Table des matières.

0 Introduction, énoncé du résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.1 Hypothèses 0.2 Enoncé du théorème

1 Réduction du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1 Définition des opérateurs d’évolution 1.2 Le théorème 1.2 implique le théorème 0.1

1.2.1 Estimation elliptique, relèvement et propagation 1.2.2 Décomposition de Littlewood Paley 1.2.3 Conclusion

1.3 Le théorème 1.1 implique le théorème 1.2 1.3.1 Commutations 1.3.2 Propagation 1.3.3 Conclusion

2 Construction des troncatures micro-locales . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1 Définitions, propriétés géométriques 2.2 Construction de la troncature r 2.3 Quelques propriétés des troncatures

3 Quelques résultats sur les phases et les transformations de billard 41 3.1 Construction des phases réfléchies 3.2 Comportement exponentiel du billard

3.2.1 Le billard en variables d’espace 3.2.2 Le billard en variables de directions

3.3 Quelques estimations C^{∞} 3.4 Comportement asymptotique des phases 3.5 Comportement asymptotique des courbures gaussiennes

4 Construction asymptotique le long d’une trajectoire captive … 79 4.1 Construction dans l’espace libre 4.2 Rebond d’une solution

5 Décroissance des solutions le long d’une trajectoire captive …. 97 5.1 Régularité des transformations géométriques 5.2 Décroissance asymptotique des solutions

6 Démonstration du théorème 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 A Calcul h-pseudodifférentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

B Front d’onde semi-classique et propagation . . . . . . . . . . . . . 119

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Introduction, énoncé du résultat.

Le problème du contrôle pour l’équation des plaques sur un ouvert borné de R^{n}, Ω, a été étudié par J.L. Lions [Li]. En utilisant sa méthode H.U.M. et des techniques de multiplicateurs, J.L.Lions démontre des résultats de contrôlabilité exacte en temps fini (dépendant de la géométrie de l’ouvert), si le contrôle porte sur une partie Γ_{0} du bord Γ de l’ouvert Ω définie de la manière suivante:

Soit x_{0} ∈ R^{n}, pour tout point x ∈ Γ on note n(x) la normale sortante au bord en x. On définit Γ_{0} par

Γ_{0} = {x ∈ Γ; n(x) · (x − x_{0}) > 0}.

Ces résultats ont été améliorés par E.Zuazua [Z] qui a démontré qu’on pouvait prendre un temps de contrôle arbitrairement petit (ce phénomène est dû au caractère non hyperbolique de l’équation des plaques).

A la suite des travaux de C.Bardos, G.Lebeau et J. Rauch [BLR] sur le contrôle de l’équation des ondes, G. Lebeau [Le] a appliqué les techniques d’analyse micro-locale à l’équation des plaques et obtenu des résultats de contrôlabilité exacte en temps arbitrairement petit avec des hypothèses sur Γ_{0} plus naturelles que celles de J.L. Lions. Plus précisément, on dira que Γ_{0} contrôle géométriquement Ω en temps T_{0} si tout rayon partant d’un point x_{0} ∈ Ω dans toute direction ξ ∈ R^{n}, parcouru à vitesse 1, se réfléchissant sur le bord de Ω selon les lois de l’optique géométrique, atteint Γ_{0} en temps inférieur à T_{0} (pour une définition rigoureuse nous renvoyons à [BLR]). Le résultat de G.Lebeau dit alors que si Γ_{0} contrôle géométriquement Ω en temps fini, on peut contrôler l’équation des plaques en temps arbitrairement petit avec un contrôle portant agissant sur Γ_{0}.

