Séminaire BOURBAKI Mars 1997 49ème année, 1996-97, n^{o} 826

MESURES SEMI–CLASSIQUES ET MESURES DE DÉFAUT

par Nicolas BURQ

Soient Ω un ouvert de R^{d} et (u_{k}), une suite bornée dans L^{2}(Ω). On peut toujours, quitte à extraire une sous suite, supposer que cette suite converge au sens des distributions vers une limite u ∈ L^{2}(Ω), ce qu’on note (u_{k}) ⇀ u. Les mesures de défaut micro-locales ont été introduites dans la littérature afin de décrire la perte de compacité forte dans ce passage à la limite. L’objet a priori le plus simple associé à la suite (u_{k}), qui est à la base de l’étude par P.L. Lions [29, 30] de problèmes variationnels elliptiques avec perte de compacité, est la mesure de Radon, ν, définie comme la limite vague au sens des mesures de la suite bornée dans L^{1} :

ν_{k} = |u_{k}(x) − u(x)|^{2}

qu’on appelle mesure de défaut de la suite (u_{k}). Deux exemples permettent d’illustrer cette notion :

1. Concentration : u_{k}(x) = k^{d/2}φ (k(x − x_{0})) avec φ ∈ C_{0}^{∞}(R^{d}), ∫ |φ|^{2} = 1, alors (u_{k}) ⇀ 0 et ν = δ_{x_{0}} la mesure de Dirac au point x_{0}.

2. Oscillation : u_{k} = φ(x)e^{ikx·ξ} alors (u_{k}) ⇀ 0 et ν = |φ(x)|^{2}dx, où dx est la mesure de Lebesgue sur R^{d}. Le deuxième exemple montre que ces mesures de défaut ne permettent pas de

distinguer entre les différentes directions d’oscillation, ξ ∈ R^{d}, qui interviennent dès qu’on n’étudie plus seulement des problèmes elliptiques.

La définition des mesures de défaut micro-locales semble être due à Wigner [43] dans le contexte de la mécanique semi-classique. Plus récemment A. Shnirelman [40], Y. Colin de Verdière [10], B. Helffer-A. Martinez-D. Robert [24] développèrent cette notion pour étudier la répartition asymptotique des fonctions propres du Laplacien sur une variété Riemanienne à bord. Enfin, à la fin des années 80, P. Gérard [15] et L. Tartar [41] dégagèrent indépendamment une notion générale, les H-mesures ou mesures de défaut micro-locales, tandis que les versions semi-classiques connaissaient un regain d’intérêt avec les travaux de P. Gérard [16], P.L. Lions-T. Paul [31],

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P. Markowitch-N. Mauser-F. Poupaud [32] … Dans la première partie de cet exposé on présentera le cadre mathématique et on exposera la construction et les principales propriétés de ces mesures. Dans les parties suivantes on présentera quelques exemples récents d’applications de ces notions dans les domaines de l’homogénisation, du contrôle des équations aux dérivées partielles et de l’optique géométrique non linéaire. Ces exemples ne prétendent pas être exhaustifs, nous les avons choisis car ils nous semblent bien illustrer à la fois la variété des applications possibles et l’intérêt de cette approche.

Je remercie vivement P. Gérard pour l’aide qu’il m’a apportée dans la préparation de cet exposé.

1. MESURES MICRO-LOCALES ET SEMI-CLASSIQUES

1.1. Notations. Soient Ω un ouvert de R^{d} et H un espace de Hilbert séparable dont on note (·, ·)_{H} le produit scalaire.

1) On note L^{2}(Ω; H) l’espace des fonctions à valeurs dans H, de classe L^{2} sur Ω muni de son produit scalaire naturel noté (·, ·), K(H) (respectivement L^{1}(H)) l’espace des opérateurs compacts sur H (respectivement à trace). On note aussi S^{∗}Ω le fibré cotangent en sphères de Ω (S^{∗}Ω = T^{∗}Ω\{0}/R_{+}^{∗}) et M_{+}(T^{∗}Ω; L^{1}(H)) (respectivement M_{+}(S^{∗}Ω; L^{1}(H))) l’espace des mesures de Radon positives sur T^{∗}Ω (respectivement sur S^{∗}Ω), à valeurs opérateurs à trace sur H.

2) On note H^{s} (Ω; H) l’espace de Sobolev des distributions de classe H^{s} à valeurs dans H, H_{comp}^{s} (Ω; H) le sous espace formé des distributions à support compact et H_{loc}^{s} (Ω; H) l’espace des distributions u telles que pour tout φ ∈ C_{0}^{∞} (Ω), φu ∈ H^{s} (Ω; H).

3) On note Ψ_{comp}^{m}(Ω; L(H)) (respectivement Ψ_{comp}^{m}(Ω; K(H))) l’espace des opérateurs pseudo-différentiels polyhomogènes d’ordre m sur Ω à valeurs L(H) (respectivement K(H)), dont le noyau distribution est à support compact dans Ω × Ω. Ce sont des opérateurs du type

Au(x) = a(x, D_{x})u(x) = \frac{1}{(2π)^{d}} ∫_{Ω×R^{d}} e^{i(x−y)·ξ}a(x, ξ)u(y)dydξ,

où a(x, ξ) ∈ S_{comp}^{m}(Ω; L(H)) est un symbole polyhomogène d’ordre m (voir [25], chap 18.1). On rappelle que si χ est un difféomorphisme C^{∞} de Ω alors, pour tout a ∈

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S_{comp}^{m}(Ω; L(H)), on a la formule de changement de variables

(1)  a(x, D_{x})u(χ(x)) = χ^{∗}(a(x, D_{x})u) = χ^{∗}(a)(x, D_{x})(χ^{∗}u) + R(χ^{∗}u)

où χ^{∗}(a)(x, ξ) = a(χ(x), ^{t}χ′^{−1}ξ) et R ∈ Ψ_{comp}^{m−1}(Ω; L(H)).

4) On note σ_{m}(A) ∈ C_{0}^{∞}(S^{∗}Ω; L(H)), le symbole principal d’ordre m de l’opérateur A dont on rappelle les principales propriétés :

i) L’application σ_{m} : A ∈ Ψ_{comp}^{m}(Ω; L(H)) ↦ σ_{m}(A) ∈ C_{0}^{∞}(S^{∗}Ω; L(H)) est surjective et il en est de même si on remplace L(H) par K(H).

ii) Pour tout A ∈ Ψ_{comp}^{m}, σ_{m}(A) = 0 ⇔ A ∈ Ψ_{comp}^{m−1}. iii) Pour tout A ∈ Ψ_{comp}^{m}, σ_{m}(A^{∗}) = σ_{m}(A)^{∗} où la première étoile désigne l’adjoint

au sens des opérateurs et la deuxième l’adjoint au sens des éléments de H. iv) Pour tous Q ∈ Ψ_{comp}^{q}, P ∈ Ψ_{comp}^{p}, l’opérateur P ∘Q appartient à l’espace Ψ_{comp}^{p+q} et

σ_{p}(P)σ_{q}(Q) = σ_{p+q}(P ∘ Q).

v) Si H = C alors pour tous Q ∈ Ψ_{comp}^{q}, P ∈ Ψ_{comp}^{p}, l’opérateur [P, Q] = P ∘Q−Q∘P appartient à l’espace Ψ_{comp}^{p+q−1} et

(2)  σ_{p+q−1}([P, Q]) = \frac{1}{i}\{σ_{p}(P), σ_{q}(Q)\},

où {f, g} = ∑_{1≤i≤d} ∂_{ξ_{i}}f∂_{x_{i}}g − ∂_{x_{i}}f∂_{ξ_{i}}g désigne le crochet de Poisson des fonctions f et g.

5) On rappelle que si P ∈ Ψ_{comp}^{m} alors l’opérateur P est continu de l’espace de Sobolev H_{loc}^{s}(Ω; H) dans H_{comp}^{s−m}(Ω; H). En particulier, pour m < 0, P ∈ Ψ_{comp}^{m} est compact sur L^{2}(Ω; H).

6) On note pour h ∈]0, h_{0}[, h_{0} > 0 et a ∈ S(R^{2d}; L(H)) (la classe de Schwartz des fonctions à décroissance rapide, à valeurs opérateurs bornés), a(x, hD_{x}) l’opérateur h-pseudo-différentiel défini par

a(x, hD_{x})u(x) = \frac{1}{(2π)^{d}} ∫_{R^{d}×R^{d}} e^{i(x−y)·ξ}a(x, hξ)u(y)dydξ.

On rappelle les propriétés suivantes vérifiées par ces opérateurs :

i) Pour tout a ∈ S(R^{2d}; L(H)), l’opérateur a(x, hD_{x}) est continu sur L^{2}(R^{d}; H) uniformément par rapport au paramètre h ∈]0, h_{0}[.

ii) Pour tout a ∈ S(R^{2d}; L(H)), on a

a(x, hD_{x})^{∗} = a^{∗}(x, hD_{x}) + hR_{1}(h),

où R_{1}(h) est uniformément borné sur L^{2}(R^{d}; H). iii) Pour tous a, b ∈ S(R^{2d}; L(H)), on a

a(x, hD_{x}) ∘ b(x, hD_{x}) = ab(x, hD_{x}) + hR_{2}(h),

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avec R_{2}(h) uniformément borné sur L^{2}(R^{d}; H). iv) Pour tous a, b ∈ S(R^{2d}; C)), on a

(3)  [a(x, hD_{x}), b(x, hD_{x})] = \frac{h}{i}\{a, b\}(x, hD_{x}) + h^{2}R_{3}(h),

avec R_{3}(h) uniformément borné sur L^{2}(R^{d}; C).

v) Si χ est un difféomorphisme C^{∞} de R^{d} on a la formule de changement de variables :

(4) a(x, hD_{x})u(χ(x)) = χ^{∗}(a(x, hD_{x})u) = χ^{∗}(a)(x, hD_{x})(χ^{∗}u) + hR_{4}(h)(χ^{∗}u),

avec R_{4}(h) uniformément borné sur L^{2}(R^{d}; H).

1.2. Définition des mesures. On considère (u_{k}) ∈ L_{loc}^{2}(Ω; H) une suite localement bornée dans L^{2}. On suppose que (u_{k}) ⇀ u au sens des distributions, c’est-à-dire que pour toute fonction φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω; H), on a

lim_{k→+∞} (u_{k}, φ) = lim_{k→+∞} ∫_{Ω} (u_{k}(x), φ(x))_{H} dx = ∫_{Ω} (u(x), φ(x))_{H} dx.

