Contrôle de l’équation des ondes dans des ouverts peu réguliers

N. Burq, Centre de Mathématiques, URA 169 du CNRS, Ecole Polytechnique 91128 Palaiseau Cedex

1 Introduction

On s’intéresse, dans cet article au contrôle de l’équation des ondes avec conditions de Dirichlet. Soient Ω, un ouvert de R^{n}, de classe C^{2}, Γ, un ouvert du bord de Ω, ∂Ω, et T > 0 un réel. Soit A (x) = (a^{i,j} (x)) ∈ C^{2}(\overline{Ω}) une métrique définie positive sur \overline{Ω} (c’est à dire que ^{t}A = A et qu’il existe c > 0 tel que A ≥ cId. On notera Δ̃ = ∑_{i,j} ∂_{i}a_{i,j}∂_{j} le Laplacien associé ((a_{i,j}) = (a^{i,j})^{−1}). Pour g ∈ L^{2}(]0, T [×Γ), (u_{0}, u_{1}) ∈ L^{2}(Ω) × H^{−1}(Ω), le problème

(∂_{t}^{2} − Δ̃)u = 0 dans Ω × R_{t}
u |_{∂Ω} = g × 1_{Γ×]0,T [}
u |_{t=0}= u_{0}  ∂_{t}u |_{t=0}= u_{1}

(1)

possède une solution unique dans C^{0}(R_{t}; L^{2}(Ω)) ∩ C^{1}(R_{t}; H^{−1}(Ω)). Le problème de la contrôlabilité exacte est de savoir à quelles conditions sur Γ et T, pour tout (u_{0}, u_{1}) ∈ L^{2}(Ω) × H^{−1}(Ω), il existe g ∈ L^{2}(]0, T [×Γ) tel que la solution du système (??) vérifie u |_{t≥T} ≡ 0. Dans le cas où Ω et les coefficients a_{i,j} sont de classe C^{∞}, ce problème a été complètement résolu, dans un cadre plus général qu’une simple équation d’onde avec conditions de Dirichlet, par Bardos, Lebeau et Rauch [?] qui donnent des conditions essentiellement nécessaires et suffisantes pour l’existence d’une telle fonction g. Dans le cas où l’ouvert Ω est seulement de classe C^{2}, et A = Id, ce problème a été étudié par des méthodes de multiplicateurs par Lions [?] et résolu sous des hypothèses fortes sur Γ et T. Le but de cet article est de généraliser les résultats de Bardos, Lebeau et Rauch [?] au cas où l’ouvert Ω est peu régulier (de classe C^{3}). Le résultat principal obtenu est le suivant : Soient Ω un ouvert borné de R^{n} de classe C^{3}, a_{i,j} ∈ C^{2} (\overline{Ω}), Γ, un ouvert de ∂Ω et T > 0 tels que (Γ, T) contrôle géométriquement l’ouvert Ω ; alors, pour tout (u_{0}, u_{1}) ∈ L^{2}(Ω) × H^{−1}(Ω), il existe g ∈ L^{2}(]0, T [×Γ) tel que la solution du système (??) vérifie u |_{t≥T} ≡ 0. (On donnera la définition de la contrôlabilité géométrique dans la partie ??) Sous les hypothèses du théorème ??, le symbole principal de l’équation des ondes p(x, t, ξ, τ) =^{t} ξA (x) ξ − τ^{2} est une fonction de classe C^{2} sur T^{∗}Ω et son champ Hamiltonien H_{p} est donc de classe C^{1}. Pour définir la notion de contrôlabilité géométrique on utilise la propriété que H_{p} possède un flot, l’hypothèse minimale naturelle serait donc de supposer seulement H_{p} de classe Lipschitz, soit les coefficients de classe W^{2,∞} ( A de classe C^{1} avec une dérivé deuxième dans L^{∞}) ; de ce point de vue, notre résultat est presque optimal. Nous allons également donner une condition nécessaire pour la contrôlabilité exacte : S’il existe un point intérieur, x, et une direction, ξ, tels qu’aucun des rayons bicaractéristiques issus de x dans la direction ξ à l’instant t = 0, parcourus à vitesse 1, ne rencontre \overline{Γ} × [0, T], en particulier si Ω est de classe C^{k}, avec k≥3, et s’il existe un rayon bicaractéristique généralisé, γ, ne rencontrant pas \overline{Γ} × [0, T] et tel qu’en aucun point de ∂Ω × [0, T] ∩ γ, ∂Ω × R_{t} n’a de contact d’ordre k − 1 avec la géodésique de la métrique (a^{i,j}) tangente au rayon en ce point, alors la conclusion du théorème ?? est fausse. La régularité de l’ouvert Ω étant trop faible pour pouvoir utiliser les techniques microlocales standart, nous allons transformer notre problème de contrôlabilité exacte en un problème de localisation du support d’une mesure de défaut microlocale (ou H-mesure) de P. Gérard [?] et L. Tartar [?] ; puis on utilisera une équation vérifiée par cette mesure pour conclure. Pour des raisons techniques dues à la faible régularité du bord, nous avons préféré utiliser une version semi-classique, beaucoup plus maniable techniquement, de ces mesures de défaut. Les mesures de défaut semi-classiques ont été introduites par P. Gérard et E. Leichtnam [?] (voir aussi B. Helffer, A. Martinez et D. Robert [?]) et nous reprendrons d’ailleurs ligne à ligne leur stratégie pour établir l’ équation vérifiée par notre mesure dans la partie ??.

Un autre intéret de notre approche, outre la faible régularité du bord, est que la preuve présentée est autocontenue, exceptés quelques résultats de géométrie. En contre-partie, nous ne pouvons traiter que le cas des conditions au bord de Dirichlet.

Le plan de l’article est le suivant : dans la deuxième partie, nous rappelons les notions géométriques nécessaires à l’ énoncé des résultats et nous démontrons que si deux mesures positives, μ et ν, définies sur T^{∗}(R^{n+1}) et T^{∗}(∂Ω × R_{t}) respectivement, vérifient une certaine équation, alors le support de μ est réunion de rayons bicaractéristiques généralisés. Nous nous inspirerons pour cela des travaux de R.B. Melrose et J. Sjöstrand [?]. Dans la troisième partie, nous introduisons les mesures de défaut micro-locales semi-classiques d’une suite de solutions d’une équation d’ondes avec conditions de Dirichlet suivant [?] et montrons qu’elles vérifient l’équation étudiée précédemment. Dans la quatrième partie, nous réduisons le problème de la contrôlabilité à l’obtention d’estimations de type semiclassiques et nous démontrons les théorèmes ?? et ??. Enfin, nous avons rassemblé dans un appendice quelques résultats sur les rayons bicaractéristiques généralisés, classiques dans un cadre C^{∞} et que nous redémontrons dans notre cadre moins régulier.

Pour conclure cette introduction, nous voulons rappeler que l’idée d’utiliser des mesures de défaut micro-locales pour étudier des problèmes de stabilisation est due à G. Lebeau [?], qui démontre que la mesure de défaut associée à une suite de solutions de l’équation des ondes est, dans un cadre C^{∞}, invariante par le flot bicaractéristique généralisé, et nous voulons remercier tout particulierement P. Gérard pour les discussions que nous avons eues avec lui sur cet article.

Contents

2 Géométrie

2.1 Rayons bicaractéristiques généralisés

Soit Ω un ouvert de R^{n}, de classe C^{3}. Soient M = Ω × R_{t} et T_{b}^{∗}M = T^{∗}M ∪ T^{∗}∂M. On munit ∂M de la métrique induite par celle de R^{n+1}. On a une projection naturelle :

π : T^{∗}R^{n+1} |\overline{Ω}→ T_{b}^{∗}M (2)

On munit T_{b}^{∗}M de la topologie induite. On note Σ_{b} la projection de la variété caractéristique de l’ opérateur des ondes = Δ̃ − ∂_{t}^{2} d’ équation τ^{2} = ^{t}ξA (x) ξ, p(x, t, ξ, τ) = τ^{2} −^{t} ξA (x) ξ, le symbole principal de et H_{p} = 2τ∂_{t} − 2^{t}ξA (x) ∂_{x} + ∑_{i} ^{t}ξ∂_{x_{i}}A (x) ξ∂_{ξ_{i}} son champ Hamiltonien. On définit les sous-ensembles de T^{∗}∂Ω, elliptiques (E), hyperbolique (H) et glissant (G) par :

(3) #\{π^{−1}(ρ) ∩ car()\} = \begin{matrix}0 si ρ ∈ E \\ 1 si ρ ∈ G \\ 2 si ρ ∈ H \end{matrix}

L’application π permet d’ identifier G à un sous ensemble de T^{∗}R^{n+1}. En tout point x ∈ ∂Ω, il existe une fonction φ(x) de classe C^{3} telle qu’au voisinage de x, ∇φ ≠ 0 et on a Ω = {x ∈ R^{n}; φ(x) > 0} (4)

On dit que le point ρ ∈ G est strictement diffractif si et seulement si H_{p}^{2} (φ) (ρ_{0}) > 0, ce qui revient à dire dans le cas où A = Id que Ω est strictement concave en x(ρ) dans la direction ξ(ρ). On rappelle que cette notion est intrinsèque et on notera G_{d} l’ensemble des points strictement diffractifs. On dit qu’un point ρ ∈ T^{∗} (R^{n+1}) |_{∂M} est non diffractif si et seulement si pour tout ε > 0 il existe −ε < s < ε tel que le point γ(s) sur la courbe intégrale de H_{p} issue de ρ_{0} pour s = 0, parcourue à vitesse 1 n’est pas dans \overline{Ω}. On appellera rayon bicaractéristique généralisé toute application continue :

R ⊃ I \ B ∋ s ↦ γ(s) ∈ T^{∗}M ∪ G ⊂ T^{∗}R^{n+1} (5)

telle que I est un intervalle de R, B est un ensemble de points isolés, pour tout s ∈ I \ B, γ(s) ∈ Σ_{b} et γ est différentiable (comme application à valeurs dans T^{∗}R^{n+1}) et :

1. Si γ(s_{0}) ∈ T^{∗}M∪G_{d}, on a γ̇(s_{0}) = H_{p}(γ(s_{0})) (H_{p} est le champ de vecteur Hamiltonien de p).

2. Si γ(s_{0}) ∈ G \ G_{d}, on a γ̇(s_{0}) = H_{p}^{G}(γ(s_{0})) (H_{p}^{G} = H_{p} + (H_{p}^{2}φ/H_{φ}^{2}p)H_{φ}, où φ vérifie (??) est le champ de vecteur Hamiltonien glissant de p).

