MESURES DE DÉFAUT DE COMPACITÉ, APPLICATION AU SYSTÈME DE LAMÉ

par

N. Burq & G. Lebeau

Résumé. — On définit des mesures de défaut de compacité pour les systèmes aux limites vérifiant la condition de Lopatinski uniforme au bord et on utilise ces notions pour étudier la propagation de l’énergie pour les solutions du système de Lamé.

Abstract (Microlocal defect measures, application to the Lame system)

We define the microlocal defect measures for boundary value systems satisfying the strong Lopatinski condition and we apply these notions to the study of the asymptotic propagation of the energy for the solutions of the Lamé system.

1. Introduction

On se propose dans cet article d’étudier les solutions d’un système d’équations aux dérivées partielles, d’ordre 2, à symbole principal scalaire et réel, satisfaisant des conditions aux limites vérifiant la condition de Lopatinski uniforme. L’étude de la propagation de la polarisation pour de tels systèmes a été faite par N. Denker [Den82] à l’intérieur et par C. Gérard [Gér85] près des rayons strictement glissants ou strictement diffractifs, dans un cadre C^{∞}. Notre étude se limite au cadre H^{1} mais permet de généraliser les résultats connus antérieurement (nous supprimons les hypothèses sur la nature microlocale des points près desquels l’étude est faite) et d’en donner une version quantitative. Plus précisément, pour toute suite de solutions d’un tel système, de norme H^{1} bornée nous définirons une mesure de défaut de compacité microlocale donnant une description quantitative de la polarisation asymptotique de la suite. Cette définition généralise au cas des systèmes aux limites la notion introduite par P. Gérard [Gér91] et L. Tartar [Tar90]. On démontrera ensuite un théorème de propagation permettant de calculer la mesure (et donc la polarisation) le long d’un flot que nous définirons. Dans le cas d’une unique équation des ondes, ce programme à déjà été réalisé P. Gérard [Gér91] et L. Tartar [Tar90] à l’intérieur, P. Gérard, E. Leichtnam [GL93], G. Lebeau [Leb96] pour la condition aux limites de Dirichlet et par H. Koch-D. Tataru [KT95] pour une condition aux limites absorbante, dans un cadre différent. (on pourra aussi consulter l’étude de L. Miller [Mil96]). On donnera également une application de notre résultat à l’étude du système de Lamé. Dans le cas ou l’énergie de l’onde longitudinale tend vers 0, on établira l’équation de propagation exacte pour la polarisation de l’onde transversale. On montrera que l’onde transversale est polarisée perpendiculairement à la direction de propagation, qu’aux points de reflexion transverses situés dans la région hyperbolique pour l’onde longitudinale (points de reflexion et transmission partielles), d’une part la polarisation est aussi orthogonale à la normale au bord et d’autre part la polarisation sortante est égale à la polarisation rentrante. Près des points hyperboliques pour l’onde transversale mais elliptiques pour l’onde longitudinale (points de réflexion totale), on donnera l’expression explicite de la polarisation sortante en fonction de la polarisation rentrante et enfin, près des points glissants, on établiera l’équation de propagation donnant la polarisation à tout instant, à partir de la polarisation initiale. Cette description complète nous permettra de démontrer une conjecture de G.Lebeau et E. Zuazua sur le taux de décroissance pour le système 3-dimensionnel de la thermoélasticité, donnant une condition nécessaire et suffisante pour la décroissance exponentielle de l’énergie des solutions de ce système.

Classification mathématique par sujets (1991). — 35L05, 35L20, 73C02.

Mots clefs. — Analyse microlocale, Elasticité, Polarisation.

Le papier est organisé comme suit : Au §2, nous construisons d’abord au §2.1 (proposition 2.5) des mesures d’énergie microlocales μ pour les suites bornées de H^{1} de solutions du système

(∂_{x}^{2} + R + M_{0}∂_{x} + M_{1}) u_{k} = v_{k}, (1.1)

dans le demi-espace x > 0, sans conditions aux limites. Ici, la suite (v_{k}) converge fortement vers 0 dans un espace convenable, l’opérateur R est scalaire de degré 2 et les M_{j} sont des opérateurs matriciels de degré j. Nous avons choisi le cadre pseudo-différentiel tangentiel pour les opérateurs R, M_{0} et M_{1}.

Au §2.2, nous calculons l’équation de propagation vérifiée par la mesure μ lorsque la suite (u_{k}) vérifie une condition aux limites de type Lopatinski (lemmes 2.9 et 2.10).

Le §3 est consacré au théorème de propagation dont la démonstration est purement géométrique et n’utilise (sous la condition que μ ne charge pas les points strictement diffractifs) que l’équation vérifiée par μ dans l’espace cotangent (théorème 1). Nous vérifions également que cette dernière condition est automatiquement satisfaite lorsque μ provient d’une suite (u_{k}) de solutions de (1.1) vérifiant une condition aux limites de type Lopatinski (§3.4).

Dans le §4, nous appliquons les constructions précédentes au système de Lamé. Le §5 est consacré à la description du théorème de propagation pour l’onde transversale lorsque l’énergie de l’onde longitudinale est négligeable. Enfin, le §6 démontre (et précise) une conjecture de G.Lebeau et E.Zuazua [LZ98] sur la décroissance exponentielle de l’énergie pour les solutions du système de la thermoélasticité en dimension 3 (théorèmes 3 et 4).

Nous avons rassemblé dans une annexe quelques résultats de la théorie des problèmes aux limites dans le cas des points microlocalement hyperboliques ou elliptiques, présentés dans le cadre des mesures de défaut de compacité. Pour une exposition plus générale et plus complète, nous invitons le lecteur à se référer sur ce sujet aux livres de Chazarain et Piriou [CP70], Chapitre V pour la théorie elliptique et L. Hörmander [Hör85], chapitre 24.2 pour la théorie hyperbolique.

Remerciements : Nous nous remercions le rapporteur pour ses commentaires et remarques.

2. Mesures : notations et conventions

Soit X un espace métrique localement compact, dénombrable à l’infini. On munit ℂ^{N} de sa structure hermitienne standard

(z|z′) = ∑_{j=1}^{N} z_{j}\overline{z}′_{j}; |z| = (z|z)^{1/2}. (2.1)

Soit C_{0}^{0}(X, End(ℂ^{N})) l’espace des fonctions x ↦ A(x) continues sur X, à support compact, à valeur dans les matrices complexes N × N. On munit cet espace de la norme

||A|| = sup_{x∈X} { sup_{z∈ℂ^{N} ,|z|≤1}|A(x)(z)|}. (2.2)

On appelle mesure (vectorielle) sur X un élément du dual M_{X} de l’espace C_{0}^{0}(X, End(ℂ^{N})). Une mesure (vectorielle) μ sur X est donc la donnée d’une matrice N × N (μ_{j,i})_{1≤i,j≤N} de mesures boréliennes sur X avec

⟨μ, A⟩ = ∑_{i,j} ∫_{X} a_{i,j}(x)dμ_{j,i}. (2.3)

La mesure μ est hermitienne lorsqu’elle vérifie

A^{∗} = A ⇒ ⟨μ, A⟩ ∈ ℝ, (2.4) ce qui équivaut à μ_{i,j} = \overline{μ_{j,i}} pour tout i, j.

La mesure μ est hermitienne positive lorsqu’elle vérifie

A^{∗} = A ≥ 0 ⇒ ⟨μ, A⟩ ≥ 0. (2.5)

Pour μ ∈ M_{X}, la mesure conjuguée \overline{μ} est définie par

⟨\overline{μ}, A⟩ = \overline{⟨μ, A^{∗}⟩}. (2.6)

On a \overline{(\overline{μ})} = μ et pour λ ∈ ℂ, \overline{(λμ)} = \overline{λ}\overline{μ}. La mesure μ est hermitienne si et seulement si on a \overline{μ} = μ. Toute mesure μ se décompose en somme μ = Reμ + iImμ, où Reμ = \frac{μ+\overline{μ}}{2} et Imμ = \frac{μ−\overline{μ}}{2i} sont hermitiennes. Une mesure positive μ est hermitienne. En effet on a

(2.7) ⟨Imμ, A⟩ = 0 pour tout A vérifiant A^{∗} = A ≥ 0;

en choisissant A = (a_{i,j}) avec a_{ij} ≡ 0 sauf lorsqu’ils prennent deux valeurs données, on en déduit Imμ = 0 donc \overline{μ} = μ.

Si B est un borélien de X et μ ∈ M_{X} la mesure 1_{B}μ ∈ M_{X} est définie par

⟨1_{B}μ, A⟩ = ∑_{i,j} ∫_{B} a_{ij}(x)dμ_{j,i}. (2.8)

On dit que la mesure μ ne change pas B si 1_{B}μ = 0 et que μ est portée par B si 1_{B}μ = μ. Si μ est hermitienne (positive), 1_{B}μ l’est également (car on peut supposer B borné ; on a alors 1_{B} ∈ L^{1}(|μ|), où |μ| = ∑_{i,j} |μ_{j,i}|, donc il

existe une suite (φ_{n}) ∈ C_{0}^{0}(X) de fonctions positives vérifiant lim φ_{n} = 1_{B} dans L^{1}(|μ_{j,i}|) pour tout i, j, donc ⟨1_{B}μ, A⟩ = lim_{n}⟨μ, φ_{n}A⟩).

Nous adopterons les conventions suivantes.

1. Si F est fermé dans X, μ|_{F} est la mesure 1_{F} μ c’est-à-dire

μ|_{F} ∈ M_{X} : ⟨μ|_{F} , A⟩ = ⟨1_{F} μ, A⟩, A ∈ C_{0}^{0}(X, End(ℂ^{N})). (2.9)

2. Si U est ouvert dans X, μ|_{U} est la mesure restriction de μ à U ; c’est-à-dire

μ|_{U} ∈ M_{U} : ⟨μ|_{U}, A⟩ = ⟨μ, A⟩, A ∈ C_{0}^{0}(U, End(ℂ^{N})). (2.10)

En particulier, si F est fermé, μ ne charge pas F si et seulement si μ|_{F} = 0, et μ est portée par F si et seulement si μ|_{(X\F)} = 0.

2.1. Mesures au bord, notations. — Soit Y = {y ∈ ℝ^{d}, |y| < 1} la boule unité de ℝ^{d} et X l’espace produit

X =]0, 1[×Y. (2.11)

On note (x, y), x ∈]0, 1[, y ∈ Y, le point courant de X. On considère X comme variété à bord en posant \overline{X} = [0, 1[×Y, ∂X = \{x = 0\} × Y. (2.12) Soit N ≥ 1 un entier. On notera L^{2} = L^{2}(X; ℂ^{N}), H^{1} = H^{1}(X, ℂ^{N}) (2.13) les espaces de Hilbert de fonctions vectorielles u = (u_{1}, …, u_{N}) définies sur X à valeurs dans ℂ^{N}, munis de leur norme

(2.14)  |u|_{L^{2}}^{2} = ∫_{X} ∑_{j=1}^{N} |u_{j}|^{2}dxdy,
(2.15)  |u|_{H^{1}}^{2} = |u|_{L^{2}}^{2} + ∫_{X} ∑_{j=1}^{N} |∇u_{j}|^{2}dxdy,

où

∇f = (\frac{∂f}{∂x}, \frac{∂f}{∂y_{1}} , …, \frac{∂f}{∂y_{d}} ). (2.16)

Soit R = R(x, y, D_{y}) un opérateur pseudo-différentiel scalaire (C^{∞}) tangentiel classique de degré 2 (voir [Hör85, Chap XVIII]), auto-adjoint, défini au voisinage de [0, 1] × \overline{Y}, de symbole principal réel r(x, y, η) ; on définit les fonctions r_{0} et r_{1} par r(x, y, η) = r_{0}(y, η) + xr_{1}(y, η) + O(x^{2}). (2.17) On supposera que la fonction homogène de degré 2 en η, r(x, y, η) vérifie

\frac{∂r}{∂η} ≠ 0 pour (x, y) ∈ \overline{X} et η ≠ 0. (2.18)

Soient également M_{0}(x, y, D_{y}), M_{1}(x, y, D_{y}) des matrices N × N d’opérateurs pseudo-différentiels (C^{∞}) tangentiels classiques définis au voisinage de [0, 1] × \overline{Y}, de degrés respectifs 0 et 1, de symboles principaux m_{0}(x, y, η), m_{1}(x, y, η). On note P l’opérateur de degré 2 : P = (∂_{x}^{2} + R)Id + M_{0}∂_{x} + M_{1}. (2.19) Le symbole principal p de P est scalaire et vaut p = −ξ^{2} + r(x, y, η). (2.20) Soit Y′ un petit voisinage ouvert de \overline{Y} tel que les opérateurs R, M_{0} et M_{1} sont bien définis au voisinage de [0, 1] × \overline{Y′}. Soit K un compact de Y′ dont l’intérieur contient \overline{Y}.

On se donne une suite (u^{k} (x, y))_{k∈ℕ}, convergeant fortement vers 0 dans l’espace H^{2} (]0, 1[; H^{−s} (Y′)) pour un s > 0 et à support dans [0, 1] × K. La suite v_{k} = P u_{k} est alors bien définie dans L^{2} (]0, 1[; H^{−s−2} (Y′)).

On suppose que la suite (u^{k})_{k∈ℕ} est bornée dans l’espace H^{1} (]0, 1[×Y′) et que la restriction v^{k} de P u^{k} à ]0, 1[×Y vérifie

P u^{k} |_{]0,1[×Y} = v^{k} ∈ G = {v ∈ L^{2} et ∂_{x}v ∈ L^{2}(]0, 1[, H^{−1}(Y))}, (2.21)

et la suite (v^{k}) converge fortement vers zéro dans G.

Remarque 2.1. — – La suite (u^{k}) converge faiblement vers 0 dans H^{1} (]0, 1[×Y′).

– Si φ ∈ C_{0}^{∞} (Y′) est égale à 1 près de \overline{Y}, alors la suite (φu^{k}) vérifie les mêmes hypothèses que la suite (u^{k}).

– Supposons que les opérateurs R, M_{0} et M_{1} sont différentiels et soit (f^{k}) une suite de limite faible nulle dans H^{1} (]0, 1[×Y′), solution de P f^{k} = 0. Pour φ ∈ C_{0}^{∞} (Y′) égale à 1 près de \overline{Y}, la suite (φf^{k}) vérifie les hypothèses précédentes avec v^{k} = 0 (pour un certain choix de K).

Lemme 2.2. — – i) Pour ℓ = 0, 1, 2 la suite (u^{k}) est bornée dans l’espace

C^{ℓ}([0, 1[; H_{loc}^{\frac{1}{2} −ℓ}(Y, ℂ^{N})). (2.22)

– ii) Les traces (u^{k}(0, y)), (∂_{x}u^{k}(0, y)) convergent faiblement vers zéro respectivement dans H_{loc}^{1/2}(Y, ℂ^{N}) et H_{loc}^{−1/2}(Y, ℂ^{N}).

Lemme 2.3. — Pour tout opérateur pseudo-différentiel tangentiel, Q(x, y, D_{y}), de degré strictement négatif, à support compact dans \overline{X} (c’est-à-dire vérifiant Q = φQφ pour un φ ∈ C^{∞}(\overline{X}) à support compact dans \overline{X}), la suite (Qu^{k}) converge fortement vers zéro dans H^{1}.

Lemme 2.4. — Soit A(x, y, D_{x}, D_{y}) un opérateur pseudo-différentiel sur X de degré 0, à support compact dans X (c’est-à-dire vérifiant A = φAφ pour un φ ∈ C_{0}^{∞}(X)), de symbole principal a(x, y, ξ, η) nul sur l’ensemble {ξ^{2} = r(x, y, η)}. Alors la suite (Au^{k}) converge fortement vers zéro dans H^{1}(X).

Preuve des lemmes 2.2, 2.3 et 2.4. On remarque d’abord que (u^{k}(x, y)) est bornée dans l’espace E^{(3)} = ∩_{k=0}^{3} H^{k}(]0, 1[, H_{loc}^{1−k}(Y)), et converge faiblement vers zéro dans E^{(3)}, les cas k = 2, 3 résultant de l’équation (2.21) et de l’égalité ∂_{x}^{2}u_{k} = v_{k} + Ru_{k}. Par les théorèmes de trace, il en résulte les points i) et ii) du lemme 2.2. Pour vérifier le lemme 2.3, il suffit de prouver que les suites (Q∂_{x}u^{k}) et (Q∇_{y}u^{k}) convergent vers zéro fortement dans L^{2}. Or ces deux suites sont bornées dans l’espace F = L^{2}(]0, 1[; H^{ε}(Y)) ∩ H^{1}(]0, 1[; H^{−1+ε}(Y)) avec ε = − deg(Q) > 0 et l’injection de F dans L^{2} est compacte. Enfin, pour vérifier le lemme 2.4 de compacité intérieure nous noterons z = (x, y), ζ = (ξ, η) les variables cotangentes et Σ_{[k]}^{m} l’espace des fonctions a(z, ζ) de classe C^{∞} et à support compact en z, de classe C^{k−1} à dérivées k^{ième} L^{∞} en ζ, et vérifiant

|∂_{z}^{α}∂_{ζ}^{β}a(z, ζ)| ≤ C_{α,β}(1 + |ζ|)^{m−|β|} (2.23)

pour tout α et tout β vérifiant |β| ≤ k (les opérateurs pseudo-différentiels usuels correspondent à k = ∞). On quantifie le symbole a par la règle usuelle

Op(a)f = (2π)^{−(1+d)} ∫ e^{izζ}a(z, ζ)f̂(ζ)dζ. (2.24)

Alors pour a ∈ Σ_{[0]}^{m}, Op(a) est borné de H_{comp}^{s} dans H_{comp}^{s−m} pour tout s ∈ ℝ, et pour a ∈ Σ_{[1]}^{m}, b ∈ Σ_{[1]}^{m′}, on a

(2.25) Op(a) ∘ Op(b) = Op(ab) + Op(c),

avec ab ∈ Σ_{[1]}^{m+m′} et c ∈ Σ_{[0]}^{m+m′−1} (la preuve de ce résultat s’obtient très simplement en prolongeant les symboles qui sont à supports compacts en z par périodicité sur une cellule assez grande, et en décomposant ces symboles en séries de fourier, ce qui donne une décomposition de l’opérateur pseudodifférentiel en série de multiplicateurs de Fouriers, la série étant à décroissance rapide) . Soit φ ∈ C_{0}^{∞} (X).

On a φ (−ξ^{2} + r(x, y, η)) ∈ Σ_{[2]}^{2} et

φ(∂_{x}^{2} + R) = Op (φ(−ξ^{2} + r)) + Op(d), d ∈ Σ_{[1]}^{1}. (2.26)

Pour vérifier le lemme 2.4, on peut, quitte à changer A en un opérateur A′, la différence A − A′ étant régularisante, et à changer a en a′, supposer que A = Op(a) ∘ φ et que la fonction a(z, ζ) ∈ Σ_{[∞]}^{0} est à support compact en z ∈ X, contenu dans l’ensemble {φ ≡ 1}, et nulle au voisinage de {ζ = 0}. On a alors

e := \frac{a}{−ξ^{2} + r} ∈ Σ_{[2]}^{−2}. (2.27)

En effet la fonction e(z, ζ) est nulle au voisinage de ζ = 0, et est C^{∞} homogène de degré −2 en ζ pour ζ ≠ 0 puisque l’ensemble S = {−ξ^{2} + r = 0} est lisse pour ζ ≠ 0 d’après l’hypothèse 2.18, et a s’annule sur S (on utilise ici que si par exemple ∂_{η_{d}}r ≠ 0 alors l’application (x, ξ, y, η) ↦ (x, ξ, y, η_{1}, …, η_{d−1}, −ξ^{2} + r(x, y, η) est un système de coordonnée local et dans ce système la fonction a ∈ C^{∞} s’annule sur l’ensemble ζ_{d} = 0 ce qui implique \frac{a}{ζ}_{d} ∈ C^{∞}) ; on a de plus (−ξ^{2} + r)^{−1} ∈ Σ_{[2]}^{−2} dans un voisinage conique de η = 0, par un calcul direct des dérivées d’ordre au plus 2. On a

\begin{aligned}φ(∂_{x}^{2} + R)φu^{k} & = φP φu^{k} − φ (M_{0}∂_{x} + M_{1}) φu^{k} \\ & = φP φu^{k} + Op(d)φu_{k} := w^{k}, \end{aligned} (2.28)

la suite (w^{k}) est bornée dans L^{2} et à support dans un compact fixe de X. Il suffit alors d’écrire les identités

(2.29) Op(e)w^{k} = Op(e)[ Op (φ(−ξ^{2} + r)) φu^{k} + Op(d)φu^{k}],

(2.30) Op(e)[w^{k} − Op(d)(φu^{k})] = Op(a)φu^{k} + Op(c)φu^{k},

où c ∈ Σ_{[0]}^{−1}, et de remarquer que les deux suites Op(c)[φu^{k}] et Op(e)[w^{k} − Op(d)(φu^{k})] sont bornées dans H^{2}(X), donc convergent fortement vers zéro dans H^{1}(X). □

2.2. Construction de la mesure de défaut microlocale. — On note A l’espace des matrices N × N d’opérateurs Q de la forme Q = Q_{i} + Q_{∂} où Q_{i} est un opérateur pseudo-différentiel classique sur X, à support compact dans X (i.e. vérifiant Q_{i} = φQ_{i}φ pour un φ ∈ C_{0}^{∞}(X)) et où Q_{∂} est un opérateur pseudo-différentiel tangentiel classique à support compact dans \overline{X} (i.e. vérifiant Q_{∂} = φQ_{∂}φ pour un φ ∈ C^{∞}(\overline{X}) à support compact dans \overline{X}). On notera A^{s} les éléments de A qui sont de degré s ∈ ℝ, et A_{sym} les éléments de A^{0} dont le symbole principal est auto-adjoint. On décompose T^{∗}∂X en l’union disjointe E ∪ G ∪ H où

E = {r_{0} < 0}, G = {r_{0} = 0}, H = {r_{0} > 0}. (2.31)

On note ^{b}T \overline{X} le fibré de rang dim X dont les sections sont les champs de vecteurs tangents à ∂X, ^{b}T^{∗}\overline{X} son fibré dual (le fibré cotangent compressé de Melrose) et j : T^{∗}\overline{X} → ^{b}T^{∗}\overline{X} l’application canonique. Le fibré ^{b}T \overline{X} est engendré par les champs \frac{∂}{∂y_{j}}, x\frac{∂}{∂x} et j est définie par

j(y, x, η, ξ) = (y, x, η, v = xξ). (2.32)

On note Car P la variété caractéristique de P

Car P = \{(y, x, η, ξ) ∈ T^{∗}\overline{X}; ξ^{2} = r(x, y, η)\} (2.33)

et on pose

Z = j(Car P), Ẑ = Z ∪ j(T^{∗}\overline{X}|_{x=0}). (2.34)

On a Z|_{x=0} = {(y, 0, η, v = 0), r_{0}(y, η) ≥ 0} et Ẑ|_{x=0} = Z|_{x=0} ∪ E. La fonction r étant homogène de degré deux en η, il existe une constante C telle que

(y, x, η, v) ∈ Ẑ ⇒ |v| ≤ Cx|η|. (2.35)

Il en résulte que Ẑ et Z sont des fermés coniques de ^{b}T^{∗}\overline{X}. On notera SẐ, et SZ les espaces quotients sphériques

SẐ = (Ẑ \ \overline{X})/ℝ_{+}^{∗}, SZ = (Z \ \overline{X})/ℝ_{+}^{∗} (2.36)

qui sont des espaces métriques localement compacts. Pour Q ∈ A^{0}, de symbole principal q = σ(Q) on définit la fonction κ(q) ∈ C^{0}(SẐ; End(ℂ^{N})) par

κ(q)(ρ) = q(j^{−1}(ρ)). (2.37)

(C’est bien défini car q est homogène, et on a κ(q)(y, x, η, v) = q(y, x, η, \frac{v}{x}) pour x ≠ 0 et q est indépendant de ξ pour x assez petit). D’après (2.35) l’ensemble

{κ(q), q = σ(Q), Q ∈ A^{0}} (2.38)

est localement dense dans C^{0}(SẐ; End(ℂ^{N})) où C^{0}(SẐ, End(ℂ^{N})) est muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact. Pour Q ∈ A^{0}, u ∈ H^{1} on pose

ϕ(Q, u) = (Qu|u)_{H^{1}} = ∫_{X}(∇_{y}Qu · \overline{∇_{y}u} + ∂_{x}Qu · \overline{∂_{x}u} + Qu · \overline{u})dxdy. (2.39)

On notera M^{+} l’espace des mesures Boréliennes μ sur SẐ, à valeurs hermitiennes positives sur ℂ^{N} ; une mesure μ de M^{+} est donc un élément du dual de l’espace C_{0}^{0}(SẐ; End(ℂ^{N})) qui vérifie

⟨μ, q⟩ ≥ 0, ∀q ∈ C^{0}(SẐ, End^{+}(ℂ^{N})), (2.40)

où End^{+}(ℂ^{N}) désigne l’ensemble des matrices N × N hermitiennes positives.

