Un théorème de contrôle pour une structure multidimensionnelle.

N.Burq Centre de Mathématiques (CMAT) Ecole Polytechnique 91128 Palaiseau Cedex France

1. Introduction

On se propose de généraliser un résultat de J.P. Puel et E. Zuazua [PZ], en utilisant des méthodes d’analyse micro-locale et de propagation des singularités, développées par C. Bardos, G. Lebeau et J. Rauch dans [BLR]. On considère la situation géométrique suivante :

Soit Ω un ouvert borné de R^{n}, à frontière de classe C^{∞}, tel que le bord de Ω, ∂Ω, n’a avec ses droites tangentes aucun contact d’ordre infini. Soit ω =]0, l[⊂ R ; soient γ ⊂ ∂Ω et Γ_{0} ⊂ ∂Ω deux ouverts tels que \overline{γ} ∩ \overline{Γ_{0}} = ∅. On suppose que la tige ω est orthogonale à l’ouvert Ω en un point A.

Figure 1

Soit Θ(x) ∈ C_{0}^{∞}(γ) tels que Θ(A) = 1. On suppose qu’il existe T_{1} > 0 tel que (Γ_{0}, T_{1}) contrôle géométriquement l’ouvert Ω ; c’est-à-dire que partant de n’importe quel point de Ω, dans n’importe quelle direction, en se déplaçant à vitesse 1 et en se réfléchissant sur le bord de Ω suivant les lois de l’optique géométrique, on rencontre Γ_{0} au bout d’un temps inférieur à T_{1}, en un point non diffractif (on renvoie à [BLR] pour la définition précise du contrôle géométrique). Soit T′_{1} l’infimum des temps T > 0 tels qu’il existe un rayon, Π, issu du support de Θ, orthogonal à ∂Ω, contrôlé géométriquement par (Γ_{0}, T). On a clairement 2T′_{1} ≤ T_{1}. Le temps T′_{1} + 2l est le temps minimal pour qu’un observateur placé sur Γ_{0} puisse entendre un signal émis à l’instant t = 0 en A, en direction de l’autre extrémité de la tige ω. Le dessin suivant montre un exemple où on a : 2T′_{1} + 2l < T_{1}.

Figure 2

On note H = {(u, v) ∈ H^{1}(Ω) × H^{1}(ω); u |_{∂Ω}= Θ(x)v(0)}.

Nous allons démontrer les résultats suivants

Théorème 1. — Soit T_{0} > sup(T_{1}, 2T′_{1} + 2l). Pour toutes données initiales (u_{0}, v_{0}) ∈ L^{2}(Ω) × L^{2}(ω) et (u_{1}, v_{1}) ∈ H′, il existe un contrôle g ∈ L^{2}(Γ_{0}×]0, T_{0}[) tel que la solution du problème :

\begin{matrix}(∂_{t}^{2} − Δ)u = 0 & dans Ω × R_{t}, \\ (∂_{t}^{2} − ∂_{x}^{2})v = 0 & dans ω × R_{t}, \\ u |_{γ}= θ(x)v(0, t), & u |_{∂Ω\γ}= g × 1 |_{Γ_{0}×]0,T_{0}[}, \\ \frac{∂v}{∂x}(l, t) = 0, & \frac{∂v}{∂x}(0, t) = ∫_{γ} \frac{∂u}{∂n}θ(x)dσ(x), \\ (u, v) |_{t=0}= (u_{0}, v_{0}), & ∂_{t}(u, v) |_{t=0}= (u_{1}, v_{1}), \end{matrix} (1.1)

vérifie

(u, v) |_{t=T_{0}}= (0, 0) ; ∂_{t}(u, v) |_{t=T_{0}}= (0, 0).

Remarque. — Dans [PZ], J.P. Puel et E. Zuazua démontrent la contrôlabilité exacte sous les hypothèses suivantes : ∃x_{0} ∈ R^{n} : Γ_{0} = {x ∈ ∂Ω : (x − x_{0}) · ν(x) > 0} et γ ⊂ {x ∈ ∂Ω : (x − x_{0}) · ν(x) < 0} où ν(x) désigne la normale extérieure au bord. Le bord de l’ouvert Ω est supposé de classe C^{2}, contrairement au notre qui est de classe C^{∞}. Il faut cependant préciser que le calcul pseudodifférentiel ne “consomme” qu’un nombre fini de dérivées, vraisemblablement de l’ordre de la dizaine (voir sur ce point l’introduction de [BLR]). Le temps T_{0} de contrôlabilité que J.P. Puel et E. Zuazua obtiennent dépend fortement de la fonction Θ et de la taille de γ et par exemple explose si on réduit γ tout en gardant 0 ≤ Θ ≤ 1. Notre résultat montre qu’en fait le temps de contrôlabilité est uniformément borné par une borne ne dépendant que de Ω, Γ_{0} et ω et que cette explosion n’a pas lieu.

De plus notre résultat est presque optimal, c’est l’objet du théorème suivant :

Théorème 2. — Soit T′′_{1} = inf{T > 0 tels qu’il existe un rayon issu du support de Θ, orthogonalement, qui rencontre Γ_{0} en temps T }. S’il existe un rayon Π de Ω ne rencontrant pas \overline{Γ_{0}×]0, T_{0}[} ou si on prend T_{0} < (2T′′_{1} + 2l), alors la conclusion du théorème 1 est fausse.

Avant d’aborder la démonstration de ces résultats, nous rappelons les résultats suivant de J.P. Puel et E. Zuazua :

Proposition 1. — Pour tous (u_{0}, v_{0}) ∈ H, (u_{1}, v_{1}) ∈ L^{2}(Ω) × L^{2}(ω), g = 0, il existe une unique solution (u, v) du système 1.1 telle que (u, v) ∈ C([0, +∞[; H) ∩ C^{1}([0, +∞[; L^{2}(Ω) × L^{2}(ω)) et si on note

E(u, v, t) = ∥u(t)∥_{H^{1}}^{2} + ∥v(t)∥_{H^{1}}^{2} + ∥u′(t)∥_{L^{2}}^{2} + ∥u(t)∥_{L^{2}}^{2},

alors E ne dépend pas de t.

