Théorème de Dobrowolski-Laurent pour les extensions abéliennes sur une courbe elliptique à multiplication

complexe

Nicolas Ratazzi

Abstract : Let E/K be an elliptic curve with complex multiplication and let K^{ab} be the Abelian closure of K. We prove in this article that there exists a constant c(E/K) such that : for all point P ∈ E(\overline{K})\E_{tors}, we have

ĥ(P) ≥ \frac{c(E/K)}{D} (\frac{log log 5D}{log 2D})^{13} ,

where D = [K^{ab}(P) : K^{ab}]. This result extends to the case of elliptic curves with complex multiplication the previous result of Amoroso-Zannier [2] on the analogous problem on the multiplicative group 𝔾_{m}, and generalizes to the case of extensions of degree D the result of Baker [3] on the lower bound of the Néron-Tate height of the points defined over an Abelian extension of an elliptic curve with complex multiplication. This result also enables us to simplify the proof of a theorem of Viada [18].

Keywords : elliptic curves, normalised height, Lehmer’s problem, Abelian extensions 2000 Mathematics Subject Classification : 11G50, 14G40, 14K22

1 Introduction

Soit K un corps de nombres. En notant ĥ la hauteur de Néron-Tate sur une courbe elliptique E/K et en notant K^{ab} la clôture abélienne de K, on montre dans cet article les deux résultats suivants :

Théorème 1.1 Si E/K est une courbe elliptique à multiplication complexe, il existe une constante c(E/K) strictement positive, telle que

∀P ∈ E(\overline{K})\E_{tors}, ĥ(P) ≥ \frac{c(E/K)}{D} (\frac{log log 5D}{log 2D})^{13} ,

Email address : ratazzi@math.jussieu.fr

où D = [K^{ab}(P) : K^{ab}].

Théorème 1.2 Soient c_{0} > 0 et E/K une courbe elliptique à multiplication complexe. Il existe une constante strictement positive c(E/K, c_{0}), telle que : pour toute extension abélienne F/K et pour tout point P ∈ E(\overline{K})\E_{tors} vérifiant D = [F (P) : F], si le nombre de

nombres premiers qui se ramifient dans F est borné par c_{0} (\frac{log 2D}{log log 5D})^{2}, alors on a l’inégalité

ĥ(P) ≥ \frac{c(E/K, c_{0})}{D} (\frac{log log 5D}{log 2D})^{3} .

On voit qu’en imposant une contrainte sur l’étendue de la ramification dans l’extension abélienne (théorème 1.2), on obtient une généralisation d’un précédent résultat de Laurent [11] (cf. le théorème 1.4 plus loin). Dans le cas général (théorème 1.1), sans imposer aucune condition, on obtient une minoration optimale aux puissances de log près, avec un exposant légerement dégradé par rapport au cas classique : on a comme puissance de log un exposant 13 au lieu d’un exposant 3 ; toutefois cet exposant 13 est le même que dans le cas multiplicatif dû à Amoroso-Zannier [2] (cf. théorème 1.5 plus loin). Ce théorème 1.1, dans le cas des courbes elliptiques à multiplication complexe, généralise au cas D quelconque un précédent résultat de Baker [3] (cf. théorème 1.6 plus loin). Nous donnons à la fin de l’introduction une application de notre théorème 1.1.

Ce type de problème remonte aux travaux de Lehmer dans les années 1930 : soit x ∈ 𝔾_{m}(\overline{ℚ})\μ_{∞} un nombre algébrique qui n’est pas une racine de l’unité. On sait par un théorème de Kronecker que sa hauteur logarithmique absolue h(x) est strictement positive. En 1933 Lehmer énonce la célèbre conjecture

Conjecture 1.1 (Problème de Lehmer) Il existe une constante c > 0 telle que

∀x ∈ 𝔾_{m}(\overline{ℚ})\μ_{∞}, h(x) ≥ \frac{c}{D},

où D = [ℚ(x) : ℚ].

Plus exactement, Lehmer se pose plutôt la question inverse : est-il possible de contredire cet énoncé ?

C’est en 1979 , avec le théorème de Dobrowolski [9], qu’est obtenu un résultat optimal à des puissances de log près, en direction de cette conjecture :

Théorème 1.3 (Dobrowolski) Il existe une constante c > 0 telle que

∀x ∈ 𝔾_{m}(\overline{ℚ})\μ_{∞}, h(x) ≥ \frac{c}{D} (\frac{log log 3D}{log 2D})^{3} ,

où D = [ℚ(x) : ℚ].

Peu de temps après, Laurent a étendu, dans son article [11], la conjecture de Lehmer aux courbes elliptiques sur un corps de nombres, en remplaçant la hauteur sur 𝔾_{m} par la hauteur de Néron-Tate et il a étendu le résultat de Dobrowolski au cas des courbes elliptiques E/K à multiplication complexe.

Théorème 1.4 (Laurent) Soit E/K une courbe elliptique à multiplication complexe. Il existe une constante strictement positive c(E/K) telle que

∀P ∈ E(\overline{K})\E_{tors}, ĥ(P) ≥ \frac{c(E/K)}{D} (\frac{log log 3D}{log 2D})^{3} ,

où D = [K(P) : K].

Dans les articles [1] et [2], Amoroso-Dvornicich et Amoroso-Zannier ont étendu le problème de Lehmer sur 𝔾_{m} au cas des extensions abéliennes relatives. Précisément, ils énoncent la conjecture et démontrent le théorème suivant :

Conjecture 1.2 (Amoroso-Zannier) Soit K un corps de nombres. Il existe une constante strictement positive c(K), telle que

∀x ∈ 𝔾_{m}(\overline{K})\μ_{∞}, h(x) ≥ \frac{c(K)}{D},

où D = [K^{ab}(x) : K^{ab}].

Théorème 1.5 (Amoroso-Zannier) Soit K un corps de nombres. Il existe une constante c(K) strictement positive, telle que

∀x ∈ 𝔾_{m}(\overline{K})\μ_{∞}, h(x) ≥ \frac{c(K)}{D} (\frac{log log 5D}{log 2D})^{13} ,

où D = [K^{ab}(x) : K^{ab}].

Ce théorème étend le résultat de Amoroso-Dvornicich qui traitait le cas où x appartenait à une extension abélienne de K, i.e., le cas D = 1. C’est précisément ce théorème, dans le cas D = 1, qui a été étendu aux courbes elliptiques à multiplication complexe, ou ayant un j-invariant non-entier, par Baker dans [3], puis par Silverman [15] dans le cas des courbes elliptiques sans multiplication complexe. Ainsi pour les courbes elliptiques, on a

Théorème 1.6 (Baker-Silverman) Soit E/K une courbe elliptique. Il existe une constante strictement positive c(E/K) telle que

∀P ∈ E(K^{ab})\E_{tors}, ĥ(P) ≥ c(E/K).

Notons que Baker et Silverman ont récemment étendu ce résultat au cas des variétés abéliennes dans leur article [4].

L’objectif du présent article est d’étendre le résultat d’Amoroso-Zannier au cas des courbes elliptiques à multiplication complexe, généralisant ainsi le résultat de Baker au cas D quelconque. Notons que le théorème 1.1 répond à une conjecture de David dans le cas des courbes elliptiques à multiplication complexe :

Conjecture 1.3 (David) Soient A/K une variété abélienne sur un corps de nombres et L un fibré en droites ample et symétrique sur A. Pour tout ε > 0, il existe une constante strictement positive c(A/K, L) telle que pour tout point P ∈ A(\overline{K}) qui n’est pas de End(A(\overline{K}))- torsion, on a

ĥ_{L}(P) ≥ \frac{c(A/K, L, ε)}{D_{tors}^{\frac{1}{g} +ε}},

où D_{tors} = [K(A_{tors}, P) : K(A_{tors})].

En effet, le théorème 1.1 étant vrai pour D = [K^{ab}(P) : K^{ab}], il l’est en particulier pour D = [F (P) : F] pour toute extension abélienne F/K. De plus, quitte à remplacer K par une extension de degré borné en fonction de E, le résultat reste toujours vrai (on ne change que la constante c(E/K)). L’extension H(E_{tors})/H est abélienne pour H = K(j) corps de classes de Hilbert de E, ce qui conclut.

Le théorème 1.1 rend naturel de généraliser la conjecture 1.2 aux courbes elliptiques :

Conjecture 1.4 Soit E/K une courbe elliptique. Il existe une constante strictement positive c(E/K), telle que

∀P ∈ E(\overline{K})\E_{tors}, ĥ(P) ≥ \frac{c(E/K)}{D},

où D = [K^{ab}(P) : K^{ab}].

Le théorème 1.1 est une première étape en direction de cette conjecture 1.3, au moins dans le cas de multiplication complexe. On peut indiquer brièvement un des intérèts d’un tel résultat. Pour expliquer cela, on introduit quelques notations : on dit qu’une courbe (intègre) sur une variété abélienne A est transverse si elle n’est contenue dans aucun translaté de sous-variété abélienne de A différente de A. Si X est un sous-schéma fermé intègre de A et r un entier, alors Z_{x,0}^{(r)} ⊂ X(\overline{K}) est l’ensemble des points pour lesquels il existe un sous-schéma en groupes G de A avec

dim_{P} X ∩ G ≥ max {1, r − codim G} .