Proposition 2.5. — Quitte à extraire une sous-suite de la suite (u^{k}), il existe une mesure μ ∈ M^{+} telle que

∀Q ∈ A^{0} lim_{k→∞} ϕ(Q, u^{k}) = ⟨μ, κ(σ(Q))⟩. (2.41)

Preuve. On suit une démarche très classique inspirée de P. Gérard [Gér91]. Remarquons d’abord que les lemmes 2.3 et 2.4 impliquent

∀Q ∈ A^{−1}, lim_{k→∞} ϕ(Q, u^{k}) = 0. (2.42)

Soit χ ∈ C_{0}^{∞}(|x| < ε), 0 ≤ χ ≤ 1, χ(x) = 1 pour |x| ≤ \frac{ε}{2} et E = E_{i} un opérateur scalaire pseudo-différentiel sur X de degré 0, à support près de Car P, vérifiant 0 ≤ σ(E) ≤ 1 et égal à l’identité au voisinage de Car P ∩ support(1 − χ). D’après le lemme 2.4, pour φ ∈ C_{0}^{∞}(X) on a

(1 − χ)(Id −E)φu^{k} → 0, H^{1} fort. (2.43)

Si Q = Q_{i} +Q_{∂} ∈ A^{0}, en choisissant ε assez petit on aura χQ_{i} ≡ 0 et on écrira

Q = χQ + (1 − χ)Q = χQ_{∂} + (1 − χ)QE + (1 − χ)Q(Id −E). (2.44)

Alors χQ_{∂} est un o.p.d. tangentiel, (1 − χ)QE est un o.p.d. intérieur et (1 − χ)Q(Id −E)φu^{k} → 0 dans H^{1} fort pour tout φ ∈ C_{0}^{∞}(\overline{X}). Il en résulte pour M ≥ 0

(2.45) ∀Q ∈ A_{sym}^{0}σ(Q) ≥ −M Id ⇒ liminf_{k→∞} ϕ(Q, u^{k}) ≥ −M limsup_{k→∞} ||u^{k}||_{H^{1}}^{2}.

En effet, σ(Q) ≥ −M Id implique σ(χQ_{∂}) = σ(χQ) ≥ −M Id et σ((1 − χ)QE) = (1 − χ)σ(E)σ(Q) ≥ −M Id et il suffit donc de traiter indépendamment les cas Q = Q_{i} et Q = Q_{∂}. Par exemple, dans le cas Q = Q_{∂}, il existe φ ∈ C_{0}^{∞}(\overline{X}) tel que α_{k} = (∇Q_{∂}u^{k}|∇u^{k})_{L^{2}} = (Q_{∂}∇(φu^{k})|∇(φu^{k}))_{L^{2}} + β_{k} avec β_{k} = ([∇, Q_{∂}]u^{k}|∇u^{k})_{L^{2}} → 0. Pour tout η > 0, il existe B_{∂} de degré 0, C_{∂} de degré −1, o.p.d. tangentiels tels que Q_{∂} + (M + η) Id = B_{∂}^{∗}B_{∂} + C_{∂} ; comme C_{∂}∇(φu^{k}) → 0 dans L^{2} fort d’après le lemme 2.2 i), on a lim inf α_{k} ≥ −(M + η) lim sup ||∇φu^{k}||_{L^{2}}^{2} d’où (2.45).

On a aussi d’après le lemme 2.4 et (2.43)

Q ∈ A^{0}, σ(Q) = 0 près de x = 0 et σ(Q)|_{Car P} = 0 ⇒ lim_{k} ϕ(Q, u^{k}) = 0. (2.46)

Soit σ(A^{0}) = {q = σ(Q), Q ∈ A^{0}}; c’est un sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions C^{0} homogènes de degré zéro sur T^{∗}\overline{X} \\overline{X} à valeur dans End(ℂ^{N}), muni de la norme L^{∞} et σ(A^{0}) possède une partie dense dénombrable. D’après les relations (2.42) et (2.45), quitte à extraire une sous-suite de la suite u^{k}, il existe une forme linéaire ϕ̃ sur σ(A^{0}) telle que

∀Q ∈ A^{0}, lim_{k} ϕ(Q, u^{k}) = ϕ̃(σ(Q)), (2.47)

|ϕ̃(q)| ≤ ||q||_{L^{∞}} limsup ||u^{k}||_{H^{1}}^{2}. (2.48)

On a de plus

q ∈ σ(A^{0}) et κ(q) = 0 ⇒ ϕ̃(q) = 0 (2.49)

car si κ(q) = 0, pour tout ε > 0, il existe χ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ) à support près de x = 0 tel que ||χq||_{L^{∞}} ≤ ε et (1−χ)q = σ(Q) où Q ∈ A^{0} vérifie (2.46). D’après (2.48) et (2.49) et le théorème de représentation de Riesz, il existe une mesure de Radon μ, élément du dual de C_{0}^{0}(SẐ; End(ℂ^{N})) telle que

∀Q ∈ A^{0}, lim_{k} ϕ(Q, u^{k}) = ⟨μ, κ(σ(Q)⟩ (2.50)

et μ est hermitienne positive d’après (2.45). □

On a Ẑ|_{x=0} = T^{∗}Y, et quitte à extraire une nouvelle sous-suite de la suite (u^{k}), on construit de manière analogue des mesures sur S(T^{∗}Y) = (T^{∗}Y \ Y)/ℝ_{+}^{∗}, μ_{∂}^{1/2}, μ_{∂}^{−1/2}, μ_{∂}^{0} éléments du dual de C^{0}(S(T^{∗}Y), End(ℂ^{N})) caractérisées par

∀Q ∈ A^{0}, lim_{k} ∫_{∂X} Qu^{k} · \overline{∂_{x}u^{k}}dy = ⟨μ_{∂}^{0}, σ(Q)|_{x=0}⟩, (2.51)

∀Q ∈ A^{1}, lim_{k} ∫_{∂X} Qu^{k} · \overline{u^{k}}dy = ⟨μ_{∂}^{1/2}, \frac{σ(Q)}{|η|}|_{x=0}⟩, (2.52)

∀Q ∈ A^{−1}, lim_{k} ∫_{∂X} Q∂_{x}u^{k} · \overline{∂_{x}u^{k}}dy = ⟨μ_{∂}^{−1/2}, |η|σ(Q)|_{x=0}⟩. (2.53)

Les mesures μ_{∂}^{1/2} et μ_{∂}^{−1/2} sont hermitiennes positives, et l’inégalité de Cauchy-Schwarz entraîne

|⟨μ_{∂}^{0}, a^{∗}b⟩|^{2} ≤ ⟨μ_{∂}^{1/2}, b^{∗}b⟩⟨μ_{∂}^{−1/2}, a^{∗}a⟩. (2.54)

On posera

μ_{∂} = (\begin{matrix}μ_{∂}^{1/2} & (μ_{∂}^{0})^{∗} \\ μ_{∂}^{0} & μ_{∂}^{−1/2} \end{matrix}) , (2.55)

où (μ_{∂}^{0})^{∗} est définie par ⟨(μ_{∂}^{0})^{∗}, q⟩ = \overline{⟨μ_{∂}^{0}, q^{∗}⟩}. Le lemme suivant prouve que μ détermine μ_{∂}.

Lemme 2.6. — – i) On a

μ1_{H} = 0 et μ_{∂}1_{G∪H} = 0. (2.56)

– ii) Soit θ la fonction sur SẐ définie μ et μ_{∂} presque partout d’après i), par

θ = \frac{ξ}{|η|} dans x > 0; θ = i\frac{\sqrt{−r_{0}(y, η)}}{|η|} sur E ∪ G. (2.57)

On a les identités

\begin{aligned}μ_{∂}^{1/2} & = \frac{2θ}{i} \frac{1}{1 + |θ|^{2}} μ1_{x=0}, \\ μ_{∂}^{0} & = −\frac{2|θ|^{2}}{1 + |θ|^{2}} μ1_{x=0} = −i\overline{θ}μ_{∂}^{1/2}, \\ μ_{∂}^{−1/2} & = |θ|^{2}μ_{∂}^{1/2}. \end{aligned} (2.58)

Preuve. Pour Q_{1} ∈ A^{1} opérateur tangentiel, on a d’après ce qui précède

(2.59) \overline{lim} ||Q_{1}u^{k}||_{L^{2}} ≤ Cte |\frac{σ(Q_{1})}{|η|}|_{L^{∞}} \overline{lim} ||u^{k}||_{H^{1}}.

Il en résulte pour Q_{0} ∈ A^{0} opérateur tangentiel

(2.60) \overline{lim} ||Q_{0} \frac{∂u^{k}}{∂x} ||_{L^{2}}^{2} ≤ Cte |\frac{rσ(Q_{0})}{|η|^{2}} |_{L^{∞}}|σ(Q_{0})|_{L^{∞}} \overline{lim} ||u^{k}||_{H^{1}}^{2}.

En effet, pour vérifier (2.60), on remarque que [Q_{0}, \frac{∂}{∂x}]u^{k} → 0 dans L^{2} fort et l’inégalité d’interpolation sur ℝ_{+}, |f′|_{L^{2}}^{2} ≤ C|f|_{L^{2}}|f′′|_{L^{2}} implique, avec E_{1} = (1 − Δ_{y})^{1/2},

(2.61) \overline{lim} ||∂_{x}Q_{0}u^{k}||_{L^{2}}^{2} ≤ C \overline{lim} ||E_{1}Q_{0}u^{k}||_{L^{2}} \overline{lim} ||∂_{x}^{2}E_{1}^{−1}Q_{0}u^{k}||_{L^{2}}.

L’inégalité (2.60) résulte donc de (2.59) puisque on a

\overline{lim} ||E_{1}^{−1}[∂_{x}^{2}, Q_{0}]u^{k}||_{L^{2}} = 0 (2.62) et \overline{lim} ||E_{1}^{−1}Q_{0}∂_{x}^{2}u^{k}||_{L^{2}} = \overline{lim} ||E_{1}^{−1}Q_{0}Ru^{k}||_{L^{2}}. (2.63)

Soit w un élément de l’espace ∩_{k=0}^{2} H^{k}(]0, 1[; H^{1−k}(Y)) = E^{(2)} à valeurs dans

ℂ^{N} et à support compact dans \overline{X}. On obtient par intégration par parties

(P u|w)_{L^{2}(X)} − (u|P^{∗}w)_{L^{2}(X)} = ∫_{∂X}(u · ∂_{x}\overline{w} − ∂_{x}u · \overline{w} − u · \overline{M_{0}^{∗}(w)})dy. (2.64)

En appliquant (2.64) à w = w^{k} = (Q_{0} +Q_{−1}∂_{x})u^{k} (qui appartient à E^{(2)}) avec Q_{j} ∈ A^{j}, on obtient le membre de gauche de (2.64) convergeant vers zéro

⟨μ_{∂}^{0} − (μ_{∂}^{0})^{∗}, σ(Q_{0}^{∗})⟩ = ⟨μ_{∂}^{1/2}, \frac{σ(RQ_{−1}^{∗})}{|η|}⟩ + ⟨μ_{∂}^{−1/2}, σ(Q_{−1}^{∗})|η|⟩, (2.65)

ce qui prouve μ_{∂}^{0} = (μ_{∂}^{0})^{∗} et

μ_{∂}^{1/2} \frac{r_{0}}{|η|^{2}} + μ_{∂}^{−1/2} = 0. (2.66)

L’inégalité, pour f ∈ H^{1}(ℝ_{+} × ℝ_{y}^{d})

|||Δ_{y}|^{1/4}f|_{x=0}||_{L^{2}(ℝ^{d})}^{2} ≤ Cte |||Δ_{y}|^{1/2}f||_{L^{2}(ℝ_{+}×ℝ^{d})}||∂_{x}f||_{L^{2}(ℝ_{+}×ℝ^{d})} (2.67)

et (2.60) impliquent μ_{∂}^{−1/2}|_{G} = 0 ; (2.66) entraîne alors μ_{∂}^{±1/2}|_{G∪H} = 0, donc aussi μ_{∂}^{0}|_{G∪H} = 0 d’après (2.54), c’est-à-dire μ_{∂}|_{G∪H} = 0.

Soit ρ_{0} = (y_{0}, η_{0}) ∈ H; notons β_{±} = (y_{0}, x = 0, η_{0}, ±\sqrt{r_{0}(y_{0}, η_{0})}) et γ_{±} les deux demi-bicaractéristiques de −ξ_{n}^{2} + r issues de β^{±}. L’étude classique de la réflexion transverse nous apprend qu’il existe deux suites u_{±}^{k}, bornées dans H^{1}, de limites faibles nulles, concentrées près de γ_{±}, vérifiant P u_{±}^{k} → 0 dans L^{2} et ||Q_{0}(u^{k} −(u_{+}^{k}+u_{−}^{k})||_{H^{1}} → 0 si Q_{0} ∈ A^{0} est à support proche de ρ_{0}. Comme u_{±}^{k} vérifient les équations pseudo-différentielles d’ordre 1 (\frac{1}{i}∂_{x} −Q_{±})u_{±}^{k} = v_{±}^{k} avec v_{±}^{k} → 0 dans H^{1} et σ(Q_{±}) = ±\sqrt{r} Id, les estimations d’énergie sur \frac{1}{i}∂_{x} − Q_{±} impliquent

(2.68) u^{k}|_{x=0} (resp. ∂_{x}u^{k}|_{x=0}) est borné dans H^{1} (resp. L^{2}) près de ρ_{0}

et pour ψ ∈ C_{0}^{∞}, lim_{ε→0} \overline{lim}_{k} ||ψ(\frac{x}{ε})Q_{1}u^{k}||_{L^{2}}^{2} = 0 pour Q_{1} ∈ A^{1} à support près

de ρ_{0}, d’où μ|_{H} = 0. Enfin, d’après le point i) et θ|_{G} = 0, il suffit de vérifier les relations (2.58) sur la région elliptique E, où elles sont conséquences de la théorie elliptique standard. □

Lemme 2.7. — Soient Q_{i} ∈ A^{i} des opérateurs tangentiels de degré i = 1, 2, de symboles principaux q_{i}. On a, avec λ^{2} = |η|^{2}(1 + θ^{2})

lim_{k→∞} ((Q_{2} + Q_{1} \frac{1}{i}∂_{x})u^{k}|u^{k})_{L^{2}(X)} = ⟨μ, \frac{(q_{2} + q_{1}θ|η|)}{λ^{2}}⟩. (2.69)

Preuve. On remarque d’abord que le membre de droite est bien défini car la fonction θ est définie μ presque partout. On peut supposer les Q_{i} à support près de ρ_{0} ∈ SẐ. Lorsque ρ_{0} est un point intérieur (x(ρ_{0}) > 0), (2.69) résulte de la construction de μ. Si ρ_{0} est un point du bord, on choisit une fonction φ ∈ C_{0}^{∞}(] − 1, 1[) égale à 1 au voisinage de [−1/2, 1/2] et pour ε > 0 on écrit

\begin{matrix}Q_{i,ε} = (1 − φ(x/ε))Q_{i}(1 − φ(x/2ε)), \\ Q_{i}^{ε} = Q_{i} − Q_{i,ε}. \end{matrix} (2.70)

Alors puisque Q_{i,ε} est supporté à l’intérieur,

lim_{k→∞} ((Q_{2,ε} + Q_{1,ε} \frac{1}{i}∂_{x})u^{k}|u^{k})_{L^{2}(X)} = ⟨μ, \frac{(1 − φ(x/2ε))(q_{2} + q_{1}θ|η|)}{λ^{2}}⟩ (2.71)

et quand ε tend vers 0, si Q est supporté près d’un point ϱ_{0} hyperbolique, le terme de droite dans (2.71) tend vers

⟨μ1_{x>0}, \frac{(q_{2} + q_{1}θ|η|)}{λ^{2}}⟩ = ⟨μ, \frac{(q_{2} + q_{1}θ|η|)}{λ^{2}}⟩ (2.72)

puisque μ1_{H} = 0. Il reste à montrer que la contribution de Q_{i}^{ε} tend vers 0 quand ε tend vers 0. On écrit (modulo des restes régularisants) Q_{2} = −Δ_{y}Op(\frac{q̃_{2}}{|η|^{2}} ) avec σ(q̃_{2}) = σ(q_{2}) et Q_{1} = ∑_{j=1}^{d} D_{y_{j}}Op(q_{1,j}). On obtient alors après intégrations par parties (en y),

(2.73) | lim_{k→∞} ((Q_{2}^{ε} + Q_{1}^{ε} \frac{1}{i}∂_{x})u^{k}|u^{k})_{L^{2}(X)}|

≤ |⟨μ, (1 − φ(x/ε))\frac{q_{2}}{|η|^{2}} ⟩| + ∑_{j} |⟨μ_{0,j}, (1 − φ(x/ε))q_{j}⟩|

et le terme de droite tend vers 0 quand ε tend vers 0 car μ1_{H} = 0. Pour ρ_{0} ∈ E, (2.69) est conséquence de la théorie elliptique. Enfin pour ρ_{0} ∈ G, (2.60) et θ|_{G} = 0 montrent que seul le cas Q_{2} est à considérer. En reprenant la même décomposition de Q_{2} que pour le cas hyperbolique on obtient que la contribution quand ε tend vers 0 de Q_{2,ε} tend vers

⟨μ1_{ρ∉(G∪E)}, \frac{q_{2}}{λ^{2}} ⟩ (2.74)

Pour étudier la contribution de Q_{2}^{ε}, on considère ψ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ) égale à 1 au voisinage de 0 et on note

Q_{2}^{ε,ε′} = Op(ψ(\frac{r_{0}(x, y, η)}{ε′|η|^{2}}))Q_{2}^{ε} (2.75)

Q_{2}^{ε} − Q_{2}^{ε,ε′} est donc supporté en dehors de G, on peut donc lui appliquer ce qui précède. On obtient

lim_{k→∞} ((Q_{2}^{ε} − Q_{2}^{ε,ε′})u^{k}|u^{k})_{L^{2}(X)} = ⟨μ1_{G^{c}}, \frac{q_{2}}{λ^{2}} ⟩. (2.76)

Il reste à étudier la contribution de Q_{2}^{ε,ε′}.

(Q_{2}^{ε,ε′}u^{k}, u^{k}) = ((−Δ_{y} + 1)(−Δ_{y} + 1)^{−1}Q_{2}^{ε,ε′}u^{k}, u^{k}). (2.77)

On intègre par parties en y et on remarque que d’après (2.60), la limite quand ε, ε′ tendent vers 0 de lim_{k→+∞}(∂_{x}(−Δ_{y} + 1)^{−1}Q_{2}^{ε,ε′}u^{k}, ∂_{x}u^{k}) est nulle. On en

déduit que le terme de droite dans (2.77) est égal à ⟨μ, ^{\frac{q_{2}^{ε,ε′}}{|η|^{2}}} ⟩ + o(ε + ε′. Quand

ε, ε′ tendent vers O, on obtient que la contribution de Q_{2}^{ε,ε′} est

⟨μ1_{G}, \frac{q_{2}}{|η|^{2}} ⟩ = ⟨μ1_{G}, \frac{q_{2}}{|λ|^{2}} ⟩. (2.78)

La contribution de Q_{1} se traite de la même manière. On remarquera que dans ce raisonnement on prend garde à toujours faire tendre k vers l’infini avant de faire tendre ε, ε′ vers 0. □

2.2.1. Condition aux limites. — Nous allons à présent travailler près d’un point ρ_{0} ∈ T^{∗}∂X \ ∂X

ρ_{0} = (y_{0}, η_{0}) ∈ G = {r_{0} = 0}. (2.79)

Soit s_{0} ∈ ℝ et (f_{k}(y)) une suite bornée de H_{loc}^{s_{0}}(Y, ℂ^{N}) ; pour α_{0} ∈ T^{∗}Y \ Y et s ∈ ℝ, on dira que la suite (f_{k}) est bornée dans H_{α_{0}}^{s} (resp. converge vers zéro fort dans H_{α_{0}}^{s}) si il existe un o.p.d. E(y, D_{y}) de degré −s, elliptique en α_{0}, à support compact dans Y, tel que la suite (Ef_{k}) soit bornée dans L^{2}(Y, ℂ^{N}) (resp. converge vers zéro dans L^{2}(Y, ℂ^{N})). Le mêmes propriétés restent alors valables pour tout o.p.d. E à support compact dans Y et dont le support essentiel est assez proche de α_{0}. Nous supposerons dans la suite qu’il existe une matrice B, d’o.p.d. sur Y, de degré −1 telle qu’on ait

u^{k}|_{x=0} = B(\frac{1}{i}(∂_{x}u^{k})|_{x=0}) + h^{k},

(h^{k}) converge vers zéro fort dans H_{ρ_{0}}^{1}.

(2.80)

On notera b le symbole principal de B. Près d’un point ϱ_{0} ∈ G, la condition aux limites peut se mettre sous cette forme si et seulement si elle satisfait la condition de Lopatinski uniforme en ρ_{0} ∈ G, voir [CP70, ChapVII.3].

Lemme 2.8. — Sous l’hypothèse (2.80), la suite ((∂_{x}u^{k})|_{x=0}) est bornée dans L_{ρ_{0}}^{2}. De plus, cette suite converge vers zéro fort dans L_{ρ}^{2} pour ρ ∈ E, proche de ρ_{0}.

Preuve. Soit Q(x, y, D_{y}) un o.p.d. tangentiel de degré assez négatif et à support près de x = 0. La suite f^{k} = (∂_{x}^{2} + R)u^{k} est bornée dans L^{2} et f^{k}|_{x=0} est bornée dans H_{loc}^{−1/2}(Y, ℂ^{N}). Par intégration par parties, on obtient, en tenant compte de R^{∗} = R,

(2.81) (f^{k}|Q∂_{x}u^{k})_{L^{2}} + (∂_{x}Q^{∗}u^{k}|f_{k})_{L^{2}} + ∫_{Y} Q^{∗}u^{k} · \overline{f}|_{x=0}

= ∫_{Y} −∂_{x}u^{k} · \overline{Q∂_{x}u^{k}} + u^{k} · \overline{∂_{x}Q∂_{x}u^{k}} + (u, [∂_{x}^{2} + R, Q∂_{x}] u) .

De plus, on a

\{ \begin{matrix}∂_{x}Q∂_{x}u^{k}|_{x=0} = −QRu^{k}|_{x=0} + g^{k}, \\ g^{k} = [∂_{x}, Q]∂_{x}u^{k}|_{x=0} + Q[v^{k}|_{x=0} − (M_{0}(∂_{x}u^{k})|_{x=0} − M_{1}u^{k}|_{x=0}]. \end{matrix} (2.82)

Comme (u^{k}|_{x=0}) (resp. (∂_{x}u^{k}|_{x=0})) est borné dans H_{loc}^{1/2} (resp. H_{loc}^{−1/2}), et (v^{k}|_{x=0}) est borné dans H_{loc}^{−1/2}, la suite (g^{k}) est bornée dans H_{loc}^{−1/2}(Y, ℂ^{N}), lorsque Q est de degré 0. On choisit Q elliptique en ρ_{0} vérifiant Q+B^{∗}QRB = E^{∗}E, avec E elliptique en ρ_{0}, χ un opérateur scalaire tangentiel d’ordre 0 à support proche de ϱ_{0} et χ_{ε} une famille d’o.p.d. de degré −∞ convergeant (au sens où les symboles convergent pour la topologie sur l’espace des symboles) vers χ et on pose Q_{ε} = χ_{ε}^{∗}Qχ_{ε} vérifiant Q_{ε} +B^{∗}Q_{ε}RB = (Eχ_{ε})^{∗} (Eχ_{ε})+A_{−1,ε} où A_{−1,ε} est une famille d’o.p.d. de degré −∞ convergeant vers un opérateur d’ordre −1, A_{−1}. En appliquant (2.81) à la famille Q_{ε}, on obtient (puisque [∂_{x}^{2} + R, Q_{ε}∂_{x}] est une famille uniformément bornée d’opérateurs de degrés 2),

(2.83)  sup_{ε} sup_{k} | ∫_{Y} ∂_{x}u^{k} · \overline{Q_{ε}∂_{x}u^{k}} + u^{k} · \overline{Q_{ε}Ru^{k}}| ≤ Cte(Q),

où Cte(Q) désigne une constante dépendant de Q. En utilisant à présent la condition aux limites (2.80), on obtient lorsque le support essentiel de Q est proche de ρ_{0}

(2.84) ∫_{Y} ∂_{x}u^{k} · \overline{Q_{ε}∂_{x}u^{k}} + u^{k} · \overline{Q_{ε}Ru^{k}} = (∂_{x}u^{k}|(Q_{ε} + B^{∗}Q_{ε}RB)∂_{x}u^{k})_{L^{2}(Y;ℂ^{N})}

+ (h^{k}, Q_{ε}Rh^{k}) + (h^{k}, Q_{ε}RB(\frac{∂x}{i}u^{k})) + (B(\frac{∂_{x}}{i} u^{k}), Q_{ε}Rh^{k}) ,

ce qui implique, puisque h^{k} est bornée dans H_{ϱ_{0}}^{1}

∥Eχ_{ε}∂_{x}u^{k}∥^{2} ≤ C (Q, χ) (1 + ∥Eχ_{ε}∂_{x}u^{k}∥) , (2.85)

soit

∥Eχ_{ε}∂_{x}u^{k}∥ ≤ C′ (Q, χ) . (2.86)

Passant à la limite ε → 0, on obtient le résultat souhaité. Le fait que la suite (∂_{x}u^{k})|_{x=0} converge vers zéro fort dans L_{ρ}^{2} pour ρ ∈ E proche de ρ_{0} résulte de (2.80) et de la théorie elliptique standard. □

On notera ν la mesure hermitienne positive associée à la suite bornée (∂_{x}u^{k}|_{x=0}) de L_{ρ_{0}}^{2} (qui est de limite faible nulle d’après le lemme 2.2), après extraction éventuelle d’une sous-suite. Si A(y, D_{y}) est un o.p.d. de degré 0 matriciel à support compact dans Y et à support essentiel proche de ρ_{0}, on a donc

lim_{k→∞} ∫_{Y} (A∂_{x}u_{k}) · \overline{∂_{x}u_{k}} = ⟨ν, σ(A)⟩, (2.87)

où σ(A) est le symbole principal de A qui appartient à C^{∞}(S(T^{∗}Y), End(ℂ^{N})) et est à support proche de ρ_{0}. La mesure ν est portée par G ∪ H d’après le lemme 2.8.

