Magistère de Mathématiques Fondamentales et Appliquées et d’Informatique

Mémoire de Magistère

École Normale Supérieure

Nicolas Ratazzi

octobre 2001

Table des matières

1 Introduction au thème de recherche 4 1.1 Hauteur d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Approximation diophantienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Schéma général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Lemmes de Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Lemmes de zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Applications du schéma de démonstration . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Hauteur sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Théorie de l’intersection arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Degré et hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Théorème de Bombieri-Vaaler 15 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Hauteurs, mesures quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Hauteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Module d’un corps localement compact . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.3 Mesure de Haar et Adèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Théorème de Minkowski adélique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Le cube slicing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.1 Le théorème de Vaaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.2 Cube slicing inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5 Théorèmes de Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6 Une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Mémoire de DEA : Lemme de Esnault-Viehweg-Dyson 32

3.1 Rappels de géométrie algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.1 Les différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.2 Normalisation et applications propres . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.3 Morphismes entre courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.4 Les diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Diviseurs de Weil et de Cartier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Diviseurs et fibrés en droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.5 Éclatements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Construction de Proj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Éclatements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.6 Formule de la projection pour les faisceaux . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2 Théorie de l’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.1 Ordre des zéros et des pôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.2 Cycles et équivalence rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.3 Image directe de cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.4 Degré d’un cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.5 Degré et polynôme de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Schémas projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Polynôme de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.6 Image réciproque plate de cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.7 Intersection avec des diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.8 Commutativité des classes d’intersection . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.9 Classe de Chern d’un fibré en droites . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2.10 Diviseurs numériquement effectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3 Le lemme de Dyson selon M. Nakamaye. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3.1 Énoncé des théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Indice d’une section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Le lemme de Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3.2 Le faisceau d’idéaux I_{d}(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Les faisceaux d’idéaux I_{d}(s) et ℑ_{ζ,d,t} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Le support de O_{ℙ}/I_{ζ,d,t} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Un calcul de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3.3 Le théorème du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3.4 Fin de la preuve du théorème 3.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Le lemme clé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Construction du cycle effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Minoration de deg R_{i} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.3.5 Preuve du théorème 3.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

A Groupes formels de Lubin Tate 82 A.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 A.2 Groupes formels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

A.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 A.2.2 Le lemme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

A.3 L’extension totalement ramifiée K_{π} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 A.3.1 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 A.3.2 L’extension K_{π}/K et son groupe de Galois . . . . . . . . . . . . . . 88

A.4 L’extension L_{π} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 A.5 Sous-groupes de ramification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A.5.1 “Rappels” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 A.5.2 Sous-groupes de ramification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

B Mémoire de maitrise : Théorie de Galois différentielle 93 B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 B.2 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

B.2.1 Dérivations et corps différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 B.2.2 Le groupe de Galois différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

B.3 Strucure algébrique du groupe de Galois différentiel . . . . . . . . . . . . . 96 B.3.1 La topologie de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 B.3.2 Deux lemmes algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 B.3.3 La structure algébrique de Gal_{∂}(M/K) . . . . . . . . . . . . . . . . 98

B.4 Outils d’algèbre différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 B.4.1 Extension d’idéaux premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 B.4.2 Un lemme sur les anneaux de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . 101 B.4.3 Les isomorphismes admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

B.5 Le coeur de la théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 B.5.1 Préliminaires et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 B.5.2 Normalité de l’extension de Picard-Vessiot . . . . . . . . . . . . . . 104 B.5.3 Complétion de la théorie de Galois différentielle . . . . . . . . . . . 105

B.6 Résolution par quadrature des équations différentielles linéaires . . . . . . . 106 B.6.1 Étude des extensions de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 B.6.2 Deux lemmes sur les groupes algébriques linéaires . . . . . . . . . . 108 B.6.3 Trigonalisation simultanée d’automorphismes . . . . . . . . . . . . . 109 B.6.4 Démonstration du théorème VI.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 B.6.5 Application à l’équation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Chapitre 1

Introduction au thème de recherche

\underline{Sommaire}

1.1 Hauteur d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Approximation diophantienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Schéma général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Lemmes de Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Lemmes de zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Applications du schéma de démonstration . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Hauteur sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Théorie de l’intersection arithmétique . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Degré et hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1 Hauteur d’un point

Dans toute la suite, on note k un corps de nombres (i.e. une extension finie de ℚ) et on note [k : ℚ] son degré. On note M_{k} l’ensemble des valeurs absolues sur k. On normalise la valeur absolue p-adique par : |p|_{p} = p^{−1}, et on note d_{v} = [k_{v} : ℚ_{v}] le degré local, où k_{v} désigne le complété de k pour la topologie définie par v.

Définition 1.1.1 Soit x = (x_{0} : ... : x_{n}) ∈ ℙ_{n}(k), on définit la hauteur (logarithmique absolue) de x par :

h(x) = ∑_{v∈M_{k}} \frac{d_{k}}{[k : ℚ]} log max\{|x_{0}|_{v},...,|x_{n}|_{v}\}.

On note facilement que cette définition est indépendante du corps k et du choix d’un système de coordonnées projectives pour le point x. Ceci nous permet d’étendre la définition à un point x ∈ ℙ_{n}(\overline{ℚ}). Par ailleurs, le plongement naturel \overline{ℚ} ↪ ℙ_{1}(\overline{ℚ}) qui à x associe (1 : x) nous permet de définir la hauteur d’un point de \overline{ℚ} par : h(x) = h(1 : x). L’objectif de cette notion de hauteur est de définir une fonction qui, d’une part, mesure la “complexité” arithmétique du point (de manière simpliste, \frac{999}{1000} est plus compliqué que 1), d’autre part vérifie certaines propriétés de finitude. La nature arithmétique de la hauteur découle de la définition. Le théorème suivant nous donne la propriété de finitude fondamentale de la hauteur. Ce résultat simple est utilisé dans la majorité des démonstrations de théorèmes de géométrie diophantienne (par exemple, cf. plus loin, les théorèmes de Siegel, Faltings...).

Théorème 1.1.1. (Northcott) Soit d et h deux réels positifs. L’ensemble :

\{x ∈ ℙ_{n}(\overline{ℚ})/ [ℚ(x) : ℚ] ≤ d, h(x) ≤ h\}

est fini. Notamment, l’ensemble des points appartenant à un corps k fixé et de hauteur bornée, est fini.

Corollaire 1.1.1. (Kronecker) Soit k un corps de nombre, et soit x = (x_{0} : …: x_{n}) un point de ℙ_{n}(k) tel que pour un certain i, x_{i} est non nul. Alors :

h(x) = 0 ⟺ ∀j ∈ [[0,n]] \frac{x_{j}}{x_{i}} ∈ μ_{∞} ou \frac{x_{j}}{x_{i}} = 0.

Le dernier point important concernant la hauteur des points est la positivité : pour tout point x, h(x) est positif ou nul.

Ces résultats appellent naturellement deux questions :

1. Le théorème de Kronecker caractérise les points de hauteur nulle, et on sait donc, si x ∈ \overline{ℚ}, que si x ∉ μ_{∞} alors h(x) > 0. Question : comment minorer h(x)? On constate que pour x = 2^{\frac{1}{d}}, on a h(x) = \frac{log 2}{d} qui tend vers zéro quand d tend vers +∞. Ainsi on ne peut minorer h(x) au mieux que par une fonction de d. Une conjecture de Lehmer (1932) indique que le cas particulier précédent est essentiellement le pire : Conjecture 1.1.1. Il existe une constante c > 0 telle que ∀x ∈ \overline{ℚ}, on a :

d = [ℚ[x] : ℚ] ⟹ h(x) ≥ \frac{c}{d}.

Cette conjecture est toujours une question ouverte mais on a quand même un certain nombre de réponses partielles. En 1979, Dobrowolski [Dob79] a montré que h(x) ≥

\frac{c}{d} (\frac{log(log d)}{logd})^{3}, et en 1999 Amoroso et David [AD99] ont montré que la conjecture de Lehmer est vraie si l’extension ℚ[x]/ℚ est normale.

2. On peut aussi se demander si on ne pourrait pas généraliser la notion de hauteur d’un point à celle de hauteur d’une variété (un point étant vu comme une variété de dimension 0). La réponse à cette question est affirmative et découle de la théorie de l’intersection arithmétique. On retrouve encore (cf. [BGS94]) des résultats de finitude du même type que le théorème de Northcott.

1.2 Approximation diophantienne

1.2.1 Schéma général

Un grand nombre de démonstrations en théorie de la transcendance et de l’approximation diophantienne suivent le même schéma : on construit un polynôme auxiliaire F qui s’annule avec un grand ordre en un certain nombre de points approximants, puis on borne l’ordre d’annulation de F en ces points afin d’en tirer une contradiction. On peut illustrer ceci en donnant la démonstration (très simple) du théorème de Liouville : “Soit x ∈ \overline{ℚ} de degré d ≥ 2, et soit ε > 0, alors il existe seulement un nombre fini de rationnels \frac{p}{q} ∈ ℚ tels que :

|\frac{p}{q} − x| ≤ \frac{1}{q^{d+ε}} .”

Démonstration : étape 1 : construction du polynôme. Dans ce cas précis, le choix évident est de prendre le polynôme F minimal de x, à coefficients dans ℤ. Étape 2 : le polynôme s’annule en certains points approximant \frac{p}{q}. On suppose que \frac{p}{q} est proche de x et que q est grand, on veut montrer que F (\frac{p}{q}) = 0. F est de degré d et à coefficients entiers, donc : F (\frac{p}{q}) = \frac{N}{q^{d}} pour un entier N. On effectue alors un développement de Taylor en x et on obtient une estimation du type :

|\frac{N}{q^{d}} | ≤ \frac{C(x)}{q^{d+ε}} où C(x) est une constante dépendant uniquement de x.

On en déduit que |N| ≤ \frac{C(x)}{q^{ε}}. Or N est entier, donc pour q assez grand N = 0, i.e., F (\frac{p}{q}) = 0.

Étape 3 : borne sur l’ordre d’annulation. Le polynôme F est minimal, donc \frac{p}{q} annule F à l’ordre 0. Étape 4 : contradiction. Si on avait une infinité de rationnels approximants, l’étape 2 montre que pour q assez grand F (\frac{p}{q}) = 0 et l’étape 3 indique au contraire que \frac{p}{q} n’annule pas F, d’où la contradiction. □

Cette version se généralise en le théorème de Roth, mais on peut remarquer que la même démonstration fournit facilement la version suivante du théorème de Liouville : “soit x de degré d, il existe une constante C(x) telle que pour tout rationnel \frac{p}{q}, on a |\frac{p}{q} − x| ≥ \frac{C(x)}{q^{d}}.”

1.2.2 Lemmes de Siegel

Dans l’exemple précédent l’étape 3 est très facile, mais ceci n’est qu’illusoire : cela provient du fait que le polynôme F est en une variable. Dans la plupart des cas, c’est justement cette étape qui est la plus difficile. En général, l’étape 1 est assez facile, et se montre en utilisant des lemmes du type lemme de Siegel (on trouvera un lemme de Siegel assez fin, le théorème de Bombieri-Vaaler, au chapitre 3 de ce mémoire). Ces lemmes sont essentiellement des généralisations du principe des tiroirs :

Théorème 1.2.1. (Siegel version 1) Soit A ∈ M_{m,n}(ℤ) et m < n, alors, il existe X ∈ ℤ^{n} non nul tel que :

||X||_{∞} ≤ (n||A||_{∞})^{\frac{m}{n−m}} , et AX = 0.

Théorème 1.2.2. (Siegel version 2) Soit k un corps de nombres de degré d. Soit m et n > md deux entiers positifs, et soit δ ≥ \frac{md}{n−md} réel strictement positif. Soit L_{1},..., L_{m} des formes linéaires en n variables à coefficients dans k, avec ∀i ≤ m h(L_{i}) ≤ h. Alors, il existe X ∈ ℤ^{n} − {0} tel que ∀i ≤ m, L_{i}(X) = 0, et h(X) ≤ δ(h + log n).

En simplifiant légérement, les deux versions affirment l’existence d’une solution entière x non triviale (d’un système ayant plus d’inconnues que d’équations) vérifiant

h(x) ⪅ h(équations) × \frac{d × nombre d’équations}{nombre d’inconnues − d × nombre d’équations}.

1.2.3 Lemmes de zéros

Une méthode de démonstration de l’étape 3 consiste à utiliser des lemmes de zéros. On peut classer les lemmes de zéros en deux catégories : d’une part les lemmes initialement dus à Masser-Wüstholz puis généralisés par Philippon (cf. par exemple [Phi86]), d’autre part le lemme de Dyson, généralisé par Esnault-Viehweg ([EV84]) pour s’appliquer à des polynômes en un nombre quelconque de variables. L’énoncé précis du lemme de Esnault-Viehweg-Dyson est assez technique ; on le trouvera avec une démonstration (suivant Nakamaye) au chapitre 4 de ce mémoire. On donne par contre, dès à présent, un lemme suivant la philosophie de Masser-Wüstholz.

Soit k un corps de nombres, x ∈ 𝔾_{m}^{n}(k), et soit N_{1}, …, N_{n} des entiers strictement positifs. On note P_{j} ⊂ [[1,N_{j}]], j ∈ [[1,n]] et ∑_{j} = {x^{p_{j}...p_{n}} / (p_{j},...,p_{n}) ∈ P_{j} × ... × P_{n}}, et ∑_{n+1} = {x}. On a alors

Lemme 1.2.1. (Lemme de zéros) Soit F ∈ ℚ[X_{1},...,X_{n}] un polynôme non identiquement nul de degré inférieur à L et s’annulant sur ∑_{1}. Il existe un entier r ∈ [[1,n]] et une sous variété algébrique V propre et ℚ-irréductible de 𝔾_{m}^{n}(\overline{ℚ}), rencontrant ∑_{r+1} et telle que :

codim(V) ≤ r et deg ( ⋃_{p∈P_{r}}[p]V ) ≤ (N_{1}...N_{r}L)^{codim}(V).

1.2.4 Applications du schéma de démonstration

Le schéma de démonstration que l’on vient d’esquisser a été extrêmement fructueux, on donne ici quelques applications. Dans toutes ces applications la hauteur intervient essentiellement de la manière suivante : en utilisant le théorème de Northcott, on montre qu’un ensemble de points est fini en montrant que cet ensemble est de hauteur bornée.

Théorème 1.2.3. (Théorème de Roth) Soit ε > 0 et soit x ∈ \overline{ℚ}. Alors, l’équation

|x − \frac{p}{q}| ≤ \frac{1}{q^{2+ε}}

n’a qu’un nombre fini de solutions \frac{p}{q} ∈ ℚ.

On peut trouver une preuve de ce théorème suivant le schéma de démonstration indiqué précédemment dans [EV84] : la preuve du théorème de Roth utilise toute la puissance du lemme de Esnault-Viehweg (et pas simplement la version à 2 variables due à Dyson et qui ne permet d’obtenir qu’un exposant \sqrt{2[ℚ(x) : ℚ]} + ε au lieu du 2 + ε obtenu ici). Notons que dans le cas d’un nombre quadratique, on retrouve le théorème de Liouville.

On donne maintenant un cas particulier d’un théorème de Siegel concernant les courbes affines. On note R_{S} l’anneau des S-entiers de k un corps de nombres, avec S un ensemble fini de places, c’est-à-dire :

R_{S} = {x ∈ k / |x|_{v} ≤ 1 ∀v ∈ M_{k}, v ∉ S} .

Théorème 1.2.4. (Théorème de Siegel) Soit S un ensemble fini de places d’un corps de nombres k contenant les places à l’infini. Soit f ∈ k[X] un polynôme à racines simples et de degré supérieur à 3. Alors l’équation y^{2} = f(x) n’a qu’un nombre fini de solutions dans R_{S}.

Théorème 1.2.5. (Conjecture de Mordell : théorème de Faltings) Soit C une courbe projective au-dessus d’un corps de nombre k, de genre g ≥ 2, alors C(k) est fini.

Avant d’énoncer le théorème suivant, qui est une généralisation en dimension supérieure du théorème de Dobrowolski concernant le problème de Lehmer, on définit l’indice d’obstruction δ(x) d’un point x ∈ 𝔾_{m}^{n}(\overline{ℚ}) comme étant le degré d’un polynôme de degré minimal annulant x.

Théorème 1.2.6. (Amoroso-David) Pour tout entier n ≥ 1, il existe un nombre réel c(n) > 0, tel que pour tout élément x ∈ 𝔾_{m}^{n}(\overline{ℚ}), dont les coordonnées sont multiplicativement indépendantes, on ait

h(x) ≥ \frac{c(n)}{δ(x)} log(3δ(x))^{−κ(n)}, avec κ(n) = (n + 1)(n + 1)!^{n} − n.

La démonstration de ce théorème, que l’on trouve dans [AD99], utilise le lemme de Philippon avec multiplications. On obtient en corollaire de ce résultat une réponse affirmative à la conjecture de Lehmer dans le cas où l’extension ℚ[x]/ℚ est normale.

1.3 Hauteur sur les variétés

1.3.1 Théorie de l’intersection arithmétique

Soit k un corps de nombres de degré [k : ℚ], O_{k} son anneau d’entiers et S = Spec(O_{k}) le schéma affine associé. On rappelle que, par définition, l’ensemble sous-jacent à Spec (A) (A un anneau) est l’ensemble des idéaux premiers de A. De plus, on dit que X est un schéma si il est localement de la forme Spec A. Pour tout plongement σ : k ↪ ℂ et pour tout k-schéma ou S-schéma, on note X_{σ} le ℂ-schéma déduit de X par le changement de base σ. On constate que X(ℂ), comme schéma sur ℤ, s’identifie avec l’union disjointe des X_{σ}. Dans ce qui suit, on appellera variété arithmétique, projective, régulière, tout schéma X régulier, plat et projectif sur S, et dont la fibre générique X×_{S}K est régulière. Moralement (en regardant la variété comme étant au-dessus de ℤ), on considère un système d’équations polynômiales homogènes à coefficients dans ℤ

f_{1}(x_{0}, …,x_{N}) = … = f_{k}(x_{0}, …,x_{N}) = 0.

Ce système définit le schéma projectif X = Proj(S), où S est le quotient (sans torsion du fait des hypothèses) de ℤ[X_{0}, …, X_{N}] par l’idéal engendré par f_{1}, …, f_{k}. Les points de X sont les idéaux homogènes premiers de S non contenus dans l’idéal irrelevant. La projection π : X → Spec(ℤ) est définie par P ↦ P ∩ ℤ. Les fibres de π sont les π^{−1}(pℤ) = X/p = Proj(S/pS) pour p premier, et π^{−1}((O)) = X_{ℚ} = Proj(S ⊗ ℚ). La variété X est régulière et plate, donc X/p est une variété lisse sur 𝔽_{p}, pour tout p sauf un nombre fini où la variété n’est même pas forcément réduite.

On va esquisser la construction de la hauteur d’une variété arithmétique projective régulière selon Bost-Gillet-Soulé [BGS94], généralisant ainsi la notion de hauteur d’un point. On va notamment voir que l’on retrouve la fondamentale propriété de finitude, des résultats de positivité, et une analogie importante avec la notion de degré géométrique. La construction se fait en plusieurs étapes. On commence par définir un groupe de Chow arithmétique ĈH^{∗}(X). Sans trop entrer dans les détails, disons qu’un élément z de ĈH^{p}(X) est une classe (Z,g) où Z est une classe de cycle de codimension p appartenant au groupe de Chow CH^{p}(X) et où g est une classe de courant de Green pour Z(ℂ). Un courant de Green g pour un cycle analytique Z de codimension p étant par définition une forme différentielle réelle de type (p − 1, p − 1) à coefficients des distributions, tel que si F_{∞} est l’involution antiholomorphe provenant de la conjugaison complexe, si d = ∂ + \overline{∂} et d^{c} = \frac{i}{4π}(∂ − \overline{∂}), et si δ_{Z} est le courant d’intégration sur Z, on a

F_{∞}^{∗}(g) = (−1)^{p}g et dd^{c}g + δ_{Z} est une forme différentielle lisse de type (p,p),

où on injecte l’espace des formes différentielles dans celui des courants par

ω ↦ [η ↦ ∫ η ∧ ω].

Tout morphisme f : X → Y de variété arithmétique régulière induit un morphisme contravariant de groupe

f^{∗} : ĈH^{p}(Y) → ĈH^{p}(X) défini “formellement” par f^{∗}[(Z,g)] = [(f^{∗}Z,f_{ℂ}^{∗}g)].

Quand X et Y sont de plus équidimensionnelles, que f est propre et que sa restriction à X_{k} = X × Spec(k) est lisse, alors on peut aussi définir un morphisme image directe

f_{∗} : ĈH^{p}(X) → ĈH^{p−δ}(Y) par f_{∗}[(Z,g)] = [(f_{∗}Z,f_{ℂ∗})],

où δ = dimX − dimY. Au niveau des groupes de Chow CH^{∗}(X), ces deux morphismes sont définis rigoureusement dans les rappels de théorie de l’intersection au chapitre 4 de ce mémoire. Dans ce même chapitre, on définit un produit d’intersection X · Y pour des classes de cycles X et Y de codimension 1. Ce produit d’intersection s’étend en un produit d’intersection X ·Y pour des classes de cycles X et Y de codimensions quelconques. Dans le cas de schémas de type fini au-dessus d’un corps on trouve une construction dans [Ful98]. Dans le cas d’un schéma noethérien et régulier, on trouve une construction, à valeur dans le groupe de Chow tensorisé par ℚ, dans [SABK92]. On définit ensuite un star-produit pour des courants de Green g_{1}∗g_{2}. Cela nous permet de construire un produit d’intersection arithmétique :

ĈH^{p}(X) ⊗ ĈH^{q}(X) → ĈH^{p+q}(X) ⊗ ℚ.

On retrouve alors toutes les propriétés classiques, comme, la formule de la projection : sous de bonnes hypothèses (par exemple si f est propre et plat), on a

f_{∗}(x · f^{∗}(y)) = f_{∗}(x) · y.

Soit \overline{L} un fibré en droites hermitien sur une variété arithmétique X, c’est-à-dire un couple (L, h) où L est un O_{X}-module localement libre de rang 1, et h un produit scalaire hermitien de classe C^{∞} sur le fibré holomorphe L_{ℂ}, invariant par F_{∞}. On définit la première classe de Chern de \overline{L}, ĉ_{1}(\overline{L}) comme étant la classe de (div(s), − log ||s||^{2}) pour toute section s de H^{0}(X,L) de norme ||s|| sur X(ℂ). On définit de plus la forme c_{1}(\overline{L}) comme étant la forme lisse associée au courant défini par ĉ_{1}(\overline{L}).

1.3.2 Degré et hauteur

Dans le cas X = S = Spec(O_{k}) les groupes ĈH^{p}(X) s’annulent pour tout p > 1. On note par

deg_{k} : ĈH^{∗}(S) → ℤ la projection sur ĈH^{0}(X) ≃ CH^{0}(X) ≃ ℤ ,et par

d̂eg : ĈH^{∗}(X) → ℝ,

le degré arithmétique d̂eg défini comme étant la projection sur ĈH^{1}(S) suivie du morphisme ĈH^{1}(S) → ĈH^{1}(Spec(ℤ)) (attaché à l’unique morphisme de S sur Spec(ℤ) qui, à un idéal premier P de O_{k}, associe sa restriction à ℤ), et suivi de l’isomorphisme ĈH^{1}(Spec(ℤ)) ≃ ℝ qui, à la classe (0,2λ), associe le réel λ. En récitant les définitions de tous les objets, on voit qu’un élément de Z^{1}(S) est un couple (∑_{P} n_{P},λ) où P est un élément de S, n_{P} un entier presque toujours nul, et λ une application qui, à un plongement σ, associe un réel λ(σ) tel que λ(σ) = λ(\overline{σ}). On montre alors que

d̂eg (∑_{P} n_{P},λ) = ∑_{P} n_{P} log(NP) + \frac{1}{2} ∑_{σ : k→ℂ}λ(σ),

où NP est la norme de P. Par ailleurs, comme le produit de deux éléments de ĈH^{1}(S) s’annule (car il appartient à ĈH^{2}(S) = 0), la structure multiplicative de ĈH^{∗}(S) est simplement donnée par sa structure de ℤ = ĈH^{0}(S)-module. En particulier, on a

deg_{k}(xy) = deg_{k}(x)deg_{k}(y), et d̂eg(xy) = d̂eg(x)deg_{k}(y) + deg_{k}(x)d̂eg(y).

On définit maintenant l’accouplement ĈH^{∗}(X)×Z_{∗}(X) → ĈH^{∗}(Spec(O_{k}))⊗ℚ. Pour cela, on suppose que X est une variété arithmétique, régulière, projective et équidimensionnelle, de dimension d. Soit p et q deux entiers positifs, soit Y ∈ Z_{p}(X) un cycle de dimension p et soit x ∈ ĈH^{q}(X) une classe de cycle arithmétique de codimension q. On va définir, en suivant [BGS94], un élément (x|Y) ∈ ĈH_{p−q}(S) ⊗ ℚ = ĈH^{q−p+1}(S) ⊗ ℚ:

Quand p est différent de q et de q + 1, on pose (x|Y) = 0.

Quand p = q, on pose (x|Y) = π_{∗}[(Z · Y,gδ_{Y})] = [(π_{∗}(Z · Y),π_{∗}(gδ_{Y}))] ∈ ĈH^{1}(S) ⊗ ℚ, où (Z,g) est un représentant “convenable” de x.

Quand p = q+1, on note z(x) la projection de x dans le groupe de Chow CH^{∗}(X), et on note z(Y) la classe de Y. On pose alors (x|Y) = π_{∗}(z(x)·z(Y)) ∈ CH^{0}(S) = ĈH^{0}(S) = ℤ.

On peut maintenant définir la hauteur d’une variété X arithmétique, projective, régulière, et plus généralement la hauteur d’un cycle d’une telle variété. Soit X une telle variété, et soit \overline{L} = (L,h) un fibré en droite hermitien sur X. Pour tout cycle Z ∈ Z_{p}(X) de dimension p, on définit la hauteur de Z relativement à \overline{L} comme étant le réel

h\overline{L}(Z) = d̂eg (ĉ_{1}(\overline{L})^{p}|Z) ∈ ℝ.

On a en particulier

h_{L}(X) = d̂eg(ĉ_{1}(\overline{L})^{p}).

Un point important est de noter que cette hauteur est définie par analogie au degré

deg_{L_{k}}(Z) = π_{k∗} (c_{1}(L_{k})^{p−1}[Z_{k}]) = deg_{k} (ĉ_{1}(\overline{L})^{p−1}|Z) ∈ ℤ.

Donnons quelques exemples pour illustrer cette notion. Tout d’abord, on peut montrer que si Z est le cycle attaché à un point rationnel P ∈ ℙ^{n}(k), et si on considère le fibré trivial \overline{L} = \overline{O(1)}, alors on retrouve la hauteur classique, munie de la norme 𝕃^{2} à l’infini (au lieu de la norme infinie dans la définition donnée précédemment). Par ailleurs, on montre par récurrence que

h\overline{O(1)}(ℙ_{ℤ}^{N}) = \frac{1}{2} ∑_{p=1}^{N} ∑_{j=1}^{p} \frac{1}{j}.

Si P ∈ ℤ[X_{0}, …, X_{N}] est un polynôme homogène de degré d non nul, et si Y est le cycle défini dans ℙ_{ℤ}^{n} par {P = 0}, alors, en notant ω_{F S} la forme de Fubini-Study, on montre que

h\overline{O(1)}(Y) = \frac{1}{2} ∑_{p=1}^{N} ∑_{j=1}^{p} \frac{1}{j} + ∫_{ℙ^{N} (ℂ)} log \frac{|P (z_{0}, …, z_{N})|}{∑_{i=0}^{N} |z_{i}|^{2}}ω_{F S}^{N}.

Avant de passer aux propriétés importantes vérifiées par cette hauteur, on peut signaler qu’il existe une construction plus “élémentaire” de la hauteur des variétés, au moins dans le cas de sous-variétés (au sens k-schéma intègre de type fini) de ℙ_{k}^{n}. Cette construction, dûe à Philippon, est basée sur la notion de forme de Chow : si V est une sous-variété de dimension r d’un espace projectif, on construit dans un espace projectif dual une hypersurface constituée par les r-uplets d’hyperplans intersectant V. Dans l’espace projectif dual, cette hypersurface est définie par une équation F : la forme de Chow. En prenant la hauteur de cette forme (i.e. la hauteurs des coefficients de F) avec une normalisation convenable à l’infini (cf. [Phi95]), on retombe sur la hauteur h\overline{O(1)}(V) définie précédemment. Un des inconvénients est qu’on pert ainsi l’analogie avec le degré.

1.3.3 Propriétés fondamentales

On indique tout d’abord une propriété de finitude, équivalent du théorème Northcott en dimension supérieure. Théorème 1.3.1. Soit \overline{L} un fibré en droites hermitien sur une variété arithmétique projective X. Si L est ample sur X, alors, pour tout réel A > 0, l’ensemble

{Z ∈ Z_{p}(X) Z est effectif, deg_{L_{k}}(Z) ≤ A, h_{L}(Z) ≤ A}

est fini.

La seconde propriété fondamentale, est une propriété de positivité. On indique ici un résultat de [BGS94] généralisant un énoncé de Faltings.

Théorème 1.3.2. Soit S = Spec O_{k}, et Z ∈ Z_{p}(ℙ_{S}^{N}) un cycle effectif, on a :

h\overline{O(1)}(Z) ≥ \frac{1}{2}[k : ℚ]deg_{k}(Z) ∑_{l=1}^{N} ∑_{j=1}^{l} \frac{1}{j} ≥ 0.

Par ailleurs, de même que l’on a une formule “à la Hilbert-Samuel” pour le degré, on peut aussi montrer une telle formule pour la hauteur d’une variété intègre (i.e. irréductible et réduite). Plus précisément, soit \overline{L} un fibré en droite hermitien sur une variété arithmétique projective X, et soit Z un sous-schéma intègre de dimension p de X, plat sur S. Quand L_{k} est ample, on a la formule

dim_{k}H^{0}(Z_{k},L_{k}^{n}) = deg_{L_{k}}(Z_{k})\frac{n^{p−1}}{(p − 1)!} + O(n^{p−2}).

Soit H^{0}(Z,L^{n}) l’ensemble des sections de L^{n} sur Z. On le munit de la norme sup || ||_{∞} des sections de L^{n} sur X(ℂ). Soit V_{∞} le covolume de H^{0}(Z,L^{n}) dans H^{0}(Z,l^{n}) ⊗_{ℤ} ℝ pour la mesure de Haar qui donne le volume 1 à la boule unité, et posons d̂eg(H^{0}(Z,L^{n}); || ||_{∞}) = − log(V_{∞}). On rappelle enfin qu’une forme lisse η de type (p,p) sur une variété complexe X est dite positive si pour tout polydisque 𝔻^{p} de ℂ^{p} et pour toute application holomorphe φ : 𝔻^{p} → X, la forme volume φ^{∗}η sur 𝔻^{p} est positive. On a alors le théorème

Théorème 1.3.3. (Gillet-Soulé) Supposons que L est ample et que la forme c_{1}(\overline{L}) est positive, alors,

d̂eg (H^{0}(Z,L^{n}); || ||_{∞}) = h\overline{L}(Z)\frac{n^{p}}{p!} + O(n^{p−1} log n).

Enfin notons pour poursuivre l’analogie entre hauteur et degré, que l’on retrouve dans la théorie des hauteurs un théorème de Bézout arithmétique.

Théorème 1.3.4. Soit X ∈ Z_{p}(ℙ_{S}^{N}) et Y ∈ Z_{q}(ℙ_{S}^{N}) deux cycles effectifs tels que p + q ≥ N + 1 et tels que X et Y s’intersectent proprement sur P_{k}^{N}. On a

\frac{h\overline{O(1)}(X · Y)}{deg_{k}(X)deg_{k}(Y)} ≤ \frac{h\overline{O(1)}(X)}{deg_{k}(X)} + \frac{h\overline{O(1)}(Y)}{deg_{k}(Y)} + [k : ℚ]c(N,p,q),

où c(N,p,q) est une constante ne dépendant que de N, p et q.

1.3.4 Applications

On indique quelques illustrations de la théorie des hauteurs sur les variétés. On doit (avant que Bombieri n’en fournisse une preuve “élémentaire”) à P. Vojta une nouvelle preuve du théorème de Faltings, utilisant cette théorie des hauteurs en dimension supérieure, et plus dans la philosophie des preuves d’approximations diophantiennes. Par ailleurs, après avoir à nouveau généralisé la théorie de l’intersection arithmétique, on doit à Ullmo et à Zhang une preuve de la conjecture de Bogomolov dans le cas des variétés abéliennes (i.e. variétés projectives lisses munies d’une structure de groupe algébrique). Rappelons qu’une sous-variété X d’une variété abélienne A est dite de torsion s’il existe un point de torsion x et une sous-variété abélienne B tels que X = x + B.

Théorème 1.3.5. (Conjecture de Bogomolov) Soit A une variété abélienne. Soit X une sous-variété de A, qui n’est pas de torsion. Il existe un réel ε strictement positif tel que l’ensemble

\{x ∈ X(\overline{ℚ}) / h(x) ≤ ε\}

n’est pas Zariski dense.

Enfin on peut donner une version “absolue” du lemme de Siegel (absolue au sens où le système d’équations n’est plus à coefficients dans un corps de nombre k, mais à coefficients dans la clôture algébrique \overline{ℚ} de ℚ). Dans l’énoncé suivant, on note h_{𝕃^{2}}(x) la hauteur d’un point x muni de la norme 𝕃^{2} à l’infini (au lieu de la norme infinie). Théorème 1.3.6. (Lemme de Siegel absolu) Soit V un sous \overline{ℚ}-espace vectoriel de \overline{ℚ}^{n+1} de dimension d, et soit ε un réel strictement positif. Alors, il existe y ∈ V − {0} tel que

h_{𝕃^{2}}(y) ≤ \frac{1}{d}h(V) + \frac{1}{2} log d + ε.

Théorème de Bombieri-Vaaler

\underline{Sommaire}

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Hauteurs, mesures quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Hauteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Module d’un corps localement compact . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.3 Mesure de Haar et Adèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Théorème de Minkowski adélique . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Le cube slicing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.1 Le théorème de Vaaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.2 Cube slicing inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5 Théorèmes de Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6 Une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1 Introduction

Une technique de base en théorie de la transcendance et en approximation diophantienne consiste à construire un polynôme auxiliaire ayant un certain nombre de propriétés agréables (souvent un grand ordre d’annulation en certains points, contredisant ainsi une borne superieure obtenue autrement (lemme de Dyson par exemple)). Ceci s’applique par exemple pour les théorèmes de Liouville, Roth ainsi que la seconde inégalité de Dobrowolski. Dans quelques cas particuliers on est capable d’expliciter le polynôme, mais ceci n’est pas vrai en général et on est conduit à chercher des méthodes indirectes. L’idée de Thue (1909) est la suivante : On exprime les coefficients du polynôme comme des inconnues, et on est conduit à résoudre en entiers relatifs un ensemble de M équations en N > M inconnues. En utilisant le lemme des tiroirs, Thue en déduit l’existence d’une ”petite” solution non nulle. Siegel (1929) a mis ceci en forme de principe et il a prouvé que : Théorème 2.1.1. Si N > M et si il existe B > 0 tel que les (a_{mn}) ∈ ℤ, non tous

nuls, sont bornés par B, alors le système ∀i ∈ [1,M] N ; ∑_{j=1}a_{ij}x_{j} = 0 admet une solution

(x_{1}, …,x_{N}) ∈ ℤ^{N} non triviale et dont tous les termes sont bornés par (1 + NB)^{\frac{M}{N−M}}. Depuis, tous les résultats de ce type sont référencés comme ”lemme de Siegel”. Le théorème de Bombieri-Vaaler qu’on présente est de ce type. Théorème 2.1.2. Si N > M et si les (a_{mn}) ∈ ℤ, alors le système, où A = (a_{mn}),

∀i ∈ [1,M] N ; ∑_{j=1}a_{ij}x_{j} = 0 , que l’on suppose constitué de M équations indépendantes,

admet une solution (x_{1}, …,x_{N}) ∈ ℤ^{N} non triviale telle que :

max_{1≤n≤N} |x_{n}| ≤ (D^{−1}\sqrt{|det(A^{t}A)|})^{\frac{1}{N−M}} où D = pgcd(Δ_{M} / Δ_{M} ∈ \{mineurs M×M de A\}).

En fait on va démontrer un résultat plus fort : Théorème 2.1.3. Avec les notations et hypothèses du th précédent, il existe N − M solutions X_{l} = (x_{1l}, …,x_{Nl}), avec l ∈ [1,N − M], entières indépendantes, telles que :

∏_{l=1}^{N−M} max_{1≤n≤N} |x_{nl}| ≤ D^{−1}\sqrt{|det(A^{t}A)|}.

On peut généraliser le problème en prenant : k un corps de nombre, K/k une extension algébrique finie de degré r, a_{mn} ∈ ℤ_{K} anneau des entiers de K et les x_{j} cherchés dans ℤ_{k}.

2.2 Hauteurs, mesures quelques rappels

On fixe ici les notations que l’on conservera jusqu’au bout :

2.2.1 Hauteurs

Soit k un corps de nombre, on note k_{v} la complétion de k selon v. On note d = [k : ℚ] et d_{v} = [k_{v} : ℚ_{v}] le degré local. On normalise les valeurs absolues |.|_{v} suivant :

(i) si v/p alors |p|_{v} = p^{− \frac{dv}{d}}. (ii) si v/∞ et si x ∈ k_{v} alors |x|_{v} := |x|^{\frac{dv}{d}}.

Attention, ces normalisations sont différentes de celles du cours.

Avec nos normalisations, on a la formule du produit : ∀x ∈ k^{∗} ∏_{v}|x|_{v} = 1.

Notons qu’une autre normalisation est aussi intéressante : ||x||_{v} = |x|v^{\frac{d}{dv}}. Soit x ∈ k^{N}, x = (x_{1}, …,x_{N}), on pose : |x|_{v} := max_{1≤n≤N}|x_{n}|_{v}. La hauteur de x est h(x) =

∏_{v}|x|_{v}.

Soit X = (x_{mn}) ∈ M_{MN}(k) et rgX = M < N. Si J ⊂ [1,N] est tel que ♯J = M, on pose X_{J} = (x_{mn})_{n∈J}.

Définition 2.2.1 pour toute place de k on définit la hauteur locale en v, H_{v}(X) par :

(i) si v/∞ H_{v}(X) := |det XX^{∗}|v^{\frac{1}{2}} où X^{∗} est la transconjuguée de X.

(ii) sinon H_{v}(X) := max_{♯J=M}|det X_{J}|_{v}.

Remarque : si v/∞ on a aussi H_{v}(X) = ( ∑_{♯J=M}||det X_{J}||_{v}^{2})^{\frac{dv}{2d}}.

Définition 2.2.2 En formant le produit des hauteurs locales on obtient la hauteur globale.

On a facilement les deux propositions : Proposition 2.2.1. H est stable par extension de corps, et pour tout C ∈ GL_{M}(k), H(CX) = H(X). Proposition 2.2.2.

Si X = ( \begin{matrix}X_{1} \\ X_{2} \end{matrix} ) X_{i} ∈ M_{M_{i}×N}(k) avec M_{1}+M_{2} = M, alors : pour toute place v on a :

H_{v}(X) ≤ H_{v}(X_{1})H_{v}(X_{2}).

Enfin on étend tout ceci aux X de rang N < M en opérant sur la transposée.

2.2.2 Module d’un corps localement compact

Définition 2.2.3 Soit G un groupe localement compact, λ ∈ Aut(G), et α une mesure de Haar sur G. La mesure α est unique à une constante multiplicative près, donc λ transforme α en cα, c ∈ ℝ_{∗}^{+}. La constante c, indépendante de α est appelée module de λ et notée mod_{G}(λ). Proposition 2.2.3. Pour tout X ensemble mesurable, on a α(λ(X)) = mod_{G}(λ)α(X).

Proposition 2.2.4. Soit k corps localement compact, et soit A ∈ GL_{N}(k), on a :

mod_{k^{N}} (A) = mod_{k}(det A).

Démonstration : Toute matrice A ∈ GL_{N}(k) est un produit d’éléments de l’un des trois types suivant :

matrice de permutation  (2.1)
(x_{1}, …,x_{n}) ↦ (ax_{1}, …,x_{n}) a ∈ k^{∗}  (2.2)
(x_{1}, …,x_{n}) ↦ (x_{1} + ∑_{i=2}^{n} a_{i}x_{i},x_{2}, …,x_{n}) .  (2.3)

Et on conclut facilement dans chacun de ces trois cas. □ Théorème 2.2.1. Soit v une place finie et K/Q_{v} une extension de degré d_{v}, alors,

mod_{K}x = ||x||_{v}^{d_{v}}.

