THÈSE DE DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ PARIS 6

Spécialité :

MATHÉMATIQUES

présentée par :

M. NICOLAS RATAZZI

pour obtenir le grade de docteur de l’Université Paris 6

Sujet :

Minoration de la hauteur de Néron-Tate pour les points et les sous-variétés : variations sur le problème de Lehmer

Soutenue le 25 mai 2004 devant le jury composé de :

M. Francesco AMOROSO (Caen)
M. Daniel BERTRAND (Paris 6)
M. Jean-Benoît BOST  (Paris 11, Orsay)
M. Carlo GASBARRI  (Rome 2)  Rapporteur
M. Marc HINDRY  (Paris 7)  Directeur
M. Michel LAURENT  (CNRS, Marseille) Rapporteur

2

Remerciements

Je tiens avant tout à remercier mon directeur de thèse Marc Hindry. Il a pleinement répondu à mes attentes d’encadrement et d’autonomie. Il a notamment toujours manifesté son intérêt pour mes recherches, même si celles-ci ne correspondent pas exactement au sujet qu’il m’avait proposé. Par ailleurs, il a fait preuve d’une disponibilité tout à fait remarquable, ayant toujours un moment à me consacrer lorsque j’en ressentais le besoin. C’est toujours avec beaucoup de gentillesse et une grande clarté qu’il a répondu à mes questions.

Je suis très heureux que Carlo Gasbarri et Michel Laurent aient accepté de rapporter ma thèse, tâche ingrate qu’ils ont néanmoins effectuée avec diligence. Je suis honoré qu’ils aient tous deux accepté de faire le déplacement à Paris pour assister à ma soutenance. Je souhaite également exprimer ma reconnaissance à Francesco Amoroso, Daniel Bertrand et Jean-Benoît Bost pour avoir accepté de faire partie de mon jury de thèse.

Je tiens ici à indiquer ma gratitude envers Sinnou David. C’est son cours de DEA de l’année scolaire 2000/2001 sur la géométrie diophantienne (et entre autres choses sur le problème de Lehmer sur 𝔾_{m}^{n}) qui, avec le livre de Marc Hindry et Joseph Silverman sur le même sujet, m’a définitivement donné envie de faire ma thèse dans ce domaine. Par ailleurs, il a toujours accepté de répondre chaleureusement à mes questions et c’est lui qui m’a encouragé à écrire l’article correspondant au chapitre 3 de cette thèse.

Bien que je n’aie pas encore réussi à exploiter ses idées, je voudrais également remercier Jean-Benoît Bost pour le temps qu’il a accepté de me consacrer, essayant de me faire comprendre sa vision des choses concernant les liens que pourraient avoir le théorème de l’indice de Hodge arithmétique avec les problèmes d’approximations diophantiennes.

C’est à l’occasion d’un exposé à Grenoble et d’une discussion avec Gaël Rémond que j’ai eu l’idée (et compris l’intérêt) d’écrire l’article correspondant au chapitre 5 de cette thèse. Par la suite Gaël Rémond a toujours répondu avec précision à mes différentes questions concernant ses travaux. Je tiens à le remercier ici.

Pascal Autissier a également toujours accepté de répondre à mes questions sur la theorie d’Arakelov. Par ailleurs je suis très heureux des récentes discussions stimulantes que nous avons pu avoir concernant les problèmes de Lehmer.

C’est au magistère de l’École Normale Supérieure de Paris que j’ai réellement commencé à prendre goût pour la recherche. C’est également là que j’ai rencontré certains de mes meilleurs amis, Philippe Gravejat, Julien Marché, Benoit Daniel, Sébastien Gouezel, Alexis Devulder, Denis Conduché, Laurent Mazet et Thomas Bourdel. Je souhaite les saluer ici, notamment pour les moments de détente (non mathématiques !) que nous avons pu passer ensemble. Un petit clin d’oeil également à Tanguy Rivoal pour les discussions diverses que nous avons eues et pour m’avoir introduit dans l’antre de l’Arbre Sec. Par ailleurs, je regretterai l’ambiance très détendue du plateau des doctorants 7C de Chevaleret.

Je tiens ici à remercier du fond du coeur ma mère, mon père et mon beau-père pour la confiance qu’ils ont toujours placée en moi. Je voudrais enfin remercier ma compagne Sandrine, à qui je dédie cette thèse, pour son soutien constant, surtout dans les moments les plus durs.

Table des matières

I Problème de Lehmer sur les variétés 21

1 Degré géométrique, degré arithmétique et hauteur 23

1.1 Degré géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.1.1 Théorie de l’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Cycles et équivalence rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.1.2 Degré d’un cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2 Degré arithmétique sur Spec O_{K} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2.1 Degré arithmétique : définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Exemples de métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Degré arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.2.2 Degré arithmétique : propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Propriétés classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Inégalité des pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.3 Hauteur sur les points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.3.1 Hauteur sur ℙ^{n}(\overline{ℚ}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.3.2 Hauteur de Néron-Tate sur les variétés abéliennes . . . . . . . . . . 35

1.4 Hauteur sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.4.1 Définition à la Bost-Gillet-Soulé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.4.2 Hauteur de Faltings d’une variété abélienne . . . . . . . . . . . . . 39 1.4.3 Hauteur de Néron-Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.4.4 Définition à la Philippon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.5 Résultats et conjecture sur la hauteur canonique . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.5.1 Résultats de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.5.2 Résultats principaux et conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Densité de points et minoration de hauteur 45

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.1 Degré et hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.1.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2 La proposition clé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3 Un lemme de majoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4 Preuve du théorème 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.5 Preuve du corollaire 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.6 Preuve du corollaire 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3 Problème de Lehmer pour les hypersurfaces de variétés abéliennes de type C.M. 61 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1.1 Degré et hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2 Frobenius, isogénies admissibles et dérivations . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2.1 Morphismes de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2.2 Isogénies admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3 Données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3.1 Situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3.2 Choix des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4 Lemme de Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.5 Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

II Problème de Lehmer sur les points 79

4 Problème de Lehmer sur 𝔾_{m} et méthode des pentes 81 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2 Notations et préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2.2 Un morphisme pour l’inégalité des pentes . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3 “Lemme de zéros” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.4 Inégalité des pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.4.1 La filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.4.2 L’inégalité des pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.4.3 Évaluation de rg(E_{k}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.4.4 Calcul des degrés et des pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.4.5 Calcul des || φ_{k} ||_{p} : l’extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Calcul des || φ_{k} ||_{l}, l premier quelconque . . . . . . . . . . . . . . . 87 Raffinement pour l = p_{k} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.5 Calcul d’un bon majorant de || ⋀^{max} φ̃_{k} ||_{ℂ} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.5.1 Une petite réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.5.2 Preuve de la proposition 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Majorant de || ⋀ Ch_{D} || . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Majorant || ⋀ Lag_{D} || . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Majorant de || ⋀ Eval || . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5 Théorème de Dobrowolski-Laurent pour les extensions abéliennes sur une

courbe elliptique à multiplication complexe 99 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.2 Hauteur et multiplication complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.2.1 Hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.2.2 Hauteur de Néron-Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.2.3 Multiplication complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.3 Réductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.4 Lemmes d’extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.4.1 Lemme ramifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.4.2 Lemme non-ramifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.5 Lemme de Siegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.6 Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.7.1 Le cas du théorème 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.7.2 Le cas du théorème 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.8 Application du théorème 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6 Deux remarques concernant le problème de Lehmer sur les variétés abéliennes 127 6.1 Sur la conjecture de Lehmer sur les variétés abéliennes . . . . . . . . . . . 127 6.2 Sur la conjecture de Lehmer multihomogène sur les variétés abéliennes . . 130 8

Keywords : elliptic curves, abelian varieties, normalised height, Lehmer problem, slopes inequality 2000 Mathematics Subject Classification : 11G50, 14G40, 14K22 Adresse électronique : ratazzi@math.jussieu.fr

Introduction

Soit G le groupe multiplicatif 𝔾_{m}^{n} défini sur K = ℚ ou une variété abélienne A/K définie sur un corps de nombres K. Si G est une variété abélienne, on la considère donnée avec un fibré en droites ample et symétrique L. On peut construire sur les points de G(\overline{ℚ}) une hauteur particulièrement agréable : la hauteur de Néron-Tate ĥ_{L}. Si P ∈ G(\overline{ℚ}) et r un entier, cette hauteur vérifie

ĥ_{L}(rP) = \{ \begin{matrix}r^{2}ĥ_{L}(P) & si G est une variété abélienne, \\ rĥ_{L}(P) & si G = 𝔾_{m}^{n}. \end{matrix}

Dans le cas où G = 𝔾_{m} il s’agit de la hauteur de Weil (logarithmique absolue) usuelle h. De manière générale cette hauteur est toujours positive et s’annule précisément sur les points de torsion de G(\overline{ℚ}). On peut facilement voir que le minorant de la hauteur des points qui ne sont pas de torsion doit dépendre du degré D du corps de définition du point dont on minore la hauteur. On va donc avoir une minoration de la forme ĥ_{L}(P) ≥ \frac{c(G)}{ψ(D)} où D = [K(P) : K] et ψ est une fonction croissante. Si l’on ne considère que des points P ∈ G(K) (autrement dit en considérant ψ(D) comme une constante) et que l’on s’intéresse à la variation de G dans cette minoration, les conjectures de Lang et Silverman nous indiquent que l’on peut prendre c(G) de la forme c_{1}(dim G) max{h_{Falt}(G/K), 1} où h_{Falt} est la hauteur de Faltings de la variété. Le problème de Lehmer quant à lui consiste à fixer G/K (autrement dit à considérer c(G) comme une constante) et à trouver la fonction ψ optimale. C’est à ce dernier problème que l’on s’intéresse dans toute la suite. On peut également s’intéresser à une généralisation naturelle de ce problème qui consiste à minorer non pas la hauteur d’un point, mais la hauteur d’une sous-variété (non de torsion) de G, en fonction cette fois-ci du degré géométrique de la variété considérée. Un autre type d’extension consiste à obtenir une minoration de la hauteur des points en fonction de [K^{ab}(P) : K^{ab}], où K^{ab} est la clôture abélienne de K, c’est-à-dire ne dépendant que de la partie non-abélienne du degré [K(P) : K]. Enfin on pourrait, cela reste à faire, englober tous ces résultats dans une généralisation globale où l’on minorerait la hauteur des sous-variétés par un invariant du type degré géométrique, généralisant dans le cas des points le degré [K^{ab}(P) : K^{ab}].

Ces problèmes de Lehmer ont au moins deux types d’applications : le problème classique peut servir, en conjonction avec une bonne compréhension des points de torsion de G(\overline{ℚ}), à déterminer si des points P_{1}, …, P_{m} de G(\overline{ℚ}) sont ou non linéairement indépendants. On trouvera une discussion de ce sujet dans l’article [34] de Masser. L’autre application possible est une utilisation du résultat concernant le problème de Lehmer en dimension supérieure et avec le degré non-abélien (au moins dans le cas des variété abéliennes). Il s’agit des problèmes où l’on cherche à montrer que le cardinal de l’intersection d’une courbe avec l’ensemble des sous-groupes algébriques de codimension donnée de G est fini ou au moins de hauteur bornée. Les preuves des résultats de ce type nécessitent de bonnes minorations de la hauteur sur G. Nous renvoyons à l’article [14] de Bombieri, Masser et Zannier dans le cas où G = 𝔾_{m}^{n} et à l’article [45] de Rémond dans le cas où G est une variété abélienne.

L’ensemble de cette thèse concerne le problème de Lehmer et ses différents avatars. Nous nous proposons d’améliorer et d’étendre un certain nombre de résultats que nous allons maintenant rappeler.

Soient x un nombre algébrique et h(x) sa hauteur logarithmique absolue. Le problème classique de Lehmer est le suivant :

Conjecture 1 (Problème de Lehmer) Il existe une constante c > 0 telle que pour tout nombre algébrique qui n’est pas une racine de l’unité, on a

h(x) ≥ \frac{c}{[ℚ(x) : ℚ]}.

En fait dans son article [32] de 1933, Lehmer ne formule pas une conjecture mais pose juste une question. Il pose même plus exactement la question inverse et il ajoute “whether this is true or not, I do not know”.

La conjecture est trivialement vraie si on se restreint au sous-ensemble des nombres algébriques qui ne sont pas des entiers algébriques. Dans ce cas on peut même prendre c = log 2. En 1971 Smyth [52] montre que la conjecture formulée précédemment est vraie pour le sousensemble de \overline{ℚ} constitué des nombres non-réciproques^{1}. C’est à ce moment-là qu’apparaît la version indiquée de la conjecture de Lehmer. En 1979 Dobrowolski [23] obtient, au choix de la constante c près, le meilleur résultat général en direction de la conjecture connu à ce jour. Si x est un nombre algébrique, on note D = deg(x) = [ℚ(x) : ℚ].

Théorème 1 (Dobrowolski) Il existe une constante c > 0 telle que pour tout nombre algébrique qui n’est pas une racine de l’unité, on a

h(x) ≥ \frac{c}{D} (\frac{log log 3D}{log 2D})^{3} .

Dans son article, Dobrowolski montre même que l’on peut prendre c = \frac{1}{1200}. Depuis, Voutier [58] a montré que dans l’énoncé précédent, le choix c = \frac{1}{4} convient déja.

1les nombres réciproques étant les nombres racines d’un polynôme P vérifiant P (X) = X^{deg P} P (\frac{1}{X}).

La preuve de Dobrowolski est une preuve typique de transcendance. On suppose par l’absurde le résultat faux, ce qui nous donne un x de grand degré D et de petite hauteur. On construit alors, en utilisant un lemme de Siegel, un polynôme P à coefficients entiers qui s’annule avec un grand ordre en x. L’idée nouvelle de Dobrowolski consiste à faire une extrapolation aux places ultramétriques : en utilisant le petit théorème de Fermat, on montre que le polynôme P s’annule modulo p premier en x^{p}. Utilisant l’hypothèse de petite hauteur sur x et l’inégalité de Liouville (ou la formule du produit) on montre alors que P s’annule en un grand nombre de x^{p} (tout ceci étant convenablement quantifié en fonction de D). Un lemme de zéros (trivial dans ce cas : il suffit de compter les zéros du polynôme et de comparer à son degré) permet alors de conclure.

Depuis, l’énoncé et la preuve de Dobrowolski ont fait l’objet d’extensions diverses : cas des courbes elliptiques, problème en dimension supérieure et raffinement du problème en utilisant la partie non-abélienne de D. Nous allons maintenant faire un tour d’horizon de ces diverses extensions.

Cas des courbes elliptiques

En 1981, Laurent [31] étend la conjecture de Lehmer aux courbes elliptiques et étend la preuve ainsi que le résultat de Dobrowolski au cas des courbes elliptiques à multiplication complexe. On note ĥ(·) la hauteur de Néron-Tate sur la courbe elliptique E(\overline{K}).

Conjecture 2 (Problème de Lehmer elliptique) Soit E/K une courbe elliptique sur un corps de nombres K. Il existe une constante strictement positive c(E/K) telle que pour tout point P ∈ E(\overline{K})\E_{tors}, on a

ĥ(P) ≥ \frac{c(E/K)}{[K(P) : K]}.

Théorème 2 (Laurent) Soit E/K une courbe elliptique à multiplication complexe sur un corps de nombres K. Il existe une constante strictement positive c(E/K) telle que pour tout point P ∈ E(\overline{K})\E_{tors} de degré D = [K(P) : K], on a

ĥ(P) ≥ \frac{c(E/K)}{D} (\frac{log log 3D}{log 2D})^{3} .

Généralisation en dimension supérieure

En 1999-2000, David et Hindry [19] puis Amoroso et David [2] généralisent ces résultats en dimension supérieure : sur les variétés abéliennes pour David et Hindry et sur 𝔾_{m}^{n} pour Amoroso et David. Sur 𝔾_{m}^{n} on choisit une compactification, par exemple ℙ^{n} ou (ℙ^{1})^{n}, et on se donne un fibré en droites ample L sur cette compactification. Sur une variété abélienne A/K on se donne un fibré en droites ample et symétrique L. Ceci permet de définir un degré deg_{L}. On renvoie au chapitre 1 pour une définition précise de ce degré. Dans la suite quand on utilisera le degré sur 𝔾_{m}^{n}, il sera toujours sous-entendu qu’on prend celui-ci dans une compactification donnée et pour un fibré ample fixé, par exemple O(1) sur ℙ^{n}. Les auteurs de [19] et [2] utilisent en fait un invariant plus naturel pour le problème de Lehmer en dimension supérieure que le degré : l’indice d’obstruction

δ_{L}(x) = min \{deg_{L} V ^{\frac{1}{codimV}} / V sous-variété sur K, K-irréductible de G et x ∈ V (\overline{K})\}

où G est la variété abélienne A/K ou le tore 𝔾_{m}^{n} selon le cas.

Remarque 1 En prenant V = \overline{\{x\}} l’adhérence schématique de x dans G (i.e., en considérant toute l’orbite de x sous l’action du groupe de Galois Gal(\overline{K}/K)), on voit que

1 ≤ δ_{L}(x) ≤ [K(x) : K]^{\frac{1}{dim G}} .

Conjecture 3 (Problème de Lehmer en dimension supérieure) Il existe une constante c(n) > 0 telle que pour tout point P ∈ 𝔾_{m}^{n}(\overline{ℚ}) à coordonnées multiplicativement indépendantes, on a

ĥ_{L}(P) ≥ \frac{c(n)}{δ_{L}(P)}.

Théorème 3 (Amoroso-David) Il existe une constante c(n) > 0 telle que pour tout point P ∈ 𝔾_{m}^{n}(\overline{ℚ}) à coordonnées multiplicativement indépendantes, on a

ĥ_{L}(P) ≥ \frac{c(n)}{δ_{L}(P)} (log 2δ_{L}(P))^{−κ(n)} ,

où κ(n) = (n + 1)((n + 1)!)^{n} − n.

Dans le cas abélien, en notant ĥ_{L}(·) la hauteur de Néron-Tate associée à un fibré en droites symétrique ample L, on a

Conjecture 4 (Problème de Lehmer abélien) Soient A/K une variété abélienne de dimension g sur un corps de nombres et L un fibré en droites ample et symétrique sur A. Il existe une constante c(A/K, L) strictement positive telle que pour tout point P ∈ A(\overline{K}) d’ordre infini modulo toute sous-variété abélienne stricte de A, on a

ĥ_{L}(P) ≥ \frac{c(A/K, L)}{δ_{L}(P)}.  (1)

De plus, en terme du degré D = [K(P) : K], on a pour tout point P ∈ A(\overline{K}) qui n’est pas de torsion

ĥ_{L}(P) ≥ \frac{c(A/K, L)}{D^{\frac{1}{g_{0}}}},  (2)

où g_{0} est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique contenant le point P.

Dans la direction de cette conjecture, David et Hindry obtiennent le

Théorème 4 (David-Hindry) Soient A/K une variété abélienne de dimension g, de type C.M. sur un corps de nombres et L un fibré en droites ample et symétrique. Il existe une constante c(A/K, L) > 0 telle que pour tout point P ∈ A(\overline{K}) d’ordre infini modulo toute sous-variété abélienne, on a

ĥ_{L}(P) ≥ \frac{c(A/K, L)}{D^{\frac{1}{g}}} (log 2D)^{−κ(g)} ,

où D = [K(P) : K] et κ(g) = (2g(g + 1)!)^{g+2}.

En fait ils remarquent que leur preuve donne même le théorème où l’on remplace D^{\frac{1}{g}} par δ_{L}(P) et log 2D par log 2δ_{L}(P), résultat plus proche de la partie (1) de leur conjecture.

Problème de Lehmer pour les sous-variétés

Une généralisation naturelle des énoncés précédents est la suivante : minorer la hauteur des sous-variétés non de torsion de G (G = A ou G = 𝔾_{m}^{n}). Dans les cas multiplicatif et abélien, David et Philippon ont formulé les conjectures généralisant au cas des sous-variétés les énoncés du type Lehmer. Nous donnons ici des énoncés faisant intervenir le degré plutôt que l’indice d’obstruction. Ces énoncés sont probablement plus intuitifs, par contre ils ne généralisent que la partie (2) des énoncés précédents. On pourrait également formuler des conjectures généralisant la partie des énoncés précédents utilisant l’indice d’obstruction d’une sous-variété.

Conjecture 5 (David-Philippon) Soit n un entier non nul. Il existe une constante c(n) > 0 telle que pour toute sous-variété V stricte de 𝔾_{m}^{n}, ℚ-irréductible et telle que V\overline{ℚ} n’est pas réunion de sous-variétés de torsion, on a l’inégalité

\frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L} V} ≥ c(n)(deg_{L} V)^{− \frac{1}{s−dimV}} ,

où s est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique contenant V.

Conjecture 6 (David-Philippon) Soient A/K une variété abélienne sur un corps de nombres K et L un fibré en droites ample et symétrique. Il existe une constante strictement positive c(A/K, L) telle que pour toute sous-variété V stricte de A sur K, K-irréductible et telle que V\overline{K} n’est pas réunion de sous-variétés de torsion, on a l’inégalité

\frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L}(V)} ≥ c(A/K, L) deg_{L}(V)^{− \frac{1}{s−dimV}} ,

où s est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique contenant V.

Dans le cas multiplicatif, Amoroso et David montrent (sans toutefois l’écrire explicitement) dans [4] que la conjecture 3 entraîne la conjecture 5 et, en utilisant leur résultat de Lehmer en dimension supérieure, il obtiennent en direction de la conjecture 5 le résultat suivant :

Théorème 5 (Amoroso-David) Soit n un entier non nul. Il existe une constante strictement positive c(n) telle que pour toute sous-variété V stricte de 𝔾_{m}^{n}, ℚ-irréductible et telle que V\overline{ℚ} n’est pas réunion de sous-variétés de torsion, on a l’inégalité

\frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L} V} ≥ c(n)(deg_{L} V)^{− \frac{1}{s−dimV}} (log 2 deg_{L} V)^{−κ(n)} ,

où κ(n) = (n + 1)((n + 1)!)^{n} − n et s est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique contenant V.

Raffinement en dimension 1

Dans les articles [5] et [6], Amoroso et Dvornicich puis Amoroso et Zannier étendent le problème de Lehmer sur 𝔾_{m} au cas des extensions abéliennes relatives. Précisément, en notant K^{ab} la clôture abélienne d’un corps de nombres K, ils énoncent la conjecture et démontrent le théorème suivant :

Conjecture 7 (Amoroso-Zannier) Soit K un corps de nombres. Il existe une constante strictement positive c(K), telle que

∀x ∈ 𝔾_{m}(\overline{K})\μ_{∞}, h(x) ≥ \frac{c(K)}{D},

où D = [K^{ab}(x) : K^{ab}].

Théorème 6 (Amoroso-Zannier) Soit K un corps de nombres. Il existe une constante c(K) strictement positive, telle que

∀x ∈ 𝔾_{m}(\overline{K})\μ_{∞}, h(x) ≥ \frac{c(K)}{D} (\frac{log log 5D}{log 2D})^{13} ,

où D = [K^{ab}(x) : K^{ab}].

La conjecture 7 est bien évidemment une généralisation du problème de Lehmer initial : on travaille avec un corps de nombres K au lieu de travailler avec ℚ et surtout on utilise le degré [K^{ab}(x) : K^{ab}] qui est la partie non-abélienne du degré usuel [K(x) : K]. Le théorème 6 étend le résultat de Amoroso et Dvornicich qui traitait le cas où x appartenait à une extension abélienne de K, i.e., le cas D = 1. C’est précisément ce théorème, dans le cas D = 1, qui a été étendu aux courbes elliptiques à multiplication complexe ou ayant un j-invariant non-entier par Baker dans [8], puis par Silverman [50] dans le cas des courbes elliptiques sans multiplication complexe. Ainsi pour les courbes elliptiques, on a

Théorème 7 (Baker-Silverman) Soit E/K une courbe elliptique. Il existe une constante strictement positive c(E/K) telle que

∀P ∈ E(K^{ab})\E_{tors}, ĥ(P) ≥ c(E/K).

Ce dernier résultat a été récemment étendu par Baker et Silverman (cf. [9]) au cas des variétés abéliennes.

Théorème 8 (Baker-Silverman) Soient A/K une variété abélienne sur un corps de nombres K et L un fibré en droites ample et symétrique. Il existe une constante strictement positive c(A/K, L) telle

∀P ∈ A(K^{ab})\A_{tors}, ĥ_{L}(P) ≥ c(A/K, L).

Contenu de la thèse

Le premier chapitre est un chapitre de rappels. Nos résultats originaux sont présentés dans les chapitres 2 à 6 qui sont rédigés sous la forme d’articles logiquement indépendants les uns des autres. Le chapitre 2 correspond à un article à paraître au Journal of Number Theory et le chapitre 3 à un article à paraître dans la revue Acta Arithmetica.

La première partie de la thèse est consacrée au problème de Lehmer sur les sous-variétés des variétés abéliennes.

Dans le chapitre 1, nous faisons un certain nombre de rappels concernant les degrés géométrique, arithmétique et la notion de hauteur de points et de variétés. Nous donnons, notamment, une construction complète, par récurrence, de la hauteur sur les variétés en suivant [17]. Nous profitons également de cette partie introductive pour donner les preuves des propriétés simples vérifiées par le degré arithmétique, ces démonstrations n’étant pas toujours très détaillées dans la littérature.

Dans le chapitre 2, nous montrons l’analogue, dans le cadre des variétés abéliennes, des résultats de [4]. Précisément, en prouvant un résultat de densité de petits points (cf. le théorème 27 du chapitre 2), nous montrons en corollaire que :

Théorème 9 Soient A/K une variété abélienne de type C.M. sur K et L un fibré en droites ample et symétrique sur A. Il existe une constante strictement positive c(A/K, L) telle que si V est une sous-variété algébrique stricte de A sur K, K-irréductible et telle que V\overline{K} n’est pas réunion de sous-variétés de torsion, on a l’inégalité

\frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L}(V)} ≥ c(A/K, L) deg_{L}(V)^{− \frac{1}{s−dimV}} (log(3 deg_{L}(V)))^{−κ(s)} ,

où s est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique contenant V.

Il suit de la preuve de ce théorème que toute avancée en direction de la conjecture 4 entraîne une avancée similaire en direction de la conjecture 6. Autrement dit, une bonne minoration de la hauteur des points (non de torsion) entraîne une bonne minoration de la hauteur de toutes les sous-variétés (non de torsion) de A. En particulier nous prouvons également le résultat suivant :

Théorème 10 La conjecture 4 de David-Hindry implique la conjecture 6 de David-Philippon.

La preuve du résultat principal de ce chapitre, à savoir le théorème 27, se fait essentiellement en utilisant des arguments de géométrie sur les variétés abéliennes. Il n’y a pas de transcendance dans ce chapitre, si ce n’est à travers l’application du théorème principal de [19] qui, lui, repose effectivement sur une preuve de transcendance.