Il faut cependant noter que contrairement au cas de l’équation des ondes où le critère de contrôlabilité géométrique fournit des conditions nécessaires et suffisantes pour la contrôlabilité exacte, on n’a, pour l’équation des plaques, qu’une condition suffisante. En effet, les résultats de A.Haraux [H] sur le contrôle semi-interne de l’équation des plaques dans un rectangle de R^{2} où on autorise le contrôle à agir dans une bande parallèle à un des cotés , montrent que l’hypothèse de contrôlabilité géométrique n’est pas nécessaire. Ces derniers résultats ont ensuite été étendus par S.Jaffard [J] au cas du contrôle interne d’un rectangle c’est à dire au cas où on autorise le contrôle à agir seulement sur un ouvert quelconque du rectangle. Cependant ces résultats dont la démonstration fait appel à des techniques d’analyse harmoniques ne semblent pas généralisables à des situations géométriques plus complexes.

Nous allons nous intéresser au contrôle de l’équation des plaques dans un cadre géométrique où la partie du bord sur laquelle nous contrôlons ne contrôle plus géométriquement l’ouvert. Nous nous placerons donc dans la situation géométrique suivante:

Hypothèses

Soit Ω̂ un ouvert de R^{3}, connexe, borné , à frontière analytique . Soient θ_{1}, ⋯, θ_{N}, N fermés strictement convexes de Ω̂, à frontière C^{∞} tels que l’enveloppe convexe conv(∪_{i} θ_{i}), de l’union des θ_{i} soit inclue dans Ω̂, et

vérifiant de plus les hypothèses suivantes introduites par M. Ikawa [I3]:

H_{1}) ∀1 ≤ j_{1}, j_{2}, j_{3} ≤ N, j_{i} ≠ j_{k} ⇒ conv(θ_{j_{1}} ∪ θ_{j_{2}}) ∩ θ_{j_{3}} = ∅.

H_{2}) ∃α > 0 ; ∑_{γ primitif} λ_{γ}d_{γ}e^{αdγ} < ∞,

où λ_{γ} = \sqrt{β_{γ}β′_{γ}} ; β_{γ} et β′_{γ} sont les deux valeurs propres de module plus petit que 1 (strictement car les obstacles θ_{i} sont supposés strictement convexes) de l’application de Poincaré (billard) associée à la trajectoire captive γ; la sommation n’ayant lieu que sur les trajectoires primitives (voir définition au §6) et pour toute trajectoire captive γ,

\begin{aligned}γ & = ∪_{i=0}^{n}[x_{i}, x_{i+1}], x_{n+1} = x_{0}, \\ d_{γ} & = ∑_{i=0}^{n} ∥x_{i} − x_{i+1}∥. \end{aligned}

Remarque 1 : l’hypothèse H1 est essentiellement technique.

Remarque 2 : l’hypothèse H2 est une hypothèse sur la structure fortement hyperbolique de l’application de billard et est par exemple vérifiée si les θ_{j} sont des boules de rayons r, éloignées les unes des autres d’une distance d > rN.

Soit Ω = Ω̂\ ⋃_{i} θ_{i}.

Ce cadre géométrique a été étudié par C.Gérard [G] (dans le cas de deux obstacles) et M.Ikawa [I1,2,3], pour le calcul de la localisation des pôles de la matrice de diffusion pour l’équation des ondes à l’extérieur des obstacles. Le résultat que nous obtenons semblerait indiquer l’existence d’un lien qui reste à définir précisément, entre cette localisation et la contrôlabilité exacte.

Enoncé du théorème

Sous ces hypothèses, nous allons démontrer le théorème de contrôlabilité exacte suivant :

Théorème 0.1.— Pour tout temps T_{0} > 0, pour tout réel ε > 0, pour toutes conditions initiales (u_{0}, u_{1}) ∈ H^{1+ε}(Ω)∩H_{0}^{1}(Ω)×H^{−1+ε}(Ω), il existe un contrôle g ∈ L^{2}(]0, T_{0}[×∂Ω̂) tel que la solution du problème d’évolution :

(0.1)  \begin{aligned}(∂_{t}^{2} + Δ^{2})u & = 0 dans R_{t} × Ω, \\ u|_{∂Ω} & = 0, \\ Δu|_{∂Ω} & = g × 1_{]0,T_{0}[×∂_{Ω}}, \\ u|_{t=0} & = u_{0}, \\ ∂_{t}u|_{t=0} & = u_{1}, \end{aligned}

vérifie u ≡ 0 pour tout t ≥ T_{0}.

