Densité de points et minoration de hauteur

Nicolas Ratazzi

Université Paris 6, Projet théorie des nombres, UMR 7586, case 247, 4 place Jussieu, Institut de mathématiques, 75252 Paris, FRANCE

Abstract

We obtain a lower bound for the normalised height of a non-torsion subvariety V of a C.M. abelian variety. This lower bound is optimal in terms of the geometric degree of V, up to a power of a “log”. We thus extend the results of F. Amoroso and S. David on the same problem on a multiplicative group 𝔾_{m}^{n}. We prove furthermore that the optimal lower bound (conjectured by S. David and P. Philippon) is a corollary of the conjecture of S. David and M. Hindry on the abelian Lehmer’s problem. We deduce these results from a density theorem on the non-torsion points of V.

Key words: abelian varieties, normalised height, Lehmer problem 1991 MSC: 11G50, 11J86, 14G40, 14K12, 14K22

1 Introduction

On sait depuis les travaux de Philippon [13] [14] [15], puis Bost, Gillet, Soulé [7] dans le cadre de l’intersection arithmétique, comment définir la hauteur des variétés projectives ; l’idée étant de considérer un point comme une variété de dimension zéro et de généraliser ceci en dimension supérieure. De même que dans le cas des points, on sait pour les variétés abéliennes munies d’un fibré en droites ample et symétrique définir une hauteur particulierement agréable : la hauteur canonique ĥ_{L}, ou hauteur normalisée. En dimension zéro, il existe un théorème caractérisant les points de hauteur normalisée nulle ; c’est un résultat de Kronecker dans le cas de 𝔾_{m}. Philippon [15] (dans le cas d’un produit de courbes elliptiques) puis Zhang [20] et David-Philippon [9] dans le cas général ont montré comment généraliser ce résultat pour caractériser les sous-variétés de hauteur normalisée nulle : ce sont les translatées d’un sousgroupe algébrique par un point de torsion. On dit qu’une telle sous-variété

Email address: ratazzi@math.jussieu.fr (Nicolas Ratazzi).

est une sous-variété de torsion. La réponse à cette question répond à une conjecture de Bogomolov. Ceci étant, on peut se demander comment minorer la hauteur normalisée d’une sous-variété de hauteur non-nulle d’une variété abélienne. Dans leur article [9], David et Philippon ont formulé un problème général (le problème 1.7) contenant cette question. On peut notamment faire ressortir de la discussion suivant la formulation de leur problème l’énoncé suivant :

Conjecture 1 (David-Philippon) Soit A une variété abélienne définie sur un corps de nombres k, munie d’un fibré ample et symétrique L. Soit V une sous-variété stricte de A sur k, k-irréductible et qui n’est pas réunion de sousvariétés de torsion, alors, on a l’inégalité

\frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L}(V)} ≥ c(A, L) deg_{L}(V)^{− \frac{1}{s−dimV}} ,

où s est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique contenant V, et où c(A, L) est une constante ne dépendant que de A et de L.

Dans ce qui suit, on reprend le résultat principal (ainsi que le schéma de démonstration) de Amoroso-David [2] concernant le groupe multiplicatif 𝔾_{m}^{n}, pour obtenir un résultat analogue dans le cadre des variétés abéliennes. En utilisant les résultats de David-Hindry [8] concernant le problème de Lehmer abélien, on obtient en corollaire un résultat en direction de la conjecture 1. Ce dernier ne concerne que les variétés abéliennes de type C.M., par contre il est essentiellement optimal (à un facteur log près) en le degré de V.

Remerciements Je tiens à remercier M. Hindry pour sa patiente relecture, et je le remercie également, ainsi que S. David, pour m’avoir encouragé à écrire cet article. Par ailleurs je souhaite aussi remercier chaleureusement É. Gaudron et G. Rémond pour m’avoir indiqué une erreur dans la preuve du lemme 3 dans une version préliminaire de cet article.

1.1 Degré et hauteur

Soit k un corps de nombres. On dira que V est une variété algébrique sur k si V est un k-schéma de type fini géométriquement réduit. On dira que G est un groupe algébrique sur k si c’est une variété en groupes sur k. On dira que A est une variété abélienne définie sur k si c’est un groupe algébrique connexe propre et lisse sur k. Par sous-variété on entendra toujours sous-variété fermée.

Soient O_{k} l’anneau des entiers de k, n un entier, et X une variété projective munie d’un plongement φ_{L} : X ↪ ℙ_{k}^{n} défini par un fibré L très ample sur X. Si O(1) dénote le fibré standard sur ℙ_{O_{k}}^{n}, on a φ_{L}^{∗}O(1)_{k} ≃ L. On note \overline{O(1)} le fibré standard muni de la métrique de Fubini-Study. Si V est une sous-variété de X, on note V_{L} l’adhérence schématique de φ_{L}(V) dans ℙ_{O_{k}}^{n}.

Définition 1 On définit le degré de la variété V relativement à L, et on note deg_{L} V l’entier deg_{k} (c_{1}(O(1)_{k})^{dimV} · φ_{L}(V)) où deg_{k} est le degré projectif usuel sur ℙ_{k}^{n}.

Définition 2 On appelle hauteur de la variété V associée à L, et on note h_{L}(V) la hauteur de V_{L}, au sens de Bost-Gillet-Soulé [7] p. 945 définition 3.1.1., associée au fibré hermitien \overline{O(1)}. Notons que l’on ne normalise pas cette hauteur par le degré deg_{L}(V).