Dans le chapitre 3, nous améliorons le théorème 9 précédent dans le cas particulier des hypersurfaces de variétés abéliennes de type C.M., étendant ainsi au cadre des variétés abéliennes le résultat analogue sur 𝔾_{m}^{n} de Amoroso et David [3]. Dans ce cadre restreint aux hypersurfaces, nous montrons un résultat sensiblement plus fin en direction de la conjecture 6 : on peut prendre pour κ une valeur absolue, indépendante de g. En notant δ_{i,j} le symbole de Kronecker (valant 1 si i = j et 0 sinon), nous démontrons le résultat suivant :

Théorème 11 Soient A/K une variété abélienne de type C.M. et L un fibré en droites ample et symétrique sur A. Il existe une constante c(A/K, L) strictement positive telle que si V est une hypersurface irréductible de A sur K telle que V\overline{K} n’est pas réunion de sous-variétés de torsion, on a l’inégalité

ĥ_{L}(V) ≥ c(A/K, L)\begin{matrix}(log log 3 deg_{L} V) & 1+2δ_{g−s,1} \\ (log 2 deg_{L} V) & 2+δ_{g−s,1} \end{matrix} ,

où s est la dimension du stabilisateur de V.

La preuve de ce résultat se fait cette fois-ci en utilisant la machinerie classique de transcendance. Au lieu d’appliquer brutalement le résultat principal de [19], nous reprenons leur démonstration (dont le schéma est calqué sur celui de Dobrowolski) et nous l’adaptons au cadre qui nous intéresse.

En supposant que A/K est une courbe elliptique, L le fibré en droites associé au diviseur 3(0) et V = \overline{\{P \}} l’image schématique d’un point d’ordre infini P ∈ A(\overline{K}) défini sur une extension finie de degré D = [K(P) : K], nous retrouvons exactement le théorème 2 de Laurent sur le problème de Lehmer elliptique. Dans le cas d’une “vraie” hypersurface, i.e., quand δ_{g−s,1} = 0, nous obtenons une minoration un peu meilleure.

Dans la seconde partie de la thèse nous nous intéressons au problème de Lehmer et à ses différentes variantes en dimension 1.

Dans le chapitre 4, nous retrouvons le théorème 1 de Dobrowolski, essentiellement en transcrivant sa preuve dans le formalisme des pentes que J.-B. Bost a introduit dans [15]. Il ne s’agit ici en fait que d’une première étape d’un travail qui reste à faire : l’objectif était ici de voir dans quelle mesure les preuves de transcendance “classiques” concernant le problème de Lehmer peuvent se traduire en utilisant l’inégalité des pentes. Il serait maintenant intéressant d’essayer d’adapter la preuve du théorème 2 de Laurent dans ce langage. L’idée est que l’inégalité des pentes permet de mieux exploiter la géométrie des objets avec lesquels on travaille. Si ceci n’est pas flagrant dans le cas de 𝔾_{m}, cela le serait certainement plus dans le cas d’une courbe elliptique E, où le formalisme des pentes permettrait d’incorporer directement l’inégalité sur la hauteur de Néron-Tate, sans avoir à passer par l’artifice consistant à plonger E dans E × E et à considérer un “gros” multiple du point considéré en vue de minimiser la différence entre hauteur de Néron-Tate et hauteur de Weil. On pourrait peut-être obtenir ainsi un parallélisme complet pour le problème de Lehmer sur le groupe multiplicatif et sur les courbes elliptiques à multiplication complexe.

Dans le chapitre 5, nous nous intéressons, dans le cadre des courbes elliptiques, au raffinement utilisant la partie non-abélienne du degré. Nous obtenons :

Théorème 12 Soit E/K une courbe elliptique à multiplication complexe. Il existe une constante c(E/K) strictement positive, telle que

∀P ∈ E(\overline{K})\E_{tors}, ĥ(P) ≥ \frac{c(E/K)}{D} (\frac{log log 5D}{log 2D})^{13} ,

où D = [K^{ab}(P) : K^{ab}].

Ce résultat rend naturel de généraliser la conjecture 7 aux courbes elliptiques :

Conjecture 8 Soit E/K une courbe elliptique. Il existe une constante strictement positive c(E/K), telle que

∀P ∈ E(\overline{K})\E_{tors}, ĥ(P) ≥ \frac{c(E/K)}{D},

où D = [K^{ab}(P) : K^{ab}].

L’exposant 13 apparaissant en exposant des facteurs log et log log dans le théorème 12 peut être amélioré au prix d’une hypothèse supplémentaire.

Théorème 13 Soit c_{0} > 0. Il existe une constante strictement positive c(E/K, c_{0}), telle que : pour toute extension abélienne L/K et pour tout point P ∈ E(\overline{K})\E_{tors} vérifiant D = [L(P) : L], si le nombre de nombres premiers qui se ramifient dans L est borné par

c_{0} (\frac{log 2D}{log log 5D})^{2}, alors on a l’inégalité

ĥ(P) ≥ \frac{c(E/K, c_{0})}{D} (\frac{log log 5D}{log 2D})^{3} .

On voit qu’en imposant une contrainte sur l’étendue de la ramification dans l’extension abélienne (théorème 13), nous obtenons une généralisation du théorème 2 de Laurent. Dans le cas général (théorème 12), sans imposer aucune condition, nous obtenons une minoration optimale aux puissances de log près, avec un exposant légèrement dégradé par rapport au cas classique : on a comme puissance de log un exposant 13 au lieu d’un exposant 3 ; toutefois cet exposant 13 est le même que dans le cas multiplicatif dû à Amoroso et Zannier (cf. théorème 6). Ce théorème 12, dans le cas des courbes elliptiques à multiplication complexe, généralise au cas D quelconque un précédent résultat de Baker [8] (cf. théorème 7).

Le théorème 12 est une première étape en direction d’un résultat plus général : une généralisation naturelle de ce chapitre serait l’extension au cas des variétés abéliennes de type C.M. L’idée serait pour cela de reprendre l’article [19] en incorporant les nouvelles idées que l’on trouve dans [6] et dans ce chapitre. Cette extension aurait d’autant plus d’intéret qu’elle permettrait de rendre d’autant plus performant le théorème 1.4 de l’article [45] de Rémond déja mentionné en début d’introduction. Notons que notre théorème 12 permet déjà de simplifier la preuve du theorem 2. de Viada [57]. Avant de donner l’énoncé de ce théorème, on introduit une définition : on dit qu’une courbe sur une variété abélienne A est transverse si elle n’est contenue dans aucune translatée de sous-variété abélienne de A différente de A.

Théorème 14 (Viada) Soient E/K une courbe elliptique à multiplication complexe, n un entier non nul et C/K une courbe transverse dans E^{n}. Pour r ≥ 0 on considère les ensembles

S_{r}(C) := ⋃_{codim G≥r} G ∩ C(\overline{K})

où l’union porte sur les sous-groupes algébriques G de E^{n} de codimension au moins r. Alors l’ensemble S_{2}(C) est fini.

La preuve de Viada est calquée sur celle de Bombieri, Masser et Zannier [14] dans le cas de 𝔾_{m}^{n}. Elle utilise le fait que la hauteur des points de S_{1}(C) est bornée. Il s’agit du Theorem 1. du même article de Viada qui résulte simplement des propriétés fonctorielles des hauteurs et du théorème du cube pour les variétés abéliennes. Ceci étant acquis on constate, en appliquant le théorème de Northcott, qu’il suffit alors de montrer que le degré des points de S_{2}(C) est borné. C’est la partie difficile de la preuve. Viada montre ceci en deux étapes : la première consiste à montrer la finitude de l’ensemble S_{3}(C). La seconde étape consiste à montrer la finitude de S_{2}(C) en utilisant un subtil argument cohomologique. Nous montrons au chapitre 5 comment éviter cet argument cohomologique en appliquant notre théorème 12. En fait l’utilisation de ce théorème 12 permet de ramener la seconde étape à la première.

Dans le chapitre 6, nous faisons deux remarques concernant la conjecture de Lehmer abélienne sur les points : nous montrons que la partie (1) de la conjecture 4 entraîne en fait la partie (2) de cette même conjecture et nous montrons de même que le théorème 4 entraîne le

Corollaire 1 Soient A/K une variété abélienne de dimension g, de type C.M. sur un corps de nombres et L un fibré en droites ample et symétrique sur A. Il existe une constante c(A/K, L) > 0 telle que pour tout point P ∈ A(\overline{K}) d’ordre infini, on a

ĥ_{L}(P) ≥ \frac{c(A/K, L)}{D^{\frac{1}{g_{0}}}} (log 2D)^{−κ(g_{0})} ,

où D = [K(P) : K], g_{0} est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique contenant P et κ(g_{0}) = (2g_{0}(g_{0} + 1)!)^{g_{0}+2}.

Ce résultat améliore le meilleur résultat précédemment connu pour les variétés abéliennes de type C.M., dû à Masser [33] qui obtient, pour tout point P d’ordre infini de A(\overline{K}) :

ĥ_{L}(P) ≥ \frac{c(A/K, L)}{D^{2} log 2D}.

Par ailleurs, nous remarquons également dans ce chapitre que la conjecture 4 entraîne la version multihomogène de cette conjecture telle que formulée dans [19] :

Conjecture 9 (David-Hindry) Soient A/K une variété abélienne de dimension g sur un corps de nombres et L un fibré en droites symétrique ample sur A. Pour tout entier n ∈ ℕ il existe une constante c(A/K, L, n) > 0 telle que pour tout n-uplet (P_{1}, …, P_{n}) de points d’ordre infini dans A(\overline{K}), End(A)-linéairement indépendants, on a :

∏_{i=1}^{n} ĥ_{L}(P_{i}) ≥ \frac{c(A/K, L, n)}{D^{\frac{1}{g}}},

où D = [K(P_{1}, …, P_{n}) : K].

Nous précisons dans cet énoncé l’hypothèse “linéairement indépendants” en End(A)-linéai-rement indépendants, le même énoncé avec pour seule hypothèse ℤ-linéairement indépendants étant faux comme nous l’expliquons dans ce dernier chapitre.

Première partie

Chapitre 1

Problème de Lehmer sur les variétés Degré géométrique, degré arithmétique et hauteur

Dans ce chapitre, on fait des rappels sur les notions de degré géométrique, degré arithmétique, hauteur sur les points et hauteur sur les variétés. Nous aurons besoin de ces notions dans les autres chapitres : la hauteur (tant sur les points que sur les variétés) étant l’objet fondamental sur lequel s’appuie toute cette thèse. Nous rappelons les définitions ainsi que les propriétés usuelles dont nous nous servirons ensuite. Dans le cas du degré arithmétique sur Spec O_{K}, nous donnons la preuve des quelques propriétés simples que nous rappelons, ces démonstrations n’étant pas toujours très détaillées dans la littérature.

Soit K un corps. Si F/K est une extension de corps et X un Spec K-schéma, alors, la notation X_{F} dénote le produit fibré X ×_{Spec K} Spec F et X(F), appelé l’ensemble des points F -rationnels de X, dénote l’ensemble Mor_{K}(Spec F, X). On fera fréquemment l’abus consistant à écrire F au lieu de Spec F quand F est un corps ou même un anneau. On dit que V est une variété algébrique sur K si V est un K-schéma de type fini, irréductible et géométriquement réduit. Par sous-variété on entendra toujours sous-variété qui est un sous-schéma fermé. On appelle courbe toute variété de dimension 1 et on note ℙ^{n} ou ℙ_{K}^{n} l’espace projectif sur K de dimension n.

1.1 Degré géométrique

Dans ce paragraphe on définit le degré géométrique de deux façons : la première dans le cas projectif, en utilisant le polynôme de Hilbert ; la seconde en utilisant la théorie de l’intersection. On commence par définir le degré géométrique dans le cas des variétés projectives. Pour cela, on se ramène au cas des sous-variétés de ℙ^{n} : soient V une variété projective sur K et L un fibré en droites très ample. Il existe un plongement φ : V ↪ ℙ^{n} correspondant à L tel que si O(1) dénote le fibré standard sur ℙ^{n} (dont les sections globales sont les polynômes homogènes en n+1 variables de degré 1), alors L = φ^{∗}O(1). Supposons un instant connue la notion de degré projectif d’une sous-variété de ℙ^{n}.

Définition 1 En notant deg_{K}(.) le degré projectif, on définit et on note deg_{L} V, le degré de V relativement au fibré en droites très ample L, par

deg_{L} V = deg_{K}(φ(V)).

Il suffit donc de définir le degré d’une sous-variété de ℙ^{n}. C’est ce que l’on fait dans ce qui suit.

Soit V une sous-variété de ℙ^{n}. Elle est déterminée par la donnée d’un idéal saturé I = I(V) de K[x_{0}, …, x_{n}]. On pose A = K[x_{0}, …, x_{n}]/I(V) et on note A_{ν} la composante homogène de degré ν de A.

Définition 2 Un objet fondamental associé à V est sa fonction de Hilbert

H(V, ·) : ℕ → ℕ.

Elle est définie par la formule

∀ν ∈ ℕ, H(V, ν) = dim_{K}A_{ν}.

Le résultat principal concernant cette fonction est qu’elle est asymptotiquement polynomiale. Autrement dit, on a le

Théorème 15 (Hilbert) Il existe un unique polynôme, P (V, ·) de degré d = dim V, tel que

∀ν >> 0, P (V, ν) = H(V, ν).

On appelle ce polynôme le polynôme de Hilbert de V. Son terme dominant est de la forme

\frac{m}{d!}ν^{d}.

Définition 3 Avec les notations précédentes, on définit le degré projectif de V comme étant le nombre m. On le note deg_{K}(V).

Revenons au cas général d’une variété projective V munie d’un fibré en droites (très) ample L. On peut en fait définir le polynôme de Hilbert de manière complètement explicite et pas uniquement pour des valeurs asymptotiques :

Théorème 16 (Riemann-Roch) Si χ(V, L^{⊗ν}) = ∑(−1)^{i}dim_{K}H^{i} (V, L^{⊗ν}) désigne la caractéristique d’Euler-Poincaré de V, alors,

∀ν ∈ ℕ, P (V, ν) = χ(V, L^{⊗ν}).

Exemple 1 Dans le cas d’une courbe V géométriquement irréductible, lisse sur un corps K algébriquement clos, on rappelle que par définition le genre g(V) est la dimension du Kespace vectoriel Γ(V, Ω_{V/K}^{1}). Par dualité de Serre (valable sur une variété projective lisse sur un corps algébriquement clos), on peut également voir le genre comme étant la dimension du K-espace vectoriel H^{1}(V, O_{V}). Le théorème 16 précédent nous donne P (V, 0) = χ(V, O_{V}). Or un théorème classique d’annulation de la cohomologie de Grothendieck nous assure qu’ici,

χ(V, O_{V}) = dim_{K}Γ(V, O_{V}) − dim_{K}H^{1}(V, O_{V}) = 1 − g(V).

En effet, pour une variété X/K propre, lisse et géométriquement connexe, toute fonction régulière est constante. Sur un corps algébriquement clos, on peut donc, non seulement lire le degré, mais aussi lire le genre d’une courbe projective sur son polynôme de Hilbert. De plus, en réappliquant maintenant le même argument avec ν = 1 et en utilisant les notations classiques en géométrie, on obtient le théorème de Riemann-Roch usuel,

l(L) − l(K_{V} − L) = deg_{L} V + 1 − g(V).

Il se trouve que le degré projectif est un nombre entier. Sur ℂ on peut montrer qu’il s’agit du cardinal du schéma de dimension zéro X ∩H, pour tout plan général H de ℙ_{ℂ}^{n} de dimension n − d. Le problème de cette assertion est qu’il faut définir la notion de “général”. Ici, dire que le plan est général signifie qu’il est tel qu’une déformation infinitésimale ne change pas le résultat. Autrement dit, quand on “bouge un peu” le plan, le nombre considéré ne change pas. Il s’agit donc bien d’une définition géométrique.

Exemple 2 Sur ℂ le degré d’un point fermé est 1. De même, étant données une courbe ou une hypersurface dans ℙ_{ℂ}^{n} on peut lire le degré sur un dessin : il suffit de couper la courbe par un hyperplan général et l’hypersurface par une droite générale, puis de compter le cardinal obtenu.

On peut donner une construction rigoureuse de cette approche du degré d’une variété relativement à un diviseur, en utilisant le produit d’intersection. C’est la méthode la plus intrinsèque. En fait, elle ne nécessite pas de supposer la variété projective ; il suffit de la supposer propre. Comment fait-on ? On se donne une variété X sur un corps K, un fibré en droites (faisceau inversible, diviseur de Cartier) L sur X et une sous-variété V de dimension k de X. L’objectif est de définir un entier appelé degré de V relativement à L associé à ces données et qui coïncide avec celui précédemment défini dans le cas projectif. En vue de définir ce degré, on construit un produit d’intersection, noté · , sur les diviseurs en suivant le livre de Fulton [25] :

1.1.1 Théorie de l’intersection

Dans tout ce paragraphe, K est un corps et X/K une variété propre sur K de dimension n.

Cycles et équivalence rationnelle

Définition 4 Si R est un anneau local de dimension zéro, on définit la longueur de R que l’on note lg(R), comme étant la longueur n d’une chaîne

R ⊃ 𝔪 = I_{1} ⊃ … ⊃ I_{n} = {0}

d’idéaux tels que I_{k}/I_{k+1} ≃ R/𝔪 comme R-modules. (Comme R est local de dimension zéro, la longueur est finie et par le théorème de Jordan-Hölder, cette longueur est bien définie, c’est-à-dire, indépendante du choix d’une chaîne ayant ces propriétés.)

Soit V une sous-variété de X de codimension 1. L’anneau local O_{V,X} est par définition l’anneau local au point générique de V. Il est de dimension 1. Soit s ∈ K^{∗}(X), on veut définir l’ordre d’annulation de s selon V, que l’on note ord_{V} (s), de sorte que ce soit un homomorphisme, i.e., tel que :

∀s, t ∈ K^{∗}(X) ord_{V} (st) = ord_{V} (s) + ord_{V} (t).

Tout s ∈ K^{∗}(X) peut s’écrire sous la forme s = \frac{a}{b}, avec a, b ∈ O_{V,X}. On a donc nécessairement, ord_{V} (s) = ord_{V} (a) − ord_{V} (b). Ainsi, il suffit de définir ord_{V} pour les éléments de O_{V,X}. On pose alors :

∀s ∈ O_{V,X} ord_{V} (s) = lg_{O_{V,X}} (O_{V,X}/(s)) .

Pour s ∈ K^{∗}(X) fixé, il existe seulement un nombre fini de sous-variétés V de codimension 1 de X telle que ord_{V} (s) ≠ 0.

Sur la variété X on peut maintenant construire un morphisme naturel φ du groupe des diviseurs de Cartier, noté CaDiv X, dans le groupe des n − 1-cycles Z_{n−1}(X) : soit D = (U_{i}, f_{i})_{i∈I} ∈ CaDiv X et soit V une sous-variété de codimension 1 de X. On pose

ord_{V} D = ord_{V} f_{i}, où i est tel que U_{i} ∩ V ≠ ∅,

ceci ayant un sens car, si j est tel que U_{j} ∩ V ≠ ∅, alors \frac{f_{i}}{f_{j}} est inversible sur U_{i} ∩ U_{j}, donc ord_{V} f_{i} = ord_{V} f_{j}.

Partant d’un diviseur de Cartier D, on définit ainsi un diviseur de Weil

[D] = ∑_{V}ord_{V} D [V].

L’application φ qui à D associe [D] est un morphisme de groupes.

Définition 5 On appelle groupe des k-cycles sur X et on note Z_{k}(X), le groupe abélien libre engendré par les sous-variétés V de dimension k de X. Un élément de Z_{k}(X) est appelé un k-cycle et si V est une sous-variété k-dimensionnelle de X, on note [V] (ou abusivement V) l’élément correspondant de Z_{k}(X).

Définition 6 Si α = ∑_{V}n_{V} [V] est un cycle, on définit le support de α comme étant

supp α = |α| = ⋃_{n_{V} ≠0} V.

Si D est un diviseur de Cartier, on appelle support de D et on note | D |, le support du diviseur de Weil associé.

Définition 7 Un k-cycle α est rationnellement équivalent à 0, α ∼ 0, s’il existe un nombre fini de sous-variétés W_{i} de dimension k+1 de X et des s_{i} ∈ K^{∗}(W_{i}) tels que α = ∑ div(s_{i}). Comme div(s^{−1}) = −div(s), les cycles rationnellement équivalents à zéro forment un sousgroupe Rat_{k}(X) de Z_{k}(X). Le groupe des classes de k-cycles modulo équivalence rationnelle sur X est le groupe noté :

A_{k}(X) = Z_{k}(X)/Rat_{k}(X).

On définit alors

Z_{∗}(X) = ⨁_{k=0}^{dim(X)} Z_{k}(X) et de même, A_{∗}(X) = ⨁_{k=0}^{dim(X)} A_{k}(X).

Produit d’intersection sur les diviseurs : soit V une sous-variété de X sur K de dimension k. On note D le diviseur de Cartier associé au faisceau inversible L et on définit D · V, noté également D · [V], dans A_{k−1} (| D | ∩V) comme suit :

Notons j : V ↪ X l’inclusion naturelle. Deux cas se présentent :

• Si V ⊊| D |, alors D se restreint en un diviseur de Cartier, j^{∗}D sur V et on pose

D · [V] = [j^{∗}D].

• Si V ⊆| D |, on prend l’image réciproque faisceautique de D, i.e., j^{∗}O_{X}(D). On obtient ainsi un faisceau inversible sur V. À ce faisceau correspond un diviseur de Cartier, C tel que O_{V} (C) = j^{∗}O_{X}(D). On note [C] sa classe de diviseur de Weil dans A_{k−1}(V) et on pose

D · [V] = [C].

Par linéarité, on en déduit un produit d’intersection entre les diviseurs de Cartier et les cycles de dimension quelconque de X.

1.1.2 Degré d’un cycle

On note toujours X/K une variété propre de dimension n.

Définition 8 Soit α = ∑ n_{P} [P] un 0-cycle sur X. En identifiant ℤ et A_{0}(Spec K), on définit le degré du 0-cycle α comme étant :

deg α = ∑ n_{P} [K(P) : K] = π_{∗}(α),

où π est le morphisme structural de X vers Spec K. On peut maintenant définir le degré relativement à L d’une sous-variété V de X : en appliquant k fois l’opération “prendre le produit d’intersection avec D”, on obtient un cycle de dimension zéro, ∑ n_{P} [P]. On pose alors

deg_{L} V = π_{∗} (L^{k} · [V]) = ∑ n_{P} [K(P) : K],

où π est le morphisme structural de X vers Spec K. On peut montrer que dans le cas projectif, on retombe sur le degré projectif défini précédemment.

Exemple 3 Si x ∈ X(\overline{K}) est un point \overline{K}-rationnel de X, en notant V := \overline{\{x\}} la variété définie en prenant l’image schématique de x ∈ X\overline{K} dans X, on a :

deg_{L}(V) = [K(x) : K].

1.2 Degré arithmétique sur Spec O_{K}

Dans cette section, on donne la définition du degré arithmétique sur Spec O_{K} le spectre de l’anneau des entiers d’un corps de nombres K et on donne une application de cette notion : l’inégalité des pentes. Cette dernière, introduite pour la première fois par J.-B.Bost dans son article [15], a connu récemment quelques belles applications en géométrie diophantienne (voir par exemple [15], [16] et [26]). En utilisant ce langage et surtout l’inégalité des pentes, on donne au chapitre 4 une démonstration du théorème de Dobrowolski [23] concernant le problème de Lehmer sur 𝔾_{m}.

1.2.1 Degré arithmétique : définition

Désormais K est un corps de nombres. On note S = Spec O_{K} le spectre de l’anneau des entiers de K. Alors que dans le cas des corps de fonctions, S représente l’ensemble de toutes les places de K, dans le cas des corps de nombres, S = Spec O_{K} ne représente (en oubliant le point générique) que les places finies. Pour pouvoir étendre l’analogie entre corps de nombres et corps de fonctions, il faut aussi prendre en compte les places à l’infini : c’est l’idée de la théorie initiée par Arakelov [7].

Dans la suite, on note S^{0} l’ensemble des points fermés de S (i.e., les places finies de O_{K}), S_{∞} l’ensemble des places archimédiennes et M_{K} = S_{Ar} := S^{0} ⨿ S_{∞} l’ensemble de toutes les places de K. Pour v ∈ S^{0} au dessus d’un nombre premier p, on normalise la valeur absolue v-adique par | p |_{v}= p^{−1} et on pose || · ||_{v}=| · |_{v}^{d_{v}} où d_{v} est le degré local [K_{v} : ℚ_{p}]. De même si v est une place archimédienne, on prend pour valeur absolue la valeur absolue usuelle et on pose d_{v} = 1 si K_{v} = ℝ et d_{v} = 2 si K_{v} = ℂ.

Définition 9 Un fibré vectoriel métrisé de rang r sur S = Spec O_{K} est un O_{K}-module E projectif (i.e., sans torsion puisque O_{K} est de Dedekind) de rang r, muni d’une collection {|| · ||_{v}}_{v∈S_{∞}}, telle que || · ||_{v} est une norme hermitienne sur le K_{v}-espace vectoriel E_{K_{v}} = E ⊗_{O_{K}} K_{v}, vérifiant

|| x ||_{σ}=|| \overline{x} ||\overline{σ}, pour tout plongement σ : K ↪ ℂ.

On note un tel fibré métrisé \overline{E} = (E, || · ||_{v}).

Exemples de métriques

Dans ce paragraphe, les variétés X et Y sont des variétés différentielles analytiques complexes. On appliquera ensuite ceci au cas où, partant d’une variété algébrique lisse sur un corps de nombres K, on associe à un plongement σ : K ↪ ℂ la ℂ-variété algébrique lisse X_{σ} = X ×_{σ} ℂ, puis l’ensemble de ses points complexes X_{σ}(ℂ) qui est naturellement muni d’une structure de variété analytique complexe. Si L est un fibré vectoriel sur une variété analytique X, on dit qu’il hermitien s’il est muni d’une métrique hermitienne C^{∞} stable par conjugaison complexe.

La métrique image réciproque : soient f : X → Y un morphisme de variétés analytiques et \overline{L} un fibré en droites sur Y muni d’une métrique hermitienne. On munit le fibré en droites f^{∗}L d’une structure hermitienne en posant, pour tout x ∈ X,

|| f^{∗}s ||_{x}:=|| s ∘ f ||_{f(x)} .

La métrique produit tensoriel : soient \overline{E} et \overline{F} deux fibrés hermitiens sur la variété X. On munit E ⊗ F d’une structure hermitienne en posant,

⟨e_{i} ⊗ f_{i}, e_{j} ⊗ f_{j}⟩_{x} := ⟨e_{i}, e_{j}⟩_{x} · ⟨f_{i}, f_{j}⟩_{x} .

La métrique somme directe : soient \overline{E} et \overline{F} deux fibrés hermitiens sur la variété X. On munit E ⊕ F d’une structure hermitienne en posant,

⟨e_{i} ⊕ f_{i}, e_{j} ⊕ f_{j}⟩_{x} := ⟨e_{i}, e_{j}⟩_{x} + ⟨f_{i}, f_{j}⟩_{x} .

La métrique produit exterieur : soient \overline{E} un fibré hermitien de rang r sur la variété X et k ≤ r. On munit ⋀_{l=1}^{k} E d’une structure hermitienne en posant,

|| ⋀_{l=1}^{k} e_{l} ||_{x}^{2}:= |det (⟨e_{i}, e_{j}⟩_{x})| ,

où ⟨·, ·⟩ est le produit hermitien définissant la métrique sur \overline{E}.