De plus on a \frac{∂u}{∂n} ∈ L_{loc}^{2}(∂Ω \ γ × R) et pour tout T > 0 il existe C > 0 tel que

∥\frac{∂u}{∂n}∥_{L^{2}(Γ_{0}×[0,T])} ≤ CE(u, v)

Proposition 2. — Pour tous (u_{0}, v_{0}) ∈ L^{2}(Ω) × L^{2}(ω), (u_{1}, v_{1}) ∈ H′, g ∈ L^{2}(Γ_{0}×]0, T [, il existe une unique solution de 1.1 (au sens des transpositions) telle que (u, v) ∈ C([0, T]; L^{2}(Ω) × L^{2}(ω)) ∩ C^{1}(]0, T [; H′). De plus on a

∥(u, v)∥_{L^{∞}(0,T;L^{2}(Ω)×L^{2}(ω))} + ∥(u′, v′)∥_{L^{∞}(0,T;V′)}

≤ C(T) (∥(u_{0}, v_{0})∥_{L^{2}×L^{2}} + ∥(u_{1}, v_{1})∥_{V′} + ∥g∥_{L^{2}(Γ_{0}×]0,T [)}) .

Le plan de l’article est le suivant : dans la section 2 nous démontrons le théorème 1 et dans la section 3 le théorème 2

2. Démonstration du théorème 1

Nous allons déduire le théorème 1 du résultat de propagation suivant :

Proposition 2.1. — Soient u et v, distributions prolongeables, solutions du système suivant :

(∂_{t}^{2} − Δ)u = 0 dans Ω × R_{t},
(∂_{t}^{2} − ∂_{x}^{2})v = 0 dans ω × R_{t},
u |_{γ}= θ(x)v(0, t) , u |_{∂Ω\γ}= 0,

\frac{∂v}{∂x}(l, t) = 0 , \frac{∂v}{∂x}(0, t) = ∫_{γ} \frac{∂u}{∂n}θ(x)dσ(x).

Soit T_{0} > sup(T_{1}, 2T′_{1} + 2l). Soit V = Γ_{0}×] − \frac{T_{0}}{2} , \frac{T_{0}}{2} [. Si la trace de u sur V est dans H^{1}(V) et si la trace de sa dérivée normale est dans L^{2}(V), alors • i) Le front d’onde W F_{b}^{1}(u) ne rencontre pas l’ensemble {t = 0}.

• ii) Il existe l′ > l tel que le front d’onde W F_{b}^{1}(u) ne rencontre pas l’intersection de l’ensemble {t ∈]−l′, l′[} et de l’ensemble des points (x, t, ξ, τ) tels que x ∈ γ et ξ est orthogonal au bord de Ω.

• iii) Le front d’onde W F_{b}^{1}(v) ne rencontre pas l’ensemble {t = 0}.

Pour démontrer cette proposition, on commence par un peu de géométrie.

On note X = Ω × R_{t}, ∂X le bord de X, T̃^{∗}X = T^{∗}X ∪ T^{∗}∂X. On note π la projection canonique de T^{∗}R^{n+1} |\overline{X}→ T̃^{∗}X, on note car(□) la variété caractéristique de l’opérateur des ondes et on note Σ_{b} ⊂ T̃^{∗}X la projection de car(□) : Σ_{b} = {(x, t, ξ, τ) ∈ T^{∗}X \ {0}; |ξ|^{2} = τ^{2}} ∪ {(x, t, ξ′, τ) ∈ T^{∗}∂Ω \ {0}; |ξ′|^{2} ≤ τ^{2}}. On distingue comme d’habitude dans T^{∗}∂X les trois régions elliptique (E), hyperbolique (H) et glancing (G) définies de la manière suivante :

♯\{π^{−1}(ρ) ∩ car(□)\} = \{ \begin{matrix}0 & si & ρ ∈ E \\ 1 & si & ρ ∈ G \\ 2 & si & ρ ∈ H \end{matrix} (2.1)

A l’intérieur, comme u est solution d’une équation d’ondes, on sait que le front d’onde de u est inclu dans Σ_{b}. En un point du bord de Ω, si le point ρ_{0} est dans la région elliptique, comme le front d’onde de u |_{∂Ω}= Θ(x)v(0, t) ne rencontre pas la région elliptique, le point ρ_{0} ne peut pas être dans le front d’onde de u. On sait donc à priori que W F_{b}(u) ⊂ Σ_{b}.

Soit ρ_{0} = (x_{0}, t_{0} = 0, ξ_{0}, τ_{0}) un point de Σ_{b} ∩ {t = 0}, alors il existe un point ρ_{1} de Σ_{b} ∪ T^{∗}V, non diffractif, tel que

• Le point ρ_{1} est sur la bicaractéristique Π, issue de ρ_{0}.

• Entre les instants t_{0} et t_{1} = t(ρ_{1}), la bicaractéristique Π ne s’est pas réfléchie orthogonalement sur le bord de Ω.

En effet, comme Γ_{0} contrôle géométriquement l’ouvert Ω en temps T_{0}, on sait qu’il existe ρ_{1} ∈ T^{∗}V ∩Π∩\{t ∈]\frac{−T_{1}}{2} , \frac{T_{1}}{2} [\}, non diffractif. On peut choisir ρ_{1} minimisant |t_{0}−t_{1}|. On vérifie alors aisément que si la bicaractéristique issue de ρ_{0} se réfléchissait orthogonalement sur ∂Ω entre ρ_{0} et ρ_{1}, alors en partant de ρ_{0} dans l’autre direction, on rencontrerait Γ_{0} en temps plus petit que |t_{0}−t_{1}|, ce qui contredirait la minimalité de |t_{0} − t_{1}|.

On suppose maintenant de plus que si x_{0} ∈ γ et si ρ_{0} est hyperbolique, alors ρ_{0} n’est pas normal à ∂Ω. On déduit alors du théorème de propagation des singularités H^{1} que ρ_{0} ∉ W F_{b}^{1}(u). En effet, comme on a exclu le cas où ρ_{0} serait orthogonal au bord de l’ouvert, la bicaractéristique issue de ρ_{0} ne rencontre pas le front d’onde de u |_{∂Ω} au voisinage de ρ_{0} (car le front d’onde de Θ(x)v(0, t) est inclus dans l’ensemble {(x, t, 0, τ)}). Comme la bicaractéristique Π choisie, issue de ρ_{0}, ne rencontre pas le front d’onde de u |_{∂Ω} entre ρ_{0} et ρ_{1}, on en déduit que si ρ_{0} est dans W F_{b}^{1}(u), alors ρ_{1} aussi, ce qui contredit l’hypothèse d’après le lemme de relèvement de [BLR] car le point ρ_{1} n’est pas diffractif.