On dit qu’une variété abélienne simple A est de type (g, δ), si elle est de dimension g et si le rang de End(A) = 2g/δ. Enfin, on note

A^{[r]} = ⋃_{codim G≥r} G(\overline{K}),

où G est un sous-schéma en groupe de codimension indiquée. Dans son article [12], Rémond prouve :

Théorème 1.7 (Rémond) Soit A une variété abélienne sur \overline{K}. Nous choisissons une isogénie entre A et un produit A_{1}^{n_{1}} × ⋯ × A_{m}^{n_{m}} où m est un entier naturel et pour chaque indice i avec 1 ≤ i ≤ m la variété abélienne A_{i} est simple de type (g_{i}, δ_{i}) et n_{i} ∈ ℕ^{∗}. Soient X un sous-schéma fermé intègre de A et r, r′ deux entiers tels que 0 ≤ r ≤ r′ ≤ dim A. Nous supposons que l’une des conditions suivantes est vérifiée. (C_{1}) La conjecture (1.3) est vraie. (C_{2}) La variété abélienne A est à multiplication complexe et r′ > (1 + ∑_{i=1}^{m} g_{i})(r − 1). (C_{3}) On a l’inégalité

r′ > ∑_{i=1}^{m} g_{i}(n_{i} + δ_{i})\frac{r − 1}{r}.

Alors, pour toute hauteur h associée à un fibré ample L sur A et tout réel H, l’ensemble

\{P ∈ (X(\overline{K})\Z_{X,0}^{(r)}) ∩ A^{[r′]} / h(P) ≤ H\}

est fini. Si de plus X est une courbe transverse et r ≥ 2, alors X(\overline{K}) ∩ A^{[r′]} est fini.

Notons que notre théorème 1.1 permet déjà de simplifier la preuve du theorem 2. de Viada [18] suivant :

Théorème 1.8 (Viada) Soient E/K une courbe elliptique à multiplication complexe, n un entier non nul et C/K une courbe transverse dans E^{n}. Pour r ≥ 0 on considère les ensembles

S_{r}(C) := ⋃_{codim G≥r} G ∩ C(\overline{K})

où l’union porte sur les sous-groupes algébriques G de E^{n} de codimension au moins r. Alors l’ensemble S_{2}(C) est fini.

La preuve de Viada est calquée sur celle de Bombieri, Masser et Zannier [5] dans le cas de 𝔾_{m}^{n}. Elle utilise le fait que la hauteur des points de S_{1}(C) est bornée. Il s’agit du Theorem 1. du même article de Viada qui résulte simplement des propriétés fonctorielles des hauteurs et du théorème du cube pour les variétés abéliennes. Ceci étant acquis on constate, en appliquant le théorème de Northcott, qu’il suffit alors de montrer que le degré des points de S_{2}(C) est borné. C’est la partie difficile de la preuve. Viada montre ceci en deux étapes : la première consiste à montrer la finitude de l’ensemble S_{3}(C). La seconde étape consiste à montrer la finitude de S_{2}(C) en utilisant un subtil argument cohomologique. Nous montrons ici comment éviter cet argument cohomologique en appliquant notre théorème 1.1. En fait l’utilisation de ce théorème 1.1 permet de ramener la seconde étape à la première. Nous expliquons ceci dans la dernière partie de cet article.

Dans la suite (dernière partie exceptée) on s’attache à prouver le théorème 1.1. On explique à la fin comment le théorème 1.2 s’obtient de la même façon. La preuve est une preuve classique de transcendance à deux exceptions près : on utilise un lemme de Siegel absolu et il y a en fait deux extrapolations selon que l’on est dans une situation avec beaucoup de ramification ou non. Ceci étant dit, dans le cas non-ramifié, la preuve suit le schéma initié par Dobrowolski, à savoir une extrapolation sur les transformés par le morphisme de Frobenius. Dans le cas ramifié, on suit la preuve du cas multiplicatif de [2] en utilisant encore des transformés par Frobenius. On utilise l’astuce de Laurent [11] consistant à dédoubler les variables pour permettre une plus grande liberté dans le choix des paramètres auxiliaires. La partie 2 consiste en des rappels sur la hauteur de Néron-Tate et sur les propriétés dont nous aurons besoin concernant les courbes elliptiques à multiplication complexe. La partie 3 consiste en une série de réductions en vue de prouver les théorèmes 1.1 et 1.2. La preuve proprement dite se trouve dans les parties 5, 6 et 7.

Dans la preuve on se ramène à travailler avec une extension abélienne F/K finie et avec D = [F (P) : F]. Notons que l’hypothèse “F/K est abélienne” sert de manière cruciale dans les deux étapes d’extrapolation : dans l’étape où il y a peu de premiers ayant un grand indice de ramification dans F, i.e. l’étape “quasi-classique”, l’extrapolation se fait grâce au lemme 4.3 qui utilise de manière fondamentale l’hypothèse d’abélianité. Dans l’autre extrapolation, i.e. le cas complémentaire où beaucoup de premiers ont un grand indice de ramification dans F, l’hypothèse sert à fabriquer le groupe H_{p} du lemme 4.2 : on utilise pour cela le théorème de Kronecker-Weber.

2 Hauteur et multiplication complexe

2.1 Hauteur

Soient K un corps de nombres de degré d, M_{K} l’ensemble des valeurs absolues (deux à deux non équivalentes) sur K, M_{K}^{0} les valeurs absolues ultramétriques de M_{K} normalisées par |p|_{v} = p^{−1} pour toute place finie v au-dessus du nombre premier p et M_{K}^{∞} les valeurs absolues archimédiennes de M_{K}. On note d_{v} = [K_{v} : ℚ_{p}] le degré local et on définit la hauteur (logarithmique absolue) sur ℙ^{n}(\overline{ℚ}) par

h(x_{0} : …: x_{n}) = \frac{1}{d} ∑_{v∈M_{K}} d_{v} log max_{0≤i≤n} |x_{i}|_{v}.

Dans cette définition, la renormalisation par \frac{1}{d} sert juste à faire en sorte que h(x) soit indépendante du choix du corps K contenant x. De plus par la formule du produit, la hauteur est aussi indépendante du choix d’un système de coordonnées projectives.

En plongeant 𝔾_{m}^{n} dans ℙ^{n} par (x_{1}, …, x_{n}) ↦ (1 : x_{1}, …: x_{n}) ceci défini également la hauteur sur 𝔾_{m}^{n}.

Dans la suite on utilisera également la hauteur h_{2} définie sur 𝔾_{m}^{n}(\overline{ℚ}) par

h_{2}(x_{1}, …, x_{n}) = \frac{1}{d} ( ∑_{v∈M_{K}^{0}} d_{v} log max_{1≤i≤n} |x_{i}|_{v} + ∑_{v∈M_{K}^{∞}} d_{v} log \sqrt{∑_{1≤i≤n} |x_{i}|_{v}^{2}}) .

Soit N un entier. On définit comme le fait Schmidt (voir [14]) la hauteur h_{2} d’un sous-\overline{ℚ}- espace vectoriel S algébrique de dimension d de \overline{ℚ}^{N+1} par :

h_{2}(S) = h_{2}(x_{1} ∧ … ∧ x_{d}),

où x_{1}, …, x_{d} est une base de S sur un corps de nombres quelconque sur lequel S est défini.

2.2 Hauteur de Néron-Tate

Définition 2.1. Si E/K est une courbe elliptique donnée par une équation de Weierstrass, on définit la hauteur h : E(\overline{K}) → ℝ^{+} par h(P) := h(x(P) : 1), où h(x : y) est la hauteur logarithmique absolue sur ℙ^{1}(\overline{K}) définie précédemment.

Cette hauteur vérifie un certain nombre de propriétés. Nous indiquons les plus essentielles, qui nous serviront dans la suite. On renvoie par exemple au livre [10] Part B pour tout ce qui concerne les hauteurs.

Proposition 2.1 Sur une courbe elliptique E/K, la hauteur h vérifie :

(i) ∀P ∈ E(\overline{K}) h([m]P) = m^{2}h(P) + O(1). (ii) ∀P, Q ∈ E(\overline{K}) h(P + Q) + h(P − Q) = 2h(P) + 2h(Q) + O(1). (iii) ∀h > 0 l’ensemble \{P ∈ E(\overline{K})/ h(P) ≤ h\} est fini. Dans les affirmations précédentes, la constante O(1) dépend de E et m, mais pas des points P et Q.

À partir de cette hauteur, on peut en construire une plus jolie : la hauteur de Néron-Tate, notée ĥ. La définition est la suivante :

ĥ(P) = lim_{n→+∞} \frac{h([2^{n}]P)}{4^{n}}.

Les propriétés classiques de cette hauteur sont résumées dans le théorème suivant.

Théorème 2.1 La hauteur canonique est une forme quadratique positive semi-définie sur E(\overline{K}), telle que

d’une part ∀P ∈ E(\overline{K}) ĥ(P) = h(P) + O(1), et d’autre part, ĥ(P) = 0 ⟺ P ∈ E_{tors}.

2.3 Multiplication complexe

Soient K un corps de nombres et E/K une courbe elliptique à multiplication complexe par l’ordre d’un corps quadratique imaginaire k. On note O_{K} l’anneau d’entiers de K et pour toute place finie v de K on note k_{v} le corps résiduel associé à v. Quitte à faire une extension de corps ne dépendant que de E/K et quitte à prendre une courbe elliptique isogène à la courbe de départ, on peut supposer que K contient k et que l’anneau des endomorphismes de E/K est exactement O_{k}, l’anneau des entiers de k. De plus, la courbe est à multiplication complexe, donc elle a bonne réduction potentielle. Ainsi, quitte à remplacer K par une extension de degré borné (en fonction de E/K), on peut également supposer que E/K a bonne réduction en toute place de K. On fait toutes ces hypothèses dans la suite.

