly.

· Alain Dufresnoy.

· Christine Laurent (correspondant).

· Victoria Paolantoni.

· Gérard Vinel.
 

Doctorants et ATER en 2001-2002 :
 
 
 

· Hélène Berger.

· Judith Brinkschulte.

Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille 1)

http://www-gat.univ-lille1.fr/
 

· Jean-François Barraud

· Anne-Marie Chollet (correspondant).

· Gérard Coeuré.

· Sergueï Ivachkovitch (correspondant).

· Emmanuel Mazzilli.

· Christine Sacré.

· Frédéric Sarkis.

· Alexandre Soukhov.

· Vincent Thilliez.
 

Doctorants et ATER en 2001-2002 :
 

· William Alexandre.

· Edwige Croix (DEA 2002, en thèse 2002-2003).

· Helene Devoddere (DEA 2002, en thèse 2002-2003).

· Quentin Konieczko (DEA 2002, en thèse 2002-2003).

· Augustin Mouze (ATER).

Université du Littoral

http://www.univ-littoral.fr/recherch/lmpa2.htm
 
 
 

· Pascal Honvault.

· Joachim Michel (correspondant).
 

Doctorants et ATER en 2001-2002 :

· Vincent Duquenoy.

Université de Provence (Aix-Marseille 1)

http://www.cmi.univ-mrs.fr/~merker/AC/index.html
 

· Jean-Yves Briend.

· Bernard Coupet.

· Jacqueline Détraz (émérite).

· Georges Dloussky.

· Hervé Gaussier.

· Peter Haïssinsky.

· Karim Kellay.

· Pierre-Henri Krief.

· Joël Merker (correspondant).

· Karl Oeljeklaus.

· Stéphane Rigat.

· Andrei Teleman.

· El-Hassan Youssfi (correspondant).
 

Doctorants et ATER en 2001-2002 :
 
 
 

· Camille Bièche.

· Laurent Bruasse.

· Sylvain Damour.

· Rémy Dhuez.

· Sébastien Krief

· Stéphanie Lovera.

· Julie Renaud.

· Patrice Roman.

· Florence Scalas (DEA 2002, en thèse 2002-2003).

Université d'Orléans

http://www.univ-orleans.fr/

SCIENCES/MAPMO/structure/index.php?grp=ADG
 
 
 

· Aline Bonami.

· Sandrine Grellier (correspondant).

· Philippe Jaming.
 

Doctorants et ATER en 2001-2002 :

· Bruno Demange.

Université de Paris-Sud (Orsay)

http://www.math.u-psud.fr/~anh/
 

· Pascal Beaugendre.

· Jacques Chaumat.

· Tien-Cuong Dinh (correspondant).

· Sorin Dumitrescu.

· Damien Gayet.
 

Doctorants et ATER en 2001-2002 :

· Romain Dujardin.

· Nguyên Viêt Anh (ATER).

Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)

http://www.institut.math.jussieu.fr/projets/ac/
 

· Pascal Dingoyan.

· Pierre Dolbeault (honoraire).

· Gennadi Henkin.

· Andrei Iordan.

· Pierre Lelong (émérite).

· Pierre Mazet.

· Vincent Michel.

· Christophe Mourougane.

· Henri Skoda.

· Jean-Marie Trépreau (correspondant).
 

Doctorants et ATER en 2001-2002 :

· Luc Pirio.

· Bruno Fabre (ATER à Nancy).

Université de Poitiers

http://www.univ-poitiers.fr/recherche/labos/

fiche_labo.asp?version=VF&codelabo=01
 
 
 

· Youssef Barkatou.

· Larbi Belkhchicha.

· Frédéric Bosio.

· Nicolas Eisen.

· Jean Poly (honoraire).

· Gilles Raby.

· Frédéric Symesak (correspondant).

· Jean-Pierre Vigué.
 

Doctorants et ATER en 2001-2002 :

· Hercule Valencourt.

Université Louis Pasteur (Strasbourg 1)

http://www-irma.u-strasbg.fr/irma/general/eqf.shtml
 
 
 

· Myriam Ounaïes (correspondant).

· Raphaële Supper.

Université Paul Sabatier (Toulouse 3)

http://picard.ups-tlse.fr/
 
 
 

· François Berteloot (correspondant).

· Pierre Bonneau.

· Jean-Paul Calvi.

· Anne Cumenge.

· Julien Duval.

· Vincent Guedj.

· Patrice Lassère.

· Nguyen Thanh Van.

· Stéphanie Nivoche.

· Pascal Thomas (coordinateur général).

· Ahmed Zeriahi.

Doctorants et ATER en 2001-2002 :
 
 
 

· Slimane Ben El Kourchi.

· Henry De Thélin.

· Christophe Dupont.

· Saïd El Marzguioui.

· Mathieu Fructus.

· Laurent Gendre.

· Nicolas Nguyen.

· Emmanuel Opshtein.

· Nguyen Van Trao.

§4. Historique des actions précédentes

Les Journées Complexes du Sud tournent régulièrement au rythme de deux fois par an depuis 1984 ; elles sont désormais organisées à tour de rôle par les équipes de sept universités (Barcelone, Bordeaux, Grenoble, Lille, Marseille, Poitiers, Toulouse) qui participent toutes (exceptée celle de Barcelone) à la présente proposition de GDR. Ce sont des réunions dont le caractère et la durée sont variables ; brèves et informelles en règle générale, elles sont destinées avant tout à permettre à un groupe de chercheurs pas trop éloignés géographiquement de se tenir au courant de leurs derniers travaux. Parfois, elles se transforment en colloques plus substantiels. En vérité, ces dernières années (démographie universitaire oblige), ces colloques ont été principalement motivées par des départs à la retraite. Toutes ces rencontres ont bénéficié de financements issus de plusieurs sources, notamment grâce à une action dite ``réseaux européens" du Ministère de l'Education Nationale au début des années 1990, grâce au GDR 1111 Analyse Pluricomplexe du Sud  coordonné par Eric Amar jusqu'en 2001, et grâce à un PICS entre le CNRS et la Generalitat de Catalunya (no. 1019) couvrant la période 2001-2003.
 

Voici un rappel des dernières sessions des Journées Complexes du Sud organisée par date/Lieu/équipe organisatrice :
 
 
 

· Printemps 98/ Lille / Lille (colloque Coeuré).

· Automne 98 / Beaumont de Lomagne / Toulouse.