La métrique duale : soit \overline{E} un fibré hermitien sur X. On muni le fibré dual E^{∨} = Hom(E, ℂ) d’une structure hermitienne en posant,

|| f ||_{x}:= sup_{s∈E} \frac{|| f(s) ||_{x}}{|| s ||_{x}} ,

où on a muni ℂ de sa métrique naturelle || 1 ||_{x}= 1.

Degré arithmétique

Le degré d’Arakelov (ou degré arithmétique) d’un fibré en droites métrisé sur Spec O_{K} \overline{L} = (L, || · ||_{v}) est défini en prenant un élément non nul s ∈ L et en posant

d̂eg_{n} (\overline{L}) = \frac{1}{[K : ℚ]} (log # (L/sO_{K}) − ∑_{σ:K↪ℂ}log || s ||_{σ}) ,

le n en indice signifiant que l’on a normalisé par [K : ℚ].

Proposition 1 Le degré d’Arakelov d’un fibré en droites ne dépend pas du choix de la section s.

Démonstration : Soient s et t deux sections globales non nulles du fibré en droites L. Il existe un k ∈ K^{∗} tel que t = ks, donc

− ∑_{v∈S_{Ar}} log || t ||_{v} = − ∑_{v∈S_{Ar}} log || ks ||_{v}

= − ∑_{v∈S_{Ar}} log || s ||_{v} − ∑_{v∈S_{Ar}} log || k ||_{v}

= − ∑_{v∈S_{Ar}} log || s ||_{v} par la formule du produit.

Il reste pour conclure à voir que

log # (L/sO_{K}) = − ∑_{v∈S^{0}} log || s ||_{v} .

Or on sait par [18] que, si L est un O_{K}-module projectif de rang 1,

(L/sO_{K}) = ∏_{𝔭}(L/sO_{K})_{𝔭} = ∏_{𝔭}(L_{𝔭}/sO_{K_{𝔭}}) .

De plus, L_{𝔭} est isomorphe isométriquement à O_{K_{𝔭}}. On a donc

(L/sO_{K}) ≃ ∏_{𝔭}(O_{K_{𝔭}}/sO_{K_{𝔭}}) ≃ ∏_{𝔭}O_{K}/𝔭^{ord_{𝔭}(s)}.

Ainsi, en passant aux cardinaux,

# (L/sO_{K}) = ∏_{𝔭∈S^{0}} e^{d_{𝔭}ord_{𝔭}(s)} = ∏_{𝔭∈S^{0}} || s ||_{𝔭}^{−1} .

Ceci permet de conclure. □

Remarque 2 Notons au passage que si s ∈ L est non nulle, on a montré la formule

d̂eg_{n} (\overline{L}) = \frac{−1}{[K : ℚ]} ∑_{v∈S_{Ar}} log || s ||_{v} .

Définition 10 On définit le degré arithmétique d’un fibré vectoriel F métrisé de rang fini d en posant :

d̂eg_{n} (\overline{F}) = d̂eg_{n} ( \overline{⋀_{k=1}^{d} F} ) .

1.2.2 Degré arithmétique : propriétés

Dans tout ce pararaphe, on travaille avec des fibrés vectoriels sur Spec O_{K}.

Propriétés classiques

Proposition 2 Soit \overline{O_{K}} le fibré trivial muni de sa métrique triviale || 1 ||_{v}= 1. On a d̂eg_{n} \overline{O_{K}} = 0.

Démonstration : Par la remarque 1, si s est une section non nulle de O_{K},

d̂eg_{n} \overline{O_{K}} = \frac{−1}{[K : ℚ]} ∑_{v∈S_{Ar}} log || s ||_{v} .

En appliquant ceci avec s = 1 on constate que le membre de droite est nul. □

Proposition 3 Soient \overline{E} et \overline{F} deux fibrés vectoriels hermitiens de rang respectif m et n et \overline{L} un fibré en droites hermitien de rang 1. On a

1. d̂eg_{n} (\overline{E ⊗ F}) = md̂eg_{n} \overline{E} + nd̂eg_{n} \overline{F} .

2. d̂eg_{n} (\overline{E ⊕ F}) = d̂eg_{n} \overline{E} + d̂eg_{n} \overline{F} .

3. d̂eg_{n} \overline{L^{∨}} = − d̂eg_{n} \overline{L}.

Démonstration : On commence par montrer 1. dans le cas où m = n = 1. Soient s ∈ E, t ∈ F deux sections telles que s ⊗ t ≠ 0. Pour tout v ∈ S_{Ar}, on a || s ⊗ t ||_{v}=|| s ||_{v}|| t ||_{v}. En effet, si v ∈ S_{∞} c’est la définition et si v ∈ S^{0}, E_{v} ⊗ F_{v} est isomorphe à O_{K_{v}} par l’isomorphisme qui envoie s ⊗ t sur j_{v}^{E}(s)j_{v}^{F} (t). Ainsi

|| s ⊗ t ||_{v}=|| j_{v}^{E}(s)j_{v}^{F} (t) ||_{v}=|| j_{v}^{E}(s) ||_{v}|| j_{v}^{F} (t) ||_{v}=|| s ||_{v}|| t ||_{v} .

En appliquant la remarque p. 31, on conclut dans ce cas. Dans le cas général, on utilise l’isomorphisme isométrique

⋀_{l=1}^{nm} \overline{E ⊗ F} ≃ (⋀_{l=1}^{n} \overline{E})^{⊗m} ⊗ (⋀_{l=1}^{m} \overline{F} )^{⊗n} .

Le premier cas permet alors de conclure.

2. On applique le 1. en utilisant l’isomorphisme isométrique

⋀_{l=1}^{n+m} \overline{E ⊕ F} ≃ ⨁_{l=1}^{n+m} (⋀_{k=1}^{l} \overline{E} ⊗ ⋀_{k=1}^{n+m−l} \overline{F} ) ≃ ⋀_{l=1}^{n} \overline{E} ⊗ ⋀_{l=1}^{m} \overline{F} .

3. Par définition du faisceau inverse (ou fibré dual) on a L ⊗ L^{∨} ≃ O_{K}. En munissant O_{K} de sa métrique triviale et L^{∨} de la métrique duale, cet isomorphisme est isométrique. Ainsi, on a d̂eg_{n} (\overline{L ⊗ L^{∨}}) = 0 par la proposition 2. En appliquant le point 1. on conclut. □

Inégalité des pentes

Définition 11 Soit \overline{E} un O_{K}-fibré vectoriel, on définit la pente de \overline{E} par

μ̂(\overline{E}) = \frac{d̂eg_{n} \overline{E}}{rgE} .

Définition 12 Avec les mêmes notations, on définit la pente maximale de E par

μ̂_{max}(\overline{E}) = max μ̂(\overline{F}), où

le max porte sur les sous-O_{K}-fibrés de E de rang supérieur à 1 et munis des métriques déduites de celle de \overline{E} par restriction.

Définition 13 Si φ est un morphisme entre deux O_{K}-fibrés hermitiens \overline{E} et \overline{F}, on note h(φ) et on appelle hauteur de φ le nombre

\frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{v∈S_{Ar}} log || φ ||_{v}, où,

|| φ ||_{v} est la norme d’opérateur de φ_{K_{p}} et || φ ||_{σ} la norme de l’opérateur φ_{ℂ,σ}.

Lemme 1 Soit φ : E → F un morphisme entre O_{K}-fibrés hermitiens de rang r. On a,

∀v ∈ S_{Ar}, || ⋀_{l=1}^{r} φ ||_{v}≤|| φ ||_{v}^{r} .

Démonstration : Soit v ∈ S_{∞}. En choisissant des bases orthonormées pour les espaces hermitiens E_{K_{v}} et F_{K_{v}}, on identifie φ à une matrice de M_{r}(ℂ). Par définition de la puissance extérieure, || ⋀_{l=1}^{r} φ ||_{v}=|| det φ ||_{v}. Or le déterminant est le produit des valeurs propres, alors que || φ ||_{v} est la norme de la plus grande valeur propre. D’où l’inégalité. Dans le cas où v ∈ S_{0}, cela résulte de l’inégalité ultramétrique. □

Avec les notations précédentes, on a le théorème suivant, dû à J.-B. Bost, Théorème 17 (Inégalités des pentes 1) Si le morphisme φ_{K} : E_{K} → F_{K} est injectif, alors,

d̂eg_{n} \overline{E} ≤ rg(E)(μ̂_{max}(\overline{F}) + h(φ)).

Démonstration : Le morphisme φ_{K} étant injectif on a un isomorphisme

φ : E_{K} → φ(E_{K}).

On note F′ un sous-O_{K}-module de F tel que F′_{K} = φ_{K}(E_{K}). L’application

⋀_{l=1}^{r} φ_{K} : ⋀_{l=1}^{r} E_{K} → ⋀_{l=1}^{r} F′_{K}

est bijective donc non nulle. En particulier elle définit un élément non-nul du K-espace vectoriel de dimension 1 associé au fibré en droites hermitien \overline{L} := (⋀_{l=1}^{r} \overline{E})^{∨} ⊗ ⋀_{l=1}^{r} \overline{F′}. En utilisant la proposition 3, on obtient

d̂eg_{n} \overline{E} − d̂eg_{n} \overline{F′} = −d̂eg_{n} \overline{L}

= \frac{1}{[K : ℚ]} ∑_{v∈S_{Ar}} log || ⋀_{l=1}^{r} φ ||_{v}

≤ \frac{r}{[K : ℚ]} ∑_{v∈S_{Ar}} log || φ ||_{v} par le lemme 1

= rh(φ).

Par ailleurs, la définition de μ̂_{max} implique que d̂eg_{n} \overline{F′} ≤ rμ̂_{max}(\overline{F}). □

En fait, dans la pratique c’est plutôt une version filtrée de cette inégalité qui est utile. On va donc filtrer : soit F_{K} un K-espace vectoriel de dimension finie muni d’une filtration

{0} = F_{K}^{N+1} ⊂ F_{K}^{N} ⊂ … ⊂ F_{K}^{0} = F_{K}

par des K-espaces vectoriels. On suppose de plus que les sous-quotients successifs

G_{K}^{l} = F_{K}^{l}/F_{K}^{l+1}

sont les K-espaces vectoriels sous-jacents à certains fibrés vectoriels hermitiens \overline{G}^{l} sur Spec O_{K}. Soient par ailleurs \overline{E} un fibré vectoriel hermitien et φ_{K} : E_{K} → F_{K} une application K-linéaire injective. On pose pour tout l ∈ [[0, N + 1]]

E_{K}^{l} = φ_{K}^{−1}(F_{K}^{l}), et E^{l} = E ∩ E_{K}^{l}.

Ainsi les sous-O_{K}-modules E^{l} de E forment une filtration

{0} = E^{N+1} ⊂ E^{N} ⊂ … ⊂ E^{0} = E.

De plus, munie des métriques de restriction sur \overline{E}, cette filtration est une filtration de O_{K}-modules hermitiens. Enfin, pour tout l ∈ [[0, N]] on considère les applications

φ_{K}^{l} : E_{K}^{l} → G_{K}^{l} et φ̃_{K}^{l} : E_{K}^{l}/E_{K}^{l+1} → G_{K}^{l}

définies par composition de φ_{K} et de la projection sur G_{K}^{l}. On peut maintenant énoncer la version filtrée du théorème précédent.

Théorème 18 (Inégalités des pentes 2) Avec les notations précédentes, on a,

d̂eg_{n} \overline{E} ≤ ∑_{l=0}^{N} rg (E^{l}/E^{l+1})(μ̂_{max}(\overline{G}^{l}) + h(φ^{l})).

Démonstration : Il suffit d’appliquer la preuve précédente à chaque cran de la filtration et de sommer le tout ensuite. C’est l’inégalité (4.14) de la Proposition 4.6. de [16]. □

On donne également une variante que nous utiliserons au chapitre 4.

Théorème 19 Avec les notations précédentes, on a

d̂eg_{n} \overline{E} ≤ ∑_{l=0}^{N} rg (E^{l}/E^{l+1})(μ̂_{max}(\overline{G^{l}}) + ∑_{p premiers} log || φ^{l} ||_{p})

+ ∑_{l=0}^{N} log || ⋀^{max} φ̃^{l} ||_{ℂ} .

Démonstration : On reprend la preuve précédente et on ne remplace pas les termes || ⋀^{r} φ^{l} || par || φ^{l} ||^{r} aux places archimédiennes. □

1.3 Hauteur sur les points

1.3.1 Hauteur sur ℙ^{n}(\overline{ℚ})

Soient K un corps de nombres de degré d et M_{K} l’ensemble des valeurs absolues (deux à deux non équivalentes) sur K, normalisées comme précédemment par |p|_{v} = p^{−1} pour toute place finie v au dessus du nombre premier p. On note d_{v} = [K_{v} : ℚ_{p}] le degré local et on définit la hauteur (logarithmique absolue) sur ℙ^{n}(\overline{ℚ}) par

h(x_{0} : …: x_{n}) = \frac{1}{d} ∑_{v∈M_{K}} d_{v} log max_{0≤i≤n} |x_{i}|_{v}.

On voit sur la définition que la hauteur d’un point est toujours positive ou nulle. Dans cette définition, la renormalisation par \frac{1}{d} sert juste à faire en sorte que le réel h(x) soit indépendant du choix du corps K contenant x. De plus par la formule du produit, la hauteur est aussi indépendante du choix d’un système de coordonnées projectives.

Proposition 4 Soient r ∈ ℤ, σ ∈ Gal(\overline{ℚ}/ℚ) et x ∈ ℙ^{n}(\overline{ℚ}). On a

h(x^{r}) =| r | h(x), et, h(σ(x)) = h(x).

Cette hauteur vérifie les théorèmes de Northcott et de Kronecker :

Théorème 20 (Northcott) Soient A et B deux réels. L’ensemble

\{x ∈ ℙ^{n}(\overline{ℚ}) / [ℚ(x) : ℚ] ≤ A, h(x) ≤ B \}

est fini.

Théorème 21 (Kronecker) Soient x = (x_{0} : …: x_{n}) ∈ ℙ^{n}(\overline{ℚ}) non nul et i tel que x_{i} ≠ 0. On a l’équivalence

h(x) = 0 ⟺ ∀j ∈ [[1, n]] \frac{x_{j}}{x_{i}} ∈ μ_{∞} ∪ \{0\}.

1.3.2 Hauteur de Néron-Tate sur les variétés abéliennes

Définition 14 Soient X/K une variété projective et L un fibré très ample sur X. En notant φ_{L} le plongement de X dans un espace projectif ℙ^{n} associé à L (c’est-à-dire tel que L = φ_{L}^{∗}O(1)), on définit la hauteur h_{L} : X(\overline{K}) → ℝ^{+} par h_{L}(P) := h(φ_{L}(P)), où h(x_{0} : …: x_{n}) est la hauteur logarithmique absolue sur ℙ^{n}(\overline{K}) définie précédemment.

Dans le cas où X = A est une variété abélienne et où L est de plus symétrique, cette hauteur vérifie un certain nombre de propriétés agréables. Nous indiquons les plus essentielles, qui nous serviront dans la suite. On renvoie par exemple au livre [30] Part B pour tout ce qui concerne les hauteurs.

Proposition 5 Sur une variété abélienne A/K munie d’un fibré en droites L très ample et symétrique, la hauteur h_{L} vérifie :

1. ∀P ∈ A(\overline{K}) h_{L}([m]P) = m^{2}h_{L}(P) + O(1).

2. ∀P, Q ∈ A(\overline{K}) h_{L}(P + Q) + h_{L}(P − Q) = 2h_{L}(P) + 2h_{L}(Q) + O(1).

3. ∀h > 0 ∀d > 0 l’ensemble \{P ∈ A(\overline{K})/ h_{L}(P) ≤ h, deg(P) ≤ d\} est fini. Dans les affirmations précédentes, la constante O(1) dépend de A, L et m, mais pas des points P et Q.

Toujours dans le cas des variétés abéliennes, on peut à partir de cette hauteur en construire une plus jolie : la hauteur de Néron-Tate, notée ĥ_{L}. La définition est la suivante :

ĥ_{L}(P) = lim_{n→+∞} \frac{h_{L}([2^{n}]P)}{4^{n}}.

Les propriétés classiques de cette hauteur sont résumées dans le théorème suivant.

Théorème 22 (Néron-Tate) Soient A/K une variété abélienne et L un fibré ample et symétrique sur A. La hauteur canonique est une forme quadratique positive semi-définie sur A(\overline{K}), telle que

1. ∀P ∈ A(\overline{K}) ĥ_{L}(P) = h_{L}(P) + O(1)

2. ĥ_{L}(P) = 0 ⟺ P ∈ A_{tors}.

1.4 Hauteur sur les variétés

Il y a essentiellement deux approches de la notion de hauteur d’une variété, toutes deux consistant en une généralisation de la notion de hauteur d’un point. On a d’une part l’approche de Philippon (cf. [38], [39], [40]), consistant comme ce que l’on a fait au début du premier paragraphe, à se ramener au cas d’une sous-variété d’un ℙ^{n}, puis dans ce cas, à donner une définition élémentaire. D’autre part, il y a l’approche de Bost-Gillet-Soulé [17] fondée sur les travaux de Gillet-Soulé [27] [28], consistant à travailler en parfaite analogie avec le degré en construisant un produit d’intersection arithmétique, puis en voyant la hauteur comme un degré arithmétique (ou degré d’Arakelov). Un théorème de Soulé (th.3 p.366 de [53]) indique que ces deux notions de hauteurs coïncident, à condition de prendre les bonnes conventions pour les places à l’infini dans la définition de Philippon, i.e., en prenant la définition de hauteur qu’il donne dans [40] paragraphe 2.

1.4.1 Définition à la Bost-Gillet-Soulé

Contrairement au cas géométrique où la construction du produit d’intersection sur les diviseurs n’est pas dure, dans le cas arithmétique c’est difficile. On ne va donc pas définir le produit d’intersection arithmétique (même sur les diviseurs). Par contre, on peut donner une définition auto-contenue, suivant [17] proposition 3.2.1., de la hauteur en utilisant une construction par récurrence. C’est ce que l’on fait dans ce qui suit.

Le corps K est toujours un corps de nombres, d’anneau d’entiers O_{K}. On note S = Spec O_{K} le schéma affine associé. Si X/S est un S-schéma de fibre générique une K-variété, on notera X(ℂ) la variété analytique complexe réunion disjointes des variétés X_{σ}(ℂ) où X_{σ}(ℂ) est la variété (analytique complexe) des points complexes de la variété (algébrique complexe) X_{σ} déduite de X par extension des scalaires de O_{K} à K, puis de K à ℂ selon le morphisme σ, les σ décrivant l’ensemble des plongements de K dans ℂ.

Définition 15 On dit que X est une variété arithmétique sur S si c’est un S-schéma plat quasi-projectif, tel que sa fibre générique X_{K} soit une K-variété lisse.

Exemple 4 Un schéma abélien, le modèle de Néron d’une variété abélienne, le modèle de Weierstrass d’une courbe elliptique, son modèle minimal sont des exemples de variétés arithmétiques.

Définition 16 On dit que \overline{L} = (L, h) est un fibré en droites hermitien si L est un fibré en droites sur X et h une métrique hermitienne C^{∞} stable par conjugaison complexe sur le fibré en droites holomorphe L_{ℂ} canoniquement associé à L sur X(ℂ).

On vérifie immédiatement que ceci généralise la notion de fibré en droites hermitien sur Spec O_{K} introduite au paragraphe 1.2.

Définition 17 Soient X une variété arithmétique sur S, \overline{L} un fibré en droites hermitien sur X et Y un sous-schéma fermé, propre sur S. On va définir par récurrence sur la dimension de Y, un nombre réel h\overline{L}(Y) appelé hauteur de Y relativement à \overline{L} :

• si Y est vertical, i.e., s’il est contenu dans une fibre spéciale de X au dessus d’un idéal premier 𝔭, alors on pose

h\overline{L}(Y) = \frac{1}{[K : ℚ]} deg_{L_{𝔽𝔭}}(Y) log (N_{ℚ}^{K}𝔭) ,

où deg_{L_{𝔽𝔭}} dénote le degré géométrique usuel au dessus de 𝔽_{𝔭} défini au début de ce chapitre.

• si s est une section rationnelle de L dans Y de diviseur div(s) = ∑ n_{α}Z_{α}, on pose

h\overline{L}(Y) = ∑_{α} n_{α}h\overline{L} (Z_{α}) − \frac{1}{[K : ℚ]} ∫_{Y (ℂ)_{lisse}} log || s || c_{1}(\overline{L_{ℂ}})^{dimY (ℂ)}.

Il reste à définir c_{1}(\overline{L}) quand L est un fibré en droites hermitien holomorphe sur une variété analytique complexe X. On note ∂ et \overline{∂} les opérateurs différentiels usuels (∂ envoie les (p, q)-formes différentielles sur les (p + 1, q)-formes et \overline{∂} envoie les (p, q)- formes sur les (p, q + 1)-formes). Soit maintenant s une section rationnelle de L dans X, on définit c_{1}(\overline{L}) par

c_{1}(\overline{L}) = \frac{1}{2iπ} ∂\overline{∂} log || s ||^{2} .

Proposition 6 Dans le cas où Y = X = S, on a h\overline{L}(S) = d̂eg_{n}\overline{L}, où d̂eg_{n} est le degré arithmétique normalisé.

Démonstration : On applique la définition par récurrence de h\overline{L}(S) : soit s une section rationnelle de L dans S, i.e., un élément non nul du O_{K}-module (des section globales, que l’on note encore L) associé au fibré en droites L. On a div(s) = ∑_{𝔭} ord_{𝔭}(s)[Spec 𝔽_{𝔭}]. Par ailleurs, S(ℂ) est de dimension zéro : c’est l’ensemble des plongements σ : K ↪ ℂ. Ainsi, on a

∫_{Y (ℂ)_{lisse}} log || s || c_{1}(\overline{L_{ℂ}})^{dimY (ℂ)} = ∑_{σ:K↪ℂ}log || s ||_{σ} .

Enfin, la variété Spec 𝔽_{𝔭} est visiblement un 𝔽_{𝔭}-schéma de degré 1 (relativement à L), donc, la définition par récurrence nous donne

h\overline{L}(S) = \frac{1}{[K : ℚ]} (∑_{𝔭}ord_{𝔭}(s) log p^{d_{𝔭}} − ∑_{σ:K↪ℂ}log || s ||_{σ}) ,

où p est le nombre premier au-dessous de 𝔭 et où d_{𝔭} est le degré de l’extension 𝔽_{𝔭}/𝔽_{p}. Sous cette forme, on reconnait le degré normalisé de L. □

Dans ce qui suit, on suppose (pour ne pas avoir à écrire partout l’hypothèse Y/S propre) que X/S est projective.

Définition 18 Soient L un fibré en droites hermitien sur la variété arithmétique X et V/K une sous-variété de la fibre générique X_{K} de X. On définit la hauteur de V relativement à L, comme étant la hauteur de l’image schématique^{1} V de V dans X.

Il nous reste maintenant à définir la hauteur d’une variété projective, sans supposer connu aucun modèle : on suppose donc donnée V une K-variété projective sur un corps de nombres. Par définition il existe un fibré en droites très ample L sur V définissant un plongement φ : V ↪ ℙ_{K}^{n} dans un espace projectif. L’espace projectif ℙ_{K}^{n} a un modèle naturel sur S, ℙ_{S}^{n}, qui est une variété arithmétique naturellement munie d’un fibré en droites hermitien, le fibré O(1) muni de la métrique de Fubini-Study définie comme suit : pour toute section s ∈ H^{0} (ℙ_{ℂ}^{n}, O(1)) (assimilable à l’espace des polynômes homogènes de degré 1 en X_{0}, …, X_{n}), on a

|| s || (x_{0} : …: x_{n}) = \frac{1}{2} \frac{| s(x_{0} : …: x_{n}) |}{\sqrt{x_{0}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}}}.

Ceci nous permet de définir la hauteur de V :

Définition 19 Avec les notations précédentes, on appelle hauteur de V relativement à L et on note h_{L}(V) le réel

h_{L}(V) = h\overline{O(1)} (\overline{φ(V)}) ,

où \overline{φ(V)} est l’image schématique dans ℙ_{S}^{n} de φ(V).

Remarque 3 Si V est une sous-variété de ℙn ; \overline{K}, alors V admet un modèle Y_{F} défini sur un corps de nombres F. On peut donc étendre la notion de hauteur aux sous-variétés de ℙn ; \overline{K}. La normalisation par le degré d’un corps de définition, assure comme dans le cas des points que cette définition a bien un sens : si Y′/F′ est un autre modèle défini sur un autre corps de nombres, on a h_{L}(Y_{F}) = h_{L}(Y′_{F′}).

Exemple 5 Si x ∈ ℙ^{n}(\overline{ℚ}), en notant V = \overline{\{x\}} l’image schématique de x dans ℙ^{n} et en posant L = O(1), on a

\frac{h_{L}(V)}{deg_{L} V} = h_{2}(x),

où h_{2} la hauteur sur les points de ℙ^{n}(\overline{ℚ}) définie en utilisant la norme L^{2} aux places archimédiennes plutôt que la norme L^{∞} comme au paragraphe 1.3.1.

1le plus petit sous-schéma fermé de X contenant p(V). Son espace topologique sous-jacent coïncide avec l’adhérence topologique de p(V).

1.4.2 Hauteur de Faltings d’une variété abélienne

On explique ici ce qu’on appelle dans la littérature la hauteur de Faltings (stable) d’une variété abélienne A/K sur un corps de nombres K. Le problème consiste à associer un réel h_{Falt}(A) qui est défini de manière intrinsèque à partir de A. Notamment on ne veut pas que cette définition dépende d’un quelconque plongement de A dans un espace projectif, mais on veut par contre que cette hauteur vérifie les propriétés usuelles d’une “bonne” hauteur, à savoir on voudrait que

• Pour tout g ∈ ℕ, il existe C(g) ∈ ℝ tel que pour toute variété abélienne de dimension g, définie sur \overline{ℚ} on ait

h_{Falt}(A) ≥ C(g).

• À isomorphisme près, il n’y a qu’un nombre fini de variétés abéliennes de dimension g, de hauteur de Faltings bornée et définies sur un corps de nombres de degré borné.

Un tel objet existe et s’appelle la hauteur de Faltings (stable) de A. Il a été introduit pour la première fois par Faltings [24] dans sa preuve de la conjecture de Mordell sur la finitude du nombre de points rationnels d’une courbe de genre g ≥ 2.

Construction : soit A une variété abélienne de dimension g ≥ 1 sur \overline{ℚ}. Il existe un corps de nombres K sur lequel A est définie et a réduction semi-stable. Soient alors π : A → S son modèle de Néron, ε : S → A sa section neutre et Ω_{A/S}^{g} le faisceau localement libre de rang 1 des g-formes différentielles. On pose ω_{A/S} = ε^{∗}Ω_{A/S}^{g} . C’est un fibré en droites et comme A/S est un schéma en groupes lisse, on a l’isomorphisme ω_{A/S} ≃ π_{∗}Ω_{A/S}^{g}. S’agissant d’un fibré de rang 1 sur Spec O_{K}, on peut l’identifier au module de ses sections globales. Or l’isomorphisme précédent (et la définition de l’image directe π_{∗}) nous indique que ce module n’est autre que H^{0} (A, Ω_{A/S}^{g}). En notant pour tout plongement σ : K ↪ ℂ, ω_{A/S} ⊗_{σ} ℂ le fibré en droites holomorphe associé, on le munit d’une métrique hermitienne par :

∀α ∈ ω_{A/S} ⊗_{σ} ℂ, || α ||_{σ}^{2}= \frac{i^{g^{2}}}{(2π)^{g}} ∫_{A_{σ}(ℂ)} α ∧ \overline{α}.