Remarque 3 : ce résultat est légèrement plus faible que celui de G. Lebeau [Le], la perte sur la régularité des données initiales étant due au fait que ∂Ω̂ ne contrôle plus géométriquement Ω en temps T_{0} fini.

Remarque 4 : les hypothèses H_{1} et H_{2} sont évidemment vérifiées si on n’a que deux obstacles.

Remarque 5 : la dimension n = 3 ne jouant aucun rôle particulier, nos résultats semblent généralisables au cas n quelconque.

Le plan de l’article est le suivant : dans le §1 nous réduisons le problème à un problème de décroissance exponentielle de l’énergie, pour la démonstration duquel nous adapterons une stratégie inspirée de celle de M.Ikawa [I3] consistant à construire une paramétrixe de la solution de l’équation de Schrödinger. Le §2 est consacré à la construction des troncatures micro-locales dont nous aurons besoin par la suite. Dans le §3 nous donnons des résultats sur le comportement des rayons captifs. Ces résultats sont pour la plupart dus à M.Ikawa [I1], [I2], [I3]. Dans le §4 nous construisons la paramétrixe dont nous avons parlé plus haut. Dans le §5 nous estimons la décroissance de notre paramétrixe. Le §6 termine enfin la démonstration de notre théorème. Dans l’appendice A nous rappelons quelques résultats sur le calcul h-pseudo-différentiel et dans l’appendice B nous étudions la propagation des singularités h^{s} dans l’esprit de Lebeau [L].

Ce travail a constitué une thèse de l’Université de Paris Sud (Orsay). Je remercie chaleureusement G.Lebeau qui a dirigé cette thèse pour ses nombreuses indications et pour la constante disponibilité dont il a fait preuve.

1. Réduction du problème.

Nous allons réduire la démonstration du théorème 0.1 à la construction d’une paramétrixe de l’équation de Schrödinger avec conditions au bord de Dirichlet, vérifiant certaines propriétés de décroissance (analogues à la décroissance exponentielle démontrée par M. Ikawa pour les solutions de

l’équation des ondes dans R^{3}\ ⋃_{i=1}^{N} θ_{i}).

On commence par introduire quelques notations. Soit (e_{ν}, λ_{ν})_{ν∈N} la base orthonormée de L^{2}(Ω) formée de vecteurs propres pour le Laplacien −Δ_{Dirichlet} associés aux valeurs propres λ_{ν}.

Soient ρ > 1, α < ρ^{−1}. On note

F_{k,ρ,α} = \{ν ; ρ^{k}α ≤ \sqrt{λ_{ν}} < ρ^{k}α^{−1}\}

et

E_{k,ρ,α} = {u ∈ L^{2}(Ω) ; u = ∑_{ν∈F_{k,ρ,α}} u_{ν}e_{ν}}.

1.1 Définition des opérateurs d’évolution.

Notre point de départ est la constatation suivante :

Soit u solution de

(1.1)  \begin{aligned}(ih∂t − h^{2}Δ)u & = 0, \\ u|_{∂Ω} & = 0, \\ u|_{t=0} & = u_{0}. \end{aligned}

Nous poserons pour tout k ∈ N, h_{k} = ρ^{−k} et nous noterons (1.1)_{h=h_{k}} le système (1.1) où on a fixé le coefficient h = h_{k}.

Soit T_{0} > 0 et soit ψ(t) ∈ C_{0}^{∞}(R) telle que ψ|_{t≤T_{0}/3} ≡ 0, ψ|_{t≥2T_{0}/3} ≡ 1, ψ(t) ∈ [0, 1] et ψ′(t) positive pour tout t.

Alors la fonction v = ψ(t)u(x, t) vérifie

(1.2)  \begin{aligned}(ih∂_{t} − h^{2}Δ)v & = ihψ′(t)u, \\ v|_{t≤0} & = 0, \\ v|_{∂Ω} & = 0. \end{aligned}

Soit A(h) : H_{0}^{1}(Ω) → H_{0}^{1}(Ω) un opérateur dépendant de h comme paramètre, uniformément borné en h pour la norme L^{2} .