Les principaux résultats d’existence des mesures peuvent être résumés par les deux énoncés suivants : THÉORÈME 1 (P. Gérard et L. Tartar).— Il existe une sous suite (u_{k_{n}}) de la suite (u_{k}) et une mesure μ ∈ M_{+}(S^{∗}Ω, L^{1}(H)) telles que pour tout A ∈ Ψ_{comp}^{0}(Ω, K(H)),

(5)  lim_{n→+∞}(A(u_{k_{n}} − u), u_{k_{n}} − u) = ∫_{S^{∗}Ω} tr(a(x, ξ)μ(dxdξ)),

où a = σ_{0}(A) est le symbole principal de l’opérateur A. On dit que μ est une mesure de défaut micro-locale (ou une H-mesure) associée à la suite (u_{k}). S’il y a unicité de la “mesure limite”, on dit que la suite (u_{k}) est pure et on note μ = M_{m}(u_{k}). THÉORÈME 2 (P. Gérard, P.L. Lions-T. Paul).— Pour toute suite (h_{k}) de réels strictement positifs tendant vers 0 (qu’on appelle une suite d’échelles), il existe une sous suite (u_{k_{n}}) de la suite (u_{k}) et une mesure ν ∈ M_{+}(T^{∗}Ω, L^{1}(H)) telles que pour tout a ∈ C_{0}^{∞}(T^{∗}Ω, K(H)),

(6)  lim_{n→+∞}(a(x, h_{k_{n}}D_{x})(u_{k_{n}}), u_{k_{n}}) = ∫_{T^{∗}Ω} tr(a(x, ξ)ν(dxdξ)).

On dit que ν est une mesure de défaut semi-classique (ou une mesure de Wigner) associée à la suite (u_{k}). S’il y a unicité de la “mesure limite”, on dit que la suite (u_{k}) est pure et on note ν = M_{sc}(u_{k}). Remarques :

1. La mesure limite, ν, dépend évidemment du choix de la suite d’échelles (h_{k}). L’introduction d’une telle suite peut sembler artificielle, néanmoins dans la plu-

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part des applications et en particulier pour tous les problèmes liés à la limite semi-classique de la mécanique quantique, cette suite (h_{k}) est donnée naturellement par l’énoncé du problème étudié.

2. Bien que nécessitant l’existence d’une suite (h_{k}) adaptée au problème, les mesures semi-classiques sont d’une certaine manière plus précises que les mesures microlocales qui vivent sur le quotient, S^{∗}Ω, de l’espace T^{∗}Ω.

3. Si l’espace H est de dimension finie, alors la nullité de la mesure de défaut microlocale associée à une suite (u_{k}) convergeant faiblement vers u est équivalente à la convergence forte sur tout compact de Ω de la suite (u_{k}). Si l’espace H est de dimension infinie, alors cette nullité est équivalente à la convergence forte pour tout v ∈ H de (u_{k}, v)_{H} sur tout compact de Ω, ce qui correspond par exemple si H = L^{2}(R_{y}^{d′}) à des résultats de compacité pour des moyennes en y d’une suite de fonctions u_{k} ∈ L^{2}(R_{x}^{d} × R_{y}^{d′}). On pourra consulter P. Gérard [17] et P. Gérard-F. Golse-B. Wennberg [20] pour des applications de cette remarque.

Démontrons le théorème 1 dans le cas le plus simple où H = C. La démonstration dans le cas général, ainsi que celle du théorème 2, est essentiellement la même. Le point crucial est le résultat suivant : LEMME 3 (Inégalité de Gårding).— Pour tout opérateur A ∈ Ψ_{comp}^{0}(Ω) de symbole principal, a = σ_{0}(A) positif, et toute fonction φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω) telle que φ (x) φ (y) = 1 sur le support du noyau distribution de A il existe C > 0 tel que pour tout u ∈ L^{2}(Ω)

(7)  |Im (A(u), u)| ≤ C∥φu∥_{H^{−1/2}(Ω)}^{2}
(8)  Re (A(u), u) ≥ −C∥φu∥_{H^{−1/2}(Ω)}^{2}.

D’après le calcul symbolique (3.iii), puisque a est réel, A − A^{∗} ∈ Ψ_{comp}^{−1}(Ω), ce qui implique la relation (7). Nous allons démontrer une version affaiblie de (8) suffisante pour notre propos : si la suite (u_{k}) converge faiblement vers 0 dans L^{2}(Ω) alors

(8′)  lim inf_{k→+∞} Re (A(u_{k}), u_{k}) ≥ 0.

Soit φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω) comme dans l’énoncé. On fixe ε > 0 et on note b = φ\sqrt{ε + a} = φε^{1/2} + b′ avec b′ ∈ S_{comp}^{0}(Ω). Le calcul symbolique montre que b(x, D_{x})b(x, D_{x})^{∗} − |φ|^{2}(εId + A) ∈ Ψ_{comp}^{−1}(Ω) ce qui implique (si Ψ ∈ C_{0}^{∞}(Ω), Ψφ = φ)

(9)  ε∥φu_{k}∥_{L^{2}}^{2} + Re (A(u_{k}), u_{k}) ≥ −C∥Ψu_{k}∥_{H^{−1/2}(Ω)}^{2}.

Le terme de droite converge vers 0, donc par passage à la limite on obtient

∀ε > 0, lim inf_{k→+∞} Re (A(u_{k}), u_{k}) ≥ −ε lim sup_{k→+∞} ∥φu_{k}∥_{L^{2}}^{2},

d’où la relation (8′).

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On peut donc pour tout a ∈ C_{0}^{∞}(S^{∗}Ω) extraire une sous suite u_{k_{n}} telle que, si A ∈ Ψ_{comp}^{0}(Ω) vérifie σ_{0}(A) = a, la suite (Au_{k}, u_{k}) a une limite quand k → +∞ (qui ne dépend que de a). Par extraction diagonale on peut, puisque l’espace C_{0}^{∞}(S^{∗}Ω) est séparable, supposer que la sous suite est la même pour tout a dans un ensemble dense dénombrable dans C_{0}^{∞}(S^{∗}Ω). Les relations (7) et (8’) montrent que cette limite est une fonctionnelle positive définie sur un sous espace dense de C_{0}^{∞}(S^{∗}Ω) bornée pour la topologie de C_{0}(S^{∗}Ω), donc se prolonge de manière unique en une mesure sur S^{∗}Ω qui vérifie (5). Calculons les mesures de défaut micro-locales obtenues pour les deux exemples de l’introduction :

1. Concentration : u_{k}(x) = k^{d}φ (−k(x − x_{0})), alors μ = δ_{x_{0}} ⊗∫_{λ>0} |φ̂(λξ)|^{2}λ^{d−1} \frac{dλ}{2π^{d}}.

2. Oscillation : u_{k} = φ(x)e^{ikx·ξ_{0}} avec φ ∈ C_{0}^{∞}(R^{d}), μ = |φ(x)|^{2}dx ⊗ δ_{ξ= \frac{ξ_{0}}{|ξ_{0}|}}.

1.3. Quelques propriétés des mesures. Le résultat suivant donne un lien entre les mesures micro-locales et semi-classiques : PROPOSITION 4. — On suppose que la suite (u_{k}) bornée sur L^{2}(R^{d}) est pure de mesure semi-classique ν et vérifie les estimations suivantes :

(10) lim sup_{k→+∞} ∫_{|x|≥R} |u_{k}(x)|^{2}dx = C(R) ⟶_{R→+∞} 0 ((u_{k}) est compacte à l’infini)

(11) lim sup_{k→+∞} ∫_{|ξ|≥R/h_{k}} |û_{k}(ξ)|^{2}dx = D(R) ⟶_{R→+∞} 0 ((u_{k}) est (h_{k})-oscillante)

(la première estimation dit que l’énergie de la suite ne part pas à l’infini et la deuxième que les fréquences caractéristiques de chaque terme de la suite (u_{k}) sont d’ordre au plus h_{k}^{−1}.)

On a alors ∥u_{k}∥^{2} → ν(T^{∗}R^{d}) et si ν{ξ = 0} = 0 (c’est-à-dire si la suite (h_{k}) ne tend pas trop vite vers 0) alors la suite (u_{k}) converge faiblement vers 0 et a pour mesure de défaut microlocale la mesure μ donnée par

⟨μ, a⟩ = ∫ a(x, \frac{ξ}{|ξ|})dν(x, ξ).

Remarque : Ce résultat semble indiquer que les mesures semi-classiques sont plus précises que les mesures micro-locales, néanmoins comme le montre P. Gérard [19], il n’existe pas toujours une suite d’échelles (h_{k}) telle qu’on ait (11) et M_{sc}(u_{k}){ξ = 0\} = 0. Il suffit en effet de prendre la suite (u_{k}) donnée par û_{k}(ξ) = \frac{1}{log(k)^{1/2}} (1 + |ξ|^{2})^{−d/4}ψ̂(ξ/k) avec ψ ∈ C_{0}^{∞}(R^{d}) vérifiant ∫ ψ = 1. On peut alors montrer que

∥f_{k}∥_{L^{2}} → (2π)^{−d}|S^{d−1}||∫ ψ|^{2}

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et ∀ 0 < a < b < +∞

∫_{a≤h_{k}≤b} |f̂_{k}(ξ)|^{2}dξ ≤ \frac{C}{log k} ∫_{a≤h_{k}≤b} \frac{dξ}{(1 + |ξ|^{2})^{d/2}} ≤ \frac{C′}{log k} log(b/a).

Toute mesure semi-classique associée à la suite (u_{k}) est donc supportée par l’ensemble {ξ = 0} alors que la mesure de défaut de (u_{k}) est μ_{0} = | ∫ ψ|^{2}δ_{x=0} ⊗ dσ(ξ) (dσ(ξ) est la mesure de Lebesgue sur la sphère S^{d−1}). On pourrait plus généralement montrer qu’on peut obtenir ainsi comme mesure de défaut microlocale une mesure arbitraire.

Le comportement des mesures par changement de variables est décrit par le résultat suivant : PROPOSITION 5. — Soient θ un difféomorphisme C^{1} de Ω dans lui-même et Θ = (θ, ^{t}θ′^{−1}) la transformation canonique associée sur T^{∗}Ω. Si la suite u_{k} bornée dans L_{loc}^{2} est pure de mesure de défaut microlocale μ (respectivement de mesure semiclassique ν) alors il en est de même de la suite v_{k} = u_{k} ∘ θ et

M(v_{k}) = |detθ′|^{−1}Θ^{−1}(M(u_{k}))

Remarque : Ce résultat est très simple à démontrer si θ est de classe C^{∞} (c’est alors une conséquence de (1) ou (4)) ou dans le cas des mesures semi-classiques; il est beaucoup plus difficile à obtenir pour les mesures micro-locales (voir Tartar [41]). Il permet de définir des mesures micro-locales ou semi-classiques sur une variété.