2.2.3 Mesure de Haar et Adèles

On note O_{k} l’anneau des entiers de k et si v est une place finie de k on note O_{v} l’anneau compact maximal de k_{v}, i.e, O_{v} = {x ∈ k_{v} / |x|_{v} ≤ 1}. On note k_{A} l’anneau des adèles de k. Le groupe k_{A} additif est localement compact, on peut donc lui associer une mesure de Haar notée λ ou dx: on prend λ_{v} ou dx_{v} la mesure de Haar sur k_{v} normalisée par :

(i) si v/p λ_{v}(O_{v}) = |D_{v}|v^{\frac{d}{2}} , où D_{v} est la différente de k en v. (ii) si v/∞ et k_{v} = ℝ, λ_{v} est la mesure de Lebesgue sur ℝ. (iii) si v/∞ et k_{v} = ℂ, λ_{v} est la mesure de Lebesgue sur ℂ multipliée par 2. Enfin λ = ∏_{v}λ_{v} est la mesure de Haar voulue sur k_{A}. Plus précisément λ détermine (par

définition de k_{A}) une mesure sur tous les sous groupes ouverts ∏_{v∈P}k_{v} × ∏_{v∉P}O_{v} où P est un

ensemble fini de places, contenant toutes les places à l’infini. La mesure de Haar est alors celle qui coincide avec λ sur cette famille de sous groupes). On considère k comme sous groupe discret de k_{A} par le plongement diagonal et on note φ : k_{A} ⟶ k_{A}/k la surjection canonique sur le groupe compact k_{A}/k. La mesure de Haar induite sur k_{A}/k par φ est encore notée λ et de par le choix des normalisations on a :

λ(k_{A}/k) = 1

Soit G = G_{1} × … × G_{L} produit tel que ∀i ≤ L, G_{i} ∈ {k_{A}; k_{A}/k}. La mesure de Haar λ sur chaque facteur détermine une unique mesure produit sur G, que l’on note V_{G} ou V si il n’y a pas de confusion possible. (Remarquons que V est clairement une mesure de Haar sur G). Soit G un groupe de la forme précédente et supposons que G_{l} = k_{A}, on définit alors :

φ_{l} : G → φ_{l}(G)
(g_{1}, …,g_{L}) ↦ (g_{1}, …,φ(g_{l}), …,g_{L})

Si ∀i ≤ l G_{l} = k_{A}, on pose Φ_{l} = l ; ∏_{i=1}φ_{i} le morphisme composé.

Proposition 2.2.5. Si ϕ = φ_{i} ou ϕ = Φ_{l}, et si X ⊂ G est mesurable tel que ϕ|_{X} est injectif, alors V (X) = V (ϕ(X)). Démonstration : Par le théorème de Fubini et par définition de ϕ, il suffit de vérifier l’énoncé dans le cas de φ : (k_{A},λ) ⟶ (k_{A}/k,μ) Or par définition, on a pour X mesurable, μ(Y) = λ(φ^{−1}(Y)). Donc si X est tel que φ restreint à X est injective, alors on a μ(Y) = μ(φ(X)) = λ(X). Ceci conclut la preuve. □ Définition 2.2.4 Soit x = (x_{v}) ∈ k_{A} et α ∈ ℝ. On définit la multiplication par α par :

αx := y = (y_{v}) ∈ k_{A} où \begin{cases}y_{v} = αx_{v} & si v/∞, \\ y_{v} = x_{v} & sinon. \end{cases}

Si L > 0, on étend ceci à k_{A}^{L} composante par composante. Proposition 2.2.6. Si X ⊂ k_{A}^{L} alors αX ⊂ k_{A}^{L} et on a : V (αX) = |α|^{dL}V (X). Démonstration : V est une mesure produit donc il suffit clairement de le voir pour L = 1. Or le nombre de v/∞ est justement d, d’où le résultat. □

2.3 Théorème de Minkowski adélique

Dans toute la suite, L désigne un entier strictement positif fixé. On pose E = k^{L}, E_{v} = k_{v}^{L} et E_{A}^{L} = k_{A}^{L}. Pour toute place v de k, soit M_{v} un k_{v} réseau de E_{v}, i.e un sous O_{v}-module de E_{v} compact et ouvert. On suppose de plus que M_{v} = O_{v}^{L} pour presque toute place. Pour toute place v/∞ de k soit S_{v} un ouvert non vide, symétrique, borné et convexe de E_{v}. On pose :

S = ∏_{v|∞}S_{v} × ∏_{v∤∞}M_{v} .

On a S ⊂ E_{A}^{L} = k_{A}^{L} et S est clairement un voisinage de 0, dont l’adhérence est compacte. (En effet \overline{∏ A_{i}} ⊂ ∏ \overline{A_{i}} et tous les M_{v} sont compacts ainsi que les \overline{S_{v}}. Donc \overline{S} est fermé dans un compact donc compact). Par ailleurs, k est discret dans k_{A}^{L}, donc E l’est dans E_{A}^{L} = k_{A}^{L}, et on en déduit que S ∩ E est fini. Pour tout entier l ∈ [1,L], on pose :

λ_{l} = inf{λ > 0 /(λS) ∩ E contient l vecteurs linéairement indépendants}.

On a bien sur 0 ≤ λ_{1} ≤ … ≤ λ_{L} ≤ ∞. De plus (cf Weil), l’ensemble

M = ⋂_{v∤∞}(E ∩ M_{v})

est un k réseau, i.e un O_{k} module de E contenant une base de E sur k. Si on écrit E_{∞} = ∏_{v/∞}k_{v}^{L} alors M peut être vu comme la projection de

(E_{∞} × ∏_{v∤∞}M_{v}) ⋂ E

sur le premier facteur (on a ici tout plongé dans E_{A} bien sur). Ainsi (car E est un sous groupe discret de E_{A}), on voit M comme un sous groupe discret de E_{∞}. Chaque S_{v} est ouvert donc M ∩ ∏_{v/∞}(λS_{v}) contient L vecteurs linéairement indépendant pour λ assez

grand, et comme S_{v} est borné, le même ensemble, est {0} pour λ assez petit non nul. Ainsi les λ_{l} satisfont 0 < λ_{1} ≤ … ≤ λ_{L} < ∞. On peut en effet les définir par :

λ_{l} = inf{λ > 0 / M ∩ ∏_{v/∞}(λS_{v}) contient l vecteurs linéairement indépendant}.

On peut maintenant énoncer le (second) théorème de Minkowski :

Théorème 2.3.1. Les λ_{l} définis précédemment vérifient : (∏^{L} ; l=1λ_{l})^{d}V (S) ≤ 2^{dL}.

Pour prouver ce théorème nous aurons besoin de la Proposition 2.3.1. Soit l ≥ 1 et soit (μ_{1}, …,μ_{n}) vérifiant 0 < μ_{1} ≤ … ≤ μ_{L} < ∞, et tels que : si x et y sont deux vecteurs de μ_{l}S tels que x-y∈ E, alors ∀n ∈ [l,L] x_{n} = y_{n}.

Sous ces hypothèses, on a (∏^{L} ; l=1μ_{l})^{d}V (S) ≥ 1.

Démonstration : La démonstration de cette proposition ce fait en trois étapes : \underline{première étape} : Si T ∈ E_{A} est de la même forme que S et si μ ≥ 1, alors

∀l ∈ [1,L] V (Φ_{l}(μT )) ≥ μ^{d(L−l)}V (Φ_{l}(T )).

Supposons d’abord l = L et soit y∈ T . Comme 0 ∈ T − y, on a (par convexité des T_{v} pour v/∞ et par notre définition de la multiplication par un réel) :

μ(T − y) ⊃ T − y.

Donc on a

Φ_{l}(μ(T ) − μ(y)) ⊃ Φ_{l}(T − y),

d’où en passant à la mesure V invariante par translation :

V (Φ_{l}(μ(T )) ⊃ V (Φ_{l}(T )),

ce qui conclut le cas l = L. Supposons maintenant que l ∈ [1,L − 1], on identifie E_{A} = k_{A}^{L} avec k_{A}^{l} × k_{A}^{L−l}. Pour un vecteur y∈ k_{A}^{L−l} on définit

T (y) = {x ∈ k_{A}^{l} / (x,y) ∈ T }.

Il s’ensuit que :

Φ_{l}(T (y)) = {x ∈ k_{A}^{l} / (x,y) ∈ Φ_{l}(T )}.

Si on remplace T par μT , alors :

V (Φ_{l}(T y)) = ∫_{y∈k_{A}^{L−l}} ∫_{x∈(k_{A}/k)^{L}_{(x,y)∈Φ_{l}((μT ))}}dV (x)dV (y), i.e :

V (Φ_{l}(T )) = ∫_{y∈k_{A}^{L−l}}V (Φ_{l}(μT )(y))dV (y).

On fait le changement de variable y ↦ μy dans la dernière intégrale de sorte que :

V (Φ_{l}(μT )) = μ^{d(L−l)} ∫_{y∈k_{A}^{L−l}}V (Φ_{l}((μT )(μy)))dV (y).

par ailleurs on constate facilement que (μT )(μy) = μ(T (y)). De plus, comme μ ≥ 1 on a (la preuve a déja été faite) :

V (Φ_{l}(μ(T (y)))) ≥ V (Φ_{l}(T (y))).

On en déduit finalement :

V (Φ_{l}(μT )) = μ^{d(L−l)} ∫_{y∈k_{A}^{L−l}}V (Φ_{l}(T (y)))dV (y), donc

V (Φ_{l}(μT )) ≥ μ^{d(L−l)}V (Φ_{l}T ).

Ceci complète la preuve de l’étape 1.

Pout tout l ∈ [1,L − 1], on applique la première étape à l’ensemble T = μ_{l}S avec μ = \frac{μ_{l+1}}{μ_{l}} on trouve que

V (Φ_{l}(μ_{l+1}S)) ≥ (\frac{μ_{l+1}}{μ_{l}})^{d(L−l)}V (Φ_{l}(μ_{l}S).

\underline{étape 2} : Montrons que l’application φ_{l+1} : Φ_{l}(μ_{l+1}S) → (k_{A}/k)^{l+1} ×k_{A}^{L−l−1} est injective. Soient x et y deux points distincts de Φ_{l}(μ_{l+1}S), il existe x’ et y’ deux points distincts de μ_{l+1}S tels que Φ_{l}(x’) = x et Φ_{l}(y’) = y. Supposons par l’absurde que φ_{l+1}(x) = φ_{l+1}(y), ceci implique que

l ≠ l + 1 x_{n} = y_{n}

et que

Φ_{l+1}(x’) = Φ_{l+1}(y’).

Mais cette dernière égalité montre que x’-y’ ∈ E et donc, par hypothèses sur les μ_{l}, on a

∀n ∈ [l + 1,L] x′_{n} = y′_{n}.

Or Φ_{l} est l’identité sur la (l + 1)^{eme} coordonnée donc x_{l+1} = y_{l+1} donc x=y ce qui est absurde. Ceci conclut la seconde étape.

\underline{étape 3} : conclusion : V est une mesure de Haar, donc l’étape 2 nous dit que

V (Φ_{l}(μ_{l+1}S)) = V (Φ_{l+1}(μ_{l+1}S)).

En combinant ceci avec l’inégalité précédant l’étape 2 et en prenant le produit pour l décrivant [1,L − 1], on en déduit :

V (Φ_{L}(μ_{L}S)) ≥ ∏^{L−1} ; l=1(\frac{μ_{l+1}}{μ_{l}})^{d(L−l)}V (Φ_{1}(μ_{1}S)).

Pour conclure il nous reste à noter deux choses : Tout d’abord V (Φ_{L}(μ_{L}S)) ≤ V ((k_{A}/k)^{L}) = 1 par choix des normalisations. Ensuite Φ_{1} = φ_{1} est clairement injective sur μ_{1}S donc (cf rappels sur les mesures de Haar) on a : V (Φ_{1}(μ_{1}S)) = V (μ_{1}S) = (μ_{1})^{dL}V (S). En combinant ces deux remarques on conclut la démonstration du théorème. □

On peut maintenant passer à la preuve du théorème de Minkowski. Démonstration : Pour chaque λ_{l} on associe un vecteur u_{l} de E, de telle sorte que les u_{1}, …,u_{L} sont linéairement indépendant sur k et tels que ∀l ∈ [1,L] et ∀λ > λ_{l}, on a

{u_{1}, …,u_{L}} ⊂ (λS) ∩ E.

Soit alors U = (u_{1}, …,u_{L}) la matrice L × L de vecteurs colonnes les u_{l}. L’application x ↦ Ux ainsi définie est un automorphisme de E_{A}, et comme det(U) est dans k, son module est 1. De plus les U^{−1}S_{v}, v | ∞, et U^{−1}M_{v}, sinon ont clairement les mêmes propriétés que respectivement S_{v} et M_{v}. On peut donc prendre les vecteurs de la base canonique comme vecteurs associés à U^{−1}S. Enfin comme S et U^{−1}S ont même mesure de Haar, on peut aussi supposer que u_{l} = e_{l}. On applique maintenant la proposition précédente avec S et μ_{l} = \frac{1}{2}λ_{l} pour tout l dans [1,L]. Il sufit, pour voir si la proposition précédente s’applique, de considérer le cas l = 1 et les valeurs l telles que λ_{l−1} < λ_{l}. Soit donc x et y deux points distincts de μ_{l}S tels que x-y ∈ E. Comme chaque S_{v} est convexe et symétrique pour v | ∞, on a x-y ∈ 2μ_{l}S = λ_{l}S. Or S est ouvert et par hypothèses, λ_{l−1} < λ, donc, il existe δ > 0 tel que e_{l}, …,e_{l−1},x-y ∈ (λ_{l} − δ)S. Donc ces vecteurs ne peuvent être linéairement indépendant sur k, par définition de λ_{l}. Or les e_{i} étant trivialement indépendant, on en déduit :

∀j ∈ [1,l − 1] ∃α_{j} ∈ k x-y = ∑_{j=1}^{l−1} α_{j}e_{j}.

En particulier, x_{n} = y_{n} pour tout n ∈ [l,L]. On peut donc appliquer la proposition précédente, et on obtient :

∏_{i=1}^{L} μ_{i}^{d}V S ≤ 1.

Coomme μ_{i} = \frac{λ_{i}}{2} ceci conclut la démonstration. □

2.4 Le cube slicing

Soit N un entier positif. Pour toutes place v de k, soit C_{v} le cube v-adique dans k_{v}^{N} défini par :

C_{v} = \{x ∈ k_{v}^{N} / max_{1≤n≤N} ||x_{n}||_{v} < \frac{1}{2}\} si v est réel,  (2.4)
C_{v} = \{x ∈ k_{v}^{N} / max_{1≤n≤N} ||x_{n}||_{v} < \frac{1}{\sqrt{2π}} \} si v est complexe,  (2.5)
C_{v} = {x ∈ k_{v}^{N} / max_{1≤n≤N} ||x_{n}||_{v} ≤ 1} sinon.  (2.6)

En fait, on choisit la normalisation de telle sorte que C_{v} est de volume 1 quand v | ∞. Par ailleurs il est à peu près immédiat que C = ∏_{v}C_{v} est un ouvert de k_{A}^{N}, dont la fermeture est

compacte. Considérons Y ∈ M_{N×L}(k) de rang L < N. Si I ⊂ [1,N] est tel que #I = L, on écrit Y = (y_{nl}), n ∈ I et l ∈ [1,L] la matrice carrée correspondante. Rappel :

H_{v}(X) = ∏_{v∤∞} max_{♯J=M}|det X_{J}|_{v} × ∏_{v|∞}( ∑_{♯J=M}||det X_{J}||_{v}^{2})^{\frac{dv}{2d}} .

On pose aussi S = ∏_{v}{x ∈ k_{v}^{L}/ Y x ∈ C_{v}}. Y est injective, c’est donc une ”tranche”

L-dimensionnelle du cube unité.

2.4.1 Le théorème de Vaaler

Définition 2.4.1 Une application f : ℝ^{n} → [0, + ∞[ est dite log-concave si :

∀x_{1}, x_{2} ∈ ℝ^{n} ∀λ ∈]0,1[ on a f(λx_{1} + (1 − λ)x_{2}) ≥ f(x_{1})^{λ}f(x_{2})^{1−λ}.

Définition 2.4.2 Une mesure de probabilité ν sur (ℝ^{n},B(ℝ^{n})) est dite log-concave si

∀U_{1}, U_{2} ouvert convexe de ℝ^{n} ∀λ ∈]0,1[ on a ν(λU_{1} + (1 − λ)U_{2}) ≥ ν(U_{1})^{λ}ν(U_{2})^{1−λ}.

Lemme 2.4.1. Soit ν une mesure de probabilité log-concave telle que Supp(ν) engendre un sous espace vectoriel P_{r} de dimension r. Alors il existe une fonction f log-concave définie sur P_{r} telle que dν = fdμ_{r}, où μ_{r} est la mesure de Lebesgue r dimensionnelle. Réciproquement, une telle mesure fdμ_{r} est log-concave. Démonstration : On va admettre ce lemme, tout comme le suivant. Le résultat est plausible. □ Définition 2.4.3 Soit ν_{1} et ν_{2} deux mesures de probabilités sur ℝ^{n}. On dit que ν_{2} est plus pointue (peaked en anglais) que ν_{1} si :

∀U fermé convexe symétrique de ℝ^{n} ν_{1}(U) ≤ ν_{2}(U).

Définition 2.4.4 Soit f_{1} et f_{2} deux densités de probabilités sur ℝ^{n}. On dit que f_{2} est plus pointue que f_{1} si les mesures associées le sont. Lemme 2.4.2. Si ν_{1}, ν_{2}, λ_{1} et λ_{2} sont des mesures de probabilités log-concaves telles que λ_{i} est plus pointue que ν_{i}, i ∈ {1,2}, alors λ_{1} × λ_{2} est plus pointue que ν_{1} × ν_{2}. Lemme 2.4.3. Soit n_{1}, …,n_{J} ∈ ℕ tels que ∑ n_{i} = N et Q_{N} = ∏ S_{n_{i}} dans ℝ^{N}, où S_{n} est la boule unité euclidienne de ℝ^{n}. Alors, 1_{Q_{N}} (x) est plus pointue que la densité gaussienne exp(−π|x|^{2}) sur ℝ^{N}. Démonstration : On ne va faire la preuve de ce lemme que dans le cas qui nous interesse (cf corollaire du th de Vaaler un peu plus loin), c’est à dire quand ∀i n_{i} = 1. Dans le cas général c’est la même méthode avec plus de calcul. On a affaire à des mesures produit, donc le lemme 2 nous indique qu’il suffit de montrer le résultat en dimension 1, i.e voir que λ_{1} = 1_{[− \frac{1}{2} , \frac{1}{2} ]} est plus pointue que la densité λ_{2} = exp(−πx^{2}) sur ℝ. Soit donc U un fermé convexe symétrique, i.e U = [−a,a] a > 0. λ_{1}(U) = min(1,2a), donc si 2a ≥ 1, le résultat est acquis car λ_{2} est une mesure de probabilité donc de masse totale ≤ 1. Sinon λ_{1}(U) = 2a et λ_{2}(U) = 2 ∫_{0}^{a} e^{−πx^{2}}dx. Posons alors F (x) = x − ∫_{0}^{x} e^{−πy^{2}}dy. F est bien définie et dérivable sur ℝ_{∗}^{+}, on a F′(x) = 1 − e^{−πx^{2}} ≥ 0, donc F est strictement croissante. Or F (0) = 0, donc F (a) ≥ 0, d’où le résultat. □ On peu maintenant passer au théorème proprement dit : Théorème 2.4.1. (Vaaler) : Soit n_{1}, …,n_{J} ∈ ℕ tels que ∑ n_{i} = N et Q_{N} = ∏ S_{n_{i}} dans ℝ^{N}, où S_{n} est la boule unité euclidienne de ℝ^{n}. Si A ∈ M_{N×L}(ℝ), est de rang L < N, on a :

∫_{ℝ^{L}} 1_{Q_{N}} (Ax)dλ^{L}(x) ≥ |det ^{t}AA|^{− \frac{1}{2}}

Démonstration : Posons L′ = N − L, et P_{L} le sous espace vectoriel engendré par les colonnes de A. Soit B la matrice dont les colonnes forment une base orthonormale de P_{L}^{⊥} et soit W = (A,B) ∈ GL_{N}(ℝ). On a la décomposition ℝ^{N} = ℝ^{L} × ℝ^{L′}, donc tout vecteur z peut s’écrire sous la forme : z = (x,y). Soit alors ε ∈]0,1], posons :

H_{ε} = \{z ∈ ℝ^{N} / z = (x,y) max_{1≤j≤L} |y_{i}| ≤ \frac{ε}{2}\}

H′_{ε} = \{y ∈ ℝ^{L} / max_{1≤j≤L} |y_{i}| ≤ \frac{ε}{2}\} .

H_{ε} est clairement un convexe, fermé symétrique. Donc son image par l’application linéaire inversible W est encore un convexe fermé symétrique. Le lemme 3 nous donne alors :

∫_{H_{ε}} exp(−π|W z|^{2})dμ_{N}(z) ≤ ∫_{H_{ε}} 1_{Q_{N}} (W z)dμ_{N}(z)

On multiplie par μ_{L′}(H′_{ε})^{−1} = \frac{1}{ε^{L′}} et on a donc :

\frac{1}{ε^{L′}} ∫_{ℝ^{L}} ∫_{H′_{ε}} exp(−π|Ax + By|^{2})dμ_{L′}(y)dμ_{L}(x) ≤ \frac{1}{ε^{L′}} ∫_{ℝ^{L}} ∫_{H′_{ε}} 1_{Q_{N}} (Ax + By)dμ_{L′}(y)dμ_{L}(x)

L’orthogonalité implique que |Ax + By|^{2} = |Ax|^{2} + |By|^{2} et donc la limite quand ε ↦ 0^{+} du membre de gauche est ∫ exp(−π|Ax|^{2})dμ_{L}(x). En effet on calcule explicitement |By|^{2} = |y|^{2} en utilisant l’orthonormalité de B et on est alors ramené par Fubini en dimension 1 (L′ = 1 bien sur). Dans ce cas un petit calcul à la main nous donne le résultat. Par ailleurs cette dernière intégrale vaut |^{t}AA|^{− \frac{1}{2}} . On remarque en effet que ^{t}AA est définie positive, on peut donc prendre sa racine carré C (ie, C definie positive, telle que C^{2} = ^{t}AA). En effectuant le changement de variable y := Cx et en remarquant que, ∫_{ℝ^{K}} exp(−π|y|^{2})dμ_{L′}(y) = 1 on en déduit le résultat. On veut maintenant calculer le membre de droite de l’inégalité (quand ε ↦ 0^{+}). ∀ε ∈]0,1] et ∀x ∈ ℝ^{L′}, on a :

\frac{1}{ε^{L′}} ∫_{H′_{ε}} 1_{Q_{N}} (Ax + By)dμ_{L′}(y) ≤ 1

Or Q_{N} et H′_{ε} sont bornés, donc \frac{1}{ε^{L′}} ∫_{H′_{ε}} 1_{Q_{N}} (Ax + By)dμ_{L′}(y) = 0 quand |x| est assez grand (et ce, indépendamment de ε). Donc ∫_{ℝ^{L}} = ∫_{C} où C est un compact indépendant de ε. Donc sur C on peut intervertir ∫_{C} et lim_{ε↦0^{+}}, notamment la limite du membre de droite vaut :

∫_{ℝ^{K}} lim_{ε↦0} \frac{1}{ε^{L′}} ∫_{H′_{ε}} 1_{Q_{N}} (Ax + By)dμ_{L′}(y)dμ_{K}(x).

Or l’intégrande de la première intégrale vaut 1_{Q_{N}} (Ax) quand Ax ∈ Q_{N}, sauf éventuellement sur la frontière qui est de mesure de Lebesgue nulle. D’où le résultat. □ Corollaire 2.4.1. Soit Y ∈ M_{N×L}(ℝ), de rang L et si v est réelle, on a :

∫_{ℝ^{L}} 1_{C_{v}}(Y x)dλ^{L}(x) ≥ |det ^{t}Y Y |^{− \frac{1}{2}}

Démonstration : On prend n_{i} = 1 pour tout i, et on conclut alors directement. □

2.4.2 Cube slicing inequality

Rappel : S = ∏_{v}{x ∈ k_{v}^{L}/ Y x ∈ C_{v}}. Théorème 2.4.2. (cube slicing inequality) : Si Y ∈ M_{N×L}(k) est de rang L < N, et si S est l’ensemble défini juste au dessus, alors c’est un sous-ensemble de E_{A} et il est de la forme (définie dans la partie précédente) :

∏_{v|∞}S_{v} × ∏_{v∤∞}M_{v} .

De plus, on a l’inégalité :

H(Y)^{−d}|Δ_{k}|^{− \frac{L}{2}} ≤ V (S) ,

où Δ_{k} est le discriminant de k. Démonstration : \underline{étape 1} : on donne une borne inférieure pour chaque volume local ∫_{E_{v}} 1_{C_{v}}(Y x)dβ_{v}^{L}(x). Si v est réelle, on a

∫_{E_{v}} 1_{C_{v}}(Y x)dβ_{v}^{L}(x) ≥ |det ^{t}Y Y |_{v}^{− \frac{1}{2}} = ( ∑_{|I|=L} ||det Y_{L}||_{v}^{2})^{− \frac{1}{2}}

par le théorème de Vaaler. Si v est complexe, on a

∫_{E_{v}} 1_{C_{v}}(Y x)dβ_{v}^{L}(x) ≥ ||det Y^{∗}Y ||_{v}^{−1} = ( ∑_{|I|=L} ||det Y_{L}||_{v}^{2})^{−1} .

Pour vérifier cette inégalité, posons Y = A + iB et x = s + it. Dans ce cas , et avec la notation

Cv^{′} = \{ξ ∈ ℝ^{2L} (ξ_{j})^{2} + (ξ_{L+j})^{2} < \frac{1}{2π} ∀j ∈ [1,L] \} , on a :

∫_{E_{v}} 1_{C_{v}}(Y x)dβ_{v}^{L}(x) = 2^{L} ∫_{ℝ^{L}} ∫_{ℝ^{L}} 1_{C′_{v}} (( \begin{matrix}A & −B \\ B & A \end{matrix} ) ( \begin{matrix}s \\ t \end{matrix} )) dsdt .

On peut maintenant appliquer le théorème de Vaaler au membre de droite de cette égalité donc, le membre de gauche est :

≥ ||det ( \begin{matrix}A & −B \\ B & A \end{matrix} )^{T} ( \begin{matrix}A & −B \\ B & A \end{matrix} )||_{v}^{− \frac{1}{2}}

= ||det(A + iB)^{∗}(A + iB)||_{v}^{−1}

= ||det Y^{∗}Y ||_{v}^{−1} Si v ∤ ∞, il existe J ⊂ [1,L] de cardinal L tel que max_{|I|=L}||det Y_{I}||_{v} = ||Y_{J}||_{v}. Or par

hypothèses, Y est de rang L, donc detY_{J} ≠ 0. En faisant le changement de variables, x := Y_{J}^{−1}x, on obtient :

∫_{E_{v}} 1_{C_{v}}(Y x)dβ_{v}^{L}(x) = mod_{k_{v}}(det Y_{J}^{−1}) ∫_{E_{v}} 1_{C_{v}}(Y Y_{J}^{−1}x)dβ_{v}^{L}(x) , i.e :

∫_{E_{v}} 1_{C_{v}}(Y x)dβ_{v}^{L}(x) = ||det Y_{J}||_{v}^{−d_{v}} ∫_{E_{v}} 1_{C_{v}}(W x)dβ_{v}^{L}(x), où W = Y Y_{J}^{−1}.

Quitte à permuter les coordonnées de x on peut supposer que J = [1,L]. Dans ce cas, la matrice extraite W_{J} est la matrice identité de taille N, donc ||w_{jl}||_{v} ≤ 1 pour tout j ∈ [1,L]. De plus ||det W_{I}||_{v} ≤ 1 pour tout I de cardinal L. Ceci car rayer la i^{eme} ligne dans W revient à rayer la i^{eme} ligne dans Y. Or det(UV) = detUdetV et J est tel que ||Y_{J}||_{v} est maximum. En particulier si on considère la matrice W_{I} définie par

I = {1, …,l − 1,l + 1, …,L,L + j} pour j variant dans [1,L] , un

developpement par rapport à la l^{eme} colonne nous donne : ||det W_{I}||_{v} = ||w_{L+j,l}||_{v} ≤ 1. Comme ||.||_{v} est ultramétrique, W x ∈ C_{v} si et seulement si pour tout l ∈ [1,L] ||x_{l}||_{v} ≤ 1. Donc on a :

∫_{E_{v}} 1_{C_{v}}(W x)dβ_{v}^{L}(x) = β_{v}^{L} \{O_{v}^{L}\} = |D_{v}|v^{\frac{dL}{2}} .

\underline{étape 2} : S est de la forme voulue. Si v est une place infinie, alors il est clair que S_{v} = {x ∈ E_{v} Y x ∈ C_{v}} est non vide, convexe, symetrique et borné (car le cube C_{v} l’est). De plus C_{v} est ouvert donc S_{v} l’est aussi. Si v est une place finie il clair (pour les mêmes raisons et car Y est injective) que M_{v} = {x ∈ E_{v} Y x ∈ C_{v}} est un O_{v}-module ouvert et compact. Pour presque toute place finie v on a :

||y_{nl}||_{v} = 1 dès que y_{nl} ≠ 0 est un coefficient de Y, et ||det Y_{J}^{−1}||_{v} = 1.

En particulier O_{v}^{L} ⊂ M_{v} pour presque toute place finie, et l’étape 1 pour v place finie nous donne :

β_{v}^{L}(M_{v}) = ∫_{E_{v}} 1_{C_{v}}(Y x)dβ_{v}^{L}(x) = |D_{v}|v^{\frac{dL}{2}} .

Donc par notre choix de normalisation de β_{v}^{L}, β_{v}^{L}(M_{v}) = β_{v}^{L}(O_{v}^{L}) et donc pour presque toute place finie v on a M_{v} = O_{v}^{L}. Ceci montre que S est un sous ensemble de la forme voulue de E_{A}. \underline{conclusion} : il nous reste à montrer l’inégalité pour conclure. Comme S est d’adhérence compacte, on peut écrire :

∫_{E_{A}} 1_{C_{v}}(Y x)dV (x) = ∏_{v} ∫_{E_{v}} 1_{C_{v}}(Y x)dβ_{v}^{L}(x).

Ainsi on conclut facilement en utilisant les minorations de l’étape 1 et en remarquant que

∏_{v∤∞}|D_{v}|_{v}^{−d} = |Δ_{k}|.

□

2.5 Théorèmes de Siegel

On dispose maintenant de tous les outils nécessaires pour énoncer les théorèmes qui nous intéressent. Le résultat clé est le suivant : Théorème 2.5.1. Soit Y ∈ M_{N×L}(k) de rang L < N. Il existe L vecteurs u_{1}, …,u_{L} de E = k^{L} linéairement indépendant tels que Y u_{l} ∈ O_{k}^{N} pour tout l et tel que, si r_{2} est le nombre de places complexes à l’infini, on a :

∏_{l=1}^{L} h(Y u_{l}) ≤ ((\frac{2}{π} )^{r_{2}} \sqrt{|Δ_{k}|})^{\frac{L}{d}} H(Y).

Démonstration : Soit S la ”tranche” L-dimensionnelle du cube précédemment définie, soit λ > 0 et soit u un vecteur non nul de (λS) ∩ E. Par définition de λS, on a :

max_{1≤n≤N} ||(Y u)_{n}||_{v} < \frac{λ}{2} si v est réelle  (2.7)
max_{1≤n≤N} ||(Y u)_{n}||_{v} < \frac{λ}{\sqrt{2π}} si v est complexe  (2.8)
max_{1≤n≤N} ||(Y u)_{n}||_{v} ≤ 1 sinon.  (2.9)

De plus, comme u ∈ E, Y u ∈ k^{N} et donc l’inégalité (9) montre que Y u ∈ O_{k}^{N}. On prend le produit sur toutes les places et un petit calcul (en utilisant le fait que r_{1} + 2r_{2} = d, où r_{1} est le nombre de plongements réels), montre que :

∏_{v} ( max_{1≤n≤N} ||(Y u)_{n}||v^{\frac{dv}{d}} ) = h(Y u) < \frac{λ}{2} (\frac{2}{π} )^{\frac{r_{2}}{d}} .

Soit 0 < λ_{1} ≤ λ_{2} ≤ … ≤ λ_{L} < ∞ les minimums successifs de S. Comme précédemment, il existe un ensemble de vecteurs linéairement indépendant u_{1}, …,u_{L} tel que ∀λ > λ_{l} on a u_{l} ∈ (λS) ∩ E. On a Y u_{l} ∈ O_{k}^{N} et :

∀l ∈ [1,L] h(Y u_{l}) ≤ (\frac{λ_{l}}{2} ) (\frac{2}{π} )^{\frac{r_{2}}{d}}

On prend alors le produit sur tout les l, on applique le théorème de Minkowski puis l’ inégalité du cube slicing ce qui conclut. □ Théorème 2.5.2. Siegel 1 Soit A ∈ M_{M×N}(k) de rang M < N. Alors il existe N − M vecteurs linéairement dans O_{k}^{N}, x_{1}, …,x_{N−M}, satisfaisant :

(1) ∀l ∈ [1,L] Ax_{l} = 0 et,

∏_{l=1}^{N−M} h(x_{l}) ≤ ((\frac{2}{π} )^{r_{2}} \sqrt{|Δ_{k}|})^{\frac{N−M}{d}} H(A).

Démonstration : Le rang de A est M, donc l’espace des solutions est de dimension N −M = L. Soit y_{1}, … y_{L} une base des solutions, posons Y = (y_{1}, … y_{L}) pour la matrice correspondante. On peut appliquer le théorème précédent à Y. Si u_{1}, … u_{L} sont les vecteurs ainsi obtenus, notons enfin x_{l} = Y u_{l}, pour l ∈ [1,L]. Clairement ces vecteurs sont linéairement indépendants (par injectivité de Y) et sont solutions du système (1). De plus, on a :

∏_{l=1}^{L} h(x_{l}) ≤ ((\frac{2}{π} )^{r_{2}} \sqrt{|Δ_{k}|})^{\frac{L}{d}} H(Y).

Par un théorème de P. Gordan (admis, cf [3]) on a H(Y) = H(A), d’où le résultat. □

On va maintenant donner divers raffinements de ce théorème. Soit K une extension finie du corps de nombre k telle que [K/k] ≥ 2. On considère toujours le même système avec cette fois A à coefficient dans K. On voudrait déterminer une base de solutions dans k^{N}. Soit F un corps de nombre contenant K, qui est galoisien sur k de groupe de Galois G(F/k). En particulier F est galoisien sur K de groupe G(F/K), sous groupe d’indice r de G(F/k). Soit σ_{1}, …,σ_{r} un système de représentants des classes de G(F/K) dans G(F/k). On note A la matrice de taille Mr × N :

A = ( \begin{matrix}σ_{1}(A) \\ σ_{2}(A) \\ … \\ σ_{r}(A) \end{matrix} ) .

On peut alors exprimer une seconde version du Lemme de Siegel. Théorème 2.5.3. Siegel 2 Soit A la matrice précédente que l’on suppose de rang Mr < N. Alors il existe N − Mr vecteurs linéairement indépendants x_{1}, …,x_{N−Mr} dans O_{k}^{N} satisfaisant :

∀l ∈ [1,N − Mr] Ax_{l} = 0

et

∏_{l=1}^{N−Mr} h(x_{l}) ≤ ((\frac{2}{π} )^{r_{2}} |Δ_{k}|^{\frac{1}{2}} )^{\frac{N−Mr}{d}} H(A).

Démonstration : Soit ω_{1}, …,ω_{r} une base de K sur k. Pour tout m et n il existe des b_{mn}(j) dans k tels que a_{mn} = ∑ ω_{j}b_{mn}(j) (1). On a ainsi :

∑_{n=1}^{N} a_{mn}x_{n} = ∑_{j=1}^{r} ω_{j} (∑_{n=1}^{N} b_{mn}(j)x_{n})

On trouve un vecteur x solution dans k^{N} si et seulement si x est solution du système

∑_{n=1}^{N} b_{mn}(j)x_{n} = 0, m ∈ [1,M], j ∈ [1,r]. (2)

On définit donc les matrices B(j), pour j ∈ [1,r] par B(j) = (b_{mn}(j)), et on les assemble par blocs pour former une matrice de taille Mr × N :

B = ( \begin{matrix}B(1) \\ … \\ B(r) \end{matrix} ) .

On définit aussi une matrice de taille Mr × Mr que l’on définit par blocs : Ω = (σ_{i}(ω_{j})I_{M}) où I_{M} est l’identité de taille M. Si on applique σ_{i} à l’égalité (1), on obtient le système matriciel ΩB = A (3). Or par construction, Ω est inversible, donc on a nécessairement rg(B) = rg(A = Mr < N, on peut donc appliquer Siegel 1 au système (2) déterminé par B: il existe N-Mr vecteurs linéairement indépendants x_{1}, …,x_{N−Mr} dans O_{k}^{N} vérifiant ce qu’il faut. (Le seul point à vérifier est que H(B) = H(A) ce qui est clair par (3) ). □

Enfin, dans la borne sur les hauteurs obtenue dans Siegel 2, la hauteur H(A) dépend de l’extension galoisienne F. Il peut être plus agréable d’avoir une borne dépendant seulement de la hauteur des lignes de A. On note A^{(m)}, m ∈ [1,M] la m^{eme} ligne de A. Corollaire 2.5.1. Soit A vérifiant les hypothèses du théorème précédent, alors :

H(A) ≤ H(A)^{r} ≤ ∏_{m=1}^{M} (H(A^{(m)}))^{r} .

On peut donc réénoncer le théorème précédent en utilisant ces bornes. Démonstration : H(A) ≤ ∏_{v}H_{v}(σ_{i}(A)) = H(A)^{r} ≤ H(A^{(m)})^{r}, d’où le résultat. □

2.6 Une application

Pour la preuve du résultat qui suit la référence est l’article de Bombieri-Mueller. Définition 2.6.1 Soit α = \sqrt[r]{\frac{a}{b}} avec a et b des entiers premiers entre eux, tels que α est de degré r sur ℚ. On dit que μ(α) est une mesure d’irrationnalité pour α si :

∀ε > 0 ∀p,q ≥ 1 |α − \frac{p}{q}| > \frac{C(α,ε)}{q^{μ+ε}} > 0.

On dit que μ(α) est effective si de plus C(α,ε) est effectivement calculable pour tout ε > 0. On note μ_{eff} la meilleure des mesures effectives. Théorème 2.6.1. Soit r ≥ 3, a et b comme ci-dessus, λ = \frac{ln |a−b|}{ln b}, et soit α ∈ ℚ(\sqrt[r]{\frac{a}{b}}).

Si λ < 1 − \frac{2}{r}, alors μ_{eff}(α) ≤ \frac{2}{1 − λ} + 6 (\frac{r^{5} ln r}{ln b})^{\frac{1}{3}} .

Exemple 2.6.1 2,67 est une mesure d’irrationnalité pour (\frac{m^{4}+m+1}{m^{4}+7})^{\frac{1}{r}}, pour tout m > m_{o}(r).

Mémoire de DEA : Lemme de Esnault-Viehweg-Dyson

\underline{Sommaire}

3.1 Rappels de géométrie algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.1 Les différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.2 Normalisation et applications propres . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.3 Morphismes entre courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.4 Les diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.5 Éclatements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.6 Formule de la projection pour les faisceaux . . . . . . . . . . . 44

3.2 Théorie de l’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.1 Ordre des zéros et des pôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.2 Cycles et équivalence rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.3 Image directe de cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.4 Degré d’un cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.5 Degré et polynôme de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2.6 Image réciproque plate de cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.7 Intersection avec des diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.8 Commutativité des classes d’intersection . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.9 Classe de Chern d’un fibré en droites . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2.10 Diviseurs numériquement effectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3 Le lemme de Dyson selon M. Nakamaye. . . . . . . . . . . . . 65 3.3.1 Énoncé des théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3.2 Le faisceau d’idéaux I_{d}(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.3.3 Le théorème du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3.4 Fin de la preuve du théorème 3.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3.5 Preuve du théorème 3.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Mémoire de DEA dirigé par Marc Hindry

Un schéma de démonstration classique en approximation diophantienne est le suivant : on construit un polynôme auxiliaire F qui s’annule avec un grand ordre en un certain nombre de points approximants, puis on borne l’ordre d’annulation de F en ces points afin d’en tirer une contradiction. La première étape s’effectue en général avec des lemmes du type lemme de Siegel (cf par exemple [BV83]). Pour la seconde étape, une méthode consiste à appliquer des lemmes de zéros. On peut distinguer deux types de lemmes de zéros : le premier type, du originellement à Masser-Wüstholz, impose une configuration géométrique précise pour l’ensemble des points d’annulations et utilise l’ opérateur de translation donné par la loi du groupe algébrique avec lequel on travaille ; le second type laisse plus libre sur la configuration initiale, mais, utilisant des dérivations, il s’utilise essentiellement en caractéristique nulle. On obtient dans ce dernier cas les lemmes de Dyson (on trouve une preuve du théorème de Roth par cette méthode dans [Sch91]).