Remarque 1 Par le théorème 3 p. 366 de [18], h_{L}(V) coincide avec la hauteur h(f_{V,L}) de Philippon, telle que définie au paragraphe 2. de [15], où f_{V,L} est une forme éliminante de l’idéal de définition de φ_{L}(V) dans k[X_{0}, …, X_{n}]. (Le terme d’erreur de [18] disparait du fait du changement de normalisation pour la hauteur de Philippon entre les articles [13] et [15]).

Définition 3 Dans le cas où X = A est une variété abélienne, et où L est en plus symétrique, Philippon [15] (dans le cas où L définit un plongement projectivement normal) puis Zhang [20], avec des méthodes arakeloviennes, ont montré en utilisant un procédé de limite à la Néron-Tate, comment définir une hauteur canonique, notée ĥ_{L}(.), sur l’ensemble des sous-variétés de A. Cette hauteur vérifie notamment : si X est une sous-variété de A, de stabilisateur G_{X}, et si n est un entier, alors,

ĥ_{L} ([n](X)) = \frac{n^{2(dimX+1)}}{| ker [n] ∩ G_{X} |}ĥ_{L}(X).

Définition 4 Soit A/k une variété abélienne. On dit que V est une sousvariété de torsion de A si V = a + B avec a ∈ A_{tors} et B une sous-variété abélienne de A. On dit que c’est une sous-variété de torsion stricte de A si c’est une sous-variété de torsion a+B avec B une sous-variété abélienne stricte de A.

D’après les résultats de Philippon [15], David-Philippon [9] et Zhang [20], on a, si V est une sous-variété de A/k définie sur une extension finie K/k,

ĥ_{L}(V) = 0 si et seulement si V est une sous-variété de torsion.

Définition 5 Soient V une sous-variété de A sur k, et θ un nombre réel positif. On pose V (θ, L) = \{x ∈ V (\overline{k}) / ĥ_{L}(x) ≤ θ\} . On définit alors le minimum essentiel de V, et on note μ_{L}^{ess}(V) le réel

μ_{L}^{ess}(V) = inf \{θ > 0 / \overline{V (θ, L)} = V \} ,

où \overline{V (θ, L)} est la fermeture de Zariski de V (θ, L) dans A.

1.2 Résultats

Soient k un corps de nombres, A/k une variété abélienne de dimension g, et L un fibré en droites très ample sur A. On démontre le théorème suivant :

Théorème 1 Soient K/k une extension finie, et V une sous-variété algébrique de A sur K, K-irréductible et contenue dans aucune réunion de sousvariétés de torsion strictes de A. Alors, pour tout réel ε > 0, l’ensemble des points x ∈ V (\overline{K}) d’ordre infini pour toute sous-variété abélienne stricte de A, et dont la hauteur de Néron-Tate relativement à L vérifie

ĥ_{L}(x) ≤ \frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L} V} + ε

est Zariski dense dans V.

On peut donner deux corollaires à ce théorème. Pour cela, on a besoin d’une définition.

Définition 6 Soient A une variété abélienne définie sur un corps de nombres k, L un fibré en droites ample symétrique, et x ∈ A(\overline{k}). Suivant [8] définition 1.2., on appelle indice d’obstruction de x, et on note δ_{L}(x) la quantité

δ_{L}(x) = min \{deg_{L} X^{\frac{1}{codim X}} / x ∈ X\} ,

où le minimum est pris sur l’ensemble des sous-variétés strictes, X, de A sur k, k-irréductibles.

On peut voir le point x ∈ A(\overline{k}) comme une sous-variété de A, définie sur k, k-irréductible, de dimension 0 et de degré [k(x) : k]. Avec cette interprétation, la définition précédente admet la généralisation suivante : si V est une sousvariété stricte de A sur k, k-irréductible, on appelle indice d’obstruction de V, et on note δ_{L}(V) la quantité

δ_{L}(V) = min \{deg_{L} X^{\frac{1}{codim X}} / V ⊂ X\} ,

où le minimum est pris sur l’ensemble des sous-variétés strictes, X, de A sur k, k-irréductibles.

Remarque 2 On a par définition, 1 ≤ δ_{L}(V) ≤ deg_{L}(V)^{\frac{1}{codim V}} . Dans le cas où V est de dimension 0, on retrouve ainsi le lemme 1.3. de [8].

En utilisant le résultat de [8] concernant le problème de Lehmer pour les variétés abéliennes de type C.M., on peut alors montrer le résultat suivant :

Corollaire 1 Supposons de plus que A est de type C.M. Soit V une sousvariété algébrique stricte de A sur k, k-irréductible et contenue dans aucune réunion de sous-variétés de torsion strictes de A. Alors, l’ensemble

\{x ∈ V (\overline{k}) / ĥ_{L}(x) ≤ \frac{c(A, L)}{δ_{L}(V)} (\frac{log log(3δ_{L}(V))}{log(3δ_{L}(V))})^{κ(g)} \} ,

n’est pas Zariski dense dans V. Ici c(A, L) est une constante ne dépendant que de A et de L, et κ(g) est une constante effectivement calculable ne dépendant que de g (par exemple κ(g) = (2g(g + 1)!)^{g+2} convient).

