La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

Exposé au séminaire des doctorants en théorie des nombres de Chevaleret

Nicolas Ratazzi et Marusia Rebolledo

20 Juin 2002

Résumé : L’objectif de cet exposé est de parvenir à énoncer la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer sur ℚ et à comprendre les termes qui interviennent dedans.

Table des matières

1 Énoncé de BSD1 2 1.1 Fonction L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Théorème de Mordell-Weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Groupe de Shafarevitch-Tate 3

3 Variété duale, régulateur, facteurs c_{p} et période Ω_{A} 4 3.1 Variété duale Â/K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.2 Régulateur Reg(A/K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.3 Facteurs c_{𝔭} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.4 Période réelle Ω_{A} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Résultats connus 6

Soit K un corps. Dans toute la suite, on dira que V est une variété sur K si V est un K-schéma irréductible géométriquement réduit de type fini. Si L/K est une extension et V une variété sur K, alors, la notation V_{L} dénote le produit fibré V ×_{Spec K} Spec L, et V (L) dénote Mor_{K}(Spec L, V). Enfin on appelle variété abélienne sur K toute variété en groupes, propre sur K. Une telle variété est automatiquement un K-schéma en groupes, commutatif projectif lisse.

Sauf mention contraire, dans tout l’exposé, A/K sera une variété abélienne de dimension g sur un corps de nombres.

1 Énoncé de BSD1

Pour pouvoir énoncer la conjecture (BSD1), on a besoin de deux objets : la notion de fonction L associée à une variété abélienne et le théorème de Mordell-Weil concernant le groupe des points A(K) d’une variété abélienne A/K.

1.1 Fonction L

On ne fait ici que de brefs rappels concernant les fonctions L. Pour tout p premier, on choisit un premier l ≠ p, on définit le module de Tate T_{l}(A) et on tensorise par ℚ_{l} pour obtenir V_{l}(A) = T_{l}(A) ⊗ ℚ_{l} qui est un ℚ_{l}-espace vectoriel de dimension 2g. De plus on a une action naturelle, par la représentation l-adique ρ_{l}, de Gal(\overline{K}/K) sur ces objets :

ρ_{l} : Gal(\overline{K}/K) → Aut_{ℚ_{l}} (V_{l}(A)) ≃ GL_{2g}(ℚ_{l}).

Soit 𝔭 un premier de O_{K}, de groupe d’inertie I_{𝔭}. On pose

Q_{𝔭}(A, T) = det (Id_{2g} − (ρ_{l}(Frob_{𝔭}) | V_{l}(A)^{I_{𝔭}}) T ) .

Notons que ce polynôme est a priori à coefficients dans ℚ_{l}. En fait (c’est un théorème difficile) le polynôme Q_{𝔭}(A, T) est à coefficients dans ℤ et est indépendant de l ≠ p. On peut maintenant définir la fonction L associée à la variété abélienne A :

L(A, s) = ∏_{𝔭} \frac{1}{Q_{𝔭} (A, (N_{ℚ}^{K}𝔭)^{−s})}.

Quand la variété à bonne réduction en 𝔭, l’action de l’inertie est triviale sur V_{l}(A), et le polynôme Q_{𝔭}(A, T) est de degré 2g. Dans ce cas, ses racines complexes α_{i,𝔭} sont des nombres de Weil, i.e., de valeur absolue (N_{ℚ}^{K}𝔭)^{\frac{1}{2}} .

La fonction L(A, ·) est définie pour Re(s) > \frac{3}{2}. Conjecturalement elle se prolonge en une fonction entière (holomorphe sur tout le plan complexe). En particulier, elle est conjecturalement définie en s = 1. On écrit

L(A, 1) ∼_{s↦1} C (s − 1)^{r_{an}} ,

et on dit que r_{an} est le rang analytique. La conjecture (BSD1) explique qui est r_{an}, et la conjecture (BSD2) raconte ce que vaut la constante C.