L’objet de ce mémoire est de démontrer deux théorèmes du type lemme de Dyson, en suivant exactement l’article ”Intersection theory and diophantine approximation” de M. Nakamaye, paru dans le Journal of Algebraic Geometry, volume 8, de 1999. Le théorème 1 est une légère amélioration d’une version dûe à Esnault-Viehweg (cf [EV84]), le second théorème, est dû à Nakamaye. Le grand intérêt de la démonstration que l’on va présenter ici, est de simplifier la preuve de Esnault-Viehweg, qui utilise le théorème d’annulation de Kodaira généralisé. On remplace ici l’emploi de théorèmes d’annulation cohomologiques profonds par l’utilisation de la théorie de l’intersection. On commence tout d’abord par effectuer un certain nombre de rappels de géométrie algébrique, puis, en suivant le livre de Fulton [Ful98], on donne les bases de la théorie de l’intersection dont nous aurons besoin. La dernière partie est consacrée à la preuve des deux théorèmes.

Dans toute la suite, un schéma désignera un schéma de type fini noethérien au dessus d’un corps K, une variété désignera un schéma intègre, une sous-variété désignera un sous-schéma intègre fermé, et un point désignera un point fermé. K désignera un corps algébriquement clos, de caractéristique zéro, et on notera R(X) le corps des fonctions rationnelles sur X.

3.1 Rappels de géométrie algébrique

3.1.1 Les différentielles

Théorème 3.1.1. Soit L/K une extension de corps qui est finiment engendrée, alors dim_{L} Ω_{L/K}=deg_{tr}(L/K). Démonstration : Soit L/K une extension et soit M une extension de corps, algébrique ou transcendante finie, du corps L. Notons r(M) = dim_{M}Ω_{M/K}, et r(L) = dim_{L}Ω_{L/K}, on va comparer r(M) et r(L). Le corps L est de caractéristique 0, donc par le théorème de l’élément primitif, on sait que M = L(t_{1}, …,t_{n},x) avec x algébrique sur L(t_{1}, …,t_{n}) et t_{1}, …,t_{n} algébriquement indépendants sur L. On va étudier séparément deux cas :

1. On suppose ici que M = L(t) avec t transcendant sur L, montrons l’égalité de dimensions r(M) = r(L) + 1. On a :

Ω_{L[t]/K} ≃ (Ω_{L/K} ⊗_{L} L[t]) ⊕ L[t]dt,

en localisant par rapport à t, i.e en inversant t, on en déduit donc que

Ω_{M/K} ≃ (Ω_{L/K} ⊗_{L} M) ⊕ Mdt.

On en déduit immédiatement le résultat.

2. On suppose maintenant que M = L(x) avec x algébrique sur L de polynôme minimal f, montrons que r(M) = r(L). On a :

Ω_{M/K} ≃ (Ω_{L/K} ⊗_{L} M ⊕ MdX) /Lδf

où δf(x) = (df)(x) + f′(x)dX. L’égalité précédente découle de la seconde suite exacte fondamentale. Or f′(x) ≠ 0, donc f′(x) est inversible dans M, donc on a :

Ω_{M/K} ≃ Ω_{L/K} ⊗_{L} M.

On en déduit l’égalité des dimensions. Par une récurrence descendante immédiate on déduit le résultat, de cette étude. □ Lemme 3.1.1. Soit A un anneau local, intègre, noethérien, de corps résiduel K et de corps des fractions F. Si M est un A-module de type fini, et si on a l’égalité de dimension dim_{K}M ⊗_{A} K = dim_{F} M ⊗_{A} F = r, alors, M est libre de rang r.

Démonstration : Comme dim_{K}M ⊗_{A} K = r, alors par le lemme de Nakamaya, on sait que M est engendré par r éléments. On a donc une application surjective φ : A^{r} → M, de noyau Ker φ. En passant au corps des fractions, on en déduit la suite exacte :

0 → Ker φ ⊗_{A} F → F^{r} → M ⊗_{A} F → 0.

Or on sait que dim_{F} M ⊗_{A} F = r, donc on en déduit que Ker φ ⊗_{A} F = 0, et donc, Ker φ = 0, ce qui conclut. □ Proposition 3.1.1. Soit B un anneau local contenant K, tel que K ≃ B/𝔐 où 𝔐 est l’idéal maximal de B. Si B est noethérien, et est la localisation d’une K-algèbre de type fini, alors Ω_{B/K} est un B-module libre de rang dim B si et seulement si B est régulier. Démonstration : 1. On suppose que Ω_{B/K} est un B-module libre de rang dim B. Il suffit de montrer que l’application δ : 𝔐/𝔐^{2} → Ω_{B/K} ⊗_{B} K donnée dans la seconde suite exacte fondamentale, est un isomorphisme. Or avec nos hypothèses, δ est clairement surjective, il suffit donc de montrer qu’elle est injective. Pour cela, il suffit de voir que l’application duale

δ′ : Hom_{K}(Ω_{B/K} ⊗ K,K) → Hom_{K}(𝔐/𝔐^{2},K)

est surjective. Le membre de gauche de δ′ est isomorphe à Hom_{B}(Ω_{B/K},K). Or on peut, par définition, identifier ce B-module avec Der_{K}(B,K). Si d : B → K est une dérivation, alors δ′(d) est simplement obtenu par restriction à 𝔐 (en notant que d(𝔐^{2}) = 0). Montrons maintenant que δ′ est surjective : soit h ∈ Hom_{K}(𝔐/𝔐^{2},K), on veut construire une Kdérivation de B dans K telle que δ′(d) = h. On note pour cela que tout b ∈ B s’écrit de manière unique sous la forme b = λ + m, avec λ ∈ K et m ∈ 𝔐. On pose alors, d(b) = h(\overline{m}) où \overline{m} est la projection de m dans 𝔐/𝔐^{2}. On vérifie alors que d répond à la question.

2. On montre maintenant la réciproque. Soit donc B anneau local, régulier, de dimension r. On a dim 𝔐/𝔐^{2} = r, donc par l’isomorphisme δ on sait que : dim_{K}Ω_{B/K} ⊗_{B} K = r. Par ailleurs, si F est le corps de fractions de B, alors on a, par changement de base Ω_{B/K}⊗_{B}F = Ω_{F/K}. Or par le théorème 3.1.1, on sait que dim_{F} Ω_{F/K} = deg_{tr}(F/K) = dim B. Enfin, comme B est la localisation d’une K-algèbre de type fini, on sait que Ω_{B/K} est un B-module de type fini. Le lemme 3.1.1 précédent nous permet alors de conclure que Ω_{B/K} est un B-module libre de rang r. □ Théorème 3.1.2. Soit X une variété sur K, alors, Ω_{X/K} est localement libre de rang dim X = n, si et seulement si, X est une variété lisse sur K. Démonstration : Si tous les points fermés sont lisses, alors X est lisse, car le localisé d’un anneau local régulier en un idéal premier est encore local régulier. Ainsi il suffit de montrer que si x est un point fermé de X, alors, x est lisse. Soit donc x un tel point, alors, B = O_{X,x} est de dimension n, de corps résiduel K et est un localisé d’une K-algèbre de type fini, car X est de type fini sur K. On a :

(Ω_{X/K})_{x} ≃ (Ω_{U/K})_{x} avec U = Spec A voisinage de x,
≃ { \atop (Ω_{A/K})}_{x},
≃ Ω_{A_{x}/K},
≃ Ω_{B/K} car O_{X,x} ≃ O_{U,x} ≃ A_{x}.

Donc par la proposition 3.1.1, on en déduit que B est un anneau régulier, c’est à dire que le point x est lisse, si et seulement si (Ω_{X,K})_{x} est libre de rang n. □ Corollaire 3.1.1. Soit X une variété sur K, alors il existe un ouvert lisse U de X. Démonstration : Posons n = dim X. Le corps L = R(X) est de degré de transcendance n sur K, donc on a (par le théorème 3.1.1) dim_{L} Ω_{L/K} = deg_{tr}(L/K) = n. Or Ω_{L/K} est la tige de Ω_{X/K} au point générique, x, de X. Comme X est noethérien, il existe un voisinage U ouvert de x tel que (Ω_{X/K})_{U} est libre de rang n. Le théorème précédent permet alors de conclure. □

3.1.2 Normalisation et applications propres

On effectue ici des rappels concernant la notion de normalisation d’une variété, et concernant les morphismes propres.

Définition 3.1.1 Soit X une variété, on dit que le couple (X̃,π) est la normalisation de X, si X̃ est une variété normale telle que R(X) = R(X̃), et si π : X̃ → X est un morphisme fini surjectif égal à l’identité au niveau de R(X). Notons que cette définition n’est valide que si l’on a l’existence et l’unicité d’une normalisation. C’est ce que nous dit le théorème suivant : Théorème 3.1.3. Soit X une variété, alors il existe, à isomorphisme unique près, une unique normalisation (X̃,π). Démonstration : 1. On montre d’abord l’unicité : on considère pour cela un recou- vrement de X par des ouverts affines U_{i} = Spec A_{i}. Soit (Y_{1},π_{1}) et (Y_{2},π_{2}) deux normalisations de X, notons S_{i,1} = O_{Y_{1}}(π_{1}^{−1}(U_{i})) et pareil pour S_{i,2}. Alors, S_{i,1} et S_{i,2} sont tous deux intégralement clos dans R(X) et donc égaux à la clôture intégrale de A_{i} dans R(X). Comme π_{1} et π_{2} sont finis, on peut définir un isomorphisme ϕ_{i}, de π_{1}^{−1}(U_{i}) sur π_{2}^{−1}(U_{i}) en le définissant comme induit par l’application identité entre S_{i,1} et S_{i,2}. Ces isomorphismes ϕ_{i} sont les seuls qui induisent l’identité sur les corps de fonctions, donc on peut les recoller pour former ainsi l’unique isomorphisme entre les deux normalisations.

2. Montrons maintenant l’existence du couple (X̃,π). On commence par supposer X affine : X = Spec A. Soit B la clôture intégrale de A, on sait que B est un A-module de type fini. Soit donc Y = Spec B et π le morphisme de Y dans X définit par l’inclusion de A dans B. Alors, Y est normale et π vérifie les conditions voulues. Dans le cas général on recouvre X par des ouverts affines U_{i} puis, pour tout i on fabrique une normalisation de U_{i} que l’on recolle en une normalisation sur X grâce à l’unicité. □

Proposition 3.1.2. Soit X une variété et Z une variété normale et f : Z → X un morphisme surjectif, alors f induit un morphisme f̃: Z → X̃, tel que π ∘ f̃ = f. Démonstration : Comme précédemment on se ramène au cas où X = Spec A est affine. Dans ce cas, on vient de voir que X̃ = Spec B, où B est la clôture intégrale de A dans R(X). Ainsi il suffit de définir, un morphisme ϕ de B ⊂ Frac(A) dans A_{1} = O_{Z}(f^{−1}(X)) prolongeant le morphisme de A dans A_{1}, d’où le résultat. □

On rappelle maintenant un lemme concernant les applications propres et séparées : Lemme 3.1.2. Soit f : X → Y et g : Y → Z deux morphismes de schémas noethériens.

1. Si g ∘ f est de type fini, alors f est de type fini.

2. Si g ∘ f est séparé, alors f est séparé.

3. Si g ∘ f est propre et si g est séparé, alors f est propre.

4. Le composé de deux morphismes propres est propre.

5. Les morphismes propres sont stables par changement de base.

6. Si on peut recouvrir Y par des ouverts Y_{i} tels que le morphisme f^{−1}(Y_{i}) → Y_{i} est propre pour tout i, alors f est propre. Démonstration : On commence par montrer le point 1. : par noethérianité de X il suffit de montrer que f est localement de type fini. Soit U = Spec A un ouvert de Y. On recouvre g(U) par des ouverts affines U_{i} = Spec A_{i}, i ∈ I. Or g ∘ f est de type fini, donc, pour tout i, (g ∘ f)^{−1}(U_{i}) est recouvert par des ouverts Spec A_{ij} où A_{ij} est une A_{i} algèbre de type fini. Or

⋃_{I}(g ∘ f)^{−1}(U_{i}) = (g ∘ f)^{−1}(⋃_{I} U_{i}) ⊃ (g ∘ f)^{−1}(g(U)) ⊃ f^{−1}(U).

Donc on a recouvert f^{−1}(U) par des ouverts affines Spec A_{ij} où les A_{ij} sont des A_{i}-algèbres de type fini, donc a fortiori des A-algèbres de type fini. Les points 2. et 3. sont des conséquences faciles des critères valuatifs pour les morphismes séparés, respectivement propres. Montrons par exemple le point 3. : Le morphisme g∘f est propre , en particulier de type fini, donc par le point 1., f est de type fini, et par le point 2., f est séparé. Soit donc A un anneau de valuation, U = Spec A, T = Spec(Frac A), et des morphismes U → X et T → Y rendant commutatif le diagramme

U ⟶ X
↓  ↓^{f}
T ⟶_{u_{2}}^{u_{1}} Y
id_{T} ↓  ↓^{g}
T ⟶_{h} Z

et montrons qu’il existe (au moins) un morphisme de T dans X tel que tous les diagrammes continuent à commuter. Soit h = g ∘ u_{1} : T → Z, alors comme g ∘ f est propre, il existe une application de T dans X commutant avec h. En composant ce morphisme avec f on obtient une seconde flèche, u_{2} de T dans Y, or g étant séparé, on a nécessairement u_{1} = u_{2}, d’où le résultat. Les points 4. et 6. se démontrent exactement comme le point précédent, et le point 5. se démontre facilement, en utilisant la propriété universelle du produit fibré. □

3.1.3 Morphismes entre courbes

On rappelle ici deux résultats classiques concernant les applications entre courbes, dont nous aurons besoin dans le point 4. de la preuve du théorème fondamental concernant l’image directe de cycles algébriques. Proposition 3.1.3. Soit X une courbe propre et lisse sur K, soit Y une courbe propre sur K, et soit f : X → Y un morphisme non constant. Alors, f est surjectif, K(X) est une extension finie de K(Y) et f est fini. Démonstration : Notons π_{X} la projection propre de X sur K, et π_{Y} celle de Y sur K. On a π_{Y} ∘f = π_{X}, donc le point 3. du lemme 3.1.2 nous assure que f est propre. En particulier, f(X) est un fermé irréductible de Y. Or dim Y = 1, donc f est constante ou surjective. Par l’hypothèse on conclut que f est surjective. On en déduit que K(Y) s’injecte dans K(X), et comme ces deux corps sont des extensions de degré de transcendance 1 sur K, K(X) est nécessairement algébrique finie sur K(Y). Montrons maintenant que le morphisme est fini. Soit V = Spec B un ouvert de Y, et soit A la fermeture intégrale de B dans K(X). Alors, A est un B module de type fini, et l’ouvert U = Spec A est exactement l’image réciproque de V par f. □ Proposition 3.1.4. Soit C une courbe propre et lisse sur K et f ∈ K(C) une application rationnelle non constante. Alors, f définit un mophisme non constant de C dans ℙ^{1}. Démonstration : L’application rationnelle définit un morphisme φ : C → ℙ^{1} en posant pour P ∈ C:

\begin{cases}φ(P) = [f(P) : 1] & si P n’est pas un pôle de f, \\ φ(P) = [1 : 0] & sinon. \end{cases}

Ce morphisme (qu’on a pu définir car C est lisse) répond à la question. □

3.1.4 Les diviseurs

Diviseurs de Weil et de Cartier

Définition 3.1.2 Soit X une variété de dimension n, on note Z_{n−1}X le groupe libre engendré par les sous-variétés de codimension 1 de X. Un élément de Z_{n−1}X est appelé un diviseur de Weil.

Définition 3.1.3 Soit X un schéma et soit R le faisceau d’anneaux quotients totaux de O_{X}. Un diviseur de Cartier est une section globale de R^{∗}/O_{X}^{∗}, i.e c’est la donnée de (U_{i},f_{i})_{i}, où (U_{i}) est un recouvrement ouvert de X et f_{i} ∈ R(U_{i})^{∗}, tel que sur U_{i} ∩ U_{j} on a \frac{f_{i}}{f_{j}} ∈ O_{X}(U_{i} ∩ U_{j})^{∗}. L’ensemble des diviseurs de Cartier sur X forme un groupe noté CaDiv X : si D = (U_{i},f_{i})_{i} et E = (U_{i},g_{i})_{i}, on note D + E le diviseur de Cartier (U_{i},f_{i}g_{i})_{i}.

Un diviseur de Cartier D = (U_{i},f_{i})_{i} sur un schéma X est dit effectif si : pour tout i, f_{i} ∈ O_{X}(U_{i}). Dans ce cas on définit le sous-schéma de Cartier de codimension 1 associé, Y, comme étant le sous-schéma fermé défini par le faisceau d’idéaux ℑ localement engendré par f_{i}. Ceci définit clairement une correspondance biunivoque entre les diviseurs de Cartier effectifs sur X et les sous-schémas Y fermés localement principaux, i.e dont le faisceau d’idéaux est localement engendré par un seul élément. On définit le support d’un diviseur de Cartier D, comme étant : Supp D= |D| = ⋃ Z sous-variétés de X telles qu’il existe f_{i}, équation locale de D, appartenant à O_{X,Z}, et telle que f_{i} ≠ unité. Soit s : X → Y un morphisme de schémas, et soit D = (U_{i},f_{i})_{i} un diviseur de Cartier sur Y. Si X est une variété et si s(X) ⊄ |D|, alors on définit le diviseur de Cartier image réciproque s^{∗}D de D dans X comme étant s^{∗}D = (s^{−1}(U_{i}),f_{i} ∘ s)_{i}.

Quand X est une variété, on peut construire un morphisme naturel ϕ de CaDiv X dans Z_{n−1}X: soit D ∈ CaDiv X et soit V une sous-variété de codimension 1 de X. On pose

ord_{V} D = ord_{V} f_{i}, où i est tel que U_{i} ∩ V ≠ ∅.

(ceci a un sens car si j est tel que U_{j}∩V ≠ ∅, alors \frac{f_{i}}{f_{j}} ∈ O_{X}(U_{i}∩U_{j})^{∗}, donc ord_{V} f_{i} = ord_{V} f_{j}). On définit ainsi un diviseur de Weil : [D] = ∑_{V}ord_{V} D [V].

Définition 3.1.4 On appelle diviseur de Cartier principal tout diviseur de Cartier appartenant à l’image du morphisme canonique R^{∗} → R^{∗}/O_{X}^{∗}. Dans le cas des variétés, ceci correspond aux diviseurs de la forme (X,f), où f ∈ R(X)^{∗}. On note Pic X le groupe quotient CaDiv X /{diviseurs principaux}. En supposant connue, la définition de A_{n−1}X (cf paragraphe II.2 à venir), on constate alors que le morphisme ϕ précédemment défini, induit un morphisme (en général ni injectif ni surjectif)

ϕ : Pic X → A_{n−1}X.

On trouvera une démonstration du résultat suivant dans [Har77], p 141 : Théorème 3.1.4. Si X est une variété séparée localement factorielle, alors ϕ est un isomorphisme. Corollaire 3.1.2. Si X est une variété lisse, séparée alors ϕ est un isomorphisme. Remarque : une variété projective est propre donc séparée, donc si X est une variété projective lisse de dimension n sur un corps K algébriquement clos, Pic X ≃ A_{n−1}X.

Diviseurs et fibrés en droite

Si X est un schéma, et D = (U_{i},f_{i})_{i} un diviseur de Cartier, on peut toujours lui associer un fibré en droite O_{X}(D) : par définition, O_{X}(D) est le sous-faisceau de O_{X}-modules de R, engendré sur U_{i} par f_{i}^{−1}. Proposition 3.1.5. Soit D un diviseur de Cartier effectif sur un schéma X et soit Y le sous-schéma de Cartier associé, alors : ℑ_{Y} ≃ O_{X}(−D). Démonstration : Le faisceau O_{X}(−D) est le sous-faisceau de R, localement engendré par f_{i}. Or comme D est effectif, pour tout i, f_{i} est dans O_{X}(U_{i}), donc O_{X}(−D) est en fait un sous-faisceau de O_{X}. C’est donc ℑ_{Y}. □ Proposition 3.1.6. Si X est un schéma intègre alors l’application de Pic X dans, le groupe des classes d’isomorphismes de faisceaux inversibles sur X pour l’opération ⊗, est un isomorphisme. Démonstration : Il faut d’abord montrer que tout faisceau inversible est isomorphe à un sous-faisceau inversible de R. On sait que X est intègre donc R est le faisceau constant R. Soit L un faisceau inversible de O_{X}-modules, considérons le faisceau L ⊗_{O_{X}} R, et soit (U_{i})_{i} une trivialisation de L. Sur U_{i}, on a : (L ⊗_{O_{X}} R)_{|U_{i}} ≃ R_{|U_{i}}. De plus, l’espace X est irréductible, donc, si F est un faisceau tel que la restriction aux ouverts d’un recouvrement de X est le faisceau constant, alors, F est en fait constant. Ainsi le faisceau L ⊗_{O_{X}} R est constant, isomorphe à R. Or L en est un sous-faisceau, d’où le résultat. Montrons maintenant la bijectivité : soit L(D) un sous-faisceau inversible de R. On choisit une trivialisation U_{i} et pour tout i, f_{i} l’inverse d’un générateur de L(D)_{|U_{i}}. Le diviseur D = (U_{i},f_{i}) ainsi construit, définit une application qui est clairement réciproque de celle qui à un diviseur de Cartier associe un fibré en droite, d’où le résultat. □

Corollaire 3.1.3. Soit X = m ; ∏_{i=1}ℙ^{n_{i}}, alors tout fibré en droite sur X est isomorphe à

O_{X}(d_{1}, …,d_{m}) pour un certain d = (d_{1}, …,d_{m}) ∈ ℤ^{m}. Remarque : on peut noter que H^{0}(ℙ,O_{ℙ}(d_{1}, …,d_{m}) est isomorphe à l’espace vectoriel des polynômes multihomogènes de degré d = (d_{1}, …,d_{m}) sur K[X_{1},Y_{1}, …,X_{m},Y_{m}].

Définition 3.1.5 Soit s une section d’un fibré en droite, L, sur un schéma X. On note (s_{i})_{i} la section s vue dans la trivialisation (U_{i})_{i} de L. Par définition, on appelle schéma des zéros de s le sous-schéma de Cartier de codimension 1, Z(s), engendré par s_{i} sur U_{i}.

3.1.5 Éclatements

On définit ici l’éclatement selon une sous-variété, et on en rappelle les principales propriétés.

Construction de Proj

On connait le Proj d’un anneau gradué, on va ici définir le Proj d’un faisceau d’algèbre graduée S sur un schéma X. Dans la suite de cette partie on supposera que :

(⋆) : X noethérien, S faisceau quasi-cohérent de O_{X} modules, ayant une structure de faisceau de O_{X} algèbre graduée, telle que S = ⨁_{d≥0} S_{d} où S_{0} = O_{X} et où S_{1} est un O_{X}-module cohérent qui engendre localement S comme O_{X} algèbre.

Construction Soit X un schéma et S un faisceau gradué de O_{X}-algèbre satisfaisant l’hypothèse (⋆). Pour tout ouvert affine U = Spec(A) de X, on écrit S(U) = Γ(U,S_{|U}). On considère ensuite Proj(S(U)) et son morphisme naturel

π_{U} : Proj S(U) → U.

Si f ∈ A, alors U_{f} = Spec A[\frac{1}{f}]. Comme S est quasi-cohérent, Proj(S(U_{f})) est isomorphe à π_{U}^{−1}(U_{f}), donc si U et V sont deux ouverts affines de X, alors π_{U}^{−1}(U ∩V) est naturellement isomorphe à π_{V}^{−1}(U ∩ V). On peut donc recoller les schémas Proj(S(U)), et on obtient alors un schéma Proj(S) muni d’un morphisme Proj(S) ⟶^{π} X tel que, pour tout U = Spec A ⊂ X on a :

π^{−1}(U) ≃ Proj(S(U)).

De plus les faisceaux inversibles O(1) sur chaque Proj(S(U)) sont compatibles à la donnée de recollement fournie par cette construction (cf [Har77] II.5.12.C), donc se recollent ensembles pour former un faisceau inversible O(1) sur Proj S, canoniquement déterminé par cette construction.

On a ainsi construit Proj S avec un morphisme π : Proj S → X, et un faisceau inversible O(1) associés. Tout ce qu’on sait sur Proj se transpose sur Proj.

Exemple 3.1.1 Si S = O_{X}[T_{0}, …,T_{n}] alors Proj S = ℙ_{X}^{n} muni du twist standard.

On rappelle ici un théorème classique sur les morphismes projectifs : Théorème 3.1.5. 1. un morphisme projectif entre schémas noethériens est propre.

2. Soit A un anneau, et X un A-schéma, si L est un faisceau inversible sur X engendré par les sections globales s_{0}, …,s_{n} ∈ H^{0}(X,L), alors, il existe un unique A-morphisme g : X → ℙ_{A}^{n} tel que L ≃ g^{∗}O(1) et tel que pour tout i, s_{i} = g^{∗}(x_{i}). Proposition 3.1.7. Si (X,S) vérifie (⋆), soit Y = Proj S muni de la projection naturelle π. Alors, π est un morphisme propre. Démonstration : Soit U ⊂ X un ouvert affine. Le morphisme π_{U} est projectif, donc est propre par le point 1. du théorème 3.1.5 précédent. Mais alors on sait dans ce cas, d’après le point 6. du lemme 3.1.2 que π est propre. □

Éclatements

On commence par rappeler la notion intuitive d’éclatement selon un point, puis on s’intéresse à la notion plus générale d’éclatement selon un idéal.

Formellement, pour éclater un point P de 𝔸^{n}, l’idée est de remplacer P par l’ensemble des droites passant par P, i.e par une copie de ℙ^{n−1}. Rigoureusement, on choisit le point P comme origine de 𝔸^{n}, et on considère l’ensemble

B_{P} = {(x,l) ∈ 𝔸^{n} × ℙ^{n−1}/ x ∈ l}

muni de la projection π : B_{P} → 𝔸^{n}. Le couple (B_{P} ,π) est appelé l’éclatement de 𝔸^{n} en P. On retrouve bien l’idée formelle en considérant les fibres de l’application π: si x ≠ P, alors π^{−1}(x) = (x,l) où l est l’unique droite passant par x et P ; si x = P, alors π^{−1}(P) = {P } × ℙ^{n−1}. Proposition 3.1.8. L’éclatement B_{P} de 𝔸^{n} en un point P est le fermé algébrique définit par 𝕍(x_{i}y_{j} − x_{j}y_{i}/ 0 ≤ i < j ≤ n). Démonstration : Soit x = (x_{1} …,x_{n}) ∈ 𝔸^{n} et l = [y_{1}, …,y_{n}] ∈ ℙ^{n−1}. Le point x est sur la droite l si et seulement si x est colinéaire à (y_{1}, …,y_{n}), donc si et seulement si la matrice

( \begin{matrix}x_{1} & … & x_{n} \\ y_{1} & … & y_{n} \end{matrix} )

est de rang inférieur à 1. Finalement, x ∈ l si et seulement si les mineurs x_{i}y_{j} − x_{j}y_{i} 2 × 2 de la matrice sont tous nuls, donc B_{P} est exactement de la forme annoncée. □

On passe maintenant à la définition générale d’éclatement selon un fermé.

Définition 3.1.6 Soit X un schéma noethérien et soit ℑ un faisceau cohérent d’idéaux de X. On considère le faisceau d’algèbres graduées S = ⨁_{d≥0} ℑ^{d}. Alors le couple (X,S) satisfait l’hypothèse (⋆), et on peut donc considérer BL_{Y} (X)=Proj S, où Y désigne le sous-schéma fermé de X défini par ℑ. On dit que BL_{Y} (X) est l’éclatement de X de centre Y.

Rappelons que si f : X → Y est un morphisme de schémas, et si ℑ ⊂ O_{Y} est un faisceau d’idéaux sur Y, on définit le faisceau image inverse ℑ′ ⊂ O_{X} comme étant le faisceau f^{−1}ℑ · O_{X}. En général, ce faisceau est différent du faisceau image réciproque f^{∗}ℑ = f^{−1}ℑ ⊗_{f^{−1}O_{Y}} O_{X}, par contre l’application naturelle de f^{∗}ℑ dans O_{X} est d’image f^{−1}ℑ · O_{X}. Proposition 3.1.9. Soit X un schéma noethérien, ℑ un faisceau cohérent d’idéaux et soit π : BL_{Y} (X) → X l’éclatement de X de centre Y, alors :

1. Le faisceau image inverse π^{−1}ℑ · O_{BL_{Y} (X)} est isomorphe à O_{BL_{Y} (X)}(1), et en particulier inversible.

2. Si U = X − Y alors le morphisme π : π^{−1}(U) → U est un isomorphisme. Démonstration : 1. Par construction, l’éclatement BL_{Y} (X), arrive équipé d’un faisceau naturel O_{BL_{Y} (X)}(1). Si U est un ouvert affine de X, alors par construction de Proj, ce faisceau O(1) sur Proj S(U) est le faisceau associé au S(U)-module gradué

S(U)(1) = ⨁_{d≥0} ℑ^{d+1}(U) = ℑ · S(U).

Donc le faisceau image inverse est égal à O_{BL_{Y} (X)}(1).

2. Par définition de U, on a : ℑ_{|U} = O_{U}. Ainsi, par construction de Proj, on en déduit que π^{−1}(U) ≃ Proj(O_{U}[T]) ≃ U, d’où le résultat. □

On pose E = π^{−1}(Y), et on l’appelle le diviseur exceptionnel de l’éclatement. Lemme 3.1.3. Soit (X,O_{X}) un schéma localement noethérien et soit f : L_{1} → L_{2} un morphisme surjectif de faisceaux inversibles sur X. Alors f est un isomorphisme. Démonstration : Dire que f est un isomorphisme se teste sur les tiges. Soit donc x ∈ X montrons que l’application induite f_{x} : E = (L_{1})_{x} → (L_{2})_{x} = F est un isomorphisme. L’application f_{x} est un morphisme surjectif entre deux O_{x}-modules libres de rang 1. L’anneau A est noethérien, donc E est un A-module noethérien, et donc le noyau Ker f est de type fini. Par le lemme de Nakayama, il suffit donc de voir que Ker f ⊂ 𝔐Ker f pour conclure. En tensorisant par − ⊗_{A} A/𝔐, on en déduit le diagramme commutatif :

0 ⟶ Kerf ⟶ E ⟶^{f} F ⟶ 0
↓  ↓  ↓  ↓  ↓
0 ⟶ 0 ⟶ E/𝔐E ⟶^{f_{𝔐}} F/𝔐F ⟶ 0

En effet, il est clair que le lemme est vrai si A est un corps, d’où l’isomorphisme obtenu dans la suite exacte du bas. On en déduit que Ker f = 𝔐Ker f, ce qui conclut. □ Théorème 3.1.6. (propriété universelle de l’éclatement) Soit X un schéma noethérien, soit ℑ un faisceau d’idéaux, et soit π : BL_{Y} (X) → X l’éclatement de X de centre Y. Si f : Z → X est un morphisme tel que f^{−1}ℑ · O_{Z} est un faisceau d’idéaux inversible sur Z, alors il existe un unique morphisme g : Z → BL_{Y} (X) factorisant f. Démonstration : Supposons le théorème démontré dans le cas où X est un schéma affine, alors par unicité de g et par construction de BL_{Y} (X), on en déduit le théorème dans le cas général, par recollement. On suppose donc que X est affine, X = Spec A où A est noethérien, et que le faisceau d’idéaux cohérent ℑ est déterminé par l’idéal I de A. On a alors BL_{Y} (X) =Proj S où S = ⨁_{d≥0} I^{d}. Si a_{0}, …,a_{n} ∈ I désignent des générateurs de I, on définit un morphisme surjectif naturel d’anneaux gradués ϕ : A[X_{0}, …,X_{n}] → S en envoyant X_{i} sur a_{i}. Ce morphisme induit une immersion fermée BL_{Y} (X) ↪ ℙ_{A}^{n}. Le noyau de ϕ est constitué des polynômes F homogènes tels que F (a_{0}, …,a_{n}) = 0 dans A. Soit f : Z → X comme dans l’énoncé, on va maintenant construire le morphisme g. Comme I est engendré par a_{0}, …,a_{n}, les inverses s_{0}, …,s_{n} de ces n éléments, considérés comme des sections globales sur Z engendrent le faisceau image inverse L = f^{−1}ℑ · O_{Z}. Donc par le théorème 3.1.5 il existe un unique morphisme g : Z → ℙ_{A}^{n} tel que L ≃ g^{∗}O(1) et tel que pour tout i s_{i} = g^{−1}X_{i}. Soit F (X_{0}, …,X_{n}) un élément homogène de degré d de Ker ϕ, alors F (a_{0}, …,a_{n}) = 0 dans A, donc F (s_{0}, …,s_{n}) = 0 dans H^{0}(Z,L^{d}). De ceci on déduit que g se factorise à travers BL_{Y} (X), d’où l’existence de g. Montrons maintenant l’unicité du morphisme g. Pour tout morphisme h : Z → BL_{Y} (X) se factorisant par f, on a :

f^{−1}ℑ · O_{Z} = h^{−1}(π^{−1}ℑ · BL_{Y} (X)) · O_{Z} = h^{−1}(O_{BL_{Y} (X)}(1)),

la dernière égalité découlant de la proposition précédente. Par le rappel, on en déduit une application surjective h^{∗}O_{BL_{Y} (X)}(1) → f^{−1}ℑ · O_{Z} = L. Or on sait par le lemme 3.1.3 que ce morphisme surjectif est un isomorphisme, donc h^{∗}O_{BL_{Y} (X)}(1) ≃ L. Les sections s_{i} de L sont nécéssairement les images réciproques des sections X_{i} de O(1) sur ℙ_{A}^{n}, donc l’assertion d’unicité du théorème 3.1.5 entraine l’unicité de g. □ Proposition 3.1.10. Soit X une variété sur K, soit ℑ un faisceau d’idéaux non nul, cohérent et soit π : BL(X) → X l’éclatement de X selon le fermé F associé à ℑ. Alors, BL(X) est une variété sur K, birationnelle à X. Démonstration : Le morphisme π est propre, donc de type fini sur K. De plus X est intègre, donc le faisceau associé à ⨁ ℑ^{n} est intègre, donc, BL(X) est une variété. De plus on sait déjà que π est un isomorphisme en dehors du diviseur exceptionnel, en particulier, π est une application birationnelle. □

3.1.6 Formule de la projection pour les faisceaux

Avant d’énoncer et de démontrer la formule de la projection pour les faisceaux, on commence par rappeler le résultat suivant : Théorème 3.1.7. Soit π : X → Y un morphisme de schémas, soit F un faisceau sur X, et soit G un faisceau sur Y. On a une bijection canonique de Hom(π^{∗}G,F) sur Hom(G,π_{∗}F). Démonstration : Soit f ∈ Hom(π^{∗}G,F), soit V un ouvert de Y, et soit s ∈ G. Alors, t : x ↦ s_{π(x)} est une section de π^{∗}G sur U = π^{−1}(V). Donc f_{U}(t) est une section de F sur U = π^{−1}(V), c’est à dire, est une section de π_{∗}F sur V. Les applications g_{V} : G(V) → π_{∗}F(V) ainsi définies forment un morphisme g : G → π_{∗}F. L’application qui à f associe g est la bijection recherchée. □

En particulier, si on applique ce théorème avec F = π^{∗}G et f = Id_{π^{∗}G}, on obtient un morphisme naturel de G dans π_{∗}π^{∗}G. De plus, en suivant la démonstration, on constate que, si π est surjective, alors, le morphisme naturel précédent est injectif.

Avant de passer à la formule de la projection, on rappelle un résultat concernant les faisceaux engendrés par leurs sections globales. Lemme 3.1.4. Soit f : X → Y un morphisme de schémas, F et G deux faisceaux de O_{Y} -module engendrés par leurs sections globales, alors :

1. F ⊗_{O_{Y}} G est engendré par ses sections globales.

2. f^{−1}(F) et f^{∗}(F) sont engendrés par leurs sections globales. Démonstration : Soit y ∈ Y, la tige de F ⊗_{O_{Y}} G en y est F_{y} ⊗_{O_{y}} G_{y}. Si f_{y} et g_{y} sont des sections globales de F et, respectivement, G, telles que f_{y}(y) ≠ 0 et g_{y}(y) ≠ 0, alors : la section f_{y} ⊗ g_{y} est une section globale du produit tensoriel, non nulle en y. Le point 2 se démontre de la même manière puisque on sait calculer les tiges en tout point des deux faisceaux : si x ∈ X, alors (f^{−1}(F))_{x} = F_{f(x)} et (f^{∗}(F))_{x} = F_{f(x)} ⊗_{O_{x}} O_{f(x)}. □ Proposition 3.1.11. formule de la projection Si f : (X,O_{X}) → (Y,O_{Y}) est un morphisme d’espace annelés, si E est un faisceau de O_{Y} -module localement libre de rang fini, et si F est un faisceau de O_{X}-module, on a :

f_{∗} (F ⊗_{O_{X}} f^{∗}E) ≃ f_{∗}F ⊗_{O_{Y}} E.

Démonstration : On va démontrer ceci en trois étapes. Les étapes 1 et 2 consistent à définir un morphisme naturel de f_{∗} (F ⊗_{O_{X}} f^{∗}E) sur f_{∗}F ⊗_{O_{Y}} E. L’ étape 3 montre l’isomorphisme. étape 1 : soit M et N deux faisceaux de O_{X}-modules, et soit U un ouvert de X. On a une application canonique

H^{0}(f^{−1}(U),M) × H^{0}(f^{−1}(U),N) → H^{0}(f^{−1}(U),M ⊗_{O_{X}} N),

bilinéaire sur H^{0}(f^{−1}(U),O_{X}) = H^{0}(U,f_{∗}(O_{X})) donc à fortiori sur H^{0}(U,O_{Y}). Cette application définit donc un morphisme canonique

φ : f_{∗}(M) ⊗_{O_{Y}} f_{∗}(N) → f_{∗}(M ⊗_{O_{X}} N).

étape 2 : on sait que ^{∗} et _{∗} sont adjoints, plus précisément, si M est un O_{Y} -module et N un O_{X}-module, on a l’isomorphisme :

Hom_{O_{X}} (f^{∗}(M),N) ≃ Hom_{O_{Y}} (M,f_{∗}(N)) .

(Notamment, si on prend N = f^{∗}(M), alors le morphisme Id_{f^{∗}(M)} induit un morphisme naturel :

ψ : M → f_{∗}(f^{∗}(M)).

étápe 3 : en regroupant les deux étapes précédentes, on a un morphisme naturel :

f_{∗}(F) ⊗_{O_{Y}} E →^{1⊗ψ} f_{∗}(F) ⊗_{O_{Y}} f_{∗}(f^{∗}(E)) →^{φ} f_{∗}(F ⊗_{O_{X}} f^{∗}(E)).

Montrons que c’est un isomorphisme. Comme E est localement libre de rang n, on peut, le problème étant local sur Y, supposer E = O_{Y}^{n}. De plus, f^{∗} et f_{∗} commutent au produit fini, donc on peut même supposer que E = O_{Y}. Dans ce cas, le membre de droite est isomorphe à f_{∗}(F) et le membre de droite aussi, d’où le résultat. □

3.2 Théorie de l’intersection

On va maintenant s’attacher à rappeler les bases de la théorie de l’intersection, bases dont nous aurons besoin par la suite.

3.2.1 Ordre des zéros et des pôles

Soit X une variété, et V une sous-variété de X de codimension 1. L’anneau local O_{V,X} est par définition, l’anneau local au point générique de V. Il est de dimension 1. Soit r ∈ R^{∗}(X), on définit l’ordre d’annulation de r selon V, que l’on note ord_{V} (r), de telle sorte que ce soit un homomorphisme, i.e :

∀r,s ∈ R^{∗}(X) ord_{V} (rs) = ord_{V} (r) + ord_{V} (s).

Tout r ∈ R^{∗}(X) peut s’écrire sous la forme r = \frac{a}{b}, avec a,b ∈ O_{V,X}, donc on a nécessairement, ord_{V} (r) = ord_{V} (a) − ord_{V} (b). Finalement, il suffit de définir ord_{V} pour des éléments de A = O_{V,X}. On pose alors :

∀r ∈ A ord_{V} (r) = l_{A} (A/(r)) , où l_{A}(M) désigne la longueur du A-module M.

