Lundi 5 Mai 2025 de 18h à 20h en Salle W du DMA à l'ENS

Annick Valibouze (Sorbonne Université)

Groupe de Galois et idéaux galoisiens :
théorie, algorithmes et calculs

Dans cet exposé, seront expliquées
les idées de base de la théorie de Galois
et ses outils algébriques pour les calculs.

Après une première partie portant sur la détermination
du groupe de Galois d’un polynôme,
nous nous intéresserons aux calculs exacts
dans le corps de ses racines.

Nous introduirons alors les idéaux galoisiens du polynôme.

L’intersection de tous les idéaux galoisiens
est l'idéal des relations symétriques.
Son système de générateurs triangulaire,
formé par les dits “modules de Cauchy”,
fournit une effectivité peu connue
du théorème fondamental des fonctions symétriques.

Chaque idéal galoisien maximal
possède un système de générateurs triangulaire,
formé par les dits “modules fondamentaux”.
Ce système permet les calculs algébriques dans le corps des racines,
tout en fournissant le groupe de Galois avec son action sur les racines.

Il existe plusieurs méthodes pour calculer ces modules fondamentaux.

Certaines partant de la connaissance du groupe de Galois, d’autres non.

La méthode de Tchebotarev,
implémentable dans un système de calcul formel tel que SageMath,
mène à des calculs exponentiels
lorsque l’ordre du groupe de Galois est élevé.

Nous présenterons l’algorithme GaloisIdeal,
qui construit une chaîne croissante d’idéaux galoisiens,
jusqu’à un maximal.

Il évite l’écueil de l’explosion des calculs
pour des groupes de Galois d’ordre élevé.

Mixable avec d’autres algorithmes,
GaloisIdeal possède des améliorations notables qui seront évoquées.