3. En tout point s_{0} ∈ B, γ(s_{0} ±0) existent et sont les deux points distincts de la même fibre hyperbolique de l’application π.

On peut donc considérer γ comme une application continue sur I à valeurs dans T_{b}^{∗}M. On appellera rayon bicaractéristique fermé, l’adhérence dans T^{∗}R^{n+1} d’un rayon bicaractéristique défini comme précedemment.

(8cm; 0cm)/cmat/raid/users/burq/figs/controlepeuregulier1.eps  Projection sur l’espace des x d’un rayon  bicaractéristique généralisé  dans le cas où A = Id  −911P ointsnon−99diffractifs354Unrayon32.511P ointstrictement369diffractif32.516P ointshyperboliques

Au voisinage de tout point γ (s_{0}) ∈ T^{∗}Ω, la projection sur l’espace Ω du rayon γ est un arc de géodésique de la métrique (a_{i,j}).

Soient Γ un ouvert de ∂Ω et T > 0. On dit que (Γ, T) contrôle géométriquement l’ouvert Ω si et seulement s’il existe ε > 0 et K un compact de Γ tel que tout rayon bicaractéristique généralisé rencontre K × [ε, T − ε] en un point non diffractif. Nous rappelons les résultats suivants, dus à Melrose et Sjöstrand [?] dans le cas C^{∞} et dont on trouvera une démonstration dans l’appendice (corollaire ?? et proposition ??) :Par tout point (x_{0}, t_{0}, ξ_{0}, τ_{0}) ∈ T_{b}^{∗}M, il passe au moins un rayon bicaractéristique généralisé, qui est obtenu au voisinage de ρ_{0} comme limite uniforme de rayons n’ayant que des points de reflexions transverses avec le bord. Il en passe exactement un (localement) si au voisinage de x_{0}, l’ouvert Ω est de classe C^{k} et n’a pas avec la droite de vecteur directeur ξ_{0} de contact d’ordre maximal (c’est à dire d’ordre k − 1). Tout rayon bicaractéristique généralisé peut se prolonger en un rayon défini sur I = R (cette dernière propriété est due au fait que nous étudions une équation d’ondes).

2.2 Géométrie et mesures

L’objet principal de cette partie est la démonstration du résultat suivant :Soient μ et ν deux mesures positives sur T^{∗}(R^{n+1}) et T^{∗}(∂M) respectivement telles que

1. Il existe 0 < α < 1 tel que le support de μ est inclu dans l’intersection de l’ensemble C = \{|τ|^{2} = ^{t}ξA (x) ξ ∈ [α, α^{−1}]\} avec T^{∗}R^{n+1} |\overline{Ω}.

2. Si on note pour ρ ∈ H ∪ G, ξ_{±}(ρ) les deux points (éventuellement confondus) de T^{∗}R^{n+1} se projetant sur ρ et n(x) la normale extérieure à l’ouvert Ω en x, on a, au sens des distributions,

tH_{p} (μ) = ∫_{ρ∈H∪G} \frac{δ(ξ − ξ_{+}(ρ)) − δ(ξ − ξ_{−}(ρ))}{⟨ξ_{+} − ξ_{−}, n(x(ρ))⟩}ν(dρ). (6)

Alors le support de la mesure μ est réunion de rayons bicaractéristiques généralisés fermés. Si on suppose de plus que tout rayon bicaractéristique généralisé fermé rencontre le bord ∂Ω×R_{t} en un point non diffractif qui n’est pas dans le support de la mesure ν alors μ ≡ 0. Pour démontrer le corollaire, il suffit de vérifier qu’au voisinage d’un tel point diffractif, ρ_{0}, μ ≡ 0 ; or comme ν ≡ 0 au voisinage de π(ρ_{0}), la mesure μ est au voisinage de ce point invariante par le flot bicaractéristique du champ Hamiltonien H_{p} défini sur T^{∗}R^{n+1}. Le rayon issu de ρ_{0} sort d’après l’hypothèse “ρ_{0} non diffractif” de T^{∗}R^{n+1} |\overline{Ω} donc rentre dans le complémentaire du support de μ d’après hypothèse ??, d’où le résultat.

Pour démontrer le théorème ??, nous allons montrer que le support de la mesure μ vérifie les hypothèses de la proposition ??. On va étudier cet ensemble au voisinage d’un point ρ_{0} ∈ T^{∗}(R^{n+1}) |\overline{Ω}. On distingue donc quatre cas :

ρ_{0} ∈ T^{∗}M (1) π (ρ_{0}) ∈ H (2) π (ρ_{0}) ∈ G \ G_{d} (3) π (ρ_{0}) ∈ G_{d} (4)

Dans le cas (??), il est clair d’après l’équation vérifiée par la mesure μ qu’elle est au voisinage de ρ_{0} invariante par le flot Hamiltonien. Pour étudier les trois autres cas, nous allons faire un changement de coordonnées. Soit φ ∈ C^{3}(R^{n−1}; R) telle qu’au voisinage de x_{0} on a Ω = {x_{n} > φ(x′)} (7)

Soient s = x_{n} − φ(x′) et y = x′ − x′_{0}. Dans ce nouveau système de coordonnées, on a, avec B (y, s) = A (y + x′_{0}, s + φ (y + x′_{0})) :

\{ Ω = \{s > 0\}, ; p(t, s, y, τ, σ, η) = τ^{2} − (η − σ∇φ, σ) B (y, s) ^{t} (η − σ∇φ, σ) ; \begin{aligned}H & = & \{(t, s = 0, y, τ, σ, η); 0 < (−∇φ, 1) B (y, s) ^{t} (η, 0)^{2} \\ & & + (τ^{2} − (η, 0) B (y, s) ^{t} (η, 0)) × (−∇φ, 1) B (y, s) ^{t} (−∇φ, 1)\}, \\ G & = & \{(t, s = 0, y, τ, σ, η); 0 = (−∇φ, 1) B (y, s) ^{t} (η, 0)^{2} \\ & & + (τ^{2} − (η, 0) B (y, s) ^{t} (η, 0)) × (−∇φ, 1) B (y, s) ^{t} (−∇φ, 1)\}, \end{aligned} (8)

\{ \begin{matrix}H_{p} & = & 2τ \frac{∂}{∂t} + 2 (−∇φ, 1) B (y, s) ^{t} (−η + σ∇φ, −σ) \frac{∂}{∂s} \\ & & +2 (σ∇φ − η, −σ) B (y, s) ^{t} (\frac{∂}{∂y} , 0) \\ & & + (η − σ∇φ, σ) B (y, s) ^{t} (−σHessφ\frac{∂}{∂η} , 0) \\ & & + (η − σ∇φ, σ) ∂_{y}B (y, s) (η − σ∇φ, σ) · \frac{∂}{∂η} \\ & & + (η − σ∇φ, σ) ∂_{s}B (y, s) ^{t} (η − σ∇φ, σ) \frac{∂}{∂σ} \\ H_{p} (s) & = & 2 (−∇φ, 1) B (y, s) ^{t} (−η + σ∇φ, −σ) \\ H_{s}^{2} (p) & = & −2 (−∇φ, 1) B (y, s) ^{t} (−∇φ, 1) \\ H_{p}^{G} & = & H_{p} + \frac{H_{p}^{2} (s)}{H_{s}^{2} (p)}H_{s}. \end{matrix} (9)

On notera

σ_{0}(y, η) = −\frac{(−∇φ, 1) B (y, s) ^{t} (η, 0)}{(−∇φ, 1) B (y, s) ^{t} (−∇φ, 1)} (10)

et

H^{r} = H^{p} |′_{{s=0 \atop σ=σ_{0}}} . (11)

où l’exposant ′ indique qu’on a supprimé les composantes sur ∂_{s} et ∂_{σ}.