Il ne reste finalement qu’à étudier le cas où ρ_{0} ∈ T^{∗}∂X ∩ H et ρ_{0} orthogonal au bord de Ω. Nous allons étudier plus généralement le cas où t_{0} ∈]−l′, l′[, avec l′ > l et T_{0} > 2T′_{1} + 2l′. Nous commençons par étudier le cas du point contrôlé géométriquement en temps T′_{1}, d’après l’hypothèse, qu’on notera encore (x_{0}, t_{0}, ξ_{0}, τ_{0}). Quitte à se déplacer très légèrement, comme x_{0} est dans le support de Θ, on peut supposer que Θ(x_{0}) ≠ 0. Il existe alors un point ρ_{1} (respectivement ρ′_{1}), non diffractif, de T^{∗}(Γ_{0}× ] − T_{0}/2, T_{0}/2[ tel que

• Le point ρ_{1} (respectivement ρ′_{1}) est sur la bicaractéristique Π, issue de ρ_{0}, avec t_{1} < t_{0} (respectivement t′_{1} > t_{0}).

• Entre les instants t_{0} et t_{1} (respectivement t′_{1}), la bicaractéristique Π ne s’est pas réfléchie orthogonalement sur le bord de Ω.

(Il suffit de raisonner comme précédemment en utilisant l’hypothèse T_{0} > 2T′_{1} + 2l′ et d’utiliser le fait qu’entre deux réflections normales, on a nécessairement rencontré Γ_{0}). On sait alors d’après ce qui précède, qu’au voisinage de ρ_{0}, les bicaractéristiques rentrantes et sortantes ne rencontrent pas le front d’onde de u à l’intérieur, W F^{1}(u), nous allons en déduire que ρ_{0} ∉ W F^{1}(u |_{∂Ω}).

Ce résultat est un résultat standart, la démonstration étant assez courte, nous la reproduisons ici en reprenant les notations de [H2], théorème 24.2.1 : on choisit un système de coordonnées (y_{1}, y′) au voisinage de (x_{0}, t_{0}) tel que le point (x_{0}, t_{0}) a pour coordonnées (0, 0) et tel que ∂X = {y_{1} = 0} et X = {y_{1} < 0} au voisinage de (0, 0). On note (0, η′) les coordonnées du point ρ_{0} (dans le système de coordonnées associé sur T̃^{∗}X). L’opérateur P = ∂_{t}^{2} − Δ_{x} s’écrit alors au voisinage de (0, 0) sous la forme P (y, D) = (D_{1} − Λ_{+}(y, D′))(D_{1} − Λ_{−}(y, D′)) modulo un opérateur régularisant, où Λ_{±} est un opérateur de degré 1, de symbôle principal ±r^{1/2}(y, η′), strictement positif dans un voisinage conique de (0, η′_{0}) (car le point ρ_{0} est hyperbolique). On peut maintenant choisir un opérateur Q(y, D′) régularisant en dehors d’un voisinage de la bicaractéristique sortante, qu’on peut choisir arbitrairement petit, tel que [Q(y, D′), D_{1} − Λ_{+}(y, D′)] soit régularisant. On a alors si on pose v = Q(y, D′)(D_{1} − Λ_{−}(y, D′)),

(D_{1} − Λ_{+}(y, D′))v ∈ C^{∞}.

Comme pour y_{1} < 0 assez petit, le point correspondant sur la bicaractéristique sortante n’est pas dans le front d’onde H^{1} de u, si on choisit le support de Q assez petit, on obtient que v(y_{1}, ·) est de classe L^{2} pour y_{1} < 0 assez petit. Donc v(0, ·) aussi.

On fait le même raisonnement pour la bicaractéristique rentrante et on obtient qu’il existe un opérateur Q̃(y, D′) tel que si on pose ṽ = Q̃(y, D′)(D_{1} − Λ_{+}(y, D′)) alors ṽ(0, y′) est de classe L^{2}. On peut de plus choisir Q̃ tel que Q̃(0, y′, η′) = Q(0, y′, η′).

On en déduit que

Q(0, y′, η′)(Λ_{+}(y, D′) − Λ_{−}(y, D′))(u |_{y_{1}=0}) = v − ṽ ∈ L^{2}

donc, comme l’opérateur Q(0, y′, η′)(Λ_{+}(y, D′) − Λ_{−}(y, D′)) est de degré 1 et n’est pas caractéristique au point (0, η′_{0}), on en déduit que u |_{y_{1}=0}∈ H^{1} microlocalement au voisinage de (0, η′_{0}) ce qui est le résultat cherché.

On remarque maintenant que η′_{0} = (0, τ) car le point ρ_{0} est orthogonal au bord, comme on peut faire le même raisonnement avec le point (x_{0}, t_{0}, −ξ_{0}, −τ_{0}), et comme u |_{∂Ω}= Θ(x)v(0, t), on en déduit que Θ(x_{0})v(0, t) ∈ H_{loc}^{1}(] − l′, l′[) et donc que Θ(x)v(0, t) ∈ H_{loc}^{1}(∂Ω×] − l′, l′[).

A ce point de la démonstration, nous avons démontré le point i) (sauf pour les rayons orthogonaux issus de γ) et nous savons de plus comme Θ(x_{0}) ≠ 0, que Θ(x) × v(0, t) ∈ H_{loc}^{1}(γ×] − l′, l′[). Nous pouvons donc appliquer de nouveau les résultats de propagation, mais comme nous savons maintenant que la première trace est régulière, nous n’avons plus besoin que de contrôler l’une des deux bicaractéristiques (la bicaractéristique rentrante ou la sortante). Soit alors ρ_{0} ∈ T^{∗}(γ×] − l′, l′[) orthogonal à ∂Ω. Comme (Γ_{0}, T_{0}) contrôle géométriquement Ω, il existe (ρ_{1}) ∈ T^{∗}(Γ_{0}×]−T_{0}/2, T_{0}/2[), non diffractif, sur la bicaractéristique issue de ρ_{0}, tel qu’entre les instants t_{0} et t_{1}, la bicaractéristique Π ne s’est pas réfléchie orthogonalement sur le bord de Ω. Les résultats de propagation permettent alors de conclure comme précédemment pour le point i).