1.2 Théorème de Mordell-Weil

Théorème 1.1 (Mordell-Weil) Soient K un corps de nombres et A/K une variété abélienne. Le groupe A(K) est de type fini.

Le groupe A(K) étant abélien, il peut s’écrire sous la forme

A(K) = A(K)_{tors} × ℤ^{r_{mw}}.

Le théorème précédent nous assure que l’entier r_{mw}, appellé le rang de Mordell-Weil de A/K, est fini. On peut maintenant énoncer la conjecture 1 :

Conjecture 1.1 (BSD1) On a l’égalité r_{an} = r_{mw}.

On va tout de suite énoncer la conjecture (BSD2) puis on définira les symboles qui apparaissent dedans. Pour simplifier, on énonce la conjecture dans le cas d’une variété abélienne A/ℚ, toutefois, quand travailler avec un corps de nombres K ou avec ℚ ne change rien, on définira les termes pour une variété abélienne A/K.

Conjecture 1.2 (BSD2) On a :

lim_{s↦1} \frac{L(A, s)}{(s − 1)^{r_{mw}}} = Ω_{A} ∏_{p} c_{p} \frac{| ⨿⨿(A/ℚ)||Reg(A/ℚ)|}{|A(ℚ)_{tors}||Â(ℚ)_{tors}|}.

Si on voulait énoncer la conjecture sur un corps de nombres K, il faudrait remplacer

∏_{p}  par  ∏_{𝔭},
⨿⨿ (A/ℚ)  par  ⨿⨿(A/K), (groupe de Shafarevitch-Tate),
Reg(A/ℚ)  par  Reg(A/K), (régulateur de A),
A(ℚ)_{tors}  par  A(K)_{tors},
Â(ℚ)_{tors}  par  Â(K)_{tors}.

Toutefois il faudrait également remplacer la période réelle Ω_{A} par le produit de toutes les périodes réelles et complexes correspondant aux plongements de K dans ℂ et rajouter un petit facteur supplémentaire faisant intervenir le discriminant du corps K/ℚ. On va maintenant expliciter les divers objets introduits dans l’énoncé.

2 Groupe de Shafarevitch-Tate

C’est la partie de Marusia. Voir par exemple le très joli exposé de Tate, Galois cohomology. Arithmetic algebraic geometry (Park City, UT, 1999).

3 Variété duale, régulateur, facteurs c_{p} et période Ω_{A}

3.1 Variété duale Â/K

Soit A/K une variété abélienne. On note Pic(A) le groupe de Picard de A, i.e., le groupe des diviseurs de A à équivalence linéaire près, ou encore, le groupe des faisceaux inversibles à isomorphismes près. On note t_{a} l’opérateur de translation par a sur A. Si on se fixe un faisceau inversible L, alors l’application

φ_{L} : A(K) → Pic(A), a ↦ t_{a}^{∗}L ⊗ L^{−1}

est un morphisme de groupe (ceci n’est pas trivial, c’est le théorème du carré qui le dit).

Définition 3.1 Soit A/K une variété abélienne. On définit Pic^{0}(A) comme étant le sousgroupe de Pic(A) constitué des classes de diviseurs invariants par translations :

Pic^{0}(A) = \{L ∈ Pic(A) / ∀a ∈ A(\overline{K}) t_{a}^{∗}L ≃ L\} .

Remarque 3.1 Si A est une courbe, on peut vérifier que Pic^{0}(A) est le groupe des diviseurs de degré 0. Dans le cas général ce n’est plus vrai, il s’agit de ce que l’on appelle le groupe des diviseurs algébriquement équivalents à zéro.

Définition-Théorème Il existe une variété abélienne sur K, appelée variété abélienne duale de A/K, notée Â, telle que,

pour toute extension de corps L/K, Â(L) = Pic^{0}(A_{L}).