· Printemps 99 / Futuroscope / Poitiers (colloque Poly).

· Automne 99 / Montauban / Bordeaux.

· Printemps 00 / Roses (Catalogne) / Barcelone.

· Automne 00 / CIRM (Luminy) / Marseille (colloque Détraz).

· Printemps 01 / Autrans (Vercors)/ Grenoble.

· Automne 01 / CIRM (Luminy) / Poitiers.

· Printemps 02 / Toulouse / Toulouse (colloque Gruman).
 
 
 

Le fait que les rencontres citées ci-dessus se soient particulièrement développées ne doit pas faire oublier que d'autres séries de congrès en analyse complexe ont existé et continuent d'exister en France, comme par exemple les semaines du CIRM en dynamique holomorphe.

§5. Contexte scientifique

Aussi pourrait-on aisément argumenter de l'omniprésence et de la ``densité'' du concept d'holomorphie dans les mathématiques contemporaines, concept central qui intervient dans des domaines aussi divers que la géométrie algébrique affine, projective, kählérienne, la géométrie symplectique, la géométrie hyperbolique, ou que l'analyse fonctionnelle, la théorie du (pluri)potentiel, la théorie des nombres, les équations aux dérivées partielles (sous)elliptiques, l'analyse microlocale, la cohomologie des faisceaux, etc. ; concept enfin qui délimite des spécialités à part entière comme la dynamique holomorphe, l'étude des feuilletages holomorphes, la classification des surfaces complexes compactes, et d'autres encore.

Aujourd'hui, de nombreux chercheurs travaillent en France dans le domaine ``Analyse et Géométrie Complexe''. Leur activité s'étend sur un large spectre mathématique. On peut déplorer, il est vrai, qu'un tel déploiement engendre une relative compartimentation des sujets de recherche en analyse et géométrie complexes, qui, fatalement, fait obstacle à des interactions plus profondes avec d'autres domaines des mathématiques. Aussi, la présente demande de GDR oriente clairement la prospective pour les quatre années à venir vers plus d'interactions directes entre les chercheurs : au sein du domaine, entre les différents axes de travail ; et sur ses frontières, avec les nombreux sujets auxquels il touche. En particulier, nous voulons contribuer à donner aux doctorants une image actuelle et mise à jour du domaine, des mutations qu'il connaît, et de sa place dans le reste des mathématiques : c'est le propos des cours d'``ouverture" qui doivent prendre leur place parmi les cours de DEA intensif qui seraient une des actions promues par ce GDR (cf. §1.2).

Dans la description scientifique qui suit, nous avons dû introduire des divisions et des regroupements de sujets visant à la lisibilité ; ces découpages sont souvent un peu artificiels, comme en témoignent les nombreux liens transversaux que découvrira le lecteur. Il apparaîtra aussi que des liens existent avec des chercheurs regroupés autour d'autres thématiques, notamment avec ces proches voisins scientifiques que sont d'une part le GDR Géométrie algébrique complexe  coordonné par Arnaud Beauville, et d'autre part le GDR Analyse et théorie des opérateurs  coordonné par Jean Esterle. Nous avons aussi de nombreux points de contact avec des collègues travaillant en feuilletages holomorphes et théorie des équations différentielles (Ramis, Mattéi, Cerveau, Eliane Salem...)
 

Avertissement. En fin de chaque sous-section thématique (§§6, 7, 8, 9 et 10 de ce document) se trouvent des listes de chercheurs travaillant dans le sous-domaine. Ces listes omettent les noms des personnels à statut temporaire (étudiants et ATER), mais leur contribution n'est pas à négliger, et de fait un des buts principaux de ce GDR est de promouvoir leur intégration scientifique et professionnelle.

§6. Fonctions holomorphes d'une ou plusieurs variables complexes

6.1. Équation de Cauchy-Riemann et formules de représentation intégrale

On sait, d'après les travaux de Cartan, que si D est un domaine pseudo-convexe de Cⁿ et X un sous-ensemble analytique fermé de D, l'opérateur de restriction r  : H(D)® H(X) qui, à toute fonction F holomorphe dans D, associe sa restriction F_X est surjectif. Les formules de solution fournissent aussi des opérateurs d'extension et de division des fonctions holomorphes sur des sous-variétés complexes de domaines dans Cⁿ (cf. rappel historique au début du § 8). Ces opérateurs, qui dépendent explicitement de la géométrie globale du domaine et de la géométrie réelle locale de son bord, permettent d'étudier les problèmes d'extension avec estimations, et sont très adaptés à l'étude de la régularité des formes différentielles jusqu'au bord du domaine.

Si depuis longtemps la théorie est bien comprise pour les domaines strictement pseudoconvexes, il subsiste encore nombre de questions et d'exemples surprenants dans les domaines faiblement pseudoconvexes. Quelles seront alors les notions pertinentes à introduire, intermédiaires entre faible et stricte pseudoconvexité pour la régularité optimale du ¶ ? Un angle d'attaque est de considérer des domaines plus ``plats", mais dans lesquels les symétries permettent des calculs explicites, comme par exemple la boule minimale de Hahn et Pflug. Plus générales que la pseudoconvexité, les diverses notions de ``type fini'' se sont montrées productives ; elles se généralisent également au cadre plus abstrait des variétés CR intrinsèques (cf. § 8). Pour les domaines de l'espace affine complexe, où l'on cherche des réponses plus précises, elles donnent lieu dès la dimension trois à des difficultés techniques considérables auxquelles ont été confrontés certains des chercheurs du GDR.
 

Chercheurs du réseau travaillant sur ces sujets : Aline Bonami (Orléans), Pierre Bonneau (Toulouse 3), Philippe Charpentier (Bordeaux 1), Anne Cumenge (Toulouse 3), Yves Dupain (Bordeaux 1), Marcel Grangé (Bordeaux 1), Emmanuel Mazzilli (Lille 1), Chantal Menini (Bordeaux 1), Joachim Michel (Littoral), Vincent Michel (Paris 6), Stéphane Rigat (Aix-Marseille 1), Frédéric Symesak (Poitiers), El Hassan Youssfi (Aix-Marseille 1).