L’isométrie (pour la norme L^{2}) I(h): u_{0} → u|_{t=T_{0}} peut alors se décomposer en somme de deux termes I_{1}(h) et I_{2}(h),

avec I_{1}(h) défini par

(1.3)  \begin{aligned}I_{1}(h) :  H_{0}^{1}(Ω) & → H_{0}^{1}(Ω) \\ u_{0} & → v|_{t=T_{0}} \end{aligned}

avec v défini par

(1.4)  \begin{aligned}(ih∂_{t} − h^{2}Δ)v & = ihψ′(t)A(h)(u), \\ v|_{t≤0} & = 0, \\ v|_{∂Ω} & = 0. \end{aligned}

et I_{2} défini de la même façon en remplaçant A par Id − A.

On a alors

I_{1}u_{0}(x) = ∫_{0}^{T_{0}} ψ′(s)e^{−ih(T_{0}−s)Δ_{D}} (A(h)[u(s)]) ds ,

donc comme ψ′ est positive

∥I_{1}(h)∥_{L^{2}(Ω)} ≤ ∥A(h)∥_{L^{2}(Ω)}.

Nous allons montrer que le théorème suivant implique le théorème 0.1 :

Théorème 1.1.— Il existe des réels ρ > 1, α′ < α < ρ^{−1} et T_{1} > 0 et une fonction r ∈ C^{∞}(T^{∗}R^{3}), 0 ≤ r ≤ 1, tangentielle près du bord de Ω (au sens de l’appendice A), nulle au voisinage du bord extérieur de Ω (∂Ω̂), tels que si x ∈ \overline{Ω}, r(x, ξ) ≠ 1 et |ξ| ∈ [α, α^{−1}], le rayon généralisé issu de (x, ξ) parcouru à la vitesse |ξ| rencontre ∂Ω̂ en temps t ∈ [−T_{1}, T_{1}] et tels qu’il existe une fonction q ∈ C_{0}^{∞}(T^{∗}Ω), 0 ≤ q ≤ 1, vérifiant:

\begin{matrix}q(x, ξ) ≡ 0 & ∀ |ξ| ∉ [α′, α^{′−1}], \\ q(x, ξ) ≡ 1 & si x ∈ X et |ξ| ∈ [α, α^{−1}], \end{matrix}

avec X ouvert et X ⊂⊂ T^{∗}Ω, X vérifiant de plus : il existe T_{0} > 0 et M ∈ N^{∗} tels que tout rayon généralisé issu de (x, ξ), x ∈ Ω, |ξ| ∈ [α, α^{−1}] parcouru à la vitesse |ξ| restera dans X pendant un intervalle de temps de la forme [nT_{0}, (n + 1)T_{0}] ; 0 ≤ n ≤ M − 1 ou rencontrera le bord extérieur ∂Ω̂ de l’ouvert Ω et restera dans le complémentaire du support de r pendant un intervalle de temps de la forme [nT_{0}, (n + 1)T_{0}] ; 0 ≤ n ≤ M − 1. L’opérateur I_{1} associé à Op(r) par la relation (1.3) vérifiant de plus:

(1.5)

∃ ε > 0; ∃A ∈ N^{∗}, ∃σ > 0, ∃ C > 0; ∀ s ∈ [−ε ; ε],
∃k_{0} > 0, ∀k ≥ k_{0}, ∀ u_{k} ∈ E_{k,ρ,α},
∥ (I_{1|h=h_{k}})^{Ak} I_{s}Op(q)_{h=h_{k}}u_{k}∥_{L^{2}} ≤ Ch_{k}^{σ}∥u_{k}∥_{L^{2}},

où on note I_{s} l’opérateur u_{0} → u |_{t=s}= I_{s}u_{0}, où u est la solution de (1.1)_{h=h_{k}} associée à la donnée initiale u_{0} et Op(q) et Op(r) les opérateurs h-pseudo-différentiels associés aux symboles r et q comme à l’appendice A.