Proposition 3.2.1. Pour r ∈ K^{∗}(X) fixé, il existe seulement un nombre fini de sousvariétés V de codimension 1 de X telle que ord_{V} (r) ≠ 0. Démonstration : Soit U un ouvert dense, lisse de X, et soit U_{1} = Spec A un ouvert affine de U, sur lequel r est régulière. On pose Z = X − U_{1}. Z est un fermé propre de X, or X est noethérien, donc Z ne contient qu’un nombre fini de sous-variétés V de codimension 1 de X; toutes les autres rencontrent U_{1}. Il suffit donc de monter que : il n’y a qu’un nombre fini de sous-variétés V de U_{1}, telles que v_{V} (r) ≠ 0, où v_{V} désigne la valuation associée à l’anneau de valuation discrète O_{V |U}. Comme r est régulière sur U, on a toujours v_{V} (r) ≥ 0. De plus, v_{V} (r) > 0 si et seulement si V est inclus dans le sous-schéma fermé de U défini par l’idéal Ar de A. Comme r ≠ 0, ce fermé est un sous-ensemble propre de U, et donc ne contient qu’un nombre fini de fermés irréductibles de codimension 1 de U. □

3.2.2 Cycles et équivalence rationnelle

Définition 3.2.1 Soit X un schéma. On appelle groupe des k-cycles sur X, et on note Z_{k}X, le groupe abélien libre engendré par les sous-variétés V de dimension k de X. Un élément de Z_{k}X est appelé un k-cycle, et si V est une sous-variété k-dimensionnelle de X, on note [V] l’élément correspondant de Z_{k}X. On a parfois besoin de définir directement la notion de cycle associé au schéma X. Soit donc X_{1}, …,X_{n} les composantes irréductibles de X. Les anneaux locaux O_{X_{i},X} sont de dimension 0 et la multiplicité géométrique m_{i} de X_{i} dans X est alors par définition la longueur de O_{X_{i},X}. Ceci nous permet de definir le cycle fondamental :

[X] = ∑_{i=1}^{n} m_{i}[X_{i}].

Définition 3.2.2 Si α = ∑_{V}n_{V} [V] est un cycle on définit le support de α, comme étant

supp α = |α| = ⋃_{n_{V} ≠0} V.

Si W est une sous-variété de dimension k + 1 de X, et si r est un élément de R^{∗}(W), on définit le k-cycle de X, div(r) associé par :

div(r) = ∑_{V} ord_{V} (r)[V], V décrit l’ensemble des sous-variétés de codimension 1 de W.

Définition 3.2.3 Un k-cycle α est rationnellement équivalent à 0, α ∼ 0, s’il existe un nombre fini de sous-variétés W_{i} de dimension k + 1 de X, et des r_{i} ∈ R^{∗}(W_{i}) tels que α = ∑ div(r_{i}). Comme div(r^{−1}) = −div(r), les cycles rationnellement équivalents à zéro forment un sous-groupe Rat_{k}X de Z_{k}X. Le groupe des classes de k-cycles modulo équivalence rationnelle sur X est le groupe noté :

A_{k}X = Z_{k}X/Rat_{k}X.

On définit alors

Z_{∗}X = ⨁_{k=0}^{dim(X)} Z_{k}X et de même, A_{∗}X = ⨁_{k=0}^{dim(X)} A_{k}X.

On écrit α = ∑_{k≥0} α_{k} la décomposition d’un élément de A_{∗}X. Un cycle est dit positif s’il est non nul et si tous ses coefficients sont positifs. Une classe de cycle est dite positive (ou effective) si elle peut être représentée par un cycle positif (ou effectif).

3.2.3 Image directe de cycles

Soit f : X → Y un morphisme propre (i.e séparé, de type fini et universellement fermé). Si V est une sous-variété de X, alors f(V) = W est une sous-variété de Y (l’image continue d’un ensemble irréductible est irréductible). On a un plongement induit de R(W) dans R(V) et, si dim V = dim W alors R(W) est une extension algébrique, finie de R(V) (car sur un schéma intègre W, de type fini au dessus d’un corps K, on a dim W = deg_{tr}(R(W)/K)). On pose :

deg(V/W) = \begin{cases}0 & si dim V < dim W, \\ [R(V) : R(W)] & si dim V = dim W. \end{cases}

On définit alors l’image directe de [V] par f comme étant :

f_{∗}[V] = deg(V/W)[W],

et on étend ceci par linéarité en un morphisme f_{∗} : Z_{k}X → Z_{k}Y. Proposition 3.2.2. (fonctorialité) Si g : Y → Z est un autre morphisme propre, alors

(gf)_{∗} = g_{∗}f_{∗}.

Démonstration : Le résultat découle de la multiplicativité du degré. En effet :

(gf)_{∗}[V] = deg(V,gf(V))[W] et
g_{∗}f_{∗}[V] = g_{∗}(deg(V,f(V))[f(V)]

= deg(V,f(V))deg(f(V),gf(V))[W]. □

Avant de passer à la proposition fondamentale de ce paragraphe, on indique ici deux résultats d’algèbre commutative concernant la fonction longueur. On travaille ici avec des anneaux noethériens. Soit φ un endomorphisme du A-module de type fini M, posons

M_{φ} = Coker φ et _{φ}M = Ker φ.

On dit que e_{A}(φ,M) est défini si M_{φ} et _{φ}M sont de longueur finie sur A. On pose alors e_{A}(φ,M) = l_{A}(M_{φ}) − l_{A}(_{φ}M). Lemme 3.2.1. Si e_{A}(φ,M) est défini, alors : e_{A}(φ,M) = ∑_{p} e_{A_{p}}(φ_{p},M_{p}), où la somme porte sur les idéaux maximaux de A. Démonstration : D’une part cette égalité est vraie au niveau des longueurs (en localisant la chaîne définissant la longueur en un idéal maximal p, on constate en effet que A/p intervient exactement l_{A_{p}}(M_{p}) fois), et d’autre part, en utilisant l’exactitude du foncteur lim_{→}, on constate que : (M_{φ})_{p} = (M_{p})_{φ_{p}} et pareil pour le noyau. Le résultat est alors immédiat. □ Lemme 3.2.2. Soit A → B un morphisme local d’anneaux locaux, soit d le degré (éventuellement infini) de l’extension de corps résiduels, et soit φ : M → M un endomorphisme B-linéaire de B-module. Si d est fini, alors, e_{A}(φ,M) est défini si et seulement si e_{B}(φ,M) est défini ; et dans ce cas :

e_{A}(φ,M) = de_{B}(φ,M).

Démonstration : Comme pour le lemme précédent, le résultat découle d’un énoncé similaire aux niveaux des longueurs : sous les mêmes hypothèses, on a : M est de longueur finie sur A si et seulement si M est de longueur finie sur B ; et dans ce cas, on a l_{A}(M) = dl_{B}(M). Il suffit donc de montrer cette égalité pour conclure, or les deux cotés de l’égalité sont additifs sur les suites exactes, donc il suffit même de la montrer dans le cas où M = B/q, avec q l’idéal maximal de B. Si p est l’idéal maximal de A, comme le morphisme de A dans B est local, on a pB/q = 0, donc l_{A}(M) = l_{A/p}(M) = d = dl_{B}(M), d’où le résultat. □

On peut maintenant passer au résultat qui nous intéresse directement.

Dans la proposition suivante, si X et Y sont deux variétés et si r ∈ R(X), on note N_{X/Y} (r) la norme de r, c’est-à-dire le R(Y)-endomorphisme défini sur R(X) par la multiplication par r.

Proposition 3.2.3. Soit f : X → Y un morphisme surjectif, propre, de variétés, et soit r ∈ R(X)^{∗}, alors :

\begin{cases}f_{∗}([div r]) = 0 & si dim Y < dim X, \\ f_{∗}([div r]) = [div (N_{X/Y} (r))] & si dim Y = dim X. \end{cases}

Démonstration : 1. On suppose tout d’abord que X = ℙ^{1} et que Y = Spec K. Dans ce cas, R(X) = K(t), avec t = \frac{x_{1}}{x_{0}} . Comme la fonction ord est un morphisme, on peut supposer que r est un polynôme irréductible sur K[t] de degré d. Alors, r engendre un idéal premier dans K[t] qui correspond à un point P de X tel que ord_{P} (r) = d. L’autre point où l’ordre de r est non nul est le pôle ∞ = (0 : 1) à l’infini. En ce point r est d’ordre −d, donc f_{∗}([div r]) = df_{∗}[P] − df_{∗}[∞] = d[Y] − d[Y] = 0. (En effet, R(P) = K[t]/(r) est de degré d sur K alors que R(∞) est de degré 1 sur K).

2. On suppose maintenant que f est un morphisme fini. Posons K = R(X) et L = R(Y). Soit W une sous-variété de Y de codimension 1, notons A = O_{Y,W} et 𝔐 son idéal maximal, alors il existe un anneau B intègre, fini sur A, de corps de fraction L, avec B⊗_{A}K = L, tel que, les sous-variétés V_{i} de X qui s’envoient sur W, correspondent aux idéaux maximaux 𝔐_{i} de B, avec B_{𝔐_{i}} = O_{X,V_{i}}. En effet, en prenant U un voisinage affine de w, point générique de W, on peut supposer X affine, X = Spec A_{X}. De plus, comme le morphisme f est fini, on peut se restreindre au départ, à l’ouvert affine f^{−1}(Spec A_{X}). On suppose donc Y = Spec A_{Y}, et dans ce cas, on constate que B = A ⊗_{A_{Y}} A_{X} convient (car f est fini). Ainsi pour prouver la proposition quand dim X = dim Y, on doit montrer que :

∑_{f(V_{i})=W} ord_{V_{i}}(r)[R(V_{i}) : R(W)] = ord_{W} N(r).

Les fonctions ord et N sont des morphismes donc il suffit de prouver cette égalité dans le cas où r appartient à B. On considère alors le morphisme local d’anneaux locaux de A dans B_{i} = B_{𝔐_{i}}, dont l’extension résiduelle est de degré d_{i} = [R(V_{i}) : R(W)], et on considère φ : B → B le morphisme de multiplication par r. On a :

ord_{V_{i}}(r) = l_{B_{i}}(B/(r)) = l_{B_{i}}(Coker φ_{i})

où on a posé φ_{i} le morphisme induit par φ sur B_{i}. Pour tout i, on sait que d_{i} est fini, on peut donc appliquer le lemme 3.2.2, puis le lemme 3.2.1 (en utilisant l’intégrité de B) pour obtenir :

∑_{f(V_{i})=W} ord_{V_{i}}(r)[R(V_{i}) : R(W)] = l_{A}(Coker φ).

Par ailleurs, N(r) est par définition égale à det φ_{K} où φ_{K} est le morphisme induit par φ sur L=frac B. Finalement, on est ramené à montrer que :

l_{A}(Coker φ) = ord_{W} (det φ_{K}).

Or ceci est vrai (cf [Ful98] lemme A.3), d’où le point 2.

3. On montre ici le cas général quand dim X = dim Y. On considère pour cela les normalisations (X̃,π_{X}) et (Ỹ ,π_{Y}) respectives de X et Y. Le morphisme surjectif f induit un morphisme f̃ de X̃ dans Ỹ. Par fonctorialité on sait que : π_{Y} _{∗} ∘ f̃_{∗} = f_{∗} ∘ π_{X}_{∗}. Or un morphisme fini est propre, donc le résultat est vrai pour π_{X} et π_{Y}. De plus f̃ est propre d’après le lemme 3.1.2. Par définition, la normalisation (X̃,π_{X}) induit l’identité au niveau des applications rationnelles, donc, on peut supposer X normale, puis par fonctorialité on peut aussi supposer Y normale. Soit W une sous-variété de codimension 1 de Y, alors A = O_{Y,W} est de valuation discrète (car local, noethérien, de dimension 1 et intégralement clos). On note y_{0} le point générique de W et on note B la clôture intégrale de A dans R(X). Soit 𝔭 un idéal maximal de B. On considère alors le diagramme commutatif suivant,

U = Spec R(X) ⟶^{u_{1}} X
i↓  ↓^{f}
T = Spec B_{𝔭} ⟶^{u_{2}} Y

où, u_{1} envoie U sur le point générique, x_{1} de X, et où u_{2} envoie le point générique de T sur le point générique, y_{0}, de W dans Y. Par le critère valuatif de propreté, on en déduit l’existence d’une variété V, qui s’envoie sur W par f (le ”sur” vient de ce que f est fermée), et dont l’anneau local O_{V} est dominé par B_{𝔭}. De plus, l’anneau local O_{V} associé à l’idéal maximal 𝔭 est intégralement clos et de dimension 1. En effet, supposons par l’absurde que dim O_{V} ≥ 2, c’est à dire qu’il existe un fermé irréductible F, strictement compris entre V et X. Dans ce cas, f(F) est un fermé irréductible de Y, contenant W. Si f(F) = Y, alors dim X > dim Y, ce qui contredirait notre hypothèse. Ainsi, f(F) est strictement contenu dans Y et donc, comme dim O_{W} = 1, f(F) = W. Mais alors on aurait deux morphismes distincts de Spec B_{𝔭} dans X faisant commuter le diagramme précédent. Comme f est séparée, ceci est idiot, donc c’est que F = V, et en particulier que dim O_{V} = 1. Finalement, B_{𝔭} = O_{V} est de valuation discrète. Or, si 𝔭_{1} et 𝔭_{2} sont deux idéaux maximaux distincts de B, alors les variétés V_{1} et V_{2} associées sont nécessairement distinctes. En effet, si V_{1} = V_{2}, alors les anneaux O_{V_{1}} = B_{𝔭_{1}} et O_{V_{2}} = B_{𝔭_{2}} coincident, donc les idéaux 𝔭_{1} et 𝔭_{2} sont égaux, ce qui est idiot. On est ainsi ramené à la situation du point 2., ce qui nous permet de conclure.

4. On montre ici le cas général quand dim X > dim Y. Par récurrence descendante, on peut supposer dim X = dim Y + 1. Posons K = R(Y). Par définition du degré, deg(V,f(V)), le coefficient de Y dans f_{∗}[div(r)] est :

∑ ord_{V} (r)[R(V) : K], où la somme porte sur les V telles que f(V) = Y .

On peut donc remplacer Y par Spec K et X par l’extension X_{K} = X ×_{Y} Spec K (l’application déduite de f par ce changement de base reste propre par le lemme 3.1.2), et donc supposer que X est une courbe au dessus de Y = Spec K. Soit π : X̃ → X, la normalisation de X. C’est une courbe lisse sur K, donc le paragraphe précédent nous indique l’existence d’un morphisme g : X̃ → ℙ_{K}^{1} fini, surjectif. En notant p la projection de ℙ_{K}^{1} sur Y, on obtient ainsi le diagramme commutatif

\begin{matrix}X̃ & ⟶^{π} & X \\ ^{g}↓ & & ↓^{f} \\ ℙ_{K}^{1} & ⟶_{p} & Y. \end{matrix}

On sait que π est propre, donc f ∘ π aussi, or p est projectif donc propre et donc, h est aussi un morphisme propre. En notant r̃ l’image de r dans R(X̃) par l’isomorphisme R(X) ≃ R(X̃), on a :

f_{∗}[div r] = f_{∗}π_{∗}[div r̃] par le point 3. appliqué à π,
= p_{∗}g_{∗}[div r̃] par fonctorialité,
=  0  par le point 3. appliqué à g et le point 1. appliqué à p.

Ceci conclut la démonstration. □ Théorème 3.2.1. Si f : X → Y est propre et si α est un k-cycle sur X, rationnellement équivalent à 0, alors le cycle f_{∗}α est rationnellement équivalent à 0 sur Y. Démonstration : Par linéarité, on peut supposer α =div r pour un r ∈ R(V), où V est une sous-variété de X. On peut alors supposer que X = V puis que f(X) = Y. On est alors exactement dans les conditions d’application du lemme précédent qui nous permet de conclure. □ Corollaire 3.2.1. Le morphisme f : X → Y, induit un morphisme covariant de groupe f_{∗} : A_{k}X → A_{k}Y.

3.2.4 Degré d’un cycle

Définition 3.2.4 Soit X un schéma au dessus de Spec K. On dit que X est complet si le morphisme canonique p : X → Spec K est propre.

Définition 3.2.5 Soit X complet et α = ∑ n_{P} [P] un 0-cycle sur X. En identifiant ℤ et A_{0}(Spec K), on définit le degré du cycle α comme étant :

deg α = ∑ n_{P} [R(P) : K] = p_{∗}(α).

On remarque, en utilisant le théorème 3.2.1, que les cycles rationnellement équivalents ont même degré. En effet, si α ∼ β alors p_{∗}(α) ∼ p_{∗}(β), i.e p_{∗}(α) = p_{∗}(β) + ∑[div r_{i}] où r_{i} ∈ R(W_{i})^{∗} avec W_{i} sous-variété de dimension 1 de Spec K. Or il n’y a pas de telle variété car Spec K est de dimension 0, d’où la remarque. On identifie A_{0}(Spec K) = ℤ[Spec K] ≃ ℤ, et on étend deg en un morphisme

deg : A_{∗}X → ℤ en posant, ∀n ≥ 1 ∀α ∈ A_{n}X deg α = 0.

Proposition 3.2.4. Soit f : X → Y un morphisme de schémas complets et soit α appartenant à A_{∗}X. On a : deg_{X}α = deg_{Y} f_{∗}(α).

Démonstration : Les schémas X et Y sont des K-schémas donc p_{Y} ∘ f = p_{X}. Le résultat suit par fonctorialité de _{∗} . □

3.2.5 Degré et polynôme de Hilbert

On va ici faire le lien entre la multiplicité tels qu’elle a été introduite précédemment, et, la multiplicité d’intersection, définie à partir du polynôme de Hilbert. On pose les jalons pour pouvoir faire la même chose, un peu plus loin, avec le degré. On commence par rappeler sans démonstration, certains résultats sur les schémas projectifs.

Schémas projectifs

Soit S = K[X_{0}, …,X_{n}], S est une K-algèbre graduée, telle que S_{0} = K, et telle que S_{1} est un K-module de type fini qui engendre S comme K-algèbre. On pose U_{i} = ℙ_{X_{i}}^{n} ≃ Spec K[X_{0}, …,X_{n},X_{i}^{−1}]. On rappelle qu’un schéma X est dit projectif si il est isomorphe à un sous-schéma fermé de ℙ^{n} = Proj S. Soit X un schéma fermé de ℙ^{n}, définit par le faisceau d’idéaux ℑ_{X}. On considère l’idéal homogène I_{X} de S engendré par tous les polynômes homogènes p(X_{0}, …,X_{n}) tels que :

∀i ∈ [[1,n]], X_{i} = 1 ⇒ p(X_{0}, …,1, …,X_{n}) ∈ ℑ_{X}(U_{i}).

Dans ce cas on sait que Ĩ_{X} = ℑ_{X}, et on dit que le S-module de type fini S(X) = S/I_{X} est l’anneau de coordonnées de X. En fait, on peut montrer que :

∀l ≫ 0, S(X)_{l} ≃ H^{0}(X,O_{X}(l)).

Polynôme de Hilbert

Définition 3.2.6 Un polynôme P ∈ ℚ[X] est dit numérique si :

∀n ∈ ℤ, n ≫ 0 ⇒ P (n) ∈ ℤ.

Proposition 3.2.5. 1. Si P ∈ ℚ[X] est numérique, alors, il existe c_{0}, …,c_{r} ∈ ℤ tels que : P (z) = c_{0} \binom{z}{r} + ⋯ + c_{r} \binom{z}{0} . En particulier, P (n) est entier pour tout n ∈ ℤ.

2. Si f : ℤ → ℤ est une fonction, et s’il existe un polynôme numérique Q tel que Δf(n) = f(n + 1) − f(n) = Q(n) pour n ≫ 0, alors il existe un polynôme P numérique tel que : ∀n ≫ 0, on a : f(n) = P (n). Démonstration : Le point 1. se démontre par récurrence sur le degré de P, et le point 2. se prouve en utilisant le 1. □ Théorème 3.2.2. Soit M un module gradué, de type fini, sur un anneau S gradué et noethérien. Alors, il existe une filtration 0 = M_{0} ⊂ … ⊂ M^{q} = M dont les quotients successifs M^{i}/M^{i−1} sont de la forme (S/𝔭_{i})(l_{i}), où les 𝔭_{i} sont des idéaux premiers homogènes de S, et les l_{i} ∈ ℤ. De plus, cette filtration vérifie :

1. Si 𝔭 est un idéal homogène premier de S, alors Ann M ⊂ 𝔭 ⟺ 𝔭_{i} ⊂ 𝔭 pour un certain i.

2. Pour tout idéal premier minimal de M, le nombre de fois où 𝔭 apparait dans l’ensemble {𝔭_{1}, …,𝔭_{q}} est égal à l_{S_{𝔭}}(M_{𝔭}). Démonstration : Si on admet l’existence de la filtration (dont l’existence est prouvée dans [Har77] p 50), le théorème est facile. Supposons donnée une filtration de M, alors Ann M ⊂ 𝔭 ⟺ Ann (M^{i}/M^{i−1}) ⊂ 𝔭 pour un certain i. Or Ann ((S/𝔭_{i})(l)) = 𝔭_{i}, ce qui prouve le point 1. Par ailleurs le point 2. est classique, on localise la filtration de M en un idéal premier minimal 𝔭. Comme 𝔭 est minimal dans l’ensemble {𝔭_{1}, …,𝔭_{q}}, on aura (M^{i})_{𝔭} = (M^{i−1})_{𝔭} après localisation, sauf dans le cas où 𝔭 = 𝔭_{i}. Or dans ce dernier cas, en oubliant la graduation, (M^{i})_{𝔭}/(M^{i−1})_{𝔭} ≃ (S/𝔭)_{𝔭} = K(𝔭) où K(𝔭) est le corps résiduel. Ainsi M_{𝔭} est un S_{𝔭}-modules de longueur finie égale au nombre de fois où apparait 𝔭 dans l’ensemble {𝔭_{1}, …,𝔭_{q}}. □

Définition 3.2.7 Si 𝔭 est un idéal minimal d’un S-module gradué, M, on définit la multiplicité de M en 𝔭 comme étant : μ_{𝔭}(M) = l_{S_{𝔭}}(M_{𝔭}).

Remarquons que si X est un sous-schéma fermé de ℙ^{n} et si 𝔭 est un idéal minimal de l’anneau de coordonnées homogène S(X) de X, correspondant à la composante irréductible W de X, alors la multiplicité μ_{𝔭}(S(X)) que l’on vient de définir est juste la multiplicité géométrique de W dans X.

Définition 3.2.8 La définition précédente nous permet de définir la fonction de Hilbert φ_{M} de M, S-module gradué avec S = K[X_{0}, …,X_{n}] :

on pose, pour tout l ∈ ℤ φ_{M}(l) = dim_{K}M_{l}.

Théorème 3.2.3. (Hilbert-Serre) Soit M un S-module gradué, où S = K[X_{0}, …,X_{n}], alors, il existe un unique polynôme P_{M}(z) ∈ ℚ[z] tel que :

∀l ≫ 0, φ_{M}(l) = P_{M}(l).

De plus, deg P_{M}(z) = dim Z(AnnM). En particulier, si X est une sous-variété de ℙ^{n}, d’anneau de coordonnées M = S(X), alors : deg P_{S(X)}(z) = dim X. Démonstration : La fonction φ_{.} est additive sur les suites exactes, et si M est l’extension de M′ par M′′, alors, Z(AnnM) = Z(AnnM′) ∪ Z(AnnM′′). Ainsi, en considérant la filtration de M, avec des quotients du type (S/𝔭)(l), il suffit de prouver le théorème dans le cas où M = (S/𝔭)(l). Or le décallage par l correspond au changement de variable z ↦ z + l dans la fonction φ_{M}. Il suffit donc de traiter le cas où l = 0. Si 𝔭 = (X_{0}, …,X_{n}), alors, dès que l > 0, on a φ_{M}(l) = 0. En prenant comme convention que, le degré du polynôme nul et la dimension de l’ensemble vide sont égaux à 0, on en déduit le résultat. Sinon, soit i tel que X_{i} ∉ 𝔭. Considérons la suite exacte :

0 → M →^{X_{i}} M → M′′ = M/X_{i}M → 0.

Alors, φ_{M′′}(l) = φ_{M}(l) − φ_{M}(l − 1) = (Δφ_{M})(l − 1). Par ailleurs, Z(AnnM) = Z(𝔭) ∩ H, où H est l’hyperplan {X_{i} = 0}. Or on est justement dans le cas, où Z(𝔭) ⊄ H, donc par le théorème de la dimension projective, on en déduit que :

dim Z(AnnM′′) = dim Z(𝔭) − 1.

Par récurrence sur dim Z(AnnM), on peut alors supposer que le résultat est vrai pour M′′. Dans ce cas, le point 2. de la proposition 3.2.5 nous permet de conclure. □

Définition 3.2.9 Le polynôme P_{M} obtenu au théorème précédent est appelé polynôme de Hilbert de M. Si X est un sous-schéma fermé de ℙ^{n}, d’anneau de coordonnées S(X), on appelle polynôme de Hilbert de X le polynôme P_{X} = P_{S(X)}.

Définition 3.2.10 Pour X, sous-schéma fermé de ℙ^{n} de dimension k, on définit le degré de X comme étant : deg_{g} X = k! a_{k}, où a_{k} est le coefficient dominant de P_{X}.

Définition 3.2.11 On dit que H est une hypersurface de ℙ^{n}, si H = V (F), où F est un polynôme homogène non nul de K[X_{0}, …,X_{n}]. Proposition 3.2.6. 1. Si Y est un sous-schéma fermé de ℙ^{n}, non vide, alors deg_{g} Y est un entier positif.

2. deg_{g} ℙ^{n}=1.

3. Si H est une hypersurface de ℙ^{n} engendrée par un polynôme P de degré d, alors deg_{g} H = d. Démonstration : 1. Par le théorème précédent, on sait que dim Y = deg P_{Y}, or, Y ≠ ∅, donc deg P_{Y} ≥ 0. De plus, P_{Y} est numérique, donc deg_{g} Y est bien un entier par la proposition 3.2.5. Enfin, pour tout entier l assez grand, P_{Y} (l) = φ_{Y} (l) ≥ 0, d’où le résultat.

2. On calcule le polynôme de Hilbert de ℙ^{n}, i.e le polynôme de S = K[X_{0}, …,X_{n}]. Or ∀l > 0, φ_{S}(l) = \binom{l+n}{n}, donc P_{S}(l) = \binom{l+n}{n} , et deg ℙ^{n} = 1.

3. Si f ∈ S(Y) est homogène de degré d, alors on a la suite exacte de module gradués :

0 → S(Y)(−d) →^{f} S(Y) → S(Y)/(f) → 0.

On en déduit, par additivité de la fonction φ, que :

φ_{S(Y)/(f)}(l) = φ_{S(Y)}(l) − φ_{S(Y)}(l − d).

En appliquant ceci à f = P, on en déduit que : P_{H}(z) = \binom{z+n}{n} − \binom{z−d+n}{n} . En particulier on trouve deg_{g} H = d, ce qui conclut. □

Définition 3.2.12 Soit Y un sous-schéma fermé de ℙ^{n}, de dimension k et d’idéal I_{Y}, et soit H une hypersurface, d’idéal I_{H}, ne contenant pas Y. On peut écrire :

[Y ∩ H] = ∑_{i=1}^{s} m_{i}[Z_{i}] où m_{i} est la multiplicité géométrique de Y ∩ H.

On a déja vu que m_{i} = μ_{p_{i}}(S/(I_{H} + I_{Y})). On note encore cette multiplicité, i(Y,H; Z_{i}) et on l’appelle multiplicité d’intersection de Y et H selon Z_{i}. Théorème 3.2.4. (Bézout) Avec les notations précédentes, on a :

deg_{g} H ∩ Y = ∑_{i=1}^{s} i(Y,H; Z_{i})deg_{g} Z_{j} = (deg_{g} Y)(deg_{g} H).

Démonstration : Si H est définie par le polynôme homogène f, de degré d, alors, on a la suite exacte :

0 → S(Y)(−d) →^{f} S(Y) → S(Y)/(f) → 0.

Or S(Y)/(f) = S/(I_{H} + I_{Y}) = M, donc en passant aux polynômes de Hilbert on en déduit : P_{M}(z) = P_{Y} (z) − P_{Y} (z − d) (1). Il nous reste pour conclure à comparer le coefficient dominant des deux membres de l’égalité (1). Notons dim Y = k et deg_{g}Y = e, alors le membre de droite est donc :

\frac{e}{k!}z^{k} − \frac{e}{k!}(z − d)^{k} + … = \frac{de}{(k − 1)!}z^{k−1} + …,

où les termes dans … sont de degrés strictement plus petits. Donc le coefficient dominant est de =(deg_{g}Y)(deg_{g}H). Considérons maintenant le membre de gauche. Par le théorème 3.2.2, on sait que M admet une filtration : 0 = M_{0} ⊂ … ⊂ M^{q} = M dont les quotients successifs M^{i}/M^{i−1} sont de la forme (S/𝔭_{i})(l_{i}). Donc le polynôme P_{M} est la somme des polynômes P_{i} associés aux (S/𝔭_{i})(l_{i}). Si Z(𝔭_{i}) est un sous-schéma fermé de ℙ^{n}, de dimension k_{i} et de degré d_{i}, alors P_{i} est de coefficient dominant \frac{d_{i}}{k_{i}}. Comme on s’intéresse à comparer les coefficients dominants dans l’égalité (1), il suffit de s’intéresser aux P_{i} de degré k −1, c’est à dire aux 𝔭_{i} qui sont des idéaux premiers de M minimaux, c’est à dire ceux correspondants aux composantes irréductibles Z_{i}. Or chacune intervient exactement m_{i} fois, donc le coefficient dominant de P_{M} est exactement

\frac{1}{(r − 1)!} ∑_{i=1}^{s} i(Y,H; Z_{i})deg_{g}Z_{i}.

En comparant les deux nombres ainsi obtenus, on peut conclure. □

3.2.6 Image réciproque plate de cycles

Définition 3.2.13 Un morphisme de schémas f de X dans Y est dit plat, si le Y-schéma X défini par f est plat sur Y, i.e si O_{X} est plat sur Y, i.e si pour tout x ∈ X, O_{X,x} est un O_{Y,f(x)}-module plat.

Exemple 3.2.1 Si U est un ouvert de X, l’inclusion (et plus généralement toute immersion ouverte) de U dans X est plate.

Définition 3.2.14 Un morphisme f : X → Y est de dimension relative n si pour toute sous-variété V de Y et pour toute composante irréductible V’ de f^{−1}(V) on a :

dim V’ = dim V + n.

Exemple 3.2.2 L’inclusion ouverte U → X est de dimension relative 0.

Soit donc f : X → Y un morphisme de schémas, plat, de dimension relative n, et Z un sous-schéma de Y, on pose :

f^{∗}[Z] = [f^{−1}(Z)].

Quand V est une variété, f^{−1}(V) = X ×_{Y} V est un sous-schéma de X, de pure dimension dim V + n et [f^{−1}(V)] est le cycle associé. En prolongeant par linéarité on construit ainsi un morphisme :

f^{∗} : Z_{k}Y → Z_{k+n}X.

Corollaire 3.2.2. (fonctorialité) Si f : X → Y et g : Y → Z sont plats, alors gf est plat et

(gf)^{∗} = f^{∗}g^{∗}.

Démonstration : Si V est une sous-variété de Z, alors :

(gf)^{∗}[V] = [(gf)^{−1}(V)] = [f^{−1}(g^{−1}(V)] = f^{∗}g^{∗}[V]

ce qui nous donne le résultat par linéarité. □

On indique, sans démonstration (cf [Ful98] p 19), un résultat rassurant concernant le passage à l’image réciproque plate. Nous n’en aurons pas besoin. Théorème 3.2.5. Soit f : X → Y un morphisme plat de dimension relative n, et soit α un k-cycle de Y rationnellement équivalent à 0. Alors f^{∗}α est rationnellement équivalent à 0 dans Z_{k+n}X.

3.2.7 Intersection avec des diviseurs

Définition 3.2.15 Soit X un schéma, V une sous-variété de dimension k de X et D un diviseur de Cartier de X. On définit une classe notée

D · [V] ou D · V dans A_{k−1}(|D| ∩ V) comme suit :

soit j : V ↪ X l’inclusion naturelle, deux cas se présentent :

1. Si V ⊄ |D| alors D se restreint en un diviseur de Cartier j^{∗}D sur V et dans ce cas

D · [V] = [j^{∗}D].

2. Sinon, V ⊂ |D| et dans ce cas,

D · [V] = [C] où

[C] est le diviseur de Weil dans A_{k−1}(V) associé à C, C étant par définition un diviseur de Cartier sur V tel que j^{∗}O_{X}(D) ≃ O_{X}(C).

Convention : 1. Soit Y_{1}, …,Y_{r} des sous-schémas fermés d’un schéma X. Soit Y un sousschéma fermé de X contenant tous les Y_{i} et soit φ_{i} : Y_{i} ↪ Y. Pour tout i ≤ r, soit α_{i} ∈ A_{∗}Y_{i} et β ∈ A_{∗}Y. On écrira :

β = ∑_{i=1}^{r} α_{i} dans A_{∗}Y pour β = ∑_{i=1}^{r} φ_{i ∗}(α_{i}).

2. Si V est une sous-variété de dimension k de X, D un diviseur de Cartier

sur X et Y un sous-schéma fermé de X contenant |D| ∩ V, on notera encore D · [V] pour l’image dans A_{k−1}(Y) de D · [V].

Définition 3.2.16 La convention précédente nous permet de définir la classe d’intersection D · α ∈ A_{k−1}(|D| ∩ α). On pose :

D · α = ∑_{n_{V} ≠0} n_{V} D · [V].

Théorème 3.2.6. Soit D un diviseur de Cartier sur X un schéma, et soit α et α′ deux k-cycles sur X. Alors :

1. D · (α + α′) = D · α + D · α′ dans A_{k−1}(|D| ∩ (|α| ∪ |α′|)).

2. Si D’ est un autre diviseur de Cartier sur X, (D + D′) · α = D · α + D′ · α.

3. (formule de la projection) Soit f : X_{1} → X un morphisme propre, α_{1} un k-cycle sur X_{1} et g le morphisme de f^{−1}(|D|) ∩ |α_{1}| → |D| ∩ f(|α_{1}|) induit par f. Alors :

g_{∗}(f^{∗}D · α_{1}) = D · (f_{∗}(α_{1})) dans A_{k−1}(|D| ∩ f(|α_{1}|)).

4. Si D est principal, alors D · α = 0 dans A_{k−1}(|α|). Démonstration : Point 1. C’est juste dire que n_{V} (α + α′) = n_{V} (α) + n_{V} (α′). Point 2. On peut supposer α = [V] avec V sous-variété de X. Le résultat vient alors de ce que les opérations { se restreindre à V } et { prendre les diviseurs de Weil associés } commutent à l’addition. Point 3. On peut supposer α_{1} = [V] et par fonctorialité de^{∗} et de_{∗}, on peut aussi supposer que X_{1} = V et que f(V) = X. Dans ce cas :

g_{∗}(f^{∗}D · α) = f_{∗}([f^{∗}D]) et D · f_{∗}(α) = deg(X_{1}/X)[D].

Considérons, une trivialisation par des cartes affines, U_{i} = Spec A_{i}, du diviseur de Cartier D: D = (U_{i},r_{i})_{i}. Alors on consate qu’il suffit de vérifier l’égalité sur chaque U_{i}. On peut donc supposer X = U_{i} affine, et D = div r pour r ∈ R(X). Dans ce cas la proposition 3.2.3 nous dit que : Si dim X = dim X_{1}, c’est fini. Sinon f_{∗}[div(f^{∗}r)] = [div(N(f^{∗}r))] = div(r^{d}) = d[div r], avec d = deg(X_{1}/X). Point 4. Là encore, on peut supposer que α = [V] et que X = V. On a alors D · α = [D]. Or D est un diviseur principal, et on sait que dans ce cas [D] = 0. □

3.2.8 Commutativité des classes d’intersection

Théorème 3.2.7. Soit D et D’ deux diviseurs de Cartier sur une variété X de dimension n. Alors :

D · [D′] = D′ · [D] dans A_{n−2}(|D| ∩ |D′|).

La démonstration se fait en quatre étapes, selon que les deux diviseurs de Cartier, D et D′, que l’on considère sont effectifs et s’intersectent proprement ou non.

Définition 3.2.17 On dit que deux diviseurs de Cartier, D et D′ sur une variété X, s’intersectent proprement si |D| ∩ |D′| ne contient aucune sous-variété V de codimension 1 de X.

On considère donc D et D′, deux diviseurs de Cartier sur une variété X. Si ils sont tous deux effectifs, on introduit la notion d’excès d’intersection ε(D,D′), définie par la formule :

ε(D,D′) = max {ord_{V} (D) · ord_{V} (D′) /codim(V,X) = 1} ,

Ainsi, ε(D,D′) = 0 si et seulement si D et D′ s’intersectent proprement. Le sous-schéma fermé D ∩ D′ de X est localement défini par les équations (a,a′), où a est l’équation locale de D et a′ celle de D′. Notons π : BL(X) → X l’éclatement de X selon D ∩ D′, et E = π^{−1}(D ∩ D′) le diviseur exceptionnel. On a :

π^{∗}D = E + C, π^{∗}D′ = E + C′ où C et C′ sont des diviseurs effectifs sur BL(X) .

On énonce deux lemmes avant de passer à la démonstration proprement dite : Lemme 3.2.3. Avec les notations précédentes, on a : 1. C ∩ C′ = ∅.

2. Si ε(D,D′) > 0, alors, ε(C,E) et ε(C′,E) sont strictement inférieurs à ε(D,D′). Démonstration : Le problème est local (on travaille avec les ouverts définissant localement D et D′), et on suppose donc, X = Spec A, D = div(a) et D′ = div(a′). Ainsi, Bl(X) = Proj (⨁ I^{n}) où I = (a,a′). Le morphisme gradué

A[X,Y] → ⨁_{n≥0} I^{n}

qui envoie X sur a et Y sur a′, définit une immersion fermée de BL(X) dans ℙ_{A}^{1}. Plus précisément, BL(X) est contenu dans le sous-schéma fermé de ℙ_{A}^{1} sur lequel a′X − aY s’annule. Soit x et y les deux sections de O(1) (où O(1) désigne l’image réciproque du fibré O_{ℙ_{A}^{1}}(1)) induites par X et Y respectivement. Montrons que C est le schéma des zéros Z(x) de x, et de même, que C′ = Z(y). L’équation a′ = (yx^{−1})a indique (D est effectif, donc a est régulière) que E et π^{∗}D coincïdent sur l’ouvert {x ≠ 0}, et l’équation a = (xy^{−1})a′ indique que π^{∗}D et E + Z(x) coincïdent sur l’ouvert {y ≠ 0}. Donc on a C = π^{∗}D − E = Z(x). Le même raisonnement vaut pour C′. De plus, comme Z(x) ∩ Z(y) = ∅, on en déduit le point 1.

On constate aussi sur cette description que C ⊂ X ×{0} et C′ ⊂ X ×{∞} (où ℙ_{A}^{1} = ℙ^{1} × X) s’envoient isomorphiquement, par π, sur des sous-schémas de D et D′ respectivement. Par conséquent, si Ṽ est une sous-variété de codimension 1 de BL(X), contenue dans C ∩ E où C′ ∩ E, alors, V = π(Ṽ) est une sous-variété (car π est propre donc fermée) de codimension 1 de X, contenue dans D ∩ D′. Or on sait par la formule de la projection que [D] = π_{∗}[E + C], donc :

ord_{V} D ≥ ordṼ E + ordṼ C,

et la même chose pour D′. Supposons par l’absurde que ε(C,E) ≥ ε(D,D′) > 0, et soit Ṽ ⊂ C ∩ E choisie pour réaliser le max ε(C,E). Dans ce cas :

ε(D,D′) ≥ ord_{V} D · ord_{V} D′,
≥ (ordṼ E + ordṼ C) (ordṼ E + ordṼ C′) ,
≥ (ordṼ E)^{2} + ε(C,E).

Or, ordṼ E > 0, donc ceci est absurde. □ Lemme 3.2.4. Soit D et D′ deux diviseurs de Cartier sur la variété X, et π : Y → X est un morphisme birationnel propre de variétés. Supposons que π^{∗}D = B ± C, et que π^{∗}D′ = B′ ± C′ pour des diviseurs de Cartier B, C, B′, C′ sur la variété Y, vérifiant |B| ∪ |C| ⊂ π^{−1}(|D|), |B′| ∪ |C′| ⊂ π^{−1}(|D′|). Si le théorème 3.2.7 est vrai pour chacune des paires (B,B′), (B,C′), (C,B′) et (C,C′) sur Y, alors il est vrai pour la paire (D,D′) sur X. Démonstration : Notons g le morphisme induit par π entre π^{−1}(|D| ∩ |D′|) et |D| ∩ |D′|. On rappelle (cf la preuve de la formule de la projection) que D · π_{∗}[π^{∗}D′] = D · [D′], donc en appliquant la formule de la projection avec α_{1} = π^{∗}D′, on obtient :

D · [D′] = g_{∗}((B ± C) · [B′ ± C′]),
= g_{∗}(B · [B′] ± B · [C′] ± C · [B′] + C · [C′]),
= g_{∗}(B · [B′] ± C′ · [B] ± B′ · [C] + C′ · [C]),
= g_{∗}((B′ ± C′) · [B ± C]),
= D′ · [D].