6.2. Unicité, interpolation, théorie des opérateurs, techniques d'analyse harmonique

Un type de problème naturel -- souvent motivé par des considérations d'analyse de Fourier -- est de se demander quelles valeurs préassignées peuvent prendre des fonctions d'une classe donnée sur une suite de points : c'est le problème dit d'interpolation. De manière duale, le problème dit d'unicité (respectivement problème dit d'échantillonnage) consiste à rechercher dans un espace fonctionnel donné si une condition de nullité (resp. de bornage) des valeurs d'une fonction sur une suite de points implique la nullité (resp. un contrôle de la norme) de la fonction. Les résultats obtenus par Kristian Seip dans la décennie passée ont relancé ce type de problème en une variable, ce qui permet des applications et des généralisations à plusieurs variables (en utilisant naturellement les techniques du §6.1) et motive donc des études plus poussées à une variable, par exemple sur des problèmes d'unicité plus généraux. Récemment, ont été généralisées au cas des variétés ý courbure semi-négative (cf. §10.3) les conditions suffisantes d'interpolation dans les espaces de Fock, connues dans le plan complexe et dans le disque unité, par les travaux de Berndtsson, Ortega-Cerdà et Seip. Enfin, il existe des problèmes d'analyse complexe vivants motivés par des questions véritablement appliquées, venant de la tomographie, du scattering inverse, l'ambigüité radar... et même de l'économie.

L'analyse complexe à une variable, et en particulier l'étude fine des fonctions holomorphes sur le disque unité, est un outil indispensable de la théorie des opérateurs. C'est le propos principal d'un GDR scientifiquement voisin (Analyse et Théorie des opérateurs, coordonné par Jean Esterle), et celui que nous proposons est porteur de plusieurs interactions directes : d'une part, en particulier quand on considère des domaines modèles comme le bidisque ou la boule unité, la théorie des opérateurs sur les espaces de fonctions d'une variable complexe fournit des exemples qui sont en relation avec des problèmes ouverts depuis longtemps comme celui de la ``couronne'' (structure des idéaux de l'espace des fonctions holomorphes bornées) ; d'autre part, la projection de Szegö (depuis l'espace des fonctions de carré intégrable par rapport à la mesure au bord sur les fonctions de l'espace de Hardy) qui apparaît naturellement comme méthode de construction de fonctions holomorphes, donne naissance à des analogues à plusieurs variables des opérateurs de Hankel, dont les propriétés peuvent être reliées à celles de leurs symboles, au prix d'une compréhension précise de la structure des espaces de fonctions impliqués (comme la factorisation des atomes liés aux fonctions support).

Enfin, nombre des propriétés des noyaux évoqués ci-dessus ou de régularité des fonctions analytiques s'étendent à des espaces de fonctions qui ne sont qu'harmoniques, en un sens ou un autre ; par exemple dans la boule unité les intégrales de Poisson-Szegö sont exactement les fonctions qui sont annulées par une version invariante du Laplacien. Un problème naturel est de se demander si un analogue de cette condition reste vrai dans des domaines plus généraux, et quelle ``distance'' sépare cette condition d'harmonicité et celle de pluri-harmonicité.
 

Chercheurs du réseau travaillant sur ces sujets : Eric Amar (Bordeaux 1), Aline Bonami (Orléans), Jacqueline Détraz (Aix-Marseille 1), Sandrine Grellier (Orléans), Andreas Hartmann (Bordeaux 1), Philippe Jaming (Orléans), Karim Kellay (Aix-Marseille 1), Chantal Menini (Bordeaux 1), Christophe Mourougane (Paris 6), Raphaële Supper (Strasbourg), Frédéric Symesak (Poitiers), Pascal Thomas (Toulouse 3), E. H. Youssfi (Marseille)

6.3. Régularité au bord et module maximal

Chercheurs du réseau travaillant sur ces sujets : Eric Amar (Bordeaux 1), Jacques Chaumat (Orsay), Anne-Marie Chollet (Lille 1), Gérard Coeuré (Lille 1), Guennadi Henkin (Paris 6), Pascal Honvault (Littoral), A. Iordan (Paris 6), Vincent Thilliez (Lille 1), Pascal Thomas (Toulouse 3).

§7. Résidus en plusieurs variables et géométrie intégrale complexe

Les recherches actuelles sur ce thème portent sur les quelques dix sujets suivants. (1) Structure locale et globale des courants résiduels : exemple de problème : caractériser les courants résiduels grâce aux courants ¶-fermés dont les supports sont assez petits au sens de la mesure de Hausdorff (généralisation du théorème de Harvey-Shiffman-Alexander). (2) Equation ¶ et cohomologie ¶ sur des ensembles analytiques : exemple de problème : soient X un ensemble analytique fermé dans un domaine pseudoconvexe de Cⁿ et fÎ C_p,r^(¥)(X) avec ¶ f=0, r³ 1. Henkin et Polyakov (1989) ont démontré l'existence de formes uÎ C_p,r-1^(¥)(Reg X) telles que ¶ u=f sur Reg X. Trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence de uÎ C_p,r-1^(¥)(X) telle que ¶u=f. (3) Formes méromorphes et formes holomorphes sur des ensembles analytiques singuliers : caractérisation analytique de faisceaux dualisants de Grothendieck (voir Barlet 1978, Björk 1996, Dickenstein, Gay, Sessa, Yger 1996). (4) Transformations d'Abel et de Radon en termes d'intégrales de Cauchy-Leray. Applications en tomographie et en économie (voir Henkin, Shananin 1990, Novikov 2001). (5) Représentation de la ¶-cohomologie des variétés concaves par des courants résiduels et inversion du théorème d'Abel : voir Henkin, Passare 1999, Fabre (thèse 2000). (6) Caractérisation des fonctions algébriques et des polylogarithmes par des équations fonctionnelles : voir Griffiths 1976, Henkin 1995, Goncharov 1996, Hénaut 2001, G. Robert 2002, Pirio 2002. (7) Transformation de Radon-Penrose ; équations de Maxwell-Yang-Mills ; équations de Cauchy-Riemann : voir Henkin, Novikov 1993. (8) Courants résiduels et théorie des nombres transcendants : voir Berenstein, Gay, Vidras, Yger, Residue currents and Bezout identities, 1993. (9) Courants résiduels et problème de Cauchy analytique : voir Leray, Problème de Cauchy V, 1956, Yger 1987 ; Berndtsson, Passare 1989, Rigat 1997. (10) Equation ¶ pour des variables quaternioniques et applications. La formule de Cauchy pour les fonctions d'une variable quaternionique (Moisil 1931, Fueter 1934) a joué un rôle important dans le développement de l'analyse en plusieurs variables complexes (preuve du théorème de Hartogs, formule de Bochner-Martinelli etc.) La théorie des fonctions holomorphes en plusieurs variables quaternioniques (ou cliffordiennes) n'est pas encore développée, malgré l'existence d'applications intéressantes (Corlette 1992, Gromov 1992). Les premiers résultats sur ce sujet peuvent se trouver dans Pertici 1989, Gindikin, Henkin 1978, Salamon 1986, Laville, Ramadanov 1998, Palamodov 1999, Alesker 2002).
 