Remarque: l’opérateur Op(r) est un opérateur de troncature qui permet d’éliminer à chaque étape la partie micro-locale de l’énergie de la solution de l’équation de Schrödinger contrôlée par le bord extérieur de l’ouvert. L’opérateur Op(q) est essentiellement technique; il permet de localiser la fonction u en fréquence dans une zone |ξ| ∈ [α, α^{−1}] et de se ramener à une donnée initiale à support compact dans Ω. Nous avons dû utiliser des troncatures régulières du type de (1.4) plutôt que tronquer brutalement à l’instant t = T_{0} ce qui correspondrait à remplacer ψ′(t) par δ_{t=T_{0}}, afin de pouvoir appliquer par la suite des résultats de propagation des singularités.

Pour réduire la démonstration du théorème 0.1 à celle du théorème 1.1, nous allons procéder en deux étapes.

la première étape consistera a montrer que le théorème suivant implique le théorème 0.1

Théorème 1.2.— Il existe des réels ρ > 1, α′ < α < ρ^{−1} et T_{1} > 0 et une fonction r vérifiant les hypothèses du théorème 1.1, tels qu’il existe α′′, α < α′′ < ρ^{−1} et un entier k_{0} tels que pour tous ν > 0 il existe C > 0 tel que pour tout k ≥ k_{0} et toute fonction u_{0,k} ∈ E_{k,ρ,α′′}, on a, si u_{k} est la solution de (1.1)_{h=h_{k}} associée à la donnée initiale u_{0,k},

(1.6) ∥u_{k}∥_{L^{2}}^{2} ≤ \frac{Ck^{2}}{ρ^{k}} ∑_{n=0}^{[νρ^{k}T_{0}]} ∫_{Ω} ∫_{0}^{T_{0}} |Op(1−r)_{h=h_{k}}(u_{k}(x, nT_{0} +s))|^{2}dxds .

La deuxième étape consistera à montrer que le théorème 1.1 implique le théorème 1.2.

1.2 le théorème 1.2 implique le théorème 0.1.

Supposons donc le théorème 1.2 démontré. Les réels α, α′, α′′ et ρ sont donc fixés. Comme pour tout point (x, ξ) tel que x ∈ Ω, |ξ| ∈ [α, α^{−1}] et r(x, ξ) ≠ 1, le rayon généralisé issu de (x, ξ), parcouru à la vitesse |ξ|, rencontre le bord extérieur de l’ouvert ∂Ω̂ en un point non diffractif, en un temps t ∈ [−T_{1}, T_{1}] si r(x, ξ) ≠ 1, d’après les résultats de G.Lebeau [L], §3, on sait que si ϕ ∈ C_{0}^{∞}(R) ; supp ϕ ⊂ [−\frac{T_{1}}{2} , \frac{T_{1}}{2} ], on a alors:

Proposition 1.3.— Pour toute suite U_{0} = (u_{0,k})_{k∈N} ∈ B_{ρ,α′′} , on notera U = (u_{k})_{k∈N} la suite des solutions u_{k} de (1.1)_{h=h_{k}} associées aux données initiales u_{0,k}. On a alors pour tout U ∈ B_{ρ,α′′} et tout k ∈ N, (1.7)

∫ ϕ(t)^{2} ∫_{Ω} |Op(1 − r)(u_{k})|^{2}dxdt ≤ Ch_{k}^{2} ∫_{−2T_{1}}^{2T_{1}} ∫_{∂_{Ω}} |∂_{n}u_{k}|^{2}dxdt + O(U, h_{k}).

Preuve:(pour la définition de l’espace B_{ρ,α} : cf. appendice B).