Les théorèmes de régularité elliptique micro-locale se traduisent aussi en termes de mesures : on considère P = ∑_{|α|≤m} a_{α}(x)∂_{x}^{α}; a_{α} ∈ C^{∞}(Ω) un opérateur différentiel et p = ∑_{|α|=m} a_{α}(x)(iξ)^{α} son symbole principal. PROPOSITION 6 (régularité elliptique). — Soient (h_{k}) une suite d’échelles et (u_{k}) une suite bornée dans L_{loc}^{2}(Ω), pure, de mesure de défaut microlocale μ (respectivement de mesure semi-classique ν). Si P (u_{k}) est compacte dans H_{loc}^{−m}(Ω) (respectivement si h_{k}^{m}P (u_{k}) converge fortement vers 0 dans L_{loc}^{2}) alors on a

pμ = 0 (respectivement pν = 0).

Enfin on a un résultat d’orthogonalité : PROPOSITION 7 (orthogonalité). — Soient (u_{k}) et (v_{k}) deux suites bornées dans L^{2}(Ω; C), pures, convergeant faiblement vers u et v respectivement, de mesures micro-locales μ_{1} et μ_{2}. Si les mesures μ_{1} et μ_{2} sont mutuellement singulières (μ_{1}⊥μ_{2}) alors (u_{k}, v_{k})_{C} converge vers (u, v)_{C} dans D′(Ω).

Soient (h_{k}) une suite d’échelles, (u_{k}) et (v_{k}) deux suites bornées dans L^{2}(Ω; C), pures, de mesures semi-classiques ν_{1} et ν_{2}. Si les mesures ν_{1} et ν_{2} sont mutuellement singulières (ν_{1}⊥ν_{2}) alors la suite (u_{k} + v_{k}) est pure, de mesure semi-classique

M_{sc}(u_{k} + v_{k}) = ν_{1} + ν_{2}.

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2. MESURES ET HOMOGÉNÉISATION

Les H-mesures ont été définies à l’origine par L.Tartar [41,42] pour étudier des problèmes d’homogénéisation délicats. Nous allons ici présenter d’autres résultats d’homogénéisation où les mesures semi-classiques permettent de décrire l’évolution d’un système gouverné par une équation aux dérivées partielles.

2.1. On s’intéresse dans cette partie au comportement quand ε → 0 des solutions d’équations du type

(1)  (−iε\frac{∂}{∂t} − \frac{ε^{2}}{2} Δ + V (\frac{x}{ε})) Ψ^{ε}(t, x) = 0, dans R_{t} × R_{x}^{d},
(2)  Ψ^{ε}(t = 0, x) = Ψ_{0}^{ε}(x),

où V est un potentiel réel, 2πZ^{d} périodique. Ce système modélise le comportement d’électrons se déplacant dans un réseau cristallin.

L’éclatement (x, \frac{x}{ε}) ↦ (x, y) transforme l’opérateur (−\frac{ε^{2}}{2} Δ + V (\frac{x}{ε})) en

\frac{1}{2}(εD_{x} + D_{y})^{2} + V (y) = A(εD_{x}, D_{y}, y),

avec A(ξ) = \frac{1}{2}(ξ + D_{y})^{2} + V (y). On suppose V ∈ C^{∞} (d’après [32], L^{∞} est suffisant). L’opérateur A(ξ) est pour tout ξ elliptique autoadjoint sur T^{d} et il existe donc une base Hilbertienne de L^{2}(T^{d}), φ_{j}(y, ξ) (les fonctions de Bloch) formée de vecteurs propres de A(ξ) associés aux valeurs propres :

λ_{1}(ξ) ≤ λ_{2}(ξ) ≤ ⋯ ≤ λ_{j}(ξ) ≤ ⋯

LEMME 8 (Wilcox [44], voir aussi C. Gérard [13]).— Les fonctions λ_{j}(ξ) sont Lipschitziennes et analytiques en dehors d’un fermé de mesure nulle, F_{j}, et les fonctions φ_{j}(y, ξ) sont mesurables, analytiques pour ξ ∉ F_{j}. On suppose que la donnée initiale Ψ^{ε} est ε-oscillante, pure de mesure semi-classique, μ_{0}, ne chargeant pas l’ensemble R_{x}^{d} × ∪_{j}F_{j} (qui est de mesure de Lebesgue nulle). On travaille avec la suite d’échelles (ε). On définit, comme dans V. Buslaev [9] et C. Gérard-A. Martinez-J. Sjöstrand [14], u^{ε}(t, x, y) solution de

(3)  (εD_{t} + \frac{1}{2}(εD_{x} + D_{y})^{2} + V (y)) u^{ε} = 0 dans R_{t} × R_{x}^{d} × T_{y}^{d}
(4)  u^{ε}(t = 0, x, y) = u_{0}^{ε}(x, y),

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où on a construit une donnée initiale u_{0}^{ε}(x, y) de telle façon que d’une part

Ψ_{0}^{ε}(x) = u_{0}^{ε}(x, \frac{x}{ε})

et que d’autre part il existe B une zone de Brillouin, c’est-à-dire une cellule fondamentale du réseau Z^{d} (le dual de 2πZ^{d}) telle que pour tout k ∈ Z^{d} la mesure semi-classique de

u_{0}^{ε}(x, k) = \frac{1}{(2π)^{d}} ∫_{T^{d}} e^{−iy·k}u_{0}^{ε}(x, y)dy

est supportée dans R_{x}^{d} × B_{ξ} et ne charge pas son bord, R_{x}^{d} × ∂B_{ξ}. On retrouve alors

Ψ_{0}^{ε}(x) = ∑_{k∈Z^{d}} e^{ikx/ε}u_{0}^{ε}(x, k).

Les mesures semi-classiques des termes de droite sont donc de la forme

M_{sc}(e^{ikx/ε}u_{0}^{ε}(·, k))(x, ξ) = M_{sc}(u_{0}^{ε}(·, k))(x, ξ − k)

et sont donc deux à deux orthogonales puisque de support disjoints. Pour calculer la mesure semi-classique de Ψ_{0}^{ε}, il suffit donc d’après la proposition 7 de calculer celle de chacun des termes de droite. On note M_{0}(x, ξ) la mesure semi-classique de la suite u_{0}^{ε}(x, y) ∈ L^{2}(R_{x}^{d}; H) avec H = L^{2}(T^{d}) THÉORÈME 9 (P. Gérard [16]) . — La solution Ψ^{ε}(t, .) de l’équation (1) admet une mesure semi-classique, μ(t) continue en temps vérifiant

μ(t) = ∑_{1≤j} μ_{j}(t) (5)

∂_{t}μ_{j} + λ′_{j}(ξ) · ∇_{x}μ_{j} = 0 (6)

μ_{j}(t = 0, x, ξ) = ∑_{k∈Z^{d}} |∫ φ_{j}(y, ξ)e^{iky} \frac{dy}{(2π)^{d}} |^{2} ⟨M_{0}(x, ξ − k)φ_{j}(ξ), φ_{j}(ξ)⟩ (7)

et la mesure semi-classique de Ψ est

(8)  μ = ∑_{1≤j} μ_{j}(t)dt ⊗ δ_{τ=−λ_{j}(ξ)}.

Remarques :

1) Un résultat analogue a été démontré par une méthode très proche par P. Markowich-N. Mauser-F. Poupaud [32] qui s’inspirent pour ce faire de l’approche de P.L. Lions-T. Paul [31] pour la définition des mesures semi-classiques (les mesures de Wigner) et développent en particulier une théorie des mesures semi-classiques adaptée aux problèmes périodiques (les séries de Wigner).

2) L’équation (6) montre d’une part que la mesure μ est complètement déterminée par la mesure initiale et d’autre part que les contributions de chaque Hamiltonien

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H_{j} = λ_{j}(ξ)(·, φ_{j})φ_{j} évoluent sans interaction.

3) P. Gérard [19] a récemment resolu le même problème dans le cas beaucoup plus difficile où on considère un potentiel du type V (\frac{x}{ε}) + U(x), mais sous l’hypothèse restrictive (génériquement vérifiée en dimension d = 1) que les valeurs propres λ_{j}(ξ) sont simples (ou de multiplicité constante).

2.2. Schéma de la démonstration du théorème. On note

u_{j}^{ε}(x) = ∫_{T^{d}} \overline{φ}_{j}(εD_{x}, y)u^{ε}(x, y)dy.

D’après la propriété de base Hilbertienne de la suite φ_{j}(ξ)(·), on retrouve

u^{ε}(x, y) = ∑_{j} φ_{j}(εD_{x}, y) (u_{j}^{ε}(x)) .

Pour tout j la suite u_{j}^{ε} vérifie donc (εD_{t} + λ_{j}(εD_{x})) u_{j}^{ε} = 0.

PROPOSITION 10.— On suppose que la fonction λ(ξ)est bornée et de classe C^{1} en dehors d’un fermé F. On note v^{ε} la suite des solutions du système

(9)  (εD_{t} + λ(εD_{x})) v^{ε} = 0, v^{ε}(t = 0, x) = v_{0}^{ε}.

Si la suite v_{0}^{ε} est ε-oscillante compacte à l’infini, pure et si M_{sc}(v_{0}^{ε}) ne charge pas R^{d} × F alors pour tout t il en est de même pour la suite v^{ε}(t) et on a ∂_{t}M_{sc}(v^{ε}) + ∇_{ξ}λ(ξ) · ∇_{x}M_{sc}(v^{ε}) = 0, (10)

ie. M_{sc}(v^{ε})(t, x, ξ) = M_{sc}(v_{0}^{ε})(x − t∇_{ξ}λ(ξ), ξ).