Chercheurs du réseau travaillant sur ces sujets : Pierre Dolbeaut (Paris 6), Roger Gay (Bordeaux), Alain Hénaut (Bordeaux), Guennadi Henkin (Paris 6), Emmanuel Mazzilli (Lille), Vincent Michel (Paris 6), Stéphane Rigat (Marseille), Frédéric Sarkis (Lille), Alain Yger (Bordeaux). (De plus, des contacts existent avec d'autres chercheurs travaillant en France dans ce domaine, notamment G. Laville, R. Novikov, I. Ramadanov, G. Robert.)

§8. Analyse et géométrie sur les variétés de Cauchy-Riemann

8.1. Cohomologie du ¶ induit sur les variétés CR

Aujourd'hui, ce courant général d'idées reste fondamental et très fertile, spécialement pour l'étude du complexe de Cauchy-Riemann tangentiel sur les variétés CR, i.e. l'opérateur ¶_b, qui correspond à l'application du ¶ le long des sous-espaces complexes tangents. Les principales questions et thèmes d'actualité dans le sujet sont donc souvent des analogues plus délicats des théories connues dans l'espace Cⁿ. Tout d'abord, il s'agit de formuler des versions CR du phénomène de Hartogs-Bochner, évoqué en ouverture de cette section : à quelle condition les fonctions CR définies en dehors d'un compact K d'une variété CR M telle que M\ K est connexe se prolongent-elles en tant que fonctions CR à travers K ? (Récemment, G. M. Henkin et V. Michel de Paris 6 ont obtenu une condition nécessaire et suffisante pour que cet analogue direct du phénomène de Hartogs soit satisfait lorsque M est analytique réelle.) Il peut s'agir aussi d'élimination des singularités sur les variétés CR : étant donné une fonction CR ou une forme différentielle définie sur une partie d'un bord de domaine, à quelle condition celle-ci s'étend-elle à l'intérieur du domaine ? La résolution de l'opérateur ¶ à support exact dans les variétés complexes et CR est encore un problème classique : étant donné une forme exacte a à support dans DÌ X, sous quelles conditions existe-t-il une solution de ¶ b =a à support dans D ? Dans quelle mesure la théorie d'Andreotti-Grauert des variétés complexes (finitude ou annulation de certains groupes de cohomologie de Dolbeault sur les variétés complexes ``q-convexes-concaves'') s'étend-elle au cas des variétés CR pour le ¶_b ? Des versions CR de la dualité de Serre peuvent aussi être formulées.

Enfin, un autre courant de recherche très actif se concentre sur le problème du bord dans les variétés complexes, en particulier dans les variétés kählériennes. Un cas particulier en est l'étude des enveloppes polynomiales et rationnelles dans l'espace affine complexe ; un outil fréquent est la production de disques analytiques attachés, et l'étude de leur régularité. Faute de disques, on utilise des structures moins régulières, ce qui mène aux courants positifs fermés e aux courants rectifiables.

Sont pertinents également le tranchage, et l'holomorphie séparée.
 

Chercheurs du réseau travaillant sur ces sujets : Youssef Barkatou (Poitiers), Pascal Dingoyan (Paris 6), Tien-Cuong Dinh (Orsay), Pierre Dolbeault (Paris 6), Guennadi Henkin (Paris 6), Sergueï Ivashkovitch (Lille 1), Christine Laurent (Grenoble), Joachim Michel (Littoral), Vincent Michel (Paris 6), Victoria Paolantoni (Grenoble 1), Stéphane Rigat (Aix-Marseille 1), Christine Sacré (Lille 1), Nguyen Thanh Van (Toulouse 3), Alain Yger (Bordeaux 1).

8.2. Régularité d'applications de Cauchy-Riemann et symétries de Lie des systèmes d'équations aux dérivées partielles

Aujourd'hui, ce pont jeté entre deux domaines qui ont évolué de manière indépendante pendant plusieurs décennies (la théorie structurale des EDP et la géométrie CR) offre un ample programme de recherche. Les principaux problèmes ouverts et thèmes d'actualité dans le sujet sont les suivants : il s'agit tout d'abord d'étudier la régularité des applications ponctuelles entre systèmes d'équations aux dérivées partielles : sous quelles conditions, nécessaires, suffisantes, une symétrie formelle est-elle forcément convergente ? sous quelle condition est-elle algébrique ? Ces questions sont d'autant plus prometteuses que les théorèmes géométriques classiques sur le principe de réflexion dus à Pinchuk, Webster et d'autres admettent des analogues directs dans le cadre des systèmes d'équations aux dérivées partielles complètement intégrables qui n'ont plus rien à voir avec la géométrie CR. Il s'agit aussi de préciser les liens entre la théorie de Chern-Moser et la théorie de Lie : trouver des formes normales pour les systèmes d'EDP du second ordre complètement intégrables ; étudier l'algèbre de Lie des automorphismes CR infinitésimaux à partir des formes normales, ou réciproquement, construire les formes normales à partir de la connaissance du groupe de symétries. D'un point de vue plus global, on rencontre des problèmes fins concernant la régularité des applications CR continues entre variétés CR : toute application holomorphe propre entre deux domaines bornés à bord analytique réel dans Cⁿ se prolonge-t-elle continûment jusqu'au bord ? La non-annulation de la dérivée normale d'une application CR de classe C² entre hypersurfaces de classe C² se propage-t-elle le long des orbites CR ? Dans une autre direction, on peut chercher à construire l'analogue de la théorie de Lempert pour les structures de Cauchy-Riemann en codimension arbitraire. Enfin, l'utilisation de la classification des algèbres de Lie nilpotentes jusqu'à la dimension 7 permet en principe de produire une liste complète des hypersurfaces homogènes holomorphiquement non-dégénérées. Ceci soulève donc certains problèmes liées à la calculabilité formelle, à l'effectivité et à la complexité des calculs dans les méthodes de S. Lie et E. Cartan. L'utilisation des paquetages Maple ou Mathematica mis au point par des informaticiens ou des physiciens devient alors nécessaire pour avancer plus rapidement dans les problèmes de classification. Aussi, la complexité inévitable des calculs formels qui apparaissent dans la théorie de Lie-Cartan incite naturellement à une ouverture vers des techniques informatiques et algorithmiques. Des liens scientifiques se sont déjà noués avec le Laboratoire d'Informatique Fondamentale de Lille I, dont certains membres comme M. Petitot et F. Boulier appartiennent au GDR Algorithmique, logique et programmation.
 