On a ainsi fabriqué un fibré en droites hermitien \overline{ω}_{A/S} sur S, ne dépendant que de A/S. On pose maintenant

h_{Falt}(A) = d̂eg_{n} (\overline{ω}_{A/S}) = h_{\overline{ω}_{A/S}}(S),

la dernière hauteur étant la hauteur de Bost-Gillet-Soulé. Du fait de la normalisation, ceci est indépendant du choix de K (tel que A/K est semi-stable) et on peut montrer que cette hauteur vérifie bien les propriétés voulues. Ceci illustre la souplesse de la notion de hauteur sur les variétés : la hauteur de Faltings n’est rien d’autre que la hauteur de Spec O_{K} pour un fibré en droites hermitien astucieux.

1.4.3 Hauteur de Néron-Tate

Partant d’une variété abélienne sur un corps de nombres K et d’un fibré en droites ample symétrique L, on peut fabriquer une hauteur sur les sous-variétés de A/K et même par la remarque 2 fabriquer une hauteur sur les sous-variétés de A\overline{K}/\overline{K}. De même que pour les points, on peut en dimension supérieure, fabriquer à partir de ces données une hauteur plus belle : la hauteur normalisée, ou hauteur canonique (encore appelée hauteur de Néron-Tate). Dans le cas où la variété abélienne A a partout bonne réduction, Moret-Bailly [37] a montré comment faire en utilisant les méthodes précédentes. Par contre le cas général d’une variété abélienne à réduction quelconque ne peut se traiter de la même façon : dans ce cas, on ne peut pas construire la hauteur canonique comme une hauteur à la Bost-Gillet-Soulé. Dans ses travaux sur la conjecture de Bogomolov [60], Zhang a montré comment fabriquer cette hauteur en utilisant un procédé de limite dans l’esprit de celui utilisé par Tate pour fabriquer la hauteur canonique des points. On peut ainsi voir cette hauteur canonique comme une limite de hauteurs arakeloviennes.

La métrique du cube sur une variété abélienne : Soient A/K une variété abélienne de modèle de Néron A/O_{K} et L un fibré en droites symétrique sur A. Pour tout ensemble I ⊂ {1, 2, 3} non vide, on note p_{I} : A^{3} → A le morphisme défini sur les points géométriques par

p_{I}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = ∑_{i∈I} x_{i}.

On définit alors le fibré en droites D_{3}(L) sur A^{3} par

D_{3}(L) := ⨂_{I⊂{1,2,3}_{I≠∅}} p_{I}^{∗}L^{⊗(−1)^{#I}}.

Par le théorème du cube, ce fibré est trivial. On choisit une trivialisation et on munit D_{3}(L) de la structure hermitienne induite par cette trivialisation. Si L est muni d’une structure hermitienne induisant une telle métrique triviale sur D_{3}(L), i.e., induisant un isomorphisme isométrique avec le fibré en droites trivial \overline{O_{A^{3}}}, on dit que L est muni d’une métrique cubiste.

Cas de bonne réduction : On suppose que A/O_{K} est un schéma abélien. On fixe un isomorphisme φ entre O_{A^{3}} et D_{3}(L). On munit pour tout plongement σ le fibré en droites L_{σ} de la métrique cubiste (qui existe et est unique par un théorème de Moret-Bailly [37]) || · ||_{σ} associée à φ_{σ}. Notons qu’un autre choix d’isomorphisme φ aurait multiplié les métriques || · ||_{σ} par | l |_{σ} où l est une unité de O_{K}. Ainsi par la formule du produit, la hauteur associée à L ne dépend pas du choix de φ. On peut enfin voir que la classe de \overline{L} ne dépend que de la classe de L ∈ Pic(A). On appelle la hauteur ainsi construite, la hauteur canonique relativement au fibré en droites L et on la note ĥ_{L}(·). Par symétrie de L on peut trouver un isomorphisme ψ : [−1]^{∗}L → L qui est une isométrie pour tout σ. Ainsi, en utilisant la propriété cubiste, on vérifie facilement que la hauteur normalisée est quadratique : pour tout cycle V ∈ Z_{p}(A), on a

ĥ_{L}([n]_{∗}V) = n^{2p}ĥ_{L}(V).

Cas général : On se donne une variété abélienne A/K, une sous-variété V de A et un fibré en droites symétrique ample L sur A. On se donne alors un modèle A/S propre et plat, l’image schématique V de V dans A, un faisceau inversible ample L sur A étendant L et pour chaque place σ, une métrique hermitienne (à courbure positive) sur L_{σ}. On a alors le théorème suivant :

Théorème 23 (Zhang [60]) la suite \frac{1}{4^{n}} h_{L} ([2^{n}]_{∗}V) converge uniformément vers une limite finie appelée hauteur normalisée de V et notée ĥ_{L}(V). Cette limite ne dépend pas des choix de A, L ni des métriques choisies. Elle coïncide avec la hauteur de Néron-Tate usuelle sur les points de A(K).

Exemple 6 Si x ∈ A(\overline{K}) et V = \overline{\{x\}} est l’image schématique de x dans A, on a

\frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L} V} = ĥ_{L}(x),

où ĥ_{L}(x) est la hauteur de Néron-Tate usuelle sur les points \overline{K}-rationnels de A.

1.4.4 Définition à la Philippon

Soit V/K une variété projective sur un corps de nombres K. On se donne un plongement φ : V ↪ ℙ^{n} dans un espace projectif, associé à un fibré en droites ample et symétrique L. On va définir une hauteur sur les sous-variétés de ℙ^{n} et on en déduira une hauteur pour V en posant h_{L}(V) := h(φ(V)). L’idée de Philippon est la suivante : si X est une hypersurface de ℙ^{n} de degré d, alors X est définie par une équation homogène

F_{X}(\underline{x}) = ∑_{i_{0}+...+i_{n}=d} a\underline{i}\underline{x}\underline{i} = 0.

De plus, cette équation F_{X} est déterminée de manière unique, à multiplication par une constante non-nulle près, par X. On peut alors poser h_{∞}(X) := h(F_{X}) = h(\underline{a}) où la dernière hauteur est la hauteur projective usuelle du point \underline{a}. Ceci étant on peut étendre cette construction d’une hypersurface au cas général d’une sous-variété quelconque de ℙ^{n} en utilisant les formes de Cayley-Chow : si X est une sous-variété de degré d et de dimension r de ℙ^{n} on peut lui associer une forme multihomogène F_{X} de multidegré (d, ⋯, d) qui est déterminée par

F_{X}(a_{00}, …, a_{n0}, a_{01}, …, a_{nr}) = 0

si et seulement si l’intersection de X avec les r + 1 hyperplans ∑_{k=0}^{n} a_{ki}X_{k} = 0 pour 0 ≤ i ≤ r est non-vide. La forme F_{X} s’appelle la forme de Chow (ou forme éliminante) de X. On pose alors h_{∞}(X) := h(F_{X}).

Cette hauteur, si elle est naturelle et comparable à la hauteur de Bost-Gillet-Soulé, ne coïncide toutefois pas exactement avec cette dernière. Pour cela, Philippon donne dans son article [40] paragraphe 2, la modification adéquate pour définir une hauteur h coïncidant avec celle définie de manière arakelovienne : on conserve la construction précédente, mais on modifie aux places à l’infini la définition de la hauteur projective standard : au lieu de prendre la norme infinie, on prend la norme L^{2} et on rajoute de plus le terme constant \frac{1}{2}(r + 1) deg_{L}(X) ∑_{j=1}^{n} \frac{1}{j}.

À partir de là, Philippon définit une hauteur canonique sur les variétés abéliennes. On se donne donc A/K une variété abélienne et L un fibré en droites ample et symétrique (la construction de Philippon se fait en fait sur le fibré projectivement normal L^{⊗4} mais on peut oublier ce détail). On veut définir une hauteur canonique associée à ces données. Pour cela l’idée est d’utiliser le procédé limite à la Tate existant pour fabriquer la hauteur canonique des points. On note G_{X} le stabilisateur de X dans A et on pose

ĥ_{L}(X) = lim_{n→∞} \frac{| ker[n] ∩ G_{X} |}{n^{2(dimX+1)}}h_{L}([n]X).

Là encore, on peut montrer que cette définition a un sens (i.e., la limite existe) et coïncide bien avec celle donnée de façon arakelovienne.

1.5 Résultats et conjecture sur la hauteur canonique

Soient K un corps de nombres, A/K une variété abélienne de dimension g et L un fibré en droites très ample symétrique définissant un plongement de A dans un espace projectif ℙ^{n}.

1.5.1 Résultats de base

Ces résultats sont montrés dans les propositions et lemmes aboutissant à la proposition 9. de [38].

Proposition 7 Avec les notations précédentes, on a :

1. Il existe une constante c(A, L) telle que pour toute sous-\overline{K}-variété X de A\overline{K} on a

| ĥ_{L}(X) − h_{L}(X) |≤ c(A, L) deg_{L}(X).

2. ĥ_{L^{⊗m}}(X) = m^{dimX+1}ĥ_{L}(X).

3. Si ξ ∈ A (\overline{K})_{tors}, alors on a, ĥ_{L}(X + ξ) = ĥ_{L}(X).

4. Si α ∈ End(A) est tel que α^{∗}L ∼ L^{⊗q(α)}, alors

ĥ_{L}(α(X)) = \frac{q(α)^{dimX+1}}{| ker α ∩ G_{X} |}ĥ_{L}(X), et, ĥ_{L}(α^{−1}(X)) = q(α)^{codimX−1}ĥ_{L}(X).

Démonstration : Le point 2. est un résultat vrai pour la hauteur h_{L}, donc on conclut en passant à la limite. Le point 3. découle facilement de la définition : tout d’abord on a G_{X} = G_{(X+ξ)} et dimX = dim(X + ξ). Ainsi, en notant k l’ordre de ξ, on a, en prenant la sous-suite (kn) de (n),

ĥ_{L}(X + ξ) = lim_{n→∞} \frac{| ker[n] ∩ G_{X} |}{n^{2(dimX+1)}}h_{L}([n](X + ξ))

= lim_{n→∞} \frac{| ker[kn] ∩ G_{X} |}{(kn)^{2(dimX+1)}}h_{L}([kn]X) = ĥ_{L}(X).

Les points 1. et 4. nécessitent une véritable preuve. le point 1. est démontré dans [38] et le point 4. dans [38] pour α = [n] et dans [19] proposition 2.3. dans le cas général. □

1.5.2 Résultats principaux et conjecture

Soient K un corps de nombres, A/K une variété abélienne et L un fibré en droites symétrique ample sur A. Comme le cas de dimension 0, on peut se demander comment caractériser les sous-variétés de A de hauteur normalisée nulle. On sait depuis les travaux de Zhang [61] et indépendamment David-Philippon [20], caractériser ces variétés :

Théorème 24 (Zhang) Soit X une sous-variété irréductible de A\overline{K}. On a l’équivalence

ĥ_{L}(X) = 0 ⟺ ∃ξ ∈ A(\overline{K})_{tors}, ∃B sous-variété abélienne de A\overline{K} tels que X = B + ξ.

Définition 20 Une variété telle que dans le théorème précédent est dite sous-variété de torsion de A\overline{K}. Si X est une sous-variété irréductible de A/K telle que X\overline{K} est une réunion de sous-variété de torsion, on dit que X est une sous-variété de torsion de A.

Par ailleurs, si X est une sous-variété de A, on notera

X(ε) = \{x ∈ X(\overline{K}) / ĥ_{L}(x) ≤ ε\} .

Le théorème 24 est en fait directement lié à une conjecture de Bogomolov. On peut montrer que les énoncés correspondants aux théorèmes 24 et 25 sont équivalents.

Théorème 25 (Conjecture de Bogomolov) Soit X une sous-variété irréductible de A\overline{K} qui n’est pas de torsion. Il existe une constante ε > 0 telle que l’ensemble X(ε) ne soit pas Zariski-dense dans X.

En fait, la conjecture originelle de Bogomolov se limite au cas où X est une courbe. Sous cette forme, elle a été démontrée par Ullmo [56]. La généralisation en dimension supérieure a alors immédiatement été démontrée par Zhang [61] en adaptant les idées d’Ullmo. La preuve de ce résultat s’appuie de manière cruciale sur un précédent travail de Szpiro-Ullmo-Zhang [54]. Une référence concernant ceci est l’exposé d’Abbes [1] au séminaire Bourbaki. On tire trivialement de ce théorème le résultat suivant, né conjecture de Manin-Mumford et démontré en premier par Raynaud [44] :

Corollaire 2 (Conjecture de Manin-Mumford) Soit C une courbe irréductible de A\overline{K} qui n’est pas de torsion. Alors, l’ensemble C ∩A_{tors} (\overline{K}) des points de C(\overline{K}) de torsion dans A\overline{K} est fini.

Un résultat crucial dans la preuve de la conjecture de Bogomolov est le théorème 26 suivant, dit des minimas successifs, dû à Zhang [60] dans une version bien plus précise.

Définition 21 Soient X une sous-variété de A sur K et θ un nombre réel positif. On pose X(θ, L) = \{x ∈ X(\overline{K}) / ĥ_{L}(x) ≤ θ\} . On définit alors le minimum essentiel de X et on note μ̂_{L}^{ess}(X) le réel

μ̂_{L}^{ess}(X) = inf \{θ > 0 / \overline{X(θ, L)} = X \}

où \overline{X(θ, L)} est l’adhérence de Zariski de X(θ, L) dans A.

Théorème 26 (Zhang) Si X est une sous-variété de A/K, alors,

\frac{ĥ_{L}(X)}{(dimX + 1) deg_{L} X} ≤ μ̂_{L}^{ess}(X) ≤ \frac{ĥ_{L}(X)}{deg_{L} X} .

Au vu du théorème 24, qui est l’analogue pour les variétés abéliennes et en dimension supérieure du théorème 21 de Kronecker, on peut se demander ce qu’il en est des variétés qui ne sont pas des variétés de torsion : existe-t-il un énoncé, même conjectural, donnant une minoration de la hauteur de telles variétés et généralisant en dimension supérieure le problème de Lehmer abélien ? Comme annoncé dans l’introduction, une telle conjecture existe effectivement :

Conjecture 10 (David-Philippon) Soient A/K une variété abélienne munie d’un fibré en droites ample et symétrique L. Si X est une sous-variété stricte de A sur K, K-irréduc-tible et qui n’est pas de torsion, alors on a l’inégalité

\frac{ĥ_{L}(X)}{deg_{L}(X)} ≥ c(A, L) deg_{L}(X)^{− \frac{1}{s−dimX}} ,

où s est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique contenant X.

Les chapitres 2 et 3 de cette thèse sont consacrés à l’obtention de résultats en direction de cette conjecture dans le cas des variétés abéliennes de type C.M.

Densité de points et minoration de hauteur

Il s’agit, à quelque modifications de notations près, de l’article [42] paru au Journal of number theory.

2.1 Introduction

On sait depuis les travaux de Philippon [38] [39] [40], puis Bost, Gillet et Soulé [17] dans le cadre de l’intersection arithmétique, comment définir la hauteur des variétés projectives ; l’idée étant de considérer un point comme une variété de dimension zéro et de généraliser ceci en dimension supérieure. De même que dans le cas des points, on sait pour les variétés abéliennes munies d’un fibré en droites ample et symétrique définir une hauteur particulierement agréable : la hauteur canonique ĥ_{L}, ou hauteur normalisée. En dimension zéro, il existe un théorème caractérisant les points de hauteur normalisée nulle ; c’est un résultat de Kronecker dans le cas de 𝔾_{m}. Philippon [40] (dans le cas d’un produit de courbes elliptiques) puis Zhang [60] et David-Philippon [20] dans le cas général ont montré comment généraliser ce résultat pour caractériser les sous-variétés de hauteur normalisée nulle : ce sont les translatées d’un sous-groupe algébrique par un point de torsion. On dit qu’une telle sous-variété est une sous-variété de torsion. La réponse à cette question résoud une conjecture de Bogomolov qui, dans sa formulation initiale a été démontrée en premier par Ullmo [56]. Ceci étant, on peut se demander comment minorer la hauteur normalisée d’une sous-variété de hauteur non-nulle d’une variété abélienne. Dans leur article [20], David et Philippon ont formulé un problème général (le problème 1.7) contenant cette question. On peut notamment faire ressortir de la discussion suivant la formulation de leur problème l’énoncé suivant :

Conjecture 11 (David-Philippon) Soit A une variété abélienne définie sur un corps de nombres k, munie d’un fibré ample et symétrique L. Soit V une sous-variété stricte de

A sur k, k-irréductible et telle que V\overline{k} n’est pas réunion de sous-variétés de torsion, alors, on a l’inégalité

\frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L}(V)} ≥ c(A, L) deg_{L}(V)^{− \frac{1}{s−dimV}} ,

où s est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique contenant V, et où c(A, L) est une constante ne dépendant que de A et de L.

Dans ce qui suit, on reprend le résultat principal (ainsi que le schéma de démonstration) de Amoroso-David [4] concernant le groupe multiplicatif 𝔾_{m}^{n}, pour obtenir un résultat analogue dans le cadre des variétés abéliennes. En utilisant les résultats de David-Hindry [19] concernant le problème de Lehmer abélien, on obtient en corollaire un résultat en direction de la conjecture 11. Ce dernier ne concerne que les variétés abéliennes de type C.M., par contre il est essentiellement optimal (à un facteur log près) en le degré de V.

Remerciements Je tiens à remercier M. Hindry pour sa patiente relecture, et je le remercie également, ainsi que S. David, pour m’avoir encouragé à écrire cet article. Par ailleurs je souhaite aussi remercier chaleureusement É. Gaudron et G. Rémond pour m’avoir indiqué une erreur dans la preuve du lemme 4 dans une version préliminaire de cet article.

2.1.1 Degré et hauteur

Soit k un corps de nombres. On dira que V est une variété algébrique sur k si V est un k-schéma de type fini géométriquement réduit. On dira que G est un groupe algébrique sur k si c’est une variété en groupes sur k. On dira que A est une variété abélienne définie sur k si c’est un groupe algébrique connexe propre et lisse sur k. Par sous-variété on entendra toujours sous-variété fermée.

Soient O_{k} l’anneau des entiers de k, n un entier, et X une variété projective munie d’un plongement φ_{L} : X ↪ ℙ_{k}^{n} défini par un fibré L très ample sur X. Si O(1) dénote le fibré standard sur ℙ_{O_{k}}^{n}, on a φ_{L}^{∗}O(1)_{k} ≃ L. On note \overline{O(1)} le fibré standard muni de la métrique de Fubini-Study. Si V est une sous-variété de X, on note V_{L} l’adhérence schématique de φ_{L}(V) dans ℙ_{O_{k}}^{n}.

Définition 22 On définit le degré de la variété V relativement à L, et on note deg_{L} V l’entier deg_{k} (c_{1}(O(1)_{k})^{dimV} · φ_{L}(V)) où deg_{k} est le degré projectif usuel sur ℙ_{k}^{n}.

Définition 23 On appelle hauteur de la variété V associée à L, et on note h_{L}(V) la hauteur de V_{L}, au sens de Bost-Gillet-Soulé [17] p. 945 définition 3.1.1., associée au fibré hermitien \overline{O(1)}. Notons que l’on ne normalise pas cette hauteur par le degré deg_{L}(V).

Remarque 4 Par le théorème 3 p. 366 de [53], h_{L}(V) coincide avec la hauteur h(f_{V,L}) de Philippon, telle que définie au paragraphe 2. de [40], où f_{V,L} est une forme éliminante de l’idéal de définition de φ_{L}(V) dans k[X_{0}, …, X_{n}]. (Le terme d’erreur de [53] disparait du fait du changement de normalisation pour la hauteur de Philippon entre les articles [38] et [40]).

Définition 24 Dans le cas où X = A est une variété abélienne, et où L est en plus symétrique, Philippon [40] (dans le cas où L définit un plongement projectivement normal) puis Zhang [60], avec des méthodes arakeloviennes, ont montré en utilisant un procédé de limite à la Néron-Tate, comment définir une hauteur canonique, notée ĥ_{L}(.), sur l’ensemble des sous-variétés de A. Cette hauteur vérifie notamment : si V est une sous-variété de A, de stabilisateur G_{V}, et si n est un entier, alors,

ĥ_{L} ([n](V)) = \frac{n^{2(dimV +1)}}{| ker [n] ∩ G_{V} |}ĥ_{L}(V).

Définition 25 Soient A/k une variété abélienne et V une variété sur k géométriquement irréductible. On dit qu’une sous variété V de A/k est une sous-variété de torsion de A si V\overline{k} = a + B avec a ∈ A_{tors} et B une sous-variété abélienne de A\overline{k}. On dit que c’est une sous-variété de torsion stricte de A si V\overline{k} est une sous-variété de torsion a + B avec B une sous-variété abélienne stricte de A\overline{k}.

D’après les résultats de Philippon [40], David-Philippon [20] et Zhang [60], on a, si V est une sous-variété de A\overline{k}/\overline{k} géométriquement irréductible,

ĥ_{L}(V) = 0 si et seulement si V est une sous-variété de torsion.

Définition 26 Soient V une sous-variété de A sur k, et θ un nombre réel positif. On pose V (θ, L) = \{x ∈ V (\overline{k}) / ĥ_{L}(x) ≤ θ\} . On définit alors le minimum essentiel de V, et on note μ_{L}^{ess}(V) le réel

μ_{L}^{ess}(V) = inf \{θ > 0 / \overline{V (θ, L)} = V \} ,

où \overline{V (θ, L)} est l’adhérence de Zariski de V (θ, L) dans A.

2.1.2 Résultats

Soient k un corps de nombres, A/k une variété abélienne de dimension g, et L un fibré en droites très ample sur A. On démontre le théorème suivant :

Théorème 27 Soient K/k une extension finie, et V une sous-variété algébrique de A_{K} sur K, K-irréductible telle que V\overline{k} n’est contenue dans aucune réunion de sous-variétés de torsion strictes de A\overline{k}. Alors, pour tout réel ε > 0, l’ensemble des points x ∈ V (\overline{K}) d’ordre infini modulo toute sous-variété abélienne stricte de A_{K}, et dont la hauteur de Néron-Tate relativement à L vérifie

ĥ_{L}(x) ≤ \frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L} V} + ε

est Zariski dense dans V.

On peut donner deux corollaires à ce théorème. Pour cela, on a besoin d’une définition.

Définition 27 Soient A une variété abélienne définie sur un corps de nombres k, L un fibré en droites ample symétrique, et x ∈ A(\overline{k}). Suivant [19] définition 1.2., on appelle indice d’obstruction de x, et on note δ_{L}(x) la quantité

δ_{L}(x) = min \{deg_{L} X^{\frac{1}{codim X}} / x ∈ X(\overline{k})\} ,

où le minimum est pris sur l’ensemble des sous-variétés strictes, X, de A sur k, k-irréduc-tibles.

On peut voir le point x ∈ A(\overline{k}) comme une sous-variété de A, définie sur k, k-irréductible, de dimension 0 et de degré [k(x) : k]. Avec cette interprétation, la définition précédente admet la généralisation suivante : si V est une sous-variété stricte de A sur k, k-irréductible, on appelle indice d’obstruction de V, et on note δ_{L}(V) la quantité

δ_{L}(V) = min \{deg_{L} X^{\frac{1}{codim X}} / V ⊂ X\} ,

où le minimum est pris sur l’ensemble des sous-variétés strictes, X, de A sur k, k-irréduc-tibles.

Remarque 5 On a par définition, 1 ≤ δ_{L}(V) ≤ deg_{L}(V)^{\frac{1}{codim V}} . Dans le cas où V est de dimension 0, on retrouve ainsi le lemme 1.3. de [19].

En utilisant le résultat de [19] concernant le problème de Lehmer pour les variétés abéliennes de type C.M., on peut alors montrer le résultat suivant :

Corollaire 3 Supposons de plus que A est de type C.M. Soit V une sous-variété algébrique stricte de A sur k, k-irréductible et telle que V\overline{k} n’est contenue dans aucune réunion de sous-variétés de torsion strictes de A\overline{k}. Alors, l’ensemble

\{x ∈ V (\overline{k}) / ĥ_{L}(x) ≤ \frac{c(A, L)}{δ_{L}(V)} (\frac{log log(3δ_{L}(V))}{log(2δ_{L}(V))})^{κ(g)} \} ,

n’est pas Zariski dense dans V. Ici c(A, L) est une constante ne dépendant que de A et de L, et κ(g) est une constante effectivement calculable ne dépendant que de g (par exemple κ(g) = (2g(g + 1)!)^{g+2} convient).

Remarque 6 Ce corollaire est une conséquence formelle du théorème 27 et du théorème principal de [19]. En particulier, toute amélioration dans la direction de la conjecture de Lehmer abélienne, améliore d’autant le corollaire. Le meilleur résultat possible correspondrait au cas où A/k est une variété abélienne quelconque, et où l’on peut prendre κ(g) = 0, i.e., à la conjecture de Lehmer abélienne telle que énoncée dans [19].

Dans ce qui suit, si A est une variété abélienne, on suppose donné avec A une isogénie avec un produit de variétés abéliennes simples ∏ A_{i}^{n_{i}}. On suppose de plus que la variété produit est munie du fibré associé au plongement

A = ∏_{i=1}^{n} A_{i}^{r_{i}} ↪ ∏_{i=1}^{n} ℙ_{n_{i}}^{r_{i}} ↪^{Segre} ℙ^{N},

les A_{i} étant plongées dans ℙ_{n_{i}} par des fibrés L_{i} amples et symétriques. Si L est un fibré en droites symétrique ample sur A, on notera par c(A, L) une constante ne faisant intervenir que ces données.

Corollaire 4 Si A est de type C.M., L un fibré en droites ample et symétrique de A, et si V est une sous-variété algébrique stricte de A sur k, k-irréductible et telle que V\overline{k} n’est pas réunion de sous-variétés de torsion, alors, on a l’inégalité

\frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L}(V)} ≥ μ_{L}^{ess}(V) ≥ c(A, L) deg_{L}(V)^{− \frac{1}{s−dimV}} (log(2 deg_{L}(V)))^{−κ(s)} ,

où s est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique contenant V.

Remarque 7 Soit P ∈ A(\overline{k}). En notant V la sous-variété de A sur k obtenue à partir de P en rajoutant tous ses conjugués (plus exactement en prenant l’image schématique de P dans A), on constate que le résultat obtenu est bien une généralisation d’un énoncé du type Lehmer : il s’agit d’un énoncé de nature arithmétique faisant intervenir le degré d’un corps de définition de V.

Remarque 8 En fait, il suit des preuves des corollaires 3 et 4 le résultat suivant :

soient A/k une variété abélienne de dimension g, L un fibré en droites symétrique ample sur A. On appelle Lehmer(A/k, L, γ) la propriété suivante : il existe des constantes c(A, L) ne dépendant que de A et de L, et γ(g) ne dépendant que de g, telles que pour tout point x ∈ A(\overline{k}) qui est d’ordre infini modulo toute sous-variété abélienne stricte de A, on a

ĥ_{L}(x) ≥ c(A, L)δ(x)^{−γ(g)}.