Enfin la suite v^{ε} a pour mesure semi-classique la mesure M_{sc}(v^{ε})dt ⊗ δ_{τ=−λ(ξ)}. La suite v^{ε} est ε-oscillante, compacte à l’infini. D’après l’équation (9), pour tout a ∈ C_{0}^{∞}(R_{s}^{d} × F^{c}) la suite (a(x, εD_{x})v^{ε}, v^{ε})(t) est équicontinue sur R_{t}. Le théorème d’Ascoli permet donc d’extraire une sous suite, (ε_{k}), telle que pour tout t la suite v^{ε_{k}}(t) est pure. Si la fonction λ était de classe C^{1} partout, l’équation (10) serait conséquence du calcul symbolique :

\begin{aligned}\frac{1}{iε} ([λ(εD_{x}), a(x, εD_{x})]v^{ε}, v^{ε}) & = \frac{1}{iε} (a(x, εD_{x})εD_{t}v^{ε}, v^{ε}) + \frac{1}{iε} (a(x, εD_{x})v^{ε}, −εD_{t}v^{ε}) \\ & = \frac{1}{i}D_{t} (a(x, εD_{x})v^{ε}, v^{ε}) ; \end{aligned}

le terme de droite est égal à −∂_{t}⟨μ, a⟩ + o(ε) et le terme de gauche à

((∇_{x}a)(x, εD_{x}) · ∇_{ξ}λ(εD_{x})v^{ε}, v^{ε}) + o(ε)

et converge donc vers ⟨μ, (∇_{x}a)(x, ξ)∇_{ξ}λ(ξ)⟩. On obtient donc que toute mesure semi-classique de la suite v^{ε} vérifie (10), donc est égale à l’unique solution de cette équation. Pour conclure dans le cas où λ est moins régulière, on utilise que l’équation

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(10) est vérifiée en dehors de F et que la donnée initiale ne charge pas F, donc pour tout t la contribution de R_{x}^{d} × F^{c} donne d’après (10) toute l’énergie initiale, la conservation de l’énergie implique donc que la mesure μ(t) ne charge pas non plus F ce qui démontre et donne un sens à (10), sur R_{x}^{d} ×R_{ξ}^{d}. On déduit de la proposition 10, puisque M_{sc}(u_{j}^{ε} |_{t=0}) = ⟨M_{0}(x, ξ)φ_{j}(ξ)(y), φ_{j}(ξ)(y′)⟩ que la suite u_{j}^{ε}(t) est pure de mesure semi-classique solution de l’équation

∂_{t}M_{sc}(u_{j}^{ε}) + ∇_{ξ}λ(ξ) · ∇_{x}M_{sc}(u_{j}^{ε}) = 0

et la mesure semi-classique de u_{j}^{ε} est M_{sc}(u_{j}^{ε})dt⊗δ_{τ=−λ_{j}(ξ)}. On peut alors en utilisant encore des arguments d’orthogonalité obtenir la relation (7). Remarque : Si on considère la mesure μ′_{j}(x, t, ξ) = ∑_{k∈Z^{d}} μ_{j}(x, t, ξ+k) comme dans [32] (ce qui revient à considérer une série de Wigner), alors la relation (7) se simplifie encore puisqu’en utilisant que φ_{j}(ξ+k, y) = e^{iky}φ_{j}(ξ, y), λ_{j}(ξ+k) = λ_{j}(ξ), on obtient que les mesures μ′_{j} sont les solutions de l’équation (6) associées aux données initiales

μ′_{0,j} = ∑_{l∈Z}⟨M_{0}(x, ξ + l)φ_{j}(ξ)(y), φ_{j}(ξ)(y′)⟩.

3. MESURES ET ÉQUATIONS D’ONDES.

Dans cette partie, on s’intéresse au comportement en grand temps des solutions de l’équation des ondes. Les mesures de défaut micro-locales seront utilisées ici pour obtenir des estimations d’énergie. On montrera en particulier comment elles permettent de démontrer des résultats de contrôlabilité exacte, d’observation et de stabilisation. L’idée d’utiliser les mesures de défaut micro-locales dans ce cadre est due à G. Lebeau [27]. On pourra, pour d’autres utilisations des H-mesures dans le cadre de l’homogénéisation de l’équation des ondes, où les mesures de défaut microlocales interviennent pour décrire la concentration de l’énergie dans le passage à la limite, consulter par exemple L. Tartar [41,42], S. Brahim-Otsmane-G. Francfort-F. Murat [6] et G. Francfort-F. Murat [12]. On pourra aussi consulter pour des développements de la notion de mesure de défaut (mesures à deux échelles, mesures deux-microlocales) et leurs applications à l’étude d’équations d’évolution, les travaux récents de G.Ãllaire [1], C. Fermanian [11], L. Miller [36] et F. Nier [38].

3.1. Notations. Soient Ω ⊂ R^{d} un ouvert borné connexe de classe C^{∞}, a ∈ C^{0}(\overline{Ω}), une fonction positive. On note A = ({0 \atop Δ} {Id \atop −2a}), l’opérateur non borné sur

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H = H_{0}^{1}(Ω) ⊕ L^{2}(Ω), avec pour domaine D(A) = H_{0}^{1}(Ω) ∩ H^{2}(Ω) ⊕ H_{0}^{1}(Ω). On fixe Θ ∈ C_{0}^{0}(R_{+}^{∗} × ∂Ω). On note

E(u)(t) = \frac{1}{2}∥u(t)∥_{H}^{2},

F (u) = ∫_{R} ∫_{G} Θ^{2} |\frac{∂u}{∂n}(y, s)|^{2} dσds

et on vérifie facilement que pour tout u ∈ H, si on note u(t) = (u_{1}, u_{2})(t) = e^{tA}u (t ≥ 0) alors

E(u)(t) = E(u)(0) − ∫_{0}^{t} ∫_{Ω} a(x) |u_{2}(s, x)|^{2} dxds.

On note M = R_{t} × Ω, T_{b}^{∗}M = T^{∗}M \ {0} ∪ T^{∗}∂M \ {0} et S_{b}^{∗}M = T_{b}^{∗}M/R^{+}, le fibré cotangent en sphère jusqu’au bord de M. On a une application naturelle de restriction, π : T^{∗}R^{d+1} |\overline{M}→ T_{b}^{∗}M et on munit ce dernier espace de la topologie induite par cette application. On note P = Δ − ∂_{t}^{2}, p = τ^{2} − |η|^{2} son symbole principal H_{p} = 2τ∂_{t} − 2 η · ∂_{y}, son champ Hamiltonien et Σ_{b} la projection sur T_{b}^{∗}M de la variété caractéristique, C, d’équation p = 0 Enfin on note, pour x ∈ ∂M, n(x) la normale extérieure au bord au point x. DÉFINITION 11.— On dit que ζ ∈ T^{∗}∂M \ {0} est

1) Hyperbolique si ♯{π^{−1} (ζ) ∩ {p = 0}} = 2 (et on note ζ ∈ H),

2) Glancing si ♯{π^{−1} (ζ) ∩ {p = 0}} = 1 (et on note ζ ∈ G),

3) Elliptique sinon, c’est-à-dire si ζ ∉ Σ_{b} (et on note ζ ∈ E). On peut identifier G avec π^{−1} (G), donc considérer que G est inclus dans T^{∗}R^{d+1}. Dans toute la suite, quand on étudiera un voisinage d’un point du bord, on se placera dans un système de coordonnées géodésiques, ϱ = (x_{n}, ξ_{n}, x′, ξ′), c’est à dire que dans ce système M est donné par l’équation x_{n} = 0 et l’opérateur ∂_{t}^{2} − Δ s’écrit −∂_{x_{n}}^{2} − R (x_{n}, x′, D_{x′}). On note r (x_{n}, x′, ξ′) le symbole principal de l’opérateur R et

r_{0}(x′, ξ′) = r |_{x_{n}=0} .

Les points glancing sont les points du bord (x_{n}, ξ_{n}, x′, ξ′) qui vérifient p = H_{p} (x_{n}) = 0, c’est-à-dire x_{n} = ξ_{n} = r (0, x′, ξ′) = 0. DÉFINITION 12.—

i) On dit que le point ζ ∈ G est non strictement glissant (et on note ζ ∈ G_{nsg}) si ∂_{x_{n}} (r) (ζ) ≥ 0.

ii) On dit que le point ζ ∈ G est strictement glissant (et on note ζ ∈ G_{sg}) si

∂_{x_{n}} (r) (ζ) < 0.

iii) On dit que le point ζ ∈ G est diffractif (et on note ζ ∈ G_{d}) si ∂_{x_{n}} (r) (ζ) > 0.

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iv) On dit que le point ζ ∈ G est glissant d’ordre k (et on note ζ ∈ G^{k}) si

H_{r_{0}}^{j} (∂_{x_{n}} (r) |_{x_{n}=0} (ζ)) = 0, j < k − 2 et H_{r_{0}}^{k−2} (∂_{x_{n}} (r) |_{x_{n}=0} (ζ)) ≠ 0. On supposera par la suite que G = ∪_{k∈N^{∗}}G^{k} (on dit alors que Ω n’a pas de contact d’ordre infini avec ses tangentes). DÉFINITION 13. — On appelle bicaractéristique généralisée toute application continue, γ, de R dans T_{b}^{∗}M telle qu’en dehors d’un ensemble de points isolés, I, γ (s) ∈ T^{∗}M ∪ G, si s ∈ I, on a γ (s) ∈ H et si s ∉ I, γ est différentiable (comme application à valeurs dans T^{∗}R^{d+1}) avec

1) \frac{dγ}{ds} (s) = H_{p} (γ (s)) si γ (s) ∈ T^{∗}M ∪ G_{d}^{f},

2) \frac{dγ}{ds} (s) = H_{p} (γ (s)) − ∂_{x_{n}} (r)∂_{ξ_{n}} si γ (s) ∈ G \ G_{d}^{f}. Il est classique que les définitions que nous avons exprimées en coordonnées sont intrinsèques et que si Ω n’a pas de contact d’ordre infini avec ses tangentes, par tout point ϱ_{0} de T_{b}^{∗}M ∩ Σ_{b} il passe une et une seule bicaractéristique généralisée telle que γ(0) = ϱ_{0}. On la notera γ(s, ϱ_{0}).

3.2. Mesures pour l’équation des ondes. On considère (u_{k})_{k∈N} ∈ H une suite bornée d’éléments de H qu’on identifie avec (u_{k})(t) = (e^{tA}u_{k}). On suppose que la suite (u_{k}) converge faiblement vers 0 et on note \underline{u}_{k} ∈ H_{loc}^{1}(R^{d} ×R_{t}^{+})) le prolongement par 0 de u_{k,1} à l’extérieur de l’ouvert M. On peut donc, quitte à extraire une sous-suite lui associer une mesure positive sur S^{∗}R^{d+1}, μ, vérifiant pour tout A ∈ Ψ_{comp}^{2}(R^{d+1}),

lim_{k→+∞}(A(\underline{u}_{k}), \underline{u}_{k}) = ⟨μ, σ_{2}(A)(z, ζ)⟩,

où on a identifié S^{∗}R^{d+1} avec T^{∗}R^{d+1} ∩{|ζ|^{2} = 2} et les fonctions homogènes d’ordre m avec leurs restrictions à cette sphère, la métrique choisie sur T^{∗}M étant celle qui est naturellement associée à la métrique dt^{2} + g sur M (g est la métrique associée au Laplacien qu’on considère, ici g = dx^{2}). Dans la suite on identifiera donc les points de C ∩ {τ^{2} = 1} avec leur classe dans S^{∗}R^{d+1} et on identifiera aussi les points de Σ_{b} ∩ T^{∗}∂M ∩ {τ^{2} = 1} avec leur classe dans S^{∗}∂M. On remarquera que cette dernière identification n’est pas celle qui est naturellement associée à la métrique induite sur ∂M. Remarque : Compte tenu de cette identification, le long d’une bicaractéristique généralisée on a \frac{dt}{ds} = 2τ = ±2. DÉFINITION 14.— On note ϕ l’application de C dans lui-même définie par

ϕ(s)(ϱ) = γ(s − 0, π(ϱ)) ∈ T^{∗}R^{d+1}

(γ(s − 0) = γ(s) si γ(s) ∉ H et γ(s − 0) ∈ T^{∗}R^{d} est la limite de γ(t) quand t → s par valeurs négatives.) Modulo l’identification précédente, ϕ(s) définit aussi une

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application de C ∩ S^{∗}R^{d+1} |\overline{M} dans lui-même qu’on note Φ(s).