Rigoureusement on a la définition et le théorème suivant :

Définition 3.2 Soit A/K une variété abélienne. Une variété abélienne Â est la variété duale de A, s’il existe un faisceau inversible P (le fibré de Poincaré) sur A × Â vérifiant :

(i) P|_{{0}×Â} est trivial et pour tout a ∈ Â, le faisceau P|_{A×{a}} appartient à Pic^{0}(A_{k(a)}). (ii) Pour tout K-schéma T, et pour tout faisceau inversible L sur A × T vérifiant la

propriété (i), il existe un unique morphisme

f : T → Â tel que (1 × f)^{∗} P ≃ L.

Théorème 3.1 La variété abélienne duale, munie du faisceau de Poincaré, existe et est unique à unique isomorphisme près. De plus, le fibré de Poincaré est symétrique.

Remarque 3.2 Dans le cas d’une variété abélienne principalement polarisée (c’est à dire telle que A ≃ Â), (par exemple, toute courbe elliptique ou mieux toute Jacobienne est principalement polarisée), on a une description explicite du fibré de Poincaré. Je vais ici me limiter au cas des courbes elliptiques mais la description vaut de manière générale. On note s : E × E → E l’addition, et p_{1} et p_{2} les deux projections. En notant Δ_{−1} l’anti-diagonale (la seconde bissectrice) de E × E et en terme de diviseurs, on a

P = Δ_{−1} − {0} × E − E × {0}.

3.2 Régulateur Reg(A/K)

Il y a deux façons de définir le régulateur :

• étant donné un diviseur ample et symétrique D, on construit la hauteur canonique (également appelée hauteur de Néron-Tate) ĥ_{D} associée sur A(\overline{K}). Elle s’étend en une forme quadratique définie positive sur A(K)⊗ℝ. On note ⟨·, ·⟩_{D} la forme bilinéaire associée et, si {P_{1}, …, P_{r}} est une base du goupe de Mordell-Weil, on pose

Reg_{D}(A/K) = |det (⟨P_{i}, P_{j}⟩_{1≤i,j≤r})|.

Le régulateur est juste le volume d’une maille fondamentale du réseau A(K)/A(K)_{tors} plongé dans l’espace euclidien A(K) ⊗ ℝ avec la structure euclidienne définie par ĥ_{D}.

Malheureusement, ce régulateur dépend de D (au moins quand D ne définit pas une polarisation principale). On va donc le renormaliser de sorte à enlever cette dépendance. Le diviseur D définit une application φ_{D} de A(K) dans Pic^{0}(A) : c’est l’application définie au paragraphe précédent, on vérifie facilement qu’elle est à valeur dans Pic^{0}(A). De plus D étant ample, cette application donne une isogénie de A dans Â (c’est “bien connu” mais non-trivial). On peut donc poser :

Reg(A/K) = \frac{1}{[Â(K) : φ_{D}(A(K))]}Reg_{D}(A/K).

La seconde façon de définir le régulateur nous prouvera bien que ceci est indépendant du choix de D.

• Le seconde définition consiste à définir le régulateur en utilisant le fibré de Poincaré P : on pose

Reg(A/K) = |det (ĥ_{P} (P_{i}, P̂_{j})_{1≤i,j≤r})|,

où ĥ_{P} dénote la hauteur canonique sur (A×Â) (\overline{K}) relativement au fibré en droites P et où {P_{1}, …, P_{r}} est une base de A(K) et {P̂_{1}, …, P̂_{r}} une base de Â(K).

Proposition 3.1 Les deux définitions du régulateur Reg(A/K) coïncident. De plus si A est principalement polarisée, alors Reg_{D}(A/K) = Reg(A/K).

Démonstration : La première assertion résulte essentiellement du fait que

ĥ_{D}(P) = ĥ_{P}(P, φ_{D}(P)).