On note ensuite Minorant(A/k, L, V, γ) l’énoncé : il existe des constantes strictement positives c′(A, L) ne dépendant que de A et de L, et γ(g) ne dépendant que de g, telles que si V est une sous-variété algébrique stricte de A sur k, kirréductible et telle que V\overline{k} n’est pas réunion de sous-variétés de torsion, alors, on a l’inégalité

\frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L}(V)} ≥ c′(A, L) deg_{L}(V)^{− \frac{γ(g)}{s−dimV}} ,

où s est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique contenant V.

Avec ces notations, on a

Lehmer(A/k, L, γ) ⇒ Minorant(A/k, L, V, γ).

De plus, et avec les notations de la remarque précédente 8, on trouve dans [19] la conjecture suivante concernant le problème de Lehmer abélien :

Conjecture 12 (David-Hindry) L’assertion Lehmer(A/k, L, 1) est vraie pour toute variété abélienne A/k.

En utilisant la remarque, on en déduit qu’une bonne minoration de la hauteur sur les points entraîne une bonne minoration de la hauteur sur toutes les sous-variétés. Plus précisément, on a :

Corollaire 5 La conjecture 12 implique la conjecture 11.

La suite est consacrée à une démonstration du théorème 27 et de ces corollaires.

2.2 La proposition clé

Proposition 8 (Amoroso-David) Soient n un entier et X une sous-variété de ℙ^{n} sur k, k-irréductible. Pour tout ε > 0, il existe δ_{0} = δ_{0}(ε, X) > 0 vérifiant les propriétés suivantes :

soient δ un entier supérieur à δ_{0}, et Y une sous-variété de ℙ^{n} sur k ne contenant pas X. Si

log deg_{k}(Y) ≤ \frac{δε}{4dimX} ,

alors il existe x ∈ (X \ Y)(\overline{k}) tel que

h_{O(1)}(x) ≤ \frac{h_{O(1)}(X)}{deg_{k}(X)} + ε et [k(x) : k] ≤ (deg_{k}(X))δ^{dimX}.

Démonstration : C’est la proposition 2.1. de [4] : cette dernière est simplement énoncée avec Y une hypersurface, mais la preuve dans le cas général reste mot pour mot la même. □

En utilisant un procédé de limite, on en déduit :

Corollaire 6 Soit V une sous-variété de A sur k, k-irréductible. Pour tout ε_{1} > 0, il existe δ_{1} = δ_{1}(ε_{1}, V, A, L) > 0 vérifiant les propriétés suivantes :

soient δ un entier supérieur à δ_{1}, et W une sous-variété de A sur k ne contenant pas V. Si

log deg_{L} W ≤ \frac{δ}{4dimV} ,

alors il existe x ∈ (V \ W)(\overline{k}) tel que

ĥ_{L}(x) ≤ \frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L} V} + ε_{1} et [k(x) : k] ≤ c_{0}(ε_{1}, A, L)(deg_{L} V)δ^{dimV} ,

où c_{0}(ε_{1}, A, L) est une constante strictement positive ne dépendant que de ε_{1}, A et L.

Démonstration : Quitte à remplacer L par L^{⊗4}, on suppose que le plongement φ : A ↪ ℙ^{n} associé au fibré en droites très ample symétrique L, est projectivement normal. Soit p un nombre premier et N un entier strictement positif. On considère le plongement projectif ψ = ψ_{p,L} de A, composé des plongements suivants

\begin{matrix}A & ↪ & A^{N} & ↪ & (ℙ^{n})^{N} & ↪_{Segre} & ℙ^{(n+1)^{N} −1} \\ x & ↦ & (x, [p]x, …, [p^{N−1}]x) \end{matrix}

Il s’agit du plongement enroulé défini dans [40] paragraphe 3. En notant h_{ψ} la hauteur associée à ce plongement, la proposition 7. de [40] nous dit que

deg_{ψ}(V) = (\frac{p^{2N} − 1}{p^{2} − 1})^{dimV} deg_{L}(V), et ĥ_{ψ}(V) = (\frac{p^{2N} − 1}{p^{2} − 1})^{dimV} ĥ_{L}(V).

Ainsi, en appliquant la proposition 9. de [40], on en déduit qu’il existe un réel c_{p} > 0 indépendant de N, tel que

| (\frac{p^{2N} − 1}{p^{2} − 1}) \frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L}(V)} − \frac{h_{O(1)}(ψ(V))}{deg_{k}(ψ(V))}| ≤ 8c_{p}N.  (2.1)

Soit maintenant ε_{1} > 0. On fixe p = 3 par exemple, et on choisit N = N(ε_{1}, A, L) le plus petit entier tel que

\frac{16c_{p}N + 1}{(\frac{p^{2N} −1}{p^{2}−1})} ≤ ε_{1}.

On va appliquer la proposition précédente 8 avec ε = 1, X = φ(V) et Y = φ(W). On choisit δ ≥ δ_{1}(ε_{1}, V, A, L) = max {8(dimV)^{2}N log p, δ_{0}(1, X)}, et on suppose que

log deg_{L}(W) ≤ \frac{δ}{4dimX} .

Avec ces choix, on a

log deg_{k} Y = dimV log (\frac{p^{2N} − 1}{p^{2} − 1}) + log deg_{L} W
≤ 2NdimV log p + log deg_{L} W
≤ 2NdimV log p + \frac{δ}{4dimV} ≤ \frac{δ}{2dimV} par choix de δ_{1}.

La proposition 8 nous dit qu’il existe y ∈ (φ(V) \ φ(W)) (\overline{k}) tel que :

h_{O(1)}(y) ≤ \frac{h_{O(1)}(X)}{deg_{k}(X)} + 1 ≤ 8c_{p}N + \frac{p^{2N} − 1}{p^{2} − 1} \frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L}(V)} + 1,

et tel que

[k(y) : k] ≤ deg_{k}(X)δ^{dimV} ≤ (\frac{p^{2N} − 1}{p^{2} − 1})^{dimV} deg_{L}(V)δ^{dimV} .

Par définition, il existe x ∈ V \ W tel que

y = φ(x), et tel que | h_{O(1)}(y) − \frac{p^{2N} − 1}{p^{2} − 1}ĥ_{L}(x) |≤ 8c_{p}N.

On en déduit

ĥ_{L}(x) ≤ \frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L} V} + \frac{16c_{p}N + 1}{(\frac{p^{2N} −1}{p^{2}−1})}, et [k(x) : k] ≤ (\frac{p^{2N} − 1}{p^{2} − 1})^{2dimV} δ^{dimV} deg_{L} V.

Le choix de N permet de conclure. □

2.3 Un lemme de majoration

Dans ce qui suit, A/k est une variété abélienne définie sur un corps de nombres k, et L est un fibré en droites symétrique très ample sur A. On suppose k plongé dans ℂ. On commence par rappeler un résultat classique concernant le corps de définition d’une sousvariété abélienne de A\overline{k}.

Lemme 2 Il existe une extension F/k finie, ne dépendant que de A, et notamment de degré majoré par une constante ne dépendant que de A, telle que toute sous-variété abélienne B de A\overline{k} soit définie sur F, i.e., il existe une sous-variété abélienne B_{0} de A_{F} telle que B_{0} ×_{F} \overline{k} ≃ B.

Démonstration : Le groupe End\overline{k}(A\overline{k}) est un ℤ-module de type fini. Il existe donc une extension finie F/k ne dépendant que de A telle que End\overline{k}(A\overline{k}) = End_{F} (A_{F}). Soit maintenant B une sous-variété abélienne de A\overline{k}. Par le théorème d’irréductibilité de Poincaré, il existe une sous-variété abélienne C de A\overline{k} et une isogénie φ : A\overline{k} → B ×C. En notant pr_{1} la projection de B ×C sur B, et i l’inclusion de B dans A\overline{k}, on a : f = i∘pr_{1} ∘φ ∈ End_{F} (A_{F}). Or B = f\overline{k}(A\overline{k}) = f\overline{k}(A_{F} ×_{F} \overline{k}) ≃ f(A_{F}) ×_{F} \overline{k}, donc en prenant B_{0} = f(A_{F}), on voit que B est définie sur F. □

Remarque 9 En fait on peut prendre F/k de degré inférieur à 3^{16dimA^{4}} (cf. [36] lemma 2.2.).

Au vu de ce lemme, on supposera dans toute la suite que toutes les sous-variétés abéliennes de A\overline{k}/\overline{k} sont définies sur k.

Lemme 3 Soient d un entier, et x ∈ A un point rationnel sur une extension de degré inférieur à d. Si x est un point de torsion modulo une sous-variété abélienne stricte B de A, alors on peut écrire x = y + ξ avec y ∈ B et ξ ∈ A(F)_{tors} où F est une extension de degré inférieur à c_{1}(A)d, c_{1}(A) étant une constante ne dépendant que de A.

Démonstration : On note π : A → A/B = C. On sait (cf. [11]) que l’on peut construire une sous-variété abélienne C′ de A telle que A = B +C′, et telle que Card (B ∩ C′) ≤ c_{1}(A) pour une constante c_{1}(A) ne dépendant que de A. Notons π′ = π_{|C′} l’isogénie de C′ vers C, et posons K = k(x). On peut écrire x = b + c′ avec b ∈ B et c′ ∈ C′. On a π(x) = π′(c′) ∈ C(K)_{tors}. L’application π′ étant une isogénie, le point c′ est de torsion, et il est rationnel sur une extension de K de degré majoré par c_{1}(A). □

Lemme 4 Soient d un entier, et x ∈ A un point rationnel sur une extension de degré inférieur à d. Si x est de torsion modulo une sous-variété abélienne stricte B de A, alors, il existe une sous-variété abélienne B_{x} stricte de A et un point de torsion ξ défini sur une extension de degré au plus c_{1}(A)d de k, tels que x ∈ (B_{x} + ξ) , et tels que

deg_{L} B_{x} ≤ c_{2}(A, L)d^{c_{3}(A)} max{1, ĥ_{L}(x)}^{c_{4}(A)}, où

c_{2} ne dépend que de A de L, et où c_{3}, c_{4} sont des constantes ne dépendant que de A.

Démonstration : On note G_{x} le plus petit sous-groupe algébrique contenant x, et on note B_{x} = G_{x}^{0} sa composante neutre. Par hypothèse sur x, la sous-variété abélienne B_{x} est strictement incluse dans A, et x est de torsion modulo B_{x}. Ainsi, le lemme 3 entraîne que x ∈ (B_{x} + ξ) avec ξ point de torsion défini sur une extension de degré au plus c_{1}(A)d de k. Il reste à voir que le degré de B_{x} est majoré comme on veut. On va pour cela utiliser l’article [10] de Bertrand. En suivant les notations de cet article, on note H(A) l’ensemble des classes d’isomorphismes de sous-variétés abéliennes de A. La proposition 1.(ii) de [10] nous assure que cet ensemble est fini. De plus, si K/k est une extension de degré d telle que le point x est K-rationnel, en utilisant le theorem p. 154 de [35], on note que le cardinal de A(K)_{tors} est majoré par c′_{8}(A)d^{7dim A}. Il en va donc de même du cardinal de Y (K)_{tors} pour toute sous-variété abélienne Y de A. Par le lemme 2, pour toute sous-variété abélienne Y de A, le cardinal du sous-groupe de torsion de (A/Y)(K) divise une quantité majorée par c′_{9}(A)d^{c′_{10}(A)}. Avec les notations de [10] poroposition 1. (i), on peut donc prendre ν(A/K) ≤ c′_{9}(A)d^{c′_{10}(A)}. En appliquant maintenant le Corollary p.239 et la remark 2. (i) p.231 de [10], et avec ses notations, on obtient la majoration

deg_{L} B_{x} ≤ c(A, K)^{−1}c′′_{9}(A, L)d^{c′_{11}(A)} max{1, ĥ_{L}(x)}^{g}.

Il nous suffit maintenant de montrer que c(A, K)≥ c′′_{11}(A, L)d^{−c′′_{10}(A)}. L’ensemble H(A, K)= H(A, k) de classes de K-isomorphismes de sous-variétés abéliennes de A est fini (et ne dépend que de A et k par le lemme 2) :

H(A, k) = {B_{1}, …, B_{n(A)}} .

On note b_{i} le degré de la polarisation sur B_{i} déduite de (A, L). On pose c′_{12}(A, L)= min b_{i} > 0. La remarque suivant le corollary p.239 de [10] nous indique alors (en mettant dans une même constante c_{2}(A, L) la dépendance en h_{Falt}(A) et en c′_{12}(A, L)) que

c(A, K) ≥ c′′_{11}(A, L)d^{−c′′_{10}(A)}.
□

Remarque 10 La preuve de ce lemme nous permet même de spécifier B_{x} : on peut prendre pour B_{x} la composante neutre du plus petit sous-groupe algébrique contenant le point x.

Remarque 11 Dans son article [45], Rémond obtient une version plus fine de ce lemme 4.

Soit D un entier. On définit une sous-variété de A sur k, notée Y (D, d), par :

Y (D, d) = ⋃_{B} (⋃_{ξ} (B + ξ)) ,

où B décrit l’ensemble E_{L}(D) des sous-variétés abéliennes strictes de A de degré (relativement à L) inférieur à D, et ξ décrit l’ensemble des points de torsion de A définis sur une extension de degré au plus c_{1}(A)d de k.

Lemme 5 Il existe une constante c_{5}(A, L) telle que

Card E_{L}(D) ≤ c_{5}(A, L)D^{(2dimA)^{2}}.

Démonstration : Le fibré L est très ample, donc il définit une forme de Riemann H_{L} sur t_{A(ℂ)}, telle que la forme symplectique E_{L} = ImH_{L}, est à valeurs entières sur le réseau des périodes Ω_{A(ℂ)}. En utilisant essentiellement le théorème de Riemann-Roch pour les variétés abéliennes, la proposition 3 p.269 de [12] nous indique que, si B est une sousvariété abélienne de A, alors

deg_{L} B = (dimB)!Vol_{E_{L}}Ω_{B(ℂ)},

où le volume est relatif à la norme || · || induite par la forme bilinéaire symétrique définie positive e_{L} donnée par e_{L}(x, y) = E_{L}(ix, y). En notant c′_{6}(A, L) le volume de la boule unitée de ℝ^{2dimA} pour cette norme, le théorème des minimas successifs de Minkowski nous permet d’en déduire qu’il existe une base de Ω_{B(ℂ)} formée d’éléments (notés {ω_{1}, …, ω_{2dimB}}) appartenant à Ω_{A(ℂ)}, tels que

∏_{i=1}^{2dimB} || ω_{i} ||≤ c′_{6}(A, L) deg_{L} B.

On pose c_{min}(A, L) = min {1, || λ_{i} || / λ_{i} ∈ Ω_{A(ℂ)} − {0}}, et on note ω_{max} le ω_{i} de plus grande norme. On a

|| ω_{max} || c_{min}(A, L)^{2g−1} ≤ ∏_{i=1}^{2dimB} || ω_{i} ||≤ c′_{6}(A, L)D.

Ainsi, on tire || ω_{max} ||≤ c′_{7}(A, L)D, ce qui entraîne

Card E_{L}(D) ≤ c_{5}(A, L)D^{(2dimA)^{2}}.
□

Lemme 6 Le degré relativement à L de Y (D, d) est majoré par une expression de la forme c_{6}(A, L)D^{c_{7}(A)}d^{c_{8}(A)}.

Démonstration : On sait par le theorem p. 154 de [35] que tout point de torsion de A(\overline{k}) défini sur une extension de degré inférieur à c_{1}(A)d est d’ordre majoré par c′_{8}(A)d^{7dim(A)}. On en déduit donc que l’ensemble des points de torsion définis sur une extension de degré inférieur à c_{1}(A)d est de cardinal majoré par

c′_{9}(A)d^{(7dim(A))(2dim(A)+1)}.  (2.2)

Par ailleurs, on sait majorer le cardinal de E_{L}(D) par le lemme précédent, donc l’additivité du degré nous donne

deg_{L} Y (D, d) ≤ D · (c_{5}(A, L)D^{(2dimA)^{2}}) · (c′_{9}(A)d^{(7dim(A))(2dim(A)+1)}) .  (2.3)

L’inégalité (2.3) est bien de la forme voulue. □

2.4 Preuve du théorème 27

Quitte à remplacer V par la réunion des σ(V) avec σ ∈ Gal(\overline{k}/k), précisément, quitte à prendre l’image schématique de V ⊂ A_{K} dans A, on peut supposer que V est définie sur k et k-irréductible. Soit ε > 0 un réel. On suppose par l’absurde qu’il existe une hypersurface Z de A sur k, ne contenant pas V mais contenant tous les points de V d’ordre infini modulo toute sous-variété abélienne stricte de A, et tels que la hauteur vérifie ĥ_{L}(x) ≤ \frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L} V} + ε. Soit alors, δ un entier non nul. On considère la sous-variété Y_{δ} de A sur k de codimension supérieure à 1, définie par

Y_{δ} = Y (D, d),

où Y (D, d) est définie comme au paragraphe précédent, et où

D = c_{2}(A, L) (\frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L}(V)} + ε)^{c_{4}(A)} (c_{0}(ε) deg_{L}(V)δ^{dimV} )^{c_{3}(A)} ,

et,

d = c_{0}(ε) deg_{L}(V)δ^{dimV} .

Par hypothèse, V n’est contenue dans aucune réunion de sous-variétés de torsion strictes de A, donc V ⊈ Y_{δ}. Il existe δ_{1}(ε, V, A, L) tel que pour tout δ ≥ δ_{1}(ε, V, A, L), on a l’inégalité

log deg_{L}(Y_{δ} ∪ Z) ≤ \frac{δ}{4dimV} .

En effet, par le lemme 6, on sait que

deg_{L} Y_{δ} ≤ c_{6}(A, L)D^{c_{7}(A)}d^{c_{8}(A)}.

En remplaçant D et d par leurs valeurs, et par additivité du degré, on en déduit l’inégalité pour tout δ ≥ δ_{1}(ε, V, A, L) assez grand. On se fixe désormais un tel δ, et on applique le corollaire 6 à Y_{δ} ∪ Z. On obtient ainsi un x ∈ V \ (Y_{δ} ∪ Z) tel que

ĥ_{L}(x) ≤ \frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L} V} + ε et [k(x) : k] ≤ c_{0}(ε)(deg_{L} V)δ^{dimV} .

Si x est un point de torsion modulo une sous-variété abélienne stricte de A, alors, le lemme 4 et le choix de D dans Y_{δ} entraîne que x ∈ Y_{δ}. Ceci est impossible, donc par définition de Z, x appartient à Z. Mais ceci est également impossible. Ceci conclut par l’absurde. □

2.5 Preuve du corollaire 3

On commence par rappeler le théorème de Zhang sur les minimas successifs (cf. [59] theorem 5.2, et [60] theorem 1.10). Plus exactement, on en donne une version affaiblie qui nous suffira, ne faisant intervenir que le minimum essentiel.

Théorème 28 (Zhang) Si V est une sous-variété de A sur K, alors

\frac{ĥ_{L}(V)}{(dim V + 1) deg_{L} V} ≤ μ_{L}^{ess}(V) ≤ \frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L} V} .

On peut maintenant passer à la preuve du corollaire 3 : soit ε > 0, le théorème 27 nous indique que l’ensemble des x ∈ V (\overline{k}) d’ordre infini modulo toute sous-variété abélienne stricte de A et qui sont de hauteur ĥ_{L}(x) ≤ \frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L} V} + ε est Zariski dense dans V. En utilisant le théorème 28 de Zhang, on en déduit que les points x ∈ V (\overline{k}) d’ordre infini modulo toute sous-variété abélienne, et de hauteur ĥ_{L}(x) ≤ (dim V + 1)μ_{L}^{ess}(V) + ε est Zariski dense dans V. En particulier cet ensemble est non-vide. On choisit un élément x dedans. En appliquant le théorème 1.5. de [19] ainsi que la remarque qui suit ce théorème, on en déduit

ĥ_{L}(x) ≥ \frac{c(A, L)}{δ_{L}(x)} (\frac{log log(3δ_{L}(x))}{log(2δ_{L}(x))})^{κ(g)} ,

où c(A, L) est une constante ne dépendant que de A et de L, et κ(g) est une constante effectivement calculable ne dépendant que de g (par exemple κ(g) = (2g(g + 1)!)^{g+2} convient). Or δ_{L}(x) ≤ δ_{L}(V) car une sous-variété de A contenant V contient x. On en déduit

ĥ_{L}(x) ≥ \frac{c(A, L)}{δ_{L}(V)} (\frac{log log(3δ_{L}(V))}{log(2δ_{L}(V))})^{κ(g)} .

Notamment on en conclut

(dim V + 1) μ_{L}^{ess}(V) + ε ≥ \frac{c(A, L)}{δ_{L}(V)} (\frac{log log(3δ_{L}(V))}{log(2δ_{L}(V))})^{κ(g)} .

Ceci termine la preuve en faisant tendre ε vers 0. □

2.6 Preuve du corollaire 4

On commence par prouver le corollaire dans un cas particulier, auquel on se ramènera ensuite.

Corollaire 7 Si A = ∏_{i=1}^{n} A_{i}^{r_{i}}, où les A_{i} sont simples, est de type C.M., et si V est une sous-variété algébrique stricte de A sur k, k-irréductible et qui n’est pas réunion de sous-variétés de torsion, alors, on a l’inégalité

\frac{ĥ_{M}(V)}{deg_{M}(V)} ≥ μ_{M}^{ess}(V) ≥ c(A, M) deg_{M}(V)^{− \frac{1}{s−dimV}} (log(2 deg_{M}(V)))^{−κ(s)} ,

où s est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique contenant V, et où M est le fibré en droites ample associé au plongement

A = ∏_{i=1}^{n} A_{i}^{r_{i}} ↪ ∏_{i=1}^{n} ℙ_{n_{i}}^{r_{i}} ↪^{Segre} ℙ^{N},

les A_{i} étant plongées dans ℙ_{n_{i}} par des fibrés L_{i} très amples et symétriques.

Démonstration : On note G le plus petit sous-groupe algébrique contenant V. On note G^{0} la composante connexe de l’identité de G. C’est une sous-variété abélienne de A, et elle est donc isogène à B = ∏_{i=1}^{n} A_{i}^{s_{i}} où 0 ≤ s_{i} ≤ r_{i}. On note alors π : A → B une projection naturelle obtenue par oubli de certaines coordonnées, de sorte que π_{|G} est une isogénie. Montrons maintenant que l’on est dans les conditions d’application du corollaire 3 en prenant comme variété abélienne B, et comme sous-variété algébrique π(V).

Si π(V) est inclus dans une réunion de sous-variétés de torsion ⋃ (C_{i} + ξ_{j}) où dim C_{i} < dimB, en notant H le plus petit sous-groupe algébrique contenant π(V), on a toujours dimH < dimB. Ainsi G_{1} = G ∩ π^{−1}(H) est un sous-groupe algébrique strict de G (car π_{|G} est une isogénie), contenant V. Ceci est absurde.

Si π(V) = B, alors V est de torsion. Ceci est absurde.

Finalement, π(V) est une k-sous-variété stricte de B, irréductible, et n’est pas incluse dans une réunion de sous-variétés de torsion strictes. On peut donc appliquer le corollaire 3. Par ailleurs, la hauteur et le degré sont définis relativement aux plongements

A = ∏_{i=1}^{n} A_{i}^{r_{i}} ↪ ∏_{i=1}^{n} ℙ_{n_{i}}^{r_{i}} ↪^{Segre} ℙ^{N_{A}}, et B = ∏_{i=1}^{n} A_{i}^{s_{i}} ↪ ∏_{i=1}^{n} ℙ_{n_{i}}^{s_{i}} ↪^{Segre} ℙ^{N_{B}}.

De plus l’application \overline{π} : ∏_{i=1}^{n} ℙ_{n_{i}}^{r_{i}} → ∏_{i=1}^{n} ℙ_{n_{i}}^{s_{i}} est la projection linéaire définie par oubli de coordonnées. Dans ce cas et pour ces plongements on a,

μ_{M_{B}}^{ess}(π(V)) ≤ μ_{M}^{ess}(V), et, deg_{M_{B}} π(V) ≤ deg_{M}(V).

Ceci nous donne

μ_{M}^{ess}(V) ≥ μ_{M_{B}}^{ess}(π(V)), d’où par le corollaire 3 et la remarque 5,
≥ c(B, M_{B}) (deg_{M_{B}} π(V))^{− \frac{1}{s−dimV}} (log 2 deg_{M_{B}} π(V))^{−κ(s)}
≥ c(B, M_{B}) (deg_{M} V)^{− \frac{1}{s−dimV}} (log 2 deg_{M}(V))^{−κ(s)} .
≥ c′(A, M) (deg_{M} V)^{− \frac{1}{s−dimV}} (log 2 deg_{M}(V))^{−κ(s)} ,

où on a pris pour c′(A, M) le minimum des c(B, M_{B}) quand s_{i} varie dans [[0, r_{i}]]. On conclut en appliquant le théorème 28 de Zhang. □

On donne maintenant la preuve du corollaire 4 : la variété abélienne A est donnée avec une isogénie ρ vers B = ∏_{i=1}^{n} A_{i}^{r_{i}}. Soit V la sous-variété de A comme dans les hypothèses. On vérifie que W = ρ(V) est une sous-variété de B vérifiant les mêmes hypothèses. Il résulte facilement de la preuve de la proposition 14. de [40] qu’il existe c′(A, L) tel que

ĥ_{L}(V) ≥ c′(A, L)ĥ_{M}(W).

Ainsi, en appliquant le résultat précédent, on en déduit presque l’inégalité voulue : il faut encore remplacer le degré deg_{M}(W) par deg_{L}(V). Or

deg_{M}(W) = (deg ρ) deg_{ρ^{∗}M}(V).

D’autre part ρ^{∗}M et L sont amples, donc on a des inégalités

c_{2}(A, L) deg_{ρ^{∗}M}(V) ≥ deg_{L} V ≥ c_{3}(A, L) deg_{ρ^{∗}M}(V).

En injectant ceci dans l’inégalité donnée par le corollaire 7 précédent, on peut conclure.

60

Problème de Lehmer pour les hypersurfaces de variétés abéliennes de type C.M.

Il s’agit, à quelques modifications de notations près, de l’article [43] paru dans la revue Acta Arithmetica.