Il est standard que la suite (\frac{∂}{∂n}u_{k,1} |_{∂M}) est bornée dans L_{loc}^{2}(∂M). Quitte à extraire encore une sous-suite on peut, d’après la proposition 5 supposer que cette suite a une mesure de défaut micro-locale, ν, sur S^{∗}∂M. THÉORÈME 15.— Les mesures μ et ν vérifient les propriétés suivantes :

i) Le support de la mesure μ est inclus dans l’intersection de la variété caractéristique de l’équation des ondes, C, d’équation τ^{2} = |ξ|^{2} avec S^{∗}R^{d+1} |\overline{M} qu’on note encore C.

ii) Pour tout point ϱ ∈ H ∩ G on note ϱ^{+} = (x, ξ^{+}) et ϱ^{−} = (x, ξ^{−}) les deux points éventuellement confondus de {π^{−1}(ϱ)} et n(x(ϱ)) la normale extérieure à ∂M au point x(ϱ). Les mesures μ et ν vérifient (au sens des distribution) l’équation

(1)  (H_{p} (μ) + 4a(x)τ) μ = ∫_{ρ∈H∪G} \frac{δ(ξ − ξ_{+}(ρ)) − δ(ξ − ξ_{−}(ρ))}{< ξ_{+} − ξ_{−}, n(x(ρ)) >}ν(dρ),

c’est-à-dire que pour toute fonction b de classe C^{1}, homogène d’ordre 1 sur T^{∗}R^{d+1},

(2)  ⟨μ, 4aτb − H_{p}(b)⟩ = ∫_{H∪G} \frac{b(x, ξ^{+}) − b(x, ξ^{+})}{⟨ξ^{+} − ξ^{−}, n(x)⟩}dν(ρ).

(Compte tenu de notre choix de métrique sur T^{∗}R^{d+1}, l’action du champ H_{p} commute à la restriction sur la sphère |ξ|^{2} = 2.)

iii) La mesure μ ne charge pas l’ensemble des points de T^{∗}R^{d+1} ∩∂M dont la projection sur T^{∗}∂M est un point hyperbolique et la mesure ν ne charge pas l’ensemble des points non strictement glissants de T^{∗}∂M.

iv) Compte tenu de i), la transformation Φ(s) est, pour tout s, μ presque partout définie et vérifie d’après iii) Φ(s) ∘ Φ(−s) = Id, μ presque partout. Pour tout s ∈ R on a Φ(s)^{∗}(μ) = exp(− ∫_{0}^{s} 4τa(γ(s, π(ϱ))))μ. En d’autres termes, pour tout borélien ω ⊂ Z,

(3)  μ(Φ(s)(ω)) = ∫_{ω∩C} exp(− ∫_{0}^{s} 4τa(γ(s, ∗pi(ϱ))))dμ(ϱ).

Les parties i) et ii) de ce résultat ont été démontrées dans un cadre très proche par P. Gérard et E. Leichtnam [21] pour étudier la répartition asymptotique des fonctions propres du Laplacien avec des conditions au bord de Dirichlet, la partie iii) est due à P. Gérard et l’auteur [7] et la partie iv) à été démontrée par G. Lebeau [27] en utilisant le théorème de propagation des singularités de R. Melrose et J. Sjöstrand [33]. Pour démontrer le point i), il suffit de remarquer que la suite \underline{u}_{k} vérifie l’équation

(∂_{t}^{2} − Δ + 2a(x)∂_{t}) \underline{u}_{k} = \frac{∂u_{k}}{∂n} ⊗ δ_{∂M} ∈ H^{−1/2−ε}, ∀ε > 0

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et d’utiliser le théorème de régularité elliptique. Le point ii) se démontre en étudiant le commutateur [Q, P] où Q ∈ Ψ_{comp}^{1}(Ω). La première partie du point iii) se démontre en utilisant que la mesure μ est solution d’une équation de transport (H_{p} +4aτ)μ = g où le second membre est, sur H, une mesure. La deuxième partie du point iii) correspond à démontrer la relation :

(4)  ⟨ν, 1_{r_{0}=0, ∂_{xn} r|_{x_{n=0}} ≥0}⟩ = 0.

Soit ϱ_{0} ∈ G_{nsg}, pour tout q_{1} = ξ_{n}q_{0}(x_{n}, x′, ξ′), homogène d’ordre 1 à support dans un voisinage de ϱ_{0} on a

⟨μ, −4a(x)τq_{0} + ξ_{n}^{2}∂_{n}q_{0} − ξ_{n}H′_{r}q_{0} + ∂_{x_{n}}rq_{0}⟩ = −⟨ν, q_{0}⟩,

où on note H′_{r} = ∂_{ξ′}r∂_{x′} −∂_{x′}r∂_{ξ′}. Comme ∂_{τ} r |_{x_{n}=0}≠ 0, on peut compléter r |_{x_{n}=0}= r_{0} en un système coordonnées (non symplectique) sur S^{∗}∂M, r_{0}, z et choisir dans la relation précédente q_{0}^{ε}(x_{n}, x′, ξ′) = t(\frac{x_{n}}{\sqrt{α}}, \frac{r_{0}}{α} , z)χ(\frac{∂_{xn} r}{\sqrt{α}}) avec χ de classe C^{1} égale à 1 sur [0, +∞[ et à 0 sur ] − ∞, 1/2[. Par convergence dominée et en utilisant que sur le support de μ on a ξ_{n}^{2} = r, on obtient

⟨μ, ∂_{x_{n}}r1_{x_{n}=0, r_{0}=0, ∂_{xn} r|_{x_{n=0}} ≥0}q_{0}⟩ = −⟨ν, 1_{r_{0}=0}q_{0}⟩.

Les deux termes sont de signes opposés donc tous les deux nuls, ce qui est exactement (4).

Nous donnons en appendice une démonstration élémentaire s’inspirant d’une idée de C. Bardos et T. Masrour [4] d’un résultat à priori plus faible que iv) mais qui est le point crucial de la démonstration de iv) et l’équivalent, en termes de mesures du théorème de propagation des singularités de R. Melrose et J. Sjöstrand [33] : iv’) Si le point ϱ n’appartient pas au support de la mesure μ, alors l’image réciproque

par π de la bicaractéristique issue de π(ρ_{0}) ne rencontre pas non plus ce support.

3.4. Stabilisation de l’équation des ondes. On suppose ici que a ≢ 0. L’énergie E(u)(t) est donc décroissante. On s’intéresse à son taux de décroissance. D’après le théorème d’unicité pour le opérateurs elliptiques d’ordre 2, λ ∈ sp(A) ⇒ Reλ < 0, ce qui implique, puisque l’espace engendré par les fonctions propres est, d’après I. Gohberg-M. Krein [23], dense dans H que pour tout u ∈ H, lim_{t→+∞} E(u, t) = 0. On note D(x) = sup{Reλ; λ ∈ sp(A), |λ| ≥ x}. Pour ϱ_{0} = (x_{0}, ξ_{0}) ∈ Σ_{b} on note γ(s, ϱ_{0}) l’unique bicaractéristique issue du point ϱ_{0} pour s = 0. Pour t > 0, on pose

(5)  C(t) = inf_{ϱ_{0}} \frac{1}{t} ∫_{0}^{t} a(x(γ(s, ϱ_{0})))ds.

On a 0 ≤ C(t) ≤ ∥a∥_{L^{∞}}. On note C(∞) sa limite (qui existe) quand t tend vers l’infini.

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THÉORÈME 16 (C. Bardos, G. Lebeau et J. Rauch [3]) . — On a l’alternative suivante :

1) Soit il existe T > 0 tel que toute bicaractéristique généralisée rencontre l’ensemble

{a(x) > 0} ∩ [0, T] et alors il existe C, α > 0 tels que pour tout u ∈ H, E(u, t) ≤ Ce^{−αt}E(u, 0).

2) Soit pour tout T > 0 il existe une bicaractéristique généralisée ne rencontrant pas l’ensemble {a(x) > 0} ∩ [0, T] et alors pour tout t > 0

sup_{u∈H\\{0\}} \frac{E(u, t)}{E(u, 0)} = 1.

De plus, (G.Lebeau [27]) lim inf_{x→+∞} D(x) ≥ C(∞), C(∞) > 0 dans le cas 1) ce qui implique D(0) > 0 et la meilleure constante possible α dans 1) est donnée par

α_{0} = 2 min{−D(0), C(∞)}.

Enfin ce dernier résultat est optimal.

L’idée de la démonstration dans le cas 2) consiste à accumuler de l’énergie sur une bicaractéristique qui ne rencontre pas l’ensemble {a > 0} ∩ [0, T] γ. Pour cela si γ ∩ {t = 0} = (t = 0, x_{0,τ_{0,ξ_{0}}} ), on construit une suite de données initiales dont la mesure de défaut microlocale est δ_{x_{0},ξ_{0}} et le théorème 15, iv) montre que, pour la suite de solutions de l’équation des ondes associée, le support de la mesure de défaut microlocale est cette bicaractéristique donc que cette mesure est invariante par le flot Φ(s). Comme

lim_{k→+∞} ∫_{t_{0}}^{t_{1}} E(s, u_{k})ds = ⟨μ, 1_{t∈[t_{0},t_{1}]}⟩,

la suite (u_{k}) vérifie pour tout 0 < t < T

⟨δ_{x_{0},ξ_{0}}, 1⟩ = lim_{k→+∞} E(0, u_{k}) = lim_{k→+∞} E(t, u_{k}).

Pour démontrer le cas 1), on procède par l’absurde : on fixe α < α_{0} et on suppose que

E(u, t) ≰ Ce^{−αt}E(u, 0).

On pourrait alors construire une suite (u_{k}) telle que E(0, u_{k}) = 1 et E(t_{k}, u_{k}) > ke^{−αt_{k}}, t_{k} → +∞. Comme α < −D(0), la suite (u_{k}) convergerait faiblement vers 0, et comme α < C(∞), on aurait, pour toute mesure de défaut microlocale associée à une suite extraite de (u_{k}),

Φ(t)^{∗}μ ≤ e^{−(α_{0}−ε)t}μ,

ce qui, d’après le théorème 15, donne une contradiction pour t grand et montre que la meilleure constante possible est au moins α_{0}. Pour montrer que c’est effectivement

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la meilleure, G. Lebeau construit des exemples explicites.