Nous avons donc démontré les points i) et ii) de la proposition 2.1.

Nous allons maintenant démontrer que v est localement H^{1} au voisinage de 0. On sait d’après ce qui précède que u |_{∂Ω}∈ H_{loc}^{1}(∂Ω×] − l′, l′[). Comme d’autre part \frac{∂v}{∂x}(0, t) = ∫_{γ} Θ(x)\frac{∂u}{∂n}dσ(x), et comme \frac{∂u}{∂n} est microlocalement de classe L^{2} au voisinage des points orthogonaux au bord de Ω, pour t ∈] − l′, l′[, on en déduit (voir [H1] théorème 8.2.13) que v(0, t) ∈ H_{loc}^{1}(]−l′, l′[) et \frac{∂v}{∂x}(0, t) ∈ L_{loc}^{2}(]−l′, l′[). La fonction v est donc dans H_{loc}^{1} au voisinage de {0}×[−l, l]. Le théorème de propagation des singularités appliqué à v implique maintenant que W F_{b}^{1}(v) ∩ {t = 0} = ∅, ce qui termine la démonstration de la proposition 2.1.

Nous allons étudier le système suivant :

\begin{matrix}(∂_{t}^{2} − Δ)u = 0 & dans Ω × R_{t}, \\ (∂_{t}^{2} − ∂_{x}^{2})v = 0 & dans ω × R_{t}, \\ u |_{γ}= θ(x)v(0, t), & u |_{∂Ω\γ}= 0, \\ \frac{∂v}{∂x}(l, t) = 0, & \frac{∂v}{∂x}(0, t) = ∫_{γ} \frac{∂u}{∂n}θ(x)dσ(x), \\ (u, v) |_{t=0}= (u_{0}, v_{0}), & ∂_{t}(u, v) |_{t=0}= (u_{1}, v_{1}), \end{matrix} (2.2)

On déduit maintenant de la proposition 2.1, comme dans [Le], qu’il existe une constante C > 0 telle que si u et v sont solutions du système (2.2) avec (u_{0}, v_{0}) ∈ H, (u_{1}, v_{1}) ∈ L^{2}(Ω) × L^{2}(ω), alors, on a

E(u, v, t = 0) ≤ C (∫_{−T_{0}/2}^{T_{0}/2} dt (∫_{Γ_{0}} |\frac{∂u}{∂n}|^{2} + ∫_{Ω} |u|^{2} + ∫_{ω} |v|^{2}))

en effet, soit

H = \{(u, v) ∈ L^{2} (Ω×]\frac{−T_{0}}{2} , \frac{T_{0}}{2} [) × L^{2} (ω×]\frac{−T_{0}}{2} , \frac{T_{0}}{2} [) , ; \begin{matrix}∂_{t}^{2}u − Δu = 0, ∂_{t}^{2}v − ∂_{x}^{2}v = 0, \\ u |_{γ}= θ(x)v(0, t), u |_{∂Ω\γ}= 0, \\ \frac{∂v}{∂x}(l, t) = 0, \frac{∂v}{∂x}(0, t) = ∫_{γ} \frac{∂u}{∂n}θ(x)dσ(x), \\ ∂_{n}u |_{Γ_{0}×]−T_{0}/2,T_{0}/2[} ∈ L^{2} (Γ_{0}×] − T_{0}/2, T_{0}/2[) \}. \end{matrix} (2.3)

L’espace H est un espace de Banach si on le munit de la norme

∥(u, v)∥ = ∥u∥_{L^{2}(Ω×]− \frac{T_{0}}{2} , \frac{T_{0}}{2} [)} + ∥v∥_{L^{2}(ω×]− \frac{T_{0}}{2} , \frac{T_{0}}{2} [)} + ∥∂_{n}u∥_{L^{2}(Γ_{0}×]−T_{0}/2,T_{0}/2[)}.

en effet, si le couple (u, v) appartient à H, alors u est une distribution prolongeable à R^{n}×]\frac{−T_{0}}{2} , \frac{T_{0}}{2} [ et v est prolongeable à R×]\frac{−T_{0}}{2} , \frac{T_{0}}{2} [, si on note \underline{u}, \underline{v} leurs prolongements par 0, \underline{u} et \underline{v} vérifient

∂_{t}^{2}\underline{u} − Δ\underline{u} = f_{1} ⊗ δ_{∂Ω} + f_{2} ⊗ δ′_{∂Ω}
∂_{t}^{2}\underline{v} − ∂_{x}^{2}\underline{v} = g_{1} ⊗ δ_{∂ω} + g_{2} ⊗ δ′_{∂ω}

avec

f_{2}(x, t) = Θ(x)g_{2}(0, t), g_{1}(l, t) = 0, g_{1}(0, t) = ∫_{γ} Θ(x)f_{1}(x, t).

Si la suite (u_{n}, v_{n}) est de Cauchy dans H, elle converge dans L^{2}(Ω×] − \frac{T_{0}}{2} , \frac{T_{0}}{2} [) × L^{2}(ω×]−\frac{T_{0}}{2} , \frac{T_{0}}{2} [), donc les distributions \underline{u} et \underline{v} convergent dans D′(R^{n}×]−T_{0}/2, T_{0}/2[) et D′(R×] − T_{0}/2, T_{0}/2[, donc les distributions f_{1,n}, f_{2,n} (respectivement g_{1,n} et g_{2,n}) associées convergent dans D′(∂Ω × R_{t}) (respectivement D′(∂ω × R_{t})) et la limite (u, v) de la suite (u_{n}, v_{n}) verifie les conditions au bord. De plus ∂_{n}u_{n} |_{Γ_{0}×]−T_{0}/2,T_{0}/2[} converge dans D′(R^{n}×] − T_{0}/2, T_{0}/2[) et dans L^{2}(R^{n}×] − T_{0}/2, T_{0}/2[), la limite ∂_{n}u_{n} |_{Γ_{0}×]−T_{0}/2,T_{0}/2[} est donc dans L^{2}(R^{n}×] − T_{0}/2, T_{0}/2[), (u, v) est donc dans H, ce qui montre que H est complet.