3.1 Introduction

On sait depuis les travaux de Philippon [38] [39] [40], puis Bost, Gillet, Soulé [17] dans le cadre de l’intersection arithmétique, comment définir la hauteur des variétés projectives ; l’idée étant de considérer un point comme une variété de dimension zéro et de généraliser ceci en dimension supérieure. De même que dans le cas des points, on sait pour les variétés abéliennes munies d’un fibré en droites ample et symétrique définir une hauteur particulièrement agréable : la hauteur canonique ĥ_{L}, ou hauteur normalisée. En dimension zéro, il existe un théorème caractérisant les points de hauteur normalisée nulle ; c’est un résultat de Kronecker dans le cas de 𝔾_{m}. Philippon [40] (dans le cas d’un produit de courbes elliptiques) puis Zhang [61] et David-Philippon [20] dans le cas général ont montré comment généraliser ce résultat pour caractériser les sous-variétés de hauteur normalisée nulle : ce sont les translatées d’une sous-variété abélienne par un point de torsion. On dit qu’une telle sous-variété est une sous-variété de torsion. La réponse à cette question résoud une conjecture de Bogomolov qui, dans sa formulation initiale a été démontrée en premier par Ullmo [56]. Ceci étant, on peut se demander comment minorer la hauteur normalisée d’une sous-variété de hauteur non-nulle d’une variété abélienne. Dans leur article [20], David et Philippon ont formulé un problème général (le problème 1.7) contenant cette question. En terme du degré défini ci-dessous, on peut notamment faire ressortir de la discussion suivant la formulation de leur problème l’énoncé suivant :

Conjecture 13 (David-Philippon) Soit A une variété abélienne définie sur un corps de nombres k, munie d’un fibré ample et symétrique L. Soit V une sous-variété stricte de

\frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L}(V)} ≥ c(A/k, L) deg_{L}(V)^{− \frac{1}{s−dimV}} ,

où s est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique contenant V, et où c(A/k, L) est une constante ne dépendant que de A/k et de L.

3.1.1 Degré et hauteur

Soient k un corps de nombres supposé plongé dans ℂ, et O_{k} son anneau d’entiers. On dira que V est une variété algébrique sur k si V est un k-schéma de type fini géométriquement réduit. On dira que G est un groupe algébrique sur k si c’est une variété en groupes sur k. On dira que A est une variété abélienne définie sur k si c’est un groupe algébrique connexe propre et lisse sur k. Par sous-variété on entendra toujours sous-variété fermée.

Définition 28 On dit qu’une variété abélienne simple A/k sur un corps de nombres est de type C.M. si son anneau d’endomorphismes tensorisé par ℚ contient (après éventuellement extension du corps de base) un corps commutatif F de dimension 2 dimA sur ℚ. Une variété abélienne A/k est dite de type C.M. si son anneau d’endomorphismes tensorisé par ℚ contient un produit de corps de nombres K_{1} × ⋯ × K_{r} tels que ∑[K_{i} : ℚ] = 2 dimA.

Soit X une variété projective munie d’un plongement φ_{L} : X ↪ ℙ_{k}^{n} défini par un fibré L très ample sur X. Si O(1) dénote le fibré standard sur ℙ_{O_{k}}^{n}, on a φ_{L}^{∗}O(1)_{k} ≃ L. On note \overline{O(1)} le fibré standard muni de la métrique de Fubini-Study. Si V est une sous-variété de X, on note V_{L} l’adhérence schématique de φ_{L}(V) dans ℙ_{O_{k}}^{n}.

Définition 29 Si L est un fibré ample sur une variété abélienne A, et V une sous-variété de A, on définit le degré de la variété V relativement à L, et on note deg_{L} V l’entier deg (c_{1}(L)^{dimV} · V ) où deg est le degré projectif usuel d’un 0-cycle.

Définition 30 On appelle hauteur de la variété V associée à L, et on note h_{L}(V) le réel h\overline{O(1)}(V_{L}) où h\overline{O(1)}(.) est la hauteur, au sens de Bost-Gillet-Soulé [17], associée au fibré hermitien \overline{O(1)}.

Remarque 12 Par le théorème 3 p. 366 de [53], h_{L}(V) coincide avec la hauteur h(f_{V,L}) de Philippon, telle que définie au paragraphe 2. de [40], où f_{V,L} est une forme éliminante de l’idéal de définition de φ_{L}(V) dans k[X_{0}, …, X_{n}]. (Le terme d’erreur de [53] disparait du fait du changement de normalisation pour la hauteur de Philippon entre les articles [38] et [40]).

Définition 31 Dans le cas où X = A est une variété abélienne, et où L est de plus symétrique, Philippon [40], puis Zhang [60] avec des méthodes arakeloviennes, ont montré en utilisant un procédé de limite à la Néron-Tate, comment définir une hauteur canonique, notée ĥ_{L}(.), sur l’ensemble des sous-variétés de A. Cette hauteur vérifie notamment : si V est une sous-variété de A, de stabilisateur G_{V}, et si n est un entier, alors,

ĥ_{L} ([n](V)) = \frac{n^{2(dimV +1)}}{| ker [n] ∩ G_{V} |}ĥ_{L}(V).

Définition 32 Soit A/k une variété abélienne. On dit qu’une sous-variété V de A/k est une sous-variété de torsion de A si V\overline{k} = a + B avec a ∈ A_{tors} et B une sous-variété abélienne de A\overline{k}.

D’après les résultats de Philippon [40], David-Philippon [20] et Zhang [60], on a, si V est une sous-variété de A\overline{k}/\overline{k}, géométriquement irréductible

ĥ_{L}(V) = 0 si et seulement si V est une sous-variété de torsion.

Définition 33 Soient V une sous-variété de A sur k, et θ un nombre réel positif. On pose V (θ, L) = \{x ∈ V (\overline{k}) / ĥ_{L}(x) ≤ θ\} . On définit alors le minimum essentiel de V, et on note μ̂_{L}^{ess}(V) le réel

μ̂_{L}^{ess}(V) = inf \{θ > 0 / \overline{V (θ, L)} = V \} ,

où \overline{V (θ, L)} est l’adhérence de Zariski de V (θ, L) dans A.

3.1.2 Résultats

Dans la direction de la conjecture 13, on a le résultat suivant (cf. corollaire 2 de [42]) :

Théorème 29 Soient A une variété abélienne de type C.M., L un fibré en droites ample et symétrique de A et V une sous-variété algébrique stricte de A sur k, k-irréductible et telle que V\overline{k} n’est pas réunion de sous-variétés de torsion. On a l’inégalité

\frac{ĥ_{L}(V)}{deg_{L}(V)} ≥ μ̂_{L}^{ess}(V) ≥ c(A/k, L) deg_{L}(V)^{− \frac{1}{n−dimV}} (log(2 deg_{L}(V)))^{−κ(n)} ,

où n est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique contenant V, et où κ(n) est une constante effectivement calculable ne dépendant que de n (par exemple la fonction κ(n) = (2n(n + 1)!)^{n+2} convient).

On se restreint dans cet article au cas particulier des hypersurfaces V d’une variété abélienne de type C.M. Dans ce cas et sous les hypothèses du théorème précédent, on a nécessairement n = g. En effet, par définition n appartient à {g − 1, g}. De plus, si n était égal à g − 1, alors V serait une réunion de sous-variétés de torsion, ce qui contredit l’hypothèse faite sur V. Ainsi, dans le cas des hypersurfaces, la conjecture est la suivante :

Conjecture 14 Sous les hypothèses précédentes, et en supposant de plus que V est hypersurface de A, on a l’inégalité

ĥ_{L}(V) ≥ c(A/k, L),

où c(A/k, L) est une constante ne dépendant que de A/k et de L.

De même, le théorème 29 se spécialise en

Théorème 30 Sous les hypothèses précédentes, et en supposant que V est une hypersurface de A, on a l’inégalité

ĥ_{L}(V) ≥ deg_{L}(V)μ̂_{L}^{ess}(V) ≥ c(A/k, L) (log(2 deg_{L}(V)))^{−κ(g)} ,

où g est la dimension de A, et où κ(g) est une constante effectivement calculable ne dépendant que de g (par exemple κ(g) = (2g(g + 1)!)^{g+2} convient).

Dans ce cadre restreint aux hypersurfaces, on montre un résultat sensiblement plus fin en direction de la conjecture 14 : on peut prendre pour κ une valeur absolue, indépendante de g. En notant δ_{i,j} le symbole de Kronecker (valant 1 si i = j et 0 sinon), on démontre ici le résultat suivant :

Théorème 31 Si A est une variété abélienne de type C.M., L un fibré en droites ample et symétrique de A et si V est une hypersurface irréductible de A sur k telle que V\overline{k} n’est pas réunion de sous-variétés de torsion, alors, on a l’inégalité

ĥ_{L}(V) ≥ deg_{L}(V)μ̂_{L}^{ess}(V) ≥ c(A/k, L)\begin{matrix}(log log 3 deg_{L} V) & 1+2δ_{g−s,1} \\ (log 2 deg_{L} V) & 2+δ_{g−s,1} \end{matrix} ,

où s est la dimension du stabilisateur de V.

Notons que δ_{g−s,1} = 0 sauf si A/k est le produit E ×B d’une courbe elliptique E/k et d’une variété abélienne B/k, et si V est de la forme \overline{\{P \}} × B, où P est un point \overline{k}-rationnel de E qui n’est pas de torsion. Dans ce cas, en supposant que A/k est une courbe elliptique, L le fibré associé au diviseur 3(0), et où V = \overline{\{P \}} est l’ensemble des conjugués d’un point non de torsion P ∈ A(K) dans une extension finie D = [K : k], on retrouve exactement le résultat de Laurent [31] sur le problème de Lehmer elliptique, à savoir

ĥ(P) ≥ \frac{c(A)}{D} (\frac{log log 3D}{log 2D})^{3} .

Dans le cas d’une “vraie” hypersurface, (i.e., quand δ_{g−s,1} = 0), on obtient une minoration un peu meilleure.

La démonstration suit fondamentalement les idées (et reprend une grande partie des preuves) de l’article de David-Hindry [19] concernant le problème de Lehmer pour les points d’une variété abélienne. Il s’agit en fait d’une extension d’un travail de Amoroso-David [3] concernant le cas des tores, au cas des variétés abéliennes de type C.M. On fait un raisonnement par l’absurde, et on se fixe une hypersurface V contredisant la conclusion du théorème. La preuve consiste essentiellement en une preuve de transcendance classique. On commence tout d’abord par construire une fonction auxiliaire, nulle avec un grand ordre sur V. Pour cela on met en oeuvre une astuce dûe à Amoroso-David (qu’ils introduisent dans [3]) permettant de se ramener à un système d’équations fini et de hauteur controlée. Ceci nous permet d’appliquer un lemme de Siegel pour construire la fonction auxiliaire F. La deuxième partie de la preuve, l’extrapolation, consiste à montrer que F continue à s’annuler avec un ordre relativement grand sur les transformées α_{v}(V) de V par certaines isogénies α_{v} où v décrit un ensemble de places finies convenables du corps de définition k (les α_{v} sont des relevées sur A/k des morphismes de Frobenius en caractéristique finie p_{v}. C’est pour assurer l’existence de ces isogénies que l’on se restreint au cas C.M.). Il s’agit d’une extrapolation aux places v-adiques. L’idée pour montrer ceci est d’appliquer une généralisation du petit théorème de Fermat : c’est la méthode employée pour la première fois par Dobrowolski [23] dans le cas du problème de Lehmer sur 𝔾_{m}. Cette idée a ensuite été reprise par Laurent [31] dans le cas des courbes elliptiques à multiplication complexes puis étendue au cas des variétés abéliennes de type C.M. par David-Hindry [19]. C’est cette dernière généralisation que nous allons reprendre. Ceci étant fait, il suffit pour conclure d’appliquer le théorème de Bézout géométrique pour aboutir à une contradiction (pour peu que les différents paramètres intervenant dans l’étape de transcendance aient étés convenablement choisis). Pour cette dernière étape, on a besoin d’avoir une bonne minoration du degré de l’union des α_{v}(V). Ceci se fait en suivant les calculs de [19].

Remerciements : Je tiens à remercier Sinnou David pour m’avoir suggérer l’écriture de cet article, et je tiens également à remercier Marc Hindry pour les nombreuses discussions que nous avons eu sur le sujet.

3.2 Frobenius, isogénies admissibles et dérivations

3.2.1 Morphismes de Frobenius

On commence par introduire quelques notations :

Si k est un corps de nombres, on note O_{k} son anneau d’entiers, v une place finie de k, et k_{v} le corps résiduel associé à v.

Si A/k est une variété abélienne, on note A/O_{k} son modèle de Néron, et A_{v}/k_{v} la fibre spéciale correspondant à la place finie v. Rappelons la propriété universelle du modèle de Néron : si X /O_{k} est lisse, de fibre générique X/k, tout k-morphisme X → A se relève de manière unique en un O_{k}-morphisme X → A.

Sur la variété A_{v}/k_{v}, on dispose d’un endomorphisme particulier : le morphisme de Frobenius Frob_{v}, correspondant en coordonnées projectives à l’élévation à la puissance q = N(v), où N(v) est la norme K/ℚ de v.

La propriété universelle du produit fibré A_{v} = A ×_{O_{k}} k_{v} permet d’associer naturellement à tout O_{k}-endomorphisme de A un k_{v}-endomorphisme de A_{v}. En utilisant la propriété universelle du modèle de Néron, on en déduit une flèche naturelle

Ψ : End_{k}(A) → End_{k_{v}}(A_{v}).

Cette flèche n’est en général pas surjective, mais on peut par contre montrer qu’elle est injective aux places de bonne réduction. Dans le cas C.M., un théorème de Shimura-Taniyama permet d’affirmer que le morphisme Frob_{v} se relève en presque toutes places :

Proposition 9 (Shimura-Taniyama) Soit A/k une variété abélienne de type C.M. Notons ∏_{i=1}^{r} K_{i} le produit de corps de nombres inclus dans End_{k}(A) ⊗ ℚ et tel que ∑_{i=1}^{r}[K_{i} : ℚ] = 2 dimA. On suppose que le corps de nombres k contient tous les K_{i}, et que ∏_{i=1}^{r} O_{K_{i}} est inclus dans End_{k}(A). Alors, pour presque toutes places, l’endomorphisme Frob_{v} se relève en un k-endomorphisme α_{v} de A. On appelera morphisme de Frobenius sur A un tel endomorphisme.

Démonstration C’est le Theorem 1 paragraphe III.13 de [49]. □

Ce sont ces morphismes de Frobenius sur A/k qui vont nous permettre d’écrire l’étape d’extrapolation.

Remarque 13 En fait on pourrait spécifier les places qu’il faut exclure dans la proposition, mais nous n’en aurons pas besoin. Par ailleurs, pour pouvoir appliquer le théorème, il faut vérifier deux conditions : la première est toujours satisfaite quitte à faire une extension de degré borné de k. La seconde n’est pas toujours satisfaite, mais on peut toujours trouver une variété abélienne isogène qui la vérifie.

Quitte à faire une extension de degré borné de k, et quitte à prendre une variété abélienne isogène à la variété de départ, on supposera désormais toujours que les hypothèses de la proposition 9 sont satisfaites.

3.2.2 Isogénies admissibles

On rappelle la notion d’isogénie admissible telle qu’introduite dans [19].

Définition 34 Soient A une variété abélienne et L un fibré ample sur A. Une isogénie α de A est dite admissible par rapport à L si

1. α est dans le centre de End(A).

2. il existe un entier q(α) appelé poids de α tel que α^{⋆}L ≃ L^{⊗ q(α)}.

Remarque 14 En fait la condition (1) ne sert qu’a simplifier l’énoncé du lemme 9. C’est la condition (2) qui importe vraiment. Les seules isogénies qui nous intéresseront sont les relevées α_{v} des morphismes de Frobenius qui sont admissibles (cf. la Proposition 10).

Lemme 7 Soient A une variété abélienne de dimension g munie d’un fibré en droites très ample L, et α une isogénie admissible relativement à L, de poids q = q(α). Dans le plongement projectif de A, associé à L, A ↪ ℙ_{n}, on a :

1. card (ker(α)) = q^{g},

2. pour toute sous-variété V de A de stabilisateur G_{V}, on a

deg_{L} (α(V)) = \frac{q^{dim(V)}}{|G_{V} ∩ ker(α)|} deg_{L}(V)

Démonstration Le point (1) est facile : par définition, α^{⋆}L ≃ L^{⊗q}. On a donc,

q^{g} deg_{L}(A) = deg_{L^{⊗q}}(A) = deg_{α^{⋆}L}(A) = |ker(α)| deg_{L}(A).

L’amplitude de L nous assure que le dernier degré est strictement positif. On simplifie pour conclure. Pour le point (2), il s’agit du point (ii) du lemme 6. de [29]. □

Lemme 8 Soient G un sous-groupe algébrique de la variété abélienne A/k, L un fibré très ample sur A, et α une isogénie admissible relativement à L de poids q(α) de A. On a

q(α)^{dim G} ≤ card (ker(α) ∩ G) ≤ [G : G^{0}] q(α)^{dim G}.

Démonstration On note que

[G : G^{0}] card (ker(α) ∩ G^{0}) ≥ card (ker(α) ∩ G) ≥ card (ker(α) ∩ G^{0}) .

La restriction de α à la sous-variété abélienne G^{0} est encore une isogénie admissible de poids q(α) pour (G^{0}, L_{|G^{0}}) (cf. Lemme 2.4. point (ii) de [19]). Par le point (1) du lemme 7 précédent, on en déduit que le cardinal du noyau de cette isogénie α_{|G^{0}} est q(α)^{dim G^{0}}. □

Soit V une sous-k-variété stricte de A, k-irréductible. Le lemme suivant (dont l’origine remonte à Dobrowolski [23]) montre que les images par une isogénie admissible des composantes géométriquement irréductibles de V\overline{k} sont essentiellement distinctes. On commence pour cela par donner une définition :

Définition 35 Soient A une variété abélienne et L un fibré en droites ample sur A. Deux isogénies admissibles de A par rapport à L sont dites premières entre elles si leurs poids sont premiers entre eux.

Lemme 9 Soient A une variété abélienne sur k de dimension g ≥ 1, L un fibré en droites très ample sur A, V une sous-k-variété stricte de A, irréductible sur k. Si V\overline{k} n’est pas une réunion de sous-variétés de torsion de A\overline{k}, on a :

1. Pour tout couple (α, β) d’isogénies admissibles pour L, de poids distincts, pour tout σ ∈ Gal(\overline{k}/k), et pour toute composante géométriquement irréductible W de V\overline{k}, les sous-variétés α(W) et β (σ(W)) sont distinctes.

2. Soit P un ensemble d’isogénies admissibles pour L, deux à deux premières entre elles. Notons V_{1}, …, V_{M} les composantes géométriquement irréductibles de V\overline{k}, et notons Q le sous-ensemble de P défini par

Q = {α ∈ P / ∃i, j, 1 ≤ i < j ≤ M, α(V_{i}) = α(V_{j})} .

Le cardinal de Q est majoré par \frac{log M}{log 2} .

Démonstration Dans ce contexte il s’agit de la proposition 2.7. de [19] □

On conclut ce paragraphe en “rappelant” que les morphismes de Frobenius sur A/k sont des isogénies admissibles :

Définition 36 Soient A une variété abélienne et L un fibré en droites ample sur A. Suivant Mumford , on dit que L est totalement symétrique si L est le carré d’un fibré symétrique.

Le théorème de Lefschetz (cf. par exemple le Theorem A.5.3.6 de [30]) nous indique que si L est un fibré ample, alors L^{⊗3} est très ample.

Proposition 10 Soient A/k une variété abélienne de type C.M. vérifiant les hypothèses de la proposition 9, et L un fibré très ample et totalement symétrique sur A. Soit α_{v} un morphisme de Frobenius sur A pour la place finie v. Alors, α_{v} est une isogénie admissible pour L de poids q(α).

Démonstration C’est la proposition 3.3. de [19]. □

3.3 Données

3.3.1 Situation

Définition 37 On dit qu’une sous-variété X de ℙ_{n} est projectivement normale si son anneau de coordonnées S(X) est un anneau normal (i.e., intégralement clos).

On peut montrer (cf. par exemple Birkenhake-Lange [13] p. 190-193) que X ⊂ ℙ_{n} est projectivement normale si et seulement si elle est normale, et pour tout d ≥ 0 la flèche naturelle

H^{0}(ℙ_{n}, O_{ℙ_{n}}(d)) → H^{0}(X, O_{X}(d))

est surjective.

Concernant les variétés abéliennes plongées de manière projectivement normale, on a le résultat suivant que l’on trouve dans [13] theorem 3.1 p. 190.

Proposition 11 Soient A/k une variété abélienne, et L un fibré ample sur A. Pour tout n ≥ 3, le fibré L^{⊗n} définit un plongement projectivement normal de A dans un espace projectif ℙ_{n}.

Soient A/k une variété abélienne sur un corps de nombres, munie d’un fibré symétrique ample L. Quitte à travailler avec L^{⊗4} plutôt qu’avec L, on peut supposer que L est très ample, totalement symétrique et définit un plongement projectivement normal de A dans un projectif ℙ_{n}. On note M = L⊠L le fibré sur A×A associé à L. Soit V une k-hypersurface irréductible de A. On note I_{V} l’idéal de définition de V dans ℙ_{n}. Si N est un entier, on a

\begin{aligned}V & ⊂ & A & ↪^{i} & A × A & ↪ & ℙ_{n} × ℙ_{n} & ↪_{Segre} & ℙ_{(n+1)^{2}−1} \\ & & x & ↦ & (x, [N]x) \end{aligned}

Soient L et T deux entiers. On note {s_{0}, …, s_{l}} une base de H^{0}(A × A, M). On peut, par projective normalité, choisir une base {Q_{1}, …, Q_{m}} du k-vectoriel H^{0} (A × A, M^{⊗L}) telle que tous les Q_{i} sont homogènes de degré L en les s_{j}. De plus, on peut aussi voir les s_{i} comme des (1, 1)-formes homogènes de k[X, Y] où X = (X_{0}, …, X_{n}), et Y = (Y_{0}, …, Y_{n}). Enfin on note T_{B} l’espace tangent à l’origine de la sous-variété abélienne B = i(A) de A×A définie par y = [N]x.

3.3.2 Choix des paramètres

Soit C_{0} un réel positif, on note s la dimension du stabilisateur de V, et δ_{i,j} le symbole de Kronecker (valant 1 si i = j et 0 sinon). On pose

N_{1} = [C_{0}^{g+2} (log 2 deg_{L} V)^{1+δ_{g−s,1}} (log log 3 deg_{L} V)^{1−2δ_{g−s,1}}] ,

m = [\frac{log (C0^{\frac{g+1}{2}} (deg_{L} V)^{\frac{1}{2}} (log 2 deg_{L} V)^{\frac{1}{2}} (log log 3 deg_{L} V)^{−1})}{log 2}] , N = 2^{m+1}

T = [C_{0}^{g+1} deg_{L} V log 2 deg_{L} V (log log 3 deg_{L} V)^{−3}] ,
L = [C_{0}^{g+ \frac{1}{2}} deg_{L} V log 2 deg_{L} V (log log 3 deg_{L} V)^{−2}] ,

et,

T_{1} = [C_{0}^{g} deg_{L} V (log log 3 deg_{L} V)^{−2}] .

Ces paramètres sont choisis de sorte que :

1. le nombre N est une puissance de 2 et vérifie l’encadrement

\frac{N}{2} ≤ C0^{\frac{g+1}{2}} (deg_{L} V)^{\frac{1}{2}} (log 2 deg_{L} V)^{\frac{1}{2}} (log log 3 deg_{L} V)^{−1} < N.

2. N^{2} > L + 1, afin qu’une forme F bihomogène de bi-degré (L, L) qui est nonidentiquement nulle sur A × A, ne soit pas identiquement nulle sur la sous-variété abélienne B.

3. le minimum essentiel des variétés intervenant est borné, autrement dit,

N^{2}N_{1}μ̂^{ess}(V) ≤ c,

4. T > L, où T va être l’ordre d’annulation dans le lemme de Siegel, et L le degré du polynôme construit.

5. T > T_{1}, puisqu’on ne peut pas, par extrapolation espérer un ordre d’annulation meilleur que celui dont on est parti (T_{1} étant l’ordre d’annulation sur les sous-variétés sur lesquelles on extrapole).

On fixe un premier p_{0} (ne dépendant que de A) tel que pour tout premier p ≥ p_{0} et pour toute place v divisant p, le morphisme de Frobenius α_{v} sur A existe. On fixe alors pour chaque premier p ≥ p_{0} une place v au dessus de p. On note P_{k} l’ensemble des places ainsi obtenues.

Dans toute la suite, les inégalités que l’on écrira seront vraies pour tout deg_{L} V et C_{0} assez grands (i.e., plus grands qu’une constante ne dépendant que du couple (A, L)).

3.4 Lemme de Siegel

But : fabriquer un polynôme, F = ∑_{i=1}^{m} b_{i}Q_{i}, à coefficients entiers relatifs, en les fonctions abéliennes de A × A, tel que F est de “petite” hauteur, et tel que F s’annule à un ordre supérieur à T sur i(V), le long de T_{B}.

En notant Θ l’application thêta définie sur T_{A(ℂ)} par la composition

\xymatrix{T_{A(ℂ)} \ar[r]^{^{exp^{A(ℂ)}}} & A(ℂ) \ar[r]^{φ_{L}} & ℙ_{n}}

associée à L, ceci correspond à trouver une solution de petite hauteur au système d’inconnues les b_{i}

\frac{∂^{κ}F (Θ(u + z), Θ(N(u + z))}{∂z^{κ}}_{|z=0} = 0,  (3.1)

pour tout | κ |≤ T et u ∈ T_{A(ℂ)} tels que Θ(u) ∈ V (\overline{k}).

Lemme 10 Soit θ > μ̂_{L}^{ess}(V). Il existe un entier d_{0} tel que si F est une solution du système

\frac{∂^{κ}F (Θ(u + z), Θ(N(u + z))}{∂z^{κ}}_{|z=0} = 0,  (3.2)

pour tout | κ |≤ T et u ∈ T_{A(ℂ)} tels que Θ(u) appartient à l’ensemble fini

S_{d_{0}}(θ) = \{x ∈ V (\overline{k}) / ĥ_{L}(x) ≤ θ, [k(x) : k] ≤ d_{0}\} ,

alors, F est une solution du système (3.1).

Démonstration Soit d ≥ 0 un entier. On peut noter que l’ensemble S_{d}(θ) est stable sous l’action de Gal(\overline{k}/k) car V est une k-variété. Par ailleurs, on a clairement S_{d}(θ) ⊂ S_{d+1}(θ) pour tout d ≥ 0. Notons k[X]_{L} le k-espace vectoriel des polynômes homogènes de degré L, et A_{d}(θ) le sous-k-espace vectoriel associé à S_{d}(θ). La suite (A_{d}(θ))_{d∈ℕ} est une suite décroissante d’espaces vectoriels de dimension finie, elle est donc stationnaire. Notons d_{0} l’indice à partir duquel cette suite est stationnaire. Par ailleurs, tous ces espaces contiennent le k-vectoriel I_{V}^{(T)}_{|L} où I^{(T)} est la puissance symbolique T -ième de I. Par définition de d_{0}, si P est un polynôme homogène de degré L nul sur S_{d_{0}}, il appartient à A_{d_{0}}(θ), et donc il s’annule sur ⋃_{d≥0} S_{d}(θ). De plus, par définition du minimum essentiel, ⋃_{d≥0} S_{d}(θ) est Zariski-dense dans V, donc le polynôme P s’annule sur V. Ainsi, dans le système (3.1), on peut se restreindre aux u ∈ T_{A(ℂ)} tels que Θ(u) appartient à S_{d_{0}}(θ). Par un théorème classique de Northcott, cet ensemble est fini. □

On appelle système (3.2) le nouveau système ainsi obtenu. On passe maintenant à une estimation du rang.

Lemme 11 Il existe une constante c_{1} telle que le rang du système (3.1) est majoré par

c_{1}T (LN^{2})^{g−1} deg_{L} V.