Notons qu’on a utilisé la birationnalité dans la première égalité. □

On peut maintenant démontrer le théorème 3.2.7 : étape 1. : D et D′ sont effectifs et s’intersectent proprement. C’est un argument d’algèbre commutative. étape 2. : D et D′ sont effectifs. On fait une preuve par récurrence sur ε(D,D′). Le cas, ε = 0 correspond à l’étape 1., par une remarque faite précédemment. Si ε(D,D′) > 0, on éclate X selon le fermé D ∩ D′. Par le point 2. du lemme 3.2.3 et par hypothèse de récurrence, le théorème est vrai pour les paires (C,E) et (C′,E). De plus, le théorème est évidemment vrai pour la paire (E,E), et comme C ∩ C′ = ∅ l’étape 1. nous indique que le théorème est aussi vrai pour la paire (C,C′). Finalement, on peut appliquer le lemme 3.2.4 qui nous permet de conclure. étape 3. : D′ (ou D) est effectif. Considérons J le faisceau des dénominateurs de D, c’est à dire : si U = Spec A est un ouvert affine sur lequel D a pour équation affine d, J est déterminé par l’idéal {a ∈ A /ad ∈ A}. Soit π : BL(X) → X, l’éclatement de X selon le sous-schéma défini par J, de diviseur exceptionnel E. Alors :

π^{∗}D = C − E pour un diviseur effectif C sur BL(X).

Là encore, une application du lemme 3.2.4 permet de conclure, car le théorème est vrai pour les paires (C,π^{∗}D′), et (E,π^{∗}D′) par l’étape 2. étape 4. : D et D′ sont quelconques. On considère le même éclatement qu’à l’étape précédente. Le théorème est vrai pour les paires (C,π^{∗}D′), et (E,π^{∗}D′) par l’étape 3., et donc le lemme 3.2.4 nous permet de conclure. □ Corollaire 3.2.3. Soit D un diviseur de Cartier sur un schéma X, et soit α un k-cycle rationnellement équivalent à 0. Alors D · α = 0 dans A_{k−1}(|D|). Démonstration : Il suffit de voir le résultat pour α = [div r], r ∈ R(W)^{∗}, et W une sous-variété de dimension k + 1. Par fonctorialité de ^{∗}, on peut remplacer X par W. Or :

D · [div r] = div r · [D] dans A_{k+1−2}(|D| ∩ |div r|),

= 0 par le point 4. du théorème 3.2.6, dans A_{k−1}(|D|). □

Définition 3.2.18 Si D est un diviseur de Cartier sur un schéma X et si Y est un sousschéma fermé de X, alors on a un morphisme de Z_{k}Y dans A_{k−1}(|D|∩Y) qui envoie α sur D · α. De plus, le corollaire précédent nous indique que ce morphisme passe au quotient, d’où un morphisme : A_{k}Y → A_{k−1}(|D| ∩ Y) appelé intersecté avec Y. Corollaire 3.2.4. Soit D et D’ deux diviseurs de Cartier sur un schéma X. Alors, si α est un k-cycle sur X, D · (D′ · α) = D′ · (D · α) dans A_{k−2}(|D| ∩ |D′| ∩ |α|). Démonstration : On sait que D′ · α ∈ A_{k−1}(|D′| ∩ α|) et qu’intersecter avec D envoie A_{k−1}(|D′| ∩ |α|) dans A_{k−2}(|D| ∩ |D′| ∩ |α|), et de même avec D′ · (D · α). On prend α = [V] et on peut aussi restreindre D et D’ à V. Dans ce cas :

D · (D′ · α) = D · [D′]
= D′ · [D]

= D′ · (D · α) dans A_{k−2}(|D| ∩ |D′| ∩ |α|). □

Définition 3.2.19 Soit D_{1}, …,D_{n} des diviseurs de Cartier sur un schéma X, alors : pour tout k-cycle α sur X, on définit par récurrence

D_{1} · . . . · D_{n} · α dans A_{k−n}(|D_{1}| ∩ … ∩ |D_{n}| ∩ |α|).

Le corollaire précédent nous indique que cette définition est indépendante de l’ordre des D_{i}, et le théorème 3.2.6 nous dit que ceci est linéaire en les D_{i} et en α.

Plus généralement, pour tout polynôme homogène P (T_{1}, …,T n) de degré d à coefficients entiers et pour tout sous-schéma fermé Z contenant (|D_{1}| ∪ … ∪ |D_{n}|) ∩ |α| on définit naturellement la classe :

P (D_{1}, …,D_{n}) · α ∈ A_{k−d}(Z).

Enfin si X est de pure dimension, on notera P (D_{1}, …,D_{n}) pour P (D_{1}, …,D_{n}) · [X].

3.2.9 Classe de Chern d’un fibré en droites

Soit L un fibré en droites sur un schéma X. Pour toute sous-variété V de X, la restriction L_{|V} de L à V est isomorphe à O_{V} (C) où C est un diviseur de Cartier sur V. Le diviseur de Weil associé [C] définit un élément de A_{k−1}(X) que l’on note :

[C] = c_{1}(L) ∩ [V].

On étend ceci par linéarité en un morphisme de Z_{k}(X) dans A_{k−1}(X). Si L = O_{X}(D) pour un diviseur de Cartier D sur X, la définition de la classe d’intersection implique que :

c_{1}(O_{X}(D)) ∩ α = D · α dans A_{k−1}(X).

De ce qui précède on déduit le théorème suivant : Théorème 3.2.8. 1. Si α est rationnellement équivalent à 0 sur X, alors c_{1}(L) ∩ α = 0.

2. Le morphisme précédent induit donc un morphisme de A_{k}X dans A_{k−1}X.

3. La commutativité, l’additivité et la formule de projection sont vérifiées. Exemple 3.2.3 (fondamental) Par définition d’un fibré en droite, si L est un tel fibré sur une variété X, et si s est une section non nulle de H^{0}(X,L), de schéma des zéros Z(s), alors c_{1}(L) ∩ [X] = [Z(s)].

Dans le cas où α est un k-cycle sur ℙ^{n}, on définit le degré (projectif) de α, comme étant :

deg_{ℙ^{n}}α = deg c_{1}(O(1))^{k} ∩ α.

On peut maintenant faire le lien entre le degré défini à partir du polynôme de Hilbert, et le degré projectif que l’on vient d’introduire. Théorème 3.2.9. Soit X une sous-schéma fermé de ℙ^{n} de pure dimension k, alors : deg_{g}X = deg_{ℙ^{n}} [X]. Démonstration : Par le même raisonnement que celui fait dans la preuve du théorème 3.2.4, on montre que : si [X] = ∑_{i=1}^{m} m_{i}[X_{i}] où les X_{i} sont les composantes irréductibles de X, de multiplicités m_{i}, alors, deg_{g}X = ∑_{i=1}^{m} m_{i}deg_{g}X_{i}. Par ailleurs la même formule est valable pour le degré, deg_{ℙ^{n}}. Donc il suffit de vérifier le théorème dans le cas où X est une sous-variété de ℙ^{n} de dimension k. On le fait par récurrence sur la dimension : Si dim X = 0, c’est clair.

Si le résultat est vrai pour les sous-variétés de dimension ≤ k, soit X de dimension k. On considère alors H, un hyperplan de ℙ^{n} ne contenant pas X, tel que [X ∩ H] représente la classe c_{1}(O(1)) ∩ [X]. On a :

deg_{g}X = deg_{g}X ∩ H = deg_{ℙ^{n}}[X ∩ H] d’après le théorème 3.2.4, puis par récurrence,

= deg c_{1}(O(1))^{k−1} ∩ [X ∩ H] = deg c_{1}(O(1))^{k−1} ∩ c_{1}(O(1)) ∩ [X] = deg_{ℙ^{n}} [X].

La récurrence nous permet donc de conclure. □ Corollaire 3.2.5. Si X est un sous-schéma fermé de dimension m de ℙ^{r}, alors :

lim_{l→∞} \frac{h^{0}(X,O_{X}(l))}{l^{m}} = \frac{deg c_{1}(O(1))^{m}}{m!} .

Démonstration : On utilise le théorème 3.2.9 pour dire que :

P_{X}(l) ≃_{+∞} \frac{deg c_{1}(O(1))^{m}l^{m}}{m!} .

On applique alors le théorème 3.2.3 pour conclure, avec M = S(X). On sait en effet que pour l assez grand, on a d’une part, φ_{S(X)}(l) = dim_{K}H^{0}(X,O_{X}(l)), et d’autre part, φ_{S(X)} = P_{X}(l), ce qui conclut. □

Proposition 3.2.7. On a : deg (c_{1}(O_{ℙ}(d))^{m} = m! m ; ∏_{i=1}d_{i}.

Démonstration : On note H_{i} = ℙ^{1} × … × {x_{i}} × … ℙ^{1} où {x_{i}}, point de ℙ^{1}, est en i^{ème} position. On a alors :

deg (c_{1}(O_{ℙ}(d))^{m}) = deg(∑_{i=1}^{m} d_{i}H_{i})^{m},
= deg(∑ \frac{m!}{i_{1}! … i_{m}!}d_{1}^{i_{1}} … d_{m}^{i_{m}}H_{1}^{i_{1}} … H_{m}^{i_{m}}), par multilinéarité,
= m! ∏_{i=1}^{m} d_{i}.
□

3.2.10 Diviseurs numériquement effectifs

On donne ici la définition des diviseurs nef et on indique certaines propriétés dont nous aurons besoin par la suite.

Définition 3.2.20 Soit X un schéma propre. Un diviseur de Cartier, D, sur X est dit numériquement effectif (ou nef) si, pour toute sous-variété Y de X, on a :

deg (D^{dim Y} · Y) ≥ 0.

Proposition 3.2.8. Soit X un schéma propre, D un diviseur de Cartier, et L le faisceau associé. Si L est engendré par ses sections globales, alors D est nef.

Démonstration : Soit Y une sous-variété de X. Le faisceau L est engendré par ses sections globales, donc il existe une section non nulle s_{Y} ∈ H^{0}(Y,L). Le cycle associé au schéma des zéros de s_{Y}, [Z(s_{Y})], est un cycle effectif qui représente c_{1}(L) ∩ Y = D · Y. On itère ce raisonnement pour fabriquer un cycle effectif qui représente c_{1}(L)^{dim Y} ∩Y, ce qui conclut. □

On donne ici une version asymptotique du théorème de Riemann-Roch, concernant les diviseurs numériquement effectifs. On admet pour cela une version asymptotique du théorème de Riemann-Roch-Hirzebruch pour les fibrés en droites : Théorème 3.2.10. soit D un diviseur de Cartier sur un schéma propre X de dimension r. On a, si χ dénote la caractéristique d’Euler-Poincaré :

χ(X,nD) = n^{r} \frac{deg D^{r}}{r!} + O(n^{r−1}).

De ceci on peut déduire la version concernant les diviseurs numériquement effectifs. Théorème 3.2.11. soit D un diviseur de Cartier nef sur un schéma propre X de dimension r. On a :

1. h^{i}(X,nD) = O(n^{r−1}) pour i > 0, et de plus,
2. h^{0}(X,nD) = n^{r} \frac{deg D^{r}}{r!} + O(n^{r−1}).

Démonstration : Le point 1. associé au théorème précédent nous donne le point 2. Il suffit donc de prouver le point 1. On note L = O_{X}(−D), et on pose :

I_{1} = O_{X} ∩ L, I_{2} = O_{X} ∩ L^{−1}, et pour i ∈ {1,2}, O_{Z_{i}} = O_{X}/I_{i}.

On remarque que I_{2} ⊗ L ≃ I_{1}, et que dim Z_{i} < dim X. On a le diagramme commutatif exact (L est inversible, donc le produit tensoriel − ⊗ L est exact) :

0 ⟶ I_{1} ⟶ O_{X} ⟶ O_{Z_{1}} ⟶ 0
≃↓
0 ⟶ I_{2} ⊗ L ⟶ O_{X}(−D) ⟶ O_{Z_{2}} ⊗ L ⟶ 0.

On tensorise par L^{⊗n}, et on écrit la suite exacte longue de cohomologie pour chaque ligne :

H^{i}(X,L^{⊗n} ⊗ I_{1}) → H^{i}(X,L^{⊗n}) → H^{i}(Z_{1},L^{⊗n} ⊗ O_{Z_{1}}) et,

H^{i}(X,L^{⊗n+1} ⊗ I_{2}) → H^{i}(X,L^{⊗n+1}) → H^{i}(Z_{2},L^{⊗n+1} ⊗ O_{Z_{2}}).

Or on sait que H^{i}(X,I_{1} ⊗ L^{⊗n}) = H^{i}(X,I_{2} ⊗ L^{⊗n+1}), donc :

h^{i}(X,L^{⊗n+1}) ≤ h^{i}(X,I_{2} ⊗ L^{⊗n+1}) + h^{i}(Z_{2},O_{Z_{2}} ⊗ L^{⊗n+1}) par le théorème du rang,
= h^{i}(X,I_{1} ⊗ L^{⊗n}) + h^{i}(Z_{2},O_{Z_{2}} ⊗ L^{⊗n+1}) ,
≤ h^{i}(X,L^{⊗n}) + h^{i−1}(Z_{1},O_{Z_{1}} ⊗ L^{⊗n}) + h^{i}(Z_{2},O_{Z_{2}} ⊗ L^{⊗n+1}).

On en déduit, par récurrence sur r = dim X, que :

h^{i}(X,L^{⊗n+1}) ≤ h^{i}(X,L^{⊗n}) + O(n^{r−2}) pour tout i ≥ 2.

En sommant ces inégalités, on en déduit que

h^{i}(X,L^{⊗n}) = O(n^{r−1}) pour tout i ≥ 2.

Ainsi par le théorème asymptotique précédent on a :

h^{0}(X,L^{⊗n}) − h^{1}(X,L^{⊗n}) = n^{r} \frac{deg D^{r}}{r!} + O(n^{r−1}).

Pour conclure, on va distinguer deux cas. Si h^{0}(X,L^{⊗n}) = 0 pour tout n > 0, alors, le membre de gauche de l’égalité est négatif. Or par hypothèse deg D^{r} ≥ 0, donc h^{1}(X,L^{⊗n}) = O(n^{r−1}), ce qui conclut. Sinon, il existe un entier n_{0} ≥ 1 tel que h^{0}(X,L^{⊗n_{0}}) > 0. Donc, il existe un diviseur de Cartier effectif M, tel que L^{⊗n_{0}} = O_{X}(M). En considérant la suite exacte, (on note encore M le fermé associé au diviseur M)

0 → O_{X}(−M) → O_{X} → O_{M} → 0,

on en déduit que :

h^{1}(X,L^{⊗n+n_{0}}) − h^{1}(X,L^{⊗n}) ≤ h^{1}(M,L^{⊗n+n_{0}} ⊗ O_{M}) = O(n^{r−2}).

Donc, on peut là encore conclure que h^{1}(X,L^{⊗n}) = O(n^{r−1}). □

On rappelle maintenant la notion de diviseur ample, ainsi que le lien le plus évident (i.e le sens facile du critère de Nakai-Moishezon) entre les notions de ample et nef.

Définition 3.2.21 On dit qu’un diviseur D sur un schéma X est ample si il existe n assez grand tel que nD est très ample. On dit qu’un diviseur D sur un schéma X est très ample si il existe une immersion fermée f : X → ℙ^{r} pour un certain entier r, telle que f^{∗}(O_{ℙ^{r}}(1)) = O(D). Proposition 3.2.9. Si D est un diviseur ample sur un schéma X, alors, D est nef. Démonstration : Soit m tel que mD est très ample. On note f : X → ℙ^{r} l’immersion fermée telle que f^{∗}(O_{ℙ^{r}}(1)) = O(mD). En notant p_{X} et p_{ℙ^{r}} les projections respectives de X et de ℙ^{r} sur Spec K, on a, si Y est une sous-variété de X:

deg_{X}((mD)^{dim Y} · Y) = deg_{X}(c_{1}(f^{∗}O_{ℙ^{r}}((1)))^{dim Y} ∩ Y,
= (p_{X})_{∗} [(c_{1}(f^{∗}O_{ℙ^{r}}(1))^{dim Y} ∩ Y ] ,
= (p_{ℙ^{r}})_{∗}f_{∗} [(c_{1}(f^{∗}O_{ℙ^{r}}(1)))^{dim Y} ∩ Y ] , par fonctorialité,
= (p_{ℙ^{r}})_{∗} [(c_{1}(O_{ℙ^{r}}(1)))^{dim Y} ∩ f_{∗}Y ] , par formule de la projection,
= deg_{ℙ^{r}}[f_{∗}(Y)].

Or f_{∗}(Y) est une sous-variété de ℙ^{r}, et dans ce cas on sait, par le théorème 3.2.9 que deg_{ℙ^{r}}[f_{∗}(Y)] = deg_{g}(f_{∗}(Y)). Enfin, le point 1. de la proposition 3.2.6 nous indique que ce nombre est positif. □

Cette proposition nous permet de retrouver la proposition 3.2.7 affirmant que :

deg (c_{1}(O_{ℙ}(d))^{m} = m! m ; ∏_{i=1}d_{i}.

En effet : le n-uplet d est tel que, pour tout i, d_{i} ≥ 1, donc le faisceau O_{ℙ}(d) est ample, donc nef. On peut donc lui appliquer le théorème de Riemann-Roch asymptotique précédent. Si D représente le diviseur de Cartier associé à O_{ℙ}(d), on a :

h^{0}(X,nD) = n^{m} \frac{deg D^{m}}{m!} + O(n^{m−1}).

Or par définition, deg D^{m} = deg c_{1}(O_{ℙ}(d))^{m}, donc :

deg c_{1}(O_{ℙ}(d))^{m} = m!\frac{1}{n^{m}} h^{0}(X,nD) + O(n^{−1}).

Il nous suffit donc de calculer h^{0}(X,nD) pour conclure. Or ceci se calcule en identifiant H^{0}(X,nD) et l’espace vectoriel des polynômes multihomogènes de degré nd sur K[X_{1},Y_{1}, …,X_{m},Y_{m}]. On a donc h^{0}(X,nD) = ∏_{i=1}^{m}(nd_{i} + 1) = n^{m} ∏_{i=1}^{m}(d_{i} + \frac{1}{n}). On en déduit :

deg c_{1}(O_{ℙ}(d))^{m} = m! ∏_{i=1}^{m}(d_{i} + \frac{1}{n}) + O(n^{−1}).

On conclut alors en passant à la limite sur n.

3.3 Le lemme de Dyson selon M. Nakamaye.

3.3.1 Énoncé des théorèmes

On commence d’abord par rappeler la notion diophantienne d’indice d’une section puis on énonce les deux théorèmes principaux.

Indice d’une section

On note

ℙ = ∏_{i=1}^{m} ℙ^{1}, et d = (d_{1}, …,d_{m}) avec ∀i ∈ [[1,m]], d_{i} ≥ 1.

On pose π_{j} : ℙ → ℙ^{1} la projection (fermée) sur la j^{ème} composante. On considère ζ = ((λ_{1} : η_{1}), …,(λ_{m} : η_{m})) un point fermé de ℙ, on note O_{ℙ^{1},π_{j}(ζ)} l’anneau local en π_{j}(ζ). C’est un anneau de valuation discrète, car local, noethérien régulier de dimension 1. On note z_{j} une uniformisante locale de cet anneau et on note (abusivement) aussi z_{j} le pullback de z_{j} dans ℙ. On obtient ainsi un système de paramètres locaux de O_{ℙ,ζ}. Soit alors s ∈ H^{0}(ℙ,O_{ℙ}(d)), où d = (d_{1}, …,d_{m}). On sait (car ζ est lisse) que :

O_{ℙ,ζ} ↪ Ô_{ℙ,ζ} ≃ K[[z_{1}, …,z_{m}]].

En prenant une trivialisation locale de O_{ℙ}(d) en ζ, on a donc, localement en ζ:

s = ∑_{(α_{1},...,α_{m})∈ℕ^{m}} a_{α_{1},...,α_{m}}z_{1}^{α_{1}} … z_{m}^{α_{m}}.

Si s ≠ 0, on définit alors l’indice de s en ζ comme étant :

Ind(ζ,s) = min \{∑_{ν=1}^{m} \frac{α_{ν}}{d_{ν}} / a_{α_{1},...,α_{m}} ≠ 0\} .

Proposition 3.3.1. L’indice de s en ζ est indépendant du choix d’un système de paramètres locaux.

Le lemme de Dyson

On considère ζ_{1}, …,ζ_{M}, M points de ℙ vérifiant l’hypothèse (H) : pour tout j, si i_{1} ≠ i_{2}, alors, π_{j}(ζ_{i_{1}}) ≠ π_{j}(ζ_{i_{2}}), autrement dit, on ne peut pas trouver i et j tels que les points ζ_{i} et ζ_{j} appartiennent à une sous-variété produit propre de ℙ.

On commence par définir une fonction volume intervenant dans l’énoncé des théorèmes.

Définition 3.3.1 Soit I^{m} = {(x_{i}) ∈ ℝ^{m} /0 ≤ x_{i} ≤ 1}, on définit la fonction Vol(t) par :

Vol(t) = Vol ({(x_{i}) ∈ I^{m} / ∑_{i=1}^{m} x_{i} ≤ t}) .

On peut maintenant énoncer les deux théorèmes : Théorème 3.3.1. Dyson 1 Soit s ∈ H^{0}(ℙ,O_{ℙ}(d)) une section non nulle et soit ζ_{1}, …,ζ_{M} vérifiant l’hypothèse (H). Soit t_{i} = Ind(ζ_{i},s) et M′ = max{M − 2,0}, alors, on a :

∑_{i=1}^{M} Vol(t_{i}) ≤ ∏_{i=1}^{m−1} (1 + max_{i+1≤j≤m} \{\frac{M′d_{j}}{d_{i}} \}) .

Théorème 3.3.2. Dyson 2 Avec les mêmes hypothèses que dans le théorème précédent, et en posant δ = max_{2≤i+1≤j≤m} \{\frac{d_{j}}{d_{i}} \}, on a :

∑_{i=1}^{M} Vol(t_{i} − mδ) ≤ 1.

On va tout d’abord démontrer le théorème 3.3.2, puis on indiquera comment obtenir le théorème 3.3.1 par une méthode similaire.

Le plan de la démonstration est le suivant : en utilisant le théorème du produit, on construit un cycle effectif qui représente la classe c_{1}(O_{ℙ}(d))^{m}. En notant R_{i} la partie de l’intersection supportée par Z_{i} ( où Z_{i} est le support d’un faisceau d’idéaux à construire, renseignant sur l’indice au point ζ_{i}), on obtient ainsi une majoration de ∑_{i=1}^{M} deg R_{i}. En considérant un éclatement bien choisi de ℙ on réussi alors, en utilisant la formule de la projection, à obtenir une minoration des deg R_{i}. En mettant bout à bout la majoration et la minoration, ainsi qu’un petit calcul de volume, on en déduit le résultat.

3.3.2 Le faisceau d’idéaux I_{d}(s)

On construit ici les faisceaux informant sur l’indice d’une section aux points ζ_{i}, et on étudie quelques propriétés de leur support.

Les faisceaux d’idéaux I_{d}(s) et ℑ_{ζ,d,t}

But : fabriquer un faisceau d’idéaux I_{d}(s) sur ℙ tel que :

s ∈ H^{0}(ℙ,O_{ℙ}(d) ⊗_{O_{ℙ}} I_{d}(s)) et tel que I_{d}(s) informe sur l’indice de s aux points {ζ_{i}}_{i≤M}.

Soit ζ ∈ ℙ et t ∈ ℝ^{+}. On définit ℑ_{ζ,d,t} comme suit :

ℑ_{ζ,d,t} = ⟨{M_{α} = ∏_{i=1}^{m} z_{i}^{α_{i}} / α_{i} ≤ d_{i} et Ind(ζ,M_{α}) ≥ t}⟩ .

Par définition, ℑ_{ζ,d,t} ⊂ O_{ζ, ℙ}. De plus, chaque z_{i} provient d’une section définie sur un petit ouvert produit, affine. Quitte à restreindre on peut supposer que les (sections associées aux) z_{i} sont toutes définies sur

U = ∏_{k=1}^{m} Spec A_{k} = Spec ⨂_{k=1}^{m} A_{k}.

De plus, quitte à restreindre une nouvelle fois on peut aussi supposer que pour tout i, π_{i}(ζ) est le seul zéro de z_{i} sur U_{i} = Spec A_{i}. On note encore ℑ_{ζ,d,t} le faisceau d’idéaux quasi-cohérent associé à ℑ_{ζ,d,t} ∩A, où, A = m ; ⨂_{i=1}A_{i}. Enfin, si i : U ⟶ ℙ désigne l’inclusion

naturelle, on définit ainsi un faisceau d’idéaux cohérent, inclus dans O_{ℙ} en posant :

I_{ζ,d,t} = i_{∗}ℑ_{ζ,d,t}.

On remarque que cette construction est indépendante du choix de U. Plus précisément, si V est un autre ouvert produit, affine, inclus dans U, alors comme la construction est locale, on a : ℑ_{ζ,d,t}_{,V} ≃ ℑ_{ζ,d,t}_{,U|V} . Par ailleurs, en faisant l’identification entre, H^{0}(ℙ,O_{ℙ}(d)) et l’espace des polynômes multihomogènes de degré d en les variables (X_{1},Y_{1}, …,X_{m},Y_{m}) sur K, on constate que le K-espace vectoriel H^{0} (ℙ,I_{ζ,d,t} ⊗_{O_{ℙ}} O_{ℙ}(d)), est engendré par les polynômes

∏_{ν=1}^{m}(η_{ν}X_{ν} − λ_{ν}Y_{ν})^{i_{ν}}Y_{ν}^{d_{ν}−i_{ν}} avec, ∀ν ≤ m 0 ≤ i_{ν} ≤ d_{ν} et ∑_{ν=1}^{m} \frac{i_{ν}}{d_{ν}} ≥ t.

On pose enfin :

I_{d}(s) = ⋂_{j=1}^{M} I_{ζ_{j},d,t_{j}}.

Le support de O_{ℙ}/I_{ζ,d,t}

On pose Z = Supp(O_{ℙ}/I_{ζ,d,t}) et Z_{i} pour les supports associés aux t_{i}. Le lemme suivant nous en donne une description explicite. On rappelle tout d’abord une notation : si J est un ensemble de polynômes, contenu dans K[X_{1},Y_{1}, …,X_{m},Y_{m}], on notera

V (J) = {ξ ∈ ℙ/ ∀P ∈< J > P (ξ) = 0 } .

Lemme 3.3.1. Avec les notations précédentes on a Z = ⋃_{I⊂[[1,m]]}S_{I} où :

S_{I} = \begin{cases}∅ & si |I| ≥ t, \\ V (η_{ν}X_{ν} − λ_{ν}Y_{ν}; ν ∉ I) & sinon. \end{cases}

Démonstration : Quitte à faire un changement de système de coordonnées, on peut supposer que, pour tout ν, η_{ν} ≠ 0. Soit P ∈ S_{I}, montrons que P ∈ Z. Soit \underline{i} un m-uplet d’éléments de ∏[[1,d_{ν}]] tel que ∑ \frac{i_{ν}}{d_{ν}} ≥ t, alors il existe ν_{0} ∉ I tel que i_{ν_{0}} ≠ 0. En effet, P ∈ S_{I} donc S_{I} est non vide, donc |I| < t. Si pour tout ν ∉ I on avait i_{ν} = 0, alors on aurait

t ≤ ∑_{i=1}^{m} \frac{i_{ν}}{d_{ν}} = ∑_{ν∈I} \frac{i_{ν}}{d_{ν}} < t, ce qui est idiot.

Notamment on a (η_{ν}X_{ν} − λ_{ν}Y_{ν})^{i_{ν_{0}}}(P) = 0 et on a donc :

∀\underline{i} tel que \begin{cases}∑_{ν=1}^{m} \frac{i_{ν}}{d_{ν}} ≥ t, & on a m ; ∏_{ν=1}(η_{ν}X_{ν} − λ_{ν}Y_{ν})^{i_{ν}}Y_{ν}^{d_{ν}−i_{ν}}(P) = 0. \\ ∀ν ∈ [[1,m]] 0 ≤ i_{ν} ≤ d_{ν} \end{cases}

En particulier on en déduit que P ∈ Z. Réciproquement, soit P ∈ Z et soit J l’ensemble des ν ∈ [[1,m]] tels que P appartient à V (η_{ν}X_{ν} − λ_{ν}Y_{ν}). Montrons que P appartient à S_{J^{c}}, où J^{c} désigne le complémentaire dans [[1,m]] de J. Par définition de J il suffit de vérifier que |J| ≥ t. Soit Q le monôme

∏_{ν∉J}(η_{ν}X_{ν} − λ_{ν}Y_{ν})^{d_{ν}} ∏_{ν∈J} Y_{ν}^{d_{ν}}.

Alors, par définition de J, si ν ∉ J, (η_{ν}X_{ν} − λ_{ν}Y_{ν})(P) ≠ 0 ; et si ν ∈ J, Y_{ν}(P) ≠ 0 (sinon π_{ν}(P) = (0 : 0) dans ℙ^{1}, car pour tout ν, η_{ν} ≠ 0, ce qui est impossible). Donc Q(P) ≠ 0. Soit alors \underline{i} défini par : i_{ν} = 0 si ν ∈ J et i_{ν} = d_{ν} sinon. Dans ce cas on a :

Q = ∏_{ν=1}^{m}(η_{ν}X_{ν} − λ_{ν}Y_{ν})^{i_{ν}}Y_{ν}^{d_{ν}−i_{ν}} et ∑_{ν=1}^{m} \frac{i_{ν}}{d_{ν}} = |J^{c}|.

Or P ∈ Z et Q(P) ≠ 0 donc |J| ≥ t. □ Lemme 3.3.2. Soit μ et λ dans [[1,M]] deux entiers distincts, et ζ_{μ} et ζ_{λ} deux points de ℙ vérifiant l’hypothèse (H), alors, m ≥ t_{μ} + t_{λ}. Démonstration : Quitte à faire un changement de système de coordonnées, on peut supposer que : ζ_{λ} = ((1 : 0), …,(1 : 0)) et que ζ_{μ} = ((0 : 1), …,(0 : 1)) . Si

F = ∑_{i}α\underline{i} m ; ∏_{ν=1}X_{ν}^{i_{ν}}Y_{ν}^{d_{ν}−i_{ν}} est une section globale non nulle de I_{d}(s), alors, pour tout n-uplet

\underline{i} tels que α\underline{i} ≠ 0, on a :

m ; ∏_{ν=1}X_{ν}^{i_{ν}}Y_{ν}^{d_{ν}−i_{ν}} est un des générateurs de H^{0}(ℙ,O_{ℙ}(d) ⊗_{O_{ℙ}} I_{ζ_{λ},d,t_{λ}}),

et la même chose est vraie pour (ζ_{μ},d,t_{μ}). On en déduit :

∑_{ν=1}^{m} \frac{i_{ν}}{d_{ν}} ≥ t_{λ} et ∑_{ν=1}^{m} \frac{d_{ν} − i_{ν}}{d_{ν}} ≥ t_{μ}.

L’inégalité attendue en résulte immédiatement. □ Proposition 3.3.2. Sous les mêmes hypothèses, on a Z_{μ} ∩ Z_{λ} = ∅. Démonstration : Comme précédemment on suppose que : ζ_{λ} = ((1 : 0), …,(1 : 0)) et que ζ_{μ} = ((0 : 1), …,(0 : 1)) . Si Z_{μ} ∩ Z_{λ} ≠ ∅, alors il existe I_{μ} et I_{λ} deux sous-ensembles de [[1,m]] tels que :

|I_{μ}| < t_{μ} et |I_{λ}| < t_{λ} et tels que V (X_{ν}/ν ∉ I_{μ}) ∩ V (Y_{ν}/ν ∉ I_{λ}) ≠ ∅.

Soit ν ∉ (I_{μ} ∪ I_{λ}), alors V (X_{ν}) ∩ V (Y_{ν}) ≠ ∅, ce qui est idiot. Donc on a I_{μ} ∪ I_{λ} = [[1,m]] et en particulier m < t_{μ} + t_{λ}, ce qui contredit le lemme précédent. □

Soit ℙ′ une sous-variété produit de ℙ, on pose O_{ℙ′}(d) = O_{ℙ}(d)_{|ℙ′}. Le lemme 3.3.1 nous indique que : ∀i ∈ [[1,M]], le support Z_{i} = Supp(O_{ℙ}/I_{ζ_{i},kd,t_{i}}) ne dépend pas de k pour k > 0, donc

⋃_{i=1}^{M} Z_{i} = Supp(O_{ℙ}/I_{kd}(s)) n’en dépend pas non plus.

Proposition 3.3.3. Si ℙ′ ⊂ Z_{i} pour un entier i ∈ [[1,m]] alors,

∀k > 0, H^{0} (ℙ′,O_{ℙ′}(kd) ⊗ I_{kd}(s)) = 0.

Démonstration : On a I_{kd}(s) ⊂ I_{ζ_{i},kd,t_{i}} et ℙ′ ⊂ Z_{i}. Par indépendance par rapport à k, on sait que : Z_{i} = Supp(O_{ℙ}/I_{ζ_{i},kd,t_{i}}). Soit ξ ∈ ℙ′, alors ξ ∈ Z_{i}, donc pour toute section s appartenant à H^{0} (ℙ′,O_{ℙ′}(kd) ⊗ I_{kd}(s)), ceci implique que s(ξ) = 0 et donc que s = 0, d’où le résultat. □

Par ailleurs on a un résultat contraire si la sous-variété produit ℙ′ de ℙ n’est contenue dans aucun Z_{i}. On renvoie à l’article [EV84] (lemme 2.8) pour une démonstration de ce fait : Proposition 3.3.4. Si pour tout i, ℙ′ ⊄ Z_{i}, alors, pour un k suffisamment grand, on a :

H^{0} (ℙ′,O_{ℙ′}(kd) ⊗ I_{kd}(s)) ≠ 0.

Un calcul de volume

On indique ici un calcul de volume qui nous servira dans la dernière étape de la démonstration. Il concerne l’espace des sections globales de O_{ℙ}(nd) ⊗ I_{ζ,nd,t}. Proposition 3.3.5. Si ζ est un point de ℙ, on a :

Vol(t) = lim_{n→∞} \frac{h^{0} (ℙ,O_{ℙ}(nd)) − h^{0} (ℙ,O_{ℙ}(nd) ⊗ I_{ζ,nd,t})}{n^{m} ∏_{k=1}^{m} d_{k}}.

Démonstration : On note I(d,t) = {(x_{ν}) ∈ [0,1]^{m} / m ; ∑_{ν=1}x_{ν} ≤ t}. On sait que :

(∏_{i=1}^{m} d_{i}) Vol(t) = lim_{n→∞} \frac{1}{n^{m}} |I(d,t) ⋂ ∏_{i=1}^{m} \frac{1}{nd_{i}} ℤ| .

Par ailleurs,

I(d,t) ⋂ ∏_{i=1}^{m} \frac{1}{nd_{i}} ℤ = \{(x_{ν}) ∈ [0,1]^{m} /x_{ν} = \frac{i_{ν}}{nd_{ν}} , i_{ν} ∈ ℤ et ∑_{ν=1}^{m} x_{ν} ≤ t\} ,

= \{(\frac{i_{ν}}{d_{ν}} ) ∈ [0,n]^{m} / i_{ν} ∈ ℤ, ∑_{ν=1}^{m} \frac{i_{ν}}{nd_{ν}} ≤ t\} ,

= \{(i_{ν}) ∈ ℤ^{m} / 0 ≤ i_{ν} ≤ nd_{ν}, ∑_{ν=1}^{m} \frac{i_{ν}}{nd_{ν}} ≤ t\} .

On en déduit donc que :

(∏_{i=1}^{m} d_{i}) Vol(t) = lim_{n→∞} \frac{1}{n^{m}} |\{(i_{ν}) ∈ ℤ^{m} / 0 ≤ i_{ν} ≤ nd_{ν}, ∑_{ν=1}^{m} \frac{i_{ν}}{nd_{ν}} ≤ t\}| .

Or, par définition du faisceau d’idéaux I_{ζ,nd,t}, on sait que :

h^{0} (ℙ,O_{ℙ}(nd)) − h^{0} (ℙ,O_{ℙ}(nd) ⊗ I_{ζ,nd,t}) = |\{(i_{ν}) ∈ ℤ^{m} / 0 ≤ i_{ν} ≤ nd_{ν}, ∑_{ν=1}^{m} \frac{i_{ν}}{nd_{ν}} < t\}| .

Donc en passant à la limite, on en déduit bien le résultat voulu. □

On indique également une conséquence de ce calcul, qui nous servira dans la démonstration du théorème 3.3.1. Il s’agit d’une version affaiblie de la proposition précédente, dans le cas où on remplace le faisceau O_{ℙ}(d) par un fibré en droite L. Proposition 3.3.6. Si ζ est un point de ℙ, et L un fibré en droite sur ℙ tel que L ⊗ O_{ℙ}(−d) admet une section globale, alors :

Vol(t) ≤ lim_{n→∞} \frac{h^{0} (ℙ,L^{⊗n}) − h^{0} (ℙ,L^{⊗n} ⊗ I_{ζ,nd,t})}{n^{m} ∏_{k=1}^{m} d_{k}}.

Démonstration : Considérons l’espace vectoriel V_{n,t} engendré par :

\{∏_{i=1}^{m} z_{k}^{i_{k}} / ∑_{k=1}^{m} \frac{i_{k}}{nd_{k}} < t, 0 ≤ i_{k} ≤ nd_{k}\} .

Par définition de V_{n,t} et du faisceau d’idéaux I_{ζ,nd,t}, on sait que :

dim V_{n,t} = h^{0}(ℙ,O_{ℙ}(nd)) − h^{0}(ℙ,O_{ℙ}(nd) ⊗ I_{ζ,nd,t}).

Ainsi, il suffit de montrer que dim V_{n,t} ≤ h^{0} (ℙ,L^{⊗n}) − h^{0} (ℙ,L^{⊗n} ⊗ I_{ζ,nd,t}) pour conclure. Or L ⊗ O_{ℙ}(−d) est un fibré en droite sur ℙ qui, par hypothèse, admet une section globale. Donc il est engendré par ses sections globales (ceci découle du corollaire 3.1.3 et du fait que O(d) est engendré par ses sections globales si d = (d_{1}, …,d_{m}) ≥ 0). On peut prendre une section globale γ ∈ H^{0}(ℙ,L ⊗ O_{ℙ}(−d)), telle que γ(ζ) ≠ 0. Mais alors, en tensorisant n fois par γ, on peut plonger V_{n,t} dans H^{0}(ℙ,L^{⊗n}) et ce, de manière disjointe de H^{0}(ℙ,L^{⊗n} ⊗ I_{ζ,nd,t}). Ceci prouve l’inégalité de dimension cherchée. □

3.3.3 Le théorème du produit

On donne dans cette partie la démonstration d’un théorème du produit, dans l’esprit de celui introduit par Faltings dans [Fal91].

Définition 3.3.2 Soit f un polynôme de K[X_{1}, …,X_{m}] de multidegré d = (d_{1}, …,d_{m}), et soit W une variété sur K, on appelle multiplicité de f selon la variété W, et on note :

mult_{W} f = r si ∀β = (β_{1}, …,β_{m}) avec ∑_{i=1}^{m} β_{i} ≤ r − 1 on a : ∏ \frac{∂^{β_{i}}}{∂X_{i}^{β_{i}}} f_{|W} = 0,

et si il existe β, avec ∑_{i=1}^{m} β_{i} = r, tel que ceci est faux. Lemme 3.3.3. Soit X une variété sur K et W une sous-variété, alors l’ensemble

U = {x ∈ W /mult_{x}f = mult_{W} f}

est un ouvert non vide de W. Démonstration : On note immédiatement que ∀x ∈ W, mult_{x}f ≥ mult_{W} f. Or, si pour tout x ∈ W l’inégalité était stricte, alors on aurait mult_{W} f ≥ mult_{W} f + 1, ce qui est idiot. Ainsi, l’ensemble U n’est pas vide. Montrons que son complémentaire F est fermé. Par définition,

F = {x ∈ W /mult_{x}f > mult_{W} f}
= {x ∈ W /mult_{x}f ≥ mult_{W} f + 1}
= {x ∈ W /∀α = (α_{1}, …,α_{m}) ∈ ℕ^{m} tel que ∑_{i=1}^{m} α_{i} ≤ mult_{W} f on à D^{α}f(η) = 0} .