Lemme 2.9. — Pour i = 0, 1, soient Q_{i}(x, y, D_{y}) des o.p.d. tangentiels matriciels de degré i, à support compact proche de (y, η) = ρ_{0}, x = 0, et Q = Q_{0} \frac{1}{i}∂_{x} + Q_{1}. On a

lim_{k→∞} (i[P^{∗}Q − QP]u^{k}|u^{k})_{L^{2}(X)} = ⟨ν, q_{0} + b^{∗}q_{0}r_{0}b + q_{1}b + b^{∗}q_{1}⟩, (2.88)

avec q_{i} = σ(Q_{i})(y, η, x = 0).

Preuve. Rappelons qu’on a u^{k} ∈ ∩_{ℓ=0}^{3} H^{ℓ}(]0, 1[; H_{loc}^{1−ℓ}(Y)) et P u^{k} = v^{k}, où v^{k}

tend fortement vers 0 dans ∩_{ℓ=0}^{1} H^{ℓ}(]0, 1[, H_{loc}^{−ℓ}(Y)). Soit φ ∈ C_{0}^{∞} (\overline{X}), égale à 1 au voisinage du support des Q_{i} et u_{φ}^{k} = φu^{k}. Par intégration par parties, on obtient

(P u^{k}|Q^{∗}u_{φ}^{k})_{L^{2}(X)} = (QP u^{k}|u_{φ}^{k})_{L^{2}(X)} − i ∫_{Y} v^{k} · \overline{Q_{0}^{∗}u_{φ}^{k}}, (2.89)

où par convention la dualité (α|β)_{L^{2}(X)} s’applique à α ∈ L^{2}(]0, 1[, H^{s}(Y)) et β ∈ L^{2}(]0, 1[, H^{−s}(Y)) avec α ou β à support compact et s ∈ ℝ. De même, si les Q_{i} sont de degré assez négatifs, on obtient par intégration par parties

(2.90) (Qu^{k}|P u_{φ}^{k})_{L^{2}(X)}

= (P^{∗}Qu^{k}|u_{φ}^{k})_{L^{2}(X)} + ∫_{Y} −Qu^{k} · \overline{∂_{x}u_{φ}^{k}} + ∂_{x}Qu^{k} · \overline{u_{φ}^{k}} − M_{0}^{∗}(Qu^{k}) · \overline{u_{φ}^{k}}.

En retranchant (2.89) à (2.90), on obtient, pour des opérateurs Q^{i} de degré assez négatifs

(2.91) (Qu^{k}|P u_{φ}^{k})_{L^{2}(X)} − (P u^{k}|Q^{∗}u_{φ}^{k})_{L^{2}(X)} = ((P^{∗}Q − QP)u^{k}|u_{φ}^{k})_{L^{2}(X)}

+ ∫_{Y} −Qu^{k} · \overline{∂_{x}u_{φ}^{k}} + ∂_{x}Qu^{k} · \overline{u_{φ}^{k}} − M_{0}^{∗}(Qu^{k}) · \overline{u_{φ}^{k}} + iv^{k} · \overline{Q_{0}^{∗}u_{φ}^{k}}.

Lorsque les opérateurs Q_{i} sont de degré i, on a (P^{∗}Q − QP) = ∑_{j=0}^{2} A_{2−j}∂_{x}^{j}

où les A_{ℓ} sont des opérateurs tangentiels de degré ℓ, donc φ(P^{∗}Q − QP)u^{k} appartient à L^{2}(]0, 1[, H^{−1}(Y)) et est à support compact dans \overline{X}. Si de plus les Q_{i} sont à support proche de ρ_{0}, on a d’après le lemme 2.8, Qu^{k}|_{x=0} ∈ L^{2} et

(2.92) ∂_{x}Qu^{k}|_{x=0} = \frac{∂Q_{0}}{∂x} \frac{1}{i}∂_{x}u^{k}|_{x=0} + \frac{∂Q_{1}}{∂x} u^{k}|_{x=0} + Q_{1}∂_{x}u^{k}|_{x=0}

+ Q_{0} \frac{1}{i}v^{k}|_{x=0} + Q_{0} \frac{1}{i}[ − Ru^{k} − M_{0}∂_{x}u^{k} − M_{1}u^{k}]|_{x=0},

donc ∂_{x}Qu^{k}|_{x=0} appartient à H^{−1}(Y). L’identité (2.91) reste donc valable pour Q vérifiant les hypothèses du lemme 2.9. En faisant tendre k vers l’infini dans l’identité (2.91), on obtient alors (2.88) en utilisant la condition aux limites (2.80) et la définition (2.87) de la mesure ν. □

Pour ρ proche de ρ_{0} ∈ T^{∗}Y, et ξ proche de zéro, on note J_{ξ}(ρ) l’endomorphisme de ℂ^{N} défini par

J_{ξ}(ρ) = (Id −ξb(ρ))^{−1}(Id +ξb(ρ)), (2.93)

où b(ρ) est le symbole principal de B. On remarquera que J_{0}(ρ) = Id et J_{−ξ}(ρ) = [J_{ξ}(ρ)]^{−1}. L’endomorphisme −J_{ξ}(ρ), pour ρ ∈ H décrit la réflexion hyperbolique associée à la condition aux limites (2.80) entre les points (ρ, −ξ) et (ρ, ξ). Nous noterons également C_{paire}^{∞,k}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})) le sous-espace des fonctions q C^{∞} homogènes de degré k de p^{−1}(0) à valeurs dans End(ℂ^{N}), à support près de x = 0, ξ = 0, (y, η) = ρ_{0} et qui vérifient la condition de symétrie (pour ρ proche de ρ_{0})

∀ξ, J_{ξ}^{∗}(ρ)q(x = 0, ξ, ρ)J_{ξ}(ρ) = q(x = 0, −ξ, ρ). (2.94)

Soit μ la mesure associée à la suite (u^{k}). On a μ|_{E} = 0 près de ρ_{0} car d’après le lemme 2.8, les suites u^{k}|_{x=0} et ∂_{x}u^{k}|_{x=0} convergent vers zéro fort dans H_{ρ_{0}}^{1/2} et H_{ρ_{0}}^{−1/2}. Comme μ|_{H} = 0, on peut à présent considérer μ comme une mesure sur p^{−1}(0)/ℝ_{+}^{∗}, c’est-à-dire comme un élément du dual de l’espace C_{0}^{0}(p^{−1}(0)/ℝ_{+}^{∗}; End(ℂ^{N})) via l’application canonique

p^{−1}(0) \ 0/ℝ_{+}^{∗} →^{j} SZ, (2.95)

qui est un homéomorphisme de (p^{−1}(0) \ {x = 0, ξ ≠ 0})/ℝ_{+}^{∗} sur SZ \ H.

Lemme 2.10. — Soient

m(x, ξ, ρ) = m_{0}(x, ρ)iξ + m_{1}(x, ρ) (2.96)

et

(2.97) q ∈ C_{paire}^{∞,1}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})).

La mesure μ associée à la suite (u^{k}) (qui satisfait la condition aux limites de la relation (2.80)) vérifie l’équation

⟨μ, \frac{\{p, q\} + i(m^{∗}q − qm)}{λ^{2}}⟩ = 0. (2.98)

Preuve. Soit q ∈ C_{0}^{∞}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})), homogène de degré 1, à support près de (x = 0, ξ = 0, ρ_{0}). D’après le théorème de division de Malgrange (voir [Hör83, Chap VII.7.5]), il existe des opérateurs tangentiels Q_{i} de degré i, i = 0, 1, de symboles principaux q_{i} tels que

q = (q_{0}ξ + q_{1})|_{p^{−1}(0)} (2.99)

et on peut choisir les Q_{i} à support compact dans \overline{X} et à support essentiel proche de x = 0, ρ = ρ_{0}. En notant Q = Q_{0} \frac{1}{i}∂_{x} + Q_{1} et M = M_{0}∂_{x} + M_{1}, on a

\begin{cases}i(P^{∗}Q − QP) & = i[∂_{x}^{2} + R, Q] + i(M^{∗}Q − QM), \\ & = A_{2} + A_{1} \frac{1}{i}∂_{x} + A_{0}P, \end{cases} (2.100)

où les A_{j} sont des opérateurs à supports compacts, tangentiels matriciels de degré j, de symboles principaux a_{j}. On a donc l’égalité sur p^{−1}(0) \ H (avec θ définie par (2.57))

a_{2} + a_{1}θ|η| = {p, q} + i(m^{∗}q − qm)|_{p^{−1}(0)}. (2.101)

D’après les lemmes 2.6, 2.7 et 2.8, l’identité (2.98) est donc conséquence de (2.101) si nous vérifions pour q ∈ C_{paire}^{∞,1}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})) l’identité

(q_{0} + b^{∗}q_{0}rb + q_{1}b + b^{∗}q_{1})|_{(x=0)\E} ≡ 0. (2.102)

D’après (2.94) et (2.99), on a sur {x = 0} ∩ p^{−1}(0)

J_{ξ}^{∗} ∘ (q_{0}ξ + q_{1}) ∘ J_{ξ} = −q_{0}ξ + q_{1}. (2.103)

D’après (2.93), cela signifie que sur x = 0 ∩ p^{−1}(0), la fonction matricielle ξ ↦ (Id −ξb^{∗})^{−1}(q_{0}ξ + q_{1})(Id −ξb)^{−1} est paire en ξ; ceci équivaut à dire que sur {x = 0} ∩ p^{−1}(0) = G ∪ H, la fonction matricielle ξ ↦ (Id +ξb^{∗})(q_{0}ξ + q_{1})(Id +ξb) est paire en ξ, ce qui entraîne (q_{0} + b^{∗}q_{0}rb + q_{1}b + b^{∗}q_{1})|_{H} = 0, donc (2.102) par continuité puisque G ⊂ \overline{H}. □

3. Mesures invariantes

Dans ce paragraphe, nous noterons Σ un petit voisinage (pour que sur Σ (2.80) soit satisfaite), conique dans Z = j(Car P) du point ρ_{0} = (y_{0}, η_{0}) ∈ G, de sorte que la condition aux limites (2.80) soit satisfaite près de \overline{Σ} (et |ξb(ρ)| < 1 sur Σ). Près de ρ_{0}, on a donc

\{ \begin{matrix}Σ ∩ (x > 0) = \{(y, η, x, ξ); ξ^{2} = r(x, y, η)\}, \\ Σ ∩ (x = 0) = \{(y, η); r_{0}(y, η) ≥ 0\}. \end{matrix} (3.1)

L’espace Σ est un espace métrique localement compact. On remarquera que puisque ρ_{0} est le projeté d’un point de la variété caractéristique vérifiant ξ_{0} = 0, on a η_{0} ≠ 0.

3.1. Le flot de Melrose-Sjöstrand. — On notera π la projection canonique de Car P = p^{−1}(0) = {ξ^{2} = r(x, y, η)} sur Σ. L’ensemble Σ est stratifié par

Σ = ⋃_{j=0}^{∞} Σ^{j} (3.2)

où

Σ^{0} = Σ ∩ (x > 0)
Σ^{1} = H = {(y, η); r_{0}(y, η) > 0}
Σ^{2} = {(y, η); r_{0}(y, η) = 0, r_{1}(y, η) ≠ 0}
…
Σ^{k+3} = {(y, η); r_{0}(y, η) = 0, H_{r_{0}}^{j}(r_{1}) = 0, ∀j ≤ k; H_{r_{0}}^{k+1}(r_{1}) ≠ 0}
…
Σ^{∞} = {(y, η); r_{0}(y, η) = 0, H_{r_{0}}^{j}(r_{1}) = 0, ∀j}.

On a G = {r_{0} = 0} = ∪_{j≥2} Σ^{j}, et on décompose Σ^{2} en l’union disjointe

Σ^{2} = G^{2,+} ∪ G^{2,−}, G^{2,±} = {(y, η) ∈ Σ^{2}, ±r_{1}(y, η) > 0}. (3.3)

Les points de G^{2,+} sont les points strictement diffractifs, et ceux de G^{2,−} les points strictement glissants. Les point de Σ^{1} sont ceux en lesquels la bicaractéristique de p est transverse au bord x = 0 (points hyperboliques). Les points de Σ^{j}, j ≥ 2 sont ceux en lesquels la bicaractéristique de p a un contact d’ordre j avec le bord x = 0. La fonction p = −ξ^{2} + r(x, y, η) étant homogène de degré 2 sur le fibré cotangent, le flot de son champ hamiltonien, H_{p}, n’induit pas un flot sur l’espace quotient homogène Car P/ℝ_{+}^{∗}. Pour remédier à ce fait, on reparamètre les bicaractéristiques de p en choisissant une fonction τ(y, η), homogène de degré 1 positive, C^{∞} et ne s’annulant pas sur Σ (sauf pour η = 0). Les champs H_{p} et \frac{1}{τ}H_{p} ont les mêmes courbes intégrales, et sur p^{−1}(0), on a \frac{1}{τ}H_{p} = H_{p}/τ. Le paramètre s que nous choisirons sur les bicaractéristiques généralisées sera le paramètre naturel pour le champ \frac{1}{τ}H_{p}. Rappelons qu’un rayon est une application continue d’un intervalle I de ℝ dans Σ, s ↦ γ(s), qui vérifie en tout point ρ_{1} = γ(s_{1}).

– i) Si ρ_{1} ∈ H ∪ G^{2,+} : il existe ε > 0 tel que l’on ait x(γ(s)) > 0 pour 0 < |s − s_{1}| < ε.

– ii) Si ρ_{1} ∉ H ∪ G^{2,+} (π^{−1}(ρ_{1}) est alors un singleton dans p^{−1}(0)) : pour toute application f C^{∞} de p^{−1}(0) dans ℝ, et π−invariante, si on note f̃ l’unique application continue de Σ dans ℝ qui rend commutatif le diagramme

p^{−1}(0) \overline{f} ℝ

[figure: f̃]

Σ \begin{aligned}π \\ &  \end{aligned}

la fonction s ↦ f̃[γ(s)] est dérivable en s = s_{1} et on a

\frac{d}{ds}(f̃∘ γ)(s_{1}) = \frac{1}{τ} H_{p}(f)[π^{−1}(ρ_{1})]. (3.4)

Dans toute la suite, on supposera qu’il n’y a pas de contact d’ordre infini entre les bicaractéristiques de p et le bord x = 0, c’est-à-dire

∃J, Σ = ⋃_{j≤J} Σ^{j}. (3.5)

Sous l’hypothèse (3.5), R. Melrose et J. Sjöstrand ont prouvé [MS82] que par tout point ρ_{1} de Σ il existe un unique rayon maximal s ∈]a, b[⟶^{γ} Σ vérifiant γ(0) = ρ_{1} et γ(a + 0) ∪ γ(b − 0) ∈ \overline{Σ} \ Σ.

Dans la suite on notera ϕ(s, ρ) le flot de Melrose-Sjöstrand ainsi défini, vérifiant ϕ(0, ρ) = ρ. Le flot ϕ est homogène pour l’action de ℝ_{+}^{∗} sur Σ, c’està-dire vérifie ϕ(s, tρ) = t · ϕ(s, ρ), donc induit un flot, qu’on notera aussi ϕ sur le quotient Σ/ℝ_{+}^{∗}.

3.2. Trivialisation du fibré le long du flot. — On note ρ = (y, η) le point courant de T^{∗}Y ≃ T^{∗}∂X et J le morphisme de fibré vectoriel hermitien, ℂ^{N} étant muni de son produit scalaire usuel

\{ \begin{matrix}p^{−1}(0) × ℂ^{N} & ⟶^{J} p^{−1}(0) × ℂ^{N} \\ \{(ρ, x, ξ); e\} & ⟼ (ρ, x, ξ); [J_{ξ}(ρ)]^{+1/2}(e)), \end{matrix} (3.6)

où J_{ξ}(ρ) est l’endomorphisme de ℂ^{N} défini en (2.93) et

[J_{ξ}(ρ)]^{+1/2} = exp (\frac{1}{2} log J_{ξ}(ρ)).

Le morphisme J est bien défini près de (ρ_{0}, 0, 0) et on a J |_{G} = Id. Si q ∈ C_{0}^{∞}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})) est considérée comme forme hermitienne par le produit scalaire de ℂ^{N}, son image inverse par J notée q̃ est définie par

(q̃_{ρ,x,ξ}(e)|e) = ((J_{ξ}^{∗1/2}(ρ)q_{ρ,x,ξ}J_{ξ}^{1/2}(ρ))(e)|e). (3.7)

On notera q̃_{ξ} = J_{ξ}^{∗1/2}q_{ξ}J_{ξ}^{1/2} pour simplifier les notations. Par définition, on a q ∈ C_{paire}^{∞}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})) si et seulement si q ∈ C_{0}^{∞}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})) et J_{ξ}^{∗}q_{ξ}J_{ξ} = q_{−ξ} sur le bord x = 0, ce qui équivaut à q̃_{−ξ} = q̃_{ξ} sur le bord x = 0, puisque J_{−ξ} = J_{ξ}^{−1}. Si μ est la mesure du lemme 2.10, on définit la mesure hermitienne positive μ̃, élément du dual de C_{0}^{0}(p^{−1}(0)/ℝ_{+}^{∗}, End(ℂ^{N})) par

⟨μ̃, q̃⟩ = ⟨μ, q⟩, q̃_{ξ} = J_{ξ}^{∗1/2}q_{ξ}J_{ξ}^{1/2}. (3.8)

En d’autres termes, μ̃ est l’image inverse de μ par l’isomorphisme J. Si on note C_{+}^{∞,k}(p^{−1}(0)/ℝ_{+}^{∗}, End(ℂ^{N})) l’espace des sections C^{∞} q̃ homogènes de degré k de p^{−1}(0)/ℝ_{+}^{∗} à valeurs dans End(ℂ^{N}), à support compact, et qui vérifient q̃(ρ, 0, ξ) = q̃(ρ, 0, −ξ), le lemme 2.10 est équivalent à

\begin{matrix}⟨μ̃, \frac{\{p, q̃\} + i(n^{∗}q̃ − q̃n)}{λ^{2}}⟩ = 0, ∀q̃ ∈ C_{+}^{∞,1}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})) \\ avec n = J^{−1/2}mJ^{1/2} + i\{p, J^{−1/2}\}J^{1/2}. \end{matrix} (3.9)

On remarquera que le passage de la mesure μ à la mesure μ̃ correspond exactement à un changement de structure hermitienne sur le fibré p^{−1}(0) × ℂ^{N}, qui permet de ramener le morphisme d’identification J_{ξ}(e) de la réflexion hyperbolique à l’identité ; les équations (2.98) et (3.9) vérifiées par les mesures μ et μ̃ sont formellement identiques. Si Σ × ℂ^{N} est le fibré hermitien trivial sur Σ, ℂ^{N} étant muni de son produit scalaire usuel, on notera μ̂ la mesure hermitienne positive élément du dual de C_{0}^{0}(Σ/ℝ^{∗}; End(ℂ^{N})) définie par

⟨μ̂, q⟩ = ⟨μ̃, q ∘ π⟩, (3.10)

où π : p^{−1}(0)/ℝ_{+}^{∗} → Σ/ℝ_{+}^{∗} désigne la projection canonique. On remarquera que pour q ∈ C_{0}^{0}(Σ/ℝ_{+}^{∗}; End(ℂ^{N})), la relation de symétrie (q∘π)(ρ, x = 0, ξ) = (q ∘ π)(ρ, x = 0, −ξ) est satisfaite. De plus, comme μ|_{H} = 0, la mesure μ̂ détermine uniquement μ. On peut réécrire l’équation (3.9) sur μ̃ sous forme homogène en posant q̃ = (λ^{2}/τ)a. On obtient

∀a ∈ C_{+}^{∞,0}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N}))

⟨μ̃, \{\frac{p}{τ} , a\} + ℓ^{∗}a + aℓ⟩ = 0

avec ℓ = \frac{1}{2} \frac{τ}{λ^{2}} \{\frac{p}{τ} , \frac{λ^{2}}{τ} \} Id −i\frac{n}{τ}.

(3.11)

Soit E_{0} = ℂ^{N} muni de son produit scalaire usuel (e|e′)_{ℂ^{N}} ; soit s ↦ L(s) une application C^{∞} de ℝ dans M_{N}(ℂ) et s ↦ M(s) la solution de l’équation différentielle

\frac{dM}{ds} = LM, M(s = 0) = Id . (3.12)

Soit T_{0} la trivilisation du fibré ℝ × ℂ^{N} sur ℝ

\begin{matrix}ℝ × E_{0} & →^{T_{0}} ℝ × ℂ^{N} \\ (s, e) & ⟼ (s, M(s)e). \end{matrix} (3.13)

Si b(s) ∈ Γ(ℝ, End(ℂ^{N}) est identifiée à la forme hermitienne (be|e′)_{ℂ^{N}}, son image inverse par T_{0} est

T_{0}^{∗}(b)(s) = M^{∗}(s)b(s)M(s). (3.14)

Si μ est une mesure élément du dual de l’espace C_{0}^{0}(ℝ_{s}, End(ℂ^{N})), son image inverse T_{0}^{∗}(μ) par T_{0} est alors définie par

⟨μ, b⟩ = ⟨T_{0}^{∗}(μ), M^{∗}bM⟩ (3.15)

et on a

Lemme 3.1. — Il y a équivalence entre i) T_{0}^{∗}(μ) vérifie l’équation \frac{d}{ds}T_{0}^{∗}(μ) = 0.

ii) On a ⟨μ, \frac{da}{ds} + L^{∗}a + aL⟩ = 0 pour tout a ∈ C_{0}^{∞}(ℝ_{s}, End(ℂ^{N})).

Preuve. Le lemme 3.1 est conséquence de l’identité \frac{d}{ds}(M^{∗}aM) = M^{∗}(\frac{da}{ds} + L^{∗}a + aL)M. □

Compte tenu du lemme 3.1, l’équation (3.11) vérifiée par la mesure μ̃ est donc formellement équivalente à l’invariance par le flot ϕ(s, ρ) de l’image inverse de la mesure μ̂ sur Σ/ℝ_{+}^{∗}, par la trivilisation T du fibré Σ/ℝ_{+}^{∗} × ℂ^{N}

\{ \begin{matrix}(I ⊂ ℝ × Σ/ℝ_{+}^{∗}|_{S}) × E_{0} & ⟶^{T} Σ/ℝ_{+}^{∗} × ℂ^{n} \\ ((s, ρ), e) & ⟼ (ϕ(s, ρ), M(s, ρ)(e)), \end{matrix} (3.16)

où S est une hypersurface transverse au flot, et où l’application matricielle s ↦ M(s, ρ) vérifie l’équation différentielle

\frac{dM}{ds} (s, ρ) = ℓ(ϕ(s, ρ))M(s, ρ), M(0, ρ) = Id . (3.17)

On considèrera l’équation (3.17) comme équation différentielle ordinaire en s, avec paramètre ρ ∈ Σ. On notera qu’à ρ fixé, la fonction s ↦ ℓ(ϕ(s, ρ)) est bornée, C^{0} sauf en un nombre fini de points s_{i} où elle admet (éventuellement) une discontinuité de première espèce et possède des limites à gauche et à droite en chacun de ces points. Les points de discontinuité s_{i} correspondent aux valeurs de s pour lesquelles ρ_{i} = ϕ(s_{i}, ρ) ∈ Σ_{1}, i.e. aux points de réflexion hyperbolique de la trajectoire. Il en résulte l’existence et l’unicité de la solution de l’équation (3.17) pour tout ρ ∈ Σ.

La proposition suivante assure la continuité de la trivialisation T (3.16), ce qui permet de définir sans ambiguité l’image inverse T^{∗}(μ̂).

Proposition 3.2. — La solution M(s, ρ) de l’équation différentielle (3.17) est continue en (s, ρ) ∈ ℝ × Σ.

Preuve. On a

M(t, ρ) = Id + ∫_{0}^{t} ℓ(ϕ(s, ρ))M(s, ρ)ds, (3.18)

d’où avec des constantes localement uniformes en ρ

||M(t, ρ)|| ≤ C; ||M(t, ρ) − M(t′, ρ)|| ≤ C|t − t′|. (3.19)

Il suffit donc de vérifier pour tout t, la continuité en ρ de M(t, ρ). Posons

(3.20)  Δ(t, ρ_{1}, ρ_{2}) = ∫_{0}^{t} ||ℓ(ϕ(s, ρ_{1}) − ℓ(ϕ(s, ρ_{2})||ds
(3.21)  D(t, ρ_{1}, ρ_{2}) = ||M(t, ρ_{1}) − M(t, ρ_{2})||.