On fixe un point P ∈ E(\overline{K})\E_{tors} et on note D = [K^{ab}(P) : K^{ab}]. On choisit alors une extension F/K abélienne finie, telle que D = [F (P) : F], ceci étant possible car K^{ab} est le compositum des extensions abéliennes sur K.

Dans la suite, on fixe un modèle de Weierstrass de E de la forme

Y^{2} = X^{3} + a_{4}X + a_{6},

où a_{4} et a_{6} sont des éléments de K. Si ℘ est la fonction de Weierstrass associée, la courbe complexe E(ℂ) est paramétrée par X = ℘(z) et Y = ℘′(z). On rappelle que les points complexes d’une courbe elliptique sont paramétrés par l’isomorphisme de groupes de Lie complexes

ℂ/Λ → E(ℂ) : y^{2} = x^{3} + a_{4}x + a_{6}, z ↦ (℘(z), ℘′(z)) ,

où ℘(z) est la fonction de Weierstrass définie par la formule

∀z ∈ ℂ, ℘(z) = \frac{1}{z^{2}} + ∑_{ω∈Λ^{∗}} (\frac{1}{(z − ω)^{2}} − \frac{1}{ω^{2}} ) .

Soient p un nombre premier et v une place de K au-dessus de p. On rappelle le théorème fondamental, dû à Deuring [8], concernant la multiplication complexe que l’on va utiliser ici. On renvoie par exemple à [16] Chapter II pour les démonstrations.

Proposition 2.2 Soit E/ℂ une courbe elliptique à multiplication complexe par O_{k}, anneau d’entiers d’un corps de nombres quadratique imaginaire. Il existe un unique isomorphisme

[·] : O_{k} → End(E)

tel que pour toute différentielle invariante de E, ω ∈ Ω_{E} et pour tout α ∈ O_{k}, on a

[α]^{∗}ω = αω.

De plus le degré de [α] est égal à N_{ℚ}^{k}(α).

Théorème 2.2 (Deuring) Soit E/K une courbe définie sur le corps de nombres K, à multiplication complexe par le corps quadratique imaginaire k. Soient p un nombre premier et v une place de K au-dessus de p telle que E a bonne réduction en v. Alors il existe un unique α_{v} ∈ O_{k} tel que ˜[α_{v}] = Frob_{E_{v}} où E_{v} est la réduction de E sur 𝔽_{v} et où ˜[α_{v}] dénote la réduction de l’endomorphisme [α_{v}].

De plus au cours de la preuve de ce théorème on montre que q := N_{ℚ}^{K}(v) = N_{ℚ}^{K}(α). Dans les deux lemmes qui suivent, conséquences du théorème précédent, on note π une uniformisante dans k de l’idéal maximal 𝔐 correspondant à la place v.

Lemme 2.1 Pour tout élément α ∈ O_{k}, il existe deux polynômes R_{α} et S_{α} premiers entre eux, à coefficients dans O_{k} tels que

℘(αz) = \frac{R_{α}(℘(z))}{S_{α}(℘(z))}, et S̃_{α} ≠ 0.

Ces deux polynômes sont définis à multiplication par une même unité de O_{k} près. Notamment quand α = α_{v}, on a

R_{α}(X) = uX^{q} + πV (X), et S_{α}(X) = u + πW (X),

où u est une unité v-adique de O_{k} et V et W sont deux polynômes à coefficients dans O_{k}.

Lemme 2.2 Pour tout α ∈ O_{k}, les polynômes R̃_{α} et S̃_{α} sont premiers entre eux.

Démonstration : On trouvera par exemple une preuve de ces deux lemmes dans [11] lemmes 3.1 et 3.2 respectivement. □

Nous aurons également besoin d’un lemme sur les endomorphismes du groupe formel associé à la courbe elliptique E. Si P est un point de la courbe de coordonnées affines (X, Y), on note t = −\frac{X}{Y} et on note [α_{v}] l’opérateur du groupe formel associé à l’endomorphisme α_{v}.

Lemme 2.3 Il existe une série entière ψ, à coefficients dans O_{K_{v}} telle que

[α_{v}](t) = t^{p} + π_{p}ψ(t).

Démonstration : C’est le lemme 3.3 de [11]. □

3 Réductions

On fait maintenant les mêmes réductions que dans le cas multiplicatif dû à Amoroso-Zannier. On note P l’ensemble des nombres premiers qui se décomposent totalement dans K. Pour chacune des places v de K au-dessus d’un tel premier p, la complétion v-adique de K est K_{v} = ℚ_{p}. Pour p ∈ P, on notera donc K_{p} cette complétion dans la suite. Soient p ∈ P et F/K une extension abélienne finie, on note e_{p}(F) l’indice de ramification de p dans F et F_{v} la complétion v-adique de F en v. On a K_{p} = ℚ_{p}, donc F_{v} est une extension abélienne de ℚ_{p}. Par le théorème de Kronecker-Weber local, elle est donc contenue dans une extension cyclotomique de ℚ_{p} que l’on notera ℚ_{p}(ζ_{m}). On pose m = m_{p}(F) le plus petit entier ayant cette propriété et on définit 𝔣_{p}(F) le conducteur local de F en p comme étant la plus grande puissance de p divisant m (il s’agit bien du conducteur local au sens de la théorie du corps de classes local). On pose

𝔣(F) = ∏_{p∈P} 𝔣_{p}(F),

le conducteur de F et on note que si F′ ⊂ F alors 𝔣(F′) ≤ 𝔣(F).

Soit maintenant P un point de E(\overline{K})\E_{tors} contredisant le théorème 1.1, de degré minimal, i.e., tel que pour tout point P′ ∈ E(\overline{K})\E_{tors} de degré D′ < D sur K^{ab}, on a

ĥ(P′) ≥ \frac{c(E/K)}{D′} (\frac{log log 5D′}{log 2D′} )^{13} .

Lemme 3.1 Pour démontrer le théorème 1.1, on peut supposer que pour tout point de torsion T ∈ E_{tors} on a [K^{ab}(P + T) : K^{ab}] ≥ D.

Démonstration : La hauteur de Néron-Tate est invariante par translation par un point de torsion. Le résultat découle donc immédiatement de la définition du point P et de la

décroissance pour t ≥ 1 de la fonction t ↦ \frac{c(E/K)}{t} (\frac{log log 5t}{log 2t})^{13}. □

Soit A l’ensemble des extensions abéliennes finies F/K telles qu’il existe un point de torsion T ∈ E_{tors} tel que [F (P + T) : F] ≤ D, i.e., tel que [F (P + T) : F] = D par le lemme précédent. Cet ensemble est non vide, puisque par définition de K^{ab}, on sait qu’il existe une extension abélienne finie F/K telle que [F (P) : F] = [K^{ab}(P) : K^{ab}] = D. L’extension F et le point T = 0 montrent donc que A est non vide. On définit alors l’entier

𝔣 = min_{F ∈A} 𝔣(F).

Lemme 3.2 Avec les notations précédentes, pour démontrer le théorème 1.1, on peut supposer que

D = [F (P) : F] où F/K est une extension appartenant à A, contenue dans K(P). (1)

On peut également supposer que

𝔣(F) = 𝔣.  (2)

Enfin, on peut aussi supposer que

∀T ∈ E_{tors} tel que K(P + T) ⊂ K(P), on a K(P + T) = K(P).  (3)

Démonstration : Par définition de K^{ab}, il existe une extension abélienne finie F/K telle que D = [F (P) : F], donc appartenant à A. On prend dans A une extension F/K réalisant le min des 𝔣(F), i.e., réalisant 𝔣. Montrons qu’on peut supposer (3). Soit T ∈ E_{tors} tel que K(P + T) ⊂ K(P), alors, le point T est défini sur le corps de nombres K(P) car P + T − P = T. Si pour tous ces T, on a l’égalité K(P + T) = K(P), il n’y a alors rien à montrer. Sinon, on note T l’ensemble fini des points de torsion tels que K(P +T) ⊊ K(P). Soient T ∈ T et P_{1} = P + T. L’extension K(P_{1}) est une sous-extension stricte de K(P). On note T_{1} l’ensemble fini des points de torsion tels que K(P_{1} + T) ⊊ K(P_{1}). Si T_{1} est non vide, on choisit T_{1} ∈ T_{1} et on pose P_{2} = P_{1} + T_{1}. L’extension K(P_{2}) est une sous-extension stricte de K(P_{1}). On construit ainsi une chaîne

K(P_{n}) ⊊ … ⊊ K(P_{1}) ⊊ K(P).

Donc pour n assez grand, on sait que K(P_{n+1}) = K(P_{n}), autrement dit que l’ensemble T_{n+1} correspondant est vide, c’est-à-dire que

∀T ∈ E_{tors} tel que K(P_{n} + T) ⊂ K(P_{n}), on a K(P_{n} + T) = K(P_{n}).

Or par construction, on a P_{n} = P + T_{n} où T_{n} est un point de torsion de E, donc le lemme 3.1 précédent assure que [F (P_{n}) : F] ≥ D_{n} ≥ D. De plus on a

D_{n} = [K^{ab}(P_{n}) : K^{ab}] ≤ [F (P_{n}) : F] ≤ [F (P) : F] = D

car K(P_{n}) ⊂ K(P), donc D_{n} = D. La hauteur de Néron-Tate étant invariante par translation par un point de torsion, on a également ĥ(P_{n}) = ĥ(P). Enfin, quitte à remplacer F par F_{1} = F ∩K(P_{n}), on voit que l’on peut aussi supposer l’hypothèse (1) vraie. La fonction 𝔣(·) étant croissante, l’hypothèse (2) est elle aussi vérifiée, ce qui conclut. □

Dans toute la suite on supposera désormais vraies les hypothèses (1), (2) et (3).