On vérifie facilement que dans ce système de coordonnées, les champs H_{p}, H_{p}^{G} et H_{r} sont de classe C^{1}. L’application qui identifie G avec son image réciproque par la projection (??) est :

(y, t, η, τ) ∈ G ↦ (s = 0, y, t, σ = σ_{0}, η, τ) ∈ T^{∗}R^{n+1}. (12)

La variété caractéristique C est donnée par:

\begin{aligned}C & = & \{(t, s, y, τ, σ, η); 0 ≤ Δ=^{def} [(−∇φ, 1) B (y, s) ^{t} (η, 0)]^{2} \\ & & + (τ^{2} − (η, 0) B (y, s) ^{t} (η, 0)) × (−∇φ, 1) B (y, s) ^{t} (−∇φ, 1)\}, \end{aligned} (13)

et sur C, on a :

σ = σ_{0} ± \frac{\sqrt{Δ}}{(−∇φ, 1) B (y, s) ^{t} (−∇φ, 1)} (14)

Nous rappelons le résultat suivant dont nous donnons une démonstration dans l’appendice (proposition ??), qui sera d’une importance cruciale par la suiteSoit F ⊂ T^{∗}R^{n+1} un sous ensemble fermé de la variété caractéristique inclu dans T^{∗}R^{n+1} |\overline{Ω} tel que

1. Si ρ ∈ T^{∗}Ω, F contient un voisinage de ρ dans la bicaractéristique passant par ρ.

2. Si ρ ∈ H ∪ G_{d}, F contient un voisinage de ρ dans la bicaractéristique brisée fermée passant par ρ.

3. Pour tout compact K de F ∩ (G \ G_{d}) et ε > 0 assez petit, il existe δ > 0 et γ_{ε}(t, γ_{0}) ∈ F, −δ ≤ t ≤ δ, γ_{0} ∈ K tels que

| (γ_{ε}(t, γ_{0}) − γ_{0})/t − H_{p}^{G}(γ_{0}) |′< ε; 0 < |t| ≤ δ. (15)

où | |′ désigne la norme usuelle dont on supprime la coordonnée σ,

alors F est réunion de rayons bicaractéristiques fermés généralisés (c’est à dire que par tout point de F il passe un rayon bicaractéristique généralisé fermé défini sur I = R, qui est inclu dans F). Nous pouvons maintenant aborder l’étude du cas (??). Nous reprenons des arguments de [?] On notera S : H → H la symétrie orthogonale par rapport au plan tangent au bord de l’ouvert (dans notre système de coordonnées, S(y, t, σ, η, τ) = (y, t, 2∇φ · η/(1+ | ∇φ |^{2}) − σ, η, τ). Il est clair que le second membre de (??) est, sur H, une mesure antiinvariante par l’involution S. D’autre part, comme sur Ω, la mesure μ vérifie ^{t}H_{p} (μ) = 0, comme, au voisinage de tout point ρ_{0} ∈ H, T^{∗}R^{n+1} |_{∂M} est non caractéristique pour le champ de vecteur H_{p}, la mesure μ possède une trace sur T^{∗}R^{n+1} |_{∂M} au voisinage de tout point ρ_{0} ∈ H, μ |_{∂M} qui vérifie

(^{t}H_{p}μ) = −H_{p} · n(x)μ |_{∂M} ⊗δ_{∂M}. (16)

Comme H_{p} · n ∘ S = −H_{p} · n, on en déduit que μ |_{∂M} est invariante par l’involution S et revenant à l’équation vérifiée par μ à l’ intérieur, on voit que si une des deux demi bicaractéristiques (dont on exclue les points π^{−1}(ρ_{0}) = ρ_{0}^{±}) issues de ρ_{0} ∈ H ne rencontre pas, au voisinage de ρ_{0}, le support de μ alors l’autre non plus et μ |_{∂M} est identiquement nulle au voisinage de ρ_{0}, donc, revenant à l’équation (??), on voit que μ est identiquement nulle , au voisinage de ρ_{0}^{±}, ce qui démontre leSoit ρ_{0} ∈ H. Alors, si l’une des deux demi bicaractéristiques fermées issues de ρ_{0} rencontre le support de μ, au voisinage de ρ_{0}, alors les demi-bicaractéristiques fermées issues de ρ_{0} sont inclues, au voisinage de ρ_{0} dans ce support. L’étude des cas (??) et (??) est très proche de celle de [?] ; les seules différences étant que nous ne pouvons pas utiliser de système de coordonnées géodésiques qui consommerait trop de régularité, mais qu’en contre-partie, l’utilisation des mesures de défaut nous permet de ne pas avoir à quantifier les symboles que nous utilisons, ce qui permet de travailler avec des symboles seulement de classe C^{0}. On commence par l’étude du cas (??). On notera (z, ζ) le point courant sur T^{∗}∂M.Soit (z_{0}, ζ_{0}) ∈ G, alors il existe

K, un compact de G tel que (z_{0}, ζ_{0}) ∈ K^{∘} et pour tout ε > 0, il existe δ_{ε} > 0, tel que pour tout (z_{1}, ζ_{1}) ∈ K, s’il existe δ ∈ (0, δ_{ε}) tel que,

s < δε, | (z, ζ) − (z_{1}, ζ_{1}) − δH_{r}(z_{1}, ζ_{1}) |< δε ⇒ ∀σ ∈ R(s, z, σ, ζ) ∉ supp(μ) (17)

alors ∀σ ∈ R, (0, z_{1}, σ, ζ_{1}) ∉ supp(μ). Le champ de vecteur H_{r}, de classe C^{1}, ne s’annule pas au point (z_{0}, ζ_{0}), on peut donc supposer quitte à réstreindre K qu’il existe sur K un système de coordonnées (x_{1}, x′), de classe C^{1} tel que H_{r} = \frac{∂}{∂x_{1}} et (z_{0}, ζ_{0}) = (0, 0). Soient (x_{1}^{1}, x′_{1}) les coordonnées du point (z_{1}, ζ_{1}).

Posons χ(u) = 1_{(1−u)>0}exp(1/(u − 1)). Soit f ∈ C^{∞}(R), telle que

f ≡ 0 sur ] − ∞, 1/2] (18) f′ > 0 sur ]1/2, +∞[, (19) f′′ ≥ 0 sur ]1/2, +∞[, (20) f (x) > x pour x ≥ 1 (21)

Soit β ∈ C^{∞}(R), telle que

β ≡ 0 sur ] − ∞, −1], (22) β′ > 0 sur ] − 1, −1/2[, (23) β ≡ 1 sur [−1/2, +∞[. (24)

Posons

\{ \begin{matrix}q_{ε}(x, s) = β (\frac{1}{ε} − \frac{x_{1}−x_{1}^{1}}{δε} ) χ (\frac{1}{2} − \frac{x_{1}−x_{1}^{1}}{δ} + \frac{(x′−x′_{1})^{2}}{δ^{2}ε^{2}} + f (\frac{s}{δε})) \\ g_{ε} = β × H_{p}(χ) \\ h_{ε} = (H_{p}(β)) × χ \end{matrix} (25)

Dans notre système de coordonnées, si x_{1} est assez proche de x_{1}^{1}, on a

(x_{1}, x′ = x′_{1}, s = 0, σ_{0}) ∈ G, (26) de plus, si ρ ∈ G, si on supprime la composante sur ∂_{σ}, H_{p}(ρ) = H_{r}(ρ) , donc

\{g_{ε} = β (\frac{1}{ε} − \frac{x_{1} − x_{1}^{1}}{δε} )× [\frac{−1}{δ} + O (|x′ − x′_{1}| + |s| + |σ − σ_{0}|) × (\frac{1}{δ} + \frac{1}{δε} + \frac{|x′ − x′_{1}|}{δ^{2}ε^{2}})]

(27) or, sur le support de βχ, on a

−\frac{δ}{2} ≤ x_{1} − x_{1}^{1} ≤ δ + δε (28)

donc

\frac{(x′ − x′_{1})^{2}}{δ^{2}ε^{2}} < \frac{3}{2} + ε; \frac{s}{δε} < \frac{3}{2} + ε (29)

de plus sur la variété caractéristique, on a

(σ − σ_{0})^{2} = O (Δ (y, s, τ, η)) (30)

comme cette dernière expression s’annule sur G (et qu’elle ne dépend pas de σ), on a, d’après (??), |σ − σ_{0}|^{2} = O (|x′ − x′_{1}| + |s|), sur la variété caractéristique.

Finalement, on en déduit que pour tout ε > 0, il existe δ_{ε} > 0 tel que pour tout δ ∈ ]0, δ_{ε}[, g_{ε} ≥ 0 sur l’intersection de la variété caractéristique avec \overline{Ω} et g_{ε}(x_{1}^{1}, x′_{1}, s = 0) > 0.

Etudions maintenant la fonction h_{ε} ; sur le support de h_{ε}, on a

\{ \begin{matrix}−1 ≤ \frac{1}{ε} − \frac{x_{1} − x_{1}^{1}}{δε} ≤ −\frac{1}{2} \\ ⇒ −δε ≤ δ − (x_{1} − x_{1}^{1}) ≤ −\frac{δε}{2} \\ ⇒| x_{1} − x_{1}^{1} − δ |≤ δε \\ \frac{s}{δε} < \frac{3}{2} + ε \end{matrix} (31)

donc, par hypothèse, le support de h_{ε} ne rencontre pas le support de μ, si δ est assez petit.