La dernière expression de F montre qu’il s’agit bien d’un fermé. □ Lemme 3.3.4. Soit φ : X → Y un morphisme dominant entre variétés lisses sur K. Si Ω_{X/Y} est localement libre de rang n = dim X − dim Y sur X, alors pour tout point fermé x ∈ X, l’application T_{φ} : T_{x} → T_{φ(x)} est surjective. Démonstration : Soit x ∈ X, on applique la 1^{ère} suite exacte fondamentale tensorisée par K(x), corps résiduel au point x:

φ^{∗}Ω_{Y/K} ⊗ K(x) →^{u} Ω_{X/K} ⊗ K(x) →^{v} Ω_{X/Y} ⊗ K(x) → 0.

Les variétés X et Y sont lisses, donc par la réciproque de la proposition 3.1.1, les trois espaces intervenant dans la suite exacte précédente sont de dimensions respectives dim Y, dim X et n; donc u est injective. De plus, si x est un point fermé de X alors K(x) ≃ K, donc, d’après la démonstration de la proposition 3.1.1, u est juste l’application naturelle de 𝔐_{y}/𝔐_{y}^{2} dans 𝔐_{x}/𝔐_{x}^{2}, où y = φ(x). Ainsi en passant au dual on en déduit que T_{φ} est surjective de T_{x} sur T_{y}. □ Lemme 3.3.5. Soit φ : X → Y un morphisme dominant entre variétés sur K. Alors il existe un ouvert U non vide de X tel que pour tout point fermé x ∈ U, l’application T_{φ} : T_{x} → T_{φ(x)} est surjective. Démonstration : Le corollaire 3.1.1 nous dit qu’il existe un ouvert (dense) de X qui est lisse et pareil pour Y. Donc quitte à se restreindre à ces ouverts, on peut supposer que X et Y sont lisses. Comme on est en caractéristique 0, et par le théorème 3.1.1, on sait que :

dim Ω_{R(X)/R(Y)} = deg_{tr} R(X)/R(Y) = dim X − dim Y =: n.

Or Ω_{R(X)/R(Y)} est la tige au point générique x du faisceau Ω_{X/R(Y)}, et le schéma X est noethérien, donc il existe un voisinage ouvert U de x tel que Ω_{X/Y} _{|U} est libre de rang n. On conclut alors en appliquant le lemme 3.3.4 précédent. □ Théorème 3.3.3. théorème du produit Soit f ∈ K[X_{1}, …,X_{m}] un polynôme non nul de multidegré d_{1}, …,d_{m}, et soit

X(f) = {x ∈ K^{m} /∀ 0 ≤ α_{i} ≤ max_{i+1≤j≤m} d_{j}, D^{α}f(x) = 0} ,

où α = (α_{1}, …,α_{m}) et D^{α}f = \frac{∂^{α_{1}}}{∂X_{1}^{α_{1}}} ⋯ \frac{∂^{α_{m−1}}}{∂X_{m−1}^{α_{m−1}}} f.

Soit W ⊂ X(f) une composante irréductible, alors W est inclus dans une sous-variété produit propre de K^{m}, c’est à dire : il existe x_{d} ∈ K tel que W ⊂ K^{d} × {x_{d}} × K^{n−d−1}. Démonstration : Si X(f) est vide, le résultat est immédiat, sinon, on va montrer que on est dans une des deux alternatives suivantes : soit π_{m}(W) est réduit à un point, soit W est de la forme W′ × K pour une sous-variété W′ de K^{m−1}. Dans le premier cas : W ⊂ K^{m−1} × {.} ce qui conclut. Dans le second cas : soit λ ∈ K et soit f_{λ}(X_{1}, …,X_{m−1}) = f(X_{1}, …,X_{m−1},λ), on a

\frac{∂^{α_{1}} … ∂^{α_{m−2}}}{∂X_{1}^{α_{1}} … ∂X_{m−2}^{α_{m−2}}} f_{λ}(X_{1}, …,X_{m−1}) = ∏_{i=1}^{m−2} \frac{∂^{α_{i}}}{∂X_{i}^{α_{i}}} f(X_{1}, …,X_{m})_{|X_{m}=λ}.

Or le polynôme ∏_{i=1}^{m−2} \frac{∂^{α_{i}}}{∂X_{i}^{α_{i}}} f(X_{1}, …,X_{m}) s’annule sur W′ × K pour α_{i} ≤ max_{i+1≤j≤m} d_{j},

donc ∏_{i=1}^{m−2} \frac{∂^{α_{i}}}{∂X_{i}^{α_{i}}} f_{λ}(X_{1}, …,X_{m−1})_{|W′} = 0 pour 0 ≤ α_{i} ≤ max_{i+1≤j≤m−1} d_{j}.

Ainsi W′ ⊂ X(f_{λ}), et,

par récurrence sur m, on en déduit que W′ est inclus dans une sous-variété produit propre de K^{m−1}, donc W aussi. Il reste à montrer que si π_{m}(W) ≠ 0, alors W est bien de la forme annoncée.

La variété W est une variété irréductible sur le corps K, donc d’après le corollaire 3.1.1 il existe un ouvert dense U_{1} de W formé de points lisses. Par ailleurs le lemme 3.3.3 nous dit que l’ensemble U_{2} sur lequel mult_{η}f = mult_{W} f est un ouvert dense. De plus on suppose que π_{m} : W → K est surjective, donc le lemme 3.3.5 nous dit qu’il existe un ouvert dense U_{3} tel que pour tout point fermé η ∈ U_{3}, l’application induite sur les espaces tangents T_{η}W → T_{π_{m}(η)}K est surjective. Ainsi, en prenant un point η assez général, i.e un point fermé, dans l’intersection des trois ouverts précédents, on peut supposer ces trois conditions vérifiées simultanément en η. Enfin, après translation en l’origine, on suppose aussi que T_{η}W ⊂ T_{0}(K^{m}). On a alors :

(1) T_{η}W + ⟨\frac{∂}{∂X_{1}} , ⋯,\frac{∂}{∂X_{m−1}} ⟩ = T_{0}(K^{m}).

Fait : il existe i ∈ [[1,m − 1]] tel que mult_{η}(\frac{∂}{∂X_{i}} (f)) = mult_{η}(f) − 1. En effet, soit D un opérateur différentiel, d’ordre ≤ mult_{η}(f) − 1, et soit \frac{∂}{∂X} ∈ T_{η}W. Si D = D^{α} où D^{α} est un opérateur de la forme définie précédemment, alors comme D^{α}(f) s’annule sur W et \frac{∂}{∂X} ∈ T_{η}W, on a :

(D^{α} \frac{∂}{∂X} (f))_{|η} = \frac{∂}{∂X} D^{α}(f)_{|η} = 0.

Sinon, le même raisonnement appliqué à D = D^{α}∂ avec ∂ ∈ T_{η}W marche encore. En utilisant (1), on peut donc encore conclure comme précédemment.

Ainsi, (2) ∀\frac{∂}{∂X} ∈ T_{η}W on a : mult_{η} \frac{∂}{∂X} (f) ≥ mult_{η}(f).

Supposons par l’absurde que le fait est faux. Alors, pour tout i dans [[1,m − 1]], on a : mult_{η} \frac{∂}{∂X_{i}} f ≥ mult_{η}(f). Or l’égalité (1) implique :

\frac{∂}{∂X_{m}} = ∑_{i=1}^{m−1} λ_{i} \frac{∂}{∂X_{i}} + λ\frac{∂}{∂X} .

Mais alors, (2) implique mult_{η} \frac{∂}{∂X_{m}} f ≥ mult_{η}f, donc pour tout α et tout β tels que 0 ≤ ∑ α_{i} ≤ 1 et 0 ≤ ∑ β_{i} ≤ mult_{η}f − 1, on a ∂^{α+β}f_{|η} = 0. On en déduit que mult_{η}f ≥ mult_{η}f + 1 ce qui est absurde, d’où le fait.

On applique ceci à \frac{∂}{∂X_{i}} f où l’indice i est celui obtenu par le fait. En itérant, après mult_{η}f itérations, on obtient :

(∏_{k=1}^{m−1} \frac{∂^{i_{k}}}{∂X_{k}^{i_{k}}} f) (η) ≠ 0 avec ∑_{k=1}^{m−1} i_{k} = mult_{η}f = mult_{W} f.

Or par définition de X(f), D^{α}(f)_{|W} = 0 pour tout α_{i} ∈ [[0, max d_{j}]], notamment pour tout α_{i} ∈ [[0,d_{m}]]. Donc il existe nécessairement un entier k tel que i_{k} ≥ d_{m} + 1. On en déduit que mult_{W} f ≥ d_{m} +1, or deg_{X_{m}}f = d_{m}, donc ceci est possible seulement si la sous-variété W est de la forme W′ × K, ce qu’on voulait démontrer. □

3.3.4 Fin de la preuve du théorème 3.3.2

On utilise dans cette partie le lemme du produit pour démontrer le lemme clé, puis on se sert de la théorie de l’intersection pour conclure.

Le lemme clé

Lemme 3.3.6. (lemme clé) Soit s ∈ H^{0}(ℙ,O_{ℙ}(d)) une section non nulle, soit M points, ζ_{1}, …,ζ_{M} vérifiant l’hypothèse (H), et soit t_{i} = Ind(ζ_{i},s). Il existe un entier n suffisamment grand, tel que : si V ⊂ ℙ est une sous-variété qui n’est contenue dans aucun Z_{i}, alors,

H^{0} (V,O_{P} (nd) ⊗ ⋂_{i=1}^{M} I_{ζ_{i},nd,t_{i}−mδ}) ≠ 0.

Démonstration : On commence tout d’abord par montrer l’existence d’une section avec un n_{V} qui dépend à priori de la variété V : Soit K^{m} ⊂ ℙ un ouvert affine contenant les points ζ_{i}, pour tout i ∈ [[1,M]]. Sur K^{m}, on identifie la section s avec un polynôme, que l’on note toujours s, de multi-degré inférieur à d. Par le théorème du produit on sait que l’ensemble X(s), des zéros communs de D^{α}(s) pour tout m-uplet d’entiers α = (α_{1}, …,α_{m}) tel que 0 ≤ α_{i} ≤ max_{i+1≤j≤m}d_{j}, est contenu dans

l’union d’un nombre fini de sous-variétés produits propres. Par ailleurs, pour k ∈ [[1,M]]

et 0 ≤ α_{i} ≤ max_{i+1≤j≤m}d_{j}, on a :

Ind(ζ_{k},D^{α}(s)) ≥ Ind(ζ_{k},s) − ∑_{i=1}^{m−1} \frac{α_{i}}{d_{i}} .

En effet, notons y le membre de droite de l’inégalité, et soit β un m-uplet d’entiers tels

que m ; ∑_{i=1} \frac{β}{d_{i}} ≤ y − 1. Dans ce cas, on a :

∑_{i=1}^{m−1} \frac{α_{i} + β_{i}}{d_{i}} + \frac{β_{m}}{d_{m}} ≤ y − 1 + ∑_{i=1}^{m−1} \frac{α_{i}}{d_{i}} = Ind(ζ_{k},s) − 1,

Donc on a bien : (∂^{β}D^{α}s)(ζ_{k}) = 0, d’où l’inégalité. De plus, par définition de δ, on a

l’inégalité m−1 ; ∑_{i=1} \frac{α_{i}}{d_{i}} ≤ mδ. En accolant les deux inégalités, on en déduit que

Ind(ζ_{k},D^{α}s) ≥ t_{k} − mδ.

Ainsi, si V est une sous-variété comme dans l’énoncé qui, de plus, n’est contenue dans aucune sous-variété propre de ℙ, alors par le théorème du produit, il existe α vérifiant les inégalités habituelles, tel que D^{α}(s) donne une section non nulle sur V. L’inégalité précédente assure de plus que cette section non nulle s_{V}, appartient à l’espace

H^{0} (V,O_{P} (d) ⊗ ⋂_{i=1}^{M} I_{ζ_{i},d,t_{i}−mδ}) .

Sinon V est comme dans l’énoncé mais est incluse dans une sous-variété produit propre ℙ′. Il suffit de montrer que, dans le cas où V = ℙ′, le résultat est vrai en conservant, pour tout i l’indice t_{i}. En effet, en faisant une récurrence sur la dimension (car dim ℙ′ < dim ℙ), et en appliquant le lemme à ℙ′ et à la section s′ non nulle obtenue pour ℙ′, on en déduit le résultat dans le cas général. On suppose donc V = ℙ′. Dans ce cas, la proposition 3.3.4 nous donne l’existence d’une section non nulle s_{V} ∈ H^{0} (V,O_{P} (n_{V} d) ⊗ ⋂_{i=1}^{M} I_{ζ_{i},n_{V} d,t_{i}}), pour un n_{V} assez grand, ce qu’on voulait démontrer. On montre maintenant que l’on peut trouver un entier n indépendant de V : Il suffit pour cela de constater que l’on appelle la proposition 3.3.4 un nombre fini de fois, indépendant de V. Donc en prenant comme entier n, le produit des n_{i} obtenus par les différents appels de la proposition, on peut conclure. □

Le fait, que l’entier obtenu dans le lemme précédent soit indépendant de V, nous permet, quitte à travailler avec d := nd dans ce qui suit, de supposer que, si Z ⊄ Z_{i} pour tout i, alors il existe

0 ≠ s_{Z} ∈ H^{0} (Z,O_{P} (d) ⊗ ⋂_{i=1}^{M} I_{ζ_{i},d,t_{i}−mδ}) .  (3.1)

On va utiliser (3.1) pour construire un cycle effectif, qui représente c_{1}(O_{ℙ}(d))^{m}.

Construction du cycle effectif

Soit s_{ℙ} une section donnée par l’équation (3.1), on note Z(s_{ℙ}) son schéma des zéros. Alors [Z(s_{ℙ})] est un diviseur effectif représentant la classe c_{1}(O_{ℙ}(d)). Soit Z une composante irréductible de Z(s_{ℙ}), alors, deux cas peuvent se présenter : Si il existe i tel que Z ⊂ Z_{i}, on prend 0 ≠ s_{Z} ∈ H^{0}(Z,O_{ℙ}(d))), et dans ce cas, [Z(s_{Z})] est un cycle effectif représentant la classe c_{1}(O_{ℙ}(d)) ∩ Z. Sinon, Z ⊄ Z_{i} pour tout i ∈ [[1,M]]. Dans ce cas, l’équation (3.1) nous donne une section non nulle s_{Z} ∈ H^{0} (Z,O_{P} (d) ⊗ ⋂_{i=1}^{M} I_{ζ_{i},d,t_{i}−mδ}) , et, là encore, [Z(s_{Z})] est un cycle effectif représentant la classe c_{1}(O_{ℙ}(d)) ∩ Z. On réitère ce raisonnement de manière à obtenir ainsi un représentant effectif de la classe c_{1}(O_{ℙ}(d))^{m}. Par ailleurs, on sait par la proposision 3.3.2 que les supports, Z_{i}, sont deux à deux disjoints. On peut donc écrire :

c_{1}(O_{ℙ}(d))^{m} = R + ∑_{i=1}^{M} R_{i}, où R_{i} est le cycle effectif de support inclus dans Z_{i}.

Notamment, en passant au degré, on en déduit, par effectivité de R, que :

∑_{i=1}^{M} deg R_{i} = deg (c_{1}(O_{ℙ}(d))^{m}) − deg R ≤ deg (c_{1}(O_{ℙ}(d))^{m}).

Or on connait le degré de c_{1}(O_{ℙ}(d))^{m}. En effet, par la proposition 3.2.7, on sait que :

deg (c_{1}(O_{ℙ}(d))^{m} = m! m ; ∏_{i=1}d_{i}. Pour conclure la preuve du théorème 3.3.2, il nous suffit donc

de prouver le lemme :

Lemme 3.3.7. Pour tout i ∈ [[1,M]], on a : deg R_{i} ≥ (m! m ; ∏_{k=1}d_{k}) Vol(t_{i} − mδ).

Minoration de deg R_{i}

Pour démontrer le lemme 3.3.7, on commence par prouver le résultat suivant : Lemme 3.3.8. Soit i ∈ [[1,M]], et soit π : BL_{Y} (ℙ) → ℙ l’éclatement de ℙ le long du fermé Y défini par l’idéal I_{ζ_{i},d,t_{i}−mδ}, et de diviseur exceptionnel E. Alors :

deg R_{i} ≥ deg c_{1}(O_{ℙ}(d))^{m} − deg c_{1}(π^{∗}O_{ℙ}(d)(−E))^{m}.

Démonstration : Soit s_{ℙ}, la section non nulle de H^{0}(ℙ,O_{ℙ}(d)) utilisée dans la construction précédente. Dans ce cas, le cycle π^{∗}[Z(s_{ℙ})] − E est un représentant effectif de c_{1}(π^{∗}O_{ℙ}(d)(−E)). En effet, par choix de s_{ℙ} c’est un cycle effectif, et en remarquant que

c_{1}(π^{∗}O_{ℙ}(d)(−E)) = c_{1}(π^{∗}O_{ℙ}(d)) − c_{1}(O_{BL_{Y} (ℙ)}(E)),

on constate qu’il représente bien la classe c_{1}(π^{∗}O_{ℙ}(d)(−E)). Soit V une composante irréductible de π^{∗}[Z(s_{ℙ})] − E, on va distinguer deux cas :

cas 1 : π(V) ⊂ Z_{i}. Comme I_{ζ,d,t−mδ} est engendré par ses sections globales, le lemme 3.1.4 nous permet d’affirmer que le faisceau π^{∗}O_{ℙ}(d)(−E) est engendré par ses sections globales. On peut donc choisir un représentant effectif pour c_{1}(π^{∗}O_{ℙ}(d)(−E)) ∩ V.

cas 2 : π(V) ⊄ Z_{i}. Dans ce cas, V ⊄ E, et l’application π_{|V} est birationnelle. En posant Z = π(V), on constate que V est égal à Z̃, la transformée stricte de Z.

Si ∃j ≠ i tel que Z ⊂ Z_{j}, soit s_{Z} ∈ H^{0}(Z,O_{ℙ}(d)) la section non nulle utilisée précédemment pour la construction du cycle effectif représentant c_{1}(O_{ℙ}(d))^{m}. Comme Z_{i} ∩Z_{j} = ∅, on a aussi, Z̃ ∩E = ∅, et donc π^{∗}s_{Z} ∈ H^{0} (Z̃,π^{∗}O_{ℙ}(d)(−E)). Donc π^{∗}[Z(s_{Z})]

représente c_{1}(π^{∗}O_{ℙ}(d)(−E)) ∩ Z̃.

De même, si ∀j Z ⊄ Z_{j}, on considère la section non nulle s_{Z} ∈ H^{0}(Z,O_{ℙ}(d)) utilisée précédemment pour la construction du cycle effectif qui représente c_{1}(O_{ℙ}(d))^{m}. On obtient ainsi une section non nulle π^{∗}s_{Z} ∈ H^{0}(Z̃,π^{∗}O_{ℙ}(d)). Comme la section s_{Z} appartient à H^{0} (Z,O_{P} (d) ⊗ ⋂_{i=1}^{M} I_{ζ_{i},d,t_{i}−mδ}), le cycle π^{∗}[Z(s_{Z})]−E_{|Z̃} est un cycle effectif représentant

la classe de Chern c_{1}(π^{∗}(O_{ℙ}(d)(−E)) ∩ Z̃.

Finalement, en itérant ce procédé, on construit, un 0-cycle effectif, D, représentant la classe c_{1}(π^{∗}O_{ℙ}(d)(−E))^{m}. De plus, par construction, ce 0-cycle s’écrit, D_{1} + S, où D_{1} est fabriqué en relevant les sections utilisées pour la construction de c_{1}(O_{ℙ}(d)^{m}, et où S est le cycle de support inclus dans Z_{i}. On sait que le morphisme π est propre par la proposition 3.1.7, on peut donc appliquer la formule de la projection du théorème 3.2.6. Celle-ci nous

dit que, π_{∗}(D_{1}) coincïde avec R + _{M ; ∑_{{j=1 \atop j≠i}}}R_{j}. On a donc :

R + ∑_{j=1}^{M} R_{j} − π_{∗}(D) = R_{i} − π_{∗}(S).

En passant au degré (on utilise le fait que deg_{X}(π_{∗}α) = deg_{BL_{Y} (X)}(α) ), et en utilisant que deg D = deg c_{1}(π^{∗}(O_{ℙ}(d)(−E))^{m} et que π_{∗}(S) est effectif, on conclut. □

Conclusion

On va maintenant pouvoir démontrer le lemme 3.3.7 et ainsi conclure la preuve du théorème 3.3.2. On veut montrer que :

deg c_{1}(O_{ℙ}(d))^{m} − deg c_{1}(π^{∗}O_{ℙ}(d)(−E))^{m} ≥ (m! ∏_{k=1}^{m} d_{k}) Vol(t_{i} − mδ).

Proposition 3.3.7. On a l’égalité :

(\frac{deg c_{1}(π^{∗}O_{ℙ}(d)(−E))^{m}}{m!} = lim_{n→∞} \frac{h^{0} (BL_{Y} (ℙ),π^{∗}O_{ℙ}(nd)(−nE))}{n^{m}}.  (3.2)

Démonstration : Le diviseur π^{∗}O_{ℙ}(d)(−E) est engendré par ses sections globales. En effet, le faisceau I_{ζ_{,}d,t_{i}−mδ} l’est, et l’affirmation suit donc du lemme 3.1.4. En particulier on en déduit, grâce à la proposition 3.2.8, que le diviseur π^{∗}O_{ℙ}(d)(−E) est numériquement effectif. Donc on obtient le résultat en appliquant la version de Riemann-Roch asymptotique donnée dans le théorème 3.2.11. □

On remarque ensuite que, si L = π^{∗}O_{ℙ}(nd)(−nE), on a :

H^{0}(ℙ,π_{∗}(L)) = π_{∗}(L)(ℙ) = L(π^{−1}(ℙ)) = L(BL_{Y} (ℙ)) = H^{0}(BL_{Y} (ℙ),L).

Ainsi, la formule de la projection pour les faisceaux nous donne :

h^{0} (BL_{Y} (ℙ),π^{∗}O_{ℙ}(nd)(−nE)) = h^{0} (ℙ,O_{ℙ}(nd) ⊗ π_{∗}O_{BL_{Y} (ℙ)}(−nE)) .  (3.3)

D’après le point 1. de la proposition 3.1.9, E est le diviseur effectif, tel que

π^{−1}I_{ζ,d,t−mδ} · O_{BL_{Y} (ℙ)} = O_{BL_{Y} (ℙ)}(−E).

On a donc une inclusion naturelle (cf le théorème 3.1.7 et les remarques qui suivent) de I_{ζ,d,t−mδ} dans π_{∗}O_{BL_{Y} (ℙ)}(−E). La même construction nous donne, pour tout n ≥ 1, une inclusion naturelle,

ι_{n} : I_{ζ,d,t−mδ}^{⊗n} ↪ π_{∗}O_{BL_{Y} (ℙ)}(−nE).

La proposition suivante va nous permettre de calculer le membre de droite de l’égalité (3.3) précédente pour n assez grand. Proposition 3.3.8. L’inclusion ι_{n} est un isomorphisme pour tout n assez grand.

Démonstration : Soit U = Spec A un ouvert affine de ℙ tel que l’anneau A est une Kalgèbre de type fini. Par construction π^{−1}(U) ≃ Proj S(U), où S = ∑_{d≥0} S_{d}, avec dans notre cas, S_{d} = I_{ζ,d,t}^{⊗d}, où I_{ζ,d,t} est cohérent. L’anneau S(U) = ∑_{d≥0} S_{d}(U) est un anneau gradué, engendré par I(U), comme O_{ℙ}(U) = A−algèbre. De plus I(U) est un A-module de type fini. On a finalement (cf [Har77] p.125)

∀n ≫ 0 S_{n}(U) ≃ { \atop S(U)(n)}(π^{−1}(U)).

Or par définition du faisceau O_{BL(ℙ)}(n), on sait que

O_{BL(ℙ)}(n)_{|π^{−1}(U)} ≃ O_{Proj(S(U))}(n) ≃ { \atop S(U)(n)}.

On en déduit que

∀n ≫ 0 O_{BL(ℙ)}(n)(π^{−1}(U)) ≃ { \atop S(U)(n)}(π^{−1}(U)) ≃ S_{n}(U).

On peut réécrire ceci sous la forme :

∀n ≫ 0 I_{ζ,d,t}^{⊗n}(U) ≃ (π_{∗}O_{BL(ℙ)}(n))(U),

et ce, pour tout ouvert affine U = Spec A de ℙ tel que A est une K-algèbre de type fini. Or ℙ est de type fini sur K, donc il existe un recouvrement de ℙ par de tels ouverts. Donc on sait en particulier que :

∀n ≫ 0 I_{ζ,d,t}^{⊗n}(ℙ) ≃ O_{BL(ℙ)}(n)(BL(ℙ)).

Or le faisceau ℑ_{ζ,d,t} est cohérent sur l’espace projectif ℙ, donc par un théorème de Serre (cf [Har77] p.121), on sait que pour n assez grand, ℑ_{ζ,d,t}^{⊗n} est engendré par ses sections globales. Le même résultat vaut pour O_{BL(ℙ)}(1). Ainsi l’isomorphisme au niveau des sections globales nous donne bien l’isomorphisme de i_{n} pour n assez grand. □

Ainsi, en injectant la proposition dans l’égalité (3.3), puis en mettant (3.3) dans l’identité (3.2), on en déduit :

\frac{c_{1}(π^{∗}O_{ℙ}(d)(−E))^{m}}{m!} = lim_{n→∞} \frac{h^{0} (ℙ,O_{ℙ}(nd) ⊗ I_{ζ_{i},d,t_{i}−mδ}^{⊗n})}{n^{m}}.  (3.4)

On veut évaluer le membre de droite de (3.4). Pour cela, on rappelle que

I_{ζ_{i},d,t_{i}−mδ}^{⊗n} ⊂ I_{ζ_{i},nd,t_{i}−mδ}, donc,
h^{0} (ℙ,O_{ℙ}(nd) ⊗ I_{ζ_{i},d,t_{i}−mδ}^{⊗n}) ≤ h^{0} (ℙ,O_{ℙ}(nd) ⊗ I_{ζ_{i},nd,t_{i}−mδ}) .

On déduit de cette inégalité, que :

lim_{n→∞} \frac{h^{0} (ℙ,O_{ℙ}(nd) ⊗ I_{ζ_{i},d,t_{i}−mδ}^{⊗n})}{n^{m}} ≤ lim_{n→∞} \frac{h^{0} (ℙ,O_{ℙ}(nd) ⊗ I_{ζ_{i},nd,t_{i}−mδ})}{n^{m}}.  (3.5)

Enfin, en combinant les deux équations, (3.4) et (3.5), on constate que :

\frac{c_{1}(O_{ℙ}(d))^{m} − c_{1}(π^{∗}O_{ℙ}(d)(−E))^{m}}{m!} ≥ lim_{n→∞} \frac{h^{0}(ℙ,O_{ℙ}(nd)) − h^{0} (ℙ,O_{ℙ}(nd) ⊗ I_{ζ_{i},nd,t_{i}−mδ})}{n^{m}}.

On conclut alors en utilisant le calcul de volume fait à la proposition 3.3.5.

3.3.5 Preuve du théorème 3.3.1

La preuve du théorème 3.3.1 est presque similaire à la preuve précédente. La seule différence est le lemme clé 3.3.6, puisque on veut fabriquer une section non nulle, sans modifier l’indice. Le problème vient de ce que, quand on considère les dérivées de s, de manière à appliquer le théorème du produit, on fait diminuer l’indice. Pour remédier à cela, une méthode consiste à multiplier les dérivées de s par un polynôme ayant un indice suffisamment grand aux points ζ_{k}, k ∈ [[1,M]]. Le plus simple consiste à considérer le twist de la dérivée D^{α}s, par le diviseur

D(α) = ∑_{i=1}^{M} ∑_{k=1}^{m−1} α_{k}π_{k}^{∗} (π_{k}(ζ_{i})) .

En effet, α_{k}π_{k}^{∗} (π_{k}(ζ_{i})) est le diviseur définit par le polynôme (η_{k,i}X_{k} − λ_{k,i}Y_{k})^{α_{k}} où (λ_{k,i} : η_{k,i}) est la k^{ème} composante de ζ_{i}. Donc le diviseur ∑_{k=1}^{m−1} α_{k}π_{k}^{∗} (π_{k}(ζ_{i})) , est défini par le polynôme ∏_{k=1}^{m−1}(η_{k,i}X_{k} − λ_{k_{i}}Y_{k})^{α_{k}}. Or,

Ind (ζ_{k}, ∏_{k=1}^{m−1}(η_{k,i}X_{k} − λ_{k_{i}}Y_{k})^{α_{k}}D^{α}s) ≥ Ind (ζ_{k}, ∏_{k=1}^{m−1}(η_{k,i}X_{k} − λ_{k_{i}}Y_{k})^{α_{k}}) + Ind (ζ_{k},D^{α}s) .

Le dernier terme est d’indice supérieur à t_{k} en ζ_{k}, donc en twistant par le diviseur D(α) on se ramène à la situation voulue, mais on a un résultat qui n’est pas tout à fait assez fin (et qui en plus dépend de α), donc on va encore raffiner un peu. Tout d’abord, on constate que si, dans la démonstration du lemme clé, on prend un ouvert affine K^{m} tel que le point ζ_{1} est de coordonnées (∞, …,∞), alors l’indice en ζ_{1} va rester stable par dérivation. Ensuite, on peut toujours choisir un système de coordonnées tel que, on ait de plus ζ_{2} = (0, …,0). Donc, quitte à travailler avec la section ∏_{k=1}^{m−1} X_{k}^{α_{k}}D^{α}s (qui est bien de degré ≤ d), on peut considérer qu’on a pas de problème non plus en ζ_{2}. On traite alors le cas des autres points par la méthode indiquée précédemment : on twist par le diviseur

D′(α) = ∑_{i=3}^{M} ∑_{k=1}^{m−1} α_{k}π_{k}^{∗} (π_{k}(ζ_{i})) .

On pose alors, δ_{i} = max_{i=1≤j≤m}d_{j}, et L = O_{ℙ}(d)(D′(δ)). Par définition, tous les α_{i} intervenant

dans le lemme clé sont inférieurs à δ_{i}, donc on obtient bien un résultat indépendant de la variété qui va intervenir, et on conclut par la même preuve que celle du lemme clé que, pour toute variété V telle que ∀i V ⊄ Z_{i}, on a :

H^{0} (V,L ⊗ ⋂_{i=1}^{M} I_{ζ_{i},d,t_{i}}) ≠ 0.

Le reste de la preuve est exactement pareil que ce qu’on a déjà fait. Il faut évidemment appliquer la proposition 3.3.6 au lieu de la proposition 3.3.5, et remplacer la valeur de deg(c_{1}(O_{ℙ}(d))^{m} par celle de deg(c_{1}(L))^{m} (le calcul se fait par exemple en utilisant la version asymptotique du théorème de Riemann-Roch).

Annexe A

Groupes formels de Lubin Tate

\underline{Sommaire}

A.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 A.2 Groupes formels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

A.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 A.2.2 Le lemme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

A.3 L’extension totalement ramifiée K_{π} . . . . . . . . . . . . . . . . 86 A.3.1 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 A.3.2 L’extension K_{π}/K et son groupe de Galois . . . . . . . . . . . 88

A.4 L’extension L_{π} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 A.5 Sous-groupes de ramification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A.5.1 “Rappels” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 A.5.2 Sous-groupes de ramification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Exposé effectué avec Jérome Plût

A.1 Préliminaires

Soit O un anneau de valuation discrète de corps des fractions K, d’idéal maximal 𝔪, d’uniformisante π. Proposition A.1.1. la chaîne O ⊃ 𝔪 ⊃ 𝔪^{2} ⊃ … forme une base de voisinages de 0. Démonstration : Si v est la valuation normalisée et | . |= q^{−v}, q ≥ 2, alors : 𝔪^{n} = \{x ∈ K/ | x |< \frac{1}{q^{n−1}} \} ce qui conclut. □

Définition A.1.1 On appelle n^{eme} groupe d’unités supérieure le sous groupe de O^{×}, et on note

U_{K}^{n} := \{x ∈ K^{∗}/ | 1 − x |< \frac{1}{q^{n−1}} \} = 1 + 𝔪^{n}.

Remarque : la chaîne O^{×} = U_{K} ⊃ U_{K}^{1} ⊃ U_{K}^{2} ⊃ … forme une base de voisinages de 1. Proposition A.1.2. ∀n ≥ 1 O^{×}⧸U_{K}^{n} ≃ (O⧸𝔪^{n})^{×} et U_{K}^{n}⧸U_{K}^{n+1} ≃ O⧸𝔪.

Démonstration : i) L′application φ : O^{×} → (O⧸𝔪^{n})^{×} est surjective et ker φ = U_{K}^{n}.

u ↦ u mod 𝔪^{n}

ii) L′application ψ : U_{K}^{n} → O⧸𝔪^{n} est surjective et ker ψ = U_{K}^{n+1}. □

u ↦ u mod 𝔪^{n}

Proposition A.1.3. Les applications O_{K} → lim_{⟵} O_{K}⧸𝔪^{n} et O_{K}^{×} → lim_{⟵} O_{K}^{×}⧸U_{K}^{n} sont des isomorphismes et des homéomorphismes.

A.2 Groupes formels

A.2.1 Définitions

Définition A.2.1 Soit A un anneau. Deux séries formelles F et G à coefficients dans A sont dites congruentes mod (deg n) si elles coïncident pour tous les termes de degré strictement inférieur à n.

Définition A.2.2 Soit A un anneau et F ∈ A[[X,Y]]. On dit que F est une loi de groupe formel commutative sur l’anneau A, si :

(a)  F (X,F (Y,Z)) = F (F (X,Y),Z)  (associativité)
(b)  F (X,Y) = F (Y,X)  (commutativité)
(c)  F (X,0) = X  (élément neutre)
(d)  ∃! G(X) ∈ A[[X]] F (X,G(X)) = 0  (inverse)
(e)  F (X,Y) ≡ X + Y (mod deg 2)

Exemple A.2.1 Soit A = O_{K} un anneau de valuation discrète de corps de fraction K, et d’idéal maximal 𝔪_{K}. Soit F une loi de groupe formel définie sur O_{K}. Alors F munit 𝔪_{K} d’une structure de groupe commutatif. On note 𝔪_{K,F} ou 𝔪_{F} ce groupe. Exemple A.2.2 Dans la situation de l’exemple précédent, en posant F (X,Y) = X + Y + XY on retrouve la loi de groupe multiplicatif de 1 + 𝔪_{K}.

Définition A.2.3 On dit que K est un corps local si K est un corps complet, valué, de corps résiduel k fini. Soit K local, q = Card(k) et π une uniformisante de O_{K}. On pose

F_{π} := {f ∈ O_{K}[[X]] / f(X) ≡ πX (mod deg 2) et f(X) ≡ X^{q} mod π }

Exemple A.2.3 f(X) = πX + X^{q} ∈ F_{π} Exemple A.2.4 Si K = ℚ_{p}, π = p alors f(X) = (1 + X)^{p} − 1 appartient à F_{p}.

A.2.2 Le lemme fondamental

Définition A.2.4 Soient F et G deux lois de groupe formel, on dit que f : F → G est un morphisme, si f ∈ XA[[X]] et si f ∘F = G(f ×f). On note Hom(F,G) les morphismes de F dans G et End(F) les endomorphismes de F. Lemme A.2.1. fondamental Soient f et g dans F_{π}, n ∈ ℕ^{⋆} et soit ϕ_{1}(X_{1}, …,X_{n}) une forme linéaire en X_{1}, …,X_{n}, à coefficients dans O_{K}. Alors, il existe une unique F ∈ O_{K}[[X_{1}, …,X_{n}]] telle que :

F = ϕ_{1} (mod deg 2)  (A.1)
f ∘ F = F ∘ (g × ⋯ × g)  (A.2)

Démonstration : Pour soulager la typographie on s’autorise à écrire X = (X_{1}, …,X_{n}) et g = (g ×, …,×g). Comme F ne doit pas contenir de terme constant, on cherche F sous la forme F = ∑_{ν=1}^{+∞} H_{ν}(X) où H_{ν} est homogène de degré ν. On pose F_{r}(X) = ∑_{ν=1}^{r} H_{ν}(X).

F est solution du problème si et seulement si \begin{cases}F_{1} & = ϕ_{1} \\ f ∘ F_{r} & = F_{r} ∘ g (mod deg(r + 1))∀r ≥ 1. \end{cases}

On détermine H_{ν} par récurrence : pour ν = 1, H_{1} est uniquement déterminé et vaut ϕ_{1}. On suppose maintenant que ∀ν ∈ [1,r], H_{ν} est construit et uniquement déterminé.

Construisons H_{r+1} : Ecrivons f ∘F_{r} = F_{r}∘g+E_{r+1} (mod deg(r+2)) où E_{r+1} est ”l’erreur” et satisfait E_{r+1} = 0 (mod deg(r +1)). En écrivant f(X) = πX +X^{2}(∑ …), on constate facilement que :

f ∘ F_{r+1} = f ∘ F_{r} + πH_{r+1} (mod deg(r + 2)).  (A.3)

En effet,

f ∘ F_{r+1} = f ∘ (F_{r} + H_{r+1}) = f ∘ F_{r} + πH_{r+1} + πH_{r+1}^{2} × (∑ …) + 2H_{r+1} × F_{r} × (∑ …).

Or tous les termes de H_{r+1}^{2} sont de degré 2r +2 ≥ r +2 et F_{r} n’a pas de termes constants. Par ailleurs,

F_{r+1} ∘ g = F_{r} ∘ g + π^{r+1}H_{r+1} (mod deg(r + 2)).  (A.4)

En effet :

F_{r+1} ∘ g = F_{r} ∘ g + H_{r+1} ∘ g

et

H_{r+1} ∘ g = ∑ α ∏_{j=1}^{n} g(X_{j})^{i_{j}} et g(X_{j})^{i_{j}} = π^{i_{j}}X_{j}^{i_{j}} + X_{j}^{i_{j}+1}(∑ …),

donc

∏_{j=1}^{n} g(X_{j})^{i_{j}} = π^{r+1} ∏_{j=1}^{n} X_{j}^{i_{j}} + (termes de degré ≥ r + 2),

d’où : H_{r+1}∘g = π^{r+1}H_{r+1} (mod deg(r+2)). Avec (3) et (4) on en déduit que nécessairement on doit poser

H_{r+1} = \frac{−E_{r+1}}{π(1 − π^{r})}.

L’unicité est donc acquise et pour conclure il nous reste à voir que H_{r+1} est bien à coefficients dans O_{K}, c’est à dire que E_{r+1} ≡ 0 mod π. Or f et g sont congrues à X^{q} mod π, donc E_{r+1}(X) = f ∘ F_{r}(X) − F_{r} ∘ g(X) = (F_{r}(X))^{q} − F_{r}(X^{q}) ≡ 0 mod π. □ Proposition A.2.1. (Tate) Soit f ∈ F_{π}, il existe une unique loi de groupe formel à coefficients dans O_{K}, notée F_{f}, telle que f ∈ End(F_{f}). Une telle loi de groupe formel est appelée loi de groupe formel de Lubin-Tate. Démonstration : Dans le lemme précédent, on prend n = 2, ϕ_{1} = X + Y et f = g. Il suffit de voir que l’unique F_{f} ainsi obtenue est bien une loi de groupe formel : associativité : On constate que F_{f}(F_{f}(X,Y),Z) et F_{f}(X,F_{f}(Y,Z)) sont solutions de :

H(X,Y,Z) = X + Y + Z (mod deg 2)
f ∘ H = H ∘ (f × ⋯ × f)

Par unicité dans le lemme fondammental on en déduit l’associativité. élément neutre : Les séries formelles F_{f}(X,0) et X sont solutions de :

H(X) = X (mod deg 2)
f ∘ H = H ∘ f

La commutativité et la congruence (mod deg 2) sont évidentes. D’où le résultat. □

Désormais on travaillera uniquement avec des lois de groupes formel de Lubin-Tate. Exemple A.2.5 Si K = ℚ_{p} et f = (1 + X)^{p} − 1 alors F_{f} = X + Y + XY. Proposition A.2.2. Soit f ∈ F_{π} et soit F_{f} la loi de groupe correspondante. Pour tout a ∈ O_{K}, il existe un unique [a]_{f} ∈ O_{K}[[X]] tel que : [a]_{f} commute avec f et [a]_{f} ≡ aX (mod deg 2). De plus on a alors [a]_{f} ∈ End(F_{f}). Démonstration : On a immédiatement l’existence et l’unicité de [a]_{f} par le lemme fondamental, comme solution de H(T) = aT (mod deg 2) et f ∘ H = H ∘ f. Reste à voir que c’est un endomorphisme de F_{f}, ce qui ce fait encore par la même méthode : On vérifie que F_{f}([a]_{f}(X),[a]_{f}(Y)) et [a]_{f}(F_{f}(X,Y)), sont toutes deux congrues à aX + aY (mod deg 2) et solutions de f ∘ H = H ∘ (f × f). □

Remarque : Soit f ∈ F_{π}, alors [π]_{f} = f. Proposition A.2.3.