Remarque 3.1 On note que, comme K ⊂ F ⊂ K(P), on a aussi, F (P) = K(P).

On peut maintenant énoncer les deux lemmes de réduction qui nous serviront dans la suite. Le premier est inspiré du Lemma 2.1. (ii) de [2], le second est plus classique dans le cadre du probème de Lehmer.

Lemme 3.3 Soient p ∈ P et v une place de K au-dessus de p, alors, pour démontrer le théorème 1.1, on peut supposer que

soit K(α_{v}(P)) = K(P), soit [K(P) : K(α_{v}(P))] = p.

Démonstration : On considère le diagramme

[figure: K (P, E[α_{v}]); K(P); K (α_{v}(P), E[α_{v}]); G; K(α_{v}(P))]

L’extension K(P, E[α_{v}])/K(α_{v}(P), E[α_{v}]) est galoisienne d’ordre 1 ou p. En effet on a une injection naturelle Gal(\overline{K}/K(α_{v}(P), E[α_{v}])) ↪ E[α_{v}] : les conjugués de P par l’action de Gal(\overline{K}/K(α_{v}(P), E[α_{v}])) sont parmi les P +T, où T ∈ E[α_{v}] et α_{v} est une isogénie cyclique d’ordre p.

Si le groupe de Galois correspondant G est d’ordre p, alors l’extension K(P)/K(α_{v}(P)) est également d’ordre p.

Si G est d’ordre 1, on va montrer qu’il existe T ∈ E[α_{v}] tel que K(P + T) ⊂ K(α_{v}(P)). On regarde l’action de Gal(\overline{K}/K(α_{v}(P)) sur l’ensemble \{P + T / T ∈ ker[α_{v}]\}. Soit il y a une seule orbite, auquel cas [K(α_{v}(P)) : K(P)] = p; soit l’orbite ω_{P}, contenant P est de cardinal m strictement inférieur à p, donc premier à p. Dans ce cas, il existe T′ ∈ E[α_{v}], tel que

∑_{T ∈ω_{P}}(P + T) = mP + T′

est stable sous l’action de Gal(\overline{K}/K(α_{v}(P)). Par le théorème de Bézout, il existe deux entiers, λ et μ tels que λm + μp = 1. Par ailleurs, en notant α_{v}^{∨} l’isogénie duale de α_{v}, on a

K ([p]P) = K (α_{v}^{∨}(α_{v}(P))) ⊂ K(α_{v}(P)).

Ainsi, on a les inclusions

K ([λ]([m]P + T′) + [μp]P)) = K (P + [λ]T′) ⊂ K(α_{v}(P)).

On a donc l’inclusion K(P + [λ]T′) ⊂ K(P). Par l’hypothèse (3) ceci entraîne que

K(P) = K(P + [λ]T′) ⊂ K(α_{v}(P)).

On en déduit que K(P) = K(α_{v}(P)). □

Lemme 3.4 Pour tout p ∈ P sauf pour au plus \frac{1}{2} log D d’entre eux et pour toute place v de K au-dessus de p, on a

F (P) = F (α_{v}(P)).

Démonstration : C’est le lemme combinatoire classique de Dobrowolski [9] (dû à Laurent [11] lemme 4.2 dans le cas des courbes elliptiques). □

Notons que l’on pourrait éviter de recourir à ce lemme combinatoire, en faisant un raisonnement du même type que dans le lemme précédent, comme il est fait dans l’article d’Amoroso-Zannier [2]. Dans la suite on notera P^{⋆} le sous-ensemble de P formé des premiers vérifiant le lemme 3.4 précédent.

4 Lemmes d’extrapolation

Dans la partie 6 on va faire deux extrapolations différentes, selon qu’il y a beaucoup de places de F au-dessus de P^{⋆} ayant un gros indice de ramification, ou non, tout ceci étant bien évidemment quantifié. On commence par les lemmes qui nous permettront d’extrapoler dans le cas où il y a beaucoup de ramification.

4.1 Lemme ramifié

Lemme 4.1 Soient E/K une courbe elliptique à multiplication complexe, v une place de bonne réduction ordinaire et I_{v} le groupe d’inertie de Gal(\overline{K_{v}}/K_{v}). Alors, pour tout entier n ≥ 1, on a l’isomorphisme de I_{v}-module E[α_{v}^{n}] ≃ μ_{p^{n}}.

Démonstration : C’est le lemme 3.2 de [3]. □

Le lemme suivant est inspiré du lemme 3.2. de [2].

Lemme 4.2 Soient p ∈ P^{⋆} et e_{p} son indice de ramification dans F. Il existe un sousgroupe H_{p} de Gal(F/K) d’ordre

| H_{p} |≥ min{e_{p}, p},

tel que

| x^{p} − σx^{p} |_{w}≤ \frac{1}{p},

pour tout x ∈ O_{F}, tout σ ∈ H_{p} et toute place w de F au-dessus de p. De plus, pour toute place v de K au-dessus de p et pour toute extension τ ∈ Gal(\overline{K}/K) de σ ∈ H_{p} − \{Id\}, on a

τ(α_{v}(P)) ≠ α_{v}(P).

Démonstration : La fabrication de H_{p} et l’estimation de son cardinal se fait comme dans l’article de Amoroso-Zannier : soient v une place de F étendant p et F_{v} le complété v-adique de F. On pose m := m_{p}(F) le plus petit entier m tel que F_{v} ⊂ ℚ_{p}(ζ_{m}). On décompose m sous la forme m = 𝔣_{p} · n où n est premier à p et 𝔣_{p} est le conducteur local de F en p.

Si p ne se ramifie pas dans F, alors e_{p} = 1 et H_{p} = {Id} convient. On peut donc supposer que p se ramifie dans F, donc a fortiori dans ℚ(ζ_{m}). Ainsi p divise le conducteur local 𝔣_{p}. On pose Σ_{p} le groupe de Galois de l’extension ℚ_{p}(ζ_{m})/ℚ_{p}(ζ_{m/p}). C’est un groupe cyclique d’ordre p ou p − 1 selon que p^{2} divise 𝔣_{p} ou non. Par la propriété de minimalité de m, Σ_{p} ne fixe pas F_{v}, donc induit par restriction un sous-groupe non-trivial H_{v}^{∗} de Gal(F_{v}/K_{p}). On note que si p^{2} ne divise pas 𝔣_{p}, alors l’ordre de H_{v}^{∗} est au moins e_{p} car l’extension ℚ_{p}(ζ_{m/p})/ℚ_{p} est non-ramifiée ; alors que si p^{2} divise 𝔣_{p}, nécessairement H_{v}^{∗} est d’ordre p. On définit H_{v} comme étant l’image isomorphe de H_{v}^{∗} dans Gal(F/K). On peut voir que H_{v}^{∗} ne dépend pas de v, mais seulement de p. Il en est de même de H_{v} que l’on note désormais H_{p}. On a déja obtenu l’estimation de son cardinal.

Montrons la propriété de congruence : soit O l’anneau des entiers de ℚ_{p}(ζ_{m}). On a

∀x ∈ O, ∀σ ∈ Σ_{p} x^{p} ≡ σx^{p} mod pO,  (4)

(cf. par exemple [2] p. 717). Ainsi pour tout x ∈ O_{F} et pour tout σ ∈ H_{p}, l’entier x^{p}−σx^{p} ∈ F est d’ordre supérieur à e_{p} en v.

Montrons maintenant la dernière propriété. Soient σ ∈ H_{p} − \{Id\} et τ ∈ Gal(\overline{K}/K) une extension de σ. Supposons par l’absurde que τ(α_{v}(P)) = α_{v}(P). Soit 𝔼 le sous-corps de F fixe par σ. On a [𝔼(α_{v}(P)) : 𝔼] = [F (α_{v}(P)) : F]. De plus, par le lemme 3.4, le point P est défini sur la même extension de F que α_{v}(P). Donc,

[𝔼(α_{v}(P)) : 𝔼] = [F (α_{v}(P)) : F] = [F (P) : F] = D.  (5)

On va maintenant montrer que | Σ_{p} |= p : tout d’abord, comme 𝔼 est strictement inclus dans F, on a [F (P) : 𝔼] > [F (P) : F] et donc, d’après (5),

[F (P) : 𝔼(α_{v}(P))] = \frac{[F (P) : 𝔼]}{[𝔼(α_{v}(P)) : 𝔼]} = \frac{[F (P) : 𝔼]}{[F (P) : F]} > 1.  (6)

Par ailleurs, d’après la remarque 3.1, on a K(P) = F (P) et K ⊂ 𝔼(α_{v}(P)) ⊂ F (P). Ainsi, [F (P) : 𝔼(α_{v}(P))] divise [K(P) : K(α_{v}(P))]. Si K(P) = K(α_{v}(P)), alors τ fixe K(P) = F (P) donc fixe F ce qui contredit le choix de σ ≠ Id. Ainsi, par le lemme 3.3, l’extension K(P)/K(α_{v}(P)) est de degré p. On en déduit que l’extension F (P)/𝔼(α_{v}(P)) qui est non triviale par (6), est de degré p. On a ainsi

[F (α_{v}(P) : 𝔼(α_{v}(P))] = \frac{[F (P) : 𝔼(α_{v}(P))]}{[F (P) : F (α_{v}(P))]} = [F (P) : 𝔼(α_{v}(P))] = p par le lemme 3.4.