Les fonctions Δ et D sont continues en t, et on a

D(t, ρ_{1}, ρ_{2}) ≤ C[Δ(t, ρ_{1}, ρ_{2}) + ∫_{0}^{t} D(s, ρ_{1}, ρ_{2})ds]. (3.22)

Par le lemme de Gronwall, on a donc

D(t, ρ_{1}, ρ_{2}) ≤ CΔ(t, ρ_{1}, ρ_{2}) exp(Cte t). (3.23)

La proposition est donc conséquence de

∀ρ_{2}, lim_{ρ_{1}→ρ_{2}} Δ(t, ρ_{1}, ρ_{2}) = 0. (3.24)

Comme le flot ϕ(s, ρ) est continu, et puisque y, η, x, ξ^{2} sont des fonctions continues sur Σ, il suffit de vérifier

∀ρ_{2}, lim_{ρ_{1}→ρ_{2}} ∫_{0}^{t} |ξ(ϕ(s, ρ_{1})) − ξ(ϕ(s, ρ_{2}))ds = 0. (3.25)

La fonction (s, ρ) ↦ ξ(ϕ(s, ρ)) est uniformément bornée, continue en tout point (s_{0}, ρ_{0}) tel que ϕ(s_{0}, ρ_{0}) ∉ Σ_{1}, et d’après l’hypothèse Σ^{∞} = ∅ il n’existe qu’un nombre fini de valeurs de s ∈ [0, 1] telles que ϕ(s, ρ_{2}) ∈ Σ_{1}. D’après le théorème de convergence dominée, on obtient (3.25). □

3.3. Le théorème de propagation. — On note σ̇ l’image de σ ∈ Σ dans Σ/ℝ_{+}^{∗}. Rappelons que Σ/ℝ_{+}^{∗} est un espace métrisable. On notera dist(σ̇, σ̇′) une distance sur Σ/ℝ_{+}^{∗}. Soit Ω un ouvert homogène de Σ et U = π^{−1}(Ω). Si μ̃ est une mesure hermitienne positive élément du dual de C_{0}^{0}(U/ℝ_{+}^{∗}, End(ℂ^{N})), et vérifiant μ̃|_{H} = 0 on notera μ̂ l’image de μ̃ par la projection π : p^{−1}(0) → Σ

⟨μ̂, q⟩ = ⟨μ̃, q ∘ π⟩, q ∈ C_{0}^{0}(Ω/ℝ_{+}^{∗}, End(ℂ)). (3.26)

On dira que μ̃ vérifie l’équation “ ˙μ̃ = 0” sur U si on a

⟨μ̃, \{\frac{p}{τ} , a\} + ℓ^{∗}a + aℓ⟩ = 0, ∀a ∈ C_{+}^{∞,0}(U, End(ℂ^{N})), (3.27)

où ℓ(y, η, n, ξ) ∈ C^{∞,0}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})) est défini en (3.11). On note toujours T la trivialisation du fibré hermitien Σ/ℝ_{+}^{∗} × ℂ^{N} associée à ℓ par (3.16) et (3.17). On dira que μ̂ est invariante sur Ω si T^{∗}(μ̂) est invariante par le flot de Melrose-Sjöstrand remonté trivialement sur le fibré Σ/ℝ_{+}^{∗} × ℂ^{N} par la formule

(ρ, e) ⟼ (ϕ(s, ρ), e), ρ ∈ Σ/ℝ_{+}^{∗}, e ∈ ℂ^{N}. (3.28)

L’objet de ce paragraphe est de vérifier le théorème de propagation suivant.

Théorème 1. — Les deux propriétés suivantes sont équivalentes. i) μ̂ est invariante.

ii) μ̃ vérifie l’équation “ ˙μ̃ = 0” et μ̃|_{G^{2,+}} = 0.

Preuve du théorème 1. On vérifie d’abord i) ⇒ ii).

Soit a ∈ C_{+}^{∞,0}(p^{−1}(0), End ℂ^{N})) ; on a a(ρ, x = 0, ξ) = a(ρ, x = 0, −ξ), donc a définit une section â ∈ C_{0}^{0}(Σ/ℝ_{+}^{∗}, End(ℂ^{N})) qui rend commutatif le diagramme

p^{−1}(0) \overline{\begin{matrix}a \\  \end{matrix}}End(ℂ^{N})

[figure: â]

Σ \begin{aligned}π \\ &  \end{aligned}

(On identifie â à la section homogène de degré zéro de C_{0}^{0}(Σ, End(ℂ^{N}))). Soit s ↦ ϕ(s, ρ) un rayon. La fonction continue s ↦ â(ϕ(s, ρ)) est dérivable à gauche et à droite en tout point et on a

\frac{d}{ds}â(ϕ(s, ρ))|_{g,d} = \{\frac{p}{τ} , a\}(σ_{g,d}), (3.29)

où σ_{g,d} est un des au plus 2 points de p^{−1}(0) éléments de π^{−1}(ϕ(s, ρ)). En particulier, s ↦ â(ϕ(s, ρ)) est dérivable en tout point s tel que ϕ(s, ρ) ∉ H et y vérifie \frac{d}{ds} â(ϕ(s, ρ)) = \{\frac{p}{τ}, a\}(ϕ(s, ρ)). Comme μ̂|_{H} = 0 (car μ̂ est invariante et H est transverse au flot) l’équation (3.27) est conséquence de

⟨μ̂, \frac{∂â}{∂s} + ℓ^{∗}â + âℓ⟩ = 0, ∀a ∈ C_{+}^{∞,0}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})). (3.30)

Il suffit alors de remarquer que (3.30) résulte comme dans le lemme 3.1 de la construction de la trivialisation T définie par (3.16) et (3.17). Enfin, on a μ̂|_{G^{2,+}} = 0 car G^{2,+} est transverse au flot de Melrose-Sjöstrand et μ̂ est invariante donc μ̃|_{G^{2,+}} = 0.

Vérifions à présent ii) ⇒ i).

Le théorème étant de nature locale près de chaque point σ = (y, η, x, ξ) de p^{−1}(0), nous procédons par récurrence sur la strate Σ^{j} telle que π(σ) ∈ Σ^{j}. Lorsque π(σ) ∈ Σ^{0} (i.e. dans x > 0), le résultat est conséquence du lemme 3.1, et près des points de réflexion hyperbolique, π(σ) ∈ Σ^{1}, du lemme 3.1 et de la formule des sauts (on pourrait aussi utiliser le calcul explicite de la paramétrixe près des points hyperboliques, voir [Gér85] ou [GL93] pour le cas N = 1).

Pour traiter les cas π(σ) ∈ Σ^{j}, avec j ≥ 2, on commence (voir la proposition 3.4) par construire des mesures auxiliaires qui permettent de généraliser l’équation (3.27) à des fonctions b ∈ C^{∞,0}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})), C^{∞} à support compact, homogènes de degré zéro de p^{−1}(0) dans End(ℂ^{N}), mais ne vérifiant pas nécessairement la relation de symétrie entre les points ξ et −ξ sur x = 0.

Tout élément b de C^{∞,0}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})) se décompose d’une infinité de façons sous la forme

b = a^{0} + ξa^{−1}, a^{j} ∈ C_{+}^{∞,j}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})), (3.31)

où les a^{j} sont des fonctions paires de ξ sur x = 0. On peut par exemple prendre

a^{0}(ρ, x, ξ) = (b((ρ, x, ξ) + b((ρ, x, −ξ))/2 (3.32)

et

a^{1}(ρ, x, ξ) = (b((ρ, x, ξ) − b((ρ, x, −ξ))/2ξ. (3.33)

On a

⟨μ̃, \{\frac{p}{τ} , b\} + ℓ^{∗}b + bℓ⟩ = ⟨μ̃, \{\frac{p}{τ} , ξa^{−1}\} + ξℓ^{∗}a^{−1} + ξa^{−1}ℓ⟩ =^{def} I. (3.34)

On choisit χ ∈ C^{∞}(ℝ) vérifiant χ(x) = 1 pour x ≤ 1, χ(x) = 0 pour x ≥ 2 et χ′ ≤ 0 ; on pose ϕ = 1 − χ. Pour tout ε > 0 petit on a ξa^{−1}ϕ(\frac{x}{ε}) ∈ C_{+}^{∞,0}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})) d’où

I = ⟨μ̃, \{\frac{p}{τ} , ξa^{−1}χ(\frac{x}{ε})\}⟩ + ⟨μ̃, ξχ(\frac{x}{ε})(ℓ^{∗}a^{−1} + a^{−1}ℓ)⟩. (3.35)

Le terme ⟨μ̃, ξχ(\frac{x}{ε})(ℓ^{∗}a^{−1} + a^{−1}ℓ)⟩ converge quand ε → 0 par le théorème de convergence dominée vers ⟨μ̃1_{x=0}ξ, ℓ^{∗}a^{−1} + a^{−1}ℓ⟩ qui est nul car μ̃|_{H} = 0 et ξ|_{Σ^{j}} = 0 pour j ≥ 2. On a donc

\{ \begin{matrix}I & = I_{1}^{ε} + I_{2}^{ε} + I_{3}^{ε} \\ I_{1}^{ε} & = ⟨μ̃, ξχ(\frac{x}{ε})\{\frac{p}{τ} , a^{−1}\}⟩ \\ I_{2}^{ε} & = ⟨μ̃, \frac{1}{τ} ( − \frac{∂p}{∂x})a^{−1}χ(\frac{x}{ε})⟩ \\ I_{3}^{ε} & = ⟨μ̃, ξa^{−1}\{\frac{p}{τ} , χ(\frac{x}{ε})\}⟩. \end{matrix} (3.36)

Comme précédemment, on a lim_{ε→0} I_{1}^{ε} = 0. Par convergence dominée, on obtient

lim_{ε→0} I_{2}^{ε} = −⟨μ̃1_{x=0}, a^{−1} \frac{r_{1}}{τ} ⟩. (3.37)

Pour calculer la limite du terme I_{3}^{ε}, on utilise

ξa^{−1}χ(\frac{x}{ε}) ∈ C_{+}^{∞,0}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})), (3.38)

d’où

⟨μ̃, \{\frac{p}{τ} , ξa^{−1}χ(\frac{x}{ε})\} + ξχ(\frac{x}{ε})(ℓ^{∗}a^{−1} + a^{−1}ℓ)⟩ = 0. (3.39)

On a

⟨μ̃, \{\frac{p}{τ} , ξa^{−1}χ(\frac{x}{ε})\}⟩ = ⟨μ̃, \{\frac{p}{τ} , ξa^{−1}\}χ(\frac{x}{ε})⟩ − I_{3}^{ε}. (3.40)

Or d’après (3.36)

I_{3}^{ε} = 2⟨μ̃, \frac{ξ^{2}}{τε}a^{−1}χ′(\frac{x}{ε})⟩, (3.41)

d’où

I_{3}^{ε} = ⟨μ̃, (\{\frac{p}{τ} , ξa^{−1}\} + (ξℓ^{∗}a^{−1} + ξa^{−1}ℓ))χ(\frac{x}{ε})⟩. (3.42)

Lemme 3.3. — On a pour tout a^{−1}, lim_{ε→0} I_{3}^{ε}(a^{−1}) = ⟨T_{0}, τa^{−1}⟩ où T_{0} est

une mesure hermitienne positive, élément du dual de C_{0}^{0}(Σ/ℝ_{+}^{∗}, End(ℂ^{N})), et portée par H = Σ_{1}.

Preuve. On a d’après (3.42)

lim_{ε→0} I_{3}^{ε}(a^{−1}) = ⟨μ̃1_{x>0}, \{\frac{p}{τ} , ξa^{−1}\} + ξℓ^{∗}a^{−1} + ξa^{−1}ℓ⟩ (3.43)

et pour a^{−1} hermitienne positive, on a I_{3}^{ε}(a^{−1}) ≥ 0, d’après (3.41). Comme une limite faible de mesures hermitiennes positives est une mesure hermitienne positive, on obtient l’existence de T_{0}. La mesure T_{0} est portée par {x = 0} d’après (3.41). Comme τa^{−1} ↦ ⟨μ̃1_{x>0}, a^{−1}\{\frac{p}{τ}, ξ\} + ξℓ^{∗}a^{−1} + ξa^{−1}ℓ⟩ est une mesure qui ne charge pas x = 0, on en déduit que

a^{−1} ⟼ ⟨μ̃1_{x>0}, \{\frac{p}{τ} , a^{−1}\}ξ⟩ =^{def} ⟨S, a^{−1}τ⟩ (3.44)

est une mesure, et il reste à vérifier que S ne charge pas ∪_{j≥2} Σ^{j} = {x = ξ = 0};

on remplace alors a^{−1} par a^{−1}θ(\frac{x}{β})ψ(\frac{ξ}{ατ} ) avec θ, ψ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ), paire, α → 0,

β → 0 et \frac{α^{2}}{β} → 0. On a

⟨S, τa^{−1}θ(\frac{x}{β} )ψ(\frac{ξ}{ατ} )⟩ = S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}, (3.45)

S_{1} = ⟨μ̃1_{x>0}, \{\frac{p}{τ} , a^{−1}\}θ(\frac{x}{β} )ψ(\frac{ξ}{ατ} )ξ⟩ ⟶ 0, (3.46)

S_{2} = ⟨μ̃1_{x>0}, −\frac{2ξ^{2}}{βτ} θ′(\frac{x}{β} )ψ(\frac{ξ}{ατ} )a^{−1}⟩ ⟶ 0, (3.47)

par convergence dominée car

|\frac{ξ^{2}}{βτ} ψ(\frac{ξ}{ατ} )θ′(\frac{x}{β} )a^{−1}| ≤ Cte \frac{α^{2}}{β} ⟶ 0. (3.48)

S_{3} = ⟨μ̃1_{x>0}, −\frac{ξ}{τ^{2}α}ψ′(\frac{ξ}{ατ} )\frac{∂r}{∂x}θ(\frac{x}{β} )a^{−1}⟩ ⟶ 0, (3.49)

car \frac{a^{−1}ξ}{τ^{2}α} ψ′(\frac{ξ}{ατ} )\frac{∂r}{∂x}θ(\frac{x}{β})1_{x>0} tend vers zéro partout et est borné et de même

S_{4} = ⟨μ̃1_{x>0}, \frac{ξ^{2}}{α} ψ′(\frac{ξ}{ατ} )\{\frac{p}{τ} , \frac{1}{τ} \}θ(\frac{x}{β} )a^{−1}⟩ ⟶ 0, (3.50)

ce qui achève la preuve du lemme. □ D’après (3.36) à (3.41) et le lemme 3.3, on a obtenu la

Proposition 3.4. — Pour tout a^{j} ∈ C_{+}^{∞,j}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})) on a avec b = a^{0} + ξa^{−1}

⟨μ̃, \{\frac{p}{τ} , b\} + ℓ^{∗}b + bℓ⟩ = ⟨ − \frac{r_{1}}{τ^{2}} 1_{x=0}μ̃ + T_{0}(μ̃), τa^{−1}⟩. (3.51)

La mesure \frac{r_{1}}{τ^{2}} 1_{x=0}μ̃ est portée par ∪_{j≥2} Σ_{j}. La mesure hermitienne positive

T_{0}(μ̃), portée par Σ_{1} = H étant définie par

⟨T_{0}(μ̃), τa^{−1}⟩ = lim_{ε→0} 2⟨μ̃, \frac{ξ^{2}}{τε}a^{−1}χ′(\frac{x}{ε})⟩, (3.52)

où χ ∈ C^{∞}(ℝ) est croissante, vérifie χ(x) = 0 pour x ≤ 1 et ϕ(x) = 1 pour x ≥ 2.

Soit à présent j_{0} ≥ 2 un entier, σ_{0} un point de Σ^{j_{0}}. Nous allons vérifier l’assertion i) ⇒ ii) du théorème 1 au voisinage de σ^{0} par récurrence sur j_{0} en supposant qu’elle est vraie au voisinage de tout point de Σ^{j} pour j < j_{0}. On notera (z, ζ) un système de coordonnées symplectiques homogènes près de σ_{0} tel que z(σ_{0}) = 0 et r_{0} = ζ_{1}τ près de σ_{0} (ce système existe d’après le théorème de la base symplectique incomplète de Darboux). On a donc ζ_{1}(σ_{0}) = 0 et p = −ξ^{2} + r = −ξ^{2} + ζ_{1}τ + xr_{1}(z, ζ) + O(x^{2}). Les fonctions z, ζ sont dérivables sur les rayons et vérifient

\frac{dz}{ds} = \frac{∂r}{∂ζ} (x(s), z(s), ζ(s)), \frac{dζ}{ds} = −\frac{∂r}{∂z} (x(s), z(s), ζ(s)). (3.53)

En particulier, près de σ_{0}, on a \frac{dz_{1}}{ds} ∼ τ > 0, donc s ↦ z_{1}(s) est strictement croissant sur les rayons et l’hypersurface S = {z_{1} = 0} est transverse au flot. Soit ω un petit voisinage ouvert homogène de σ_{0} dans S et Ω l’ouvert de Σ,

Ω_{ε_{0}} = {ϕ(s, σ); σ ∈ ω, |s| < ε_{0}}. (3.54)

Quitte à diminuer ω, on peut supposer que Ω_{ε_{0}} ∩ Σ_{j} = ∅, ∀j > j_{0}. Soit ω_{j_{0}} = {σ ∈ ω, ∃s, |s| < ε_{0}, ϕ(s, σ) ∈ Σ^{j_{0}}} et soit F l’adhérence dans Ω_{ε_{0}} de {ϕ(s, σ); |s| < ε_{0}, σ ∈ ω_{j_{0}}}, et V l’ouvert de Ω_{ε_{0}}, V = Ω_{ε_{0}} \ F. Il existe alors un ouvert ω_{v} de ω tel que qu’on ait

V = {ϕ(s, σ), σ ∈ ω_{v}, |s| < ε_{0}}. (3.55)

Comme ∪_{j>j_{0}} Σ^{j} est fermé, en choisissant ω et ε_{0} assez petits, on a V ∩ Σ^{j} = ϕ

pour tout j ≥ j_{0}. Comme on a “ ˙μ̃ = 0” sur l’ouvert V, et μ̃|_{G}^{2,+} = 0, μ̂|_{V} est invariante par hypothèse de récurrence et V étant un tube de rayon de la forme (3.55), il en résulte que la mesure hermitienne positive 1_{V/ℝ_{+}^{∗}} μ̂|_{(Ω_{ε_{0}}/ℝ_{+}^{∗})} est invariante sur Ω_{ε_{0}}. Comme on a déjà vérifié l’assertion i) ⇒ ii) du théorème 1, on a donc “ ˙ 1_{V/ℝ_{+}^{∗}} μ̃ = 0” sur Ω_{ε_{0}}. D’après l’identité μ̃|_{Ω_{ε_{0}}} = 1_{V} μ̃|_{Ω_{ε_{0}}} +1_{F} μ̃|_{Ω_{ε_{0}}} ,

on en déduit “ ˙ 1_{F} μ̃|_{Ω_{ε_{0}}} = 0” sur Ω_{ε_{0}}. Comme on a pour ω et ε_{0} assez petits

\{ \begin{matrix}F & = \{ϕ(s, σ), |s| < ε_{0}, σ ∈ ω̃\} avec \\ ω̃ & = \{σ ∈ ω, ∃s, |s| ≤ ε_{0}, ϕ(s, σ) ∈ Σ^{j_{0}}\}, \end{matrix} (3.56)

on peut donc supposer que près de σ_{0}, la mesure μ̃ est portée par une réunion de rayons qui rencontrent Σ^{j_{0}}. On va à présent distinguer trois cas : σ_{0} ∈ G^{2,+}, σ_{0} ∈ G^{2,−}, σ_{0} ∈ Σ^{j_{0}}, j_{0} ≥ 3.

3.3.1. 1er cas. — σ_{0} ∈ G^{2,+}. C’est le cas strictement diffractif. D’après l’hypothèse, on peut supposer μ̃ portée par les rayons qui rencontrent G^{2,+}, près de σ_{0}. D’après (3.51), T_{0}(μ̃)1_{H} ≡ 0 et puisque T_{0}(μ̃) est portée par H d’après la proposition 3.4, on a T_{0}(μ̃) ≡ 0 près de σ_{0}, et comme par hypothèse on a μ̃|_{G^{2,+}} = 0 on déduit de (3.51)

⟨μ̃, \{\frac{p}{τ} , b\} + ℓ^{∗}b + bℓ⟩ = 0, ∀b ∈ C^{∞,0}(p^{−1}(0), End (ℂ^{N})). (3.57)

Comme les rayons issus de G^{2,+} sont les courbes intégrales de H_{p/τ} contenues dans p = 0 et restent dans x ≥ 0, la mesure μ̂ est invariante d’après le lemme 3.1.

3.3.2. 2ème cas. — σ_{0} ∈ G^{2,−}. C’est le cas strictement glissant. D’après l’hypothèse, on peut supposer μ̃ portée par les rayons qui rencontrent G^{2,−} près de σ_{0}. Or ces rayons sont tout entier contenus dans G^{2,−} près de σ_{0}, de sorte qu’on peut supposer μ̃ à support dans G^{2,−}. On a

∀a ∈ C_{+}^{∞,0}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})) ⟨μ̃, \{\frac{p}{τ} , a\} + ℓ^{∗}a + aℓ⟩ = 0 (3.58)

et

\{\frac{p}{τ} , a\}|_{G^{2,−}} = \frac{1}{τ} H_{r_{0}}(a|_{x=0})|_{r_{0}=0} pour a ∈ C_{+}^{∞,0}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})) (3.59)

(car a|_{x=0} est paire en ξ donc \frac{∂}{∂ξ} a|_{x=0,ξ=0} = 0). De plus, l’application de C_{+}^{∞,0}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})) dans C^{∞,0}(G^{2,−}, End(ℂ^{N})), a ↦ a|_{x=0,ξ=0} est surjective. L’assertion i) ⇒ ii) du théorème 1 est donc d’après (3.58) conséquence du lemme 3.1 3.3.3. 3ème cas. — σ_{0} ∈ Σ^{j_{0}}, j_{0} ≥ 3. Posons j_{0} = k + 3, on a

Σ^{j_{0}} = {(z, ζ); r_{0}(z, ζ) = τζ_{1} = 0; ∂_{z_{1}}^{ℓ}r_{1}(z, ζ) = 0, ∀ℓ ≤ k, ∂_{z_{1}}^{k+1}r_{1}(z, ζ) ≠ 0}. (3.60)

Soit g_{k}(z, ζ) = ∂_{z_{1}}^{k}r_{1}(z, ζ) ; on a donc

Σ^{j_{0}} ⊂ {(z, ζ); g_{k}(z, ζ) = 0, ∂_{z_{1}}g_{k} ≠ 0} =^{def} G. (3.61)

Par le théorème des fonctions implicites, G est localement près de σ_{0} une hypersurface lisse de la forme G = {z_{1} = Θ(z′, ζ)} avec z = (z_{1}, z′). Notons à nouveau F la réunion des rayons près de σ_{0} qui rencontrent Σ^{j_{0}}. Sur chaque rayon, z_{1} est une fonction strictement croissante de s et le flot est transverse à G d’après (3.53). On pose

\{ \begin{matrix}F^{+} & = \{(z, ζ, x, ξ) ∈ F, z_{1} > Θ(z′, ζ)\} \\ F^{−} & = \{(z, ζ, x, ξ) ∈ F, z_{1} < Θ(z′, ζ)\} \\ F^{0} & = \{(z, ζ, x, ξ) ∈ F, z_{1} = Θ(z′, ζ)\} ⊃ Σ^{j_{0}} ∩ F. \end{matrix} (3.62)

On identifie G à son image dans Σ. On peut supposer μ̃ à support dans F = F^{−} ∪ F^{0} ∪ F^{+}. On pose μ̃^{±} = μ̃|_{±z_{1}>Θ(ζ′,ζ)}. Par hypothèse de récurrence (F^{±} ∩ Σ^{j} = ϕ pour j ≥ j_{0}) les mesures μ̂^{±} sont invariantes sur les ouverts ±z_{1} > Θ(z′, ζ). On peut les prolonger par transport en mesures invariantes à support dans F, qu’on notera μ̃^{±}. On a donc près de σ_{0}

μ̃ = 1_{z_{1}>Θ}μ̃^{+} + μ_{0} + 1_{z_{1}<Θ}μ̃^{−}, (3.63)

où la mesure μ_{0} est portée par F^{0}. L’équation de propagation (3.27) implique

⟨μ_{0}, \{\frac{p}{τ} , a\} + ℓ^{∗}a + aℓ⟩ = −⟨1_{z_{1}>Θ}μ^{+} + 1_{z_{1}<Θ}μ^{−}, \{\frac{p}{τ} , a\} + ℓ^{∗}a + aℓ⟩ (3.64)

pour tout a ∈ C_{+}^{∞,0}(U, End(ℂ^{N})) à support près de σ_{0}. Notons T r(μ^{±}) les mesures à support dans F_{0}, qui sont définies comme les traces sur F_{0} des mesures μ̃^{±}. On a alors

⟨μ_{0}, \{\frac{p}{τ} , a\} + ℓ^{∗}a + aℓ⟩ = −⟨tr(μ^{+}) − tr(μ^{−}), a⟩. (3.65)

Il en résulte

|⟨μ_{0}, \{\frac{p}{τ} , a\}⟩| ≤ Cte ||a||_{L^{∞}}. (3.66)

Or on a \{\frac{p}{τ}, a\}|_{F_{0}} = \{\frac{r_{0}}{τ} , a\}|_{F_{0}} = \frac{∂a}{∂z_{1}} |_{F_{0}}. L’inégalité (3.66) implique donc que ∂_{z_{1}}μ_{0} est une mesure, mais comme μ_{0} est portée par F^{0} qui est transverse à ∂_{z_{1}}, on en déduit μ_{0} ≡ 0, et l’égalité (3.65) entraîne alors tr(μ^{+}) = tr(μ^{−}). D’après l’identité (3.63), on a donc μ̃ = μ^{+} = μ^{−} ce qui prouve que μ̂ est invariante. □

3.4. La condition μ̃|_{G^{2,+}} = 0. — Soit (u^{k})_{k∈ℕ} une suite bornée de H^{1} convergeant faiblement vers zéro, vérifiant l’équation P u^{k} = v^{k} (où v^{k} vérifie la relation (2.21) dans x > 0), et la condition aux limites (2.80) sur x = 0. Soient μ, μ̃, μ̂ les mesures associées à la suite (u^{k}). D’après (3.11), on a “ ˙μ̃ = 0”, et d’après le théorème 1, l’invariance de la mesure μ̂ va être conséquence de la propriété μ̃|_{G^{2,+}} = 0.