L′application φ : O_{K} → End(F_{f}) est un morphisme injectif d′anneaux.
a ↦ [a]_{f}

Démonstration : On vérifie que l’on a bien un morphisme d’anneau par le même raisonnement que précédemment. L’injectivité vient de ce que [a]_{f} = aX (mod deg 2). □

Définition A.2.5 On appelle O_{K} module formel de Lubin-Tate pour π la donnée d’une loi de groupe formel de Lubin-Tate et du morphisme φ précédent.

Proposition A.2.4. Si f et g sont dans F_{π}, alors F_{f} ≃ F_{g}. Démonstration : Pour tout a ∈ A, f,g ∈ F_{π} notons [a]_{f,g} l’unique solution de [a]_{f,g}(T) = aT (mod deg 2) et f([a]_{f,g}(T)) = [a]_{f,g}(g(T)). Si a est inversible dans O_{K}, en notant toujours par la même méthode que [1]_{f,g}(T) = T, on voit que [a]_{f,g} fourni l’isomorphisme voulu. □

A.3 L’extension totalement ramifiée K_{π}

On remarque que tout O_{K} module formel donne naissance à un (vrai) O_{K} module quand on ”lit” la série F_{f} là où elle converge. Pour ce faire on choisit 𝔪_{s} l’idéal maximal de K_{s} une clôture séparable du corps local K.

A.3.1 Premières propriétés

Proposition A.3.1. Si F est un O_{K} module formel, alors 𝔪_{s} est un O_{K} module pour x + y := x +_{F} y et a.x := [a]_{F} (x). On le note 𝔪_{s,F}. Proposition A.3.2. Si f : F → G est un morphisme de O_{K} module formel, alors

l′application encore notée f : 𝔪_{s,F} → 𝔪_{s,G} est un morphisme de O_{K} module.
x ↦ f(x)

Définition A.3.1 On pose E_{π}(n) := {λ ∈ 𝔪_{s,F} /π^{n}.λ = 0} = ker([π^{n}]_{F}) le sous O_{K} module de π^{n} torsion de 𝔪_{s,F}, et on pose E_{π} := lim_{⟶} E_{π}(n) = ⋃_{n=1}^{∞} E_{π}(n). Remarquons que E_{π}(n) est aussi un O_{K}⧸π^{n}O_{K} module, car tous ses éléments sont tués par π^{n}O_{K}. Lemme A.3.1. Soit M un O_{K} module et soit M_{n} = ker(π^{n} : M → M). Si π : M → M est surjective, et si M_{1} de cardinal q, alors : M_{n} est de cardinal q^{n}. Démonstration : On démontre le résultat par récurrence sur n. Le cas n = 1 découle des hypothèses. Supposons le résultat vrai au rang n − 1. Considérons la suite :

0 → M_{1} → M_{n} →^{π} M_{n−1} → 0.

π surjective nous donne l’exactitude en M_{n−1} et de ce fait l’exactitude de la suite. Ainsi M_{n} à q^{n} éléments. □

Théorème A.3.1. Le O_{K}⧸π^{n}O_{K} module E_{π}(n) est libre de rang 1. Démonstration : Par la proposition 2.4, on est libre de choisir f ∈ F_{π} comme on veut pour définir F_{f} = F. On prend donc f = πX + X^{q} = [π]_{F} (X). Le polynome f est séparable donc E(1) = ker[π]_{F} a exactement q éléments, car toutes les racines de f sont de valuation strictement positives. En effet, si x est une solution, soit x = 0 et donc v(x) = +∞, soit v(x) = \frac{1}{q−1} > 0. De plus E_{π}(n) = ker[π^{n}]_{F}, donc pour pouvoir appliquer le lemme précédent, avec M = 𝔪_{s,F}, il suffit de voir que [π]_{F} est surjective de M dans M. Soit y ∈ M et soit x une solution de πx + x^{q} = y dans K_{s}, alors : si v(x) + 1 = qv(x), on a x ∈ M. Sinon, 0 < v(y) = inf(v(x) + 1,qv(x)) ≤ qv(x), donc x ∈ M. Il reste à voir que l’on peut trouver une racine de P (X) = πX + X^{q} − y dans K_{s}. Si P est séparable, on a gagné, sinon P et P′ ont une racine commune x dans une clôture algébrique de K. Comme P′ = π + qX^{q−1}, on a alors P (x) = x(π − \frac{π}{q}) − y = 0, soit x = y \frac{q}{(q−1)π} donc x est séparable, ce qui conclut. Le lemme précédent nous dit que E_{π}(n) est de cardinal q^{n}. Soit λ_{n} ∈ E_{π}(n) − E(n − 1), le morphisme O_{K} → E_{π}(n) de multiplication par λ_{n} est un morphisme de O_{K} module de noyau (π^{n}), d’où le résultat par cardinalité. □

Corollaire A.3.1. Le module E_{π} est isomorphe à K⧸O_{K}.

Démonstration : Le résultat suit du théorème en passant à la limite inductive. □

Corollaire A.3.2. L’application a ↦ [a]_{F} donne les isomorphismes suivant :

O_{K}⧸π^{n}O_{K} ≃ End_{O_{K}}(E_{π}(n)) et U_{K}⧸U_{K}^{n} ≃ Aut_{O_{K}}(E_{π}(n)).

Démonstration : Le corollaire découle facilement de la proposition 1.2 et du théorème. □

A.3.2 L’extension K_{π}/K et son groupe de Galois

Définition A.3.2 Le corps K_{π}(n) := K(E_{π}(n)) est appelé une extension de Lubin-Tate. On pose K_{π} := lim_{⟶} K_{π}(n) = ⋃_{n=1}^{∞} K_{π}(n). K_{π}(n) et K_{π} ne dépendent que de π et pas de F. Théorème A.3.2. 1. L’extension K_{π}(n)/K est abélienne, totalement ramifiée, de degré q^{n−1}(q − 1), de groupe de Galois Gal(K_{π}(n)/K) ≃ U_{K}⧸U_{K}^{n}.

2. Si λ_{n} ∈ E_{π}(n) − E(n − 1), alors K_{π}(n) = K[λ_{n}] et λ_{n} est une uniformisante.

3. N_{K_{π}(n)⧸K}(−λ_{n}) = π. Démonstration : Comme précédemment on choisit f = πX + X^{q}, et en notant f^{n} la n^{ieme} itérée de f, on pose ϕ_{n}(X) := \frac{f^{n}(X)}{f^{n−1}(X)}. Le polynome ϕ_{n} est d’Eisenstein et de degré q^{n−1}(q − 1), donc l’extension K(λ_{n})/K est totalement ramifiée de degré q^{n−1}(q − 1), et λ_{n} est une uniformisante. Comme ϕ_{n}(λ_{n}) = 0, et que ϕ_{n} est unitaire de coefficient constant π on a aussi N_{K_{π}(n)⧸K}(−λ_{n}) = π. On sait que K(λ_{n}) ⊂ K_{π}(n). De plus ∀σ ∈ Gal(K_{π}(n)/K), on a, σ_{|E_{π}(n)} ∈ Aut_{O_{K}}(E_{π}(n)). On peut donc considérer l’application

φ : Gal(K_{π}(n)/K) → Aut_{O_{K}}(E_{π}(n))
σ ↦ σ_{|E_{π}(n)}

Elle est injective car K_{π}(n) est engendré par E_{π}(n). Or

Card(Gal(K_{π}(n)/K)) ≥ [K(λ_{n}) : K] = Card(U_{K}⧸U_{K}^{n}).

Donc φ est bijective et l’extension est abélienne. Enfin [K_{π}(n) : K] = [K(λ_{n}) : K] donc K_{π}(n) = K(λ_{n}). □

Corollaire A.3.3. L’extension K_{π}/K est totalement ramifiée de groupe de Galois

Gal(K_{π}/K) ≃ O^{×}.

Démonstration : Par définition, Gal(K_{π}/K) = \underleftarrow{lim} Gal(E_{π}(n)/K), et par les préliminaires on sait que O^{×} est isomorphe à lim_{⟵} U_{K}⧸U_{K}^{n}. □

Exemple A.3.1 Si K = ℚ_{p}, π = p, f = (1+X)^{p} −1 alors E_{π} = {racines p^{ν ieme} de 1 /ν ∈ ℕ } et K_{π} = ℚ_{p^{∞}}.

A.4 L’extension L_{π}

Soit K un corps local ; on note A = O_{K} son anneau de valuation. On fixe une clôture séparable K^{sep} de K. Soit K^{nr} l’extension maximale non ramifiée de K dans K^{sep} ; son corps résiduel est une clôture algébrique k^{alg} de k, d’où

Gal (K^{nr}/K) = Ẑ.

Soit π une uniformisante de K. Définition A.4.1 On appelle L_{π} l’extension composée dans K^{sep} de K^{nr} et K_{π}.

On remarque que les extensions K^{nr} et K_{π} sont linéairement disjointes.

Soient π et ω deux uniformisantes de K, avec ω = uπ, u ∈ A^{⋆}; on choisit également f ∈ F_{π} et g ∈ F_{ω}. On note σ l’automorphisme de Frobenius de Gal (K^{nr}/K). Soit également B l’anneau de valuation de K̂^{nr}. Proposition A.4.1. Il existe une unité ε de B telle que σε = εu, et une série entière φ ∈ B[[X]], telles que :

(i) φ(X) = εX (mod X^{2}) ; (ii) ^{σ}φ = φ ∘ [u]_{f} ; (iii) φ ∘ F_{f} = F_{g}(φ × φ) ; (iv) Pour tout a ∈ A, φ ∘ [a]_{f} = [a]_{g} ∘ φ. Lemme A.4.1. On a deux suites exactes :

0⟶A⟶B ⟶^{σ−id} B⟶0

1⟶A^{⋆}⟶B^{⋆} ⟶^{σ/ id} B^{⋆}⟶1

Soient R l’anneau de valuation de K^{nr}, et 𝔪_{R} son idéal maximal. Montrons par récurrence que, pour tout n, la suite (⋆) 0→A/𝔪^{n}→R/𝔪_{R}^{n} ⟶^{σ−1} R/𝔪_{R}^{n}→0 est exacte : pour n = 1, la suite s’écrit

0⟶k⟶k^{alg} ⟶^{x↦x^{q}−x} k^{alg}⟶0

et est donc exacte. Pour n quelconque, écrivons :

0 ⟶ R/𝔪_{R}^{n} ⟶ R/𝔪_{R}^{n+1} ⟶ R/𝔪_{R} ⟶ 0
↓ σ − 1 ↓ σ − 1 ↓ σ − 1
0 ⟶ R/𝔪_{R}^{n} ⟶ R/𝔪_{R}^{n+1} ⟶ R/𝔪_{R} ⟶ 0

Le lemme du serpent montre que le noyau de σ − 1 : R/𝔪_{R}^{n+1}→R/𝔪_{R}^{n+1} a q^{n+1} éléments ; or il contient A/𝔪_{R}^{n+1}, ce qui montre l’exactitude de la suite (⋆), puis, par passage à la limite, celle de la suite

0⟶A⟶B ⟶^{σ−1} B⟶0.□

Lemme A.4.2. Il existe φ ∈ B[[X]] vérifiant (i) et (ii).

D’après le lemme précédent, il existe ε ∈ B^{⋆} tel que σε = uε. On va construire une suite d’éléments de B, (b_{r}) tels que, pour φ_{r}(X) = εX + b_{2}X^{2} + ⋯ + b_{r}X^{r}, on ait :

σφ_{r} = φ_{r} ∘ [u]_{f} (mod X^{r+1}).

Pour r = 1, ceci est vrai par choix de ε. Supposons b_{1}, …,b_{r} construits ; soient c le coefficient de X^{r+1} dans φ^{r} ∘ [u]_{f} − σφ_{r}, et a un élément de B tel que σa − a = c/(εu)^{r+1} ; le lecteur vérifiera qu’alors b_{r+1} = aε^{r+1} convient. φ(X) = εX + b_{2}X^{2} + ⋯ + b_{r}X^{r} + ⋯ vérifie alors (i) et (ii). □

On note h^{−1} l’inverse d’une série entière h pour la composition. Lemme A.4.3. On peut choisir φ dans le lemme A.4.2 telle que g = ^{σ}φ ∘ f ∘ φ^{−1}.

On pose h = σφ ∘ f ∘ φ^{−1} ; alors :

h = φ ∘ [u]_{f} ∘ f ∘ φ^{−1} = φ ∘ f ∘ [u]_{h} ∘ φ^{−1}.

f et [u]_{f} étant à coefficients dans A, il vient :

σh = ^{σ}φ ∘ f ∘ [u]_{f} ∘^{σ}φ^{−1} = ^{σ}φ ∘ f ∘ φ^{−1} = h,

d’où h ∈ A[[X]]. On vérifie que h ∈ F_{ρ} pour ρ = (σε/ε)π. Soit alors φ̃ = [1]_{g,h} ∘ φ; alors φ̃ vérifie toujours (i) et (ii), et on a ^{σ}φ̃ ∘ f ∘^{σ}φ̃ = g. □

Soit φ une telle série entière. On vérifie, en utilisant le lemme fondamental A.2.1, que

φ ∘ F_{f} ∘ (φ^{−1} × φ^{−1}) = F_{g} et φ ∘ [a]_{f} ∘ φ^{−1} = [a]_{g},

ce qui achève la preuve de la proposition A.4.1. □ Lemme A.4.4. Tout sous-corps E de K^{sep} contenant K est fermé.

Le groupe de Galois de K^{sep} sur E fixe en effet E, et donc son adhérence ; celle-ci est donc égale à E. □ Proposition A.4.2. Les deux extensions L_{π} et L_{ω} sont égales.

On a, d’après la proposition précédente : ^{σ}φ ∘ [π]_{f} = [ω]_{g} ∘ φ. On en déduit que φ est un isomorphisme entre E_{π}(n) et E_{ω}(n), et donc que les deux extensions K_{π}K̂^{nr} et K_{ω}K̂^{nr} coïncident. Le lemme A.4.4 précédent prouve alors que :

L_{π} = K̂^{nr}K_{π} ∩ K^{sep} = K̂^{nr}K_{ω} ∩ K^{sep} = L_{ω}.□

Définition A.4.2 Soit r_{π} : K^{⋆}→ Gal (L_{π}/K) = Gal (K_{π}/K) × Gal (K^{nr}/K) l’homomorphisme de groupes défini par :

(i) r_{π}(π) induit l’identité sur K_{π} et l’automorphisme de Frobenius sur K^{nr} ; (ii) Si u ∈ A^{⋆}, alors r_{π}(u) induit l’identité sur K^{nr}, et [u^{−1}]_{f} sur K_{π}. Proposition A.4.3. L’homomorphisme r_{π} ne dépend pas du choix de l’uniformisante π.

Soient π et ω = πu deux uniformisantes, f ∈ F_{π}, g ∈ F_{ω}, et φ une application donnée par la proposition A.4.1. On va montrer que r_{π}(ω) = r_{ω}(ω) ; ceci montrera que les r_{π} coïncident sur les uniformisantes de K, ce qui suffit puisque celles-ci engendrent le groupe multiplicatif de K.

Par définition de r_{π} et r_{ω}, sur K^{nr}, r_{π}(ω) et r_{ω}(ω) induisent toutes deux l’isomorphisme de Frobenius ; en outre, r_{ω}(ω) induit l’identité sur K_{ω}. Il suffit donc pour arriver au résultat de montrer que s = r_{π}(ω) induit l’identité sur K_{ω}.

Puisque s = r_{π}(π) · r_{π}(u) et φ a ses coefficients dans K̂^{nr}, il vient ^{s}φ = ^{σ}φ = φ ∘ [u]_{f}. Soient λ ∈ E_{g} et μ = φ^{−1}(λ) ∈ E_{f}. Alors :

s(λ) = ^{s}φ(s(μ))
= (φ ∘ [u]_{f} ∘ [u^{−1}]_{f})(μ)
= λ.

Ceci montre que r_{π}(π) induit l’identité sur K_{ω}, d’où le résultat. □

A.5 Sous-groupes de ramification

A.5.1 “Rappels”

Soient L/K une extension galoisienne de corps locaux, de groupe de Galois G, et x un générateur de la O_{K}-algèbre O_{L}.

Pour u réel, on note G_{u} le sous-groupe de G

G_{u} = {s ∈ G,v_{L}(sx − x) ≥ u + 1}.

On définit la numérotation supérieure de ces groupes par : G^{v} = G_{φ^{−1}(V)}, où φ est l’application continue, affine par morceaux, telle que φ(0) = 0 et φ′(u) = (G_{0} : G_{u})^{−1} pour u non entier.

On a alors, pour tout sous-groupe distingué H de G:

G^{v}/H = (G/H)^{v}.

A.5.2 Sous-groupes de ramification

Soit, pour n entier, U_{K}^{n} le sous-groupe de U_{K} = O_{K}^{⋆} défini par U_{K}^{n} = 1 + 𝔪_{K}^{n} ; pour v réel, on pose U_{K}^{v} = U_{K}^{⌈v⌉}. Théorème A.5.1. On considère l’extension K_{π}(n)/K précédemment construite, et l’homomorphisme

r_{K_{π}(n)} : \{ \begin{matrix}K^{⋆} & ⟶ & Gal (K_{π}(n)/K) \\ u & ⟼ & [u^{−1}]_{f} \end{matrix}

Alors, pour tout v réel : r_{K_{π}(n)}^{−1}(G^{v}) = U_{K}^{v}.

Soient i ≤ n, u ∈ U_{K}^{i} ∖ U_{K}^{i+1}, et α une racine primitive n-ième, c’est-à-dire, α tel que [π^{n}]_{f}(α) = 0 et [π^{n−1}]_{f}(α) ≠ 0. Alors : s(α) = [u^{−1}]_{f}(α). Soit v ∈ O_{K} telle que u^{−1} = 1 + π^{i}v; alors v est une unité de O_{K}, et

s(α) = [1 + π^{i}v]_{f}(α) = F_{f}(α,β) pour β = [π^{i}v]_{f}(α),

d’où :

s(α) − α = β + ∑_{i,j>1} γ_{i,j}α^{i}β^{j}, pour des γ_{ij} ∈ O_{L},

et finalement, α étant une uniformisante de K_{π}(n) et β une uniformisante de K_{π}(n − i), il vient

v_{K_{π}(n)}(sα − α) = [K_{π}(n) : K_{π}(n − i)] = q^{i},

d’où : si q^{i−1} < u ≤ q^{i} − 1, r^{−1}(G_{u}) = U_{K}^{i}, puis si i − 1 < v ≤ i, r^{−1}(G^{v}) = U_{K}^{v}. □ Corollaire A.5.1. Soient L = K^{nr}K_{π}, et r : K^{⋆}→G = Gal (L/K) l’application précédemment construite. Alors r^{−1}(G^{v}) = U_{K}^{v}.

On obtient directement le résultat pour K_{π} en passant à la limite projective ; le résultat pour L s’obtient alors en remarquant que, en écrivant Gal (L/K) = Gal (K^{nr}/K) × Gal (K_{π}/K), on a r(U_{K}) ⊂ Gal (K_{π}/K). □ Corollaire A.5.2 (Hasse-Arf). Soit E une sous-extension de L; alors les sauts dans la filtration (G^{v}) apparaissent seulement pour les valeurs entières de v.

Annexe B

Mémoire de maitrise : Théorie de Galois différentielle

\underline{Sommaire}

B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 B.2 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

B.2.1 Dérivations et corps différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 B.2.2 Le groupe de Galois différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

B.3 Strucure algébrique du groupe de Galois différentiel . . . . . 96 B.3.1 La topologie de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 B.3.2 Deux lemmes algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 B.3.3 La structure algébrique de Gal_{∂}(M/K) . . . . . . . . . . . . . 98

B.4 Outils d’algèbre différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 B.4.1 Extension d’idéaux premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 B.4.2 Un lemme sur les anneaux de polynômes . . . . . . . . . . . . . 101 B.4.3 Les isomorphismes admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

B.5 Le coeur de la théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 B.5.1 Préliminaires et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 B.5.2 Normalité de l’extension de Picard-Vessiot . . . . . . . . . . . . 104 B.5.3 Complétion de la théorie de Galois différentielle . . . . . . . . . 105

B.6 Résolution par quadrature des équations différentielles linéaires106 B.6.1 Étude des extensions de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 B.6.2 Deux lemmes sur les groupes algébriques linéaires . . . . . . . 108 B.6.3 Trigonalisation simultanée d’automorphismes . . . . . . . . . . 109 B.6.4 Démonstration du théorème VI.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 B.6.5 Application à l’équation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Mémoire de maitrise effectué avec Denis Conduché

B.1 Introduction

Depuis Galois, nous savons qu’il existe une correspondance entre les les sous-corps du corps de décomposition M d’une équation algébrique sur un corps K, et les sousgroupes du groupe des K-automorphismes de M. Ritt et Kolchin ont développé, à partir des idées de Picard et Vessiot, une théorie similaire en considérant l’extension attachée à une équation différentielle linéaire. Le but de cet exposé est d’expliciter et de démontrer cette correspondance. Ceci nous permettra de plus de voir sous quelles conditions une équation différentielle linéaire est résoluble par quadratures. Dans ce qui suit, les anneaux et les corps seront toujours supposés commutatifs.

B.2 Préliminaires

B.2.1 Dérivations et corps différentiels

Définition B.2.1 Soit A un anneau intègre, une application ∂ : A ⟶ A est une dérivation si : ∀a,b ∈ A ∂(a + b) = ∂(a) + ∂(b) et ∀a,b ∈ A ∂(ab) = a∂(b) + ∂(a)b . Le couple (A,∂) est appelé anneau différentiel, et tout x de A vérifiant ∂(x) = 0 est une constante. Théorème B.2.1. (i) Une dérivation ∂ sur un anneau intègre A admet une unique

extension au corps des fractions K de A. (ii) L’ensemble des constantes sur K est un sous-corps de K. Démonstration : L’unicité est claire, car aa^{−1} = 1 implique ∂(a^{−1}) = −a^{−1}∂(a)a^{−1}. En posant ∂(\frac{a}{b}) = \frac{∂(a)b−a∂(b)}{b^{2}} on définit bien une dérivation sur K : la définition est valide car ∀c ∈ K ∂(\frac{a}{b}) = ∂(\frac{ac}{bc}) . La seconde assertion est immédiate. □

Exemple B.2.1

(i) La dérivation triviale : ∀x ∈ K ∂(x) = 0. Celle-ci est certes peu intéressante mais on remarque que c’est l’unique possible sur ℚ. Par ailleurs, tout corps peut être muni de la dérivation triviale : en ce sens la théorie des corps différentiels est une généralisation de la théorie classique.

(ii) Soit (A,∂) un anneau différentiel, notons A[x_{i}] l’anneau des polynômes en une infinité de variables (x_{i})_{i∈ℕ}. On peut prolonger ∂ en une dérivation sur A[x_{i}], qui sera déterminée de manière unique par : ∂x_{i} = x_{i+1}. On a ainsi fabriqué une indéterminée différentielle et on note A{x} l’anneau différentiel obtenu, ainsi que A<x> son corps des fractions (la dérivation s’y étendant de manière unique par la proposition II.1). Plus généralement, si K et L sont deux corps différentiels tels que K ⊂ (L,∂), et S un sous ensemble de L, on note K < S > le plus petit sous-corps différentiel de L contenant K et S.

Définition B.2.2

(i) Soient (K_{1},∂_{1}), et (K_{2},∂_{2}), deux corps différentiels. Une application φ : K_{1} ⟶ K_{2} est un morphisme différentiel si φ est un morphisme de corps et φ ∘ ∂_{1} = ∂_{2} ∘ φ. On définit de même isomorphisme différentiel et automorphisme différentiel.

(ii) (M,∂_{1}) est une extension différentielle de (K,∂) si M est un surcorps de K et si

∂_{1_{|_{K}}} = ∂. On notera C le corps des constantes de K et C_{M} celui de M. On pourrait en fait montrer que toute K-extension peut être munie d’une structure différentielle compatible avec K (on peut trouver une démonstration dans [Ros68]).

Définition B.2.3 Soit y_{1},...,y_{n} ∈ K corps différentiel, on appelle matrice Wronskienne de (y_{1},...,y_{n}) et on note W r(y_{1},...,y_{n}) la matrice carré de d’ordre n (∂^{i−1}y_{j})_{i,j≤n}. Lemme B.2.1. Soit (K,∂) un corps différentiel et y_{1}, …,y_{n} ∈ K. On a : y_{1}, …,y_{n} sont linéairement indépendants sur C si et seulement si le wronskien |W r(y_{1}, …,y_{n})| ≠ 0. On déduit de ce lemme qu’une équation différentielle linéaire de degré n a au plus n solutions linéairement indépendantes dans une extension différentielle.

Définition B.2.4 Soit (K,∂) un corps différentiel et L(y) = ∑_{i=0}^{n−1} a_{i}∂^{i}y + ∂^{n}y = 0 une équation différentielle linéaire homogène, avec pour tout i, a_{i} dans K. Si (M,∂_{1}) est une extension différentielle de K, telle que C_{M} = C et M = K <u_{1}, …,u_{n} > où les u_{i} sont n solutions indépendantes de L(y) = 0 (*), alors M est appelée extension de Picard Vessiot de K associée à (*).

Remarquons dès à présent, certaine similitude entre la théorie de Galois classique et la théorie de Galois différentielle : dans la théorie classique, à une équation algébrique on associe son corps de décomposition, ici à une équation différentielle linéaire on associe son extension de Picard Vessiot. On indique, à titre culturel, le résultat suivant démontré dans [Kol48] : Théorème B.2.2. Si K est de caractéristique 0 et C algébriquement clos, l’extension de Picard-Vessiot de K associée à (*) existe et est unique à isomorphisme différentiel près.

B.2.2 Le groupe de Galois différentiel

Définition B.2.5

(i) Soit (M,∂) l’extension de Picard Vessiot de (*). Le groupe de Galois différentiel de (*), (ou de (M/K)) est l’ensemble des K-automorphismes différentiels de M. On le note Gal_{∂}(M/K).

(ii) Soit L une sous K-extension de M, posons

Ľ := {φ ∈ Gal_{∂}(M/K) / φ(a)=a ∀a ∈ L} = Gal_{∂}(M/L),

et pour H ⊂ Gal_{∂}(M/K) = G, posons Ȟ := {a ∈ M / φ(a)=a ∀φ ∈ H} = M^{H}. Lemme B.2.2. Ľ est un sous-groupe de G et Ȟ est un sous-corps différentiel de M. De plus ˇ ˇ Ľ = Ľ, et ˇ ˇ Ȟ = Ȟ. Définition B.2.6 Les sous K-extensions L de M (respectivement les sous-groupes H de Gal_{∂}(M/K)) sont dits fermés si ˇ Ľ = L, (respectivement si ˇ Ȟ = H). Malheureusement ceci laisse complètement de côté un point véritablement important : quel corps ou sous-groupe est fermé? Afin de pouvoir poursuivre notre étude, et notamment pouvoir répondre à cette question, nous devons maintenant introduire de nouveaux outils.

B.3 Strucure algébrique du groupe de Galois différentiel

B.3.1 La topologie de Zariski

Définition B.3.1 Soit C un corps et n ∈ ℕ, un ensemble F ∈ C^{n} est Zariski fermé (ou Z-fermé) si : ∃S ⊂ C[X_{1}, …,X_{n}] tel que F = ⋂_{f∈S} f^{−1}(0). Remarquons immédiatement que :

⋂_{f∈S} f^{−1}(0) = ⋂_{f∈<S>} f^{−1}(0) , où < S > est l′idéal engendré par S .

De plus, C[X_{1}, …,X_{n}] étant noethérien, on se ramène au cas où S est fini.

Définition B.3.2 On dit qu’un espace topologique vérifie la condition de la chaîne descendante, si : si F_{1} ⊃ F_{2} ⊃ F_{3} ⊃ … est une suite décroissante de fermés, alors on F_{n} = F_{n+1} pour tout n assez grand. Théorème B.3.1. Les ensembles Zariski fermés définissent une topologie sur C^{n}. On l’appelle la topologie de Zariski sur C^{n}. De plus, muni de cette topologie, C^{n} vérifie la condition de la chaîne descendante.

Corollaire B.3.1. Toute partie de C^{n} muni de la topologie de Zariski est l’union disjointe d’un nombre fini d’ouverts fermés connexes (pour la topologie induite). Démonstration : Le résultat découle facilement de la propriété de la chaine descendante. □

Exemple B.3.1 (i) Si n = 1 les ensembles Zariski fermés sont : C, l’ensemble vide et les ensembles finis. (ii) Si on considère GL_{n}(C) comme sous ensemble de C^{n^{2}+1}, c’est- à-dire,

GL_{n}(C) = {(A,a) ∈ C^{n^{2}+1} / a.det(A) = 1}, alors GL_{n}(C) est Z-fermé dans C^{n^{2}+1}. De plus la multiplication et l’inverse sont continus.

Définition B.3.3 On dit qu’un sous-groupe G de GL_{n}(C), en tant que sous ensemble de C^{n^{2}+1}, est un groupe algébrique linéaire s’il est fermé pour la topologie de Zariski. Lemme B.3.1. Si G est un sous-groupe de GL_{n}(C) (muni de la topologie de Zariski) et H un sous-groupe Z-fermé de G, alors le normalisateur de H, N_{G}(H), est Z-fermé. Démonstration : Soit h ∈ H et φ : G → G , a ↦ aha^{−1}. φ^{−1}(H) est fermé car φ est continue et H est fermé. Ainsi ⋂ φ^{−1}(H) est fermée et de même l’ensemble {a / a^{−1}Ha ⊂ H} est fermé, d’où le résultat. □

B.3.2 Deux lemmes algébriques

Lemme B.3.2. Soit K un corps différentiel de corps des constantes C algébriquement clos et L une extension différentielle de K, de corps des constantes C_{L}.

(i) soient (f_{α})_{α∈I} (I ensemble quelconque) et g des polynômes à n indéterminées sur K, alors : si ∀α ∈ I f_{α} = 0 et g ≠ 0 a une solution dans C_{L}, il existe déjà une solution dans C.

(ii) Soit k_{1}, …,k_{r} ∈ C_{L}, alors, si (k_{1}, …,k_{r}) sont algébriquement dépendants sur K, ils

le sont déjà sur C. Démonstration : Soit (u_{β}) une base de K sur C, f_{α} = ∑ h_{αβ}u_{β} où les h_{αβ} ∈ C[X_{1}, …,X_{n}] sont uniques. Grace au wronskien, on constate que les (u_{β}) restent linéairement indépendants sur C_{L}, donc si x ∈ C_{L} est tel que ∀α f_{α}(x) = 0, alors ∀α,β h_{αβ}(x) = 0. Posons alors J l’idéal engendré par les (h_{αβ}), J ≠ C[X_{1},..,X_{n}], donc le théorème des zéros de Hilbert (cf [Lan93]) appliqué à J nous indique que les h_{αβ} s’annulent déja sur C. Ecrivons g = ∑ t_{γ}u_{γ} avec t_{γ} ∈ C[X_{1}, …,X_{n}] et supposons par l’absurde que :

h_{αβ}(x) = 0 ⇒ g(x) = 0 sur C . Dans ce cas, ∀γ t_{γ}(x) = 0

donc le théorème des zéros de Hilbert nous dit que : si I est l’idéal engendré par les (h_{αβ}), alors t_{γ}^{r_{γ}} ∈ I avec (r_{γ}) une suite d’entiers : toute solution du système dans C_{L} annule g, contradiction.

Pour la seconde partie : si f est telle que f(k_{1}, …,k_{r}) = 0 sur K, alors f = ∑ h_{β}u_{β}, donc par l’argument précédent : ∀β h_{β}(k_{1}, …,k_{r}) = 0, d’où le résultat. □

On notera dans la suite deg_{tr}(I/K) = n le degré de transcendance de I sur le corps K. On trouvera la définition et les propriétés élémentaires dans [Lan93]. Lemme B.3.3. Soit K un corps et I un anneau intègre contenant K, de degré de transcendance n fini sur K, et soit P un idéal propre premier de I, alors le degré de transcendance de I/P sur K est strictement inferieur à celui de I sur K. Démonstration : deg_{tr}(I/K) = n. Soit u dans P, non dans K. u n’est pas algébrique sur K, car sinon u est inversible (I integre donc le terme constant de P m_{K}(u) est non nul). On complète u en une base de transcendance (u = u_{1}, …,u_{n}) sur I. La surjection canonique π : I → I/P est un homomorphisme d’algèbre qui induit une application de K[u_{1},...,u_{n}][X] dans K[π(u_{2}),...,π(u_{n})][X]. Pour y ∈ I, π envoie un polynôme anulateur de y sur un polynôme anulateur de π(y). Donc I/P algébrique sur K[π(u_{2}),...,π(u_{n})], donc deg_{tr}(I/P) ≤ n − 1. □

B.3.3 La structure algébrique de Gal_{∂}(M/K)

Définition B.3.4 Soient M et L deux K-extensions différentielles. L’application σ : M ⟶ L, K-isomorphisme différentiel est un isomorphisme admissible si il existe un corps N qui est une extension différentielle de M et de L.

Remarquons que si σ est un isomorphisme admissible de M, extension de Picard-Vessiot de (*), dans L, alors pour tout i, L(σ(u_{i})) = 0 donc, ∀i σ(u_{i}) = ∑_{j=1}^{n} k_{ij}u_{j} avec k_{ij} ∈ C_{N} (où N est une extension différentielle de M et L). Or σ est bijectif donc (k_{ij})_{i,j≤n} est dans GL_{n}(C_{N}). Lemme B.3.4. Soit (K,C) corps différentiel et M =K <u_{1}, …,u_{n} > une extension de Picard-Vessiot de K. Il existe S ensemble de polynômes de C[X_{1}, …,X_{n^{2}}] tel que :

(i) Si σ est un K-isomorphisme admissible de M, la matrice (k_{ij})_{i,j≤n} associée est telle que (k_{ij}) ∈ ⋂_{f∈S} f^{−1}(0).

(ii) Si N est une extension de M et (k_{ij})_{i,j≤n} ∈ GL_{n}(C_{N}) ∩ ⋂_{f∈S} f^{−1}(0), il existe un

K-isomor-phisme admissible σ de M dans N, dont la matrice associée est (k_{ij}). Démonstration : Soit φ: y_{i} ↦ u_{i} de K{y_{1},...,y_{n}} dans M l’évaluation, morphisme différentiel canonique, où y_{1},...,y_{n} sont des indéterminées différentielles. Γ = Ker φ est un idéal différentiel premier (car Im φ intègre) de K{y_{1},...,y_{n}}. Soit ψ l’homomorphisme différentiel de K{y_{1},...,y_{n}} dans M[c_{i,j}] défini par ψ(y_{i}) = ∑_{j=1}^{n} c_{i,j}u_{j}. Posons Δ = ψ(Γ) et S l’ensemble des polynômes de C[c_{i,j}] obtenus en décomposant les éléments de Δ sur une base de M. On va montrer que S est l’ensemble cherché.

1. Soit σ un K-isomorphisme différentiel admissible de M (u_{i} ↦ ∑_{j=1}^{n} k_{i,j}u_{j}). Le diagramme suivant (où p(c_{ij}) = k_{ij}) commute :

\xymatrix{K\{y_{1}, …,y_{n}\} \ar[r]_{φ} \ar[d]_{ψ} & M \ar[d]_{σ} \\ M[(c_{i,j})] \ar[r]_{p} & L}

Donc, Γ étant envoyé sur 0 dans L, Δ l’est aussi, et par l’argument utilisé dans la démonstration du lemme III.2, S s’annule en (k_{i,j}).

2. Soit (k_{ij})_{i,j≤n} ∈ GL_{n}(C_{N}) ∩ ⋂_{f∈S} f^{−1}(0). On a Ker (φ) ⊂ Ker (ψop ) donc, par propriété universelle, il existe σ, K-homomorphisme différentiel de K{u_{1},...,u_{n}} dans K{σu_{1},...,σu_{n}}, avec σu_{i} = ∑_{j=1}^{n} k_{i,j}u_{j}. Il suffit de montrer que σ est injectif : on pourra alors étendre au quotient M et conclure. Supposons donc σ non injectif : (pour alléger les notations on écrira u = (u_{1},...,u_{n}) et k = (k_{i,j})). On pose P = Kerσ et on applique le lemme III.3 sur les degrés de transcendance : deg_{tr}(K<σu> /K) < deg_{tr}(K<u> /K). Or, par additivitée des degrés de transcendance on a : deg_{tr}(K < u > /K) + deg_{tr}(K < u,σu > /K < u >) = deg_{tr}(K < u,σu > /K < σu > ) + deg_{tr}(K<σu> /K) D’où :

deg_{tr}(K<u>(k)/K<u>) = deg_{tr}(K<u,σu> /K<u>)
≤ deg_{tr}(K<u,σu> /K<σu>).

car K< u,σu >= K< u > (k) : W r(u)(k_{ij}) = W r(σu). Or en appliquant le lemme III.2 aux k_{i,j} ∈ C_{N} on en extrait une famille algébriquement libre maximale sur C, qui reste algébriquement libre sur K < u >. Donc deg_{tr}(C(k)/C) ≤ deg_{tr}(K < u,σu > /K < u >), d’où l’égalité. De même, en remplaçant σ et u par σ^{−1} et σu, deg_{tr}(C_{K<σu>}(k)/C_{K<σu>}) = deg_{tr}(K<u,σu> /K<σu>). Et visiblement : deg_{tr}(C_{K<σu>}(k)/C_{K<σu>}) ≤ deg_{tr}(C(k)/C). D’où la contradiction. □

Nous pouvons maintenant énoncer un des résultats majeur de notre étude, qui découle immédiate-ment du lemme précédent : Théorème B.3.2. Le groupe de Galois différentiel d’une extension de Picard-Vessiot est un groupe algébrique linéaire sur le corps des constantes. Avant de pouvoir plonger plus avant dans la théorie de Galois différentielle, et d’arriver à l’énoncé de la correspondance entre sous-groupes fermés et sous K-extensions fermées, nous devons étudier plus en détails les particularités introduites par le mot différentiel : plutot que de travailler directement sur des automorphismes, nous passons par l’intermédiaire d’isomorphismes admissibles. Selon I.Kaplansky, l’introduction de ces objets, et les complications qu’ils apportent, sont inévitables si l’on veut pouvoir traiter le sujet à un niveau qui reste relativement élémentaire.

B.4 Outils d’algèbre différentielle

B.4.1 Extension d’idéaux premiers

Lemme B.4.1. Soit I un idéal différentiel d’une ℚ-algèbre A, et soit a ∈ A tel que ∃n a^{n} ∈ I. Alors (∂a)^{2n−1} ∈ I. En particulier, \sqrt{I} est un idéal différentiel. Démonstration : On sait que ∂(a^{n}) = na^{n−1}∂(a) ∈ I (idéal différentiel), donc, comme ℚ ⊂ A, on a a^{n−1}∂(a) ∈ I. On montre alors par récurrence, que : ∀k a^{n−k}(∂(a))^{2k−1} ∈ I, et on conclut en appliquant ceci à n = k. □ Lemme B.4.2. Soit A un anneau différentiel, I idéal différentiel radical et S ⊂ A. Si ab ∈ I, alors a∂(b) ∈ I et ∂(a)b ∈ I. De plus, si T = {x ∈ A / xS ⊂ I}, alors T est un idéal différentiel radical de A. Démonstration : Comme ∂(ab) = a∂b + ∂(a)b ∈ I, on a a∂(a)b∂b + (a∂b)^{2} ∈ I, ainsi : (a∂b)^{2} ∈ I et comme I est radical a∂b ∈ I. De plus, T est clairement un idéal, il est différentiel par l’argument précédent, et I radical donne facilement T radical. □

Remarquons que si A est un anneau commutatif et (I_{s})_{s∈S} une famille d’idéaux radicaux, alors ⋂_{s∈S} I_{s} est un idéal radical. De plus, sur un anneau différentiel, une intersection quelconque d’idéaux différentiels est un idéal différentiel. Ainsi, si S ⊂ A, il existe un plus petit idéal radical différentiel contenant S :

⋂_{I ideal rad diff⊃S} I.

On le note {S}. Lemme B.4.3. Soit A un anneau différentiel, a ∈ A et S ⊂ A, alors :

(i) a{S} ⊂ {aS} (ii) si T ⊂ A, alors {S}{T } ⊂ {ST }. Démonstration : Posons S_{1} = {x ∈ A / ax ∈ {aS}}. C’est un idéal radical différentiel par le lemme IV.2, et S ⊂ S_{1} ⇒ {S} ⊂ S_{1} ⇒ a{S} ⊂ aS_{1} ⊂ {aS}. De même, T_{1} = {x ∈ A / x{T } ⊂ {ST }} est un idéal radical différentiel et contient S donc contient {S}. □

Lemme B.4.4. Soit A un anneau différentiel et T un sous ensemble multiplicativement clos de A. Soit Q un idéal radical, maximal sur l’ensemble des idéaux J tels que T ∩ J est vide, alors Q est premier.