On revient au système de coordonnées standart sur T^{∗} (R^{n} × R_{t}), (x, t, ξ, τ). On notera encore q_{ε}, g_{ε} et h_{ε} les fonctions exprimées dans ce système de coordonnées. On a donc H_{p}q_{ε} = g_{ε} + h_{ε}, (32)

d’après l’équation vérifiée par la mesure μ, on a

⟨μ, H_{p}(q_{ε})⟩ = ∫_{H∪G} \frac{q_{ε}(ξ^{+}, τ^{+}, x, t) − q_{ε}(ξ^{−}, τ^{−}, x, t)}{⟨ξ^{+} − ξ^{−}, n(x(ρ))⟩}dν(ρ) (33)

or, par construction, il existe un système de coordonnées tel que dans ce système, la fonction q_{ε}(x, t, ξ, τ) est tangentielle, donc q_{ε}(x, t, ξ^{+}, τ^{+}) = q_{ε}(x, t, ξ^{−}, τ^{−}), donc ⟨μ, H_{p}q_{ε}⟩ = 0 = ⟨μ, g_{ε} + h_{ε}⟩. Comme le support de h_{ε} ne rencontre pas celui de μ, on a ⟨μ, h_{ε}⟩ = 0. Or g_{ε} ≥ 0 sur le support de μ et g_{ε}(x_{1}, t_{1}, ξ_{1}, τ_{1}) > 0, d’où le lemme ??

On étudie maintenant le cas (??). On fait le changement de coordonnées (??). Dans ce système, on a ρ_{0} = (s = 0, y_{0} = 0, t_{0} = 0, σ_{0}, η_{0}, τ_{0}). L’hypothèse ρ_{0} strictement diffractif se traduit par :

(34) ∃c > 0, Γ, un voisinage de ρ_{0} tel que ∀ρ ∈ Γ, H_{p}^{2}(s)(ρ) > c.

Nous allons montrer leSoit ρ_{0} ∈ T^{∗}∂M, un point strictement diffractif. Alors, si l’une des deux demi bicaractéristiques généralisées (dont on exclue ρ_{0}), issues du point ρ_{0} ne rencontre pas le support de la mesure μ au voisinage de ρ_{0}, alors l’autre non plus et ρ_{0} non plus. On note (z, ζ) les variables (t, y, τ, η). On posera

ϕ(s, z, σ, ζ) = H_{p} (s) + ϕ_{0}(s, z, ζ) (35)

avec ϕ_{0}(s, z, ζ) = s^{2} + |z − z_{0}|^{2}+ | ζ − ζ_{0} |^{2} (36)

on a donc

\{ \begin{matrix}H_{p}(ϕ) & = & H_{p}ϕ_{0} + H_{p}^{2} (s) \\ & = & (1) + (2) \end{matrix} (37)

Or d’après (??), il existe c > 0 tel que dans un voisinage de (y = 0, η_{0}), on a H_{p}^{2}(s) ≥ c/2. On a de plus |(1)| = O (|s| + |z − z_{0}|+ | ζ − ζ_{0} |) . (38)

Il existe donc un voisinage, Γ, de (y = 0, s = 0, t = 0, σ = 0, η_{0}, τ_{0}) tel que H_{p}(ϕ) > 0 sur Γ.

Soient

\{ \begin{matrix}χ_{0}(t) = 1_{t>0} exp (−\frac{1}{t}) \\ χ_{1} ∈ C_{0}^{∞}(] − 3, 3[); χ_{1} ≡ 1 sur [−2, 2] \end{matrix} (39)

Posons, pour δ > 0,

f = χ_{1} (\frac{ϕ_{0}}{δ} )^{2} χ_{0}(1 − ϕ/δ). (40)

Sur le support de f , on a ϕ ≤ δ, donc

H_{p} (s) ≤ δ − ϕ_{0} ≤ δ (41)

de plus sur l’intersection des supports de f et de dχ_{1}(ϕ_{0}/δ), on a ϕ ≤ δ et ϕ_{0} ≥ 2δ; donc sur l’intersection des supports de f, de dχ_{1}(ϕ_{0}/δ) et de la variété caractéristique, on a

H_{p} (s) ≤ −δ. (42)

et comme H_{p} (s) = 2(σ − σ_{0}) (−∇φ, 1) B (y, s) ^{t} (−∇φ, 1) , (43)

on a donc

\{ \begin{matrix}(σ − σ_{0}) < 0 ⇒ Δ > 0 \\ et σ = σ_{0} − \frac{\sqrt{Δ}}{(−∇φ, 1) B (y, s) ^{t} (−∇φ, 1)} \end{matrix} (44)

(car l’autre racine est éliminée par la condition (??). On a également sur le support de f, |ϕ_{0}| ≤ 3δ. Donc, si δ est assez petit, on a H_{p}(ϕ) > 0 sur l’intersection du support de f et de la variété caractéristique et

\{ \begin{matrix}H_{p}(f) & = & \frac{1}{δ}χ_{1}^{2}χ′_{0} (−H_{p}ϕ) + 2χ_{1}H_{p} (χ_{1} (ϕ_{0}/δ)) × χ_{0} \\ & = & (1) + (2) \end{matrix} (45)

avec (1) ≤ 0 sur C et (2) à support dans un petit voisinage de ρ_{0}. Si on suppose maintenant que le support de μ ne rencontre pas une des deux demi-bicaractéristiques ouvertes issues du point ρ_{0} (celle qui, au voisinage de ρ_{0} correspond à la racine σ = σ_{0} − \sqrt{Δ})/(−∇φ, 1)B(y, s)^{t}(−∇φ, 1)), on a alors, si δ est assez petit, ⟨μ, (2)⟩ = 0, d’après (??), donc, d’après l’équation vérifiée par la mesure μ,

⟨μ, (1)⟩ = ∫_{H∪G} \frac{f(ρ^{+}) − f(ρ^{−})}{⟨ξ^{+} − ξ^{−}, n(x)⟩}dν (46)

avec ρ^{±} = (t, x, s = 0, σ^{±} = σ_{0} ± \frac{\sqrt{Δ}}{(−∇φ,1)B(y,s)^{t}(−∇φ,1)}, η, τ) et ⟨μ, (1)⟩ ≤ 0 puisque (1) ≤ 0 sur C. Or

\{ \frac{f(ρ^{+}) − f(ρ^{−})}{⟨ξ^{+} − ξ^{−}, n(x)⟩} ; = χ_{2}(ϕ_{0}/δ)^{2} \frac{χ_{0} (1 − ϕ(ρ^{+}/δ)) − χ_{0} (1 − ϕ(ρ^{−}/δ))}{−2\sqrt{Δ}}(−∇φ, 1)B(y, s)^{t}(−∇φ, 1) (47)

et la fonction χ_{0} est croissante. Comme ϕ(ρ^{±}) = ϕ_{0} ± \sqrt{Δ}, on en déduit que

\frac{f(ρ^{+}) − f(ρ^{−})}{⟨ξ^{+} − ξ^{−}, n(x)⟩} ≥ 0 (48)

avec inégalité stricte en ρ_{0} si δ est assez petit.

Comme μ et ν sont des mesures positives, les deux termes de l’équation (??) sont nécessairement nuls, ce qui implique que la mesure ν est identiquement nulle au voisinage du point ρ_{0} dans T^{∗}∂M, et, revenant à l’équation (??) vérifiée par la mesure μ, on en déduit que la mesure μ est invariante au voisinage de ρ_{0} (dans T^{∗}R^{n+1}) par le flot géodésique usuel; ce qui démontre le lemme ??

Le théorème ?? se déduit des lemmes ??, ?? et ?? et de la proposition ??. En effet, notons F le support de la mesure μ. Il est clair que F vérifie le point 1) de la proposition ??, d’après les lemmes ?? et ??, il vérifie également le point 2). Il reste à vérifier que F vérifie également le point 3). Si γ_{1} = (s_{1} = 0, z_{1}, σ_{1}, ζ_{1}) ∈ F ∩ G alors on a σ_{1} = \frac{∇φ·η}{(1+∇φ^{2})}. D’après le lemme ??, pour tout ε > 0 assez petit, il existe δ_{ε} > 0 tel qu’on peut construire γ_{ε} (t, γ_{1}) = (s_{ε} (t, γ_{1}) , z_{ε} (t, γ_{1}) , σ_{ε} (t, γ_{1}) , ζ_{ε} (t, γ_{1})) ∈ F telle que :

0 < \frac{s_{ε} (t, γ_{1})}{t} < ε, |\frac{(z, ζ)_{ε} (t, γ_{1}) − γ_{1}}{t} − H_{r} (γ_{1})| < ε. (49)

Comme γ_{1} ∈ G, on a H_{r} (γ_{1}) = H_{p} (γ_{1}) = H_{p}^{G} (γ_{1}), si on supprime la composante sur ∂_{σ}.

3 Mesures de défaut microlocales

3.1 Définition des mesures

Nous allons dans cette partie rappeler quelques résultats sur les mesures de défaut microlocales semi classiques telles qu’elles sont introduites dans [?]. Les résultats que nous énoncerons dans cette partie sont tous démontrés dans cette référence.