Lemme 3.5. — On a μ̃|_{G^{2,+}} = 0 si et seulement si pour tout \underline{ρ} ∈ G^{2,+} tout a^{j} ∈ C_{+}^{∞,j}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})) à support près de \underline{ρ} avec a^{−1} hermitienne positive, et en posant b = a^{0} + ξa^{−1}, la mesure μ̃ vérifie l’inégalité

⟨μ̃, \{\frac{p}{τ} , b\} + ℓ^{∗}b + bℓ⟩ ≥ 0. (3.67)

Preuve. En effet, G^{2,+} est défini par l’inéquation r_{1} > 0. Le lemme 3.5 est donc conséquence de la formule (3.51) de la proposition 3.4, puisque la mesure positive T_{0}(μ̃), portée par Σ_{1} = H, ne charge pas G^{2,+}. □

On remarquera que (3.67) n’est pas une conséquence de l’équation “ ˙μ̃ = 0” puisque on teste ici contre une classe plus grande de fonctions.

Soit alors q ∈ C_{0}^{∞}(p^{−1}(0), End(ℂ^{N})), homogène de degré 1, à support près de (x = 0, ξ = 0, ρ_{0}). En écrivant q = (q_{0}ξ + q_{1})|_{p^{−1}(0)} comme dans (2.99), on a d’après (2.100) et (2.101) et le lemme 2.9, avec λ^{2} = |η|^{2}(1 + θ^{2}), θ = \frac{ξ}{|η|}

⟨μ, \frac{\{p, q\} + i(m^{∗}q − qm)}{λ^{2}}⟩ = ⟨ν, q_{0} + b^{∗}q_{0}rb + q_{1}b + b^{∗}q_{1}⟩. (3.68)

Comme ν est une mesure hermitienne positive (voir (2.87)), la relation (3.67) est conséquence, d’après (3.8), de l’implication : si a^{0}, a^{−1}, q_{0}, q_{1} sont liés sur p^{−1}(0) par la relation

J_{ξ}^{∗1/2}(q_{0}ξ + q_{1})J_{ξ}^{1/2} = λ(a^{0} + ξa^{−1}), (3.69)

alors a^{−1} ≥ 0 implique (q_{0} + b^{∗}q_{0}rb + q_{1}b + b^{∗}q_{1})|_{x=0} ≥ 0 . Comme λ est une fonction paire de ξ, il s’agit donc de calculer la partie impaire en ξ de la fonction matricielle sur p^{−1}(0) ∩ {x = 0}

ξ ⟼ J_{ξ}^{∗1/2}(q_{0}ξ + q_{1})J_{ξ}^{1/2}. (3.70)

Soit donc

M = \frac{1}{ξ}(J_{ξ}^{∗1/2}(q_{0}ξ + q_{1})J_{ξ}^{1/2} − J_{−ξ}^{∗1/2}(−q_{0}ξ + q_{1})J_{−ξ}^{1/2}). (3.71)

On doit vérifier M ≥ 0 ⇒ q_{0} + b^{∗}q_{0}rb + q_{1}b + b^{∗}q_{1} ≥ 0 sur {x = 0} ∩ p^{−1}(0). On a M ≥ 0 ⇔ N ≥ 0 avec

N = \frac{1}{ξ}(J_{ξ}^{∗}(q_{0}ξ + q_{1})J_{ξ} + (q_{0}ξ − q_{1})) (3.72)

et d’après (2.93), N ≥ 0 équivaut à L ≥ 0 avec

L = \frac{1}{ξ}(L_{ξ} − L_{−ξ}); L_{ξ} = (Id − ξb^{∗})^{−1}(q_{0}ξ + q_{1})(Id − ξb)^{−1}. (3.73)

Soit S_{ξ} = (Id − ξb)(Id + ξb) ; on a S_{ξ} = S_{−ξ} et L ≥ 0 équivaut à L̃ ≥ 0 avec L̃ = S_{ξ}^{∗}LS_{ξ}. On a

L̃ = \frac{1}{ξ}(L̃_{ξ} − L̃_{−ξ}); L̃_{ξ} = S_{ξ}^{∗}L_{ξ}S_{ξ} (3.74)

et sur p^{−1}(0) = {ξ^{2} = r}

\{ \begin{matrix}L̃_{ξ} & = (1 + ξb^{∗})(q_{0}ξ + q_{1})(1 + ξb) \\ & = [q_{1} + r(b^{∗}q_{0} + q_{0}b + b^{∗}q_{1}b)] + ξ[q_{0} + b^{∗}q_{0}rb + q_{1}b + b^{∗}q_{1}], \end{matrix} (3.75)

d’où sur p^{−1}(0) ∩ {x = 0},

L̃ ≥ 0 ⟺ q_{0} + b^{∗}q_{0}r_{0}b + q_{1}b + b^{∗}q_{1} ≥ 0, (3.76)

ce qui achève la vérification de l’invariance de la mesure μ̂.

4. Le système de Lamé, notations

4.1. Ondes transversale et longitudinale. — On considère le système de Lamé dans un domaine régulier (C^{∞}), Ω ⊂ ℝ^{3} et borné :

\{ \begin{matrix}(∂_{t}^{2} − μΔ − (λ + μ) ∇ div) u & = & (∂_{t}^{2} + A) u = 0, \\ u |_{∂Ω} & = & 0, \\ u |_{t=0}= u_{0} ∈ H_{0}^{1} (Ω)^{3} & & ∂_{t}u |_{t=0}= u_{1} ∈ L^{2} (Ω)^{3} , \end{matrix} (4.1)

où λ, μ sont les coefficients de Lamé qui vérifient μ > 0 et λ + 2μ > 0. On supposera μ ≠ λ + 2μ. On a une énergie naturelle qui est un invariant de l’évolution :

E (u) (t) = \frac{1}{2} ∫_{Ω} |∂_{t}u|^{2} + μ|∇u|^{2} + (λ + μ) | div u|^{2}. (4.2)

On peut alors décomposer la solution u en somme de deux termes u_{L} et u_{T} de rotationnel et de divergence nuls respectivement :

Lemme 4.1. — Il existe (φ, ψ) ∈ H_{loc}^{2} (ℝ_{t} × \overline{Ω})^{1+3} vérifiant

1. u = ∇φ + rot ψ = u_{L} + u_{T}, u_{L} = ∇φ, u_{T} = rot ψ,

2. (∂_{t}^{2} − c_{L}^{2}Δ)φ = 0, (∂_{t}^{2} − c_{T}^{2} Δ)ψ = 0,

3. div ψ = 0, rot u_{L} = 0, div u_{T} = 0.

4. il existe C > 0 tel que pour tout intervale I ⊂⊂ ℝ

(4.3)  ∥φ∥_{H^{2}(I×Ω)}^{2} ≤ C|I|E (u) ,
(4.4)  ∥ψ∥_{H^{2}(I×Ω)}^{2} ≤ C|I|E (u) ,

en particulier si on note

(4.5)  E_{L,T} (u_{L,T}) = \frac{1}{2} ∫_{Ω} |∂_{t}u_{L,T} |^{2} + c_{L,T}^{2} |∇u_{L,T} |^{2},

avec c_{L}^{2} = λ + 2μ, c_{T}^{2} = μ, on obtient

(4.6)  E_{L,T} (u_{L,T}) ≤ CE (u) .

Preuve. Pour démontrer ce lemme, on décompose u sur une base de H_{0}^{1} (Ω)^{3} formée de vecteurs propres de l’opérateur A_{D} = −μΔ − (λ + μ) ∇ div avec conditions au bord de Dirichlet, (e_{ν}, λ_{ν})_{ν∈ℕ^{∗}} :

u (t, x) = ∑_{ν∈Z^{∗}} e^{signe(ν)it\sqrt{λ_{|ν|}}}u_{ν}e_{|ν|} (4.7)

et on note

U = A_{D}^{−1}u = ∑_{ν∈Z^{∗}} e^{signe(ν)it\sqrt{λ_{|ν|}}} \frac{u_{ν}}{λ_{|ν|}} e_{|ν|}. (4.8)

La fonction U vérifie

(∂_{t}^{2} + A) U = 0 (4.9)

et on a U ∈ C^{k} (ℝ_{t}; H^{3−k} (Ω)^{3}) , ∀k ∈ ℕ. On note

(4.10)  φ = −c_{L}^{2} div U ∈ C^{k} (ℝ_{t}; H^{2−k} (Ω)) , ∀k ∈ ℕ,
(4.11)  ψ = −c_{T}^{2} rot U ∈ C^{k} (ℝ_{t}; H^{2−k} (Ω)^{3}) , ∀k ∈ ℕ.

Compte tenu de (4.9), les fonctions φ et ψ vérifient respectivement (∂_{t}^{2} − c_{L}^{2}Δ)φ = P_{L}φ = 0 et (∂_{t}^{2} − c_{T}^{2} Δ)ψ = P_{T} ψ = 0, ∇φ + rot ψ = −c_{L}^{2}∇ div U − c_{T}^{2} rot rot U = AU = −∂_{t}^{2}U = u. Enfin la troisième condition du lemme est triviale et la dernière est conséquence de la construction. □

4.2. Géométrie. — Soit M = ℝ_{t} × Ω. On note

CarL ⊂ T^{∗}ℝ^{d+1} |\overline{M}= \{(t, τ, z, ζ) ; (x, t) ∈ \overline{M}, τ^{2} = c_{L}^{2}|ζ|^{2}\} (4.12)

et

CarT ⊂ T^{∗}ℝ^{d+1} |\overline{M}= \{(t, τ, z, ζ) ; (x, t) ∈ \overline{M}, τ^{2} = c_{T}^{2} |ζ2\}, (4.13) les deux variétés caractéristiques des deux opérateurs des ondes. On note aussi Z_{L;T} = j ( CarL; T ) ⊂ ^{b}T^{∗}M les projections de ces deux variétés caractéristiques. Dans un système de coordonnées géodésiques où Δ = ∂_{x}^{2} + R (x, y, D_{y}) + Q_{1} (x, y, D_{y}) + Q_{0} (x, y, D_{y}) ∂_{x} où Q_{i} sont d’ordre i, si on note r_{0} = r |_{x=0}, on a

Z_{L,T} ∩ {x = 0} = {(t, y, τ, η) ; ν_{L,T}^{2} τ^{2} + r_{0} ≥ 0}, (4.14)

avec ν_{L,T} = c_{L,T}^{−1} , et on a les décompositions

T^{∗}∂M = H_{L} ∪ G_{L} ∪ E_{L} = H_{T} ∪ G_{T} ∪ E_{T} , (4.15)

avec

\{ \begin{matrix}H_{L,T} & = \{(t, y, τ, η) ; ν_{L,T}^{2} τ^{2} + r_{0} > 0\}, \\ G_{L,T} & = \{(t, y, τ, η) ; ν_{L,T}^{2} τ^{2} + r_{0} = 0\}, \\ E_{L,T} & = \{(t, y, τ, η) ; ν_{L,T}^{2} τ^{2} + r_{0} < 0\}. \end{matrix} (4.16)

4.3. Mesures. — On considère (u_{k})_{k∈ℕ} une suite d’énergie bornée de solutions du système de Lamé. On suppose que la suite (u_{k}) converge faiblement vers 0. Les suites (u_{k})_{L,T} qui lui sont associées sont des suites de solutions d’équations d’ondes (ν_{L,T}^{2} ∂_{t}^{2} − Δ) u_{k,L,T} = 0 d’énergies bornées et convergent également faiblement vers 0. Nous allons leur associer deux mesures, μ_{L,T} éléments du dual topologique de C^{0} ( ^{b}S^{∗}M; End (ℂ^{3})).

4.3.1. A l’intérieur. — Quitte à extraire une sous suite, les procédures standard (voir P. Gérard [Gér91] ou L. Tartar [Tar90]) montrent qu’il existe deux mesures μ_{L,T} éléments du dual de l’espace des fonctions continues sur S^{∗}M à valeurs endomorphismes, telles que pour tout opérateur pseudodifférentiel Q à valeurs endomorphismes de ℂ^{3}, de degré 0 et à support compact dans M, on a

⟨μ_{L,T} , σ (Q)⟩ = lim_{k→+∞} (Qu_{k,L,T} , u_{k,L,T})_{H_{L,T}^{1}} , (4.17)

où on a noté

\begin{aligned}(Qu_{L}, u_{L})_{H_{L}^{1}} & = ∫_{M} (∂_{t}Qu_{k,L}, ∂_{t}u_{k,L}) + μ (∇Qu_{k,L}, ∇u_{k,L}) \\ & + (λ + μ) (div Qu_{k,L}, div u_{k,L}) , \\ & = ∫_{M} (∂_{t}Qu_{k,L}, ∂_{t}u_{k,L}) + (λ + 2μ) (∇Qu_{k,L}, ∇u_{k,L}) \end{aligned} (4.18)

et

(Qu_{T} , u_{T})_{H_{T}^{1}} = ∫_{M} (∂_{t}Qu_{k,T} , ∂_{t}u_{k,T}) + μ (∇Qu_{k,T} , ∇u_{k,T}) . (4.19)

Les résultats standard de régularité elliptique montrent aussi que ces deux mesures sont portées par les variétés caractéristiques respectives, CarL et CarT .

4.3.2. Près d’un point du bord. — On se place dans un système de coordonnées géodésiques près d’un point (x_{0} = 0, y_{0}). Dans ce système M à la forme X =]0, 1[_{x}×Y, Y = B (0, 1)_{y}, le bord de M a pour équation x = 0, le laplacien Δ a la forme suivante :

Δ = \frac{1}{\sqrt{detg}} ∂_{x}\sqrt{detg}∂_{x} + P (x, y, D_{y}) , (4.20)

où x désigne la variable normale au bord, y la variable tangentielle, P (x, y, D_{y}) est un opérateur différentiel tangentiel et la métrique g est donnée par

g = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & M(x,y) \end{matrix} ) , g^{−1} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & α(x,y) \end{matrix} ) , (4.21)

où ^{t}ηα |_{x=0} η = ∥η∥^{2} est la norme naturelle sur T^{∗}∂Ω, duale de la norme sur T Ω induite par la métrique sur Ω, et ^{t}η∂_{x}α |_{x=0} η = −2κ (y, η) ∥η∥^{2}. La convention de signe que nous avons choisi est telle que κ > 0 sur G^{2,+}.

On considère les fonctions ũ_{L,T} = det g^{1/4}u_{L,T} dans ce système de coordonnées et on note

(4.22)  P̃_{L,T} = det g^{1/4}P_{L,T} det g^{−1/4} où P_{L,T} = Δ − ν_{L,T}^{2} ∂_{t}^{2}.

Les opérateurs P̃_{L,T} sont autoadjoints pour la métrique dx|dy|dt et de la forme ∂_{x}^{2}+R̃_{L,T} (x, y, D_{y}, D_{t}), où les opérateurs R̃_{L,T} sont des opérateurs différentiels de degrés 2, tangentiels et autoadjoints pour la mesure dx|dy|dt. Le symbole principal de l’opérateur R̃_{L,T}, r_{L,T} (x, y, η), vaut

r_{L,T} (x, y, η, τ) = ν_{L,T}^{2} τ^{2} − ^{t}ηα (x, y) η, (4.23)

ce qui implique

(4.24)  r_{0,L,T} = r |_{x=0}= ν_{L,T}^{2} τ^{2} − ∥η∥^{2}

et

(4.25)  r_{1,L,T} = ∂_{x}r |_{x=0}= 2∥η∥^{2}κ (y, η) .

On peut d’après la remarque 2.1, quitte à extraire une sous suite, associer des mesures μ̌_{L,T} et μ̌_{∂,L,T}^{1/2,0,−1/2} aux suites ũ_{k,L,T} et (ũ_{k,L,T} |_{x=0}, ∂_{x}ũ_{k,L,T} |_{x=0}) comme à la section 2.

Lemme 4.2. — Les mesures μ̌_{∂,L,T}^{1/2,0,−1/2} sont nulles.

!Preuve Preuve. On suppose par exemple c_{L} > c_{T} (l’autre cas se traitant de la même manière). On a alors

T^{∗}Y = H_{T} ∪ G_{T} ∪ E_{T}; H_{L} ∪ G_{L} ⊂ H_{T} . (4.26)

On remarque d’abord que la condition aux limites

u_{k,L} |_{x=0} +u_{k,T} |_{x=0}= 0 (4.27)

implique μ̌_{∂,L}^{1/2} = μ̌_{∂,T}^{1/2}. D’après le lemme 2.6, les mesures μ̌_{∂,T}^{1/2,0,−1/2} sont portées par E_{T}. Mais près d’un point ρ_{0} ∈ E_{T} (qui est donc elliptique pour l’opérateur ∂_{t}^{2} + A), d’après le théorème de régularité elliptique pour le problème de Dirichlet, les fonctions u_{k} sont uniformément bornées dans H^{s} au voisinage de ρ_{0}, pour tout s ∈ ℝ. D’après la construction de u_{k,T} et u_{k,L} à partir de u_{k}, il en est de même des suites u_{k,T} et u_{k,L}, ce qui montre que les mesures μ̌_{∂,L,T}^{1/2,0,−1/2} sont

toutes nulles au voisinage de ρ_{0}. On obtient ainsi que les mesures μ̌_{∂,T}^{1/2,0,−1/2}

sont nulles partout. Donc la mesure μ̌_{∂,L}^{1/2} = μ̌_{∂,T}^{1/2} est aussi nulle, puis en uti-

lisant les relations (2.58) on obtient que les mesures μ̌_{∂,L}^{0,−1/2}sont aussi nulles. □

Soient ζ_{L,T} les fonctions sur SẐ définies μ̌_{L,T} presque partout par

\begin{cases}ζ (x, y, ξ, η, τ) = \frac{ν_{L,T}^{2} τ^{2}+∥ξ,η∥^{2}}{τ^{2}+|ξ,η|^{2}} & si x > 0, \\ ζ (x, y, ξ, η, τ) = \frac{ν_{L,T}^{2} τ^{2}+∥0,η∥^{2}}{τ^{2}+|0,η|^{2}} & si x = 0, \end{cases} (4.28)

où ∥ξ, η∥^{2} = ξ^{2} + ^{t}ηA (x, y) η, |ξ, η|^{2} = ξ^{2} + ^{t}ηη. On définit alors la mesure μ_{L,T} comme étant la mesure qui, dans ce système de coordonnées vaut

μ_{L,T} = ζ (x, y, ξ, η, τ) μ̌_{L,T} . (4.29)

Le lemme suivant montre que cette multiplication par ζ permet de retrouver l’énergie naturelle.

Lemme 4.3. — Pour tout opérateur pseudodifférentiel Q̃ sur X, d’ordre 0, tangentiel près de {x = 0} et à support compact, si on note Q l’opérateur pseudodifférentiel sur M qui lui correspond, on a, dL désignant la mesure de Lebesgue sur Ω,

(4.30) ⟨μ_{L,T} , κ (σ \binom{}{Q})⟩

= lim_{k→+∞} ∫_{M} ν_{L,T}^{2} (∂_{t}Qu_{k,L,T} , ∂_{t}u_{k,L,T}) + (∇Qu_{k,L,T} , ∇u_{k,L,T}) dtdL.

Preuve. En effet (en notant \frac{d}{dn} le champ normal extérieur à Ω),

(4.31) I_{k} = ∫_{M} ν_{L,T}^{2} (∂_{t}Qu_{k,L,T} , ∂_{t}u_{k,L,T}) + (∇Qu_{k,L,T} , ∇u_{k,L,T}) dtdL

= − ∫_{M} ((ν_{L,T}^{2} ∂_{t}^{2} + Δ) Qu_{k,L,T} , u_{k,L,T} ) dtdL + ∫_{∂M} \frac{d}{dn}Qu_{k}\overline{u_{k}}dσ.

Puisque les mesures μ̌_{∂,L,T}^{1/2,0,−1/2} sont toutes nulles, le terme de bord tend vers 0 quand k → +∞ et

I_{k} = − ∫_{M} ((ν_{L,T}^{2} ∂_{t}^{2} + Δ) Qu_{k,L,T} , u_{k,L,T} ) dtdL + o (1) ,
= − ∫_{X} ((ν_{L,T}^{2} ∂_{t}^{2} + Δ) Q̃ det g^{−1/4}ũ_{k,L,T} , det g^{−1/4}ũ_{k,L,T} )
\sqrt{| det g|}^{1/2}dtdx|dy| + o (1) ,

qui converge, d’après les lemmes 2.7 et 4.2 vers

⟨μ̌_{L,T} , κ (ζσ \binom{}{Q})⟩, (4.32)

puisqu’on a dans le système de coordonnées géodésiques normales

−σ (ν_{L,T}^{2} ∂_{t}^{2} + Δ) = ν_{L,T}^{2} τ^{2} + ∥ξ, η∥^{2}; λ^{2} = τ^{2} + |ξ, η|^{2}. (4.33)

□

En utilisant une partition de l’unité, on peut ainsi définir deux mesures μ_{L,T} éléments du dual de l’espace des fonctions continues sur SẐ_{L,T} à valeurs endomorphismes de ℂ^{3}, vérifiant pour tout Q, opérateur pseudodifférentiel sur M d’ordre 0, tangentiel (ou plus précisement somme d’opérateurs qui sont dans des systèmes de coordonnées géodésiques tangentiels),

(4.34) ⟨μ_{L,T} , κ (σ \binom{}{Q})⟩

= lim_{k→+∞} ∫_{M} ν_{L,T}^{2} (∂_{t}Qu_{k,L,T} , ∂_{t}u_{k,L,T}) + (∇Qu_{k,L,T} , ∇u_{k,L,T}) dtdL.

On identifiera par la suite ces deux mesures aux mesures correspondantes définies sur le dual de l’espace des fonctions continues sur ^{b}S^{∗}M ( ^{b}T^{∗}M quotienté par l’action naturelle de ℝ^{+}), à valeurs endomorphismes de ℂ^{3}.On remarquera que d’après (4.34), u est une section du fibré tangent à Ω et la fibre ℂ^{3} est l’espace tangent en chaque point à Ω. Enfin, d’après les lemmes 2.7, 4.2 et 4.3, si Q est un opérateur pseudo-différentiel sur M, d’ordre 2, qui près du bord est de la forme Q = ∑_{j=0}^{2} Q_{2−j}∂_{x}^{j}, avec Q_{i} tangentiels de degrés i, en remarquant que Qu_{k,L,T} = (∑_{j=0}^{1} Q_{2−j}∂_{x}^{j} − Q_{0}R̃_{L,T})u_{k,L,T}, on obtient

lim_{k→+∞} ∫_{M} (Qu_{k,L,T} , u_{k,L,T}) dtdL = ⟨μ_{L,T} , \frac{q}{ν_{L,T}^{2} τ^{2} + ∥ξ, η∥^{2}} ⟩, (4.35)

où q est le symbole principal de Q.

Proposition 4.4. — Les mesures μ_{L} et μ_{T} sont mutuellement singulières (au sens de la théorie de la mesure).