Remarque 3 Ce corollaire est une conséquence formelle du théorème 1 et du théorème principal de [8]. En particulier, toute amélioration dans la direction de la conjecture de Lehmer abélienne, améliore d’autant le corollaire. Le meilleur résultat possible correspondrait au cas où A/k est une variété abélienne quelconque, et où l’on peut prendre κ(g) = 0, i.e., à la conjecture de Lehmer abélienne telle que énoncée dans [8].

Dans ce qui suit, si A est une variété abélienne, on suppose donné avec A une isogénie avec un produit de variétés abéliennes simples ∏ A_{i}^{n_{i}}. On suppose de plus que la variété produit est munie du fibré associé au plongement

A = ∏_{i=1}^{n} A_{i}^{r_{i}} ↪ ∏_{i=1}^{n} ℙ_{n_{i}}^{r_{i}} ↪^{Segre} ℙ^{N},

les A_{i} étant plongées dans ℙ_{n_{i}} par des fibrés L_{i} amples et symétriques. Si L est un fibré en droites symétrique ample sur A, on notera par c(A, L) une constante ne faisant intervenir que ces données.

Corollaire 2 Si A est de type C.M., L un fibré en droites ample et symétrique de A, et si V est une sous-variété algébrique stricte de A sur k, k-irréductible et qui n’est pas réunion de sous-variétés de torsion, alors, on a l’inégalité

\frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L}(V)} ≥ μ_{L}^{ess}(V) ≥ c(A, L) deg_{L}(V)^{− \frac{1}{s−dimV}} (log(3 deg_{L}(V)))^{−κ(s)} ,

où s est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique contenant V.

Remarque 4 Soit P ∈ A(\overline{k}). En notant V la sous-variété de A sur k obtenue à partir de P en rajoutant tous ses conjugués, on constate que le résultat obtenu est bien une généralisation d’un énoncé du type Lehmer : il s’agit d’un énoncé de nature arithmétique faisant intervenir le degré d’un corps de définition de V.

Remarque 5 En fait, il suit des preuves des corollaires 1 et 2 le résultat suivant : soient A/k une variété abélienne de dimension g, L un fibré en droites symétrique ample sur A. On appelle Lehmer(A/k, L, γ) la propriété suivante : il existe des constantes c(A, L) ne dépendant que de A et de L, et γ(g) ne dépendant que de g, telles que pour tout point x ∈ A(\overline{k}) qui est d’ordre infini modulo toute sous-variété abélienne stricte de A, on a

ĥ_{L}(x) ≥ c(A, L)δ(x)^{−γ(g)}.

On note ensuite Minorant(A/k, L, V, γ) l’énoncé : il existe des constantes c′(A, L) ne dépendant que de A et de L, et γ(g) ne dépendant que de g, telles que si V est une sous-variété algébrique stricte de A sur k, k-irréductible et qui n’est pas réunion de sous-variétés de torsion, alors, on a l’inégalité

\frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L}(V)} ≥ c′(A, L) deg_{L}(V)^{− \frac{γ(g)}{s−dimV}} ,

où s est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique contenant V.

Avec ces notations, on a

Lehmer(A/k, L, γ) ⇒ Minorant(A/k, L, V, γ).

De plus, et avec les notations de la remarque précédente 5, on trouve dans [8] la conjecture suivante concernant le problème de Lehmer abélien :

Conjecture 2 (David-Hindry) L’assertion Lehmer(A/k, L, 1) est vraie pour toute variété abélienne A/k.

En utilisant la remarque, on en déduit qu’une bonne minoration de la hauteur sur les points entraine une bonne minoration de la hauteur sur toutes les sous-variétés. Plus précisément, on a :

Corollaire 3 La conjecture 2 implique la conjecture 1.

La suite est consacrée à une démonstration du théorème 1 et de ces corollaires.

2 La proposition clé

Proposition 1 (Amoroso-David) Soient n un entier et X une sous-variété de ℙ^{n} sur k, k-irréductible. Pour tout ε > 0, il existe δ_{0} = δ_{0}(ε, X) > 0 vérifiant les propriétés suivantes :

soient δ un entier supérieur à δ_{0}, et Y une sous-variété de ℙ^{n} sur k ne contenant pas X. Si

log deg_{k}(Y) ≤ \frac{δε}{4dimX} ,

alors il existe x ∈ (X \ Y)(\overline{k}) tel que

h_{O(1)}(x) ≤ \frac{h_{O(1)}(X)}{deg_{k}(X)} + ε et [k(x) : k] ≤ (deg_{k}(X))δ^{dimX}.

Démonstration C’est la proposition 2.1. de [2] : cette dernière est simplement énoncée avec Y une hypersurface, mais la preuve dans le cas général reste mot pour mot la même. □

En utilisant un procédé de limite, on en déduit :

Corollaire 4 Soit V une sous-variété de A sur k, k-irréductible. Pour tout ε_{1} > 0, il existe δ_{1} = δ_{1}(ε_{1}, V, A, L) > 0 vérifiant les propriétés suivantes :

soient δ un entier supérieur à δ_{1}, et W une sous-variété de A sur k ne contenant pas V. Si

log deg_{L} W ≤ \frac{δ}{4dimV} ,

alors il existe x ∈ (V \ W)(\overline{k}) tel que

ĥ_{L}(x) ≤ \frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L} V} + ε_{1} et [k(x) : k] ≤ c_{0}(ε_{1}, A, L)(deg_{L} V)δ^{dimV} ,

où c_{0}(ε_{1}, A, L) est une constante strictement positive ne dépendant que de ε_{1}, A et L.