On notera par la suite h un petit paramètre et o(1) toute expression dont la limite quand h tend vers 0 est 0. Pour toute fonction a ∈ L_{loc}^{1}(R_{x}^{n} × R_{ξ}^{n}) telle que

(50) M(a) = max_{|α|≤n+1} esssup_{(x,ξ)} |∂_{ξ}^{α}a(x, ξ)| < +∞,

On posera, pour u ∈ L^{2}(R^{n}),

a(x, hD)u(x) = (2π)^{−n} ∫ e^{ix·ξ}a(x, hξ)û(ξ)dξ. (51)

On notera k_{a}(z, v) = (2π)^{−(n+1)} ∫ e^{iv·ζ}a(z, ζ)dζ (52)

alors

a(z, hD_{z})u(z) = h^{−(n+1)} ∫ k_{a} (z, \frac{z − y}{h} ) u(y)dy. (53)

[[?], lemme 1.1]Si la fonction a vérifie les estimations (??), alors l’opérateur défini par (??) est continu de L^{2} dans L^{2} et il existe une constante C_{n} ne dépendant que de la dimension n telle que

∥a(x, hD)∥_{L(L^{2})} ≤ ∫ supess_{x} |k_{a} (x, v) |dv ≤ C_{n}M(a). (54)

On notera Σ(R^{2n}) l’espace des fonctions a qui vérifient (??) et qui tendent vers 0 à l’infini. On notera, pour u ∈ L^{2} et (x, ξ) ∈ R^{2n}, W l’isométrie de L^{2}(R^{n}) sur L^{2}(R^{2n}) définie par :

W u(x, ξ, h) = 2^{−n/2}(πh)^{−3n/4} ∫ e^{−(x−y)^{2}/2h+i(x−y)·ξ/h}u(y)dy. (55)

[[?], lemme 1.2]Soit a ∈ Σ(R^{2n}). Alors

∥a(x, hD) − W_{h}^{∗}aW_{h}∥_{L(L^{2})} = o(1). (56)

On se donne maintenant une suite U = (u_{k}) bornée dans L^{2} et une suite d’échelles H = (h_{k}), telle que pour tout k, h_{k} > 0 et lim_{k→+∞} h_{k} = 0. On note μ_{k}(x, ξ) = |W u_{k}(x, ξ, h_{k})|^{2}. Cette suite est bornée dans L^{1}(R^{2n}).On notera M(U, H) l’ensemble des points d’adhérence de cette suite dans l’espace des mesures de Radon muni de la topologie de la convergence vague. On dira qu’un élément μ ∈ M(U, H) est une mesure de défaut microlocale (m.d.m) de la suite U à l’échelle H. On a clairement M(U, H) ≠ ∅ et quitte à extraire une sous suite, on peut toujours se ramener à #{M(U, H)} = 1; ce qu’on supposera toujours par la suite. [[?], proposition 1.4]Soit F un sous espace de Σ(R^{2n}) dense dans l’espace C_{0}(R^{2n}) des fonctions continues tendant vers 0 à l’infini, pour la topologie de la convergence uniforme. On a l’équivalence entre :

1. La mesure μ est la mesure de défaut microlocale de la suite (U, H)

2. Pour tout a ∈ F, (a(x, h_{k}D)u_{k}, u_{k})_{L^{2}} a une limite l(a) quand a tend vers l’infini.

On a alors ∀a ∈ F, l(a) = ⟨a, μ⟩. (57)

[[?], proposition 1.6]

1. Si la suite u_{k} converge fortement vers la fonction u dans L^{2} alors M(U, H) = {|u(x)|^{2}dxδ(ξ)}.

2. Si u_{k} ⇀ u (dans L^{2}) alors pour μ ∈ M(U, H), μ ≥ |u(x)|^{2}dxδ(ξ). En particulier, si μ(ξ = 0) = 0 alors u_{k} ⇀ 0.

3. Si la suite U vérifie les deux hypothèses suivantes:

lim sup_{k→+∞} ∫_{|x|≥R} |u)(x)|^{2}dx ⟶_{R→+∞} 0 (58)

lim sup_{k→+∞} ∫_{h_{k}|ξ|≥R} |û)(ξ)|^{2}dx ⟶_{R→+∞} 0 (59)

alors si μ est la m.d.m de (U, H), on a convergence étroite; ce qui est équivalent à :

∥u_{k}∥_{L^{2}}^{2} ⟶ μ(R^{2n}). (60)

De plus, si μ(ξ = 0) = 0 alors pour tout A opérateur Pseudo-différentiel (classique) polyhomogène d’ordre 0, on a

(Au_{k}, u_{k}) ⟶_{k→+∞}⟨σ_{0}(A)(x, ξ), μ⟩, (61)

où on a noté σ_{0}(A) le symbole principal de l’opérateur A.

4. Si θ est continue bornée sur R^{n}, si μ est la m.d.m de (U, H) alors |θ|^{2} est la m.d.m de (θU, H).

On notera S(R^{n}) l’espace de Schwartz des fonctions à décroissance rapide ainsi que toutes leurs dérivées sur R^{n}. [[?], lemme 1.7]Pour tout a ∈ S(R^{2n}) et θ ∈ C^{0}(R^{n}), bornée, on a :

∥ [a(x, hD), θ] ∥_{L(L^{2})} = o(1). (62)

L’invariance par changement de variable de la notion de m.d.m est fournie par le [[?], lemme 1.10]Soit χ : V → U un difféomorphisme de classe C^{1} entre deux ouverts de R^{n}. Soit a ∈ C_{c}(U × R^{n}) (espace des fonctions continues à support compact dans U × R^{n}), telle que ∂_{ξ}^{α}a est continue pour |α| ≤ n+1. Soit b(y, η) = a(χ(y),^{t} dχ^{−1}(η)) ∈ C_{c}(V ×R^{n}). Alors pour tout compact K ⊂ U on a

∥A(x, hD_{x})u ∘ χ − B(y, hD_{y})(u ∘ χ)∥_{L^{2}(R^{n})} = o(1) (63) uniformément par rapport à u ∈ L^{2}(R^{n}), de norme inférieure à 1, à support dans K.

Soit M une variété de classe C^{1}, muni d’une densité continue positive, ρ. On note B(M) l’algèbre des opérateurs bornés, B_{h}, sur L^{2}(M, ρ) dépendant de h comme d’un paramètre, N (M) l’idéal de B formé des opérateurs B_{h} tels que ∥B_{h}∥_{L^{2}} = o(1). Soit A l’algèbre quotient de B par N.

Par ailleurs, on note Σ_{c}(T^{∗}M) l’espace des fonctions a ∈ C^{0}(T^{∗}M), à support compact telles que pour tout |α| ≤ n + 1, on a ∂_{ξ}^{α}a ∈ C^{0}(T^{∗}M). Cette définition a bien un sens car M est de classe C^{1}.

Soient U un ouvert de M et a ∈ Σ_{c}(T^{∗}M) à support dans T^{∗}M |_{U}. Si κ est un système de coordonnées sur U, on pose a_{κ}(x, ξ) = a(κ(x),^{t} dκ^{−1}(ξ)). Il est clair que a_{k} ∈ C_{c} ((V = χ^{−1}(U)) × R^{n}) et vérifie les hypothèses du lemme ??. Soit θ ∈ C_{c}(U), θ ≡ 1 au voisinage du support en x de a. On pose, pour u ∈ L^{2}(M, ρ):

A(θ, κ)u = a_{κ}(x, hD_{x})(θu ∘ κ). (64)

D’après le lemme ??, la classe de A(θ, κ) dans A est indépendante du choix de κ et θ. On la note [Op](a). On a clairement pour tout φ ∈ C^{0}(M),

[Op](φa) = [φ][Op](a). (65)

En utilisant des partitions de l’unité, on obtient : [[?], proposition 1.11]Il existe une unique application linéaire [Op] : Σ_{c}(T^{∗}M) → M prolongeant la précédente et vérifiant (??) pour toute fonction φ continue et tout symbole a ∈ Σ_{c}(T^{∗}M).

Soit λ = l^{∞}/c_{0} l’espace des suites bornées modulo les suites convergeant vers 0. Soit u_{k} une suite bornée de L^{2}(M, ρ). Pour a ∈ Σ_{c}(T^{∗}M), on note S(a) la classe dans λ de la suite ([Op](a)u_{k}, u_{k}).On note M(U, H) l’ensemble des mesures μ sur T^{∗}M telles qu’il existe une suite k_{n} telle que pour tout a ∈ Σ_{c}(T^{∗}M) la suite S(a)_{k_{n}} converge quand n tend vers l’infini vers ⟨a, μ⟩ Soit U = (u_{k}), une suite bornée de L^{2}(M, ρ) et H = (h_{k}) une suite d’echelles qui tend vers 0, alors l’ensemble M(U, H) est non vide. On supposera toujours par la suite que #{M(U, H)} = 1.

3.2 Mesures et équations d’ondes

On va dans cette partie associer des mesures de défaut à des suites de solutions de l’équation des ondes.

Soit Ω un ouvert de R^{n}, de classe W^{2,∞}. Soit (e_{ν}) la base orthonormale de L^{2}(Ω) formée de vecteurs propres du Laplacien, Δ̃ avec conditions de Dirichlet et (λ_{ν}) les valeurs propres associées.