Chercheurs du réseau travaillant sur ces sujets : François Berteloot (Toulouse 3), Bernard Coupet (Aix-Marseille 1), Nicolas Eisen (Poitiers), Hervé Gaussier (Aix-Marseille 1), Joël Merker (Aix-Marseille 1), Alexandre Soukhov (Lille 1).

8.3. Métriques invariantes et hyperbolicité, Théorie de Nevanlinna en plusieurs variables complexes

Depuis le théorème de Lempert, on sait que pour les domaines strictement convexes bornés de Cⁿ, les deux métriques ci-dessus sont égales et les disques extrémaux passant par un point donné (dit géodésiques complexes) feuillettent le domaine en-dehors du point choisi. La condition de stricte convexité n'est pas nécessaire, et on trouve des conditions suffisantes strictement plus faibles en étudiant les indicatrices de certaines métriques invariantes. De façon analogue au théorème de Riemann, on peut par exemple obtenir (sous des hypothèses restrictives) qu'une application f est un biholomorphisme en fonction, non pas d'information locale au bord des domaines (cf. par exemple les travaux de Berteloot dans l'esprit des questions du §8.2), mais d'hypothèses sur l'image par f de la pseudo-métrique de Kobayashi-Royden en un point intérieur. Dernier exemple, les retracts holomorphes d'un domaine peuvent se caractériser en termes de (pseudo-)métriques invariantes ; ce type de sous-variétés intervient en particulier quand on veut étudier les ensembles d'accumulation des itérés d'une auto-application holomorphe d'un domaine ``taut" (ici on est aux confins de la dynamique, cf. §9).

L'étude de l'hyperbolicité au sens de Kobayashi a connu de vastes développements, en particulier grâce à la théorie de Nevanlinna en plusieurs variables, qui dépasse le cadre de notre GDR tout en le chevauchant, et grâce aux questions de singularités inessentielles, voir le §10.1 plus bas. Un problème typique est de savoir si l'espace projectif P_n(C) devient hyperbolique une fois qu'on lui a retiré un certain nombre d'hyperplans (théorème de Mark Green) ou une hypersurface d'un degré suffisamment élevé. Dans cette direction, les discussions sont fécondes avec nos voisins en géométrie algébrique complexe, comme El Goul ou Zaidenberg. Un autre type de problème, moins algébrique, consiste à étudier les ensembles discrets de Cⁿ tels que l'image d'une application propre de Cⁿ dans lui-même ne puisse pas les éviter. Cela conduit à des méthodes qui s'appliquent à des problèmes naturels d'interpolation dans des espaces de fonctions entières (cf. §6.2).
 

Chercheurs du réseau travaillant sur ces sujets : Larbi Belkhchicha (Poitiers), François Berteloot (Toulouse 3), Jean-Pierre Demailly (Grenoble 1), Julien Duval (Toulouse 3), Lawrence Gruman (Toulouse 3), Pierre Mazet (Paris 6), Myriam Ounaïes (Strasbourg), Jean-Pierre Vigué (Poitiers).

§9. Dynamique holomorphe et théorie du potentiel pluricomplexe

9.1. Dynamique holomorphe à plusieurs variables

En une variable, l'ensemble de Julia (celui où la dynamique est non-triviale) porte une mesure invariante naturelle introduite par Brolin, Lyubich, Freire-Lopez-Mañé comme limite de combinaisons de masses de Dirac sur des cycles répulsifs. C'est aussi une mesure d'équilibre au sens de la théorie du potentiel. Pour trouver un analogue à plusieurs variables, des auteurs ont défini des fonctions de Green G --- à partir de limites renormalisées de normes d'itérés --- ainsi que des courants positifs fermés T=dd^c G. Différentes notions d'ensembles de Julia (ou d'ensemble de Julia remplis) découlent de la considération des supports de produits extérieurs de différents courants T, ce qui pose en soi des problèmes de définition. A partir d'un tel produit de degré (n,n) on peut définir une mesure d'équilibre ; dans le cas d'un endomorphisme holomorphe f de Pⁿ, Briend et Duval ont démontré que cette mesure reflète la distribution des points périodiques répulsifs de f, que ses exposants de Liapounoff sont positifs, et qu'elle est l'unique mesure d'entropie maximale. La construction d'une mesure avec de bonnes propriétés ergodiques a été obtenue dans d'autres cas par Favre et Guedj en poursuivant la voie initiée par Bedford-Lyubich-Smillie. L'étude du cas de Cⁿ, nécessite déjà le choix d'une compactification adaptée pour exploiter les résultats précédents.

Lattès avait fourni les premiers exemples d'applications rationnelles dont l'ensemble de Julia est P¹ tout entier. L'étude du support de la mesure ``de Green'' évoquée plus haut permet de caractériser les analogues en dimension supérieure des exemples de Lattès, en fournisssant au passage des exemples inattendus d'auto-applications holomorphes propres de certains domaines. Berteloot et Patrizio ont appliqué à d'autres problèmes d'applications holomorphes entre domaines les outils de la dynamique holomorphe projective.

La question de la détermination des couples d'endomorphismes permutables intervient dans le problème de l'itération d'un seul endomorphisme. Fatou et Julia l'ont étudié dans les années 1920 pour le cas des polynômes dans C. Dinh et Sibony ont caractérisé une vaste classe de couples d'endomorphismes holomorphes permutables de Pⁿ. Dans le même esprit, des méthodes de dynamique dans C² sont appliquées à l'étude des couples de polynômes de C tels que l'image réciproque normalisée d'une mesure de probabilité donnée soit la même. On en déduit des résultats sur les compacts d'unicité des polynômes (au sens de Nevanlinna) ; ce sont des compacts de capacité positive, la mesure en question étant ici -- à nouveau -- la mesure d'équilibre du compact considéré.

