Lundi 4 Mai 2026 de 18h à 20h en salle W du DMA à l'ENS

Marie-Françoise Roy (IRMAR)

Effectivité et complexité du 17ème problème de Hilbert

La preuve d’Artin du 17ème problème de Hilbert
montre que tout polynôme positif
est une somme de carrés de fractions rationnelles
mais ne produit pas cette somme de carrés.

La théorie des corps réels clos joue un rôlé clé dans cette preuve,
qui utilise un principe de transfert,
basé sur le comptage des racines réelles par Sturm ou Hermite.

Pour Tarski, le principe de transfert
est un cas particulier d’élimination des quantificateurs
pour la théorie des corps réels clos.

Quelques décennies plus tard,
les géomètres ont réinterprété l’élimination des quantificateurs
comme la stabilité par projection des ensembles semi-algébriques.

Les ensembles semi-algébriques jouissent de nombreuses propriétés de finitude
et des problèmes de complexité ou d’algorithmique s’y posent naturellement.

Par exemple comment évaluer le nombre de composantes connexes
d’un ensemble semi-algébrique,
ou comment décider si deux points appartiennent à la même composante connexe.

Ce détour par l’algorithmique des ensembles semi-algébriques
fournit des outils utiles pour trouver une construction explicite
de la somme de carrés pour le 17ème problème de Hilbert,
avec des bornes pour les degrés élémentairement récursives.