Soient 0 < α < 1 et ϱ ∈]1, 1/α[. On notera pour k ∈ N^{∗}, J_{k} = \{ν; αϱ^{k} ≤ \sqrt{λ_{ν}} < ϱ^{k}/α et pour −k ∈ N^{∗}, J_{k} = J_{−k}. On notera E_{k} = {u = (u_{ν})_{ν∈J_{k}}}.

On identifiera les éléments u ∈ E_{k} avec la distribution u = ∑_{ν∈J_{k}} e^{±it\sqrt{λ_{ν}}}u_{ν}e_{ν}, où on prend le signe égal à + si k > 0 et à − si k < 0, solution de l’équation u = 0 , u |_{∂Ω}= 0. On identifiera également l’espace H = H_{0}^{1}(Ω) × L^{2}(Ω) avec l’ensemble des solutions de

\{ \begin{matrix}u = 0 dans Ω × R_{t} & , & u |_{∂Ω}= 0 \\ u |_{t=0}= u_{0} ∈ H_{0}^{1}(Ω) & , & ∂_{t}u |_{t=0}= u_{1} ∈ L^{2}(Ω) \end{matrix} (66)

On note h_{k} = ϱ^{−|k|} et pour u_{k} ∈ E_{k}, E(u_{k}) = h_{k}^{−1} ∑_{ν} | u_{ν} |^{2}, B = {U = (u_{k})_{k∈Z^{∗}}; ∀n u_{n} ∈ E_{n} et E(u_{n}) ≤ 1} et B^{±} = {U = (u_{k})_{k∈±N^{∗}}; ∀n u_{n} ∈ E_{n} et E(u_{n}) ≤ 1}.

Soit W = (w_{k})_{k∈N} ∈ B^{+}. Soient T > 0 et φ ∈ C_{0}^{∞}(R_{t}) telle que φ ≡ 1 au voisinage de [−T, 2T]. On désigne par w′_{k} le prolongement par 0 à l’extérieur de Ω de w_{k}. La suite U = (u_{k} = φ(t)h_{k}w′_{k})_{k∈N} est bornée dans L^{2}(R^{n+1}). On peut donc, quitte à extraire une sous suite, lui associer une m.d.m., μ. Si n(x) est la normale extérieure au bord de Ω, il est classique qu’il existe C > 0 tel que

∥\frac{∂u_{k}}{∂n} ∥_{L^{2}(Ω×R_{t})} ≤ C∥u_{k}∥_{H^{1}(R^{n+1})} (67)

Sur E_{k} les normes ∥ ∥_{H_{loc}^{1}} et h_{k}^{−1}×∥ ∥_{L_{loc}^{2}} sont (uniformément par rapport à k) équivalentes. La suite v_{k} = h_{k} \frac{∂u_{k}}{∂n} est donc bornée dans L^{2}(∂Ω × R_{t}). On peut donc également lui associer une m.d.m, ν.On a les trois propriétés suivantes :

h_{k}^{2} (∂_{t}^{2} − Δ) u_{k} = h_{k}v_{k} ⊗ δ_{∂Ω} sur ] − T, 2T [. (68)

μ (]0, T [×R^{n} × R^{n+1}) > 0 (69)

(70) Le support de μ |_{]−T,2T [} est inclu dans l’ensemble {τ^{2} = ^{t}ξA (x) ξ ∈ [α^{2}, α^{−2}]} .

En effet, la relation (??) est juste la formule des sauts. Il est clair que la suite U vérifie (??); on a également

\{ \begin{matrix}∫_{|ζ|≥R/h_{k}} |û_{k}(ζ)|^{2} & ≤ & ∫ |ζ|^{2} \frac{h_{k}^{2}}{R^{2}} |û_{k}(ζ)|^{2} \\ & ≤ & \frac{h_{k}^{2}}{R^{2}} ∥u_{k}∥_{H^{1}}^{2} \\ & ≤ & \frac{C}{R^{2}} ∥u_{k}∥_{L^{2}}^{2} \end{matrix} (71)

l’hypothèse (??) est donc vérifiée. La relation (??) est donc conséquence de la proposition ??. Soit maintenant a ∈ C_{0}^{∞} (R_{z,ζ}^{2(n+1)}) et ψ ∈ C_{0}^{∞}(R_{t}) à support inclu dans l’ensemble {φ ≡ 1} et telle que ψ ≡ 1 sur [−T, 2T]. On a

(a(z, h_{k}D_{z})ψ(t)h_{k}^{2}(∂_{t}^{2} − Δ̃_{x})u_{k}, u_{k}) = (a (z, h_{k}D_{z}) ψ(t) (h_{k}v_{k} ⊗ δ_{∂Ω}) , u_{k}) , (72)

or, si a ∈ C_{0}^{∞}(R^{2(n+1)}) et s > 0, on a

∥a∥_{L(H^{−s},L^{2})} ≤ C_{s}h^{−s}∥a(x, hD)(1 − h^{2}Δ)^{s/2}∥_{L(L^{2})} ≤ C′_{s}h^{−s} (73)

donc lim_{k→+∞} (a(z, h_{k}D_{z})ψ(t)h_{k}^{2}(∂_{t}^{2} − Δ̃_{x})u_{k}, u_{k}) = 0, ce qui donne en passant aux symboles, si ψ ≡ 1 sur la projection en t du support de a,

⟨a(x, t, ξ, τ) ( ^{t}ξA (x) ξ − τ^{2}) , μ⟩ = 0 (74) d’où la première partie de la relation (??). On choisit maintenant ψ ∈ C_{0}^{∞}(R_{t}) telle que ψ ≡ 0 au voisinage de [α, α^{−1}]. On a alors

ψ(h_{k}D_{t})u_{k} = ∑_{ν∈F_{k}} ψ(h_{k}D_{t}) (φ(t)e^{it\sqrt{λ_{ν}}}u_{ν}e_{ν}(x)) (75)

or,

(76)  ψ̂(h_{k}D_{t}) (φ(t)e^{it\sqrt{λ_{ν}}} )(τ) = ∫ ψ(h_{k}τ)φ̂ (τ − \sqrt{λ_{ν}}) dτ
(77)  = ∫ ψ(τ)φ̂ (\frac{1}{h_{k}} (τ − \sqrt{λ_{ν}}h_{k})) \frac{dτ}{h_{k}}

et pour tout ν ∈ F_{k}, \sqrt{λ_{ν}}h_{k} ∈ [α, α^{−1}]. On en déduit que pour tout N ∈ N, il existe C_{N} tel que pour tout k ∈ N et tout ν ∈ F_{k}, on a

∥ψ(h_{k}D_{t}) (φ(t)e^{it\sqrt{λ_{ν}}} )∥_{L^{2}} ≤ C_{N}h_{k}^{N}. (78)

On en déduit en utilisant la formule de Weil que

∥ψ(h_{k}D_{t})u_{k}∥_{L^{2}} ≤ C_{N}h_{k}^{N} (79)

d’où la deuxième partie de la relation (??).

Nous pouvons maintenant énoncer le résultat principal de cette partie. On reprend les notations de la partie ??. On rappelle que H et G désignent les régions Hyperboliques et Glissantes du bord et que pour ρ ∈ H ∪ G, ρ_{±} sont les deux points, (éventuellement confondus), de la variété caractéristique, au dessus de ρ.Les mesures μ et ν vérifient au sens des distributions l’équation suivante sur ] − T, 2T [ :

tH_{p} (μ) = ∫_{ρ∈H∪G} \frac{δ(ξ − ξ_{+}(ρ)) − δ(ξ − ξ_{−}(ρ))}{< ξ_{+} − ξ_{−}, n(x(ρ)) >}ν(dρ). (80)

La démonstration de ce résultat se fait en reprenant mot à mot la preuve du théorème 2.3 de [?]. Pour être complets, nous allons en rappeler les grandes lignes :

3.3 Schéma de la preuve du théorème ??

Soit a ∈ S(R^{2(n+1)}), à support en t dans [−T, 2T]. Le commutateur [a (x, hD_{x}) , h^{2}∂_{t}^{2} − Δ̃] est, modulo un opérateur de norme L^{2} bornée par Ch^{2}, égal à −ihH_{p} (a) (x, hD_{x}) (ceci a bien un sens car p = τ^{2} − ^{t}ξA (x) ξ est polynomial en ξ, de classe C^{2} en x) Le noyau distribution de cet opérateur est, si on note (t, x) = z et (s, y) = z′ :

l (z, z′) = ∑_{i,j} h^{2} (∂_{s}^{2} − ∂_{y_{j}}a_{i,j} (y) ∂_{y_{i}}) k_{a} (z, \frac{z − z′}{h} )−h^{2} (∂_{t}^{2} − ∂_{x_{j}}a_{i,j} (x) ∂_{x_{i}}) k_{a} (z, \frac{z − z′}{h} )

(81)

Etudions par exemple

L_{i,j} (z, z′) = h^{2}∂_{y_{i}}a_{i,j} (y) ∂_{y_{j}}k_{a} (z, \frac{z − z′}{h} ) − h^{2}∂_{x_{i}}a_{i,j} (x) ∂_{x_{j}}k_{a} (z, \frac{z − z′}{h} ) (82)

on considère ici t, s comme des paramètres que nous n’écrirons pas pour plus de concision. On a donc