On rencontre dans des questions de dynamique holomorphe (comme les feuilletages ou les endomorphismes de P^k) beaucoup d'objets laminés dans un sens très faible et sur lesquels on aimerait pouvoir résoudre des équations ¶.

Berndtsson et Sibony ont donné des solutions de l'équation 

Chercheurs du réseau travaillant sur ces sujets : François Berteloot (Toulouse 3), Jean-Yves Briend (Aix-Marseille 1), Tien-Cuong Dinh (Orsay), Julien Duval (Toulouse 3), Vincent Guedj (Toulouse 3), Peter Haïssinsky (Aix-Marseille 1), Nessim Sibony (Orsay). (Les chercheurs qui travaillent dans ce domaine bénéficient des contacts qu'ils ont au sein de leurs universités avec les dynamiciens plus spécialisés dans la théorie à une variable, par exemple Xavier Buff à Toulouse 3.)

9.2. Théorie du potentiel pluricomplexe

La classe des fonctions plurisousharmoniques à croissance logarithmique sur Cⁿ permet de définir une fonction de Green pluricomplexe comme une certaine fonction extrémale. Sadullaev avait caractérisé l'algébricité des sous-variétés analytiques de Cⁿ par la possibilité de définir une telle fonction sur la sous-variété. En utilisant des méthodes qui proviennent des travaux de Demailly et en définissant des classes plus générales de fonctions plurisousharmoniques, Zeriahi arrive d'une part à un critère d'algébricité semi-local, d'autre part à un résultat avec estimation du degré d'algébricité de la sous-variété considérée.

L'approximation obtenue par Nivoche de la fonction extrémale d'un compact contenu dans un domaine par des fonctions de Green pluricomplexes permet de généraliser un résultat d'approximation (sur les largeurs au sens de Kolmorogov) à des espaces de fonctions à plusieurs variables. Les fonctions de Green à plusieurs pôles sont en rapport avec des problèmes d'interpolation de points par des disques analytiques, dans l'esprit du théorème de Lempert (qui concernait, lui, un pôle unique), ce qui a des conséquences pour les problèmes de type Pick-Nevanlinna (cf. §6.3).
 

Chercheurs du réseau travaillant sur ces sujets : Stéphanie Nivoche (Toulouse 3), Nguyen Thanh Van (Toulouse 3), Ahmed Zeriahi (Toulouse 3).

§10. Géométrie complexe

10.1. Prolongement d'applications méromorphes et problème de plongement des structures CR

Cependant la question de l'extension des applications méromorphes est plus subtile que pour les applications holomorphes ; par exemple, il existe une variété complexe X de dimension 3 telle que toute application définie dans le complémentaire d'un point dans un domaine D de C² et à valeurs dans X s'étend au domaine D, mais la propriété analogue n'est pas vérifiée pour une boule épointée de C³.

Toutefois, Ivashkovitch a aussi prouvé que pour toute surface complexe compacte X et toute application f: W \ K X, où W est une surface de Stein, K compact, et W \ K connexe, se prolonge méromorphiquement au complémentaire d'un nombre fini de points dans W. Si cet ensemble de points n'est pas vide, X contient une coquille sphérique de dimension 2, donc est de classe VII.

Les méthodes omniprésentes en dynamique holomorphe (cf. section 4) sont aussi pertinentes ici. Par exemple, on sait depuis les travaux de Skoda et de Sibony que l'étude de la croissance des potentiels d'un courant positif fermé de degré (1,1) (les potentiels d'un courant devant satisfaire une équation de Monge-Ampère) permet d'obtenir des résultats d'extension du courant ; une application récente en a été donnée par Dingoyan à des résultats d'extension des applications méromorphes dans les variétés projectives.

Les applications méromorphes se définissent à partir de la variété qui donne leur graphe ; pour étudier leur prolongement on peut chercher des résultats de plongement du graphe ou voir leur graphe comme le bord d'une autre variété. Sarkis a donné des résultats dans cette direction dans un cas qui admet un ensemble maigre au sens de Hausdorff de singularités inessentielles.

Quand on se donne une structure CR (cf. §8) de façon abstraite sur une variété, on se demande si elle est réalisable par plongement dans un espace complexe affine ou projectif. D'après un théorème de Boutet de Monvel, la réponse est positive pour les variétés CR compactes fortement pseudoconvexes de dimension réelle 2n+1 ³ 5 dont la dimension CR est n (maximale). Pour n=1, Lempert a utilisé la représentation naturelle d'une variété plongeable M de dimension 3 comme un bord pseudoconcave pour montrer que si elle est plongeable, on peut la plonger dans une variété algébrique compacte X que M sépare alors en deux côtés pseudoconvexe et pseudoconcave. Epstein et Henkin partent de cette situation pour définir une notion de presque plongeabilité d'une variété pseudoconcave à bord X_- munie d'un diviseur Z (il faut que la dimension de l'espace de sections H⁰(X_-,[d· Z]) soit suffisamment grande et que tout complémentaire d'un ensemble analytique soit plongeable dans un espace projectif) et montrent son équivalence avec la plongeabilité de ¶ X_- dans l'espace complexe affine. La question générale du plongement d'une surface CR fortement pseudoconvexe est délicate, et reste ouverte.
 

Chercheurs du réseau travaillant sur ces sujets : Pascal Dingoyan (Paris 6), Guennadi Henkin (Paris 6), Sergueï Ivachkovitch (Lille 1), Joachim Michel (Littoral), Frédéric Sarkis (Lille 1).

10.2. Structures presque complexes

Chercheurs du réseau travaillant sur ces sujets : Jean-François Barraud (Lille 1), Damien Gayet (Orsay), Sergueï Ivachkovitch (Lille 1).

10.3. Classification des variétés complexes compactes ; variétés projectives et kähleriennes

Une condition suffisante pour l'existence de b₂(S) courbes rationnelles est l'existence d'un champ de vecteurs holomorphes. Les mêmes auteurs et leurs étudiants, ont obtenu des résultats de classification à partir d'autres conditions sur la surface (dimension du groupe d'automorphismes, existence de feuilletages holomorphes singuliers).