D’après la proposition 1, on peut identifier toutes les données initiales (u_{0}, v_{0}) ∈ H et (u_{1}, v_{1}) ∈ L^{2}(Ω) × L^{2}(ω), avec la solution de (2.2) associée. Cette solution est alors, d’après le proposition 1, dans H. On peut donc considérer l’application i : H × (L^{2}(Ω) × L^{2}(ω)) → H qui, aux données initiales (u_{0}, v_{0}) ∈ H et (u_{1}, v_{1}) ∈ L^{2}(Ω) × L^{2}(ω), associe le couple (u, v) solution de (2.2). Cette application est injective, continue d’après la proposition 1 ; en utilisant le théorème du graphe fermé il suffit pour montrer que i est un isomorphisme d’espaces de Hilbert de montrer que c’est une surjection, ce qui revient à montrer que si (u, v) ∈ H alors (u, v) ∈ C([−T_{0}/2, T_{0}/2]; H) ∩ C^{1}([−T_{0}/2, T_{0}/2]; L^{2}(Ω) × L^{2}(ω)). Or, d’après la proposition 2.1, si (u, v) ∈ H, alors, microlocalement au voisinage de t = 0, u et v sont de classe H^{1}, on en déduit qu’il existe un t_{0} au voisinage de 0 tel que E(u, v, t_{0}) < +∞. Nous allons montrer qu’alors (u, v) ∈ C([−T_{0}/2, T_{0}/2]; H) ∩ C^{1}([−T_{0}/2, T_{0}/2]; L^{2}(Ω) × L^{2}(ω)), ce qui montrera que l’application i est un isomorphisme qui permet d’identifier H × L^{2}(Ω) × L^{2}(ω) et H.

On considère (e_{ν}, f_{ν}) la base orthonormale de L^{2}(Ω) × L^{2}(ω) formée de vecteurs propres pour le problème suivant :

\begin{aligned}−Δe_{ν} & = & λ_{ν}e_{ν} dans Ω, \\ −∂_{x}^{2}f_{ν} & = & λ_{ν}f_{ν} dans ω, \\ e_{ν} |_{∂Ω} & = & Θ(x)f_{ν}(0), \\ ∂_{x}f_{ν}(l) & = & 0, \\ ∂_{x}f_{ν}(0) & = & ∫_{γ} ∂_{n}e_{ν}(x)Θ(x)dσ(x). \end{aligned} (2.4)

Comme par hypothèse, (u, v) ∈ L^{2} (] − T_{0}/2, T_{0}/2[; L^{2} (Ω) × L^{2} (ω)), on a (u, v) = ∑_{ν} α_{ν}(e_{ν}, f_{ν}) avec α_{ν} ∈ L^{2}(] − T_{0}/2, T_{0}/2[). On a alors

(∂_{t}^{2} + λ_{ν})α_{ν} = 0

dans D′(] − T_{0}/2, T_{0}/2[), donc α_{ν}(t) = a_{ν} cos(\sqrt{λ_{ν}}(t − t_{0})) + b_{ν} sin(\sqrt{λ_{ν}}(t − t_{0})) avec ∑ a_{ν}^{2} + b_{ν}^{2} < +∞. D’après ce qui précède, (u, v) |_{t=t_{0}}∈ H et ∂_{t}(u, v) |_{t=t_{0}}∈ L^{2}(Ω) × L^{2}(ω), on en déduit que ∑_{ν} λ_{ν}(a_{ν}^{2} + b_{ν}^{2}) < +∞, ce qui implique le résultat.

Il nous faut maintenant éliminer les normes L^{2} dans l’inégalité précédente ; pour cela, on considère

N = {(u, v) ∈ H; ∂_{n}u |_{Γ_{0}}= 0 ∀t ∈] − T_{0}/2, T_{0}/2[}

alors ∫_{−T_{0}/2}^{T_{0}/2} ∫_{Ω} |u|^{2} + ∫_{ω} |v|^{2} est une norme sur N, or, d’après l’identification de H avec H × L^{2}(Ω) × L^{2}(ω) et l’identification de cet espace avec les solutions de (2.2), N est un sous espace fermé de H^{1}(] − T_{0}/2, T_{0}/2[×(Ω)) × H^{1}(] − T_{0}/2, T_{0}/2[×(ω)), N est donc de dimension finie. Or si (u, v) ∈ N, ∂_{t}u ∈ L^{2}(Ω), ∂_{t}v ∈ L^{2}(ω) et comme (∂_{t}u, ∂_{t}v) vérifie les conditions au bord, (∂_{t}u, ∂_{t}v) ∈ H, donc N est stable par l’opérateur ∂_{t}. Soit λ une valeur propre de cet opérateur et (u, v) un vecteur propre associé. On a (u, v) = (e^{λt}U, e^{λt}V) avec (λ^{2} − Δ)U = 0, U |_{Γ_{0}}= ∂_{n}U |_{Γ_{0}}= 0, donc, par les résultats d’unicité pour les problèmes elliptiques réels d’ordre deux, on déduit que U ≡ 0. On en déduit ensuite de la même façon que V ≡ 0 donc N = {0} ce qui permet de conclure que

E(u, v, t = 0) ≤ C ∫_{−T_{0}/2}^{T_{0}/2} dt ∫_{Γ_{0}} |\frac{∂u}{∂n}|^{2}.

Le théorème 1 est maintenant une conséquence de cette estimation et de la méthode H.U.M. de J.L.Lions [Li].

3. Démonstration du théorème 2

Nous allons maintenant démontrer le théorème 2 : on suppose d’abord qu’il existe un rayon Π, qu’on paramétre par le temps et qu’on oriente dans le sens des t croissants, ne rencontrant pas \overline{Γ}_{0}, entre les instants t = 0 et T_{0}. En perturbant un peu ce rayon et quitte à augmenter un peu T_{0}, on peut supposer, si on prend α > 0 assez petit que ce rayon n’a pas de point de réflection normale entre les instants t = −α et t = T_{0} + α. On peut également supposer que ce rayon possède un point intérieur.