\{ \begin{matrix}L_{i,j} (x, y) & = & (a_{i,j} (y) − a_{i,j} (x)) ∂_{2,i}∂_{2,j} (k_{a}) (x, \frac{x − y}{h} ) \\ & & −h∂_{y_{i}} (a_{i,j} (y)) ∂_{2,j} (k_{a}) (x, \frac{x − y}{h} ) \\ & & −h^{2}∂_{x_{i}} (a_{i,j} (x)) ∂_{1,j} (k_{a}) (x, \frac{x − y}{h} ) \\ & & −h^{2}a_{i,j} (x) ∂_{1,i}∂_{1,j} (k_{a}) (x, \frac{x − y}{h} ) \\ & & −ha_{i,j} (x) ∂_{1,i}∂_{2,j} (k_{a}) (x, \frac{x − y}{h} ) \\ & & −ha_{i,j} (x) ∂_{1,j}∂_{2,i} (k_{a}) (x, \frac{x − y}{h} ) \\ & & −h∂_{x_{i}} (a_{i,j}) (x) ∂_{2,j} (k_{a}) (x, \frac{x − y}{h} ) \\ & = & (1) + (2) + (3) + (4) + (5) + (6) + (7) \end{matrix} (83)

(1) = −k_{ξ_{i}ξ_{j}a} (h∇ (a_{i,j}) (x) · (\frac{y − x}{h}) + h^{2}O (|x| + |\frac{x − y}{h} |)) (84)

donc, d’après le lemme ??, modulo le noyau d’un opérateur de norme O (h^{2}), on a

(1) = kih∇_{x} (a_{i,j}) · ∇_{ξ} (ξ_{i}ξ_{j}a) (85) De la même façon, modulo le noyau d’un opérateur de norme O (h^{2}), on a

(2) = (7) = k−hiξ_{j}∂_{x_{i}} (a_{i,j}) a (86)

(3) et (4) sont les noyaux d’ opérateurs de norme O (h^{2}) et

(5) + (6) = k−ha_{i,j} (x) (iξ_{j}∂_{x_{i}} (a) + iξ_{i}∂_{x_{j}} (a)) (87)

On obtient donc, modulo le noyau d’un opérateur de norme O (h^{2}),

∑_{i,j} L_{i,j} (x, y) = ihk∇_{x} ( _{t}ξA (x) ξ) · ∇_{ξ} (a) − 2 _{t}ξA (x) ∇_{x} (a) (88)

d’où le lemme ??. On en déduit :

⟨H_{p}(a), μ⟩ = lim_{k→+∞} L_{k}(a) (89)

L_{k}(a) = i (a(z, h_{k}D_{z}) (v_{k} ⊗ δ_{∂Ω}) , u_{k}) − i (a(z, h_{k}D_{z})u_{k}, (v_{k} ⊗ δ_{∂Ω})) (90)

On remarque ensuite que le théorème ?? est un résultat local. On peut supposer que k_{a} est à support compact dans V × R^{n+1} où V est arbitrairement petit. On notera S_{V} (R^{2(n+1)}) l’ensemble des symboles a vérifiant cette propriété. Pour h > 0 assez petit, le support du noyau distribution de a(z, hD_{z}) est donc compact dans V × V. On suppose maintenant que V est de la forme W_{t} × ω_{x_{n}} × ω_{x′} et que sur ω_{x′} il existe une fonction ϕ ∈ W^{2,∞}(R^{n−1} telle que Ω = {x_{n} > ϕ(x′)}. On fait le changement de variables:

s = x_{n} − x′ , y = x′. (91)

Dans ce système de coordonnées, si on pose

\{ \begin{matrix}ũ_{k}(s, y, t) & = & u_{k}(s − ϕ(y), y, t), \\ ṽ_{k}(y, t) & = & −m(y)h_{k}v_{k}(y, t), \\ m(y) & = & (1 + |ϕ′(y)|^{2})^{1/2} , \end{matrix} (92)

l’équation (??) devient

\{ \begin{matrix}Q_{k}ũ_{k} & = & h_{k}w_{k} ⊗ δ_{s=0} + O(h_{k}) \\ w_{k}(y) & = & −h_{k} \frac{∂_{u_{k}}}{∂n} (s = 0, y) \\ Q_{k} & = & (h_{k}^{2}D_{s}^{2} − h_{k}D_{y}λ_{1}(y)h_{k}D_{s} − h_{k}D_{s}λ_{1}(y)h_{k}D_{y} \\ & & +h_{k}D_{y}λ_{2}(y)h_{k}D_{y} − λ_{3}(y)D_{t}^{2}. \end{matrix} (93)

avec λ_{1,2}, λ_{3}(y) = \frac{1}{m(y)^{2}} , des fonctions de classe Lipschitz et le O(h_{k}) étant estimé en norme L^{2}. Le symbole principal de l’opérateur Q_{k} est

q(σ, y, η, τ) = σ^{2} − 2λ_{1}(y) · ησ + λ_{2}(y)|η|^{2} − λ_{3}(y)τ^{2} (94)

Les ensembles H et G sont définis par

\{ \begin{matrix}H = \{(η · λ_{1}(y))^{2} − λ_{2}(y)|η|^{2} + λ_{3}(y)τ^{2} > 0\} \\ G = \{(η · λ_{1}(y))^{2} − λ_{2}(y)|η|^{2} + λ_{3}(y)τ^{2} = 0\} \end{matrix} (95)

et si on note σ_{±} les deux solutions de q(σ, y, η, τ) = 0, pour ρ = (y, t, η, τ) ∈ H ∪ G, on a

⟨ξ_{+}(ρ) − ξ_{−}(ρ), n(x(ρ))⟩ = −m(y) (σ_{+} − σ_{−}) (y, η, τ). (96)

Le théorème ?? est donc conséquence de :La mesure ν est à support dans H ∪ G et pour toute fonction a ∈ S_{V} (R^{2(n+1)}), il existe a^{♯} ∈ Σ(R^{2n}) à support dans ω_{x′} × R^{n} tel que pour tout (y, η, t, τ) ∈ H ∪ G on a

a^{♯}(y, η, t, τ) = \frac{a(ϕ(y), y, t, σ_{+}, η − σ_{+}∇ϕ(y), τ) − a(ϕ(y), y, t, σ_{−}, η − σ_{−}∇ϕ(y), τ)}{σ_{+} − σ_{−}} (97)

et L_{k}(a) = (a^{♯}(y, h_{k}D_{y}, t, h_{k}D_{t})ṽ_{k}, ṽ_{k}) + o(1). (98)

On notera B l’espace des opérateurs bornés sur L^{2}(R_{y,t}^{n}). Pour β ∈ C^{∞}(R_{s} × R_{σ}; B), à dérivées bornées et dont le support est compact en s, on pose, pour f ∈ S (R_{s}; L^{2} (R_{y,t}^{n}))

β(s, hD_{s})f(s) = (2π)^{−1} ∫_{−∞}^{+∞} e^{isσ}β(s, hσ)f̂(σ)dσ. (99)

On a alors [[?] lemme 3.2]L’opérateur β(s, hD_{s}) se prolonge comme opérateur borné sur l’espace S′(R_{s}; L^{2}(R_{y,t}^{n})) et l’espace L^{2}(R_{s}; L^{2}(R_{y,t}^{n})) et sa norme vérifie :

(100) ∥β(s, hD_{s})∥_{L^{2}} ≤ C sup_{σ∈R} sup_{j≤2} ∫_{−∞}^{+∞} ∥∂_{s}^{j}β(s, σ)∥_{L^{2}(R_{y,t}^{n})}ds.

On notera R l’espace des fonctions ρ(h) ∈ C^{∞}(R_{s} × R_{σ}; B), à support dans ] − ε, ε[_{s} (ε assez petit) et telles que

∀j ∈ N, ∥∂_{s}^{j}ρ(h)(s, σ)∥_{L^{2}(R_{y,t}^{n})} ≤ C_{j}(1 + |σ|)^{−1}h (101)

On a alors : [[?], lemme 3.3]Soit ρ(h) ∈ R, si on pose R_{k} = ρ(h_{k})(s, h_{k}D_{s}), et si f_{k} est bornée dans L^{2}(R_{y,t}^{n}), g_{k} est bornée dans L^{2}(R_{s} × R_{y,t}^{n}), alors on a

lim_{k→+∞} |(R_{k} (f_{k} ⊗ δ_{∂Ω}) , g_{k})| + |(R_{k}g_{k}, f_{k} ⊗ δ_{∂Ω})| = 0. (102)

On fait maintenant le changement de variables dans (??). On a () : [[?], lemme 3.4] Si a ∈ S_{V} (R^{2(n+1)}) et I : L^{2}(W_{t}×] − ε, ε[×ω_{x′}) → L^{2}(V) est donné par If(x, t) = f(x_{n} − ϕ(x′), x′, t), I^{−1}a(z, hD_{z})I = β_{h}(s, hD_{s}) + ρ_{h}(s, hD_{s}), (103)

avec ρ_{h} ∈ R et β_{h}(s, σ) = a(s + ϕ(y), y, t, σ, hD_{y} − σ∇ϕ(y), hD_{t}). (104)

On pose B_{k} = β_{h_{k}}(s, h_{k}D_{s}), on a d’après ce qui précède, modulo un reste qui tend vers 0 quand k tend vers l’infini :