Démonstration : Supposons par l’absurde que : ∃a,b ∈ A ab ∈ Q, a ∉ Q et b ∉ Q. {Q,a} et {Q,b} sont des idéaux différentiels radicaux contenant strictement Q. Ainsi, il existe t_{1} dans T ∩ {Q,a} et t_{2} dans T ∩ {Q,b} avec t_{1}t_{2} ∈ (T ∩ {Q,a})(T ∩ {Q,b}) ⊂ {Q,a}{Q,b} ⊂ Q par le lemme IV.3, d’où T ∩ Q ≠ ∅, contradiction. □ Théorème B.4.1. Soit B un anneau différentiel et A un sous anneau différentiel de B. Soit I un idéal différentiel radical de B tel que P = I ∩ A est un idéal différentiel premier de A. Dans ce cas, I peut être étendu en un idéal différentiel premier de B, I_{1}, avec I_{1} ∩ A = P. Démonstration : Posons T = {x ∈ A / x ∉ P }. Comme P est premier, T est multiplicativement clos. Soit I_{1} un idéal radical, maximal au sens du lemme IV.4, et contenant I (existe par le lemme de Zorn). Le lemme IV.4 donne alors : I_{1} est premier, I_{1} ∩ A ⊂ P et contient I ∩ A = P. □

Théorème B.4.2. Soit B un anneau différentiel, A un sous-anneau différentiel et I un idéal différentiel radical de B tel que : (ab ∈ I (a ∈ A, b ∈ B) ⇒ (a ∈ I ou b ∈ I) ). Alors : I peut s’écrire comme une intersection d’idéaux (I_{α}) différentiels premiers de B tels que ∀α I_{α} ∩ A = P (avec P = I ∩ A). Démonstration : Notons que P est un idéal différentiel de A. Soit x ∈ B x ∉ I, on veut construire un idéal I_{x} différentiel premier de B, contenant I, tel que I_{x} ∩ A = P et tel que x ∉ I_{x}. On aura alors I = ⋂ I_{x}. Soit T = {ax^{n} / a ∈ A a ∉ P n ∈ ℕ}, T est multiplicativement clos car P est premier, et par hypothèse T ∩ I = ∅, donc il existe un idéal de B différentiel radical I_{x} maximal tel que I_{x} ∩ T = ∅ et contenant I (par Zorn). Ainsi le lemme IV.4 implique que I_{x} est premier. De plus, 1 ∉ P (sinon P=A, donc I = B: I = I_{α}) donc x ∈ T i.e x ∉ I_{x}. Enfin, soit a ∈ I_{x} ∩ A, d’où ax ∈ I_{x} : si a ∈ P c’est fini, sinon ax ∈ T ∩ I_{x} = ∅ ce qui est impossible, donc P = I ∩ A ⊂ I_{x} ∩ A ⊂ P. □

B.4.2 Un lemme sur les anneaux de polynômes

Lemme B.4.5. Soit K un corps et L une K-extension. Soit 𝔟 un ensemble éventuellement infini B = L[(X_{i})_{i∈𝔟}], A = K[(X_{i})_{i∈𝔟}], P un idéal de A, J idéal engendré par P dans B et I = \sqrt{J}, alors :

(i) Si P est un idéal radical alors I ∩ A = P. (ii) Si P est un idéal premier et si ab ∈ I avec a ∈ A b ∈ B, alors a ∈ P ou b ∈ I. (iii) Si Car(K) = 0 et P ≠ A, soit Y une des indéterminées et s ∈ L s ∉ K, alors

Y − s ∉ I. Démonstration : L est un K-espace vectoriel, si dim_{K}L = 1 le lemme est trivial. On suppose désormais dim_{K}L ≥ 2.

Soit (u_{α})_{α∈𝔞} une base de L sur K. On choisit deux éléments particuliers u_{1} et u_{2} de cette base. Quitte à multiplier par u_{1}^{−1} on suppose même que u_{1} = 1. Tout élément f de B s’écrit de manière unique ∑ f_{α}u_{α} avec f_{α} ∈A. Un tel f appartient à A si et seulement si f_{α} = 0 pour α ≠ 1. De plus J = {∑ p_{α}u_{α} / p_{α} ∈ P }, donc J ∩ A = P.

1. On suppose que P est un idéal radical et que b ∈ I ∩ A. Alors ∃n b^{n} ∈ J ∩ A = P radical donc b ∈ P donc P = I ∩ A.

2. Si P est premier et ab ∈ I avec a ∈ A et b ∈ B, alors a^{n}b^{n} ∈ J. De plus, b^{n} ∈ B implique b^{n} = ∑ f_{α}u_{α}, donc ∀α a^{n}f_{α} ∈ P. Si a ∈ P c’est fini, sinon ∀α f_{α} ∈ P, donc b ∈ I.

3. On suppose par l’absurde que Y − s ∈ I. Alors ∃m (Y − s)^{m} ∈ J. Posons donc I_{0} = {f ∈ L[Y] / f ∈ J}. C’est un idéal de L[Y], donc principal : écrivons donc I_{0} = (f_{0}). Comme (Y − s)^{m} ∈ I_{0}, on a f_{0} / (Y − s)^{m}. Si f_{0} ∈ L alors J = B et donc P = A impossible par hypothèse. Ainsi f_{0} = (Y −s)^{r} , r ≥ 1. Dans la base (u_{α})_{α∈𝔞} on peut prendre u_{2} = s. Mais f_{0} ∈ J donc (Y − s)^{r} = ∑ p_{α}u_{α} avec ∀α p_{α} ∈ P. Ainsi ∀α p_{α} ∈ J, en particulier p_{1} ∈ J. Or p_{1} = Y^{r} + 0Y^{r−1} + ⋯ (car (Y − s)^{r} = Y^{r} − rsY^{r−1} + ⋯ et s = u_{2}). Le polynôme p_{1} appartenant à I_{0} on a p_{1} = f_{0}f où f ∈ L[Y] et p_{1} et f_{0} sont unitaires de même degré, donc p_{1} = f_{0}, donc rs = 0 et CarK = 0 : contradiction. □

B.4.3 Les isomorphismes admissibles

On peut maintenant énoncer les deux propositions concernant les isomorphismes admissibles. Théorème B.4.3. Soit M un corps différentiel de caractéristique 0, K et L deux souscorps différentiels et S : K → L un isomorphisme différentiel. Alors S peut être étendu en un isomorphisme admissible défini sur M. Démonstration : Soit (u_{α})_{α∈𝔞} une base de M sur K. Par induction transfinie sur 𝔞 on se ramène au problème suivant : étant donné u ∈ M u ∉ K, on cherche à définir une extension de S à u, l’image de u étant dans une extension convenable de M. Soit K{u} l’anneau intègre obtenu en adjoignant u à K, et K{y} l’anneau obtenu avec y une indéterminée différentielle. φ_{1} : K{y} → K{u} est un morphisme différentiel, P = Ker φ_{1} est un idéal

y ⟼ u différentiel premier.

Grace à S, on envoie P_{1} sur P idéal différentiel premier de L{y} (car S surjectif). Soit alors J l’idéal de M\{y\} engendré par P : il est clairement différentiel, posons I = \sqrt{J}. Le lemme IV.1 nous dit que I est un idéal (radical) différentiel de M{y}, le lemme IV.5 nous donnant I ∩ L{y} = P. Enfin par la proposition IV.1 on peut étendre I en un idéal premier I_{1} de M{y} satisfaisantL{y} ∩ I_{1} = P. Considérons π : M{y} → M{y}/I_{1} la surjection canonique on a :

K{y} →^{S} L{y} →^{π} L{π(y)}

Ker π_{|L{y}} = I_{1} ∩ L{y} = P, donc Ker π_{|L{y}} ∘ S = P_{1}. On a ainsi l’isomorphisme :

K{u} ≃ K{y}/P_{1} ≃ π(L{y} ≃ L{π(y)}

qui étend S. Par la proposition II.1 cet isomorphisme se prolonge de manière unique en un isomorphisme différentiel de K < u > sur L < π(y) > sous extension de M < π(y) >, d’où le résultat. □

Théorème B.4.4. Soit K un corps différentiel de caractéristique 0, M une extension de K, et soit s ∈ M et s ∉ K. Alors il existe φ un K-isomorphisme admissible sur M qui bouge s (i.e tel que φ(s) ≠ s). Démonstration : Soit y une indéterminée différentielle et soit φ : K{y} → K{s} morphisme différentiel et P = Kerφ (P ≠ K{y} car s ≠ 0) y ⟼ s Soit L =K <s> et J l’idéal différentiel de L\{y\} engendré par P et I = \sqrt{J}. I est un idéal différentiel de L{y} tel que I ∩ K{y} = P (car P est premier donc radical). Ainsi I peut être étendu en un idéal I_{1} différentiel premier tel que I_{1} ∩ K{y} = P. π : L{y} → L{y}/I_{1} On peut donc construire un K-isomorphisme admissible de K <s>

y ⟼ π(y) sur K <π(y)> envoyant s sur π(y). Remarquons que π(y) = s ⇔ y − s ∈ I_{1}. Le lemme IV.5 indique que nous sommes dans les hypothèses de la proposition IV.2, d’où : I est une intersection d’idéaux premiers I_{s} tels que ∀s I_{s} ∩ K{y} = P Ainsi I est l’intersection des idéaux de la forme I_{1} construit précédemment. Par l’absurde, supposons que pour tout I_{1}, y − s ∈ I_{1}. Dans ce cas y − s ∈ I ce qui est impossible par le lemme IV.5. On a donc construit un isomorphisme ayant les propriétés voulues, par la proposition précédente on peut l’étendre en un K-isomorphisme admissible défini sur M. □

B.5 Le coeur de la théorie

B.5.1 Préliminaires et compléments

Définition B.5.1 Une extension différentielle M de K est dite normale sur K si M^{G} =K avec G = Gal_{∂}(M/K). Théorème B.5.1. Soit M un corps différentiel et G = Gal_{∂}(M/K) :

(i) Si H ⊲ G alors ∀σ ∈ G σ(Ȟ) = Ȟ. (ii) Si L est une sous K-extension différentielle de M telle que ∀σ ∈ G σ(L) = L, alors

Ľ ⊲ G et G/Ľ est le groupe des K-automorphismes différentiels de L qui peuvent être étendus à M.

Démonstration : Soit σ ∈ G et x ∈ Ȟ, on veut montrer que σ(x) ∈ Ȟ. H ⊲ G ⇒ ∀φ ∈ H σ^{−1}φσ ∈ H ⇒ σ^{−1}φσ(x) = x ⇒ φσ(x) = σ(x) ⇒ σ(x) ∈ Ȟ. De même σ^{−1}(Ȟ) ⊂ Ȟ, donc σ(Ȟ) = Ȟ. Comme précédemment Ľ ⊲ G. L’application Φ : G → Gal_{∂}(L/K) , σ ↦ σ_{|L} est bien définie par hypothèse et : KerΦ = Ľ et ImΦ est l’ensemble des K-automorphismes différentiels de L pouvant être étendus à M. □

Lemme B.5.1. Soit L une sous K-extension différentielle de M, fermée et H le sousgroupe correspondant. Alors N_{G}(H) = {σ ∈ G /σ(L) = L}. Démonstration : N_{G}(H) = {σ ∈ G /∀φ ∈ H σφσ^{−1} ∈ H}, H = Ľ. Soit σ ∈ N_{G}(Ľ) et x ∈ L. On a ∀φ ∈ Ľ σ^{−1}φσ ∈ Ľ donc ∀φ ∈ Ľ φ(σ(x)) = σ(x). Ainsi σ(x) ∈ ˇ Ľ = L donc σ(L) ⊂ L et pareillement pour σ^{−1} d’où N_{G}(Ľ) ⊂ {σ ∈ G / σ(L) = L}. Réciproquement, si σ ∈ G est tel que σ(L) = L et si φ ∈ Ľ, alors σ(L) = L donc φσ_{|L} = σ_{|L} et σ^{−1}φσ_{|L} = Id_{L} d’où σ ∈ N_{G}(Ľ). □

Lemme B.5.2. Soit L une sous K-extension différentielle fermée de M, normale sur K. Supposons de plus que N_{G}(Ľ) est fermé et que tout K-automorphisme différentiel de L peut être étendu sur M. Alors Ľ ⊲ G et G/Ľ est exactement Gal_{∂}(L/K). Démonstration : Ľ ⊲ G ⇔ N_{G}(Ľ) = G, soit donc L_{1} le sous-corps correspondant à N_{G}(Ľ). Si L_{1} = K alors , comme N_{G}(Ľ) est fermé, Ľ_{1} = N_{G}(Ľ) = Ǩ = G. Montrons donc que L_{1} = K. Par le lemme V.1 on sait que N_{G}(Ľ) = {σ ∈ G / σ(L) = L}, c’est à dire, car tout K-automorphisme peut être prolongé sur M, on a : Gal_{∂}(L/K) = N_{G}(Ľ). Or comme L est normale , si x ∈ L x ∉ K ∃σ ∈ N_{G}(Ľ), σ(x) ≠ x, i.e L_{1} = K. On a enfin G/Ľ ≃ Gal_{∂}(L/K) par la proposition V.1. □

B.5.2 Normalité de l’extension de Picard-Vessiot

Lemme B.5.3. Soit (K,C) un corps différentiel avec C algébriquement clos, et M une extension de Picard-Vessiot de K. Supposons donnés z ∈ M et {x_{α}}_{α∈I} et {y_{α}}_{α∈I} ⊂ M, et supposons qu’il existe σ, un K-isomorphisme admissible de M, envoyant {x_{α}} sur {y_{α}} en déplaçant z. Alors il existe un K-automorphisme de M réalisant la même chose. Démonstration : Soit σ : M → L ⊂ N, et C_{N} le corps des constantes de N, σ(u_{i}) = ∑ k_{ij}u_{j} (*) avec k_{ij} ∈ C_{N}. Soit x,y ∈ M, x = \frac{P (u)}{Q(u)} et y = \frac{R(u)}{S(u)} où u = (u_{1}, …,u_{n}), on a : y = σ(x) ⇔ R(u)Q(σ(u)) = P (σ(u))S(u), injectant (*), on obtient un système d’équations polynômiales en k, à coefficients dans M, et on a un tel système pour chaque α. De plus, par le lemme III.4 on a k_{ij} ∈ ⋂_{f∈S} f^{−1}(0), et enfin on a l’inéquation σ(z) ≠ z et det(k_{ij}) ≠ 0, or (k_{ij}) est une solution de ce système dans C_{N}, donc par le lemme III.2 il existe une solution dans C, d’où l’automorphisme cherché. □

Théorème B.5.2. Soit (K,C) comme précédemment, de caractéristique 0, alors : toute extension de Picard-Vessiot de K est normale. Démonstration : Soit G=Aut_{K}(M), on a M normale ⇔ M^{G} =K. Soit z ∈ M, z ∉ K. La proposition IV.4 nous donne un isomorphisme admissible qui déplace z, et on conclut par le lemme précédent. □

Théorème B.5.3. Soit (K,C) comme précédemment, et M une extension de Picard-Vessiot de K, alors : Tout K-isomorphisme entre deux sous K-extensions de M peut être étendu en un K-automorphisme différentiel de M. En particulier, tout K-automorphisme de L, sous K-extension, peut être ainsi étendu. Démonstration : Soit σ un K-isomorphisme différentiel de L_{1} dans L_{2}, alors par la proposition IV.3, σ peut être étendu en un K-isomorphisme admissible de M. On conclut avec le lemme . □

B.5.3 Complétion de la théorie de Galois différentielle

Théorème B.5.4. Les sous-groupes algébriques de G = Gal_{∂}(M/K) sont Galois-fermés. Démonstration : Dans cette démonstration, si F est un polynôme de M{y,z} et n_{F} le nombre de monômes qui le composent, on dira que E est strictement plus court que F si n_{E} < n_{F}. Soit H un sous-groupe algébrique de G, montrons que H est Z-dense dans ˇ Ȟ par l’absurde (ce qui entraîne le théorème). On fera la preuve dans le cas n=2, pour simplifier la typographie et la lecture, le cas général étant similaire. Soit donc, M = K < u,v >.

Supposons par l’absurde que ∃f ∈ C[X_{i,j}], f(H) = \{0\} et f( ˇȞ) ≠ \{0\}. Soit ( \begin{matrix}A & C \\ B & D \end{matrix} )

l’inverse de ( \begin{matrix}u & u′ \\ v & v′ \end{matrix} ) ∈ GL_{2}(K), et F ∈ M\{y,z\} définie par :

F (y,z) = f(Ay + By′,Az + Bz′,Cy + Dy′,Cz + Dz′)

Si on prend σ ∈ H, de matrice (k_{i,j}), on obtient :

( \begin{matrix}σu & σu′ \\ σv & σv′ \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}k_{1,1} & k_{1,2} \\ k_{2,1} & k_{2,2} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}u & u′ \\ v & v′ \end{matrix} )

Ainsi (∀σ ∈ H F (σu,σv) = 0, et ∃σ_{1} ∈ ˇ Ȟ F (σ_{1}u,σ_{1}v) ≠ 0.) (*) Soit I = {F ∈ M{y,z} / F vérifie (∗) }. I ≠ ∅, car F ∈ I. On note E un élément de I ayant le nombre minimal de monômes. Comme M est un corps, on peut supposer que l’un des coefficients de E vaut 1. Pour τ ∈ H on appelle E_{τ} le poynôme obtenu en prenant l’image des coefficients de E par τ. On a donc :

∀σ ∈ H E_{τ}(σu,σv) = τE(τ^{−1}σ(u),τ^{−1}σ(v)) = 0. Or E − E_{τ} est strictement plus court que E, donc ∀σ ∈ ˇ Ȟ (E − E_{τ})(σu,σv) = 0. Si E ≠ E_{τ}, il existe a ∈ M tel que E − a(E − E_{τ}) est strictement plus court que E et appartient à I, ce qui est impossible, d’où : E = E_{τ}. Ainsi tous les coefficients de E sont stables par τ ∈ H, donc sont dans Ȟ. Or ∀σ ∈ ˇ Ȟ ∀x ∈ Ȟ σ(x) = x, donc : ∀σ ∈ ˇ Ȟ σE(u,v) = E(σu,σv) = 0, ce qui contredit l’hypothèse. □

Finalement en rassemblant l’analyse précédente et la proposition on obtient le théorème principal de la théorie de Galois différentielle qui découle simplement de ce qui à été fait auparavant.

Théorème B.5.5. Correspondance de Galois Soit K un corps différentiel de caractéristique 0, de corps des constantes C algébriquement clos. Soit M une extension de Picard Vessiot de K, alors :

(i) on a une correspondance bijective entre les sous K-extensions différentielles de M et les sous-groupes algébriques de G = Gal_{∂}(M/K), donnée par ˇ .

(ii) Un sous-groupe fermé H de G est distingué dans G si et seulement si Ȟ = L est normale sur K. De plus dans ce cas, on a : G/H ≃ Gal_{∂}(L/K).

B.6 Résolution par quadrature des équations différentielles linéaires

Nous allons désormais nous attacher à donner une jolie application de cette théorie : similairement à la notion de résolubilité par radicaux d’une équation algébrique, on a, pour les équations différentielles linéaires, la notion de résolubilité par quadratures. On veut savoir si toutes les équations différentielles linéaires sont résolubles par quadratures, et, si non a-t-on un critère général nous permettant de différentier celles qui le sont de celles qui ne le sont pas?

Il est remarquable de constater là encore la similitude avec la théorie de Galois classique : comme nous allons le montrer, le résultat provient de la résolubilité (ou non) d’un sous-groupe du groupe de Galois.

Définition B.6.1 Soient K et M des corps différentiels. M est une extension de Liouville de K si il existe une tour de corps K = K_{0} ⊂ K_{1} ⊂ … ⊂ K_{n} = M telle que pour tout i on a K_{i} = K_{i−1}(u_{i}), avec :

(i) \frac{∂(u_{i})}{u_{i}} ∈ K_{i−1} (i.e u_{i} = e^{∫ a_{i}}pour un a_{i} ∈ K_{i−1}), ou (ii) ∂(u_{i}) ∈ K_{i−1} (i.e u_{i} = ∫ a_{i} pour un a_{i} ∈ K_{i−1}). Autrement dit, une extension de Liouville se construit par quadratures, et on a un critère pour que toute solution d’une équation différentielle donnée soit liouvillienne (i.e appartienne à une extension de Liouville). Théorème B.6.1. Soit M une extension de Picard-Vessiot de K ( corps différentiel de caractéristique 0 et de corps des constantes algébriquement clos) de groupe de Galois G(M/K). M est contenue dans une extension finie de K suivie d’une extension de Liouville si et seulement si la composante connexe de l’identité, G(M/K)^{0}, est un groupe résoluble. Notons que ce théorème ne nous donne pas d’algorithme nous permettant de savoir si une équation est ou non résoluble par quadratures. La démonstration de ce théorème est le but du reste de cette partie.

B.6.1 Étude des extensions de Liouville

Le lemme VI.1 est un lemme technique évident qui nous servira tout le temps dans la suite. Le lemme VI.2 étudie l’extension obtenue lorsqu’on ajoute une intégrale (cas(1) : u = ∫ a ), et le lemme VI.3 lorsqu’on ajoute l’ exponentielle d’une intégrale (cas(2) : u = e^{∫ a}). La proposition VI.2 donne un premier résultat dans un cas particulier sur le sens direct du théorème VI.1 . Lemme B.6.1. Soit K ⊂ L ⊂ M des corps différentiels. Supposons que L est une extension de Picard-Vessiot de K et que M a le même corps des constantes que K. Alors tout K-automorphisme différentiel de M envoie L sur lui-même. Lemme B.6.2. Soit (K,C) un corps différentiel de caractéristique 0 et u dans une extension de K, vérifiant ∂u = a ∈ K, où a n’est pas une dérivée dans K. Alors u est transcendant sur K, K <u> est une extension de Picard-Vessiot de K, et G(K <u> /K) est isomorphe au groupe additif C. Démonstration :

(i) Supposons u algébrique : soit u^{n} + bu^{n−1} + ... = 0 minimal. En dérivant on obtient : nau^{n−1} + ∂(b)u^{n−1} + ... = 0. Donc na + ∂b = 0, d’où a = ∂(−b/n) (on est en caractéristique 0) : contradiction.

(ii) Montrons qu’il n’y a pas de nouvelles constantes : b_{1}u^{n} + b_{2}u^{n−1} + ... est une constante entraîne ∂(b_{1})u^{n} + (nb_{1}a + ∂b_{2})u^{n−1} + ... = 0. Or u n’est pas algébrique donc ∂b_{1} = 0 et a = −(∂b_{2})/(nb_{1}) = −∂(b_{2}/nb_{1}): contradiction. Soit f(u)/g(u) une constante, où f/g est une fraction de K(X), g de degré minimum (parmi les f′/g′ tels que f′(u)/g′(u) = f(u)/g(u)), et g unitaire. D’après ci-dessus, f non constant entraîne g non constant. L’élément f(u)/g(u) est une contante, et donc égale à (∂f(u))/(∂g(u)), ce qui contredit la minimalité de g.

(iii) Soit L : ∂(y) − a = 0 et σ ∈ G(K < u > /K). Comme σu définit σ, et doit être solution de L, on a ∂(σu − u) = 0, donc σu = u + c avec c ∈ C. Réciproquement : soit c ∈ C, et σ le K-automorphisme (algébrique) de K <u> induit par u ↦ u + c.

On a :

∂∘σ(∑ λ_{i}u^{i}) = ∑(∂(λ_{i})(u + c)^{i} + iλ_{i}a(u + c)^{i−1})
= σ(∑ ∂(λ_{i})u^{i} + iλ_{i}au^{i−1})
= σ ∘ ∂(∑ λ_{i}u^{i}).

Donc σ ∈ G(K <u> /K). □ Lemme B.6.3. Soit (K,C) un corps différentiel et u dans une extension de K, vérifiant ∂u−au = 0, a ∈ K. Supposons que K <u> a le même corps des constantes que K. Alors K <u> est une extension de Picard-Vessiot de K, et G(K <u> /K) est isomorphe à un sous-groupe de C^{∗}. Démonstration : Si v est une solution de ∂y − ay = 0, ∂(v/u) = 0. Donc v = cu avec c ∈ C (ou, plus simplement, les (k_{i,j}) qui définissent σ sont dans GL_{1}(C) = C^{∗}). Le reste est immédiat. □ Théorème B.6.2. Soit M une extension de Liouville de K, sans nouvelles constantes. Alors G(M/K) est résoluble. Démonstration : Soit G = G(M/K), et K = K_{1} ⊂ K_{2} ⊂ ... ⊂ K_{n} = M la tour définissant l’extension de Liouville. Les lemmes VI.2 ou VI.3 donnent K_{2} extension de Picard-Vessiot de K. Donc par le lemme VI.1, tout élément de G envoie K_{2} sur lui-même. Si H_{2} = Ǩ_{2}, La proposition V.1(2) nous donne H_{2} ⊲ G et G/H_{2} ≃ G(K_{2}/K_{1}). Or par les lemmes VI.2 ou VI.3 G(K_{2}/K_{1}) est abélien, donc G/H_{2} aussi. Par une récurrence immédiate sur n, G est résoluble. □

B.6.2 Deux lemmes sur les groupes algébriques linéaires

Dans cette partie, C est un corps algébriquement clos. On étudie les propriétés des groupes algébriques linéaires connexes. Ces deux lemmes servent à la démonstration du théorème VI.2(de Lie-Kolchin). Lemme B.6.4. Dans un sous-groupe algébrique connexe de GL_{n}(C), tout élément qui n’est pas dans le centre a une classe de conjugaison infinie.

Démonstration : Soit G un tel sous-groupe, et x ∈ G ayant une classe de conjugaison finie. Posons φ : G → {axa^{−1} / a ∈ G} = ⨆_{i=1}^{n}{y_{i}}, avec φ(a) = axa^{−1}. Les φ^{−1}(y_{i}) forment une partition de G. De plus φ^{−1}(y_{i}) fermé (image reciproque d’un fermé par φ continue) ouvert (complémentaire d’une union finie de fermés) dans G connexe. Donc x ∈ Z(G). □

Lemme B.6.5. Si G est un sous-groupe algébrique connexe de GL_{n}(C), alors le groupe dérivé D(G) est connexe.

Démonstration : Notons D_{k} les produits de k commutateurs, on a alors D_{k} ⊂ D_{k+1} et D(G) = ⋃_{k} D_{k}. Il suffit donc de montrer D_{k} connexe. Supposons D_{k−1} connexe.

Pour a_{2},..,a_{k},b_{1},..,b_{k} fixés, l’application φ : α ↦ α^{−1}b_{1}^{−1}αb_{1}a_{2}^{−1}b_{2}^{−1}a_{2}b_{2}...a_{k}^{−1}b_{k}^{−1}a_{k}b_{k} est continue. La réunion des images de G par φ lorsque les a_{i} et les b_{i} parcourent G est égale à D_{k}, et φ(G) est connexe. Or φ(G) ∩ D_{k−1} ≠ ∅ (car φ(b_{1}) ∈ D_{k−1}) et D_{k−1} est connexe donc D_{k} l’est aussi □

B.6.3 Trigonalisation simultanée d’automorphismes

Le théorème VI.2 est un résultat fondamental pour la théorie des extensions de Picard-Vessiot et de Liouville. La proposition VI.3, que l’on peut démontrer directement, le relie au corps de la théorie. Théorème B.6.3. (de Lie-Kolchin) Soit G un sous-groupe algébrique résoluble de GL_{n}(C), où C est un corps algébriquement clos. Si G est connexe (pour la topologie de Zariski), les éléments de G peuvent être trigonalisés simultanément. Démonstration : On décompose cette (longue) démonstration en 6 étapes.

(i) Supposons que G (muni de sa représentation canonique) n’est pas irréductible : il existe W sous-espace vectoriel, de dimension p, de C^{n} stable par G. On prend une base de W que l’on complète en une base de C^{n}:

A = ( \begin{matrix}B & ∗ \\ 0 & B′ \end{matrix} ) ∀A ∈ G

Montrons que l’application φ : A ↦ B est continue (la topologie utilisée est toujours la topologie de Zariski). Soit P_{k,l}(X_{i,j}) = X_{k,l} ∈ C[(X_{i,j})], pour 1 ≤ k,l ≤ p; et F = ⋂_{f∈S} f^{−1}(0) un fermé de GL(W). Alors

φ^{−1}(F) = {(x_{i,j}) / (P_{k,l}((x_{i,j})_{i,j})_{k,l}) ∈ F }
= {(x_{i,j}) / ∀f ∈ S f((P_{k,l}((x_{i,j})_{i,j}))_{k,l}) = 0} .

Or f((P_{k,l}((x_{i,j})_{i,j}))_{k,l}) ∈ C[(X_{i,j})], donc φ^{−1}(F) fermé de GL_{n}(C). Donc φ est continue, ce qui entraîne {B / A ∈ G} est connexe. Par récurrence, on peut donc se ramener à une forme triangulaire bloc, où les blocs sont irréductibles.

(ii) On suppose désormais G irréductible. D(G) est connexe car G est connexe par le lemme VI.5. Par récurrence sur la longueur de la tour de décomposition (G est résoluble), on peut supposer D(G) sous forme triangulaire.

(iii) Soit W le sous-espace vectoriel de C^{n} engendré par les vecteurs propres de D(G). W ≠ 0 car D(G) triangulaire. Soit α ∈ W, on a ∀T ∈ D(G) T (α) = c(T)α, d’où

(∀S ∈ G)(∀T ∈ D(G)) S^{−1}T S(α) = c(S^{−1}T S)α

car D(G) ⊲ G. Donc ∀T ∈ D(G) T (S(α)) = c(S^{−1}T S)S(α). Donc pour tout S ∈ G S(α) ∈ W, ce qui entraîne que W est stable par G. G irréductible impose alors W = C^{n}. D(G) est donc diagonal.

(iv) Tout élément de D(G) est donc une matrice diagonale. Ses conjugués dans G, étant dans D(G), sont donc diagonaux. Les seuls conjugués possibles sont alors ceux obtenus en permutant les racines du polynôme caractéristique sur la diagonale. Donc chaque élément de D(G) a une classe de conjugaison finie dans G. Par le lemme VI.4, D(G) ⊂ Z(G).

(v) Soit T ∈ D(G), c une racine de son polynôme caractéristique, et W le sous-espace propre associé. Comme T commute à tout élément de G, W est invariant par G. Donc W = C^{n}, ce qui entraîne D(G) ⊂ {λId / λ ∈ C^{∗}}.

(vi) Les commutateurs ont tous leur déterminant égal à 1, donc D(G) est inclus dans {λId / λ ∈ μ_{n}(C)}. Or μ_{n}(C) est fini, donc D(G) est fini. Or par le lemme VI.5, D(G) est connexe, donc D(G) = 1. D’où G est commutatif, et dans le cas commutatif, on connaît déjà le résultat. □

Théorème B.6.4. Soit M une extension différentielle de K telle que ˇ Ǩ = K.Supposons que u_{1},...,u_{n} ∈ M vérifient: ∀σ ∈ G(M/K) σu_{i} = a_{i,i}u_{i} + ... + a_{i,n}u_{n} (∗)(i = 1..n) (c’est à dire (u_{i})_{i} base de trigonalisation de G) avec a_{ij} ∈ C_{M}. Alors K < u_{1},...,u_{n} > est une extension de Liouville de K.

Démonstration : On peut supposer u_{n} non nul.L’équation (*) pour i=n donne σu_{n} = a_{n,n}u_{n}, donc ∂(u_{n})/u_{n} est invariant sous σ (c’est à dire ∈ ˇ Ǩ). Donc ∂(u_{n})/u_{n} ∈ K: l’ajout de u_{n} à K est du type exp ∫ a. En divisant (*) pour i=1...n-1 par σu_{n} et en dérivant, on obtient :

σ(∂(\frac{u_{i}}{u_{n}} )) = \frac{a_{i,i}}{a_{n,n}} ∂(\frac{u_{i}}{u_{n}} ) + ... + \frac{a_{i,n−1}}{a_{n,n}} ∂(\frac{u_{i}}{u_{n}} ).

D’où, par récurrence sur n, on peut ajouter les ∂(\frac{u_{i}}{u_{n}} ) puis les u_{i}/u_{n} qui sont alors des intégrales. Donc K <u_{1},...,u_{n} > est une extension de Liouville. □

B.6.4 Démonstration du théorème VI.1

Désormais le corps différentiel K est de caractéristique 0 et de corps des constantes algébrique-ment clos. Nous allons maintenant démontrer le théorème principal (VI.1). Le sens (inclu dans une extension de Liouville ⟹ G^{0} résoluble) ne nécessite que 2 lemmes, dont un lemme (le VI.7) sur la structure des groupes algébriques linéaires. Lemme B.6.6. Soit M une extension de Picard-Vessiot de K, et N = M < z > une extension de M sans nouvelles constantes. Posons L = K <z >. Alors N est une extension de Picard-Vessiot de L et G(N/L) ≃ Ľ ∩ M est un sous-groupe algébrique de G(M/K).

Démonstration : Si M = K < u_{1}, …,u_{n} >, alors N est engendrée par les u_{i} sur L, et n’a pas de nouvelles constantes. Donc N est une extension de Picard-Vessiot de L. Le lemme VI.1 montre que tout K-automorphisme différentiel de N envoie M sur lui-même. D’où un homomorphisme de G(N/L) dans G(M/K) (la restriction). Si σ est un élément du noyau, σ laisse fixe M et L, donc aussi le corps engendré par M ∪ L, c’est à dire N, d’où l’injectivité. Soit H l’image, H est algébrique par le théorème III.1 . De plus H laisse fixe L ∩ M exactement, par le théorème V.1. Donc H = Ľ ∩ M. □

Lemme B.6.7. Soit G un sous-groupe de GL_{n}(C), H un sous-groupe fermé de G. Supposons que ou bien (1) H est d’indice fini dans G, ou bien (2) H ⊲ G et G/H abélien. Si la composante connexe de l’identité dans H, H^{0}, est résoluble, Alors G^{0} est résoluble. Démonstration :

(i) Montrons que G^{0} est un sous-groupe d’indice fini dans G: (G^{0})^{−1} ⊂ G^{0} et, si g ∈ G^{0}, gG^{0} ⊂ G^{0} par connexité (intersection non vide). Donc G^{0} est un sous-groupe de G. Par le corollaire III.1, G est réunion d’un nombre fini n de composantes connexes G_{i} (qui sont donc ouvertes et fermées). Soit (x_{i})_{i=1..n} une suite d’éléments de G, chacun dans une composante connexe. On a alors G = ⋃_{i=1}^{n} x_{i}G^{0}, car x_{i}^{−1}G_{i} ouvert fermé dans le connexe G^{0}. Donc G^{0} est d’indice fini. Montrons que H^{0} = G^{0} : ⨆_{x∈G/H} x = G donc G^{0} = ⨆_{x∈G/H}(x ∩ G^{0}) avec H^{0} = G^{0} ∩ H. Donc, G/H étant fini, H^{0} est fermé (car H l’est) ouvert (complémentaire d’une union finie de fermés) dans G^{0} connexe.

(ii) G/H abélien entraîne D(G) ⊂ H. Or G^{0} ⊂ G, donc D(G^{0}) ⊂ H. Par le lemme

VI.4, D(G^{0}) est connexe. Donc D(G^{0}) ⊂ H^{0}, ce qui entraîne G^{0} résoluble. □ Théorème B.6.5. Soit M une extension de Picard-Vessiot de K. Supposons M ⊂ N, où N est une extension de Liouville généralisée (suite d’extensions de types (1), (2), ou algébriques finies) de K, sans nouvelles constantes. Alors G(M/K)^{0} est résoluble.

Démonstration : On procède par récurrence sur le nombre d’étapes dans la chaîne de K à N. Soit K <u> la première étape. Alors par hypothèse de récurrence G(M <u> /K < u >)^{0} est résoluble. Par le lemme VI.6, ce groupe est isomorphe au sous-groupe H de G correspondant à K <u> ∩M. Supposons u algébrique sur K. Alors par le théorème de Dédekind, on sait que Card(hom_{K−alg}(K<u> ,K<u>)) ≤ [K<u>: K]. Or

G(K <u> /K) = Gal_{∂}(K<u> /K)

est inclus dans hom_{K−alg}(K < u > ,K < u >)), donc Card(G(K <u> /K)) est fini. Par le théorème V.1.(2) (L = M ∩ K <u>) G/H ⊂ G(L/K). Donc H est d’indice fini. Supposons u de la forme (1) ou (2). Par le lemme VI.2 ou VI.3, K < u > est une extension de Picard-Vessiot de K avec un groupe de Galois commutatif. Donc tous les sous-corps différentiels sont normaux sur K. En particulier, M ∩ K < u > est normal, et G(M ∩ K < u >) est abélien. Dans les deux cas, le lemme VI.7 permet de conclure. □

La réciproque utilise tous les résultats démontrés aux paragraphes précédents du VI. Théorème B.6.6. Soit M une extension de Picard-Vessiot de K. Supposons que G(M/K)^{0} est résoluble. Alors M peut être obtenue par une extension finie suivie d’une extension de Liouville.

Démonstration : Soit H = G(M/K)^{0}, H est d’indice fini dans G par le 1 de la démonstration du lemme VI.7, et L = Ȟ le corps intermédiaire associé. L est alors une extension finie, et H = Ľ = ˇ Ȟ. Le fait que M est une extension de Liouville de L vient de l’enchaînement du théorème VI.2 et de la proposition VI.2. □

B.6.5 Application à l’équation de Riccati

(K,C) est un corps différentiel de caractéristique 0, et C est algébriquement clos. Pour a ∈ K fixé, on étudiera l’équation de Riccati ∂t = t^{2} + a, à partir de l’équation ∂^{2}(y) + ay = 0 (1). On notera M l’extension de Picard-Vessiot associée à (1). Par la Correspondance de Galois (théorème V.2), étudier les sous K-extensions de M revient à étudier la structure de G(M/K). Donc, pour démontrer la proposition VI.5, but de ce paragraphe, nous allons auparavant obtenir un résultat sur les sous-groupes algébriques de SL_{2}(C). Lemme B.6.8. Soit G un sous-groupe de SL_{2} (C). Si G est algébrique et G^{0} est résoluble, ou bien G est fini, ou bien G^{0} est diagonalisable et [G:G^{0}]≤ 2, ou bien G est trigonalisable.

Démonstration : Si G^{0} est diagonalisable, ses éléments sont des matrices diagonales ayant pour coefficients a et a^{−1}. G^{0} est fermé donc algébrique, donc G^{0} verifie des équations polynômiales P_{i}. a est alors dans l’intersection des racines des P_{i}, qui est finie si les P_{i} sont non tous nuls. Si G^{0} est fini, G est fini car [G:G^{0}] fini (demonstration du lemme VI.7(1)). Sinon, G^{0} est l’ensemble des matrices diagonales de SL_{2}(C). Par un calcul identique à celui du théorème VI.2(3), les vecteurs propres de G^{0} sont stables par G (G^{0} ⊲ G). Donc tout élément de G permute les vecteurs de la base ou les laissent fixes : [G:G^{0}]≤ 2. Si G^{0} n’est pas diagonalisable, G^{0} est trigonalisable (théorème VI.2), donc G^{0} a un unique sous-espace propre. Il est donc invariant par G. Donc G est trigonalisable. □

Théorème B.6.7. Soit M l’extension de Picard-Vessiot de K pour l’équation ∂^{2}(y)+ay = 0 (1). Supposons que M est une extension finie de K suivi d’une extension de Liouville , mais n’est pas de dimention finie sur K. Alors l’équation ∂t = t^{2} + a a une solution dans une extension quadratique de K

Démonstration : Le wronskien correspondant à l’équation (1) verifie ∂W = 0, donc

W ∈ C_{M} = C ⊂ K.

De plus, pour tout σ ∈ G(M/K), σW = det(σ)W (voir la démonstration du lemme III.4.(2)). Donc σ ∈ Ǩ<W > (= Ǩ ici) si et seulement si σ ∈ SL_{2}(C). Donc G = G(M/K) est un sous-groupe de SL_{2}(C). De plus, G^{0} est resoluble par le théorème VI.1 [M : K] est infini donc G fini est exclu. Dans les deux autres cas du lemme précédent, il existe une extension quadratique L de K telle que Ľ soit trigonalisable. Donc il existe une solution u non nulle de (1) telle que : ∀σ ∈ Ľσ(u) = c_{σ}u, où c_{σ} ∈ C. Donc \frac{∂u}{u} appartient à L, car M est normale sur L. Posons t = −\frac{∂u}{u}, t vérifie alors l’équation de Riccati. D’où le théorème. □

Il existe une généralisation de la théorie que nous avons présentée aux équations aux dérivées partielles. Celle-ci est développée dans [Pom83], les groupes algébriques linéaires étant remplacés par des ”semi-groupes de Lie”, mais ceci n’est plus du tout élémentaire.

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