L’extension F/𝔼 étant galoisienne, on en déduit que | H_{p} |= [F : 𝔼] = p, donc par construction de H_{p} on obtient | Σ_{p} |= p.

On sait que sur une courbe elliptique à multiplication complexe, on a bonne réduction ordinaire en toutes les places v au-dessus d’un premier p ∈ P. On peut donc appliquer le lemme 4.1 dans notre situation. Par ce lemme on sait que les points de α_{v}^{k}-torsion sont définis sur ℚ_{p}(ζ_{p^{k}}) ⊂ ℚ_{p}(ζ_{m}). Ainsi F_{v}(E[α_{v}^{k}]) ⊂ ℚ(ζ_{m}), donc le groupe de Galois Σ_{p} induit par restriction un sous-groupe non-trivial de Gal(F (E[α_{v}^{k}])/K) qui est cyclique d’ordre p par le paragraphe précédent. Soit donc 𝔽 ⊂ F (E[α_{v}^{k}]) son sous-corps fixe. Soient x ∈ 𝔼 et ρ ∈ G_{1} = Gal(F (E[α_{v}^{k}])/𝔽) − {Id}. Puisque [F : 𝔼] = p, le morphisme σ engendre le groupe Gal(F/𝔼), donc il existe un entier u tel que ρ_{F} = σ^{u}. Notamment, on en déduit que ρ(x) = x, c’est-à-dire que

𝔼 ⊂ 𝔽.  (7)

On va maintenant montrer qu’il existe un point de α_{v}^{k}-torsion T tel qu’on ait l’inclusion 𝔽(P + T) ⊂ 𝔽(α_{v}(P)). Si 𝔽(P) ⊂ 𝔽(α_{v}(P)), il n’y a rien à montrer. Sinon, on a a fortiori l’inclusion stricte

𝔽(α_{v}(P)) ⊊ F (E[α_{v}^{k}], P ) .

Les extensions étant galoisiennes, [F (E[α_{v}^{k}], α_{v}(P)) : 𝔽(α_{v}(P))] divise [F (E[α_{v}^{k}]) : 𝔽] = p. De plus, par le lemme 3.4, F (E[α_{v}^{k}], P) = F (E[α_{v}^{k}], α_{v}(P)), donc on a l’égalité

[F (E[α_{v}^{k}], P ) : 𝔽 (α_{v}(P))] = p.

Ainsi, le morphisme de restriction

res : Gal (F (E[α_{v}^{k}], P)/𝔽(α_{v}(P))) → Gal (F (E[α_{v}^{k}])/𝔽) ,

entre groupes de même cardinaux est un isomorphisme. Soit ρ̃ un générateur du groupe cyclique Gal (F (E[α_{v}^{k}], P)/𝔽(α_{v}(P))). Il existe un point de α_{v}-torsion T_{1} tel que

ρ̃(P) = P + T_{1}.

De plus, par le lemme 4.1, on a l’isomorphisme de I_{v}-modules, E[α_{v}^{k}] ≃ μ_{p^{k}}, donc si T_{2} est un point de E[α_{v}^{k}]\E[α_{v}^{k−1}], alors le point T_{3} = ρ(T_{2}) − T_{2} est d’ordre p. Finalement, il existe un entier v tel que

T_{1} = vT_{3}.

On pose T = −rT_{2}. On a alors

ρ(P + T) = P + T_{1} − vρ(T_{2}) = P + vT_{3} − vT_{3} − vT_{2} = P + T.

Ceci nous donne bien l’inclusion 𝔽(P + T) ⊂ 𝔽(α_{v}(P)).

En utilisant (5) et (7), on obtient

[𝔽(P + T) : 𝔽] ≤ [𝔽(α_{v}(P) : 𝔽] ≤ [𝔼(α_{v}(P) : 𝔼] = D.

Or par construction, 𝔽_{v} ⊂ ℚ_{p}(ζ_{m/p}) et 𝔽 ⊂ F (E[α_{v}^{k}]), donc

𝔣_{p}(𝔽) ≤ \frac{p^{k}}{p} < 𝔣_{p}(F), et, si l ≠ p, 𝔣_{l}(𝔽) ≤ 𝔣_{l}(F).

On en conclut, que

[𝔽(P + T) : 𝔽] ≤ D et, 𝔣(𝔽) < 𝔣(F) = 𝔣,

ce qui contredit la définition de 𝔣. Ceci conclut la preuve par l’absurde. □

4.2 Lemme non-ramifié

On passe maintenant au lemme qui va nous permettre de faire l’extrapolation dans le cas où il n’y a pas beaucoup de ramification. Il s’agit du même lemme que dans le cas multiplicatif.

Lemme 4.3 Soit p ∈ P^{⋆}, il existe Φ_{p} ∈ Gal(F/K) tel que

| x^{p} − Φ_{p}x |_{v}≤ p^{− \frac{1}{ep}} ,

où x ∈ O_{F} et v est une valuation sur \overline{ℚ} étendant p.

Démonstration : C’est le lemme 3.1. de [2]. □

5 Lemme de Siegel

Dans la suite, on considère un point P_{1} qui sera soit P soit α_{v}(P). On note ℘(u) la coordonnée x de P_{1} et on note ℘(u_{1}), …, ℘(u_{D}) les différents conjugués de ℘(u) sur F. On dit que les u_{i} sont les conjugués de u.

Soient L et T deux entiers strictement positifs et N ∈]\sqrt{L}, 2\sqrt{L}[ un nombre premier (qui existe par le “postulat de Bertrand”). On va construire une fonction

φ(z) = ∑_{λ_{1}=0}^{L} ∑_{λ_{2}=0}^{L} p(λ_{1}, λ_{2})℘(z)^{λ_{1}}℘(Nz)^{λ_{2}}

avec p(λ_{1}, λ_{2}) ∈ \overline{ℤ} non tous nuls, telle que : φ n’est pas constamment nulle sur E(ℂ), φ est nulle en les conjugués u_{i} de u avec multiplicité T et les coefficients p(·, ·) sont bien controlés. Le premier point est assuré par le choix de N et le fait que les p(·, ·) ne sont pas tous nuls, le second découle d’un lemme de Siegel absolu.

Lemme 5.1 Soient n un entier et S un sous \overline{ℚ}-espace vectoriel de dimension d de \overline{ℚ}^{n}. Pour tout ε > 0, il existe un vecteur x ∈ S tel que

h_{2}(x) ≤ \frac{h_{2}(S)}{d} + \frac{log d}{2} + ε.

Démonstration : cf. [7] lemme 4.7 et la remarque qui suit. □

Proposition 5.1 Soient L, T et k trois entiers positifs tels que L^{2} ≥ kT et k^{c_{2}} > (L + T)^{2} pour une certaine constante absolue c_{2} > 0. Avec les notations précédentes, on peut construire la fonction φ, s’annulant en des points v_{1}, …, v_{k} avec multiplicité supérieure à T, telle que

h(φ) ≤ \frac{ckT}{(L + 1)^{2} − kT} (LN^{2}ĥ(P_{1}) + T log(T + L) + T log N + L) + log L,

où c est une constante ne dépendant que de E/K.

Démonstration : Par récurrence sur t ≤ T, on montre qu’il existe un polynôme Q_{λ_{1},λ_{2},t} dans O_{k}[X_{1}, …, X_{4}] de degré partiel en chaque variable majoré par L + 2t, à coefficients de valeur absolue majorée par c_{1}k^{c_{2}t} et tel que

\frac{d^{t}}{dz^{t}} (℘(z)^{λ_{1}}℘(Nz)^{λ_{2}}) = Q_{λ_{1},λ_{2},t} (℘(z), ℘′(z), ℘(Nz), ℘′(Nz)) .

Au rang t = 0, le polynôme Q = X_{1}^{λ_{1}}X_{3}^{λ_{2}} convient. Supposons la propriété vraie au rang t et montrons-la au rang t+1 : en notant abusivement Q_{t} le polynôme Q_{λ_{1},λ_{2},t}, on a

\frac{d^{t+1}}{dz^{t+1}} (℘(z)^{λ_{1}}℘(Nz)^{λ_{2}}) = \frac{d}{dz} \frac{d^{t}}{dz^{t}} (℘(z)^{λ_{1}}℘(Nz)^{λ_{2}})

= \frac{d}{dz} Q_{t} (℘(z), ℘′(z), ℘(Nz), ℘′(Nz))

= \frac{∂Q_{t}}{∂X_{1}} (·) ℘′(z) + … + N \frac{∂Q}{∂X_{4}} (·) ℘′′(Nz).

En utilisant la relation ℘′′(Nz) = 6℘(Nz)^{2} + 2a_{4}, on pose donc

Q_{t+1} = X_{2} \frac{∂Q_{t}}{∂X_{1}} + … + N(6X_{3}^{2} + 2a_{4})\frac{∂Q_{t}}{∂X_{4}} .

On a clairement deg_{X_{i}}Q_{t+1} ≤ L + 2(t + 1). De plus, en notant q_{i,t} les coefficients de Q_{t}, on a

|q_{i,t+1}| ≤ 6c_{1}N(L + 2t)k^{c_{2}t} ≤ 12c_{1}\sqrt{L}(L + 2T)k^{c_{2}t} ≤ c_{1}k^{c_{2}(t+1)}.

Finalement, le système ∀t ≤ T − 1, ∀i ∈ [[1, k]], φ^{(t)}(v_{i}) = 0 s’écrit :

∀t ≤ T − 1, ∀i ∈ [[1, k]], ∑_{λ_{1}=0}^{L} ∑_{λ_{2}=0}^{L} p(λ_{1}, λ_{2})Q_{λ_{1},λ_{2},t} (℘(v_{i}), ℘′(v_{i}), ℘(Nv_{i}), ℘′(Nv_{i})) = 0.