3.5. Observation et contrôle de l’équation des ondes. On suppose ici que a ≡ 0. L’énergie E(u) est donc indépendante du temps. Soit Θ ∈ C_{0}^{0}(∂Ω×]0, T [). Peut-on alors, pour (v_{0}, v_{1}) ∈ L^{2}×H^{−1} trouver g ∈ L^{2}(∂Ω×R_{t}) tel que la solution du système

(∂_{t}^{2} − Δ)v = 0 dans Ω × R_{t},

v |_{∂Ω×R_{t}}= Θg,
v(0) = v_{0}, v′(0) = v_{1},

vérifie v ≡ 0 pour t > T? En d’autres termes, peut-on en agissant uniquement sur une partie du bord et pendant un temps fini (le support de Θ) amener le système à l’équilibre? Si la réponse à cette question est affirmative pour toutes les données (v_{0}, v_{1}) ∈ L^{2}(Ω)× H^{−1}(Ω) on dit que Θ contrôle exactement le système. DÉFINITION 17. — On dit que Θ contrôle géométriquement le système si tout rayon bicaractéristique rencontre l’ensemble Θ > 0 en un point hyperbolique ou strictement glissant. THÉORÈME 18 (C. Bardos, G. Lebeau et J. Rauch [3], complété par N. Burq et P. Gérard [7]).— On a équivalence entre :

i) La fonction Θ contrôle exactement le système. ii) La fonction Θ contrôle géométriquement le système. Remarques :

1) Le résultat original de C. Bardos, G. Lebeau et J. Rauch donnait des conditions suffisantes et des conditions nécessaires fortes, c’est l’utilisation des mesures de défaut micro-locales qui a permis à P. Gérard et l’auteur et de donner une condition nécessaire et suffisante.

2) Le résultat de C. Bardos, G. Lebeau et J. Rauch est également vrai pour essentiellement toutes les conditions au bord pour lesquelles le problème est bien posé. Il repose sur le théorème de propagation des singularités de R. Melrose et J. Sjöstrand [33]. Le problème analogue en termes de mesures (c’est-à-dire sans recours au théorème de propagation des singularités) est essentiellement ouvert, en particulier dans le cas où les conditions au bord ne vérifient plus les conditions de Lopatinski uniformes (cas de la condition de Neumann par exemple).

3) Le théorème 18 reste vrai pour un Laplacien à coefficients variables de classe C^{2} et un ouvert Ω de classe C^{3} (voir [3] pour le cas C^{∞} et [8] pour le cas peu régulier).

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Pour démontrer ce résultat on utilise d’abord un argument de dualité (la méthode H.U.M.) de J. L. Lions [28] qui permet de montrer que la contrôlabilité exacte est équivalente à l’inégalité d’observation suivante :

(5)  ∃C > 0; ∀u ∈ H, E(u) ≤ C ∫_{R_{t}×∂Ω} Θ^{2} |\frac{∂u}{∂n}|^{2} dσdt = CF (u).

Pour démontrer cette inégalité on procède par l’absurde, ce qui permet de construire une suite (u_{k}) telle que E(u_{k}) = 1 et F (u_{k}) → 0. La limite faible de la suite (u_{k}) est solution de P u = 0, Θ\frac{∂}{∂n}u |_{∂M}= 0 et un argument d’unicité permet de montrer que u = 0. On peut donc associer deux mesures de défaut micro-locales aux suites (u_{k}) et (∂_{n}u_{k} |_{∂M}), μ et ν. Le support de la mesure μ est donc réunion de bicaractéristiques généralisées et au voisinage de tout point ϱ_{0} de T_{b}^{∗}M ∩ {Θ > 0} on a ν = 0 (car F (u_{k}) → 0) donc H_{p}μ = 0 d’après (1), donc la mesure μ est localement invariante par le flot de H_{p} dans R^{d+1}. Si ϱ_{0} est strictement glissant son image par ce flot sort de \overline{M} donc rentre d’après le théorème 15 i) dans une région où μ = 0. Donc ϱ_{0} ∉ supp(μ). L’hypothèse de contrôle géométrique assure donc que toute bicaractéristique contient un point qui n’appartient pas au support de μ, donc, d’après le théorème 15, iv’), μ ≡ 0, ce qui est contradictoire avec E(u_{k}) = 1 ↛ 0. Réciproquement, s’il existe une bicaractéristique généralisée ne rencontrant l’ensemble {Θ > 0} qu’en des points non strictement glissants, on peut construire une suite (u_{k}) d’énergie égale à 1 et dont la mesure μ a pour support cette bicaractéristique. Le support de la mesure ν est inclus dans π(supp(μ)), il ne rencontre donc l’ensemble {Θ > 0} qu’en des points non strictement glissants donc des points que la mesure ν ne charge pas. On obtient donc, d’après (4),

0 = ⟨ν, Θ^{2}⟩ = lim_{k→+∞} F (u_{k})

ce qui montre (puisque E(u_{k}) = 1) que l’inégalité (5) ne peut pas être satisfaite.

4. COMPACITÉ PAR COMPENSATION.

Nous allons montrer dans cette partie comment les mesures de défaut microlocales permettent de passer à la limite dans certaines expressions non linéaires pour des solutions d’équations aux dérivées partielles.

4.1 Compacité par compensation. On considère H_{i}, i = 1; 2, deux espaces de Hilbert, Ω ⊂ R^{d} et P ∈ Ψ_{comp}^{m}(Ω, L(H_{1}, H_{2})). On se donne (u_{k}) ⇀ u une suite

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pure de L_{loc}^{2}(Ω; H_{1}) de mesure de défaut microlocale μ et on suppose que pour un ensemble dense D de H_{2} la suite (P u_{k}, h)_{H_{2}} est relativement compacte dans H_{loc}^{−m}(Ω). Le résultat suivant de P. Gérard [15] généralise le lemme du “div-rot” de Murat et Tartar [37], [42] THÉORÈME 19 (Compacité par compensation) .—

i) La mesure μ vérifie σ_{m}(p)(x, ξ)μ = 0 (régularité elliptique). ii) Pour tout q ∈ Ψ_{comp}^{0}(Ω; K(H_{1})) tel que

∀(x, ξ, h) ∈ S^{∗}Ω × H_{1}, p(x, ξ)h = 0 ⇒ (q(x, ξ)h, h)_{H_{1}} ≥ 0

alors pour tout φ ∈ C_{0}^{∞}(Ω) positive

lim inf_{k→+∞} ∫_{Ω} φ(x)(q(x, D_{x})u_{k}, u_{k})_{H_{1}}dx ≥ ∫_{Ω} φ(x)(q(x, D_{x})u, u)_{H_{1}}dx.

En particulier si

∀(x, ξ, h) ∈ S^{∗}Ω × H_{1}, p(x, ξ)h = 0 ⇒ (q(x, ξ)h, h)_{H_{1}} = 0,

alors (q(x, D_{x})u_{k}, u_{k})_{H_{1}} converge vers (q(x, D_{x})u, u)_{H_{1}} dans D′(Ω).

4.2 Compacité par compensation trilinéaire et optique géométrique non linéaire. Nous allons donner dans cette partie un exemple d’utilisation des idées de compacité par compensation. Pour d’autres exemples, en particulier dans le cadre de l’homogénéisation on renvoie à F. Murat [37] et L. Tartar [41].

Soient Ω un ouvert de R^{2} et X_{j} = ∂_{t} + c_{j}(t, x)∂_{x}, j = 1, ⋯, N, (t, x) ∈ Ω, N champs de vecteurs sur Ω. On considère u_{j} solutions bornées dans L^{∞}(Ω) de

(1)  X_{j}u_{j} = F_{j}(t, x, u_{1}, ⋯, u_{N}), j = 1, ⋯, N,

un système d’équations d’évolutions. On peut, quitte à extraire des sous-suites, associer à toute famille u^{ε} = (u_{1}^{ε}, ⋯, u_{N}^{ε}) une famille mesurable μ_{t,x} (respectivement μ_{j,t,x}) de densités de probabilités sur R^{N} (respectivement sur R), qu’on appelle mesures de Young, telles que pour tout Φ ∈ C_{0}^{∞}(R^{N}) (respectivementΦ_{j} ∈ C_{0}^{∞}(R))

Φ(u^{ε})⇀^{D′} ∫_{R^{N}} Φ(λ)μ_{t,x}(λ) (respectivement Φ_{j}(u_{j}^{ε})⇀^{D′} ∫_{R} Φ(λ)μ_{t,x}(λ)) .

On s’intéresse à la question de savoir si les mesures μ_{j} déterminent la mesure μ. En particulier a-t-on

(2)  μ_{t,x}(dλ) = μ_{1,t,x}(dλ) ⊗ ⋯ ⊗ μ_{N,t,x}(dλ) pour presque tout (t, x)?

En considérant des fonctions Φ de la forme Φ(λ) = Φ_{1}(λ_{1}) × ⋯ × Φ_{N}(λ_{N}) et les fonctions v_{j}^{ε} = Φ_{j}(u_{j}^{ε}) solutions de

X_{j}v_{j}^{ε} = Φ′_{j}(u_{j}^{ε})F_{j}(t, x, u_{1}^{ε}, ⋯, u_{N}^{ε}),

826-20

on voit facilement que la relation (1) est équivalente à la propriété

(3)  ∀(Φ_{1}, ⋯, Φ_{N}), lim_{D′} (v_{1}^{ε} × ⋯ × v_{N}^{ε}) = lim_{D′} (v_{1}^{ε}) × ⋯ × lim_{D′} (v_{N}^{ε}) ,

où v_{j}^{ε} = Φ_{j}(u_{j}^{ε}).

La réponse pour N = 2 est une conséquence simple du théorème de compacité par compensation ou encore plus simplement des propositions 6 et 7 : On note

W(Ω; X) = {u ∈ L_{loc}^{2}; Xu ∈ L_{loc}^{2}}.

THÉORÈME 20. — Soient X_{1}, X_{2}, deux champs de vecteurs sur Ω partout indépendants, alors l’application (u_{1}, u_{2}) ↦ u_{1}u_{2} est continue de l’espace W(Ω; X_{1})× W(Ω; X_{2}) dans L^{2}(Ω) pour les topologies faibles.