Démonstration Quitte à remplacer L par L^{⊗4}, on suppose que le plongement φ : A ↪ ℙ^{n} associé au fibré en droites très ample symétrique L, est projectivement normal. Soit p un nombre premier et N un entier strictement positif. On considère le plongement projectif ψ = ψ_{p,L} de A, composé des plongements suivants

\begin{matrix}A & ↪ & A^{N} & ↪ & (ℙ^{n})^{N} & ↪_{Segre} & ℙ^{(n+1)^{N} −1} \\ x & ↦ & (x, [p]x, …, [p^{N−1}]x) \end{matrix}

Il s’agit du plongement enroulé défini dans [15] paragraphe 3. En notant h_{ψ} la hauteur associée à ce plongement, la proposition 7. de [15] nous dit que

deg_{ψ}(V) = (\frac{p^{2N} − 1}{p^{2} − 1})^{dimV} deg_{L}(V), et ĥ_{ψ}(V) = (\frac{p^{2N} − 1}{p^{2} − 1})^{dimV} ĥ_{L}(V).

Ainsi, en appliquant la proposition 9. de [15], on en déduit qu’il existe un réel c_{p} > 0 indépendant de N, tel que

| (\frac{p^{2N} − 1}{p^{2} − 1}) \frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L}(V)} − \frac{h_{O(1)}(ψ(V))}{deg_{k}(ψ(V))}| ≤ 8c_{p}N.  (1)

Soit maintenant ε_{1} > 0. On fixe p = 3 par exemple, et on choisit N = N(ε_{1}, A, L) le plus petit entier tel que

\frac{16c_{p}N + 1}{(\frac{p^{2N} −1}{p^{2}−1})} ≤ ε_{1}.

On va appliquer la proposition précédente 1 avec ε = 1, X = φ(V) et Y = φ(W). On choisit δ ≥ δ_{1}(ε_{1}, V, A, L) = max {8(dimV)^{2}N log p, δ_{0}(1, X)}, et on suppose que

log deg_{L}(W) ≤ \frac{δ}{4dimX} .

Avec ces choix, on a

log deg_{k} Y = dimV log (\frac{p^{2N} − 1}{p^{2} − 1}) + log deg_{L} W
≤ 2NdimV log p + log deg_{L} W
≤ 2NdimV log p + \frac{δ}{4dimV} ≤ \frac{δ}{2dimV} par choix de δ_{1}.

La proposition 1 nous dit qu’il existe y ∈ (φ(V) \ φ(W)) (\overline{k}) tel que :

h_{O(1)}(y) ≤ \frac{h_{O(1)}(X)}{deg_{k}(X)} + 1 ≤ 8c_{p}N + \frac{p^{2N} − 1}{p^{2} − 1} \frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L}(V)} + 1,

et tel que

[k(y) : k] ≤ deg_{k}(X)δ^{dimV} ≤ (\frac{p^{2N} − 1}{p^{2} − 1})^{dimV} deg_{L}(V)δ^{dimV} .

Par définition, il existe x ∈ V \ W tel que

y = φ(x), et tel que | h_{O(1)}(y) − \frac{p^{2N} − 1}{p^{2} − 1}ĥ_{L}(x) |≤ 8c_{p}N.

On en déduit

ĥ_{L}(x) ≤ \frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L} V} + \frac{16c_{p}N + 1}{(\frac{p^{2N} −1}{p^{2}−1})}, et [k(x) : k] ≤ (\frac{p^{2N} − 1}{p^{2} − 1})^{2dimV} δ^{dimV} deg_{L} V.

Le choix de N permet de conclure. □

3 Un lemme de majoration

Dans ce qui suit, A/k est une variété abélienne définie sur un corps de nombres k, et L est un fibré en droites symétrique très ample sur A. On suppose k plongé dans ℂ. On commence par rappeler un résultat classique concernant le corps de définition d’une sous-variété abélienne de A.

Lemme 1 Il existe une extension F/k finie, ne dépendant que de A, et notamment de degré majoré par une constante ne dépendant que de A, telle que toute sous-variété abélienne de A soit définie sur F.

Démonstration Le groupe End_{ℂ}(A) est un ℤ-module de type fini. Il existe donc une extension finie F/k ne dépendant que de A telle que End_{ℂ}(A) = End_{F} (A). Soit maintenant B une sous-variété abélienne de A. Par le théorème d’irréductibilité de Poincaré, il existe une sous-variété abélienne C de A et une isogénie φ : A → B × C. En notant pr_{1} la projection de B × C sur B, et i l’inclusion de B dans A, on a : f = i ∘ pr_{1} ∘ φ ∈ End_{F} (A). Or B = f(A), donc B est définie sur F. □

Remarque 6 En fait on peut prendre F/k de degré inférieur à 3^{16dimA^{4}} (cf.

[12] lemma 2.2.).

Au vu de ce lemme, on supposera dans toute la suite que toutes les sousvariétés abéliennes de A/k sont définies sur k.