Cette dernière formule découle simplement des multiples propriétés vérifiées par la hauteur de Néron-Tate (quadraticité par rapport aux points, additivité et fonctorialité par rapport aux diviseurs), et de la définition du fibré en droites P. La seconde assertion est évidente car dans ce cas [Â(K) : φ_{D}(A(K))] = 1. □

3.3 Facteurs c_{𝔭}

Ils sont faciles à définir : soient p un nombre premier et 𝔭 un premier de K au-dessus de p. On pose également A/K une variété abélienne de modèle de Néron A/O_{K} et on note A^{0} la composante connexe de l’identité de A. On note k_{𝔭} le corps résiduel en 𝔭, et A_{𝔭} = A×_{O_{K}} k_{𝔭} la réduction modulo 𝔭 du modèle de Néron. On définit alors c_{𝔭} par

c_{𝔭} = |A_{𝔭}(k_{𝔭})/A_{𝔭}^{0}(k_{𝔭})|.

Notons que ce nombre est bien presque tout le temps égal à 1 car il vaut 1 quand A a bonne réduction (i.e. quand A_{𝔭}/k_{𝔭} est une variété abélienne). Le produit ∏ c_{𝔭} est donc bien défini.

3.4 Période réelle Ω_{A}

On considère comme précédemment A/ℚ de dimension g, de modèle de Néron A/ℤ, et on note A_{σ} = A ×_{ℚ} ℝ. Le schéma A/ℤ est lisse de dimension relative g, donc le faisceau des différientielles relatives Ω_{A/ℤ}^{1} est localement libre de rang g. On pose

ω_{A/ℤ} = ⋀_{i=1}^{g} Ω_{A/ℤ}^{1} le fibré (faisceau, classe) canonique.

C’est un faisceau inversible (i.e. localement libre de rang 1). On considère alors η une g-forme différentielle (dite de Néron) qui engendre ω_{A/ℤ}. Dans une trivialisation affine on peut écrire η = fdx_{1} ∧ … ∧ dx_{g}, avec les bonnes conditions de recollement. Dans le cas particulier d’une courbe elliptique E/ℚ donnée par une équation de Weierstrass minimale E : y^{2} + a_{1}xy + a_{3}y = x^{3} + a_{4}x + a_{6}, on peut prendre η = \frac{dx}{2y+a_{1}x+a_{3}} . On peut maintenant définir la période réelle

Ω_{A} = |A_{σ}(ℝ)/A_{σ}(ℝ)^{0}| · | ∫_{A_{σ}(ℝ)} η|.

4 Résultats connus

On se restreint ici au cas (le seul ou presque pour lequel on sait dire quelque chose) où A = E est une courbe elliptique sur K = ℚ.

Théorème 4.1 (Shimura années 1960) Si E/ℚ est modulaire, alors L(E, ·) est entière.

Théorème 4.2 (Coates-Wiles 1977) Si E est à multiplication complexe, alors,

r_{an} = 0 ⇒ r_{mw} = 0.

Théorème 4.3 (Rubin années 1980) Si E est à multiplication complexe, alors,

⨿⨿ (E/ℚ) est fini.

Théorème 4.4 (Gross-Zagier 1984) Si E est modulaire, alors,

r_{an} = 1 ⇒ r_{mw} ≥ 1.

Théorème 4.5 (Kolyvagin 1987) Si E est modulaire et r_{an} ≤ 1 alors,

⨿⨿ (E/ℚ) est fini et r_{an} = r_{mw}.

Théorème 4.6 (Kato 1993) Si E est modulaire et r_{an} = 0, alors r_{mw} = 0.

Remarque 4.1 Ce dernier résultat est déja contenu dans le théorème de Kolyvagin, mais Kato utilise une méthode complètement différente. Ici c’est donc plus la preuve que le résultat qui importe.

Théorème 4.7 (Wiles 1993 ; Taylor-Wiles 1994) Toute courbe elliptique E/ℚ semistable est modulaire.

Théorème 4.8 (Breuil-Conrad-Diamond-Taylor 2000) Toute courbe elliptique E/ℚ est modulaire.

Théorème 4.9 (Nekovar 2000) Si ⨿⨿ (E/ℚ) est fini, alors,

r_{an} = r_{mw} mod 2.