Avant de démontrer ce lemme remarquons d’abord que le O ne dépend pas en fait de U: par l’absurde, si le O dépendait de U on aurait: pour tout n ∈ N, il existe U_{n} ∈ B et k_{n} ∈ N tels que

∫_{Ω} |Op (1 − r)(u_{k_{n}})|^{2} ≥ Ch_{k}^{2} ∫_{−2T_{1}}^{2T_{1}} ∫_{∂_{Ω}} |∂_{n}u_{k_{n}}|^{2}dxdt + nh_{k_{n}},

alors nécessairement (k_{n}) n’est pas bornée car d’après l’inégalité de Gårding (voir appendice B),

∫_{Ω} |Op (1 − r)(u_{k})|^{2}dx ≤ (1 + Ch_{k})∥u∥^{2}

et ∥u_{k}∥ ≤ 1 car u ∈ B.

On peut donc, quitte à extraire une sous-suite, supposer k_{n} strictement croissante.

La suite

U = (u_{k}) ; u_{k} = u_{k_{n}} si k = k_{n},
= O sinon ,

fournit alors une contradiction.

1.2.1 Estimation elliptique, relèvement et propagation.

Nous rappelons maintenant comment déduire la proposition 1.3 des résultats de G.Lebeau [L]

Lemme 1.4.— Il existe D > 0 tel que pour tout opérateur hpseudodifférentiel Q (tangentiel près du bord), à support dans |ξ| ≥ D, (|ξ′| ≥ D près du bord), pour tout U = (u_{k})_{k∈N} ∈ E_{ρ,α}, on a

(1.8)  ∫_{0}^{T} ∫_{Ω} |Q u_{k}|^{2}dxdt = O(U, h_{k}) .

Lemme (1.4)’.— Soit χ ∈ C_{0}^{∞}(R^{+}), χ ≡ 1 sur [α′, α^{′−1}], alors pour tout U ∈ B_{ρ,α},

∥(1 − χ)(h_{k}D_{t})ψ(t)(1 − Q)u_{k}∥_{L^{2}(Rt×Ω)} = O(U, h_{k}) .

Ces deux lemmes sont démontrés dans [L], ce sont les relations (8) et (11) du paragraphe 3.

On se ramène donc dans un domaine compact de l’espace des phases.

On note

|||u|||^{2} = ∫_{−2T_{1}}^{2T_{1}} h_{k}^{2} ∫_{∂_{Ω}} |∂_{n} u(t, x)|^{2}dtdx.

Lemme 1.5.— Pour tous α < ρ^{−1} et tout U ∈ B_{ρ,α}, W F_{b}(U) ⊂ Σ_{b} = π{τ ∈ [α, α^{−1}], |ξ|^{2} = τ}, où π est la projection de

T^{∗}R^{3} sur T^{∗}∂Ω + T^{∗}Ω = T̃^{∗}Ω.

(c’est le Lemme 1, §3 de [L] et son corollaire) (pour la définition de W F_{b} U, cf. appendice B).

Lemme 1.6.— Soit ρ_{0} = (y_{0}, η_{0}) = (t_{0}, x_{0}, τ_{0}, ξ_{0}) ∈ Σ_{b} ∩ {t = 0} tel que r(x_{0}, ξ_{0}) ≠ 1, alors il existe un opérateur h-pseudodifférentiel A, elliptique en ρ_{0} (tangentiel si x_{0} ∈ ∂Ω), une fonction φ_{0} ∈ C_{0}^{∞} telle que φ_{0} ≡ 1 près de x_{0} et une constante C > 0 tels que

(1.9) ∀ ρ > 1, α < ρ^{−1}, U ∈ B_{ρ,α}, ∥Aφ_{0}u_{k}∥_{L^{2}} ≤ C|||u_{k}||| + O(U, h_{k}).

Preuve : Comme le point ρ_{0} est contrôlé géométriquement par le bord extérieur de l’ouvert en temps t ∈ [−T_{1}, T_{1}], c’est le lemme 3 de [L], §3.

On en déduit par un argument de compacité la proposition 1.3. Les relations (1.6) et (1.7) entraînent alors le théorème suivant:

Théorème 1.7.— Pour tout ν > 0 il existe un entier k_{0} et des réels ρ > 1, α′′ < ρ^{−1}, C > 0 et T_{1} > 0 tels que pour tous k ≥ k_{0} et tout u_{k} ∈ E_{k,ρ,α′′}, on ait

(1.10)  ∥u_{k}∥_{L^{2}}^{2} ≤ C \frac{k^{2}}{ρ^{3k}} ∫_{0}^{[νρ^{k}T_{1}]} ∫_{∂_{Ω}} |∂_{n}u_{k}|^{2}dxdt .