Lemme 2 Soient d un entier, et x ∈ A un point rationnel sur une extension de degré inférieur à d. Si x est un point de torsion modulo une sous-variété abélienne stricte B de A, alors on peut écrire x = y + ξ avec y ∈ B et ξ ∈ A(F)_{tors} où F est une extension de degré inférieur à c_{1}(A)d, c_{1}(A) étant une constante ne dépendant que de A.

Démonstration On note π : A → A/B = C. On sait (cf. [3]) que l’on peut construire une sous-variété abélienne C′ de A telle que A = B + C′, et telle que Card (B ∩ C′) ≤ c_{1}(A) pour une constante c_{1}(A) ne dépendant que de A. Notons π′ = π_{|C′} l’isogénie de C′ vers C, et posons K = k(x). On peut écrire x = b + c′ avec b ∈ B et c′ ∈ C′. On a π(x) = π′(c′) ∈ C(K)_{tors}. L’application π′ étant une isogénie, le point c′ est de torsion, et il est rationnel sur une extension de K de degré majoré par c_{1}(A). □

Lemme 3 Soient d un entier, et x ∈ A un point rationnel sur une extension de degré inférieur à d. Si x est de torsion modulo une sous-variété abélienne stricte B de A, alors, il existe une sous-variété abélienne B_{x} stricte de A et un point de torsion ξ défini sur une extension de degré au plus c_{1}(A)d de k, tels que x ∈ (B_{x} + ξ) , et tels que

deg_{L} B_{x} ≤ c_{2}(A, L)d^{c_{3}(A)} max{1, ĥ_{L}(x)}^{c_{4}(A)}, où

c_{2} ne dépend que de A de L, et où c_{3}, c_{4} sont des constantes ne dépendant que de A.

Démonstration On note G_{x} le plus petit sous-groupe algébrique contenant x, et on note B_{x} = G_{x}^{0} sa composante neutre. Par hypothèse sur x, la sousvariété abélienne B_{x} est strictement incluse dans A, et x est de torsion modulo B_{x}. Ainsi, le lemme 2 entraine que x ∈ (B_{x} + ξ) avec ξ point de torsion défini sur une extension de degré au plus c_{1}(A)d de k. Il reste à voir que le degré de B_{x} est majoré comme on veut. On va pour cela utiliser l’article [4] de Bertrand. En suivant les notations de cet article, on note H(A) l’ensemble des classes d’isomorphismes de sous-variétés abéliennes de A. La proposition 1.(ii) de [4] nous assure que cet ensemble est fini. De plus, si K/k est une extension de degré d telle que le point x est K-rationnel, en utilisant le theorem p. 154 de [11], on note que le cardinal de A(K)_{tors} est majoré par c′_{8}(A)d^{7dim A}. Il en va donc de même du cardinal de Y (K)_{tors} pour toute sous-variété abélienne Y de A. Par le lemme 2, pour toute sous-variété abélienne Y de A, le cardinal du sous-groupe de torsion de (A/Y)(K) divise une quantité majorée par c′_{9}(A)d^{c′_{10}(A)}. Avec les notations de [4] poroposition 1. (i), on peut donc prendre ν(A/K) ≤ c′_{9}(A)d^{c′_{10}(A)}. En appliquant maintenant le Corollary p.239 et la remark 2. (i) p.231 de [4], et avec ses notations, on obtient la majoration

deg_{L} B_{x} ≤ c(A, K)^{−1}c′′_{9}(A, L)d^{c′_{11}(A)} max{1, ĥ_{L}(x)}^{g}.

Il nous suffit maintenant de montrer que c(A, K) ≥ c′′_{11}(A, L)d^{−c′′_{10}(A)}. L’ensemble H(A, K) = H(A, k) de classes de K-isomorphismes de sous-variétés abéliennes de A est fini (et ne dépend que de A et k par le lemme 1) :

H(A, k) = {B_{1}, …, B_{n(A)}} .

On note b_{i} le degré de la polarisation sur B_{i} déduite de (A, L). On pose c′_{12}(A, L) = min b_{i} > 0. La remarque suivant le corollary p.239 de [4] nous indique alors (en mettant dans une même constante c_{2}(A, L) la dépendance en h_{Falt}(A) et en c′_{12}(A, L)) que

c(A, K) ≥ c′′_{11}(A, L)d^{−c′′_{10}(A)}.

□

Remarque 7 La preuve de ce lemme nous permet même de spécifier B_{x} : on peut prendre pour B_{x} la composante neutre du plus petit sous-groupe algébrique contenant le point x.

Remarque 8 Dans son article [17], Rémond obtient une version plus fine de ce lemme 3.

Soit D un entier. On définit une sous-variété de A sur k, notée Y (D, d), par :

Y (D, d) = ⋃_{B} (⋃_{ξ} (B + ξ)) ,

où B décrit l’ensemble E_{L}(D) des sous-variétés abéliennes strictes de A de degré (relativement à L) inférieur à D, et ξ décrit l’ensemble des points de torsion de A définis sur une extension de degré au plus c_{1}(A)d de k.

Lemme 4 Il existe une constante c_{5}(A, L) telle que

Card E_{L}(D) ≤ c_{5}(A, L)D^{(2dimA)^{2}}.

