18 Décembre 2023

Marco Panza (CNRS)

La définition des nombres réels de Frege est consistante

La troisième partie des Grundgesetze de Frege aurait dû être consacrée
à la définition des nombres réels comme rapports de grandeurs
(en opposition aux définitions arithmétiques de Dedekind et Cantor,
entre autres).

Les deux premiers longs chapitres de cette partie
occupent une large partie du volume 2 (paru en 1903) ;
les autres auraient dû occuper un troisième volume.
Ce dernier volume n'apparaîtra jamais, car à la veille de la publication du deuxième,
Frege reçoit une lettre de Russell l'informant de son célèbre paradoxe.

Ce dernier frappe aussi la définition des nombres réels
comme elle avait été conçue et partiellement réalisée,
ce qui convainc Frege de ne pas continuer dans son entreprise.

Ce choix est pourtant questionnable, car,
à la différence de celle des nombres naturels,
et à l'opposé de ce qui est généralement supposé par les interprètes,
la définition des nombres réels envisagée par Frege
peut assez aisément être rendue consistante,
sans lui faire subir aucune transformation essentielle.

Dans mon exposé je vais montrer comment.