1.2.2 Décomposition de Littlewood Paley.

On revient maintenant aux solutions de l’équation de Schrödinger :

(1.11)  \begin{aligned}(i∂_{t} − Δ) & u = 0, \\ u |_{∂Ω} & = 0, \\ u |_{t=0} & = u_{0} ∈ H_{0}^{1}(Ω) . \end{aligned}

Nous allons démontrer le résultat suivant :

Théorème 1.8.— Pour tout γ > 0 et tout ε > 0

|||u||| = ∫_{−γ}^{2γ} ∫_{∂_{Ω}} |∂_{n}u|^{2}dtdx

est une norme sur H_{0}^{1}(Ω), le complété de H_{0}^{1}(Ω) pour cette norme W est inclus dans H_{0}^{1−ε} et il existe une constante C > 0 telle que sur W on a

|||u||| ≥ C∥u∥_{H^{1−ε}}.

Preuve : On suit [L], §4. Si on identifie maintenant les distributions u_{0} ∈ H_{0}^{1} avec les solutions de (1.11) et si on pose v(x, t) = u(x, h_{k}t), on sait que:

il existe ρ > 1 et α′′ < ρ tels que pour tout ν > 0, il existe k_{0} tel que pour tout k ≥ k_{0} et tout u_{0} ∈ E_{k,ρ,α′′} on a

∥v∥_{L^{2}}^{2} ≤ C \frac{k^{2}}{ρ^{3k}} ∫_{−νρ^{k}T_{1}}^{νρ^{k}T_{1}} ∫_{∂_{Ω}} |∂_{n}v|^{2}dxdt,

donc

∥u_{0}∥_{L^{2}}^{2} ≤ C \frac{k^{2}}{ρ^{2k}} ∫_{−νT_{1}}^{νT_{1}} ∫_{∂_{Ω}} |∂_{n}u|^{2}dxdt.

Or sur E_{k,ρ,α′′}, les normes ρ^{k}∥u∥_{L^{2}} et ∥u∥_{H_{0}^{1}} sont équivalentes. On a donc :

(1.12)  ∥u∥_{H_{0}^{1}}^{2} ≤ Ck^{2} ∫_{−νT_{1}}^{νT_{1}} ∫_{∂_{Ω}} |∂_{n}u|^{2}dxdt .

Compte tenu de l’invariance par rapport au temps de ∥u∥_{H_{0}^{1}}, on a :

∃T_{1} > 0, ∃k_{0} > 0 ∀ν > 0, ∃C > 0, ∀k ≥ k_{0} ∀u ∈ E_{k,ρ,α′′},

(1.13)  ∥u∥_{H_{0}^{1}}^{2} ≤ Ck^{2} ∫_{0}^{2νT_{1}} ∫_{∂_{Ω}} |∂_{n}u|^{2}dxdt .

On note γ = 3νT_{0} et I_{ℓ} = {t; γℓ ≤ t < γ · (ℓ + 1)}. Soit φ ∈ C_{0}^{∞}(R) telle que φ ≡ 1 sur [−γ/3, γ/3], support (φ) ⊂ [−γ, γ], 0 ≤ φ ≤ 1 et si

φ_{ℓ}(t) = φ(t − γℓ) , ∑_{ℓ∈Z} φ_{ℓ} = 1.

Pour a ∈ L_{loc}^{2}(R × ∂Ω) = H, on pose

a_{ℓ} = φ_{ℓ}(t) · a

et

∥a∥_{H} = sup_{ℓ} ∥1_{I_{ℓ}}(t) · a∥_{L^{2}(I_{ℓ}×∂Ω)}.

Soit F = C_{0}^{∞}(R_{+}^{∗}) et F_{p}(τ) = F (ρ^{−2p}τ).

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