On sait alors qu’il existe une distribution u_{0} telle que

\begin{aligned}(∂_{t}^{2} − Δ)u_{0} & = & 0 dans Ω × R_{t}, \\ u_{0} |_{∂Ω} & = & 0, \\ W F_{b}(u_{0}) & = & Π, \\ W F_{b}^{1}(u_{0}) & = & Π. \end{aligned} (3.1)

Nous allons construire des couples (u^{ϵ}, v^{ϵ}) ⊂ C([0, +∞[; H) solutions du système (2.2), tels que lim_{ϵ→0} ∥(u^{ϵ}, v^{ϵ})∥_{H} = +∞ et ∥\frac{∂u^{ϵ}}{∂n} ∥_{L^{2}(Γ_{0}×[0,T_{0}])} reste borné ; ce qui permettra de conclure. Soit ϕ(t) ∈ C_{0}^{∞}(R) tel que ∫_{R} ϕ = 1 et soit u_{0}^{ϵ} = ϕ_{ϵ} ∗ u_{0} avec ϕ_{ϵ}(t) = \frac{1}{ϵ}ϕ(\frac{t}{ϵ}). Nous allons montrer que les solutions (u^{ϵ}, v^{ϵ}) associées aux données initiales (u_{0}^{ϵ} |_{t=0} , ∂_{t}u_{0}^{ϵ} |_{t=0}, 0, 0) conviennent.

Soit f^{ϵ}(t) = ∫_{γ} Θ(x)\frac{∂u_{0}^{ϵ}}{∂n} (x, t)dσ(x). Comme d’après l’hypothèse, le front d’onde de u_{0} ne contient pas de point orthogonal à γ, f^{ϵ}(t) ∈ ∩_{s}H^{s}(] − α/2, T_{0} + α/2[) et pour tout s, il existe C_{s} tel que ∥f^{ϵ}(t)∥_{H}^{s}(] − α/2, T_{0} + α/2[) ≤ C_{s}. Soit ψ ∈ C_{0}^{∞}(R) tel que supp(ψ) ⊂ [−α/2, T_{0} + α/2] et ψ ≡ 1 au voisinage de [0, T_{0}]. Soit v_{0}^{ϵ} la solution C^{∞} de

\begin{matrix}(∂_{t}^{2} − ∂_{x}^{2})v_{0}^{ϵ} = 0 \\ v_{0}^{ϵ} |_{t=−α}= ∂_{t}v_{0}^{ϵ} |_{t=−α}= 0 \\ ∂_{x}v_{0}^{ϵ} |_{x=0}= f^{ϵ}(t) × ψ(t), ∂_{x}v_{0}^{ϵ} |_{x=l}= 0 \end{matrix} (3.2)

alors v_{0}^{ϵ} ∈ H^{s}(] − α, T_{0} + α[ pour tout s les normes de v_{0}^{ϵ} dans H^{s} sont uniformément bornées par rapport à ϵ.

On relève maintenant sur Ω la fonction Θ en une fonction G de classe C^{∞} telle que (G − Θ) |_{∂Ω}= 0 et ∂_{n}G |_{∂Ω}= 0. On suppose également que G ≡ 0 au voisinage de Γ_{0}.

Le couple (U^{ϵ}, V^{ϵ}) = (u^{ϵ} − u_{0}^{ϵ} − G × v_{0}^{ϵ}(0, t), v^{ϵ} − v_{0}^{ϵ}) vérifie

(∂_{t}^{2} − Δ)U^{ϵ} = −(∂_{t}^{2} − Δ)(G × v_{0}^{ϵ}(0, t)) sur Ω × [0, T_{0}],
(∂_{t}^{2} − ∂_{x}^{2})V^{ϵ} = 0 sur ω × [0, T_{0}]
U^{ϵ} |_{∂Ω} = Θ(x)V^{ϵ}(0, t),
\frac{∂V^{ϵ}}{∂x} (0, t) = ∫_{γ} \frac{∂U^{ϵ}}{∂n} Θ(x)dσ(x),
\frac{∂V^{ϵ}}{∂x} (l, t) = 0
V^{ϵ} |_{t=0}= −v_{0}^{ϵ} |_{t=0} ; U^{ϵ} |_{t=0}= −G(x)v_{0}^{ϵ} |_{x=0;t=0},
∂_{t}V |_{t=0}= −∂_{t}v_{0}^{ϵ} |_{t=0} ; ∂_{t}U^{ϵ} |_{t=0}= −G(x)∂_{t}v_{0}^{ϵ} |_{x=0,t=0} .

(3.3)

De plus, le couple (U^{ϵ}, V^{ϵ}) est dans C^{0}([0, T_{0}]; H) ∩ C^{1}([0, T_{0}]; L^{2}(Ω) × L^{2}(ω)).

Si on note E(t) = (E^{1}(t), E^{2}(t)) le propagateur du problème suivant

\begin{matrix}(∂_{t}^{2} − Δ)E^{1}(t)(u_{0}, v_{0}) = 0 & dans Ω × R_{t}, \\ (∂_{t}^{2} − ∂_{x}^{2})E^{2}(t)(u_{0}, v_{0}) = 0 & dans ω × R_{t}, \\ E^{1}(t)(u_{0}, v_{0}) |_{γ}= Θ(x)E^{2}(t)(u_{0}, v_{0})(0, t), \\ E^{1}(t)(u_{0}, v_{0}) |_{∂Ω\γ}= 0, \\ \frac{∂E^{2}(t)(u_{0},v_{0})}{∂x}(0, t) = ∫_{γ} \frac{∂E^{1}(t)(u_{0},v_{0})}{∂n}θ(x)dσ(x), \\ \frac{∂E^{2}(t)(u_{0},v_{0})}{∂x}(l, t) = 0, \\ (E^{1}(t)(u_{0}, v_{0}), E^{2}(t)(u_{0}, v_{0}) |_{t=0}= (0, 0), \\ ∂_{t} (E^{1}(t)(u_{0}, v_{0}), E^{2}(t)(u_{0}, v_{0})) |_{t=0}= (u_{0}, v_{0}), \end{matrix} (3.4)

alors le résultat d’unicité de la proposition 1 implique que le couple (U^{ϵ}, V^{ϵ}) est la somme de

∫_{0}^{t} E(s) (−(∂_{s}^{2} − Δ)(G(·) × v^{ϵ}(0, t − s)), 0) ds

et de la solution de 2.2 associée aux données initiales

(−G(z)v_{0}^{ϵ} |_{x=0,t=0}, −G(z)∂_{t}v_{0}^{ϵ} |_{x=0,t=0}, −v_{0}^{ϵ} |_{t=0}, −∂_{t}v_{0}^{ϵ} |_{t=0}) .