Preuve. A l’intérieur ce résultat est immédiat puisque les mesures μ_{L} et μ_{T} sont portées par j (CarL) et j (CarT ) respectivement (et ces deux ensembles sont disjoints). Il suffit donc de montrer la proposition en remplaçant μ_{L,T} par μ_{L,T} 1_{∂M}. Près d’un point du bord, ρ_{0}, on suppose par exemple c_{L} > c_{T}. Si ρ_{0} ∈ H_{T}, alors la proposition est vérifiée près de ρ_{0} puisque μ_{T} 1_{H_{T}} = 0 d’après le lemme 2.6. Si ρ_{0} ∈ E_{T} alors ρ_{0} est elliptique pour l’opérateur ∂_{t}^{2} + A et les résultats standard de régularité elliptique pour le problème de Dirichlet montrent que u_{k} (et donc aussi u_{k,L} et u_{k,T}) est uniformément bornée dans H^{s} pour tout s, donc μ_{L} et μ_{T} sont nulles près de ρ_{0}. Enfin, si ρ_{0} ∈ G_{T} ⊂ E_{L}, comme μ_{∂,L}^{1/2} = 0, la régularité elliptique pour l’opérateur ν_{L}^{2}∂_{t}^{2} − Δ avec conditions de Dirichlet montre que, près de ρ_{0}, u_{k,L} converge fortement vers 0 dans H^{1} donc μ_{L} = 0. □

4.3.3. Polarisation. — Nous n’étudions ici que la polarisation de la mesure μ_{T} puisque c’est celle dont nous nous servirons ultérieurement, néanmoins il est clair qu’un résultat analogue est vrai pour la mesure μ_{L}. Soit Π (x, ξ) l’opérateur égal à l’intérieur ou en un point du bord ρ_{0} ∈ G_{T} au projecteur orthogonal sur le plan orthogonal à ξ. Cet opérateur est défini μ_{T} presque partout et vaut Π = Id − Π^{⊥} avec

∀X ∈ ℂ^{3}, Π^{⊥} (x, ϱ) (X) = \frac{⟨ϱ, X⟩}{∥ϱ∥^{2}}g^{−1}ϱ. (4.36)

Lemme 4.5. — Pour tout q ∈ C^{0} ( ^{b}S^{∗}M; End (ℂ^{3}))

⟨μ_{T} , q⟩ = ⟨μ_{T} , Πq⟩ = ⟨μ_{T} , qΠ⟩ = ⟨μ_{T} , ΠqΠ⟩. (4.37)

Preuve. Soit B un opérateur pseudo-différentiel de degré 0, tangentiel près du bord, de symbole principal b. On peut appliquer (4.35) à Q = B∇ div, d’où en utilisant div u_{T} = 0,

⟨μ_{T} , \frac{∥ξ, η∥^{2}}{ν_{T}^{2} τ^{2} + ∥ξ, η∥^{2}} bΠ^{⊥}⟩ = 0, (4.38)

ce qui implique la première relation de (4.37). La deuxième s’obtient à partir de la première puisque la mesure μ_{T} est hermitienne et la troisième est conséquence des deux premières. □

5. Le théorème de propagation dans le cas où μ_{L} = 0

On suppose ici que div u_{k} = div u_{k,L} converge vers 0 dans L^{2} (]0, T [×Ω) quand t → +∞. Nous allons démontrer qu’alors la mesure μ_{T} est invariante par un certain flot qu’on explicitera. On commence par montrer que μ_{L} est nulle. On a − div u_{k,L} = c_{L}^{2} div ∇ div U_{k} = c_{L}^{2}Δ div U_{k}. En dehors de la variété caractéristique de l’opérateur ∂_{t}^{2} +A, (U_{k}) converge fortement vers 0 dans tous les espaces H^{s} et près de la variété caractéristique, l’opérateur ∂_{t}^{2} est elliptique, tangentiel et on a ∂_{t}^{2} div U_{k} = c_{L}^{2}Δ div U_{k} = − div u_{k,L} → 0 dans L^{2}. D’après la régularité elliptique, div U_{k} → 0 dans H^{2} et donc u_{k,L} = −c_{L}^{2}∇ div U_{k} → 0 dans H^{1}, soit μ_{L} = 0.

On rappelle que le support de μ_{T} est inclus dans la projection de la variété caractéristique Z_{T}. Puisque les fonctions u_{k,T} sont solutions de l’équation (∂_{t}^{2}− c_{T}^{2} Δ)u_{k,T} = 0, il est standard que la mesure μ_{T} est près de tout point intérieur ρ_{0} ∈ Z_{T} ∩ T^{∗}M invariante par le flot du champ Hamiltonien homogène H_{p_{T} /τ}.

5.1. Près d’un point ρ_{0} ∈ H_{L}. — Près d’un point hyperbolique pour l’onde longitudinale les résultats standard de régularité pour les solutions de l’équation des ondes montrent, puisque u_{k,L} tend vers 0 dans H_{ϱ_{0}}^{1},

∥u_{k,L} |_{∂M} ∥_{H_{ρ_{0}}^{1}} ≤ C∥u_{k,L}∥_{H_{ρ_{0}}^{1}} (5.1)

et

∥∂_{n}u_{k,L} |_{∂M} ∥_{L_{ρ_{0}}^{2}} ≤ C∥u_{k,L}∥_{H_{ρ_{0}}^{1}} . (5.2)

Les deux traces de u_{k,L} convergent donc fortement vers 0 dans H^{1} et L^{2} respectivement près de ρ_{0}. Près de ρ_{0}, u_{k,T} vérifie donc des conditions au bord de Dirichlet :

(5.3)  (∂_{t}^{2} − c_{T}^{2} Δ) u_{k,T} = 0,
(5.4)  u_{k,T} |_{∂M} = −u_{k,L} |_{∂M}= o (1)_{H_{ϱ_{0}}^{1}} .

Le théorème de propagation de la mesure de la section 3 montre alors que μ_{T} est invariante par le flot de Melrose et Sjöstrand (ici la trivialisation du fibré Σ/ℝ_{+}^{∗} × ℂ^{3} est celle qui est donnée par la relation (3.16), pour J_{ξ} = Id, avec M (s, ρ) = Id). On note ξ_{±} les deux points (éventuellement confondus) de la variété caractéristique qui se projettent sur ρ et Π_{±} le projecteur orthogonal sur le plan orthogonal à ξ_{±}. On notera encore Π_{±} les transportés par le flot de ces projecteurs et Π_{+,−} le projecteur orthogonal sur l’espace orthogonal à l’espace engendré par ξ_{+} et ξ_{−}. D’après le théorème de propagation près de ρ_{0} et le lemme 4.5, près de ρ_{0}, on a

μ_{T} = Π_{+}μ_{T} Π_{+} = Π_{−}μ_{T} Π_{−} = Π_{+,−}μ_{T} Π_{+,−}. (5.5)

On remarquera que sauf dans le cas d’un rayon normal ou tangent au bord, cette information est non triviale puisqu’alors Π_{+,−} est le projecteur orthogonal sur la droite normale à la fois à la direction incidente et à la normale au bord en ρ_{0}.

5.2. Près d’un point ρ_{0} ∈ E_{L}. — Ce cas est non trivial uniquement dans le cas où c_{L} > c_{T}. En effet dans le cas contraire, Z_{T} ∩ E_{L} = ∅ et la mesure μ_{T} est nulle près de ρ_{0}. Pour l’étude on se place dans un système de coordonnées géodésiques près de ρ_{0}. On note χ : M → X le changement de variables correspondant. Soit v_{k,T} le champs de vecteurs sur X, v_{k,T} = T χ (u_{k,T}). On calcule le système de conditions au bord vérifié par les fonctions v_{k,T} (on en déduira simplement celui vérifié par ũ_{k,T}). Les fonctions φ_{k} associées à (u_{k}) par le lemme 4.1 vérifient P_{L}φ_{k} = 0 et le point ρ_{0} est elliptique pour l’opérateur P_{L}. Il existe donc, d’après la théorie elliptique, un opérateur pseudodifférentiel, E_{−1} (y, D_{y}), d’ordre −1 tel que près de ρ_{0},

φ_{k} |_{∂M}= E_{−1} (\frac{∂φ_{k}}{i∂x} |_{∂M}) (5.6)

et le symbole principal e_{−1} de E_{−1} vaut

e_{−1} (y, η) = \frac{−i}{\sqrt{∥η∥^{2} − τ^{2}ν_{L}^{2}}} . (5.7)

Les conditions aux limites vérifiées par les trois composantes du vecteur v_{k,T} sont

\begin{aligned}v_{k,T,x} |_{∂M} & = −∂_{x}φ |_{∂M}, \\ ( \begin{matrix}v_{k,T,y_{1}} \\ v_{k,T,y_{2}} \end{matrix} ) & = −α ( \begin{matrix}∂_{y_{1}}φ|_{∂M} \\ ∂_{y_{2}}φ|_{∂M} \end{matrix} ) . \end{aligned} (5.8)

La condition div u_{k,T} = 0 s’écrit div_{g}v_{k,T} = 0, soit

∂_{x}v_{k,T,x} + ∂_{y_{1}}v_{k,T,y_{1}} + ∂_{y_{2}}v_{k,T,y_{2}} = O (1)_{H_{ρ_{0}}^{1}} . (5.9)

D’après (5.7) (5.8) et (5.9), on obtient près de ρ_{0},

v_{k,T,x} |_{∂M}= Q_{−1} (\frac{∂v_{k,T,x}}{i∂x} |_{∂M}) + o (1)_{∂,H_{ρ_{0}}^{1}} , (5.10)

où Q_{−1} est un opérateur pseudodifférentiel d’ordre −1, elliptique de symbole principal

q_{−1} (y, η) = \frac{−i\sqrt{∥η∥^{2} − τ^{2}ν_{L}^{2}}}{∥η∥^{2}} . (5.11)

Reportant cette relation dans (5.8) et en utilisant (5.7) on obtient aussi

( \begin{matrix}v_{k,T,y_{1}} \\ v_{k,T,y_{2}} \end{matrix} ) = −α ( \begin{matrix}∂_{y_{1}} \\ ∂_{y_{2}} \end{matrix} ) E_{−1}Q_{−1} (∂_{x}v_{k,T,x} |_{∂M}) + o (1)_{∂,H_{ρ_{0}}^{1}} . (5.12)

Finalement le système de conditions aux limites que v_{k,T} vérifie est de la forme

v_{k,T} = B′_{−1} (\frac{∂v_{k,T,}}{i∂x} ) + o (1)_{∂,H_{ρ_{0}}^{1}} , (5.13)

où B′_{−1} est une matrice 3 × 3 d’opérateurs pseudodifférentiels d’ordre −1 de symbole principal

b′_{−1} (y, η) = (\begin{matrix}\frac{−i\sqrt{∥η∥^{2}−τ^{2}ν_{L}^{2}}}{∥η∥^{2}} & 0 & 0 \\ −\frac{α}{∥η∥^{2}} (\begin{matrix}η_{1} \\ η_{2} \end{matrix}) & {0 \atop 0} & {0 \atop 0} \end{matrix}) . (5.14)

Si on revient aux conditions aux limites vérifiées par ũ_{k,T} = (det g)^{1/4} u_{k,T}, on obtient

ũ_{k,T} = B_{−1} (\frac{∂ũ_{k,T}}{i∂x} ) + o (1)_{∂,H_{ρ_{0}}^{1}} , (5.15)

où B_{−1} = T χ^{−1}B′_{−1}T χ. Nous nous trouvons donc exactement dans le cadre d’application du théorème de propagation de la mesure de la section 3. Il ne reste donc qu’à identifier les objets géométriques qui interviennent dans la définition du flot : les endomorphismes J_{ξ} et M (s). A priori le théorème de propagation décrit la propagation de la mesure μ̌_{T} (dont on déduit la propagation de la mesure μ_{T} = ζμ̌_{T}). Evidement, l’endomorphisme J_{ξ} est le même pour les deux mesures. En ce qui concerne M (s), il est plus simple de calculer directement l’endomorphisme associé à la mesure μ_{T}.

5.2.1. L’opérateur J_{ξ}. — Calculons l’opérateur J_{ξ} dans la base (∂_{x}, ∂_{y_{1}}, ∂_{y_{2}}), c’est à dire la matrice J′_{ξ} :

J′_{ξ} = T χJ_{ξ}T χ^{−1}. (5.16)

On a J′_{ξ} = (Id − ξb′_{−1})^{−1} (Id + ξb′_{−1}), soit

J′_{ξ} = (\begin{matrix}\frac{∥η∥^{2}−ξδ}{∥η∥^{2}+ξδ} & 0 & 0 \\ \frac{−2ξ}{∥η∥^{2}+ξδ} α (\begin{matrix}η_{1} \\ η_{2} \end{matrix}) & {1 \atop 0} & {0 \atop 1} \end{matrix}) , (5.17)

avec δ = i\sqrt{∥η∥^{2} − τ^{2}ν_{L}^{2}}. Compte tenu de ce que la mesure μ_{T} est polarisée perpendiculairement à la direction de propagation (ξ, η), on s’intéresse juste à son action sur le plan (ξ, η)^{⊥}. Une base de ce plan est donnée par les vecteurs

e_{1} (ξ) = (0, Y) , e_{2} (ξ) = (∥η∥^{2}, −α(η)ξ) , (5.18)

où Y est un vecteur de l’espace tangent T Y, tel que ⟨Y, η⟩ = 0. On a donc

(5.19)  J′_{ξ} (e_{1} (−ξ)) = e_{1} (ξ) ,
(5.20)  J′_{ξ} (e_{2} (−ξ)) = \frac{∥η∥^{2} − ξδ}{∥η∥^{2} + ξδ} e_{2} (ξ) .

Puisque δ ∈ iℝ, l’endomorphisme −J_{ξ} qui traduit le reflexion hyperbolique est donc une isométrie de (−ξ, η)^{⊥} sur (ξ, η)^{⊥} (ce caractère isométrique traduit la conservation de l’énergie). Les relations (5.19), (5.20) nous permettent de retrouver la relation (5.30) de [LZ98] (calculée par des arguments d’optique géométrique).

5.2.2. L’endomorphisme M (s). — La description précédente de l’endomorphisme J_{ξ} caractérise la propagation de la mesure μ_{T} le long du rayon issu du point ρ_{0} ∈ E_{L}, sauf si ce rayon est un rayon glissant près de ρ_{0} (γ (s) ∈ G^{2,−} pour ±s ∈]0, ε]). Pour terminer la description du cas ρ_{0} ∈ E_{L}, il nous suffit donc de décrire l’endomorphisme M (s), le long d’un rayon glissant. Puisque l’opérateur de Laplace est autoadjoint, la mesure μ_{T} vérifie pour tout q ∈ C_{paire}^{∞,1} (p^{−1} (0) ; End ℂ^{3})

⟨μ_{T} , \frac{\{p, q\}}{λ^{2}}⟩ = 0, (5.21)

avec

λ^{2} = ζ(τ^{2} + |η|^{2}), λ^{2} |_{G} = ν_{T}^{2} τ^{2} + ∥η^{2}∥. (5.22)

L’endomorphisme m de la relation (2.98) est donc nul. L’endomorphisme n de la relation (3.9) vaut donc

(5.23)  n = i{p, J_{ξ}^{−1/2}}J_{ξ}^{1/2},

or J_{ξ} |_{G}= Id, donc

(5.24)  n |_{G} = −\frac{i}{2}\{p, J_{ξ}\} = i\frac{∂p}{∂x}b_{−1} |_{G} .

D’après (5.23), l’endomorphisme l de la relation (3.11) vaut donc dans la base ∂_{x}, ∂_{y_{1}}, ∂_{y_{2}}, et en se restreignant à τ > 0

\begin{aligned}l & = \frac{1}{2} \frac{τ}{λ^{2}} \{\frac{p}{τ} , \frac{λ^{2}}{τ} \} − i\frac{n}{τ} = −i\frac{n}{τ}, \\ & = \frac{2κ (y, η)}{τ} (\begin{matrix}−δ & 0 & 0 \\ −α (\begin{matrix}η_{1} \\ η_{2} \end{matrix}) & {0 \atop 0} & {0 \atop 0} \end{matrix}) . \end{aligned} (5.25)

Calculons l’action de l’opérateur l sur le trièdre de Fresnel (t, n, b) le long d’une bicaractéristique γ. Comme γ est un rayon glissant, sa projection spatiale est une géodésique du bord pour la métrique induite, t est le vecteur tangent à la projection spatiale de γ, n est la normale intérieure au bord et b = t ∧ n. Notre choix de paramétrage donne le long de la bicaractéristique

\frac{d}{ds}y = −2\frac{α ( \begin{matrix}η_{1} \\ η_{2} \end{matrix} )}{τ}. (5.26)

et en notant κ = κ (y, η),

\{ \begin{matrix}n & = (1_{x}, 0_{y}) , \\ t & = (0, \frac{α (η)}{∥η∥}) , \\ l (t) & = 0, \\ l (b) & = 0, \\ l (n) & = \frac{−2κ}{τ}(δn + α (η)) \end{matrix} . (5.27)

Or sur G, ν_{T}^{2} τ^{2} = ∥η∥^{2}, donc

l (n) = −\frac{2κ}{τ}δn + 2κν_{T} t. (5.28)

La géodésique du bord est paramétrée à vitesse 2ν_{T}. En effet

∥\frac{d}{ds}y∥ = ∥2α (η) ∥/τ = 2ν_{T} . (5.29)

Les dérivées du trièdre de Fresnel valent donc :

\frac{d}{ds} (\begin{matrix}t \\ n \\ b \end{matrix}) = 2ν_{T} (\begin{matrix}0 & −κ & 0 \\ κ & 0 & −ζ \\ 0 & ζ & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}t \\ n \\ b \end{matrix}) , (5.30)

où |κ| est la courbure et ζ la torsion de la géodésique vue comme une courbe de ℝ^{3}. On remarquera qu’avec nos conventions, κ < 0 sur G^{2,−}.

Soient (α (s) , β (s) , γ (s)) les solutions du système où M est défini par la relation (3.12)

(αt + βn + γb) = M (s) (α_{0}t_{0} + β_{0}n_{0} + γ_{0}b_{0}) , (5.31)

qui vérifient donc

(5.32) α̇t + β̇n + γ̇b − 2ν_{T} α (κn) + 2ν_{T} β (κt − ζb) + 2ν_{T} γ (ζn)

= β (−\frac{2κ}{τ}δn + 2κν_{T} t) ,

soit

\{ \begin{matrix}α̇ & = 2ν_{T} κβ − 2κν_{T} β = 0, \\ β̇ & = 2ν_{T} κα − 2ν_{T} ζγ − \frac{2κ}{τ}δβ, \\ γ̇ & = 2ν_{T} ζβ. \end{matrix} (5.33)

On ne s’intéresse qu’à des ondes polarisées perpendiculairement à la direction de propagation, on vérifie donc que si α_{0} = 0 alors α (s) = 0, ce qui correspond à la première équation. L’opérateur M (s) restreint au plan engendré par n et b est donc décrit par le système :

\begin{aligned}β̇ & = −2ν_{T} ζγ − \frac{2κ}{τ}δβ, \\ γ̇ & = 2ν_{T} ζβ, \end{aligned} (5.34)

dont on vérifie qu’il est bien une isométrie de ce plan (ceci correspond à la conservation de l’énergie), puisque la matrice ( \begin{matrix}−2κδ/τ & −2ν_{T} ζ \\ 2ν_{T} ζ & 0 \end{matrix} ) est anti-adjointe (car δ est imaginaire pur).

5.3. Près d’un point ρ_{0} ∈ G_{L}. — On se place dans un système de coordonnées géodésiques près du point x_{0}. On notera χ le changement de variables correspondant et J_{ξ} = T χ^{−1}J′_{ξ}T χ l’opérateur défini près de ϱ_{0} dans S^{∗}Y par (5.17) où

δ = \begin{cases}i\sqrt{∥η∥^{2} − τ^{2}ν_{L}^{2}} & si ϱ ∈ E_{L} \\ \sqrt{τ^{2}ν_{L}^{2} − ∥η∥^{2}} & si ϱ ∈ H_{L} ∪ G_{L} \end{cases} (5.35)

On notera C_{paire}^{∞,1} (p^{−1} (0) ; End ℂ^{3}) l’espace des fonctions q C^{∞} homogènes de degré 1, de p^{−1} (0) à valeurs dans ℂ^{3} à support près de (x_{0} = 0, ξ = ±ξ_{0}, y_{0}, η_{0}) et vérifiant la condition de symétrie

J_{ξ}^{∗}q (x = 0, ξ, y, η) J_{ξ} = q (x = 0, −ξ, y, η) . (5.36)

Proposition 5.1. — Soit q ∈ C_{paire}^{∞,1} (p^{−1} (0) ; End ℂ^{3}). Alors, on a

⟨μ_{T} , \frac{\{p, q\}}{λ^{2}}⟩ = 0, (5.37)

où λ est la fonction définie en (5.22).

Corollaire 5.2. — La mesure μ_{T} est, près de ϱ_{0} invariante par le flot associé à la reflexion hyperbolique décrite par J_{ξ}

Puisque la mesure μ_{T} est polarisée perpendiculairement à la direction de propagation, il suffit pour décrire complètement sa propagation de décrire l’action de J_{ξ} sur le plan perpendiculaire à (ξ, η), qui est la même que celle des relations (5.19) et (5.20), avec notre nouvelle définition de δ. On remarquera que cette description est, dans la région H_{L} compatible avec la description de la section 5.1 (celle correspondant aux conditions aux limites de Dirichlet), puisqu’alors on sait que la mesure μ_{T} est polarisée le long de e_{1} et que les deux descriptions coïncident alors. Preuve de la proposition 5.1. Si ϱ_{0} ∈ E_{T}, d’après le lemme 4.2, u_{k,T} |_{∂M} converge fortement vers 0 dans H^{1/2}, d’après les résultats standard de régularité elliptique, on en déduit que u_{k,T} converge fortement vers 0 dans H^{1} près de ϱ_{0}. Si ϱ_{0} ∈ H_{T}. Les traces ũ_{k,T} et ∂_{x}ũ_{k,T} sont donc bornées dans H_{ϱ_{0}}^{1} et L_{ϱ_{0}}^{2}

respectivement. On peut donc leur associer une mesure μ_{∂} = ( \begin{matrix}μ_{∂}^{1} & (μ_{∂}^{1/2})^{∗} \\ μ_{∂}^{1/2} & μ_{∂}^{0} \end{matrix} )

sur S^{∗}Y caractérisée par

∀Q ∈ A_{I}^{1}, lim_{k} ∫_{∂X} Qu_{T}^{k} · \overline{∂_{x}u_{T}^{k}} dy = ⟨μ_{∂}^{1/2}, \frac{σ(Q)}{|η|}|_{x=0}⟩,
∀Q ∈ A_{I}^{2}, lim_{k} ∫_{∂X} Qu_{T}^{k} · \overline{u_{T}^{k}} dy = ⟨μ_{∂}^{1}, \frac{σ(Q)}{|η|^{2}} |_{x=0}⟩,
∀Q ∈ A_{I}^{0}, lim_{k} ∫_{∂X} Q∂_{x}u_{T}^{k} · \overline{∂_{x}u_{T}^{k}} dy = ⟨μ_{∂}^{0}, σ(Q)|_{x=0}⟩.

(5.38)

Soit μ̃_{T} = μ_{T} /ζ la mesure associée dans notre système de coordonnées à la suite ũ_{k,T}. On a, avec λ_{0}^{2} = τ^{2} + |ξ, η|^{2},

⟨μ_{T} , \frac{\{p, q\}}{λ^{2}}⟩ = ⟨μ̃_{T} , \frac{\{p, q\}}{λ_{0}^{2}}⟩. (5.39)

Soit Q = Q_{0} (\frac{∂_{x}}{i} )+Q_{1} où Q_{i} sont des opérateurs pseudodifférentiels tangentiels d’ordre i à supports proches de ϱ_{0}. On a

(5.40) (i (P̃_{T}^{∗}Q − QP̃_{T} ) ũ_{T,k}, ũ_{T,k})_{L^{2}}
= ∫_{Y} −Q_{0}∂_{x}^{2}ũ_{T,k}\overline{ũ_{T,k}} − iQ_{1}∂_{x}ũ_{T,k}\overline{ũ_{T,k}}
+ iQ_{1}ũ_{T,k}\overline{∂_{x}ũ_{T,k}} + Q_{0}∂_{x}ũ_{T,k}\overline{∂_{x}ũ_{T,k}} + o (1) .