La preuve de ce résultat est très simple. Soient (u_{j}^{ε}) une suite d’éléments de W(Ω; X_{j}) convergeant faiblement vers u_{j}. On va montrer que (u_{1}^{ε}u_{2}^{ε}) ⇀ u_{1}u_{2}. Quitte à extraire des sous suites, on peut supposer que u_{1}^{ε} a une mesure de défaut microlocale, μ_{1} et \overline{u}_{2}^{ε} a une mesure de défaut microlocale, μ_{2}. D’après la proposition 6, μ_{j} est supportée par l’ensemble σ_{1}(X_{i}) = 0. Comme l’intersection de ces deux ensembles est réduite à {(t, x, τ, ξ); τ = ξ = 0} (puisque les deux champs sont indépendants), les deux mesures μ_{1} et μ_{2} sont mutuellement singulières donc M(u_{1}^{ε} + \overline{u}_{2}^{ε}) = μ_{1} + μ_{2} donc

lim Re(∫_{Ω} φ(u_{1}^{ε} − u_{1})(u_{2}^{ε} − u_{2}) = 0

et M(u_{1}^{ε} + i\overline{u}_{2}^{ε}) = μ_{1} + μ_{2}, soit

lim Im(∫_{Ω} φ(u_{1}^{ε} − u_{1})u_{2}^{ε} − u_{2}) = 0,

on en déduit que (u_{1}^{ε} − u_{1})u_{2}^{ε} − u_{2}) ⇀ 0 donc (u_{1}^{ε}u_{2}^{ε}) ⇀ 0.

Pour N ≥ 3 le problème est plus complexe puisqu’il peut apparaître des phénomènes de résonances. DÉFINITION 21.— On appelle résonance sur un ouvert Ω, la donnée d’un ouvert ω ⊂ Ω et de N fonctions φ_{j} tels que

(4)  X_{j}φ_{j} = 0 et ∑_{1}^{3} dφ_{j} = 0, ∃k; dφ_{k}(x, t) ≠ 0 sur ω.

S’il existe une résonance on peut supposer que ∑_{j} φ_{j} = 0 sur ω, on choisit alors a_{j} ∈ C_{0}^{∞}(ω) telles que a_{1} × ⋯ × a_{3} ≠ 0 et on vérifie facilement que les fonctions u_{j} = a_{j(x,t)}e^{iφ_{j}(x,t)} convergent faiblement vers 0 tandis que ce n’est pas le cas de leur produit. Si les champs sont à coefficients constants (et N ≥ 3) il est facile de voir qu’il existe toujours une résonance.

On se place dans toute la suite dans le cas N = 3. On suppose que les champs

826-21

X_{j} sont deux à deux linéairement indépendants. Chaque champ X_{j} définit un feuilletage F_{j} de Ω par les courbes intégrales de X_{j}. La donnée de ces trois feuilletages est appelée un 3-tissu. L’existence de résonances ne dépend que du 3-tissu. On peut définir une notion de courbure du 3-tissu (voir W. Blaschke et G. Bol [5]) et montrer que l’existence d’une résonance sur ω est équivalente à l’annulation sur ω de cette courbure. Il est tout a fait remarquable que cet invariant géométrique décrive l’obstruction à la convergence faible (3) comme le montre le résultat suivant :

THÉORÈME 22 (J.L. Joly, G. Métivier et J. Rauch [26]).— Soient X_{i}, i = 1, 2, 3, trois champs de vecteurs deux à deux indépendants sur un ouvert Ω de R^{2}, tels que la courbure du 3-tissu associé ne s’annule en aucun point de Ω. Alors il existe un voisinage ω de y dans Ω tel que l’application (u_{1}, u_{2}, u_{3}) ↦ u_{1}u_{2}u_{3} est continue de l’espace W(Ω; X_{1}) × W(Ω; X_{2}) × W(Ω; X_{3}) dans L_{loc}^{1}(Ω) pour les topologies faibles. En particulier la relation (3) est vérifiée sur ω.

On peut alors déduire de ce résultat le théorème suivant sur les mesures de Young :

THÉORÈME 23 (J.L. Joly, G. Métivier et J. Rauch [26]).— Soient X_{i}, i = 1, 2, 3, trois champs de vecteurs deux à deux indépendants sur un ouvert Ω de R^{2}, tels que la courbure du 3-tissu associé ne s’annule en aucun point de Ω. Soit u^{ε} une suite de solutions de (1), bornée dans L^{∞}(Ω). On note μ_{j} les mesures de Young d’une sous suite des u_{j}^{ε}. Alors (μ_{j}) vérifie sur Ω × R

(5)  X_{j}(t, x, ∂_{t}, ∂_{x})(μ_{j}) − ∂_{λ_{j}} (A_{j}(t, x, λ_{j})μ_{j}) = 0,

avec

A_{1}(t, x, λ_{1}) = ∫ F_{1}(t, x, λ_{1}, λ_{2}, λ_{3})μ_{2,t,x}(dλ_{2})μ_{3,t,x}(dλ_{3})

et des définitions similaires pour A_{2} et A_{3}

Remarques :

1) Les solutions de (5) sont déterminées par leurs données de Cauchy.

2) Le cas de N champs (N > 3) est essentiellement ouvert.

3) Le cas de 3 champs résonants a été récemment complètement résolu par G. Métivier et S. Schochet [34,35].

4.3 Quelques éléments de la preuve du théorème 22. On se ramène par un choix convenable de coordonnées au cas où X_{1} = ∂_{t}, X_{2} = ∂_{x} et X_{3} = ∂_{t} + a(t, x)∂_{x}. La courbure du 3-tissu associé est alors κ = a^{−1}∂_{t}∂_{x} log(|a|). On peut aussi supposer que les u_{j}^{ε} sont à supports compacts dans ω un ouvert où κ ne s’annule pas. On veut

826-22

alors montrer que

(6)  ∫_{ω} u_{1}^{ε}u_{2}^{ε}u_{3}^{ε} → ∫_{ω} u_{1}u_{2}u_{3}.

Soit 1 = Δ_{0}(η) + ∑_{j=1}^{+∞} Δ(2^{j}η), avec Δ à support dans la couronne 1/2 < |x| < 2 une partition de l’unité dyadique. On a donc, si on note pour k ≥ 1 Δ_{k}(·) = Δ(2^{k}·),

u_{j}^{ε} = ∑_{k∈N} Δ_{k}(εD_{x})u_{j}.

Introduisant cette décomposition dans le terme de gauche de (6), on obtient une somme de termes du type

∫_{ω} Δ_{i}u_{1}^{ε}Δ_{j}u_{2}^{ε}Δ_{k}u_{3}^{ε}.

On remarque ensuite que si i ≥ j + 2, i ≥ k + 2 alors l’intégrale correspondante est nulle, il suffit donc d’étudier une somme finie de termes de type

(7)  ∑_{j} ∫_{R^{2}} Δ_{j}u_{1}^{ε}Δ_{j+α}u_{2}^{ε} ∑_{k≤j+β} Δ_{k}u_{3}^{ε},

avec |α| ≤ 2, |β| ≤ 2.

Pour simplifier on étudie seulement le cas α = β = 0. La convergence faible de u_{j}^{ε} implique la convergence forte de Δ_{k}u_{j}^{ε}, chacun des termes de la série (7) est donc continu pour la convergence faible. Il suffit donc pour pouvoir conclure de montrer que la série converge uniformément. Le point crucial pour ce passage à la limite est le suivant :

PROPOSITION 24 .— Il existe une suite δ_{j} qui tend vers 0 telle que pour tout u_{k} ∈ W_{k} à support compact dans ω on a

(8)  |∫ Δ_{j}u_{1}^{ε}Δ_{j}u_{2}^{ε} ∑_{k≤j} Δ_{k}u_{3}^{ε}| ≤ δ_{j} ∏_{1≤i≤3} ∥u_{i}∥_{W_{i}}.

Ce résultat se démontre par l’absurde : si cette estimation est fausse, alors il existe δ > 0, une suite h_{k} = 2^{−j_{k}} → +∞ et trois suites u_{i}^{k} bornées dans W_{i} et à support compact dans ω tels que

(9)  |∫ Δ(h_{k}D)u_{1}^{k}Δ(h_{k}D)u_{2}^{k} ∑_{2^{p}≤h_{k}^{−1}} Δ_{p}u_{3}^{k}| > δ.

On considère les mesures semi-classiques des suites u_{3}^{k} et Δ(h_{k}D)u_{1}^{k}Δ(h_{k}D)u_{2}^{k}. De l’équation vérifiée par u_{3}^{k} on déduit :

LEMME 25 .— Soit μ une mesure semi-classique de la suite u_{3}^{h}, alors son support est inclus dans {τ + a(x, t)ξ = 0} ∩ T^{∗}ω et toute hypersurface transverse au champ

826-23

X_{3} est de μ mesure nulle. En particulier si on note pour tout (x_{0}, t_{0}, ξ_{0}, τ_{0}) ∈ T^{∗}ω, Γ_{x,ξ} = {(t, τ, x, ξ); (t, τ) ∈ T^{∗}R},

Γ^{t,τ} = {(t, τ, x, ξ); (x, ξ) ∈ T^{∗}R},

alors

(10)  ∀(x, ξ) μ(Γ_{x,ξ}) = 0 ∀(t, τ) μ(Γ_{t,τ}) = 0.

Des équations vérifiées par u_{1}^{k} et u_{2}^{k} on déduit : LEMME 26 .— Soit ν une mesure semi-classique de la suite Δ(h_{k}D)u_{1}^{k}Δ(h_{k}D)u_{2}^{k}. Alors {τ = ξ = 0} ∉ supp(ν) et il existe deux mesures de Radon, ν_{1} et ν_{2}, telles que ν est absolument continue par rapport à la mesure ν_{1}(dtdτ) ⊗ ν_{2}(dxdξ). On note V = C ∩ {(x, t, ξ, τ); ν_{1}{(t, τ)} = ν_{2}{(x, ξ)} = 0}. D’après (10), μ est supportée par V. On note

C_{x,ξ} = {(t, τ); {τ + a(x, t)ξ = 0} ∩ {(t, τ); ν_{1}{(t, τ)} = 0},

ce sont des arcs de courbes qui, d’après l’hypothèse de non résonance, se coupent transversalement deux à deux (et nécessairement en des points que la mesure ν_{1} ne charge pas). Donc l’ensemble des (x, ξ) tels que ν_{2}{(x, ξ)} = 0 et ν_{1}(C_{x,ξ}) > 0 est au plus dénombrable, donc de ν_{2} mesure nulle. D’après le théorème de Fubini,

ν_{1} ⊗ ν_{2}(V) = 0,

ce qui montre que les mesures μ et ν sont étrangères et contredit (9), d’après la proposition 7.