On en déduit donc que

(3.5)

∥(U^{ϵ}, V^{ϵ})(t)∥_{H} + ∥∂_{t}(U^{ϵ}, V^{ϵ})∥_{L^{2}(Ω×ω)}

≤ ∫_{0}^{t} ∥(∂_{s}^{2} − Δ)[G × v_{0}^{ϵ}(0, t − s)]∥_{L^{2}(Ω)}ds + ∥v_{0}^{ϵ} |_{t=0} ∥_{H^{1}(ω)} + ∥∂_{t}v_{0}^{ϵ} |_{t=0} ∥_{L^{2}(ω)}

+∥(Gv_{0}^{ϵ}(0, t) |_{t=0}, v_{0}^{ϵ} |_{t=0})∥_{H} + ∥G∂_{t}v_{0}^{ϵ}(0, t) |_{t=0} ∥_{L^{2}(Ω)}

Le couple (U^{ϵ}, V^{ϵ}) est donc dans L_{loc}^{∞}(R_{t}; H^{1}(Ω × ω)) et le couple ∂_{t}(U^{ϵ}, V^{ϵ}) est dans L_{loc}^{∞}(R_{t}; L^{2}(Ω × ω)). Comme la bicaractéristique Π ne rencontre pas \overline{Γ}_{0} entre les instants t = 0 et t = T_{0}, u_{0}^{ϵ} + G × v_{0}^{ϵ}(0, t) est borné en norme H^{1} au voisinage de Γ_{0} × [0, T_{0}], on en déduit qu’il en est de même de u^{ϵ}, et donc que ∂_{n}u^{ϵ} est borné dans L^{2}(Γ_{0}×]0, T_{0}[). Comme, par hypothèse, ∥u_{0}^{ϵ}∥_{H^{1}} tend vers l’infini quand ϵ tend vers 0, on en déduit le théorème 2 dans le premier cas.

Il nous reste à étudier le cas où on prend T_{0} < 2T′_{1} +2l −α (α > 0). On considère v_{0}, une solution de (∂_{t}^{2} − ∂_{x}^{2})v_{0} = 0, \frac{∂v_{0}}{∂x} |_{x=0;l}= 0, dont le front d’onde W F_{b}^{1}(v_{0}) est la bicaractéristique issue du point x = l, t = 0. On suppose également que le front d’onde W F_{b}(v_{0}) est inclu dans cette bicaractéristique et que v_{0} ∈ L_{loc}^{2}(\overline{ω} × R_{t}).

Nous allons raisonner comme précédemment : soit G(x) ∈ C^{∞}(R^{n}) telle que G |_{∂Ω}≡ Θ et \frac{∂G}{∂n} |_{∂Ω}≡ 0. On pose v_{0}^{ϵ} = ϕ_{ϵ} ∗ v_{0}.

Nous allons montrer que la solution (u^{ϵ}, v^{ϵ})du système 2.2 associée aux données initiales (G(x)v_{0}^{ϵ}(0, 0), G(x)∂_{t}v_{0}^{ϵ}(0, 0), v_{0}^{ϵ} |_{t=0}, ∂_{t}v_{0}^{ϵ} |_{t=0}) vérifie

lim_{ϵ→0} ∥(u^{ϵ}, v^{ϵ})∥_{H} = +∞ (3.6)

et

lim sup_{ϵ→0} ∥\frac{∂u^{ϵ}}{∂n} ∥_{L^{2}(Γ_{0}×]−T_{0}/2,T_{0}/2[)} < +∞. (3.7)

Soit ψ ∈ C_{0}^{∞}(R) tel que supp(ψ) ⊂ {[−l + α/2, l − α/2]} et ψ ≡ 1 au voisinage de [−l + α, l − α]. Soit u_{0}^{ϵ} la solution C^{∞} de

\begin{matrix}(∂_{t}^{2} − Δ)u_{0}^{ϵ} = 0, \\ u_{0}^{ϵ} |_{∂Ω}= Θ(x)v_{0}^{ϵ}(0, t) × ψ(t), \\ u_{0}^{ϵ} |_{t=0}= G(x)v_{0}^{ϵ}(0, 0), ∂_{t}u_{0}^{ϵ} |_{t=0}= G(x)∂_{t}v_{0}^{ϵ}(0, 0). \end{matrix} (3.8)

Soit F (x) ∈ C^{∞}(R) telle que F (x) ≡ x au voisinage de 0 et F ≡ 0 au voisinage de l. Soit U^{ϵ} = u^{ϵ} − u_{0}^{ϵ} et V^{ϵ} = v^{ϵ} − v_{0}^{ϵ} − F (x) (∫_{γ} Θ(z)\frac{∂u_{0}^{ϵ}}{∂n} dσ(z)); alors le couple (U^{ϵ}, V^{ϵ}) vérifie :

\begin{aligned}□U^{ϵ} & = & 0 sur Ω × [−l + α, l − α], \\ □V^{ϵ} & = & −□ (F (x) ∫_{γ} Θ(z)\frac{∂u_{0}^{ϵ}}{∂n} dσ(z)) sur ω × [−l + α, l − α], \\ U^{ϵ} |_{t=0}= 0 & ; & ∂_{t}U^{ϵ} |_{t=0}= 0, \\ V^{ϵ} |_{t=0} & = & −F (x) ∫_{γ} Θ(z)∂_{n}u_{0}^{ϵ} |_{t=0} dσ(z) \\ ∂_{t}V^{ϵ} |_{t=0} & = & −F (x) ∫_{γ} Θ(z)∂_{n,t}^{2}u_{0}^{ϵ} |_{t=0} dσ(z), \\ U^{ϵ} |_{∂Ω} & = & Θ(x)V^{ϵ}(0, t), \\ \frac{∂V^{ϵ}}{∂x} (0, t) & = & ∫_{γ} \frac{∂U^{ϵ}}{∂n} Θ, \frac{∂V^{ϵ}}{∂x} (l, t) = 0. \end{aligned} (3.9)

Comme il existe des constantes C_{s} telles que ∥v_{0}^{ϵ}(0, t)∥_{H^{s}(]−l+α/2,l−α/2[)} ≤ C_{s}, il existe des constantes C_{s} telles que ∥ ∫_{γ} ∂_{n}u_{0}^{ϵ}(x, t)Θ(x)dσ(x)∥_{H^{s}(]−l+α/2,l−α/2[)} ≤ C_{s}, de plus, comme u_{0}^{ϵ} est régulière par rapport à t, on a aussi | ∫_{γ} ∂_{t}^{s}∂_{n}u_{0}^{ϵ}(x) |_{t=0} Θ(x)dσ(x)| ≤ C_{s}.