Pour tout 0 ≤ i ≤ k, posons

∀0 ≤ t ≤ T − 1, ∀0 ≤ λ_{1}, λ_{2} ≤ L, α_{(λ_{1},λ_{2}),t}^{(i)} = Q_{λ_{1},λ_{2},t} (℘(v_{i}), ℘′(v_{i}), ℘(Nv_{i}), ℘′(Nv_{i})) .

On considère les vecteurs

y_{i,t} = (α_{(0,0),t}^{(i)}, …, α_{(L,0),t}^{(i)}, …, α_{(L,L),t}^{(i)}) ∈ \overline{ℚ}^{(L+1)^{2}}.

Comme dans [6] p.42 inégalité (18) et suivante, on vérifie que les coefficients du système

y_{i,t} · x = 0, 0 ≤ i ≤ k, 0 ≤ t ≤ T − 1

avec x ∈ \overline{ℚ}^{(L+1)^{2}} sont tous de hauteur au plus

c_{3} (LN^{2}ĥ(P_{1}) + T log(T + L) + T log N + L) .

Par ailleurs, le \overline{ℚ}-espace vectoriel

S = \{x ∈ \overline{ℚ}^{(L+1)^{2}} / y_{i,t} · x = 0, 0 ≤ i ≤ k, 0 ≤ t ≤ T − 1 \}

est de dimension (L + 1)^{2} − kT et les vecteurs y_{i,t} forment une base de l’orthogonal S^{⊥}. De plus, le Lemma IV p.10 de [14], nous indique que

h_{2} (S) = h_{2} (S^{⊥}) ≤ ∑_{i,t} h_{2}(y_{i,t}) ≤ c_{3}kT (LN^{2}ĥ(P_{1}) + T log(T + L) + T log N + L) .

On applique le lemme 5.1 avec ε = \frac{1}{2} log \frac{(L+1)^{2}}{(L+1)^{2}−kT}. On a ainsi obtenu la fonction voulue, avec des coefficients dans \overline{ℚ} et avec la hauteur projective h_{2}. En fait, en appliquant une remarque de Roy et Thunder [13], on peut également trouver une solution à coefficients entiers algébriques et avec la hauteur h. La remarque consiste à dire que si x ∈ \overline{ℚ}^{n}, il existe a ∈ \overline{ℚ} tel que ax est à coefficients entiers algébriques et tel que h(ax) = h_{2}(ax) = h_{2}(x). □

6 Extrapolation

Il y a deux cas, selon que l’on a “beaucoup” de premiers ayant “beaucoup” de ramification ou non (ceci étant quantifié). On commence par le cas qui sera utilisé quand il n’y a pas beaucoup de grande ramification.

Proposition 6.1 Soient L_{1} et T_{1} deux entiers strictement positifs d’ordre de grandeur polynomial en D, tels que L_{1}^{2} ≥ DT_{1}. On pose P_{1} = P et on considère la fonction φ obtenue dans la proposition 5.1 avec L = L_{1}, T = T_{1} et k = D. Soient p ∈ P^{⋆} et v une place étendant p sur \overline{K}. Pour tout t ≤ min\{L_{1}, \frac{T_{1}}{2} \} et pour tout τ ∈ Gal(\overline{K}/K) étendant le morphisme Φ_{p} du lemme 4.3, on a

log | τ(φ)^{(t)}(α_{p}u) |_{v}≤ −\frac{T_{1}}{2e_{p}} log p + 8L_{1} log max\{1, | ℘(Nα_{v}u) |_{v}\}.

Démonstration : Il s’agit essentiellement du deuxième pas de [11] à la différence que l’on utilise un lemme de Siegel absolu, ce qui conduit à supposer l’annulation en un point et en tous ses conjugués, ainsi qu’à faire intervenir l’indice de ramification e_{p} de p dans F. On étend v au corps \overline{K}(X) en posant | X |_{v}= 1.

Il y a deux cas : soit ℘(u) est un v-entier, soit non.

Cas 1 : on vérifie simplement que l’on peut écrire φ^{(t)} comme un polynôme en les variables ℘(z), ℘(Nz), \frac{℘′(Nz)}{℘′(z)} de degré partiels en ℘(Nz) et \frac{℘′(Nz)}{℘′(z)} respectivement majorés par 3(L_{1} + t) ≤ 6L_{1} et par 1. On en déduit l’existence d’une fraction rationnelle G, telle que S_{N}(X)^{8L_{1}}G(X) soit un polynôme à coefficients dans O\overline{K} et vérifiant

G(℘(z)) = φ^{(t)}(z)^{2}.

La fraction rationnelle G(X) admet donc un zéro d’ordre supérieur à T_{1} aux points X = ℘(u_{1}), …, X = ℘(u_{D}). Notons Δ = ∑ a_{i}X^{i} le polynôme minimal unitaire sur F de ℘(u). Par hypothèse sur ℘(u), il est à coefficients entiers algébriques. Ainsi, il existe un polynôme H à coefficients v-entiers, tel que

S_{N}(X)^{8L_{1}}G(X) = Δ(X)^{T_{1}}H(X).  (8)

Si π_{p} est une uniformisante au-dessus de p dans K et π_{p,F} une uniformisante de p dans F, par le petit théorème de Fermat et le lemme 4.3, on obtient donc

τ (Δ) (℘(α_{v}u)) = τ (Δ) (℘(u)^{p}) = (Δ(℘(u)))^{p} = 0 mod π_{p,F} ,

et ce, pour tout π_{p,F} au-dessus de π_{p}. En substituant ℘(α_{v}u) à X dans (8) et en appliquant τ aux coefficients des polynômes S, G, H et Δ, on en déduit que le membre de droite de cette égalité transformée par τ est d’ordre en π_{p} supérieur à \frac{T_{1}}{e_{p}}. Il reste maintenant à majorer l’ordre en π_{p} de τ(S_{N})(℘(α_{v}u). Or S_{N} est à coefficients dans K, donc est, de même que R_{N}, invariant par τ. De plus,

℘(Nα_{v}u) = \frac{R_{N}(℘(α_{v}u))}{S_{N}(℘(α_{v}u))}.

D’après le lemme 2.2, les polynômes R_{N} et S_{N} réduits mod π_{p} sont premiers entre eux. Autrement dit, l’un des deux nombres R_{N}(℘(α_{v}u)), S_{N}(℘(α_{v}u)) est une unité de O\overline{K_{v}}. Si c’est S_{N}(℘(α_{v}u)), on a fini, sinon, c’est R_{N}(℘(α_{v}u)) et donc

ord_{π_{p}}(S_{N}(℘(α_{v}u)) = −ord_{π_{p}}℘(Nα_{v}u).

Cas 2 : Si ℘(u) n’est pas un v-entier, on fait un changement de carte comme dans le b) du deuxième pas de Laurent [11] : on effectue le changement de variable projectif

t = −\frac{X}{Y} et, s = −\frac{1}{Y} .

Alors s s’exprime en fonction du paramètre local t par une série entière s(t) à coefficients v-entiers. On considère cette fois la fonction

(℘′(z)℘′(Nz))^{−(L_{1}+t)} φ^{(t)}(z), à la place de φ^{(t)}(z)^{2}.

Elle s’écrit comme un polynôme en les variables −\frac{℘(z)}{℘′(z)}, −\frac{1}{℘(z)}, −\frac{℘(Nz)}{℘′(Nz)} et −\frac{1}{℘′(Nz)}. Il existe donc une série entière G, à coefficients v-entiers, telle que

G(t) = (℘′(z)℘′(Nz))^{−(L_{1}+t)} φ^{(t)}(z).  (9)

Soient ξ = −\frac{℘(u)}{℘′(u)} le paramètre local associé au point P et Δ le polynôme minimal unitaire de ξ sur F_{v}. D’après l’hypothèse, le nombre ξ est dans l’idéal maximal \overline{𝔪_{v}}, donc tous les coefficients de Δ, sauf le coefficient dominant, sont divisibles par π_{p}. Le théorème de préparation de Weierstrass montre qu’il existe une série entière H, à coefficients v-entiers, telle que

G(t) = Δ(t)^{(T_{1}−t)}H(t).

Dans cette identité on substitue t = [α_{v}](ξ) = ξ^{p} + π_{p}ψ(ξ) par le lemme 2.3. On conclut alors comme dans le premier cas (il faut savoir majorer

ord_{π_{p}}(℘′(α_{v}u)℘′(Nα_{v}u)) = ord_{π_{p}}s([α_{v}](ξ)) + ord_{π_{p}}s([Nα_{v}](ξ)).

Puisque N est premier à p, ces dernières quantités sont toutes deux égales à

−\frac{3}{2}ord_{π_{p}}℘(Nα_{v}u) (cf. paragraphes 3 et 6 de [17]).

Remplaçant dans (9), z par α_{v}u et t par [α_{v}](ξ) on peut alors conclure). □

On passe maintenant à la proposition qui nous servira quand il y a beaucoup de grande ramification.

Proposition 6.2 Soient L_{2} et T_{2} deux entiers d’ordre de grandeur polynomial en D et Λ_{2} un entier strictement positif, tels que L_{2}^{2} ≥ DT_{2}Λ_{2}. On considère la fonction φ obtenue dans la proposition 5.1 avec L = L_{2}, T = T_{2}, k = DΛ_{2} et avec

{u_{1}, …, u_{k}} := {α_{v}u_{i} /i ∈ {1, …, D} et v décrivant un ensemble P_{2}^{⋆} de cardinal Λ_{2}} .