APPENDICE. PREUVE DU POINT IV’) DU THÉORÈME 15

Le résultat annoncé est un résultat local. Il suffit de montrer que si γ(−s, ϱ_{0}) ∉ supp(μ) pour 0 < s assez petit, alors ϱ_{0} ∉ supp(μ). Pour simplifier l’exposition, on se limitera au cas a = 0. On peut également supposer τ(ϱ_{0}) = 1 (le cas −1 se traitant de la même manière). La preuve que nous donnons, inspirée de C. Bardos-T. Masrour [4] repose essentiellement sur le lemme suivant dont on trouvera une démonstration dans [25], §24.3 p. 436-437 : LEMME 27. — Soit ρ_{0} = (x′, ξ′) ∈ G ∩ {τ = 1}. On suppose que ρ_{0} est un point de contact d’ordre exactement k > 2 (ρ_{0} ∈ G^{k}), ce qui est équivalent à

H_{r_{0}}^{j} (∂_{x_{n}}r(0, x′, ξ′)) = 0, ∀j < k − 2 et H_{r_{0}}^{k−2} (∂_{x_{n}}r(0, x′, ξ′)) ≠ 0. Alors il existe C > 0 tel que si on note e(s) = \frac{∂r}{∂x_{n}} (γ(s, ρ_{0})) on a

(1)  |e(s) − as^{k−2}| ≤ Cs^{k−1}

826-24

(2)  |x_{n}(s)| ≤ Cs^{k},

avec

a = (−H_{r_{0}})^{j} (∂_{x_{n}}r(0, x′, ξ′)) /(k − 2)!

et si pour s > 0 (respectivement s < 0) as^{k−2} > 0 alors γ(s, ρ_{0}) est l’orbite du champ H_{p} (incluse dans T^{∗}M) issue vers s > 0 (respectivement s < 0) de ρ_{0} tandis que si as^{k−2} < 0 alors γ(s, ρ_{0}) ∈ T^{∗}∂M est l’orbite du champ H_{p} −∂_{s}r∂_{σ} (incluse dans G_{sg}) issue vers s > 0 (respectivement s < 0) de ρ_{0}.

De plus si on choisit ρ_{1} ∈ G^{k} ∩ {τ = 1} assez proche de ρ_{0} alors le résultat reste vrai si on échange ϱ_{0} et ϱ_{1} avec la même constante C. Remarque : Ce résultat est le point crucial pour démontrer que par tout point de Σ_{b} il passe au plus une bicaractéristique généralisée. COROLLAIRE 28. — Pour tout k > 2 et tout ρ_{0} ∈ G^{k} ∩ {τ = 1} il existe un voisinage dans T_{b}^{∗}M de ρ_{0}, V, et α > 0 tels que pour tout ρ ∈ V ∩{τ = 1}, l’ensemble {γ(s, ρ); |s| ≤ α} ne rencontre G^{k} qu’en au plus 1 point. La preuve de iv’) va se faire en plusieurs étapes. on rappelle que supp(μ ⊂ C) et supp(ν ⊂ π (supp(μ)) ⊂ Σ_{b}.

1^{ère} étape : ϱ_{0} ∈ T^{∗}M. Si le point ϱ_{0} est un point intérieur, iv’) est clairement conséquence de l’équation ii).

2^{ème} étape (voir [21]) : ϱ_{0} ∈ H. La mesure μ est solution à l’intérieur d’une équation de transport, H_{p}μ = 0, elle possède donc près de tout point ϱ_{0} ∈ H une trace sur T^{∗}R^{d} ∩ {x_{n} = 0} puisqu’alors cette hypersurface est transverse au champ H_{p}. D’après la formule des sauts, on a

(3)  H_{p}(μ) = H_{p} · n(x)μ |_{x_{n}=0} ⊗δ_{x_{n}=0}.

On note S : H → H la symétrie orthogonale par rapport au plan tangent au bord de l’ouvert. Il est clair que le second membre de (3.1) est, sur H, une mesure antiinvariante par l’involution S. Or H_{p}·n∘S = −H_{p}·n, on en déduit que μ |_{∂M} est invariante par l’involution S et revenant à l’équation vérifiée par μ à l’ intérieur, on voit que si une des deux demi bicaractéristiques (dont on exclut les points π^{−1}(ρ_{0}) = ρ_{0}^{±}) issues de ρ_{0} ∈ H ne rencontre pas, au voisinage de ρ_{0}, le support de μ alors μ |_{∂M} est identiquement nulle au voisinage de ρ_{0}^{+} (ou ϱ_{0}^{−}), donc par symétrie elle est aussi nulle au voisinage de ρ_{0}^{−} (ou ϱ_{0}^{+}). Revenant à l’équation (3), on voit que μ est identiquement nulle, au voisinage de ρ_{0}^{±}.

3^{ème} étape : ϱ_{0} ∈ G_{d}. Au voisinage de ϱ_{0} on a encore ∂_{x_{n}}r > 0. Les bicaractéristiques rencontrent donc soit le bord en un point hyperbolique, soit (si elles rencontrent le bord en un point glissant, donc diffractif) sont des courbes intégrales de H_{p}. Leurs points de rencontre avec le bord sont donc isolés, on en déduit que si V

826-25

est un voisinage de ϱ_{0} dans T^{∗}∂M et si α > 0 est assez petit, pour tout ϱ ∈ V ∩ Σ_{b}, l’ensemble {γ(s, ϱ); −α < s < 0} ne rencontre pas T^{∗}∂M. D’après la deuxième étape et l’hypothèse, si V est assez petit, le support de ν ne rencontre donc pas H ∩ V et comme, d’après (3.4), il ne charge pas G_{d}, ν est nulle sur V. Revenant à l’équation (3.1), on en déduit que la mesure μ est invariante par le flot de H_{p} et comme par hypothèse γ(−α, ϱ_{0}) ∉ supp(μ) si α > 0 est assez petit, on en déduit qu’elle est nulle aussi au voisinage de ρ_{0}.

4^{ème} étape : ϱ_{0} ∈ G_{sg}. Au voisinage de ϱ_{0} on a encore ∂_{x_{n}}r < 0. Soient V un voisinage de ϱ_{0} dans T_{b}^{∗}M et α > 0 qu’on choisira assez petits. D’après [25], §24.3 p.435, on sait que pour ϱ ∈ V ∩ G ∩ {|τ| = 1}, {γ(s, ϱ); |s| ≤ α} ⊂ G_{sg}. On peut donc trouver W un voisinage de ϱ_{0} dans T_{b}^{∗}M et β > 0 tels que Φ_{−β}(W ∩ Σ_{b})∩supp(μ) = ∅ et pour tout point ϱ ∈ W ∩Σ_{b}, ϱ ∉ G ⇒ {γ(−s, ρ); 0 ≤ s ≤ β}∩G = ∅. Donc, d’après la deuxième étape, l’intersection du support de μ avec W est incluse dans T^{∗}M ∩ G, soit

(4)  μ = μ1_{G}.

Soit q(x_{n}, x′, ξ′) à support dans W. D’après l’équation (3.1) appliquée à q et compte tenu de (4), on obtient, si on note H′_{r_{0}} = ∂_{ξ′}r_{0}∂_{x′} − ∂_{x′}r_{0}∂_{ξ′},

⟨μ, H′_{r_{0}}q⟩ = 0,

ce qui implique que la mesure μ est, sur T^{∗}∂M, invariante au voisinage de ϱ_{0} par le flot de H_{r_{0}}. Comme {γ(s, ϱ_{0}); −α < s ≤ 0} est une courbe intégrale dans T^{∗}∂M de −H_{r_{0}} et comme {γ(s, ϱ); −α < s < 0} ne rencontre pas le support de μ, on obtient encore ϱ_{0} ∉ supp(μ).

5^{ème} étape : ϱ_{0} ∈ G^{3}. Soit V_{0} un petit voisinage de ϱ_{0} dans T_{b}^{∗}M tel que pour k > 3, V_{0} ∩ G^{k} = ∅. On choisit V ⊂ V_{0} un autre voisinage de ϱ_{0} dans T_{b}^{∗}M et α > 0 comme au corollaire 28. On suppose que Φ_{−α}(V) ∩ supp(μ) = ∅, ce qui est possible si on prend α puis V petits. D’après les étapes 1 à 4 et le corollaire 28 on sait que l’intersection du support de μ avec V est incluse dans l’ensemble des points ϱ tels que

(5)  {γ(s, ϱ); −β < s ≤ 0} ∩ G^{3} ≠ ∅.

On distingue alors selon le signe de ∂_{n}r(γ(s, ϱ_{0})) = e(s, ϱ_{0}) pour s > 0.

Si e < 0, pour s > 0. Pour les autres points de G^{3} ∩ V on a encore e(s, ϱ) < 0 pour s > 0. On sait donc d’après (5) et puisqu’alors la demi-bicaractéristique vers s > 0 correspondante est d’après le lemme 27 incluse dans G_{sg} que les points susceptibles d’être dans l’intersection du support de μ avec V sont dans G_{sg} ∩ G^{3} et en procédant comme à l’étape 4 on obtient que ⟨μ, H′_{r_{0}}q⟩ = 0 ce qui permet de conclure comme à l’étape 4 si le signe de e est négatif pour s < 0 (c’est-à-dire si γ est au voisinage de

826-26

ϱ_{0} une courbe intégrale dans T^{∗}∂M du champs −H_{r_{0}}).

Si le signe de e est positif pour s < 0 (c’est-à-dire si γ(s, ϱ_{0}) quitte le bord pour s < 0), on sait que pour δ < 0 petit, le point ϱ_{1} sur la bicaractéristique de −H′_{r_{0}} issue de ϱ_{0} n’appartient pas au support de μ. En effet d’après (2), et puisque e(−δ) > 0, ϱ_{1} ∈ G_{d} donc ne peut pas appartenir au support de μ puisqu’on sait que celui-ci est inclus dans G_{sg} ∩ G^{3}. On peut donc encore conclure que ϱ_{0} ∉ supp(μ) puisque ⟨μ, H′_{r_{0}}q⟩ = 0 et que la courbe intégrale de H_{r_{0}} issue de ϱ_{0} rencontre un point (ϱ_{1}) qui n’appartient pas au support de μ.

Si e > 0, pour s > 0. On a aussi, pour tout ϱ ∈ G^{3} ∩ V, e(s, ϱ) > 0 pour s > 0 et donc pour tout point ϱ ∈ G^{3} ∩ V, {γ(s, ϱ), 0 < s < α} ne rencontre V qu’en des points qui n’appartiennent pas au bord. On en déduit, d’après (5), que l’intersection du support de la mesure ν avec V (qui est incluse dans π(supp(μ))) est incluse dans G^{3} ⊂ G_{nsg} et comme elle ne charge pas cet ensemble d’après (3.4), on a ν = 0 au voisinage de ϱ_{0}. Finalement, revenant à (3.1), on obtient encore ϱ_{0} ∉ supp(μ).

6^{ème} étape : ϱ_{0} ∈ G^{k}. Pour étudier le cas général on procède par récurence sur l’indice k et à chaque étape on fait le même raisonnement qu’à la cinquième étape.

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Nicolas BURQ

École Polytechnique

Centre de Mathématiques

URA 169 du CNRS

F–91128 PALAISEAU CEDEX

E–mail : burq@math.polytechnique.fr