On en déduit que

⟨μ̃_{T} , \frac{\{p, q_{0}ξ + q_{1}\}}{λ_{0}^{2}}⟩ = ⟨( \begin{matrix}μ_{∂}^{1} & (μ_{∂}^{1/2})^{∗} \\ μ_{∂}^{1/2} & μ_{∂}^{0} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}q_{0}r_{T} & −iq_{1} \\ iq_{1} & q_{0} \end{matrix} )⟩. (5.41)

Pour q ∈ C^{∞,1} (p^{−1} (0) ; End ℂ^{3}), il existe deux opérateurs tangentiels Q_{i} tels que q = q_{0}ξ +q_{1}. En utilisant le théorème de division de Malgrange, on montre comme à la preuve du lemme 2.9 que la relation (5.41) reste vraie pour un tel symbole. Il suffit donc pour conclure de vérifier que si q est paire, alors le terme de droite dans (5.41) est nul. Puisque ũ_{k,T} vérifie sur E_{L} la condition aux limites (5.15), le lemme 2.10 montre que ce terme est nul sur E_{L}. La fonction u_{k,T} vérifie par ailleurs sur H_{L} la condition aux limites u_{k,T} |_{∂M}= o (1)_{H_{ϱ_{0}}^{1}} et v_{k,T} = T χu_{k,T} vérifie div_{g} v_{k,T} = 0, donc

∂_{x}v_{k,T,x} + ∂_{y_{1}}v_{k,T,y_{1}} + ∂_{y_{2}}v_{k,T,y_{2}} = o (1)_{L_{ϱ_{0}}^{2}} , (5.42)

ce qui implique ∂_{x}v_{k,T,x} |_{∂M}= o (1)_{L_{ϱ_{0}}^{2}} et en particulier v_{k,T} verifie aussi

sur H_{L} la condition aux limites (5.13), où on remplace i\sqrt{∥η∥^{2} − τ^{2}ν_{L}^{2}} par \sqrt{τ^{2}ν_{L}^{2} − ∥η∥^{2}} (et donc ũ_{k,T} vérifie la condition (5.15)). Le terme de droite dans (5.41) est donc aussi nul sur H_{L}. Il est donc égal à

⟨1_{G_{L}} ( \begin{matrix}μ_{∂}^{1} & (μ_{∂}^{1/2})^{∗} \\ μ_{∂}^{1/2} & μ_{∂}^{0} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}q_{0}r_{T} & −iq_{1} \\ iq_{1} & q_{0} \end{matrix} )⟩ . (5.43)

Soient q̃_{i} = (T χ^{−1})^{∗}q_{i}T χ^{−1} et μ̃_{∂} définie par ⟨μ̃_{∂}, q̃⟩ = ⟨μ_{∂}, q⟩. (5.44) Il nous faut donc montrer que si q̃ = q̃_{0}ξ + q̃_{1} et q̃ paire, c’est à dire J_{ξ}^{′∗}q̃(x = 0, ξ, y, η) J′_{ξ} = q̃(x = 0, −ξ, y, η) , (5.45) avec J′_{ξ} = T χJ_{ξ}T χ^{−1}, (5.46) alors

⟨1_{G_{L}} ( \begin{matrix}μ_{∂}^{1} & (μ_{∂}^{1/2})^{∗} \\ μ_{∂}^{1/2} & μ_{∂}^{0} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}q̃_{0}r_{T} & −iq̃_{1} \\ iq̃_{1} & q̃_{0} \end{matrix} )⟩ = 0. (5.47)

On a ṽ_{k,T} |_{∂M}= − (det g)^{1/4} ∇ (det g)^{−1/4} φ̃_{k} |_{∂M} où φ̃_{k} est une suite de solutions convergeant fortement vers 0 dans H_{ϱ_{0}}^{2} (car u_{k,L} tend vers 0 dans H_{ϱ_{0}}^{1}) de l’équation P̃_{L}φ̃_{k} = (∂_{x}^{2} + R̃_{L})φ̃ = 0 et ses traces φ̃_{k} |_{∂M} et ∂_{x}φ̃_{k} |_{∂M} sont bornées dans H_{ϱ_{0}}^{2} et H_{ϱ_{0}}^{1} respectivement. On a alors, si Q = −Q_{2}∂_{x} avec Q_{2} un opérateur tangentiel d’ordre 2, ∫_{X} (P_{L}^{∗}Q − QP_{L}) φ_{k}\overline{φ_{k}} = ∫_{∂X} ∂_{x}Q_{2}∂_{x}φ_{k}\overline{φ_{k}} + Q_{2}∂_{x}φ_{k}\overline{∂_{x}φ_{k}} (5.48)

Le terme de gauche dans (5.48) tend vers 0, celui de droite (modulo extraction d’une sous suite) vers 0 = ⟨ν^{2}, r_{L}q_{2}⟩ + ⟨ν^{1}, q_{2}⟩, (5.49) où ν_{2} et ν_{1} sont les mesures de défaut (voir P. Gérard [Gér91] et L. Tartar [Tar90]) dans H^{2} (∂M) et H^{1} (∂M) respectivement des suites (φ̃_{k} |_{∂M}) et (∂_{x}φ̃_{k} |_{∂M}). Localisant cette dernière équation sur G_{L}, on obtient ν^{1}1_{G_{L}} = 0. Comme ṽ_{k,T,x} |_{∂M}= −∂_{x}φ̃_{k} |_{∂M} +o (1)_{H^{1}}, on en déduit que les mesures μ_{∂}^{1}1_{G_{L}} et μ_{∂}^{1/2}1_{G_{L}} sont de la forme

μ_{∂}^{1}1_{G_{L}} = 1_{G_{L}} ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & μ_{∂,2,2}^{1} & μ_{∂,2,3}^{1} \\ 0 & μ_{∂,3,2}^{1} & μ_{∂,3,3}^{1} \end{matrix} ) , μ_{∂}^{1/2}1_{G_{L}} = 1_{G_{L}} ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & μ_{∂,2,2}^{1/2} & μ_{∂,2,3}^{1/2} \\ 0 & μ_{∂,3,2}^{1/2} & μ_{∂,3,3}^{1/2} \end{matrix} ) . (5.50)

Les relations div ṽ_{k,T} = ∂_{x}ṽ_{k,T,x} + ∂_{y_{1}} ṽ_{k,T,y_{1}} + ∂_{y_{2}} ṽ_{k,T,y_{2}} = O (1)_{H_{ϱ_{0}}^{1}} (5.51) et

ṽ_{k,T,y} |_{∂M}= −∇_{y}φ̃ + o (1)_{H_{ϱ_{0}}^{1}} (5.52)

montrent

ṽ_{k,T,y} |_{∂M}= C_{−1} (\frac{∂_{x}}{i} ṽ_{k,T,x}) + o (1)_{H_{ϱ_{0}}^{1}} , (5.53)

où le symbole principal de l’opérateur C_{−1} est −α(η)/∥η∥^{2}.

Si on note

b = (\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ −\frac{α}{∥η∥^{2}} (\begin{matrix}η_{1} \\ η_{2} \end{matrix}) & {0 \atop 0} & {0 \atop 0} \end{matrix}) (5.54)

on peut réécrire le terme de gauche dans (5.47) sous la forme

⟨1_{G_{L}}μ_{∂}^{0}, q̃_{0} + b^{∗}q̃_{0}r_{T} b + q̃_{1}b + b^{∗}q̃_{1}⟩ (5.55)

et le même calcul algébrique qu’à la démonstration du lemme 2.10 montre que si q̃ est pair, alors le terme de droite dans (5.55) est nul sur G_{L}; ce qui termine la démonstration de la proposition 5.1. □

Terminons cette partie avec la definition suivante :

Définition 5.3. — On appellera rayon de polarisation transversale sur Ω toute application

γ : s ∈ I ⊂ ℝ ↦ γ(s) ∈ SẐ × T ℝ^{3} |\overline{Ω} ⊗_{ℝ}ℂ (5.56)

où I est un intervalle de ℝ, SẐ est l’espace associé à M = ℝ_{t} × Ω, défini en (2.36)) et T ℝ^{3} |\overline{Ω} ⊗_{ℝ}ℂ est le complexifié de l’espace tangent à \overline{Ω} ; et telle que :

1. La projection, s ↦ π_{x,t}(γ(s)), sur la base de SẐ, ℝ_{t} × \overline{O} est un rayon bicaractéristique généralisé au sens de Melrose et Sjöstrand.

2. Si π_{x,t}(γ(s_{0})) ∈ ℝ_{t} × Ω alors la projection s ↦ π_{X}(γ(s)) sur le dernier facteur est constante au voisinage de s_{0} et orthogonale à la direction de propagation : ⟨π_{ξ}(γ(s)), π_{X}(γ(s))⟩ = 0.

3. Si π_{x,t,ξ,τ} (γ(s_{0})) ∈ H_{T} ∩ \overline{H_{L}} alors γ(s_{0} − 0) et γ(s_{0} + 0) existent et s ↦ π_{X}(γ(s)) est continue près de s_{0}.

4. Si π_{x,t,ξ,τ} (γ(s_{0})) ∈ E_{L}∩H_{T} alors γ(s_{0}−0) et γ(s_{0}+0) existent et vérifient

π_{X}(γ(s_{0} + 0)) = J_{π_{ξ(γ(s_{0}−0))}}(π_{X}(γ(s_{0} + 0))). (5.57)

5. Si π_{x,t,ξ,τ} (γ(s_{0})) ∈ E_{T} alors π_{X}(γ(s)) est de classe C^{1} près de s_{0} et vérifie en s_{0} l’équation différentielle (5.32) (sur les coordonnées du repère de Fresnel).

C’est à dire que la variation de la composante du fibré tangent d’un rayon de polarisation est décrite par les différents cas que nous venons d’étudier dans cette section.

6. Décroissance exponentielle de l’énergie pour les solutions du système de la thermoélasticité.

On considère Ω ⊂ ℝ^{d}, d = 2, 3 un ouvert régulier, relativement compact, (u_{0}, u_{1}, θ_{0}) ∈ H_{0}^{1} (Ω)^{d} × L^{2} (Ω)^{d+1}, (u, θ) la solution donnée par le théorème de Hille Yosida du système

(∂_{t}^{2} − μΔ − (λ + μ) ∇ div) u + α∇θ = 0,
∂_{t}θ − Δθ + β div ∂_{t}u = 0,
u |_{∂Ω}= 0, θ |_{∂Ω}= 0,
u |_{t=0}= u_{0} ∈ H_{0}^{1} (Ω)^{3} , ∂_{t}u |_{t=0}= u_{1} ∈ L^{2} (Ω)^{3} ,
θ |_{t=0}= θ_{0} ∈ L^{2} (Ω) ;

(6.1)

et son énergie naturelle :

E (u, θ) (t) = \frac{1}{2} ∫_{Ω} [|∂_{t}u|^{2} + μ|∇u|^{2} + (λ + μ) | div u|^{2} + \frac{α}{β}|θ|^{2}|] dx, (6.2)

qui vérifie

\frac{dE}{dt} = −\frac{α}{β} ∫_{Ω} |∇θ|^{2}|dx ≤ 0. (6.3)

Pour simplifier la présentation on se placera dans cette partie dans le cas le plus difficile à étudier (et pertinent du point de vue physique) où λ + μ > 0.

G.Lebeau et E.Zuazua ont démontré dans [LZ98], théorème 1.1 (voir aussi relations (3.6) et (3.7)), le résultat suivant

Théorème 2 (Lebeau-Zuazua). — La décroissance de l’énergie pour les solutions du système (6.1) est uniforme : il existe C, ε > 0 tels que pour tous (u_{0}, u_{1}, θ_{0}) ∈ H_{0}^{1} (Ω)^{d} × L^{2} (Ω)^{d+1},

E (u, θ) (t) ≤ Ce^{−εt}E (u, θ) (0) , (6.4)

si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

– i) Toute solution, φ ∈ H_{0}^{1} (Ω)^{d} du système

(6.5)  −Δφ = γ^{2}φ dans Ω,
(6.6)  div φ = 0

est nulle – ii) Il existe T > 0 et C > 0 tels que pour tous (u_{0}, u_{1}) ∈ H_{0}^{1} (Ω)^{d}×L^{2} (Ω)^{d},

la solution du système de Lamé (4.1) vérifie

∥u_{0}∥_{H^{1}(Ω)^{d}}^{2} + ∥u_{1}∥_{L^{2}(Ω)^{d}}^{2} ≤ C ∫_{0}^{T} ∫_{Ω} | div u|^{2}dxdt. (6.7)

Remarque 6.1. — En toute rigueur, le théorème 1.1 de [LZ98] correspond à prendre les normes L^{2} et H^{−1} dans le terme de gauche et la norme H^{−1} dans le terme de droite de (6.7). Néanmoins l’opérateur \sqrt{A_{D}} réalisant une isométrie de H^{1} sur L^{2} et de L^{2} sur H^{−1} et commutant à l’évolution, On voit facilement que l’équation (9) de [LZ98] est bien équivalente à (6.7).

Dans la cas où d = 2, ils en ont déduit une condition nécessaire et suffisante pour que (6.4) soit vérifiée. Nous allons généraliser cette étude au cas d = 3.

Théorème 3 (condition suffisante). — On suppose que Ω ⊂ ℝ^{3} n’a pas de contact d’ordre infini avec ses tangentes et que la condition i) précédente est vérifiée (c’est le cas génériquement dans la classe des ouverts C^{∞}) et

– iii) Il existe T > 0 tel que tout rayon bicaractéristique généralisé pour l’opérateur P_{T} = ν_{T}^{2} ∂_{t}^{2} − Δ rencontre l’ensemble

H_{L} \ {∥η∥ = 0} ∩ {t ∈]0, T [} (6.8)

(au moins) deux fois et en deux points où les directions critiques qui sont en ces points les normales à la direction de propagation et à la normale au bord n’appartiennent pas au même rayon de polarisation transversale (voir définition 5.3).

Alors (6.4) est vérifiée (l’énergie décroît exponentiellement).

Remarque 6.2. — Si la condition iii) est vérifiée, alors la condition i) ne peut être violée que par un nombre fini de fonctions φ et si on note F l’espace vectoriel engendré par les triplets de la forme u_{0} = c_{0}φ, u_{1} = c_{1}φ, θ_{0} = 0, on obtiendrait sous l’hypothèse iii) que la distance de (u (t) , ∂_{t}u (t) , θ (t)) à F décroît exponentiellement (voir [LZ98], Remark 2.2).

Théorème 4 (condition nécessaire). — Soit T > 0. On suppose qu’il existe un rayon bicaractéristique généralisé pour l’opérateur P_{T} = ν_{T}^{2} ∂_{t}^{2} − Δ qui ne rencontre l’ensemble

H_{L} \ {∥η∥ = 0} ∩ {t ∈ [0, T]} (6.9)

qu’en des points où les directions critiques appartiennent au même rayon de polarisation transversale. Alors il existe une suite de données initiales (u_{0}^{k}, u_{1}^{k}, θ_{0}^{k} = 0) telles que la solution de (6.1) vérifie

(6.10)  E (u_{0}^{k}, u_{1}^{k}, θ_{0}^{k}, t = 0) = 1,
(6.11)  lim_{k→+∞} E (u_{0}^{k}, u_{1}^{k}, θ_{0}^{k}, t = T ) = 1.

□Preuve du théorème 3. Un argument d’unicité-compacité désormais classique (voir [BLR92]) permet de montrer que les conditions i) et ii)) sont équivalentes aux conditions i) et ii’), avec

– ii’) Il existe T > 0 et C > 0 tels que pour tous (u_{0}, u_{1}) ∈ H_{0}^{1} (Ω)^{d}×L^{2} (Ω)^{d}, la solution du système de Lamé (4.1) vérifie

(6.12) ∥u_{0}∥_{H^{1}(Ω)^{d}}^{2} + ∥u_{1}∥_{L^{2}(Ω)^{d}}^{2}

≤ C [∫_{0}^{T} ∫_{Ω} | div u|^{2}dxdt + ∥u_{0}∥_{L^{2}(Ω)^{d}}^{2} + ∥u_{1}∥_{H^{−1}(Ω)^{d}}^{2}] .

Nous allons montrer que la condition iii) implique la condition ii’). En effet supposons la condition iii) vérifiée et raisonnons par l’absurde. Si la condition ii’) n’est pas vérifiée, alors on peut construire une suite (u^{k}) de solutions du système de Lamé (4.1) vérifiant

(6.13) ∥u_{0}^{k}∥_{H^{1}(Ω)^{d}}^{2} + ∥u_{1}^{k}∥_{L^{2}(Ω)^{d}}^{2}

> k [∫_{0}^{T} ∫_{Ω} | div u^{k}|^{2}dxdt + ∥u_{0}^{k}∥_{L^{2}(Ω)^{d}}^{2} + ∥u_{1}^{k}∥_{H^{−1}(Ω)^{d}}^{2}] .

Quitte à normaliser la suite (u^{k}) et à extraire une sous suite, on peut supposer que le terme de gauche est égal à 1, et que la suite converge faiblement vers une limite qui d’après (6.13) ne peut être que 0. On obtient ainsi une suite de solutions (u^{k}) du système de Lamé convergeant faiblement vers 0 et vérifiant div u^{k} → 0 dans L^{2} (]0, T [×Ω). On peut alors appliquer à cette suite les constructions de la section précédente et on obtient ainsi une mesure μ_{T} (définie sur SZ∩]0, T [_{t} et invariante sur cet ensemble par le flot que nous avons décrit. On sait aussi que cette mesure est polarisée perpendiculairement à la direction de propagation et que près de tout point de H_{L} \ {∥η∥ = 0}, elle est polarisée le long de la direction critique. Comme par hypothèse, tout rayon rencontre ]0, T [ en au moins deux points qui ne sont pas connectés par la propagation, le théorème d’invariance de la mesure implique qu’en tout point de ]0, T [, la mesure est polarisée à la fois le long de 2 vecteurs linéairement indépendants (inclus dans le plan orthogonal à la direction de propagation), donc qu’elle est nulle. Comme

μ_{T} (SZ∩]0, T [) = T × lim_{k→+∞} ∥u_{0}^{k}∥_{H^{1}(Ω)^{d}}^{2} + ∥u_{1}^{k}∥_{L^{2}(Ω)^{d}}^{2} = 1 (6.14)

on obtient une contradiction. Preuve du théorème 4. Notons γ (s) un rayon bicaractéristique généralisé pour l’opérateur P_{T} = ν_{T}^{2} ∂_{t}^{2} − Δ qui ne rencontre l’ensemble

H_{L} \ {∥η∥ = 0} ∩ {t ∈ [0, T]} (6.15)

qu’en des points où les directions critiques, sont connectées par la propagation. On peut supposer que sur γ, on à τ = +c_{T}. On remarque d’abord que si γ n’a pas de point intérieur dans [0, T] (γ ⊂ S^{∗}∂M), alors il est inclus dans la région G_{T} ⊂ E_{L}, donc si γ_{n} est une suite de rayons réfléchis qui convergent vers γ (il en existe puisque Ω n’a pas avec ses tangentes de contact d’ordre infini, voir [MS78]), pour n assez grand, γ_{n} ne peut rencontrer S^{∗}∂M qu’en des points de la région E_{L}, donc vérifie encore la même hypothèse. On peut donc supposer que γ possède un point intérieur, x_{0}. On peut aussi supposer que ce point correspond sur γ au temps t = 0 et au paramètre s = 0. On note D = (D_{1}, D_{2}, D_{3}) la direction de polarisation obtenue pour s = 0 et que le flot envoie sur les directions critiques obtenues à chaque contact du rayon avec H_{L} \ {∥η∥ = 0} ∩ {t ∈ [0, T]}. Par changement de variables orthonormales, on se ramène au cas x_{0} = 0, ξ_{0} = (1, 0, 0) , τ_{0} = c_{T} , t_{0} = 0 et D = (0, 1, 0). On peut alors construire une suite de données initiales, (u_{0}^{k}, u_{1}^{k}) d’énergies égales à 1 et telles que les mesures μ_{T,L} associées vérifient pour |t| << 1

– a) μ_{L}=0

– b) Le support de μ_{T} est γ et de plus μ_{T} est polarisée le long de D En effet, pour |t| << 1, puisque le point x_{0} est un point intérieur, la vitesse finie de propagation du support permet de ne pas tenir compte du bord, si on prend les données initiales à support assez petits. Soit ψ ∈ C_{0}^{∞} (ℝ^{3}). On considère les fonctions

(6.16)  ψ_{k} (x) = C^{−1}k^{−5/4}e^{ikx_{1}}ψ (\sqrt{k}x); C = c_{T} (∫ |ψ|^{2})^{1/2}

et

(6.17)  u_{0}^{k} = rot ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ −ψ^{k} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−∂_{x_{2}}ψ^{k} \\ ∂_{x_{1}}ψ^{k} \\ 0 \end{matrix} );  u_{1}^{k} = ikc_{T} u_{0}^{k}

et on leur associe la suite (u^{k}) de solutions du système de Lamé de données initiales (u_{0}^{k}, u_{1}^{k}). L’ énergie de la suite (u^{k}) tend vers 1 et il est facile de voir que pour |t| << 1, d’une part la mesure μ_{L} est nulle et d’autre part la mesure μ_{T} est supportée par γ et polarisée le long de D = (0, 1, 0). Notons D (s) la direction obtenue par propagation le long de γ (s) de la direction D, P (t) la proposition :

\{ \begin{matrix}� & Au voisinage de [0, t] la mesure μ_{L} est nulle et μ_{T} est supportée \\ & par γ et polarisée le long de D (s). � \end{matrix}

(6.18) et T l’ensemble des t ∈ [0, T] tels que P (t) est vérifiée. Cet ensemble est non vide et ouvert dans [0, T]. Si nous montrons qu’il est aussi fermé, on aura montré que la suite u^{k} vérifie

(6.19) E (u^{k}) → 1, et div u^{k} → 0 dans L^{2} (Ω × [0, T]).

Cette suite contredira donc l’estimation (6.7). On pourrait également en utilisant le résultat de découplage pour le système de la thermoélasticité de G.Lebeau-E.Zuazua [LZ98], lemme 3.1, montrer que la suite de solutions du système de la thermoélasticité (6.1) associées à la suite de données initiales (u_{0}^{k}, u_{1}^{k}, θ_{0} = 0) vérifie

E (u^{k}, θ^{k}) (0) → 1, et E (u^{k}, θ^{k}) (T) → 1. (6.20)

Montrons que l’ensemble T est fermé dans [0, T]. Supposons que t_{n} ∈ T → t. Le seul cas à étudier est t_{n} < t, ∀n. Soit s_{0} le paramètre sur γ correspondant à t (s_{0}) = t. Nous allons étudier les différents cas selon la nature du point ϱ_{0} = γ (s_{0}). Il nous suffit de montrer que la mesure μ_{L} est nulle près de ϱ_{0}, et d’appliquer les résultats de la section précédente.

– i) ϱ_{0} est un point intérieur

– ii) ϱ_{0} est un point elliptique pour l’onde longitudinale

– iii) ϱ_{0} est un point hyperbolique pour l’onde longitudinale et ∥η∥ ≠ 0 – iv) ϱ_{0} est un point hyperbolique pour l’onde longitudinale et ∥η∥ = 0 – v) ϱ_{0} est un point diffractif ou glissant pour l’onde longitudinale

6.0.1. Les cas i) et ii). — Le théorème d’invariance de la mesure μ_{T} au voisinage de ϱ_{0} est encore vrai dans ces cas, puisque la démonstration n’utilise pas et prouve (car l’énergie est conservée) le fait que μ_{L} = 0. La propriété P (t_{0}) est donc vérifiée.

6.0.2. le cas iii). — On reprend les notations de la section précédente. Supposons seulement qu’une des demi-bicaractéristiques issues de ϱ_{0} (dont on exclue le point ϱ_{0}), par exemple celle correspondant à ξ > 0, n’est pas dans le support de la mesure μ_{L}. Par la théorie hyperbolique standard on sait alors qu’il existe un opérateur elliptique d’ordre 1, E_{−1}, tel que près de ρ_{0},

φ̃ |_{∂M}= E_{−1} (\frac{∂φ̃}{i∂x} |_{∂M}) + o (1)_{H_{∂,ρ_{0}}^{2}} (6.21)

et le symbole principal e_{−1} de E_{−1} vaut

e_{−1} (y, η) = \frac{1}{\sqrt{τ^{2}ν_{L}^{2} − ∥η∥^{2}}} . (6.22)

En reprenant l’étude réalisée à la section précédente près d’un point ϱ_{0} ∈ E_{L}, on obtient que le système de conditions aux limites que ṽ_{k,T} vérifie près de ϱ_{0} est de la forme

ṽ_{k,T} = B′_{−1} (\frac{∂ṽ_{k,T,}}{i∂x} ) + o (1)_{H_{∂,ρ_{0}}^{1}} , (6.23)

où B′_{−1} est une matrice 3 × 3 d’opérateurs pseudo-différentiels d’ordre −1 de symbole principal

b′_{−1} (y, η) = (\begin{matrix}\frac{−\sqrt{τ^{2}/ν_{L}^{2}−∥η∥^{2}}}{∥η∥^{2}} & 0 & 0 \\ −\frac{α}{∥η∥^{2}} (\begin{matrix}η_{1} \\ η_{2} \end{matrix}) & {0 \atop 0} & {0 \atop 0} \end{matrix}) . (6.24)

Nous nous trouvons donc exactement dans le cadre d’application du théorème de propagation de la mesure de la section 3. Il ne reste donc qu’à identifier les endomorphismes J_{ξ}. Décrivons l’opérateur J′_{ξ} = T χJ_{χ}T_{ξ}^{−1}. On a J′_{ξ} =

(Id − ξb′_{−1})^{−1} (Id + ξb′_{−1}), soit

J′_{ξ} = (\begin{matrix}\frac{∥η∥^{2}−ξδ}{∥η∥^{2}+ξδ} & 0 & 0 \\ \frac{−2ξ}{∥η∥^{2}+ξδ} α (\begin{matrix}η_{1} \\ η_{2} \end{matrix}) & {1 \atop 0} & {0 \atop 1} \end{matrix}) , (6.25)

avec δ = \sqrt{τ^{2}ν_{L}^{2} − ∥η∥^{2}}. Compte tenu de ce que la mesure μ_{T} est polarisée perpendiculairement à la direction de propagation (ξ, η), on ne s’intéresse encore qu’à son action sur le plan (ξ, η)^{⊥}. Une base de ce plan est donnée par les vecteurs

e_{1} (ξ) = (0, Y) , e_{2} (ξ) = (∥η∥^{2}, α(η)ξ) , (6.26)

où Y est un vecteur tangent au bord, de norme 1 et tel que ⟨Y, η⟩ = 0. On a alors

(6.27)  J′_{ξ} (e_{1} (−ξ)) = e_{1} (ξ) ,
(6.28)  J′_{ξ} (e_{2} (−ξ)) = \frac{∥η∥^{2} − ξδ}{∥η∥^{2} + ξδ} e_{2} (ξ) .

Puisque l’onde incidente μ_{T} est polarisée le long de D (s) et que D (s_{0}) = e_{1}, le calcul précédent montre que l’onde réfléchie est de même masse totale. la conservation de l’énergie pour les solutions du système de Lamé implique donc que μ_{L} est nulle au voisinage de ϱ_{0}. La propriété P (t_{0}) est donc vérifiée.