L_{k}(a) = i (B_{k} (mṽ_{k} ⊗ δ_{s=0}) , ũ_{k}) − i (B_{k}ũ_{k}, mṽ_{k} ⊗ δ_{s=0}) . (105)

On a également : [[?], lemme 3.5]Soit λ une fonction de classe Lipschitz sur R^{n} et b ∈ Σ(R^{2n}), on a alors :

∥[b(y, t, hD), λ(y, t)]∥_{L^{2}} ≤ h∥∇λ∥_{L^{∞}} ∫ sup_{y,t} |k_{b}(y, t, x, s)| (x, s)dxds, (106)

où k_{b} est associé à b par (??). Si on applique ce résultat à b(y, t, η, τ) = a(s + ϕ(y), y, t, σ, η − σ∇ϕ(y), τ) et à ses dérivées par rapport à s, on obtient que si λ est de classe Lipschitz, [β_{h}(s, σ), λ] ∈ R. Pour λ = m(y)^{2}, revenant à (??), on a donc, si on pose C_{k} = m^{2}B_{k},

L_{k}(a) = i (C_{k} (w_{k} ⊗ δ_{s=0}) , ũ_{k}) − i (C_{k}ũ_{k}, w_{k} ⊗ δ_{s=0}) + o(1) (107)

On notera c(s, y, t, σ, η, τ) = m^{2}(y)a (s + ϕ(y), y, t, σ, η − σ∇ϕ(y), τ) (108) On remarque que c est à support dans W_{t}×] − ε, ε[×ω_{x′} × R_{σ,η,τ}^{n+1} et que c’est une fonction entière des variables σ, η, τ à décroissance rapide sur le réel. De plus, c est de classe C^{∞} par rapport à (s, t) et de classe W^{1,∞} par rapport à y. On lui applique le théorème de préparation de Weierstrass, on obtient : c(s, σ, y, η, t, τ) = c_{0}(s, y, η, t, τ) + c_{1}(s, y, η, t, τ)σ + S(s, σ, y, η, t, τ)q(s, σ, y, η, t, τ), (109) où les fonctions c_{0}, c_{1} et S sont C^{∞} par rapport à s, σ, t, η, τ et de classe W^{1,∞} par rapport à y. De plus, on a ∀i = 0, 1, c_{i} ∈ C_{0}^{∞} (] − ε, ε[; Σ (R_{y,t}^{n} × R_{η,τ}^{n} )) . (110) ∀j, α, N, |∂_{η,τ}^{α}∂_{s}^{j} (s, y, t, σ, η, τ)| ≤ M_{j,α,N} (1 + |(η, τ)|)^{−N} (1 + |σ|)^{−1} (111) ∀j, α, N, |∂_{η,τ}^{α}∂_{s}^{j}∇_{y,t}S (s, y, t, σ, η, τ)| ≤ M_{j,α,N} (1 + |(η, τ)|)^{−N} (1 + |σ|)^{−1} (112) de plus, si (y, η, t, τ) ∈ H ∪ G, on a

c_{1}(s, y, t, η, τ) = \frac{c(s, y, t, σ_{+}, η, τ)−, c(s, y, t, σ_{−}, η, τ)}{σ_{+} − σ_{−}}. (113)

On pose

\{ \begin{matrix}S^{h} = S(s, hD_{s}, y, hD_{y}, t, hD_{t}) , S_{k} = S^{h_{k}} \\ g = Sq , G^{h} = g(s, hD_{s}, y, hD_{y}, t, hD_{t}) , G_{k} = G^{h_{k}} \\ Q^{h} = (hD_{s})^{2} − hD_{s}λ_{1}hD_{y} − hD_{y}λ_{1}hD_{s} + hD_{y}λ_{2}hD_{y} − λ_{3}(hD_{t})^{2} , \\ Q_{k} = Qh_{k}. \end{matrix} (114)

On note \underline{R} l’ensemble des opérateurs R^{h} de symboles ρ_{h} ∈ R. On a [[?], lemme 3.6]

\{ \begin{matrix}G^{h} − S^{h}Q^{h} ∈ \underline{R}hD_{s} + \underline{R}hD_{y,t} + \underline{R}, \\ G^{h} − Q^{h}S^{h} ∈ hD_{s}\underline{R} + hD_{y,t}\underline{R} + \underline{R} \end{matrix} (115)

Soit φ ∈ C_{0}^{∞}(R) telle que φ ≡ 1 sur [−1, 1] et φ ≡ 0 sur ] − ∞, −2] ∪ [2, +∞[. On note ϕ^{h} l’opérateur φ(h^{3}D_{s}). On a [[?], lemme 3.7] C^{h} − C^{h}ϕ^{h} ∈ R. (116) La décomposition (??) et le lemme ?? fournissent une décomposition de L_{k}(a) : L_{k}(a) = L_{k}^{0}(a) + L_{k}^{1}(a) + L_{k}^{S}(a) + o(1). (117) On étudie d’abord

L_{k}^{S}(a) = i (G_{k}ϕ_{k} (w_{k} ⊗ δ_{s=0}) , ũ_{k}) − i (G_{k}ϕ_{k}ũ_{k}, w_{k} ⊗ δ_{s=0}) .

D’après les lemmes ?? et ??, on a

L_{k}^{S}(a) = i (Q_{k}S_{k}ϕ_{k} (w_{k} ⊗ δ_{s=0}) , ũ_{k}) − i (S_{k}ϕ_{k}Q_{k}ũ_{k}, w_{k} ⊗ δ_{s=0}) + o(1), (118)

et comme Q_{k}^{∗} = Q_{k}, d’après (??), on obtient

L_{k}^{S}(a) = h_{k} (S_{k}ϕ_{k} (w_{k} ⊗ δ_{s=0}) , r_{k}) − h_{k} (S_{k}ϕ_{k}r′_{k}, w_{k} ⊗ δ_{s=0}) + o(1), (119)

avec ∥r_{k}∥_{L^{2}} ≤ C, ∥r′_{k}∥_{L^{2}} ≤ C.

D’après (??) et (??), on obtient L_{k}^{S}(a) = o(1). Pour étudier les deux autres termes, nous allons utiliser le lemme suivant : [[?], lemme 3.8]Pout tout b ∈ C_{0}^{∞} (R_{s}, Σ (R_{y,t}^{n} × R_{η,τ}^{n} )) et φ comme précedemment, il existe M > 0 tel que pour tout g ∈ L^{2}(R_{y,t}^{n}), tout f ∈ L_{s,y,t}^{2}, à support dans s > 0, telle que ∂_{s}f ∈ L^{2} (R_{s}^{+} × R^{n}),

\{(b (s, y, t, hD_{y,t}) φ(h^{3}D_{s}) (g ⊗ δ_{s=0}) , f) − (b (s, y, t, hD_{y,t}) φ(h^{3}D_{s})f, g ⊗ δ_{s=0})= \frac{1}{2} (b (0, y, t, hD_{y,t}) g, f |_{s=0})_{L^{2}} − \frac{1}{2} (b (0, y, t, hD_{y,t}) f |_{s=0}, g)_{L^{2}} + ε(h)

(120) avec |ε(h)| ≤ Ch^{3/2}∥g∥_{L^{2}} (∥f∥_{L^{2}} + ∥∂_{s}f∥_{L^{2}}) . (121)

Il suffit maintenant d’appliquer ce lemme avec b = ic_{0}, h = h_{k}, g = w_{k}, f = ũ_{k}, ce qui donne puisque ũ_{k} |_{s=0}= 0, L_{k}^{0}(a) = O(h_{k}^{1/2}) (122)

Puis on applique encore le lemme ?? avec b = ic_{1} − h∂_{s}c_{1}, h = h_{k}, g = w_{k}, f = D_{s}ũ_{k}, on obtient alors, en utilisant la remarque (??) et (??)

L_{k}^{1}(a) = \frac{1}{2} (m(y)^{−1}c_{1}(0, y, t, h_{k}D_{y,t})w_{k}, ṽ_{k})+\frac{1}{2} (c_{1}(0, y, t, h_{k}D_{y,t})m(y)^{−1}ṽ_{k}, w_{k}) + o(1) (123)

et comme w_{k} = m(y)^{−1}ṽ_{k}, on obtient :

(124)  L_{k}(a) = (m(y)^{−1}c_{1}(0, y, t, h_{k}D_{y,t})m(y)^{−1}ṽ_{k}, ṽ_{k}) + o(1)
(125)  = (m(y)^{−2}c_{1}(0, y, t, h_{k}D_{y,t})ṽ_{k}, ṽ_{k}) + o(1)

ce qui démontre la deuxième partie de la proposition ??. La démonstration de la première partie est immédiate car si le support de b est inclu dans la région elliptique du bord, on peut factoriser bσ = Sq avec S vérifiant les estimations précédentes et on obtiendra donc L_{k}(bσ) = o(1) = (m(y)^{−2}b(y, t, h_{k}D_{y,t})ṽ_{k}, ṽ_{k}).

4 Réduction semi-classique

4.1 Preuve du théorème ??

On reprend les notations de la partie ??. On suppose que (Γ, T) contrôle géométriquement l’ouvert Ω. D’après la définition ??, il existe ε > 0 tel que (Γ, (T − 2ε)) contrôle encore