Demailly a appliqué, en particulier, des méthodes issues de la solution de l'équation de Cauchy-Riemann par Hörmander (estimations L², fonctions pluri-sous-harmoniques, qui conduisent à introduire des notions comme les ``exposants de singularités complexes'', liés aux nombres de Lelong) à une grande variété de problèmes qui relèvent de nos voisins en géométrie analytique (Demailly est d'ailleurs membre du GDR Géométrie Algébrique Complexe). Citons (de façon non exhaustive) l'existence de métriques de Kähler-Einstein sur certaines variétés de Fano, l'invariance du cône de Kähler dans une déformation de variétés kähleriennes compactes, et des résultats dans la direction de la conjecture de Fujita, qui assure un nombre suffisant de sections au fibré H⁰(X,K_X+mL) où X est une variété algébrique projective, L un fibré en droites suffisamment positif, et m un entier suffisamment grand en fonction de la dimension n de X.
 

Chercheurs du réseau travaillant sur ces sujets : Frédéric Bosio (Poitiers), Jean-Pierre Demailly (Grenoble 1), Georges Dloussky (Aix-Marseille 1), Jean-Jacques Loeb (Angers), Michel Méo (Angers), Karl Oeljeklaus (Aix-Marseille 1), Andrei Teleman (Aix-Marseille 1).

§11. Prospective pour les quatre années à venir

Fonctions holomorphes d'une ou plusieurs variables complexes

· Régularité jusqu'au bord des solutions de l'opérateur ¶.

· Stabilité de l'opérateur ¶-Neumann

· Etude des rapprochements entre la convexité en géométrie affine et Segre-convexité en géométrie complexe d'une part, domaines bornés pseudoconvexes à bord réel-analytique et domaines strictement pseudoconvexes d'autre part.

· Les estimations du noyau de Bergman dans les domaines de Cⁿ, n³ 4, restent à faire et ont des implications dans le problème du ¶. On en attend des estimées sous-elliptiques précises et la régularité du projecteur de Bergman.

· Généraliser le théorème de synthèse spectrale de Schwartz en plusieurs variables : toute solution f de P(¶/¶ z) f=0 s'écrit comme somme d'exponentielles polynômes.

· Problème de Fischer : Condition nécessaire et suffisante sur un couple de polynômes (P,Q) pour que l'espace des fonctions holomorphes dans Cⁿ satisfasse
H( Cⁿ)= Ker P(¶/¶ z) Q H( Cⁿ). Ce problème est fortement relié à des problèmes de Cauchy caractéristiques (y compris dans le cadre réel). Il s'applique aussi à des questions d'échantillonnage.

· Caractérisation des ensembles de zéros des classes de Nevanlinna pour de nombreux domaines (par exemple certains domaines singuliers de Cⁿ dont la boule minimale); conditions nécessaires et conditions suffisantes pour les zéros des fonctions de H^¥ pour certains domaines convexes.

· Problèmes d'échantillonnage dans les espaces de type Bergman.

· Théorème de la Couronne H^p (structure de l'espace H^p comme H^¥-module) pour certains domaines convexes.

· Nouvelles caractérisations des espaces de fonctions holomorphes pour les domaines de type fini et application aux opérateurs de Hankel.

· Analyse complexe dans les domaines symétriques de rang supérieur ou plus simplement les domaines tubes (régularité des opérateurs de Hankel, espaces de Hardy...). L'analyse sur ces domaines fait intervenir des opérateurs oscillants d'une nature bien différente des intégrales singulières qui sont la base de l'étude dans les domaines réguliers.

· Etude des fonctions propres dans l'espace hyperbolique complexe, comme suite naturelle à l'étude des fonctions harmoniques pour la métrique hyperbolique. Ceci intéresse aussi des chercheurs extérieurs à notre thématique (Jean-Pierre Otal).

· Comportement des fonctions entières à croissance contrôlée en relation avec les principes d'incertitude pour la transformée de Fourier et la fonction ambiguïté radar.

· Les propriétés des idéaux engendrés par un germe donné de fonction analytique dans l'anneau des germes de fonctions ultradifférentiables sont encore mal connues, en particulier dans le cadre quasi-analytique. Les liens entre l'analyse différentielle, la géométrie algébrique et la théorie des singularités ne manquent pas et sont à exploiter. Les récents travaux sur les structures o-minimales menés tant par des logiciens que par des géomètres jettent un éclairage nouveau sur les classes de fonctions quasi-analytiques et renforcent l'intérêt qui leur est porté.

· Donner des conditions sur un sous-ensemble analytique pour qu'ait lieu l'extension bornée (respectivement l'extension avec même norme) des fonctions holomorphes bornées.

· Si D est un domaine pseudo-convexe de Cⁿ et X un sous-ensemble analytique fermé de D , étudier le problème d'extension des fonctions holomorphes de X à D, et les problèmes de division qui lui sont associés, lorsque X présente des singularités. Dans ce cadre, l'obtention de résultats passe par la recherche de théorèmes de structure sur les courants résiduels (cf. thématique suivante).

Théorie des résidus en plusieurs variables et géométrie intégrale complexe

· Soit f un germe d'application holomorphe de Cⁿ dans Cⁿ, tel que son Jacobien J(f) s'annule sur les zéros de f; J(f) est-il dans l'idéal engendré par les coordonnées de f? On recherche une version plus constructive du théorème de Briançon-Skoda, qui serait au coeur d'un certain nombre de problèmes sur les résidus.

· Structure locale et globale des courants résiduels. Représentation de la ¶-cohomologie des variétés concaves par des courants résiduels et inversion du théorème d'Abel.

· Equation ¶ et cohomologie ¶ sur des ensembles analytiques, formes méromorphes et formes holomorphes sur des ensembles analytiques.

· Caractérisation des fonctions algébriques et des polylogarithmes par des équations fonctionnelles.

· Equation ¶ pour des variables quaternioniques et applications.

· Caractérisation des fonctions algébriques et des polylogarithmes par des équations fonctionnelles.

· Transformations d'Abel et de Radon en termes d'intégrales de Cauchy-Leray. Applications en tomographie et en économie.

· Applications à la transformation de Radon-Penrose, aux équations de Maxwell-Yang-Mills, à la théorie des nombres transcendants, et au problème de Cauchy analytique.

Analyse et géométrie sur les bords de domaines et sur les variétés de Cauchy-Riemann

· Résolution du ¶ à support exact dans les variétés complexes (lié à la question de la non-existence de variétés CR Levi-plates dans l'espace projectif).

· Dualité de Serre pour les variétés CR.

· Etude du principe de réflexion en plusieurs variables complexes dans le cas non minimal.