Démonstration Le fibré L est très ample, donc il définit une forme de Riemann H_{L} sur t_{A(ℂ)}, telle que la forme symplectique E_{L} = ImH_{L}, est à valeurs entières sur le réseau des périodes Ω_{A(ℂ)}. En utilisant essentiellement le théorème de Riemann-Roch pour les variétés abéliennes, la proposition 3 p.269 de [5] nous indique que, si B est une sous-variété abélienne de A, alors

deg_{L} B = (dimB)!Vol_{E_{L}}Ω_{B(ℂ)},

où le volume est relatif à la norme || · || induite par la forme bilinéaire symétrique définie positive e_{L} donnée par e_{L}(x, y) = E_{L}(ix, y). En notant c′_{6}(A, L) le volume de la boule unitée de ℝ^{2dimA} pour cette norme, le théorème des minimas successifs de Minkowski nous permet d’en déduire qu’il existe une base de Ω_{B(ℂ)} formée d’éléments (notés {ω_{1}, …, ω_{2dimB}}) appartenant à Ω_{A(ℂ)}, tels que

∏_{i=1}^{2dimB} || ω_{i} ||≤ c′_{6}(A, L) deg_{L} B.

On pose c_{min}(A, L) = min {1, || λ_{i} || / λ_{i} ∈ Ω_{A(ℂ)} − {0}}, et on note ω_{max} le ω_{i} de plus grande norme. On a

|| ω_{max} || c_{min}(A, L)^{2g−1} ≤ ∏_{i=1}^{2dimB} || ω_{i} ||≤ c′_{6}(A, L)D.

Ainsi, on tire || ω_{max} ||≤ c′_{7}(A, L)D, ce qui entraine

Card E_{L}(D) ≤ c_{5}(A, L)D^{(2dimA)^{2}}. □

Lemme 5 Le degré relativement à L de Y (D, d) est majoré par une expression de la forme c_{6}(A, L)D^{c_{7}(A)}d^{c_{8}(A)}.

Démonstration On sait par le theorem p. 154 de [11] que tout point de torsion de A(\overline{k}) défini sur une extension de degré inférieur à c_{1}(A)d est d’ordre majoré par c′_{8}(A)d^{7dim(A)}. On en déduit donc que l’ensemble des points de torsion définis sur une extension de degré inférieur à c_{1}(A)d est de cardinal majoré par

c′_{9}(A)d^{(7dim(A))(2dim(A)+1)}.  (2)

Par ailleurs, on sait majorer le cardinal de E_{L}(D) par le lemme précédent, donc l’additivité du degré nous donne

deg_{L} Y (D, d) ≤ D · (c_{5}(A, L)D^{(2dimA)^{2}}) · (c′_{9}(A)d^{(7dim(A))(2dim(A)+1)}) . (3)

L’inégalité (3) est bien de la forme voulue. □

4 Preuve du théorème 1

Quitte à remplacer V par la réunion des σ(V) avec σ ∈ Gal(\overline{k}/k), on peut supposer que V est définie sur k et k-irréductible. Soit ε > 0 un réel. On suppose par l’absurde qu’il existe une hypersurface Z de A sur k, ne contenant pas V mais contenant tous les points de V d’ordre infini modulo toute sousvariété abélienne stricte de A, et tels que la hauteur vérifie ĥ_{L}(x) ≤ \frac{_{h_{L}}(V)}{deg_{L} V} + ε. Soit alors, δ un entier non nul. On considère la sous-variété Y_{δ} de A sur k de codimension supérieure à 1, définie par

Y_{δ} = Y (D, d),

où Y (D, d) est définie comme au paragraphe précédent, et où

D = c_{2}(A, L) (\frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L}(V)} + ε)^{c_{4}(A)} (c_{0}(ε) deg_{L}(V)δ^{dimV} )^{c_{3}(A)} ,

et,

d = c_{0}(ε) deg_{L}(V)δ^{dimV} .

Par hypothèse, V n’est contenue dans aucune réunion de sous-variétés de torsion strictes de A, donc V ⊈ Y_{δ}. Il existe δ_{1}(ε, V, A, L) tel que pour tout δ ≥ δ_{1}(ε, V, A, L), on a l’inégalité

log deg_{L}(Y_{δ} ∪ Z) ≤ \frac{δ}{4dimV} .

En effet, par le lemme 5, on sait que

deg_{L} Y_{δ} ≤ c_{6}(A, L)D^{c_{7}(A)}d^{c_{8}(A)}.

En remplaçant D et d par leurs valeurs, et par additivité du degré, on en déduit l’inégalité pour tout δ ≥ δ_{1}(ε, V, A, L) assez grand. On se fixe désormais un tel δ, et on applique le corollaire 4 à Y_{δ} ∪ Z. On obtient ainsi un x ∈ V \ (Y_{δ} ∪ Z) tel que

ĥ_{L}(x) ≤ \frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L} V} + ε et [k(x) : k] ≤ c_{0}(ε)(deg_{L} V)δ^{dimV} .

Si x est un point de torsion modulo une sous-variété abélienne stricte de A, alors, le lemme 3 et le choix de D dans Y_{δ} entraine que x ∈ Y_{δ}. Ceci est impossible, donc par définition de Z, x appartient à Z. Mais ceci est également impossible. Ceci conclut par l’absurde. □

5 Preuve du corollaire 1

On commence par rappeler le théorème de Zhang sur les minimas successifs (cf. [19] theorem 5.2, et [20] theorem 1.10). Plus exactement, on en donne une version affaiblie qui nous suffira, ne faisant intervenir que le minimum essentiel.