Démonstration Il s’agit du lemme (ou plutôt de la preuve du lemme) 5.1 de [19]. En effet, dans ce lemme, les auteurs de [19] cherchent à obtenir une majoration du rang du sytème

\frac{∂^{κ}F (Θ(u + z), Θ(N(u + z))}{∂z^{κ}}_{|z=0} = 0,  (3.3)

où u est le logarithme d’un point Q fixé. L’idée est d’appliquer “l’astuce de Philippon-Waldschmidt” (voir [41] paragraphe 6, lemme 6.7). Pour majorer le rang de ce système, ils se donnent une variété V de dimension d contenant le point Q, et il majorent le système

\frac{∂^{κ}F (Θ(u + z), Θ(N(u + z))}{∂z^{κ}}_{|z=0} = 0,  (3.4)

pour tout | κ |≤ T et u ∈ T_{A(ℂ)} tels que Θ(u) ∈ V (\overline{k}). Il obtiennent comme majorant du rang de ce système le nombre c_{1}T^{g−d}(LN^{2})^{d} deg_{L} V. (on remplace dans leurs notations T_{0} par T). En appliquant ceci à l’hypersurface V considérée, on obtient donc le résultat cherché. □

On peut maintenant énoncer le lemme de Siegel qui nous intéresse. Si F = ∑ a_{i}X^{i} est un polynôme coefficients dans \overline{k}, on définit classiquement sa hauteur h(F) comme étant la hauteur logarithmique absolue du point projectif défini par 1 et tous les coefficients a_{i} de F.

L’objectif de l’article consiste à montrer que, deg_{L}(V)μ̂_{L}^{ess}(V) > \frac{c(A/k,L)}{log 2 deg_{L}(V)^{α}}. On peut donc toujours supposer que μ̂_{L}^{ess}(V) est strictement inférieur à 1.

Proposition 12 Il existe une solution F = ∑_{i=1}^{m} b_{i}Q_{i}, b_{i} ∈ ℤ du système (3.1) de degré L et de hauteur

h(F) ≤ c_{2}C_{0}^{\frac{1}{2} (g+1)} deg_{L}(V) log 2 deg_{L}(V)(log log 3 deg_{L} V)^{−2}.

Démonstration Soit 1 > θ > μ̂_{L}^{ess}(V). Par le lemme 10 il suffit, pour trouver une solution du système (3.1), de trouver une solution du système (2). Ceci remarqué, on est ramené à une preuve classique. On suit pour cela la preuve du lemme 5.4. de [19].

On commence par évaluer la hauteur de système (2). Le système (18) ainsi que l’inégalité qui suit p. 42 de [19] nous indique que la hauteur de chaque coefficient du système est majorée par

c′_{4}LN^{2}θ + T (log(T + L) + log N) .  (3.5)

Par ailleurs, le nombre d’inconnues I est dim H^{0} (A × A, M^{⊗L}). Le théorème de Riemann-Roch pour les variétés abéliennes nous assure que I vérifie l’encadrement

c_{5}L^{2g} ≤ I ≤ c_{6}L^{2g}.  (3.6)

Notons M la matrice du système (2). Elle est définie sur k, donc si 𝔅 dénote le noyau de M, il est muni d’une k-structure. Si 𝔟 est la dimension de 𝔅, on a 𝔟 = I − rg(M). Le lemme de Siegel classique (cf. par exemple Schmidt [48] Lemma IVB, p.10) nous indique alors qu’il existe une solution non-triviale comme recherchée, de hauteur

h(F) ≤ c_{7} \frac{h (𝔅)}{𝔟},  (3.7)

où h (𝔅) représente la hauteur du point 𝔅 défini dans la grassmannienne correspondante. De plus, le Lemma IV p.10 de [48] nous indique que h (𝔅) = h (𝔅^{⊥}) . L’espace 𝔅^{⊥} étant l’espace vectoriel engendré par les colonnes de M, sa hauteur est par définition majorée par celle d’un mineur maximal Δ_{max} de M. Cette dernière hauteur est majorée par

h(Δ_{max}) ≤ c_{8}rg(M) (log(rgM) + c′_{4}LN^{2}θ + T (log(T + L) + log N))
≤ c_{9}T (LN^{2})^{g−1} deg_{L} V (log(2 deg_{L} V) + 2T log T) ,

la première inégalité découlant de (3.5), et la seconde du lemme 11 en utilisant également le fait que T > L et T > N. En remplacant T et N par leur valeur, on obtient

h(Δ_{max}) ≤ c_{10}L^{g−1}C_{0}^{(g+1)^{2}}(deg_{L} V log 2 deg_{L} V)^{g+2}(log log 3 deg_{L} V)^{−2(g+2)}.  (3.8)

De plus, par l’inégalité (3.6), et par le choix de L, on a

𝔟 ≥ c_{11}L^{g−1} (L^{g+1} − c_{1}T (N^{2})^{g−1} deg_{L} V ) ≥ c_{12}L^{(g+1)}L^{(g−1)}.

En remplaçant L^{g+1} par sa valeur, on obtient la minoration

𝔟 ≥ c_{13}C_{0}^{(g+1)(g+ \frac{1}{2} )}L^{g−1}(deg_{L} V log 2 deg_{L} V)^{g+1}(log log 3 deg_{L} V)^{−2(g+1)}.  (3.9)

On reprend maintenant l’inégalité (3.7) en remplaçant les paramètres par leurs valeurs. On obtient ainsi l’inégalité

h(F) ≤ c_{2}C_{0}^{\frac{1}{2} (g+1)} deg_{L}(V) log 2 deg_{L}(V)(log log 3 deg_{L} V)^{−2}.□

Remarque 15 La fonction auxiliaire F ainsi construite est une forme bihomogène de bidegré (L, L) non identiquement nulle sur A × A. Elle n’est donc pas identiquement nulle sur B car N^{2} > L + 1.

3.5 Extrapolation

On veut montrer dans ce paragraphe que F s’annule sur i (α_{v}(V)), pour v ∈ P_{k} appartenant à un ensemble convenable. Pour cela, on utilise un argument remontant à Dobrowolski [23] dans son célèbre article sur la conjecture de Lehmer sur les points pour 𝔾_{m}. Cet argument a été réécrit et adapté dans le cadre des variétés abéliennes de type C.M. dans l’article [19] suivant des idées de Laurent [31]. Ce que l’on fait ici repose sur le paragraphe 6 de [19].

Proposition 13 La fonction auxiliaire F est nulle sur i (α_{v}(V)) à un ordre supérieur à T_{1} le long de T_{B} pour toute place v ∈ P_{k} de norme comprise entre \frac{1}{2}N_{1} et N_{1}.

Démonstration Soit 1 > θ > μ̂_{L}^{ess}(V). Il s’agit de reprendre la proposition 6.5. de [19]. On conserve donc leurs notations. Soient v une place comme dans l’énoncé, R un point de V (\overline{k}) défini sur une extension k′ de k de hauteur normalisée inférieure à θ, et w une place de k′ au dessus de v. Notons R = (R_{0}, …, R_{n}) un système de coordonnées projectives de R dans O_{w}, telles que || R ||_{w}= 1. Soit ∂^{κ} un opérateur différentiel d’ordre | κ |≤ T_{1} le long de T_{B(ℂ)}. L’application du petit théorème de Fermat dans le cadre des variétés abéliennes nous donne

|∂^{κ}F (F_{α_{v}}(R), F^{(N)} ∘ F_{α_{v}}(R))|_{w} ≤ |π_{v}|_{w}^{T −|κ|},  (3.10)

où F_{α_{v}} et F^{(N)} sont des formes homogènes de O_{k}[X] de degré respectifs N(v) et 4^{m+1}, représentant respectivement l’endomorphisme de Frobenius sur A associé à v, et la multiplication par N = 2^{m+1}. Il s’agit de l’inégalité (20) p.47 de [19]. On veut maintenant sommer sur toutes les places w au-dessus de v. Malheureusement, le choix du système de coordonnées projectives pour R dépend de w. On est donc obliger d’alourdir les notations pour pallier ce probème. Soient S, S_{N}, S_{α_{v}}, S_{N,α_{v}} des coordonnées projectives non nulles de R, F^{(N)}(R), F_{α_{v}}(R), F^{(N)} ∘ F_{α_{v}}(R) respectivement. On note de plus S_{w,N}, S_{w,α_{v}}, S_{w,N,α_{v}} des coordonnées des ces points de valeur absolue w-adique maximale.

Soit maintenant ∂^{κ} un opérateur différentiel de longueur minimale pour lequel

∂^{κ}F (F_{α_{v}}(R), F^{(N)} ∘ F_{α_{v}}(R))

est non nul. Si |κ| est supérieur à T_{1}, on a gagné. Sinon on applique la formule de Leibniz en utilisant que F est bihomogène de bidegré (L, L). On a donc

∂^{κ}F (\frac{F_{α_{v}}(R)}{S_{α_{v}}}, \frac{F^{(N)} (F_{α_{v}}(R))}{S_{N,α_{v}}}) = \frac{∂^{κ}F (F_{α_{v}}(R), F^{(N)} (F_{α_{v}}(R)))}{S_{α_{v}}^{L}S_{N,α_{v}}^{L}}

Or ceci est égal à

∂^{κ}F (\frac{F_{α_{v}}(R)}{S_{w,α_{v}}}, \frac{F^{(N)} (F_{α_{v}}(R))}{S_{w,N,α_{v}}}) · \begin{matrix}(S_{w,α_{v}}S_{w,N,α_{v}}) & L \\ (S_{α_{v}}S_{N,α_{v}}) & L \end{matrix} .

On réécrit alors l’inégalité (3.10) en passant au log, en sommant sur toutes les places w au-dessus de v et en notant n_{w} les degrés locaux :

∑_{w/v} n_{w} log (|∂^{κ}F (\frac{F_{α_{v}}(R)}{S_{α_{v}}}, \frac{F^{(N)} (F_{α_{v}}(R))}{S_{N,α_{v}}})|_{w})  (3.11)

≤ (T − |κ|) ∑_{w/v} n_{w} log(|π_{v}|_{w}) + L ∑_{w/v} n_{w} log (\frac{|S_{w,α_{v}}S_{w,N,α_{v}}|_{w}}{|S_{α_{v}}S_{N,α_{v}}|_{w}} ) .  (3.12)

Or

∑_{w/v} n_{w} log(|π_{v}|_{w}) = [k′ : k] log(|π_{v}|_{v}) ≤ −[k′ : k] log (N(v))  (3.13)

De plus, on peut voir que

∑_{w/v} n_{w} log (\frac{|S_{w,α_{v}}S_{w,N,α_{v}}|_{w}}{|S_{α_{v}}S_{N,α_{v}}|_{w}} ) ≤ [k′ : k] (h_{L}(α_{v}(R)) + h_{L}(Nα_{v}(R)))  (3.14)
≤ [k′ : k] (N(v)ĥ_{L}(R)+ N^{2}N(v)ĥ_{L}(R)+ c_{14}) . (3.15)

C’est l’inégalité (21) p. 49 de [19]. En tenant compte du fait que le point R est supposé de hauteur (de Néron-Tate) inférieure à θ, et en injectant ceci dans (3.12), on obtient, en remplaçant les paramètres par leur valeur, l’inégalité

−\frac{1}{[k′ : k]} ∑_{w/v} n_{w} log (|∂^{κ}F (\frac{F_{α_{v}}(R)}{S_{α_{v}}}, \frac{F^{(N)} (F_{α_{v}}(R))}{S_{N,α_{v}}})|_{w}) ≥ \frac{1}{2}T log N_{1}.  (3.16)

Il reste à majorer le membre de gauche de cette dernière inégalité. Notons A ce membre de gauche. Par définition de la hauteur (absolue logarithmique) projective, on a

A ≤ h ((∂^{κ}F (\frac{F_{α_{v}}(R)}{S_{α_{v}}}, \frac{F^{(N)} (F_{α_{v}}(R))}{S_{N,α_{v}}}))^{−1})

= h (∂^{κ}F (\frac{F_{α_{v}}(R)}{S_{α_{v}}}, \frac{F^{(N)} (F_{α_{v}}(R))}{S_{N,α_{v}}})) ,

ceci ayant un sens grace à l’hypothèse de non nullité de ∂^{κ}F (⋯). Il ne reste maintenant plus qu’à majorer cette dernière hauteur. Il s’agit d’un calcul classique (cf. par exemple [19] p. 50). On obtient

A ≤ c_{15} (T_{1} log(T_{1} + L) + LN^{2}N(v)θ + h(F)) .  (3.17)

Finalement, en mettant ensemble les inégalités (3.16) et (3.17), on obtient

T log N_{1} ≤ c_{16}T_{1} log(T_{1} + L) + c_{16}LN^{2}N_{1}θ + c_{16}h(F).  (3.18)

On remplace les différents paramètres par leurs valeurs, et on obtient pour le membre de gauche de l’inégalité,

C_{0}^{g+1} deg_{L}(V) log 2 deg_{L}(V)(log log 3 deg_{L}(V))^{−2},

et pour le membre de droite,

c_{17}C_{0}^{g} deg_{L}(V) log 2 deg_{L}(V)(log log 3 deg_{L}(V))^{−2}.

Dès que C_{0} est assez grand, on aboutit à une contradiction. □

3.6 Conclusion

On commence par minorer le degré de l’union des variétés transformées de V.

Proposition 14 Soient A une variété abélienne sur k de dimension g ≥ 1, L un fibré en droites ample sur A, et V une sous-k-variété stricte de A, irréductible sur k. On suppose que V\overline{k} n’est pas une réunion de sous-variétés de torsion de A, et que le nombre M de composantes géométriques de V\overline{k} est majoré par c_{3} deg_{L}(V)^{g}. On considère enfin un ensemble d’isogénies β_{v} admissibles deux à deux premières entre elles, avec v ∈ P_{k}^{1} = P_{k} ∩ [[\frac{N_{1}}{2} , N_{1}]]. On a :

deg ( ⋃_{v∈P_{k}^{1}} β_{v}(V)) ≥ c_{4} \frac{deg_{L}(V) N_{1}^{g−dim G_{V}}}{log N_{1}} .

Démonstration Soit W une composante géométriquement irréductible de V\overline{k}. Pour v ∈ P_{k}^{1}, on a, β_{v} étant définie sur k,

card (ker(β_{v}) ∩ G_{σ(W)}) = card (ker(β_{v}) ∩ G_{W}) .

Par ailleurs, comme W n’est pas une sous-variété de torsion de A (sinon V\overline{k} serait réunion de telles sous-variétés), le point (2) du lemme 9 nous indique que l’égalité β_{v}(W) = β_{v} (σ(W)) (et W ≠ σ(W)) n’est possible que pour au plus \frac{log M}{2} ≤ c_{17} log 2 deg_{L} V éléments v de P_{k}^{1}. Notons P_{k}^{1⋆} le sous-ensemble de P_{k}^{1} obtenu en enlevant ces éléments. Le théorème de Chebotarev nous indique que

card (P_{k}^{1}) ≥ c_{18} \frac{N_{1}}{log N_{1}} .  (3.19)

En remplaçant N_{1} par sa valeur, on constate que

card (P_{k}^{1⋆}) ≥ \frac{1}{2}card (P_{k}^{1}) .  (3.20)

En utilisant l’additivité du degré et les lemmes précédents, on a

deg_{L} ( ⋃_{v∈P_{k}^{1}} β_{v}(V)) ≥ deg_{L} ( ⋃_{v∈P_{k}^{1⋆},σ∈Gal(\overline{k}/k)} β_{v}(σ(W))) .

Par le lemme 9, ceci est supérieur à

∑_{v∈P_{k}^{1⋆}} deg_{L} ( ⋃_{σ∈Gal(\overline{k}/k)} β_{v}(σ(W))) .

Enfin, le lemme 7 nous donne l’inégalité

deg_{L} ( ⋃_{v∈P_{k}^{1}} β_{v}(V)) ≥ M deg_{L} W ∑_{v∈P_{k}^{1⋆}} \frac{q(β_{v})^{dim V}}{| G_{W} ∩ ker(β_{v}) |}.

Le lemme 2.1. (ii) de [19] nous indique que

deg_{L} G_{W} = [G_{W} : G_{W}^{0} ] deg_{L}(G_{W}^{0} ) ≤ deg_{L}(V)^{g}

En particulier on en déduit que

[G_{W} : G_{W}^{0} ] ≤ deg_{L}(V)^{g}.

De plus, les β_{v} étant premiers entre eux, on a

∏_{v∈P_{k}^{1⋆}} | ker(β_{v}) ∩ G_{W} |= |ker ( ∏_{v∈P_{k}^{1⋆}} β_{v}) ∩ G_{W} | .  (3.21)

En appliquant le lemme 8, on en déduit

|ker ( ∏_{v∈P_{k}^{1⋆}} β_{v}) ∩ G_{W} | ≤ [G_{W} : G_{W}^{0} ] ( ∏_{v∈P_{k}^{1⋆}} q(β_{v}))^{s} .  (3.22)

En appliquant l’inégalité arithmético-géométrique, on obtient

deg ( ⋃_{v∈P_{k}^{1}} β_{v}(V)) ≥ c_{4} deg_{L}(V)\frac{card (P_{k}^{1⋆}) N_{1}^{g−1}}{(∏_{v∈P_{k}^{1⋆}} | ker(β_{v}) ∩ G_{W} |)^{\frac{1}{card(P{1⋆ \atop k})}}} .  (3.23)

En appliquant l’inégalité (3.22) et la minoration du cardinal de P_{k}^{1⋆}, on obtient

deg ( ⋃_{v∈P_{k}^{1}} β_{v}(V)) ≥ c_{4} \frac{deg_{L}(V) N_{1}^{g}}{log N_{1} [G_{W} : G_{W}^{0} ]^{\frac{log N_{1}}{c_{56}N_{1}}} ∏_{v∈P_{k}^{1⋆}} q(β_{v})^{\frac{g}{P{1⋆ \atop k}}}} .  (3.24)

Enfin par définition de P_{k}^{1}, on a la majoration q(β_{v}) ≤ N_{1}. En appliquant ceci et la majoration de l’indice de G_{W}^{0} dans G_{W}, on a

deg ( ⋃_{v∈P_{k}^{1}} β_{v}(V)) ≥ c_{4} \frac{deg_{L}(V) N_{1}^{g−dim G_{V}}}{log N_{1}} .  □  (3.25)

Remarque 16 C’est uniquement pour assurer l’inégalité (3.20) que l’on est conduit à choisir l’exposant du terme log log dans N_{1} tel qu’indiqué, plutôt que l’exposant −\frac{1}{g−dim G_{V}} qui serait plus proche des choix de [3]. Cette amélioration dans [3] est rendue possible par la résolution de deux complications techniques : passage à une hypersurface secondaire explicitement construite, et raffinement galoisien.

Ceci étant, on peut maintenant démontrer le théorème recherché.

Démonstration : on suppose par l’absurde que l’inégalité du théorème à prouver n’est pas vérifiée pour C_{0} = c(A/k, L)^{− \frac{1}{g+3}} assez grand (i.e. c(A/k, L) suffisamment petit). Dans cette preuve, on considère, pour alléger les notations, la variété abélienne A, comme étant plongée dans ℙ_{n}. Notons Z l’hypersurface sur k de ℙ_{n} associée à la forme F ∘ φ de degré (N^{2} + 1)L. Par choix de N (à savoir (N^{2} + 1) > L), la variété Z ∩ A est une hypersurface de A. De plus, par la proposition 13, on sait que cette hypersurface contient les variétés irréductibles α_{v}(V) avec une multiplicité supérieure à T_{1}, pour toute place v de norme comprise entre \frac{1}{2}N_{1} et N_{1}. Donc le théorème de Bézout géométrique nous donne :

T deg_{L}(V) + T_{1} deg_{L} ( ⋃_{\frac{N_{1}}{2} ≤N(v)≤N_{1}} α_{v}(V)) ≤ (deg_{L} A)L(N^{2} + 1).

Cette inégalité implique en particulier que le nombre M de composantes géométriquement irréductibles de V est majoré par une expression de la forme c_{3} deg_{L}(V)^{g}. On peut donc appliquer la proposition 14 avec β_{v} = α_{v}. Celle-ci et l’inégalité obtenue par le théorème de Bézout nous fournissent l’inégalité

T_{1} \frac{deg_{L}(V) N_{1}^{g−dim G_{V}}}{log N_{1}} ≤ c_{19}(A)L(N^{2} + 1),  (3.26)

On remplace maintenant les paramètres par leurs valeurs pour conclure. Si C_{0} est assez grand, l’inégalité est contredite : si s = g − 1, les deux membres sont du même ordre de grandeur, or, dans le membre de gauche, on a un terme constant de la forme C_{0}^{2g+2}, alors que dans le membre de droite, le terme constant est de la forme C_{0}^{2g+ \frac{3}{2}} ; sinon l’ordre de grandeur du membre de gauche est supérieur à celui du terme de droite. (En fait, T_{1} est construit exactement pour contredire cette inégalité). □

Deuxième partie

Problème de Lehmer sur les points Problème de Lehmer sur 𝔾_{m} et méthode des pentes

4.1 Introduction

Soit x un nombre algébrique. On note h(x) sa hauteur de Weil logarithmique absolue. Cette hauteur est un nombre positif et un théorème de Kronecker affirme alors que h(x) = 0 si et seulement si x est une racine de l’unité. Le problème de Lehmer consiste à trouver la minoration optimale, en fonction du degré de ℚ(x), de la hauteur h(x) quand x n’est pas une racine de l’unité. On a la conjecture

Conjecture 15 (Problème de Lehmer) Il existe un réel c > 0 tel que pour tout point x ∈ \overline{ℚ}, de degré D sur ℚ, qui n’est pas une racine de l’unité, on a

h(x) ≥ \frac{c}{D}.

Dans cette direction, on doit à E. Dobrowolski le meilleur résultat inconditionnel (au choix de la constante c près) dans l’article [23] :

Théorème 32 (Dobrowolski) Il existe un réel c > 0 tel que pour tout nombre x ∈ \overline{ℚ}, de degré D sur ℚ, qui n’est pas une racine de l’unité, on a

h(x) ≥ \frac{c}{D} (\frac{log log(3D)}{log(2D)})^{3} .

Dans ce qui suit, on retrouve ce résultat, essentiellement en transcrivant la preuve de E. Dobrowolski dans le formalisme des pentes que J.-B. Bost a introduit dans [15]. L’objectif était ici de voir dans quelle mesure les preuves de transcendance “classiques” concernant le problème de Lehmer peuvent se traduire en utilisant l’inégalité des pentes. Il serait maintenant intéressant d’essayer d’adapter la preuve du théorème 2 de Laurent dans ce langage. L’idée est que l’inégalité des pentes permet de mieux exploiter la géométrie des objets avec lesquels on travaille. Si ceci n’est pas flagrant dans le cas de 𝔾_{m}, cela le serait certainement plus dans le cas d’une courbe elliptique E, où le formalisme des pentes permettrait d’incorporer directement l’inégalité sur la hauteur de Néron-Tate, sans avoir à passer par l’artifice consistant à plonger E dans E × E et à considérer un “gros” multiple du point considéré en vue de minimiser la différence entre hauteur de Néron-Tate et hauteur de Weil. On pourrait peut-être obtenir ainsi un parallélisme complet pour le problème de Lehmer sur le groupe multiplicatif et sur les courbes elliptiques à multiplication complexe.

On peut mentionner dans la direction de la conjecture 1.1. l’article de C.J. Smyth [52] qui démontre cette conjecture dans le cas des nombres algébriques non-réciproques, l’article de A. Schinzel [47] qui démontre la conjecture dans le cas des nombres totalement réels, ainsi que le papier de F. Amoroso et S. David [2] qui généralise en dimension supérieure la conjecture de Lehmer et le résultat de Dobrowolski. En corollaire de leur résultat, les auteurs de [2] prouvent la conjecture de Lehmer classique dans le cas où ℚ(x)/ℚ est une extension galoisienne.

4.2 Notations et préliminaires

Avant de commencer la preuve, rappelons que l’on peut toujours se placer dans le cas où x est un entier algébrique.

Lemme 12 Si x ∈ \overline{ℚ} − \overline{ℤ} est de degré D, alors h(x) ≥ \frac{log 2}{D}.

Désormais on fera toujours l’hypothèse que x est un entier algébrique qui n’est pas une racine de l’unité.

4.2.1 Notations

Soient A un anneau et n un entier. Dans toute la suite, on notera A^{n}[X] le A-module des polynômes, en une indéterminée, de degré inférieur à n. Par exemple, ℤ_{p}^{n}[X] dénote le module des polynômes de degré au plus n sur l’anneau des entiers p-adiques ℤ_{p}.

Soit φ un morphisme entre deux ℤ-fibrés hermitiens \overline{E} et \overline{F}. Si K est un corps, on note E_{K} le fibré E ⊗ K et φ_{K} le morphisme déduit de φ par extension des scalaires à K. Enfin, on note || φ ||_{p} la norme d’opérateur de φ_{ℚ_{p}} et || φ ||_{ℂ} la norme de l’opérateur φ_{ℂ}.

Convention Sur ℚ on définit la valeur absolue p-adique | · |_{p} par la convention |p|_{p} = p^{−1}.

Définition 38 Soient \overline{E} est un ℤ-fibré hermitien de rang 1 et s une section globale non nulle de E. On définit le degré arithmétique et on note

d̂eg \overline{E} = − ∑_{p premiers} log || s ||_{p} − log || s ||_{ℂ} .

La formule du produit assure que cette définition est indépendante du choix de s. Si \overline{E} est un ℤ-fibré hermitien de rang supérieur r, on pose

d̂eg \overline{E} = d̂eg ( \overline{⋀^{max} E} ) ,

où on a muni ⋀^{max} E de la métrique déterminant

∀(x_{1} ∧ … ∧ x_{r}, y_{1} ∧ … ∧ y_{r}) ⟨(x_{1} ∧ … ∧ x_{r}), (y_{1} ∧ … ∧ y_{r})⟩ := det (⟨x_{i}, y_{j}⟩_{1≤i,j≤r}) .

Définition 39 Soit \overline{E} un ℤ-fibré hermitien, on définit sa pente et on note

μ̂ (\overline{E}) = \frac{d̂eg \overline{E}}{rg E} .

Ceci permet de définir la pente maximale d’un ℤ-fibré hermitien \overline{E},

μ̂_{max} (\overline{E}) = max_{\{0\}⊊F ⊂E} μ̂ (\overline{F} ) ,

où on a muni les sous–fibrés F ⊂ E de la métrique induite par restriction de E à F.

4.2.2 Un morphisme pour l’inégalité des pentes

On se donne un entier algébrique x ∈ \overline{ℤ} de degré D, de polynôme minimal Δ_{−1} unitaire à coefficients entiers. Si p_{k} est un nombre premier avec k ≥ 0, on note Δ_{p_{k}} (ou Δ_{k} ou Δ_{p} s’il n’y a aucune confusion possible) le polynôme minimal (qui est unitaire à coefficients entiers) de l’entier algébrique x^{p_{k}}. Quitte à faire un petit raisonnement par récurrence, on peut supposer que tous les x^{p} que l’on considère sont de même degré que x :

Lemme 13 Soit f une fonction de ℕ dans ℝ, strictement positive et décroissante. Si on a h(x) ≥ \frac{f(D)}{D} sous l’hypothèse [∀p premier ℚ(x^{p}) = ℚ(x)] . Alors, la même inégalité est vraie sans cette hypothèse.