· Généralisation du prolongement CR et application des symétries de Lie.

· Classification locale des hypersurfaces analytiques réelles homogènes de C³ d'après leur groupe de symétrie CR.

· Formes normales à la Cartan-Chern-Moser pour les hypersurfaces uniformément Levi-dégénérées et finiment non-dégénérées

· Involutivité générique des systèmes d'équations aux dérivées partielles analytiques.

· Paramétrisation des transformations ponctuelles ou de contact entre systèmes différentiels.

· Elaboration de programmes informatiques sous Maple ou Mathematica pour l'application de la méthode d'équivalence (Elie Cartan).

· Régularité d'applications holomorphes propres et d'applications CR continues. Convergence d'applications CR lisses ou formelles à valeurs dans un ensemble analytique réel ne contenant pas de courbe holomorphes.

· Caractérisation tensorielle de l'algébrisabilité des hypersurfaces de C².

· Applications de la théorie de désingularisation de Zariski-Hironaka à la géométrie CR analytique réelle. Recherche de critère effectifs (algorithmiques) pour repérer l'existence d'ensembles analytiques complexes contenus dans un ensemble analytique réel.

· Analyse et géométrie CR-quaternionique.

· Etant donnée une surface compacte totalement réelle de C², existe-t-il une surface de Riemann compacte à bord s'appuyant dessus ?

· Comportement au bord des suites d'itérées d'applications holomorphes d'un domaine borné dans lui-même.

Dynamique holomorphe et théorie du potentiel pluricomplexe

· Etudes fines sur les ensembles de Julia, Fatou, les mesures et courants invariants: dimension de Hausdorff, structure de lamination, classification de composantes de Fatou, problème de composantes non-récurrentes...

· Endomorphismes chaotiques de P^k : questions de généricité, exemples, caractérisation des exemples de Lattès par la dimension de leur mesure de Green.

· Etude approfondie de l'équation ¶uÙ T=fÙ T lorsque T est un courant de bidegré (p,p), et comme préliminaire : structure des courants positifs fermés dans ces bidegrés. Même les questions les plus immédiates sont ouvertes, par exemple l'approximation au sens faible par des variétés (la question en bidegré (1,1) est essentiellement équivalente au problème de Levi).

· Etude des automorphismes et des application birationnelles en dimension quelconque. Ceci conduira à des problèmes intéressants sur les courants positifs fermés de codimension élevée : problème de définition comme intersection de courants de codimension 1, problème d'approximation par des cycles holomorphes. Les courants positifs plurisousharmoniques sont également très interéssants (on sait, d'après L. Garnett, que les compacts laminaires portent des courants positifs pluriharmoniques).

· Trouver de grandes classes d'applications méromorphes pour lesquelles on peut pousser loin l'étude de la dynamique (on ne dispose pas de techniques pour étudier une application méromorphe générale), ou trouver d'autres méthodes pour construire des mesures et courants invariants. Comme exemple, on a un peu traité les classes suivantes: applications régulières, applications d'allure polynomiale, applications semblables aux applications de Hénon, application d'allure horizontale.

· Construire une théorie de l'entropie des courants, rendant compte de l'unicité d'un courant d'entropie maximale pour un endomorphisme de P^k.

· Théorie du pluripotentiel relativement à un courant positif fermé (motivée par la construction d'une mesure invariante d'entropie maximale pour certaines classes d'automorphismes).

· Théorie des fonctions extrémales dans une variété kählérienne compacte (motivée par l'étude de la théorie du pluripotentiel avec croissance logarithmique dans Cⁿ en compactifiant Cⁿ).

· Elucider les rapports entre la fonction de Green pluricomplexe (objet plurisousharmonique) et des objets holomorphes comme les disques analytiques ou les sous-ensembles analytiques.

· Construction de fonctions plurisousharmoniques maximales pour l'opérateur de Monge-Ampère, avec des singularités logarithmiques données et une croissance logarithmique sur Cⁿ ; possible ou non en fonction de certains invariants sur l'ensemble des singularités.

· Etude de la taille des ensembles de sous-niveau des fonctions plurisousharmoniques en termes de mesures et de capacités de type Hausdorff-Riesz.

Géométrie complexe

· Problème de Levi pour les espaces analytiques: si X est un espace analytique de Stein et si W est un ouvert relativement compact de X localement de Stein, W est-il lui-même de Stein? Des travaux récents de jeunes chercheurs issus de Paris-6 et Marseille sur des questions classiques de convexité holomorphe devraient fournir une nouvelle source d'inspiration pour ce problème.

· Donner des versions géométriques des phénomènes de Hartogs récemment mis en évidence (cf. §8.1), ce qui implique de résoudre des problèmes de bord dans un cadre CR.

· Etude des structures CR à l'aide des formules intégrales en vue d'une nouvelle approche aux théorèmes de plongements à la Kuranishi.

· Etude des plongements des structures CR abstraites de type fini.

· Etude des structures presque-complexes à l'aide des formules intégrales.

· Trouver un analogue presque-complexe du théorème d'hyperbolicité de Mark Green.

· Etude des déformations des structures complexes à l'aide des formules intégrales.

· Démontrer la conjecture qu'une surface S de la classe VII₀ de Kodaira avec b₂>0 admet une coquille sphérique globale. Etudier les variétés admettant une coquille sphérique globale en dimension supérieure à deux. Liens avec les feuilletages holomorphes, avec la dynamique holomorphe de Cⁿ.

· Actions de groupes de Lie compacts et fonctions plurisousharmoniques sur les variétés de Stein, variétés homogènes

· Courants positifs fermés sur les surfaces non-kählériennes.

· Propriétés des noyaux de Bergman pour l'interpolation et pour la construction de métriques sur les fibrés vectoriels holomorphes avec de bonnes propriétés de positivité.

· Mieux comprendre la dualité entre cônes de diviseurs et cônes de courbes, pour des variétés projectives ou kählériennes. On conjecture (dans le cadre projectif) que le dual du cône pseudo-effectif est constitué des classes des courbes ``mouvantes", ce qui aurait des répercussions en direction de la théorie du modèle minimal et des conjectures d'abondance.

· Toute variété kählérienne est-elle limite de variétés projectives?

§12. Travaux des trois dernières années (1999--2001)

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(Demande rédigée par Joël Merker et Pascal Thomas,

avec l'aide des participants du GDR.)