D’après ce qui précède, on a pour tout t ∈ [−l + α, l − α]

\begin{matrix}∥(U^{ϵ}, V^{ϵ})∥_{H} + ∥∂_{t}(U^{ϵ}, V^{ϵ})(t)∥_{L^{2}(Ω×ω)} \\ ≤ & ∫_{0}^{t} ∥□ (F (x) ∫_{γ} ∂_{n}u_{0}^{ϵ}Θ) ∥_{L^{2}(ω)}dt \\ +∥ − F (x) ∫_{γ} Θ(z)∂_{n}u_{0}^{ϵ} |_{t=0} dσ(z)∥_{H^{1}(ω)} \\ +∥ − F (x) ∫_{γ} Θ(z)∂_{n,t}^{2}u_{0}^{ϵ} |_{t=0} dσ(z)∥_{L^{2}(ω)} \end{matrix} (3.10)

on a donc pour tout t ∈ [−l + α, l − α]

∥u^{ϵ}∥_{H^{1}(Ω)} + ∥∂_{t}u^{ϵ}∥_{L^{2}(Ω)}

≤ ∥U^{ϵ}∥_{H^{1}(Ω)} + ∥u_{0}^{ϵ}∥_{H^{1}(Ω)} + ∂_{t}U^{ϵ}∥_{L^{2}(Ω)} + ∥∂_{t}u_{0}^{ϵ}∥_{L^{2}(Ω)} (3.11)

≤ C

Nous allons pouvoir maintenant appliquer les résultats de propagation des singularités : nous voulons montrer que ∥\frac{∂u^{ϵ}}{∂n} ∥_{L^{2}(Γ_{0}×]−T_{0}/2,T_{0}/2[)} reste borné. On sait d’après la proposition 2 que ∥(u^{ϵ}, v^{ϵ})∥_{L^{2}(]−T_{0}/2−α,T_{0}/2+α[×Ω×ω)} est bornée. On sait également d’après ce qui précède que ∥u^{ϵ}∥_{H^{1}(Ω×]−l+α,l−α[)} est également bornée.

Soient H_{1} et H_{2} les ensembles définis de lamanière suivante : H_{1} est l’ensemble des couples (u, v), distributions prolongeables sur Ω et ω respectivement, solutions du système

□u = 0; sur Ω×] − T_{0}/2, T_{0}/2[,
□v = 0; sur ω×] − T_{0}/2, T_{0}/2[,
u |_{∂Ω} = Θ(x)v(0, t),
∂_{x}v(0, t) = − ∫_{γ} Θ(x)∂_{n}u(x)dσ(x),
∂_{x}v(l, t) = 0,

(3.12)

telles que de plus on a

\begin{aligned}u & ∈ & L^{2}(] − T_{0}/2, T_{0}/2[×Ω), \\ v & ∈ & L^{2}(] − T_{0}/2, T_{0}/2[×ω), \\ u & ∈ & H^{1}(] − l + α, l − α[×Ω), \\ ∂_{n}u & ∈ & L^{2}(] − T_{0}/2, T_{0}/2[×Γ_{0}). \end{aligned} (3.13)

et H_{2} est l’ensemble des couples (u, v), distributions prolongeables sur Ω et ω respectivement, solutions du système (3.12) telles que de plus on a

\begin{aligned}u & ∈ & L^{2}(] − T_{0}/2, T_{0}/2[×Ω), \\ v & ∈ & L^{2}(] − T_{0}/2, T_{0}/2[×ω), \\ u & ∈ & H^{1}(] − l + α, l − α[×Ω). \end{aligned} (3.14)

H_{1} et H_{2} munis de leurs normes naturelles sont des espaces de Hilbert. Soit i : H_{1} → H_{2} l’injection canonique. Nous allons montrer qu’en fait, i est un isomorphisme d’espaces de Hilbert. Il suffit de montrer que i est surjective.

Soit (u, v) ∈ H_{2}. Nous allons montrer qu’au voisinage de tout point ρ_{0} ∈ \overline{T^{∗}Γ_{0}×] − T_{0}/2, T_{0}/2[}, u est microlocalement H^{1}. Le cas des points ρ_{0} ∈ E est évident car le front d’onde de u |_{∂Ω} ne rencontre pas la zone elliptique. Il suffit donc d’étudier le cas ρ_{0} ∈ H∪G. On suppose par exemple que t_{0} = t(ρ_{0}) ≥ 0. Soit Π la bicaractéristique issue de ρ_{0}, qu’on paramétrise par le temps. On sait par hypothèse que Π ne rencontre pas le support de Θ orthogonalement entre les instants t_{0}−T′_{1} et t_{0}. Comme t_{0} ≤ T_{0}/2, on a t_{0}−T′_{1} < l−α, il existe donc un instant t_{1} = sup(0, t_{0}−T′_{1}) ∈ [0, l−α[ tel qu’entre les instants t_{1} et t_{0} la bicaractéristique Π ne rencontre pas le front d’onde de u |_{∂Ω}. Comme, d’après l’hypothèse u ∈ H^{1}(] − l + α, l − α[×Ω), le point ρ_{1} n’est pas dans le front d’onde H^{1} jusqu’au bord de u, W F_{b}^{1}(u), d’après les résultats de propagation des singularités, il en est de même de ρ_{0}, donc u ∈ H_{1} microlocalement au voisinage du point ρ_{0}.

Nous avons donc montré que l’application i est surjective ; d’après le théorème du graphe fermé, c’est un isomorphisme, ce qui implique que ∥∂_{n}u^{ϵ}∥_{L^{2}(]−T_{0}/2,T_{0}/2[×Γ_{0})} est borné ; ce qui termine la démonstration du théorème 2.

Références

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[H1] L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, tome 1, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften vol. 256, Springer-Verlag, 1983.

[H2] L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, tome 3, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften vol. 274, Springer-Verlag, 1985.

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[Li] J.L.Lions, Contrôlabilité exacte, perturbation et stabilisation des systèmes distribués, Masson Collection RMA, 1988.

[PZ] J.P. Puel E. Zuazua, Exact controlability for a model of multidimentinal structure, à paraître aux Proc. Royal Soc. Edinburgh, Prépublications du Centre de Mathématiques Appliquées de l’Ecole Polytechnique, 251 (Octobre 1991).