Théorème 2 (Zhang) Si V est une sous-variété de A sur K, alors

\frac{ĥ_{L}(V)}{(dim V + 1) deg_{L} V} ≤ μ_{L}^{ess}(V) ≤ \frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L} V} .

On peut maintenant passer à la preuve du corollaire 1 : soit ε > 0, le théorème 1 nous indique que l’ensemble des x ∈ V (\overline{k}) d’ordre infini modulo toute sousvariété abélienne stricte de A et qui sont de hauteur ĥ_{L}(x) ≤ \frac{_{h_{L}}(V)}{deg_{L} V} + ε est Zariski dense dans V. En utilisant le théorème 2 de Zhang, on en déduit que les points x ∈ V (\overline{k}) d’ordre infini modulo toute sous-variété abélienne, et de hauteur ĥ_{L}(x) ≤ (dim V +1)μ_{L}^{ess}(V)+ε est Zariski dense dans V. En particulier cet ensemble est non-vide. On choisit un élément x dedans. En appliquant le théorème 1.5. de [8] ainsi que la remarque qui suit ce théorème, on en déduit

ĥ_{L}(x) ≥ \frac{c(A, L)}{δ_{L}(x)} (\frac{log log(3δ_{L}(x))}{log(3δ_{L}(x))})^{κ(g)} ,

où c(A, L) est une constante ne dépendant que de A et de L, et κ(g) est une constante effectivement calculable ne dépendant que de g (par exemple κ(g) = (2g(g + 1)!)^{g+2} convient). Or δ_{L}(x) ≤ δ_{L}(V) car une sous-variété de A contenant V contient x. On en déduit

ĥ_{L}(x) ≥ \frac{c(A, L)}{δ_{L}(V)} (\frac{log log(3δ_{L}(V))}{log(3δ_{L}(V))})^{κ(g)} .

Notamment on en conclut

(dim V + 1) μ_{L}^{ess}(V) + ε ≥ \frac{c(A, L)}{δ_{L}(V)} (\frac{log log(3δ_{L}(V))}{log(3δ_{L}(V))})^{κ(g)} .

Ceci termine la preuve en faisant tendre ε vers 0. □

6 Preuve du corollaire 2

On commence par prouver le corollaire dans un cas particulier, auquel on se ramènera ensuite.

Corollaire 5 Si A = ∏_{i=1}^{n} A_{i}^{r_{i}}, où les A_{i} sont simples, est de type C.M., et si V est une sous-variété algébrique stricte de A sur k, k-irréductible et qui n’est pas réunion de sous-variétés de torsion, alors, on a l’inégalité

\frac{ĥ_{M}(V)}{deg_{M}(V)} ≥ μ_{M}^{ess}(V) ≥ c(A, M) deg_{M}(V)^{− \frac{1}{s−dimV}} (log(3 deg_{M}(V)))^{−κ(s)} ,

où s est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique contenant V, et où M est le fibré en droites ample associé au plongement

A = ∏_{i=1}^{n} A_{i}^{r_{i}} ↪ ∏_{i=1}^{n} ℙ_{n_{i}}^{r_{i}} ↪^{Segre} ℙ^{N},

les A_{i} étant plongées dans ℙ_{n_{i}} par des fibrés L_{i} très amples et symétriques.

Démonstration On note G le plus petit sous-groupe algébrique contenant V. On note G^{0} la composante connexe de l’identité de G. C’est une sous-variété abélienne de A, et elle est donc isogène à B = ∏_{i=1}^{n} A_{i}^{s_{i}} où 0 ≤ s_{i} ≤ r_{i}. On note alors π : A → B une projection naturelle obtenue par oubli de certaines coordonnées, de sorte que π_{|G} est une isogénie. Montrons maintenant que l’on est dans les conditions d’application du corollaire 1 en prenant comme variété abélienne B, et comme sous-variété algébrique π(V).

Si π(V) est inclus dans une réunion de sous-variétés de torsion ⋃ (C_{i} + ξ_{j}) où dim C_{i} < dimB, en notant H le plus petit sous-groupe algébrique contenant π(V), on a toujours dimH < dimB. Ainsi G_{1} = G ∩ π^{−1}(H) est un sousgroupe algébrique strict de G (car π_{|G} est une isogénie), contenant V. Ceci est absurde.

Si π(V) = B, alors V est de torsion. Ceci est absurde.

Finalement, π(V) est une k-sous-variété stricte de B, irréductible, et n’est pas incluse dans une réunion de sous-variétés de torsion strictes. On peut donc appliquer le corollaire 1. Par ailleurs, la hauteur et le degré sont définis relativement aux plongements

A = ∏_{i=1}^{n} A_{i}^{r_{i}} ↪ ∏_{i=1}^{n} ℙ_{n_{i}}^{r_{i}} ↪^{Segre} ℙ^{N_{A}}, et B = ∏_{i=1}^{n} A_{i}^{s_{i}} ↪ ∏_{i=1}^{n} ℙ_{n_{i}}^{s_{i}} ↪^{Segre} ℙ^{N_{B}}.

De plus l’application \overline{π} : ∏_{i=1}^{n} ℙ_{n_{i}}^{r_{i}} → ∏_{i=1}^{n} ℙ_{n_{i}}^{s_{i}} est la projection linéaire définie par oubli de coordonnées. Dans ce cas et pour ces plongements on a,

μ_{M_{B}}^{ess}(π(V)) ≤ μ_{M}^{ess}(V), et, deg_{M_{B}} π(V) ≤ deg_{M}(V).