Pour tout t ≤ min\{L_{2}, \frac{T_{2}}{2} \}, pour tout v dans l’ensemble P_{2}^{⋆} et pour tout τ ∈ Gal(\overline{K}/K) tel que τ_{F} ∈ H_{p}, p/v ∈ P_{2}^{⋆}, on a

log | τ(φ^{(t)})(α_{p}u) |_{v}≤ −\frac{T_{2}}{2} log p + 8L_{2} log max\{1, | ℘(Nα_{v}u) |_{v}\}.

Démonstration : Là encore il y a deux cas selon que ℘(u) est un v-entier ou non. On commence par le cas où c’est un v-entier. On étend v au corps \overline{K}(X) en posant | X |_{v}= 1 et on fait la même preuve que précédemment, en montrant cette fois-ci que

τ (Δ_{α_{v}}) (℘(α_{v}u)) = 0 mod π_{p},

où Δ_{α_{v}} est le polynôme minimal de ℘(α_{v}u). Pour montrer ceci, on note Δ^{(p)} le polynôme minimal de ℘(u) où l’on a élevé les coefficients à la puissance p. On a alors

τ (Δ_{α_{v}}) (℘(α_{v}u)) = τ (Δ^{(p)}) (℘(α_{v}u)) mod π_{p} par le petit théorème de Fermat,
= Δ^{(p)}(℘(α_{v}u)) mod π_{p} par le lemme 4.2,
= Δ^{(p)}(℘(u)^{p}) mod π_{p},
= (Δ(℘(u)))^{p} mod π_{p},
= 0.

Si ℘(u) n’est pas un v-entier, on utilise le même argument que dans le cas 2 de la proposition 6.1 précédente pour conclure de la même façon. □

7 Conclusion

7.1 Le cas du théorème 1.1

En notant [·] la partie entière, on pose C une constante assez grande (de sorte que les inégalités soient vérifiées) ne dépendant que de E/K et on pose

N_{1} = [C^{4} \frac{(log 2D)^{6}}{(log log 5D)^{5}} ] et E = [C (\frac{log 2D}{log log 5D})^{2}] .

Pour p entre N_{1}/2 et N_{1}, le théorème de Chebotarev nous indique qu’il y a plus de Λ =

[\frac{C^{4}}{2} (\frac{log 2D}{log log 5D})^{6}] tels p. En notant e_{v} l’indice de ramification de v dans F, on a : soit il y

a plus de Λ_{1} = Λ/2 nombres premiers p ayant une place v avec un e_{v} ≤ E, soit il y a plus de Λ_{2} = Λ/2 nombres premiers p ayant toutes les places v avec un e_{v} > E. On va traiter chaque cas séparément et conclure dans chacun de ces deux cas.

Cas 1 : il y a plein de v ayant peu de ramification, i.e., il y a plus de Λ_{1} = Λ/2 nombres premiers p ayant une place v avec un e_{v} ≤ E.

Dans ce cas, on note P_{1}^{⋆} le sous-ensemble de P^{⋆} correspondant à Λ_{1} et on introduit les paramètres suivants :

L_{1} = [C^{3}D\frac{(log 2D)^{5}}{(log log 5D)^{6}} ] , T_{1} = [C^{\frac{9}{2}} D\frac{(log 2D)^{7}}{(log log 5D)^{9}} ] , et, T′_{1} = [C^{3}D\frac{(log 2D)^{4}}{(log log 5D)^{6}} ] ,

et N est un nombre premier tel que \frac{1}{2} \sqrt{L_{1}} ≤ N ≤ \sqrt{L_{1}}.

Proposition 7.1 Pour tout p ∈ P_{1}^{⋆}, pour tout τ étendant Φ_{p}^{−1} et pour tout t ≤ T′_{1}, la fonction τ^{−1} (φ^{(t)}) de la proposition 6.1 s’annule en α_{v}u.

Démonstration : En notant

ζ = N_{F (P)/F} (τ (φ^{(t)}) (α_{v}u)) ,

on a grâce à la proposition 6.1,

log | ζ |_{v}≤ −\frac{DT_{1} log p}{2e_{v}} + 8L_{1} ∑_{w/v} D_{w} log max (1, | ℘(Nα_{v}u |_{w}) .

On en déduit

log | ζ |_{v}≤ −c_{12} \frac{DT_{1} log p}{2E} + DL_{1} (c_{10} + N^{2}pĥ(P)) .

Or par hypothèse sur ĥ(P), on a N^{2}pĥ(P) ≤ N^{2}N_{1}ĥ(P) ≤ c_{11}. En remplaçant les paramètres par leur valeur, on obtient donc

log | ζ |_{v}≤ −C^{\frac{7}{2}} D^{2} \frac{(log 2D)^{5}}{(log log 5D)^{6}} .

Ainsi, si ζ est non nul,

h(ζ) = h(ζ)^{−1} ≥ \frac{d_{v}}{d} log max\{1, | ζ^{−1} |_{v}\} ≥ C^{\frac{7}{2}} D^{2} \frac{(log 2D)^{5}}{(log log 5D)^{6}} .  (10)

Par ailleurs, un calcul classique (cf. par exemple [6] p.50) permet d’écrire

h(ζ) ≤ c_{15}DT′_{1} log(T′_{1} + L_{1}) + c_{16}DL_{1}N^{2}pĥ(P) + c_{17}Dh(φ)

où h(φ) est donnée par la proposition (5.1) :

h(φ) ≤ \frac{cDT_{1}}{(L_{1} + 1)^{2} − DT_{1}} (L_{1}N^{2}ĥ(P) + T_{1} log(T_{1} + L_{1}) + T_{1} log N + L_{1}) + log L_{1}.

en remplaçant les paramètres par leur valeur, on obtient :

h(ζ) ≤ c_{15}C^{3}D^{2} \frac{(log 2D)^{5}}{(log log 5D)^{6}} + c_{16}C^{3}D^{2} \frac{(log 2D)^{5}}{(log log 5D)^{6}} + c_{17}C^{3}D^{2} \frac{(log 2D)^{5}}{(log log 5D)^{6}} ,

Soit

h(ζ) ≤ c_{18}C^{3}D^{2} \frac{(log 2D)^{5}}{(log log 5D)^{6}} .  (11)

En comparant les inégalités (10) et (11), on obtient une contradiction pour C suffisamment grand, ce qui conclut. □

Puisque l’on travaille avec des p ∈ P^{⋆} ⊂ P, on a [F (α_{v}(P)) : F] = D. Donc, on obtient ainsi, en comptant les multiplicités, au moins

DT′_{1}Λ_{1} ≥ \frac{1}{2}C^{7}D^{2} \frac{(log 2D)^{10}}{(log log 5D)^{12}}  (12)

racines. Or en utilisant la relation

℘(Nz) = \frac{R_{N}(℘(z))}{S_{N}(℘(z))},

on peut écrire φ sous la forme

φ(z) = F (℘(z)),

où F est une fraction rationnelle de degré majoré par

(N^{2} + 1)L_{1} ≤ 2L_{1}^{2} ≤ 2C^{6}D^{2} \frac{(log 2D)^{10}}{(log log 5D)^{12}} .  (13)

En comparant (12) et (13), on en déduit que la fraction F est identiquement nulle. Donc il en est de même pour φ, ce qui est absurde par le choix de N. Le théorème est donc démontré dans ce cas.

Cas 2 : il y a plein de v ayant beaucoup de ramification, i.e., il y a plus de Λ_{2} = Λ/2 nombres premiers p ayant toutes les places v avec un e_{v} > E.

Dans ce cas, on note P_{2}^{⋆} le sous-ensemble de P^{⋆} correspondant à Λ_{2} et on introduit les paramètres suivants :

L_{2} = [C^{\frac{35}{8}} D\frac{(log 2D)^{7}}{(log log 5D)^{8}} ] , T_{2} = [C^{\frac{9}{2}} D\frac{(log 2D)^{7}}{(log log 5D)^{9}} ] et, T′_{2} = [C^{4}D\frac{(log 2D)^{6}}{(log log 5D)^{8}} ] ,

et N est un nombre premier tel que \frac{1}{2} \sqrt{L_{2}} ≤ N ≤ \sqrt{L_{2}}.

Proposition 7.2 Pour tout p ∈ P_{2}^{⋆}, pour tout τ tel que τ_{F} ∈ H_{p} et pour tout t ≤ T′_{2}, la fonction τ^{−1} (φ^{(t)}) de la proposition 6.2 s’annule en α_{v}u.

Démonstration : En notant

ζ = N_{F (P)/F} (τ (φ^{(t)}) (α_{v}u)) ,

on a grâce à la proposition 6.2,

log | ζ |_{v}≤ −\frac{DT_{2} log p}{2} + 8L_{2} ∑_{w/v} D_{w} log max (1, | ℘(Nα_{v}u |_{w}) .

On en déduit

log | ζ |_{v}≤ −c_{12} \frac{DT_{2} log p}{2} + DL_{2} (c_{10} + N^{2}pĥ(P)) .

Or par hypothèse sur ĥ(P), on a N^{2}pĥ(P) ≤ N^{2}N_{1}ĥ(P) ≤ c_{11}. En remplaçant les paramètres par leur valeur, on obtient donc

log | ζ |_{v}≤ −c_{13}C^{\frac{9}{2}} D^{2} \frac{(log 2D)^{7}}{(log log 5D)^{8}} .