6.0.3. Le cas iv). — On ne fait pas dans ce cas d’hypothèse sur la polarisation de l’onde incidente. D’après l’étude précédente, on sait a priori que la mesure μ_{L} est supportée près de ϱ_{0} par la réunion des rayons qui rencontrent l’ensemble η = 0 (rayons normaux au bord). Donc la mesure H^{2} de φ̃ est supportée par ce même ensemble et celle de φ̃ |_{∂M} aussi, donc

(6.29)  ṽ_{k,T,1} |_{∂M} = −∂_{y_{1}} φ̃ + o (1)_{H_{ϱ_{0}}^{1}} = o (1)_{H_{ϱ_{0}}^{1}} ,
(6.30)  ṽ_{k,T,2} |_{∂M} = −∂_{y_{2}} φ̃ + o (1)_{H_{ϱ_{0}}^{1}} = o (1)_{H_{ϱ_{0}}^{1}} ,

puisque les symboles η_{1,2} s’annulent sur l’ensemble {η = 0}. On obtient donc d’après l’équation (5.9)

∂_{x}v_{k,T,x} |_{∂M}= o (1)_{L_{ϱ_{0}}^{2}} . (6.31)

Il y a donc réflexion totale pour la mesure μ_{T} et le même argument de conservation de l’énergie implique que μ_{L} = 0 près de ϱ_{0}. La propriété P (t_{0}) est donc aussi vérifiée.

6.0.4. Le cas v). — L’étude de ce cas est proche de celle réalisée pour l’étude de la transmission à travers une interface dans une géométrie similaire à la notre par L.Miller [Mil96].

On note μ la mesure associée à ∂_{t}φ̃ et

( \begin{matrix}μ_{∂}^{1} & μ_{∂}^{∗,1/2} \\ μ_{∂}^{1/2} & μ_{∂}^{0} \end{matrix} ) (6.32)

les mesures de ses traces sur le bord (qui sont bornées dans H^{1} et L^{2} respectivement puisque ϱ_{0} ∈ H_{T}). Soit Q = Q_{1} + Q_{0} \frac{∂_{x}}{i}, avec Q_{i} des opérateurs pseudodifférentiel tangentiels d’ordre i à support compact.

En calculant ([P̃_{L}, Q] ∂_{t}φ̃, ∂_{t}φ̃) et en intégrant par parties, on obtient

(6.33) ⟨μ, \frac{−2r_{L}∂_{x}q_{0} − 2ξ∂_{x}q_{1} + \{r_{L}, q_{0}ξ + q_{1}\}}{λ^{2}}⟩

= ⟨μ_{∂}^{1}, \frac{q_{0}r_{L}}{|η|^{2}} ⟩ + ⟨μ_{∂}^{0}, q_{0}⟩ + 2⟨Reμ_{∂}^{1/2}, \frac{q_{1}}{|η|}⟩.

On prend dans un premier temps q_{1} = 0 et

q_{0} (x, y, t, η, τ) = q_{0}^{0} (y, t, η, τ) θ (x/ε) ψ (r_{L}/ε^{2}) , (6.34)

avec θ et ψ deux fonctions C^{∞} à supports compacts égales à 1 au voisinage de 0. On obtient par convergence dominée

⟨μ, \frac{−∂_{x}r_{L}q_{0}}{λ^{2}} 1_{x=0}1_{G_{L}}⟩ = ⟨μ_{∂}^{0}, q_{0}^{0}1_{G_{L}}⟩. (6.35)

Soit ϱ_{1} un point du bord voisin mais différent de ϱ_{0}. Comme la mesure μ_{T} incidente est nulle au voisinage de ϱ_{1}, on obtient d’après la théorie hyperbolique standard, près de ϱ_{1}, une relation pseudodifférentielle sur les deux traces de ṽ_{k} de la forme

(ṽ_{k})_{∂M} = E_{−1} (∂_{x}(ṽ_{k})_{∂M}) + o(1)_{H_{ϱ_{1}}^{1}} , (6.36) où E_{−1} est un o.p.d. scalaire d’ordre −1 de symbole principal

e_{−1} (y, η) = \frac{1}{\sqrt{τ^{2}ν_{T}^{2} − ∥η∥^{2}}} . (6.37)

D’après (5.8) et (5.9), on obtient pour ∂_{t}φ̃ la condition aux limites

∂_{t}φ̃_{∂M} = B_{−1} (\frac{∂_{x}}{i} ∂_{t}φ̃_{∂M}) + o(1)_{H_{ϱ_{1}}^{1}} , (6.38)

où B_{−1} est un o.p.d. d’ordre −1 de symbole principal

b_{−1} (y, η) = \frac{\sqrt{τ^{2}/ν_{T}^{2} − ∥η∥^{2}}}{∥η|^{2}} . (6.39)

Nous pouvons donc appliquer le théorème de propagation pour la mesure μ qui est donc invariante près de ϱ_{1} par le flot associé à cette condition aux limites. Il en résulte que si s ↦ γ (s) est la bicaractéristique généralisée de −ξ^{2} + r_{L} vérifiant γ (0) = ϱ_{0} (avec s ↦ t (s) croissant), on a

\{ \begin{matrix}Le support de μ est contenu dans \{γ (s) ; s ≥ 0\} \\ et μ est invariante par le flot précédent sur \{γ (s) ; s > 0\} \end{matrix}

(6.40)

Comme près de ϱ_{0}, γ (s) ne rencontre pas H_{L}, le crochet de Poisson {−ξ^{2} + r_{L}, q_{1}\} (γ (s)) vaut τ \frac{d}{ds}q_{1} (γ (s)) (voir (3.29)). Il résulte alors de (6.33)

⟨μ, \frac{τ}{λ^{2}} \frac{d}{ds}q_{1} (γ (s))⟩ = 2⟨Reμ_{∂}^{1/2}, \frac{q_{1}}{|η|}⟩ (6.41)

Or les bicaractéristiques peuvent être paramétrées par une des variables tangentes (t, y, τ, η), donc (6.41) implique que \frac{dμ}{ds} est une mesure. En particulier μ ne charge pas ϱ_{0}. D’après (6.35), μ_{∂}^{0} ne charge donc pas non plus ϱ_{0}. L’inégalité de Cauchy Schwartz implique

|μ_{∂}^{1/2}| ≤ C\sqrt{|μ_{∂}^{0}||μ_{∂}^{1}|} (6.42)

La mesure μ_{∂}^{1/2} ne charge donc pas non plus ϱ_{0} ; donc (6.41) implique que \frac{dμ}{ds} est une mesure qui ne charge pas ϱ_{0}. D’après (6.40) et la formule des saut, la mesure μ est donc nulle ; ce qui implique u_{k,L} → 0 dans H_{ϱ_{0}}^{1}. On peut donc appliquer le résultat de la section précédente qui démontre que la propriété P (t_{0}) est vérifiée.

Appendice A

Les théories elliptique et hyperbolique � standard �

Dans cette annexe nous démontrons les résultats classiques près des points hyperboliques ou elliptiques. Nous démontrons ces résultats dans le cas elliptique par la technique des projecteurs de calderón et dans le cas hyperbolique par des estimations d’énergie.

A.1. La théorie elliptique. — Nous montrons dans cette partie deux résultats : d’une part qu’indépendament de toute condition aux limites les deux traces de la solution d’un problème elliptique d’ordre 2 sont liées par une relation pseudodifférentielle et que dans le cas d’un problème aux limites vérifiant les conditions de Lopatinski, ces deux traces sont essentiellement nulles dans la région elliptique. On limitera notre étude à celle d’un problème aux limites et nous supposerons connus les résultats dans le cas intérieur.

A.1.1. Sans condition aux limites. — On reprend les notations de la section 2 et on se place près d’un point ϱ_{0} = (x_{0} = 0, y_{0}, η_{0}) ∈ E, ce qui se traduit par la relation

−r(x, y, η) ≥ C∥η|^{2} (A.1)

près de ϱ_{0}. On considère une suite (u^{k}) bornée dans H^{1}(]0, 1[×Y) et telle que

P u^{k} = ((∂_{x}^{2} + R(x, y, D_{y})) Id + M_{0}∂_{x} + M_{1}) u^{k} = v^{k} → 0 dans L^{2}(]0, 1[×Y) (A.2)

Soient φ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{d+1}) à support proche de (x_{0}, y_{0}) et égale à 1 près de ce point et ψ ∈ C^{∞}(ℝ^{d}) homogène de degré 0 pour |η| ≥ 1 à support dans un petit voisinage conique de η_{0} et égale à 1 près de ce point. On note p(x, y, ξ, η = −ξ^{2} +r(x, y, η) et m(x, y, ξ, η) un symbole matriciel (polynomial en la variable ξ) tel que

P = Op(−ξ^{2} + r(x, y, η) + m(x, ξ, y, η)). (A.3)

On définit

E_{M} = ∑_{l=0}^{M} E^{l} (A.4)

une paramétrixe de l’opérateur P à l’ordre M par la procédure suivante :

E^{0} = Op (\frac{φ(x, y)ψ(η)}{−ξ^{2} + r(x, y, η)}) Id (A.5)

et les E^{l} = (E_{i,j}^{l})_{i,j=1}^{N} sont des matrices N ×N d’opérateurs pseudodifférentiels définis par récurence par les relations

E^{1} × p = − ∑_{|α|=1} \frac{1}{i^{|α|}} ∂_{ξ,η}^{α}E^{0} × ∂_{x}^{α}p − E^{0} × m, (A.6)

E^{n} × p = − ∑_{\begin{matrix}|α|+k=n, \\ k≠n, \end{matrix}} \frac{1}{i^{|α|}} ∂_{ξ,η}^{α}E^{k} × ∂_{x}^{α}p − ∑_{|α|+k=n−1} \frac{1}{i^{|α|}} ∂_{ξ,η}^{α}E^{k} × ∂_{x}^{α}m, (A.7)

où p = (−ξ^{2} + r) Id et × désigne la multiplication des matrices (si on a choisi les supports des fonctions φ et ψ assez petits, p est inversible sur le support des termes de droite de (A.6), (A.7)).

Le calcul symbolique des opérateurs pseudodifférentiels montre que

E_{M} ∘ P = φ(x)ψ(D_{y}) Id + R_{M}, (A.8)

où R_{M} est un opérateur pseudodifférentiel d’ordre −1 − M.

On note \underline{u^{k}} le prolongement par 0 dans \{x < 0\} de u^{k}. D’après la formule des sauts, on a

P \underline{u^{k}} = ∂_{x}u^{k} |_{x=0} ⊗δ_{x=0} − u |_{x=0} ⊗δ′_{x=0} + \underline{v^{k}}. (A.9)

Soit φ̃ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ^{1+d}), égale à 1 au voisinage du support de φ. Appliquant E_{M} ∘φ̃ à (A.9) (avec M ≥ 3), on obtient

(A.10) φ(x, y)ψ(D_{y})\underline{u^{k}}

= E_{M}(φ̃(x = 0, y)∂_{x}u^{k} |_{x=0} ⊗δ_{x=0} − φ̃(x = 0, y)u |_{x=0} ⊗δ′_{x=0}) + w^{k},

avec

w^{k} → 0 dans H^{2}(] − 1, 1[×Y),
∂_{x}w^{k} → 0 dans H^{2}(] − 1, 1[; H^{−1}(Y)).

(A.11)

Notons e_{M}(x, y, ξ, η) le symbole de l’operateur E_{M} qui est d’après (A.5), (A.6) et (A.7) méromorphe en la variable ξ avec des pôles aux points ξ^{±} = ±i\sqrt{−r(x, y, η)}. On a

(A.12) E_{M}(φ̃(x = 0, y)∂_{x}u^{k} |_{x=0} ⊗δ_{x=0})(x, y)

= (2π)^{−d−1} ∫ e^{i(x·ξ+(y−y′)·η)}e_{M}(x, y, ξ, η)φ̃(x = 0, y)∂_{x}u |_{x=0} (y′)dy′dηdξ.

Pour calculer cette expression pour x < 0, on déforme le contour d’intégration en ξ dans le demi plan {Imξ < 0} et on obtient par la formule des résidus (pour x < 0)

(A.13) E_{M}(∂_{x}u^{k} |_{x=0} ⊗δ_{x=0})(x, y)

= (2π)^{−d}e^{iξ^{−}(x,y,η)·x} ∫ e^{i(y−y′)·η}n_{M}(x, y, η)∂_{x}φ̃(x = 0, y)u |_{x=0} (y′)dy′dη,

où n_{M}(x, y, η) est le résidu de la fonction −ie_{M} au point ξ^{−}. En particulier n_{M} est un symbole de degré −2 de partie principale égale à

σ_{−2}(n_{M}) = \frac{−φ(x, y)ψ(η)}{2\sqrt{−r(x, y, η)}}. (A.14)

De la même façon on calcule pour x < 0

(A.15) E_{M}(−φ̃(x = 0, y)u^{k} |_{x=0} ⊗δ′_{x=0})(x, y)

= (2π)^{−d}e^{iξ^{−}(x,y,η)·x} ∫ e^{i(y−y′)·η}d_{M}(x, y, η)∂_{x}φ̃(x = 0, y)u |_{x=0} (y′)dy′dη,

où d_{M}(x, y, η) est un symbole de degré −1 de partie principale égale à

σ_{−2}(d_{M}) = \frac{−φ(x, y)ψ(η)}{2}. (A.16)

Puisque \underline{u^{k}} = 0 dans l’ensemble \{x < 0\}, on obtient d’après (A.10), (A.11) que la somme des termes apparaîssant dans (A.13) et (A.15) tend vers 0 dans H^{2}(] − 1, 0[×Y), ce qui implique en prenant la trace sur x = 0^{−} que

Op(n_{M}) |_{x=0} (∂_{x}u^{k} |_{x=0}) − Op(d_{M}) |_{x=0} (u^{k} |_{x=0}) → 0 dans H^{3/2}(Y); (A.17)

ce qui montre qu’indépendament de toute condition aux limites il existe une relation pseudodifférentielle entre les deux traces.

A.1.2. La condition aux limites. — On suppose que la suite (u^{k}) vérifie de plus une condition aux limites (avec A et B des opérateurs pseudodifférentiels de degré 0 et 1 respectivement)

A(u |_{x=0}) + B(∂_{x}u |_{x=0}) → 0 dans H^{1}(Y) (A.18)

On suppose que cette condition aux limites vérifie les conditions de Lopatinski uniformes, ce qui se traduit simplement par le fait que le système

(\begin{matrix}−σ_{−2}(d_{M}) & σ_{−1}(n_{M}) \\ σ_{0}(A) & σ_{1}(B) \end{matrix}) (A.19)

est indépendant.

On déduit alors de (A.17), (A.18)

u |_{x=0}→ 0 dans H_{ϱ_{0}}^{1},

∂_{x}u |_{x=0}→ 0 dans L_{ϱ_{0}}^{2}. (A.20)

A.2. La théorie hyperbolique. — Dans cette partie nous démontrons trois résultats dans le cas microlocalement hyperbolique pour une suite de solutions bornée dans l’espace d’énergie H^{1} : d’une part que les traces ont la régularité H^{1} et L^{2} respectivement, d’autre part que si on suppose que la solution est meilleure (à l’intérieur) sur une des deux demi-bicaractéristiques alors on a une relation pseudo-différentielle entre les deux traces ; et enfin que si elle est meilleure que H^{1} sur les deux demi-bicaractéristiques, alors les deux traces sont � nulles �.

On se place près d’un point ϱ_{0} hyperbolique, ce qui se traduit par

r(x, y, η) ≥ c|η|^{2} (A.21)

près de ϱ_{0}. On considère une suite u^{k} bornée dans H^{1}(]0, 1[×Y) et telle que

(A.22) P u^{k} = ((∂_{x}^{2} + R(x, y, D_{y})) Id + M_{0}∂_{x} + M_{1}) u^{k} = v^{k}

→ 0 dans L^{2}(]0, 1[×Y).

Les résultats de cette partie reposent sur le lemme de factorisation suivant (voir [Hör85, lemme 23.2.8]) :

Lemme A.1. — Soit ϱ_{0} ∈ H un point hyperbolique. Alors il existe Λ^{±} = Op(λ^{±}(x, y, η)) et R = Op(r(x, y, η)) des opérateurs pseudodifférentiels tangentiels d’ordre 1 et −∞ respectivement tels que près de ϱ_{0} on a

\begin{aligned}P & = ∂_{x}^{2} + R(x, y, D_{y}) + M_{0}(x, y, D_{y})∂_{x} + M_{1}(x, y, D_{y}) \\ & = −(D_{x} − Λ^{+}(x, y, D_{y})(D_{x} − Λ^{−}(x, y, D_{y}) + R(x, y, D_{y}). \end{aligned} (A.23)

De plus le symbole principal de Λ^{±} est près de ϱ_{0} égal à σ_{1}(Λ^{±}) = \sqrt{r}.

Preuve. La preuve de ce lemme est identique à celle de Hörmander dans le cas scalaire. Nous la rappelons : on procède par approximations successives. On choisit d’abord Λ_{1}^{+} un opérateur pseudodifférentiel de symbole principal égal près de ϱ_{0} à λ_{1}^{+}(x, y, η) = \sqrt{r}(x, y, η). On pose Λ_{1}^{−} = −Λ_{1} + iM_{0} et on obtient

(D_{x} − Λ_{1}^{+})(D_{x} − Λ_{1}^{−}) = D_{x}^{2} − (Λ_{1}^{+} + Λ_{1}^{−})D_{x} − Λ_{1}^{+}λ_{1}^{−} − \frac{1}{i}∂_{x}(Λ_{1}^{−}). (A.24)

Comme le symbole principal de −Λ_{1}^{+}Λ_{1}^{−} est le même que celui de R on obtient que

P + (D_{x} − Λ_{1}^{+})(D_{x} − Λ_{1}^{−}) = R_{1}, (A.25)

où R_{1} est un opérateur pseudo-différentiel tangentiel de degré 1.

Supposons maintenant qu’on a construit Λ_{i}^{±} et R_{i} des opérateurs pseudodifférentiels de degrés respectifs 1 et 2 − i tels que

P + (D_{x} − Λ_{i}^{+})(D_{x} − Λ_{i}^{−}) = R_{i}. (A.26)

On cherche alors Λ_{i+1} sous la forme Λ_{i+1}^{±} = Λ_{i}^{±} + S_{i+1}^{±} où les S_{i+1}^{±} sont des opérateurs pseudodifférentiels tangentiels de degré 2 − (i + 1). On obtient

\begin{aligned}P + (D_{x} − Λ_{i+1}^{+})(D_{x} − Λ_{i+1}^{−}) & = R_{i} + S_{i+1}^{+}(D_{x} − Λ_{i}^{−}) + (D_{x} − Λ_{i}^{+})S_{i+1}^{−} \\ & + S_{i+1}^{+}S_{i+1}^{−}, \\ & = R_{i} + (S_{i+1}^{+} + S_{i+1}^{−})D_{x} − S_{i+1}^{+}Λ_{i}^{−} − S_{i+1}^{−}Λ_{i}^{+} \\ & + [D_{x} − Λ_{i}^{+}, S_{i+1}^{−}] + S_{i+1}^{+}S_{i+1}^{−}. \end{aligned} (A.27)

Comme le symbole principal de Λ_{i}^{±} est d’après notre construction scalaire (et égal à ±\sqrt{r}), la contribution de la dernière ligne dans (A.27) est de degré 2 − (i + 1), Si on prend

S_{i+1}^{+} + S_{i+1}^{−} = 0, (A.28)

et S_{i+1}^{+} un opérateur pseudodifférentiel tangentiel de symbole principal égal à

σ_{2−(i+1)}(S_{i+1}^{+}) = \frac{σ_{i}(R_{i})}{−\sqrt{r}}, (A.29)

on voit facilement que le terme de droite dans (A.27) est un opérateur pseudodifférentiel tangentiel de degré 2 − (i + 1). Une procédure de sommation des symboles à la Borel permet alors de définir Λ_{+∞}^{±} (pour notre propos, on aurait pu en fait se limiter a définir une factorisation approchée, c’est à dire à définir les Λ_{i}^{±} pour i assez grand). □

Remarque A.2. — On peut de la même façon construire des opérateurs Λ̃^{±} de symboles principaux égaux à ±\sqrt{r} et R̃ tels que

\begin{aligned}P & = ∂_{x}^{2} + R(x, y, D_{y}) + M_{0}(x, y, D_{y})∂_{x} + M_{1}(x, y, D_{y}), \\ & = −(D_{x} − Λ̃^{−}(x, y, D_{y})(D_{x} − Λ̃^{+}(x, y, D_{y}) + R̃(x, y, D_{y}). \end{aligned} (A.30)

Soit q_{0}(y, η) un symbole de degré 0 égal à 1 dans un voisinage conique de ϱ_{0} et à support proche de ϱ_{0}. On note q^{±}(x, y, η) la solution de l’équation

(∂_{x} ∓ H_{\sqrt{r}(x,y,η)})q^{±} = 0, q^{±} |_{x=0}= q_{0}, (A.31)

où H\sqrt{r} est le champ hamiltonien associé à \sqrt{r} (ici la variable x est considérée comme un paramètre). Si le support de q_{0} est assez proche de ϱ_{0}, cette équation a bien un sens (au moins pour |x| assez petit). On remarquera aussi que q^{±} est alors invariante le long de la projection en (x, y, η), γ^{±}, de la courbe intégrale du champ hamiltonien du symbole p = ξ^{2} − r(x, y, η) issue du point ϱ = (x = 0, y, ξ = ±\sqrt{r}(0, y, η), η).

Soit φ ∈ C_{0}^{∞}(ℝ_{x}) égale à 1 au voisinage de 0. Le symbole φ(x)q(x, y, η) est alors à support compact en x, y et ce support peut être choisit arbitrairement proche de γ^{±} si le support de q_{0} est choisi proche de ϱ_{0}. On notera Q^{±} = Op(q^{±}) et

w_{+}^{k} = (Q^{+}(D_{x} − Λ^{−})u^{k}, w_{−}^{k} = (Q^{−}(D_{x} − Λ̃^{+})u^{k}, (A.32)

solutions de

(D_{x} − Λ^{+})w_{+}^{k} = [D_{x} − Λ^{+}, Q^{+}](D_{x} − Λ^{−})u^{k} + Q^{+}v^{k}, (A.33)

(D_{x} − Λ̃^{−})w_{−}^{k} = [D_{x} − Λ̃^{−}, Q^{−}](D_{x} − Λ̃^{+})u^{k} + Q^{−}v^{k}. (A.34)

Les termes de droite dans (A.33) et (A.34) sont bornés dans L^{2}. Les inégalités d’énergie usuelles (voir [Hör85, §23.1]) pour l’opérateur (D_{x} − Λ^{+}) montrent (puisque v^{k} ≡ 0 pour x >> 0) que

w_{+}^{k} ∈ C([0, 1]; L^{2}(Y)). (A.35)

On a le même résultat pour w_{−}^{k}, ce qui implique que (Q_{0}(D_{x} − Λ_{−})u^{k}) |_{x=0} et (Q(D_{x} − Λ̃_{−})u^{k}) |_{x=0} sont bornés dans L^{2}, dont on déduit que D_{x}u^{k} |_{x=0} et u^{k} |_{x=0} sont bornés dans L_{ϱ_{0}}^{2} et H_{ϱ_{0}}^{1} respectivement.

On revient à l’analyse de (A.33).

Puisque le symbole principal de [D_{x} − Λ^{+}, Q^{+}] est égal d’après (A.31) à

\frac{1}{i} (∂_{x}(q_{0}) − \{\sqrt{r}, q_{0}\}) + \frac{1}{i} (∂_{x}(φ) − \{\sqrt{r}, φ\}q_{0}) = −iφ′(x)q_{0}, (A.36)

la seule contribution qui ne converge pas fortement vers 0 dans L^{2} dans le membre de droite de (A.33) est celle de l’intersection du support de q_{0} (un petit voisinage de γ^{+}) avec le support de φ′). Si on fait l’hypothèse additionnelle que u^{k} converge fortement vers 0 microlocalement dans {x > 0} au voisinage la demi bicaractéristique issue du point ϱ = (x = 0, y_{0}, ξ_{0} = \sqrt{r}(0, y_{0}, η_{0}), η_{0}) (ou dit autrement que le support de la mesure de défaut associée à (u^{k}) ne rencontre pas, au voisinage de ϱ_{0}, pour x > 0, cette demi-bicaractéristique), le terme de droite de (A.33) converge fortement vers 0 dans L^{2} et on en déduit par les estimations d’énergie usuelles pour l’opérateur (D_{x} − Λ^{+})

Q_{0}(D_{x}u^{k} |_{x=0} −Λ^{−}u^{k} |_{x=0}) → 0 dans L^{2}(Y). (A.37)

La relation (A.37) nous donne donc une relation pseudodifférentielle entre les deux traces de u^{k}. Si on fait l’hypothèse symétrique que le support de la mesure de défaut associée à (u^{k}) ne rencontre pas, au voisinage de ϱ_{0}, pour x > 0, la demi-bicaractéristique issue de (x = 0, y_{0}, ξ_{0} = −\sqrt{r}, η_{0}), on obtient une relation pseudodifférentielle symétrique

Q_{0}(D_{x}u^{k} |_{x=0} −Λ̃^{+}u^{k} |_{x=0}) → 0 dans L^{2}(Y)
⇔ Q_{0}(D_{x}u^{k} |_{x=0} +Λ^{−}u^{k} |_{x=0}) → 0 dans L^{2}(Y).

(A.38)

Si les deux relations pseudo-différentielles précédentes sont vérifiées, on en déduit facilement que les deux traces de (u^{k}) convergent fortement vers 0 dans H_{ϱ_{0}}^{1} et L_{ϱ_{0}}^{2} respectivement.

Références

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