Ceci nous donne

μ_{M}^{ess}(V) ≥ μ_{M_{B}}^{ess}(π(V)), d’où par le corollaire 1 et la remarque 2,
≥ c(B, M_{B}) (deg_{M_{B}} π(V))^{− \frac{1}{s−dimV}} (log deg_{M_{B}} π(V))^{−κ(s)}
≥ c(B, M_{B}) (deg_{M} V)^{− \frac{1}{s−dimV}} (log deg_{M}(V))^{−κ(s)} .
≥ c′(A, M) (deg_{M} V)^{− \frac{1}{s−dimV}} (log deg_{M}(V))^{−κ(s)} ,

où on a pris pour c′(A, M) le minimum des c(B, M_{B}) quand s_{i} varie dans [[0, r_{i}]]. On conclut en appliquant le théorème 2 de Zhang. □

On donne maintenant la preuve du corollaire 2 : la variété abélienne A est donnée avec une isogénie ρ vers B = ∏_{i=1}^{n} A_{i}^{r_{i}}. Soit V la sous-variété de A comme dans les hypothèses. On vérifie que W = ρ(V) est une sous-variété de B vérifiant les mêmes hypothèses. Il résulte facilement de la preuve de la proposition 14. de [15] qu’il existe c′(A, L) tel que

ĥ_{L}(V) ≥ c′(A, L)ĥ_{M}(W).

Ainsi, en appliquant le résultat précédent, on en déduit presque l’inégalité voulue : il faut encore remplacer le degré deg_{M}(W) par deg_{L}(V). Or

deg_{M}(W) = (deg ρ) deg_{ρ^{∗}M}(V).

D’autre part ρ^{∗}M et L sont amples, donc on a des inégalités

c_{2}(A, L) deg_{ρ^{∗}M}(V) ≥ deg_{L} V ≥ c_{3}(A, L) deg_{ρ^{∗}M}(V).

En injectant ceci dans l’inégalité donnée par le corollaire 5 précédent, on peut conclure.

References

[1] F. Amoroso et S. David, Le problème de Lehmer en dimension supérieure, J. Reine Angew. Math. 513 (1999), 145–179.

[2] F. Amoroso et S. David, Densité des points à coordonnées multiplicativement indépendantes, Ramanujan J. 5 (2001), 237–246.

[3] D. Bertrand, Minimal heights and polarizations on abelian varieties, Preprint of the MSRI, Berkeley, California, (June, 1987).

[4] D. Bertrand, Minimal heights and polarizations on group varieties, Duke Math. J. 80 (1995), no. 1, 223–250.

[5] D. Bertrand et P. Philippon, Sous-groupes algébriques de groupes algébriques commutatifs, Illinois J. Math. 32 (1988), 263–280.

[6] J.-B. Bost, Périodes et isogénies des variétés abéliennes sur les corps de nombres (d’après D. Masser et G. Wüstholz), Séminaire Bourbaki, Vol 1994/95. Astérisque No.237 (1996), Exp.No.795, 4, 115–161.

[7] J.-B. Bost, H. Gillet et C. Soulé, Heights of projective varieties and positive Green Forms, J. Amer. Math. Soc. 7 (1994), no.4, 903–1022.

[8] S. David et M. Hindry, Minoration de la hauteur de Néron-Tate sur les variétés abéliennes de type C. M., J. Reine Angew. Math. 529 (2000), 1–74.

[9] S. David et P. Philippon, Minorations des hauteurs normalisées des sous-variétés de variétés abéliennes, Number theory (Tiruchirapalli, 1996) Contemp. Math., 333–364, Contemp. Math., 210, Amer. Math. Soc., Providence, RI, (1998).

[10] E. Dobrowolski, On a question of Lehmer and the number of irreductible factors of a polynomial, Acta Arith. 34, no.4, 391–401, (1979).

[11] D. Masser, Small values of the quadratic part of the Néron-Tate height on an abelian variety, Compositio Math. 53 (1984), no. 2, 153–170.

[12] D. Masser et G. Wüstholz, Periods and minimal abelian subvarieties, Ann. of Math. (2) 137 (1993), no. 2, 407–458.

[13] P. Philippon, Sur des hauteurs alternatives I, Math. Ann. 289 (1991), no. 2, 255–283.

[14] P. Philippon, Sur des hauteurs alternatives II, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 44 (1994), no. 4, 1043–1065.

[15] P. Philippon, Sur des hauteurs alternatives III, J. Math. Pures Appl.(9) 74 (1995), no. 4, 345–365.

[16] P. Philippon et M. Waldschmidt, Formes linéaires de logarithmes sur les groupes algébriques commutatifs, Illinois J. Math. 32 (1988), no. 2, 281–314.

[17] G. Rémond, Intersection de sous-groupes et de sous-variétés I, Preprint , (Octobre 2003)

[18] C. Soulé, Géométrie d’Arakelov et théorie des nombres transcendants, Journées Arithmétiques, 1989 (Luminy, 1989), Astérisque No. 198-200 (1991) 355–371 (1992).

[19] S. Zhang, Positive line bundles on arithmetic varieties, J. Amer. Math. Soc. 8 (1995), no. 1, 187–221.

[20] S. Zhang, Small points and adelic metrics, J. Algebraic Geom. 4 (1995), no. 2, 281–300.