Ainsi, si ζ est non nul, on a

h(ζ) = h(ζ^{−1}) ≥ \frac{d_{v}}{d} log max\{1, | ζ^{−1} |_{v}\} ≥ c_{14}C^{\frac{9}{2}} D^{2} \frac{(log 2D)^{7}}{(log log 5D)^{8}} .  (14)

Par ailleurs, le même calcul que précédemment permet d’écrire

h(ζ) ≤ c_{15}DT′_{2} log(T′_{2} + L_{2}) + c_{16}DL_{2}N^{2}pĥ(P) + c_{17}Dh(φ)

où h(φ) est donnée par la proposition (5.1) :

h(φ) ≤ \frac{cDΛ_{2}T_{2}}{(L_{2} + 1)^{2} − DΛ_{2}T_{2}} (L_{2}N^{2}ĥ(P) + T_{2} log(T_{2} + L_{2}) + T_{2} log N + L_{2}) + log L_{2}.

en remplaçant les paramètres par leur valeur, on obtient :

h(ζ) ≤ (c_{15}C^{4} + c_{16}C^{\frac{35}{8}} + c_{17}C^{\frac{17}{4}} ) D^{2} \frac{(log 2D)^{7}}{(log log 5D)^{8}} ,

soit,

h(ζ) ≤ c_{18}C^{\frac{17}{4}} D^{2} \frac{(log 2D)^{7}}{(log log 5D)^{8}} .  (15)

En comparant les inégalités (14) et (15), on obtient une contradiction, ce qui conclut. □

Puisque l’on travaille avec des p ∈ P^{⋆} ⊂ P, on a [F (α_{v}(P)) : F] = D. Donc, on obtient ainsi, en comptant les multiplicités, au moins

EDT′_{2}Λ_{2} ≥ \frac{1}{2}C^{9}D^{2} \frac{(log 2D)^{14}}{(log log 5D)^{16}}  (16)

racines. Or en utilisant la relation

℘(Nz) = \frac{R_{N}(℘(z))}{S_{N}(℘(z))},

on peut écrire φ sous la forme

φ(z) = F (℘(z)),

où F est une fraction rationnelle de degré majoré par

(N^{2} + 1)L_{2} ≤ 2L_{2}^{2} ≤ 2C^{\frac{35}{4}} D^{2} \frac{(log 2D)^{14}}{(log log 5D)^{16}} .  (17)

En comparant (16) et (17), on en déduit que la fraction F est identiquement nulle. Donc il en est de même pour φ, ce qui est absurde par le choix de N. Le théorème est donc démontré dans ce cas. Il est donc démontré dans tous les cas. □

7.2 Le cas du théorème 1.2

Pour prouver le théorème 1.2, on fait essentiellement la même preuve que pour le théorème 1.1 : on peut faire les mêmes réductions et on a uniquement besoin de la partie non-ramifiée de la preuve précédente. La seule chose qui change est le choix des paramètres permettant de conclure.

En notant [·] la partie entière et C une constante assez grande (de sorte que les inégalités soient vérifiées) ne dépendant que de E/K et de c_{0}, on pose E = 1 et

N_{1} = [3C^{2} \frac{(log 2D)^{2}}{log log 5D}] .

Pour p entre N_{1}/2 et N_{1}, le théorème de Chebotarev nous indique qu’il y a plus de Λ =

[\frac{C^{2}}{2} (\frac{log 2D}{log log 5D})^{2}] tels p. On note P_{1}^{⋆} le sous-ensemble de P correspondant à Λ et on introduit

les paramètres suivants :

L_{1} = [C^{2}D\frac{log 2D}{log log 5D}] , T_{1} = [2CD\frac{log 2D}{log log 5D}] , et, T′_{1} = [\frac{C^{2}}{2} D] ,

et N est un nombre premier tel que \frac{1}{2} \sqrt{L_{2}} ≤ N ≤ \sqrt{L_{2}}.

Le même argument qu’au cas 1 du paragraphe précédent nous permet alors de conclure.

Remarque 7.1 Notons que bien que la preuve de ce théorème 1.2 soit moralement la même que celle du théorème de [11], le fait d’utiliser un lemme de Siegel absolu conduit à un choix différent des paramètres pour faire fonctionner l’étape d’extrapolation.

8 Application du théorème 1.1

En fait une version affaiblie du théorème 1.1 suffit déjà. Précisément, on utilisera le corollaire suivant :

Corollaire 8.1 Soient E/K une courbe elliptique à multiplication complexe et ε un réel strictement positif. On note K^{ab} la clôture abélienne de K. Il existe une constante strictement positive c(E/K, ε) telle que

∀P ∈ E(\overline{K})\E_{tors}, ĥ(P) ≥ \frac{c(E/K, ε)}{D^{1+ε}},

où D = [K^{ab}(P) : K^{ab}].

On reprend les notations de l’article [18], et on va montrer comment éviter la seconde partie de la preuve (parties 4.3 et 4.4 et 6 de l’article [18]).

Soient n ≥ r ≥ 0 et P ∈ S_{n−r}(C). On note K(P) le corps de définition de P. On note x_{i} : C → E les applications coordonnées définies par la composition de l’immersion fermée C ↪ E^{n} et de la i-ème projection E^{n} → E. Comme E est à multiplication complexe, on sait que son anneau d’endomorphismes est un ordre O = ℤ+τℤ dans un corps quadratique imaginaire. On définit alors n morphismes supplémentaires : ∀1 ≤ i ≤ n, x_{n+i} = τx_{i}. On note

Γ = ⟨x_{1}, …, x_{n}⟩_{End(E)}

le coordinate module (définition de [18] p.51) : c’est le ℤ-module engendré par les x_{i} avec 1 ≤ i ≤ 2n. On considère par ailleurs le ℤ-module (qui est de rang 2r comme il suit du lemma 2. de [18])

Γ_{P} := ⟨x_{1}(P), …, x_{2n}(P)⟩_{End(E)} .

Dans sa proposition 2. de [18], Viada montre que K ((Γ_{P})_{tors}) ⊂ K(P) et elle montre également qu’il existe des éléments ℤ-linéairement indépendants g_{1}, …, g_{2r} de Γ_{P}, définis sur K(P) et engendrant la partie libre de Γ_{P}. Ainsi on peut écrire pour tout 1 ≤ i ≤ 2n,

x_{i}(P) = ∑_{j=1}^{2r} a_{ij}g_{j} + T_{i}

où T_{i} est un point de torsion. On pose ν_{j} = (a_{1j}, …, a_{nj}) et on pose | ν_{j} |= max_{i} | a_{ij} |. Avec ces notations on a l’inégalité (19) de [18] :

∏_{i=1}^{2r} ĥ(g_{i}) ≪ ∏_{i=1}^{2r} | ν_{i} |^{−2} .  (18)

Dans son corollary 1. Viada obtient alors l’inégalité

d ≪ (NR ∏_{i=1}^{2r} | ν_{i} |)^{\frac{1}{n−r}}  (19)

où d = [K(P) : K] et N et R sont deux entiers tels que (Γ_{P})_{tors} ≃ ℤ/Nℤ × ℤ/Rℤ. (Ces entiers existent par la proposition 2. de [18].)

Dans son corollary 2. Viada obtient enfin les inégalités

(NR)^{1−ε} ≪ d ≪ (NR)^{\frac{1}{n−r−1−ε}} .

Ainsi d est borné en fonction de N et si n − r ≥ 3 on obtient l’inégalité

(NR)^{1−ε} ≪ (NR)^{\frac{1}{2−ε}}

Ce qui permet de borner N et donc de conclure. Dans le cas où n − r = 2, autrement dit le cas qui nous intéresse réellement, on obtient juste

(NR)^{1−ε} ≪ (NR)^{\frac{1}{1−ε}}

ce qui ne permet malheureusement pas de conclure, d’où la nécessité d’une seconde étape assez technique dans l’article [18]. On montre maintenant, et c’est là la nouveauté, comment conclure dans le cas général en utilisant notre corollaire 8.1 et en réutilisant ce qui a été fait jusqu’à présent. On se place désormais dans le cas où n − r = 2. On note K_{N} = K ((Γ_{P})_{tors}). On peut toujours supposer que K = K(j(E)), donc K_{N}/K est une sousextension abélienne de l’extension abélienne K (E[N]) /K. On pose D = [K(P) : K_{N}]. On a, en utilisant toujours le corollary 2. de [18],

D = \frac{d}{[K_{N} : K]} ≪ (NR)^{\frac{1}{1−ε}} (NR)^{−(1−ε)} ≤ (NR)^{3ε}  (20)

si ε est suffisament petit. Par ailleurs, les points g_{1},…, g_{2r} sont des points d’ordre infini de E(K(P)). En appliquant le corollaire 8.1 puis l’inégalité (20), on obtient

∏_{i=1}^{2r} ĥ(g_{i}) ≫ D^{−2r−2rε} ≫ (NR)^{−6rε(1+ε)} ≫ (NR)^{−12nε}.  (21)

On a ainsi

(NR)^{1−ε} ≪ d ≪ (NR ∏_{i=1}^{2r} | ν_{i} |)^{\frac{1}{2}} par l’inégalité (19)

≪ (NR)^{\frac{1}{2}} ∏_{i=1}^{2r} ĥ(g_{i})^{− \frac{1}{4}} par l’inégalité (18)
≪ (NR)^{\frac{1}{2} +3nε} par l’inégalité (21)

Ceci permet de conclure la preuve du théorème en prenant ε assez petit.

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[18] E. Viada. The intersection of a curve with algebraic subgroups in a product of elliptic curves. In Ann. Scuola Norm. Pisa Cl. Sci. Série (V), volume 2, pages 47–75, 2003.

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