Démonstration : On raisonne par récurrence sur D = [ℚ(x) : ℚ]. Si ℚ(x^{p}) ⊊ ℚ(x), alors, x est racine de X^{p} − x^{p} ∈ ℚ(x^{p}). On a alors, deux possibilités : soit ce polynôme est irréductible (cas (i)), soit il ne l’est pas (cas (ii)). Dans le cas (i), on a [ℚ(x) : ℚ(x^{p})] = p et l’hypothèse de récurrence donne

h(x^{p}) ≥ \frac{1}{[ℚ(x^{p}) : ℚ]}f([ℚ(x^{p}) : ℚ]).

Ainsi, on a

h(x) = \frac{1}{p}h(x^{p}) ≥ \frac{1}{p[ℚ(x^{p}) : ℚ]}f([ℚ(x^{p}) : ℚ]) = \frac{1}{D}f([ℚ(x^{p}) : ℚ]),

et on conclut par décroissance de f. Dans le cas (ii), alors, on sait que x^{p} ∈ [ℚ(x^{p})]^{p}. Ainsi, il existe y ∈ ℚ(x^{p}) tel que y^{p} = x^{p}. Donc, il existe ζ une racine p-ième de l’unité, telle que y = ζx. Finalement, on en déduit

h(x) = h(y) ≥ \frac{1}{[ℚ(x^{p}) : ℚ]}f([ℚ(x^{p}) : ℚ]) ≥ \frac{1}{D}f([ℚ(x^{p}) : ℚ]),

et on conclut là encore par décroissance de f. □

Notons que ce lemme permet de faire l’économie du lemme combinatoire de Dobrowolski. On suppose désormais que [ℚ(x) : ℚ(x^{p})] = 1. Par ailleurs, comme x n’est pas une racine de l’unité, on a h(x) ≠ h(x^{p}) donc, pour tous plongements σ, σ′ : K ↪ ℂ, on a σ(x) ≠ σ′(x^{p}).

Soient L, T et N des paramètres entiers à fixer ultérieurement.

Si Δ est un polynôme de A^{L}[X], on note (Δ) le sous-A-module de A^{L}[X] “engendré” par Δ. Plus précisément, on pose

(Δ) = {P ∈ A^{L}[X]/ ∃Q ∈ A^{L}[X] P = ΔQ } .

Par ailleurs, on note P_{N} = \{p ∈ [[\frac{N}{2} , N[[ / p premier \} , qui est non vide par le Postulat

de Bertrand, et on définit deux ℤ-fibrés :

E = ℤ^{L}[X] ≃ ℤ^{L+1}, et, F = (E/(Δ_{−1}^{T})) × ∏_{p∈P_{N}} (E/(Δ_{p})) .

Remarque 17 Dans F, on veut quotienter par un module (Δ_{−1}^{T}) non trivial afin de pouvoir extrapoler dans le corollaire 9. Pour cela, il faut nécessairement que l’inégalité DT ≤ L soit vérifiée. On suppose désormais cette inégalité vérifiée.

Remarque 18 Comme Δ_{−1} et Δ_{p} sont des polynômes unitaires dans ℤ[X], on peut effectuer la division euclidienne par Δ_{−1} et Δ_{p}. Ceci permet d’identifier F et le fibré trivial

ℤ^{DT +∑_{p∈P_{N}} deg Δ_{p}}.

On définit maintenant le morphisme entre ℤ-fibrés pour lequel on veut appliquer l’inégalité des pentes.

φ : E → F
P ↦ (R_{−1} , (R_{p})_{p∈P_{N}} )

où R_{−1} est le reste de la division euclidienne par Δ_{−1}^{T} et où pour tout p, R_{p} est le reste de la division euclidienne par Δ_{p}.

4.3 “Lemme de zéros”

Pour appliquer l’inégalité des pentes, il faut que le morphisme φ soit injectif. On note n le cardinal de l’ensemble P_{N} = {p_{1}, ⋯, p_{n}}.

Lemme 14 Si L < D(T + n), alors, le morphisme φ est injectif.

Démonstration : En effet, dans le cas contraire, un polynôme non nul dans le noyau aurait strictement plus de zéros comptés avec multplicité que son degré. □

Or pour tout N assez grand, le théorème des nombres premiers nous donne

n = ∑_{p∈P_{N}} 1 ≥ \frac{N}{4 ln N} .

On suppose désormais que L vérifie l’encadrement DT < L < D (T + \frac{N}{4 ln N} ).

4.4 Inégalité des pentes

4.4.1 La filtration

On définit la filtration de F

F_{n} = {0} ⊂ F_{n−1} ⊂ ⋯ ⊂ F_{0} ⊂ F_{−1} = F, où,

F_{0} = {(P_{1}, (P_{p})_{p∈P_{N}}) / P_{1} = 0} et,

∀k ∈ [[1, n]], F_{k} = {(P_{1}, (P_{p})_{p∈P_{N}}) / P_{1} = 0, P_{p_{1}} = 0, ⋯, P_{p_{k}} = 0} .

On pose alors pour tout entier k entre 0 et n − 1,

G_{−1} = F_{−1}/F_{0} ≃ ℤ^{T deg Δ_{−1}} ≃ ℤ^{DT} , G_{k} = F_{k}/F_{k+1} ≃ ℤ^{deg Δ_{k}} ≃ ℤ^{D}, et,
E_{−1} = E, E_{k} = φ^{−1}(F_{k}).

On munit le fibré E ≃ ℤ^{L+1} de la métrique du fibré trivial et les sous-fibrés E_{k} des métriques de restriction de celle de \overline{E}. De même, on munit les fibrés G_{k} des métriques triviales.

Pour k compris entre −1 et n − 1, on note φ_{k} : \overline{E_{k}} → \overline{G_{k}} et φ̃_{k} : \overline{E_{k}/E_{k+1}} → \overline{G_{k}} les morphismes déduits de φ, où E_{k}/E_{k+1} est muni de la métrique quotient.

Remarque 19 On a, E_{0} = {P ∈ E /P est nul à un ordre ≥ T en x} et pour tout entier

k ∈ [[1, n]],

E_{k} = {P ∈ E /P nul à un ordre ≥ T en x, nul en x^{p_{1}}, ⋯, nul en x^{p_{k}}} .

Une autre manière de dire, consiste à dire que E_{0} = (Δ_{−1}^{T}), et ∀k ≥ 0, E_{k} = (Δ_{−1}^{T}Δ_{1} … Δ_{k}).

4.4.2 L’inégalité des pentes

Avec nos notations, en notant d̂eg le degré arithmétique et μ̂_{max} la pente maximale, on peut énoncer une version de l’inégalité des pentes de J.-B. Bost sous la forme :

d̂eg_{n} \overline{E} ≤ ∑_{k=−1}^{n−1} rg (E_{k}/E_{k+1})(μ̂_{max}(\overline{G_{k}}) + ∑_{p premiers} log || φ_{k} ||_{p})
+ ∑_{k=−1}^{n−1} log || ⋀^{max} φ̃_{k} ||_{ℂ} .

(4.1)

C’est le théorème 19 du chapitre 1. Il s’agit essentiellement de l’inégalité (4.14) de la Proposition 4.6. de [16] dans laquelle on n’a pas remplacé les termes || ⋀^{r} φ^{i} || par || φ^{i} ||^{r} aux places archimédiennes.

Il nous reste maintenant à calculer les différents termes intervenant dans cette inégalité.

4.4.3 Évaluation de rg(E_{k})

Par construction, on sait que E_{k}/E_{k+1} ↪ G_{k}. Par ailleurs, on calcule facilement le rang de E_{k}/E_{k+1} :

Si k = −1, rg(E_{k}/E_{k+1}) = DT.

Soit k_{0} = [\frac{L}{D} − T ] . Pour k < k_{0}, on a

rgE_{k} = L + 1 − D(T + k),

et pour k > k_{0}, on a

rgE_{k} = 0.

4.4.4 Calcul des degrés et des pentes

Le fibré hermitien \overline{E} ainsi que les fibrés hermitiens \overline{G_{k}} sont isomorphes (comme fibrés hermitiens) à des fibrés triviaux, donc, pour tout entier k entre −1 et n − 1,

d̂eg (\overline{E}) = 0, et, μ̂_{max}(\overline{G_{k}}) = 0.

4.4.5 Calcul des || φ_{k} ||_{p} : l’extrapolation

Dans ce paragraphe, on se donne p un nombre premier et k un entier compris entre −1 et n − 1. On veut obtenir une majoration de || φ_{k} ||_{p}.

Calcul des || φ_{k} ||_{l}, l premier quelconque

Soient k ≥ 0 et P ∈ ℤ_{l}^{L}[X] (ℤ_{l}-module des polynômes de degré inférieur à L) de norme 1, i.e., tel que

si P = ∑ a_{i}X^{i}, alors, max_{i} | a_{i} |_{l}= 1.

Dans ce cas, en écrivant la division euclidienne de P par Δ_{k}, P = Δ_{k}Q_{p_{k}} + R_{p_{k}}, on a

|| φ_{k}(P) ||_{l}=|| R_{p_{k}} ||_{l}≤ 1, car R_{p_{k}} est à coefficients l-entiers.

Le même résultat vaut pour || φ_{−1}(P) ||_{l}. Ainsi, on a

∀ k ∈ [[−1, n − 1]], || φ_{k} ||_{l}≤ 1.

Raffinement pour l = p_{k}

On considère comme précédemment k compris entre 0 et n−1 et on prend cette fois l = p_{k}. On va donner une majoration plus fine de || φ_{k} ||_{p_{k}} en utilisant le fait que φ_{k} est défini sur les polynômes nuls en x à un ordre supérieur à T. On va pour cela énoncer un lemme du type “petit théorème de Fermat”.

Lemme 15 Soient p un nombre premier, Δ_{−1} le polynôme minimal de x et Δ_{p} le polynôme minimal (supposé unitaire mais de degré éventuellement inférieur à celui de Δ_{−1}) de x^{p}. Alors, il existe un polynôme A ∈ ℤ[X] et un polynôme R ∈ ℤ^{deg Δ_{p}−1}[X], tel que

Δ_{−1} = AΔ_{p} + pR,

autrement dit, le reste de la division euclidienne de Δ_{−1} par Δ_{p} est divisible par p.

Démonstration : On commence par démontrer le lemme dans le cas où Δ_{p} est de même degré que Δ_{−1}. Dans ce cas,

Δ_{−1}(X) = ∏_{σ:ℚ(x)↪ℂ}(X − σ(x)), et Δ_{p}(X) = ∏_{σ:ℚ(x)↪ℂ}(X − σ(x)^{p}).

On sait (par division euclidienne dans ℤ[X] pour des polynômes unitaires) qu’il existe S ∈ ℤ[X] de degré inférieur à D − 1 tel que Δ_{−1} = Δ_{p} + S. On va calculer S et montrer qu’il est en fait de la forme pR avec R ∈ ℤ[X]. En notant x_{i} pour i ∈ [[1, D]] les images de x par tous les ℚ(x)-plongements dans ℂ et en notant s_{i}(X_{1}, …, X_{D}) la i-ième fonction symétrique élémentaire, on a (dans ℤ[X])

Δ_{p}(X) = Δ_{−1}(X) + ∑_{i=0}^{D−1} (s_{D−i}(x_{1}^{p}, …, x_{D}^{p}) − s_{D−i}(x_{1}, …, x_{D})) X^{i}.

Ainsi, pour conclure, il reste à voir que

∀i ∈ [[0, D − 1]], s_{D−i}(x_{1}^{p}, …, x_{D}^{p}) − s_{D−i}(x_{1}, …, x_{D}) ∈ pℤ.

Or Δ_{−1} est à coefficients entiers, donc s_{D−i}(x_{1}, …, x_{D}) est dans ℤ et est donc congru à A = (s_{D−i}(x_{1}, …, x_{D}))^{p} modulo p par le petit théorème de Fermat. Ainsi, il suffit de voir que s_{D−i}(x_{1}^{p}, …, x_{D}^{p}) est congru à A modulo p. En développant A avec la formule du multinôme, on obtient

A = s_{D−i}(x_{1}^{p}, …, x_{D}^{p}) + pf(x_{1}, …, x_{D}),

où f(X_{1}, …, X_{D}) est un polynôme symétrique à coefficients entiers. Ainsi, il s’exprime comme un polynôme à coefficients entiers en les fonctions symétriques élémentaires et donc (comme s_{D−i}(x_{1}^{p}, …, x_{D}^{p}) ∈ ℤ), on en déduit que le nombre f(x_{1}, …, x_{D}) appartient à ℤ, ce qui conclut la preuve dans le cas où deg Δ_{p} = deg Δ_{−1}. Dans le cas général, notons P = ∏_{σ:ℚ(x)↪ℂ}(X − σ(x)^{p}). Il existe A_{1} ∈ ℤ[X] tel que A_{1}Δ_{p} = P. Par le premier cas, on sait que Δ_{−1} = P + pR_{P}, donc Δ_{−1} = A_{1}Δ_{p} + pR_{P} et on conclut en effectuant la division euclidienne de R_{P} par Δ_{p}. □

Corollaire 8 Soient k ≠ −1 et P ∈ ℤ[X] tel que P = Δ_{−1}^{T}Q avec Q ∈ ℤ[X]. En notant P_{p_{k}} le reste de la division euclidienne de P par Δ_{k}, on a

∃R ∈ ℤ[X] tel que P_{p_{k}} = p^{T} R.

Démonstration : Par le lemme il existe un polynôme B ∈ ℤ[X] tel que

P = Δ_{−1}^{T}Q = (AΔ_{k} + pR)^{T} Q = BΔ_{k} + p^{T} R^{T} Q.

On effectue maintenant la division euclidienne de R^{T} Q par Δ_{k} pour conclure. □

Corollaire 9 Soient k ≠ −1 tel que E_{k} ≠ {0} et P ∈ E_{k} ⊗ ℤ_{l} tel que P = Δ_{−1}^{T}Q avec Q ∈ ℤ_{l}[X]. En notant P_{p_{k}} le reste de la division euclidienne par Δ_{k}, on a

|| φ_{k} ||_{p_{k}}= max_{||P ||_{p_{k}} =1} || φ_{k}(P) ||_{p_{k}}= max_{||P ||_{p_{k}} =1} || P_{p_{k}} ||_{p_{k}} ≤ p_{k}^{−T} .

Démonstration : On applique le corollaire précédent. □

En injectant les estimations précédentes, on peut réécrire l’inégalité des pentes sous la forme Proposition 15 Avec les notations précédentes, on a pour tout entier N assez grand et dès que D(T + n) > L ≥ 2DT,

\frac{LT}{4} log N ≤ ∑_{k=−1}^{n−1} log || ⋀^{max} φ̃_{k} ||_{ℂ} .

Démonstration : En effet, si E_{k} ≠ 0, on a ∑_{p} log || φ_{k} ||_{p}≤ −T log p_{k} ≤ −\frac{T}{2} log N et si k = −1, log || φ_{k} ||_{p}≤ 0. De plus, un processus téléscopique donne

− ∑_{k=0}^{n−1} rg (E_{k}/E_{k+1}) \frac{T}{2} log N ≤ −rg E_{0} \frac{T}{2} log N

≤ −(L + 1 − DT)\frac{T}{2} log N ≤ −\frac{LT}{4} log N.

Ainsi, en sommant sur k ≥ −1, on obtient

∑_{k=−1}^{n−1} rg (E_{k}/E_{k+1})(μ̂_{max}(\overline{G_{k}}) + ∑_{p premiers} log || φ_{k} ||_{p}) ≤ −\frac{LT}{2} log N.

En appliquant l’inégalité des pentes (4.1) on obtient le résultat. □

4.5 Calcul d’un bon majorant de || ⋀^{max} φ̃_{k} ||_{ℂ}

On va maintenant s’attacher à donner une “bonne” majoration pour les normes complexes des opérateurs ⋀^{max} φ̃_{k}. Il faudrait à priori distinguer deux cas : k = −1 et k ≠ −1. En fait on peut les traiter ensembles, le cas k = −1 étant essentiellement une généralisation du cas k ≠ −1. Dans la suite, on pose T_{k} = T si k = −1 et T_{k} = 1 sinon. De même, on notera N_{k} = 1 si k = −1 et N_{k} = N sinon. Par ailleurs, k étant fixé et en posant p_{−1} = 1, on notera {α_{i}}_{1≤i≤D} les différentes racines de Δ_{k}^{T_{k}}. Avec ces notations, on va montrer la majoration

Proposition 16 En notant C = \frac{1}{2}DT_{k} log 2D + DT_{k}^{2} log(L + T_{k}) + \frac{1}{2}DT_{k} log(L + 1) + \frac{1}{2}DT_{k} log T_{k} pour tout k ≥ −1, on a

log || ⋀^{max} φ̃_{k} ||_{ℂ}≤ C + 2LT_{k}DN_{k}h(x).

La suite de cette partie est consacrée à la preuve de cette proposition.

4.5.1 Une petite réduction

Soit k ≥ −1. Dans toute la suite, on cherche une majoration de la norme de

⋀ φ̃_{k} : ⋀ (E_{k}/E_{k+1}) → ⋀ G_{k}.

On a le carré commutatif

\xymatrix{E_{k} \ar[r]^{i} \ar[d]_{π} & ℂ^{L}[X] \ar[d]^{π} \\ E_{k}/E_{k+1} \ar[r]_{i} & ℂ^{L}[X]/(Δ_{k}^{T_{k}})}

où les deux flèches verticales sont co-isométriques et la flèche horizontale du haut est isométrique. Donc la flèche horizontale du bas l’est aussi. Dans la suite de cette partie, on notera donc (abusivement) φ̃_{k} le morphisme de ℂ^{L}[X]/(Δ_{k}^{T_{k}}) dans G_{k}.

4.5.2 Preuve de la proposition 16

Le polynôme Δ_{k}^{T_{k}} est un polynôme scindé sur ℂ, toutes ses racines ayant multiplicité T_{k}. On peut ainsi écrire Δ_{k}^{T_{k}}(X) = ∏_{i=1}^{D}(X − α_{i})^{T_{k}} où les α_{i} sont des complexes deux à deux distincts. On note

π : ℂ^{L}[X] ↠ ℂ^{L}[X]/(Δ_{k}^{T_{k}}), et π_{i} : ℂ^{L}[X] ↠ ℂ^{L}[X]/(X − α_{i})^{T_{k}},

pour tout entier i compris entre 1 et D, les projections canoniques. On définit maintenant l’opérateur “restes Chinois”

Ch_{D} : ℂ^{L}[X]/(Δ_{k}^{T_{k}}) → ∏_{i=1}^{D} ℂ^{L}[X]/(X − α_{i})^{T_{k}}

par la formule, Ch_{D}(π(P)) = (π_{1}(P), …, π_{D}(P)) pour tout P ∈ ℂ^{L}[X]. On définit également l’opérateur d’évaluation en les (α_{i})_{1≤i≤D},

Eval : ∏_{i=1}^{D} ℂ^{L}[X]/(X − α_{i})^{T_{k}} → ∏_{i=1}^{D} ℂ^{T_{k}}

qui envoie (π_{i}(P_{i}))_{1≤i≤D} sur ((P_{i}(α_{i}), …, P_{i}^{(T_{k}−1)}(α_{i}))_{1≤i≤D}. Enfin, on définit l’isomorphisme “de Lagrange”,

Lag_{D} : ∏_{i=1}^{D} ℂ^{T_{k}} → ℂ^{T_{k}D−1}[X],

qui à un DT_{k}-uplet (x_{1}, …, x_{T_{k}}, x_{T_{k}+1}, …, x_{DT_{k}}) associe l’unique polynôme R de degré inférieur à DT_{k} − 1 et tel que R^{(k−1)}(α_{i}) = x_{T_{k}(i−1)+k} pour tout i ∈ [[1, D]] et tout k ∈ [[1, T_{k}]].

On a alors le diagramme commutatif

\xymatrix{ℂ^{L}[X]/(Δ_{k}^{T_{k}}) \ar[d]_{_{Ch_{D}}} \ar[drr]^{φ̃_{k}} \\ ∏_{i=1}^{D} E_{i}^{quot} \ar[r]_{Eval}^{≃} & ∏_{i=1}^{D} ℂ^{T_{k}} \ar[r]_{_{Lag_{D}}}^{≃} & ℂ^{T_{k}D−1}[X]}

où E_{i}^{quot} = ℂ^{L}[X]/(X − α_{i})^{T_{k}} est muni de la métrique quotient de celle sur ℂ^{L}[X] et où ℂ est muni de la métrique hermitienne naturelle. Par ailleurs on met sur le produit, la métrique somme directe

∀(x_{1}, …, x_{D}, y_{1}, …, y_{D}) ⟨(x_{1}, …, x_{D}), (y_{1}, …, y_{D})⟩ := ∑_{i=1}^{D}⟨x_{i}, y_{i}⟩_{i}.

Enfin on met sur les puissances extérieures maximales (D-ièmes) de tous ces fibrés la métrique déterminant déjà définie.

Majorant de || ⋀ Ch_{D} ||

On se contente ici d’une majoration grossière.

Lemme 16 log || ⋀ Ch_{D} ||≤ \frac{1}{2}dT_{k} log D.

Démonstration : On utilise l’inégalité || ⋀ Ch_{D} ||≤|| Ch_{D} ||^{DT_{k}}. Par définition Ch_{D} n’est autre que l’application définie par Ch_{D}(π(P)) = (π_{1}(P), …, π_{D}(P)) pour tout P ∈ ℂ^{L}[X]. En notant || · ||_{i} la norme sur l’espace E_{i}^{quot} et || · ||_{2} celle sur ℂ^{L}[X], on a

∀P ∈ ℂ^{L}[X] || Ch_{D}(π(P)) ||^{2} = ∑_{i=1}^{D} || π_{i}(P) ||_{i}^{2}= ∑_{i=1}^{D} inf_{π_{i}(Q)=0} || P + Q ||_{2}^{2}

≤ ∑_{i=1}^{D} inf_{π(Q)=0} || P + Q ||_{2}^{2}≤ D || π(P) ||^{2} .

En passant à la racine carré puis au log, on en déduit la majoration voulue. □

Majorant || ⋀ Lag_{D} ||

Lemme 17 log || ⋀ Lag_{D} ||≤ 0.

Démonstration : L’opérateur ⋀ Lag_{D} est une application linéaire entre ℂ-espaces vectoriels de dimension 1. En particulier, si g_{D} est l’isomorphisme réciproque de Lag_{D} et si (∧_{i=1}^{T_{k}}R_{i}) ∧ … ∧ (∧_{i=1}^{T_{k}}R_{T_{k}(D−1)+i}) est non nul dans ⋀^{T_{k}D} ℂ^{T_{k}D−1}[X], on a

|| ⋀ Lag_{D} ||=|| ⋀ g_{D} ||^{−1}= \frac{|| (∧_{i=1}^{T_{k}}R_{i}) ∧ … ∧ (∧_{i=1}^{T_{k}}R_{T_{k}(D−1)+i}) ||}{|| (∧_{i=1}^{T_{k}}g_{D}(R_{i})) ∧ … ∧ (∧_{i=1}^{T_{k}}g_{D}(R_{T_{k}(D−1)+i})) ||}.

On prend par exemple pour tout i entier dans [[1, DT_{k}]], R_{i} = X^{i−1}. On obtient ainsi une base orthonormée de ℂ^{T_{k}D−1}[X], donc

|| ⋀ Lag_{D} ||=|| (∧_{i=1}^{T_{k}}g_{D}(R_{i})) ∧ … ∧ (∧_{i=1}^{T_{k}}g_{D}(R_{T_{k}(D−1)+i})) ||^{−1} .

En notant [ · ] la partie entière on constate que

|| (∧_{i=1}^{T_{k}}g_{D}(R_{i})) ∧ … ∧ (∧_{i=1}^{T_{k}}g_{D}(R_{T_{k}(D−1)+i})) ||= |det ((α_{[ \frac{i−1}{T_{k}} ]+1}^{j−1})_{1≤i,j≤DT_{k}})|^{2} .

Or det ((α_{[ \frac{i−1}{T_{k}} ]+1}^{j−1})_{1≤i,j≤DT_{k}}) est une expression polynômiale symétrique en les α_{i} à co-

efficients entiers. Donc on peut l’écrire comme une expression polynmiale à coefficients entiers, en les fonctions symétriques émentaires en les α_{i}. Or les α_{i} sont les racines d’un polynôme unitaire à coefficients entiers. Par conséquent en prenant le carré du module on obtient un nombre entier positif, non nul car on est parti d’une base. On conclut en passant au log. □

Majorant de || ⋀ Eval ||

Notons Eval_{i} : E_{i}^{quot} → ℂ^{T_{k}} l’application définie par

Eval_{i}(π_{i}(P)) = (P^{(k−1)}(α_{i}))_{1≤k≤T_{k}}.

Comme le morphisme Eval est le morphisme diagonal

diag(⋀^{T_{k}} Eval_{1}, …, ⋀^{T_{k}} Eval_{D}),

on a le résultat suivant :

Lemme 18 On a l’égalité de normes

|| ⋀ Eval ||= ∏_{i=1}^{D} || ⋀^{T_{k}} Eval_{i} || .

Démonstration : On rappelle que la métrique sur le produit tensoriel E ⊗ F de deux fibrés hermitiens est définie par

⟨x ⊗ y, z ⊗ t⟩ = ⟨x, z⟩_{E} · ⟨y, t⟩_{F} .

Avec cette définition, on a l’isomorphisme isométrique

⋀_{k=1}^{DT_{k}} (⨁_{i=1}^{D} E_{i}) ≃ ⨂_{k=1}^{D} (⋀_{i=1}^{T_{k}} E_{i}) ,

valable pour tout espace hermitien E_{i} de rang T_{k}. □

Désormais on écrira ⋀ pour ⋀^{T_{k}}. Il reste à calculer la norme de ⋀ Eval_{i} pour tout i ∈ [[1, D]]. Soit donc un tel i ≥ 1. L’application ⋀ Eval_{i} est un morphisme entre espaces vectoriels de dimension 1, donc

∀g_{1} ∧ … ∧ g_{T_{k}} ∈ ⋀ E_{i}^{quot} − \{0\}, || ⋀ Eval_{i} ||= \frac{|| Eval_{i}(g_{1}) ∧ … ∧ Eval_{i}(g_{T_{k}}) ||}{|| g_{1} ∧ … ∧ g_{T_{k}} ||}.

Par ailleurs, la norme quotient sur E_{i} est, par définition, la norme qui rend isométrique l’isomorphisme entre E_{i} et l’orthogonal ((X − α_{i})^{T_{k}})_{L}^{⊥}, pour la norme hermitienne standard, de (X − α_{i})^{T_{k}} dans ℂ^{L}[X].

Lemme 19 La famille de polynômes

\{g_{l} = ∑_{v=0}^{L} \binom{v + l}{v} \overline{α_{i}}^{v}X^{v}\}_{0≤l≤T_{k}−1}

constitue une base de ((X − α_{i})^{T_{k}})_{L}^{⊥}.

Démonstration : Il y a deux choses à voir : tout d’abord que les g_{l} sont effectivement dans l’orthogonal de (X − α_{i})^{T_{k}} et ensuite que ces T_{k} éléments forment une famille libre. Soit l ∈ [[0, T_{k}−1]]. Dire que g_{l} ∈ ((X − α_{i})^{T_{k}})_{L}^{⊥} équivaut à dire que pour tout u ∈ [[0, L−T_{k}]]

g_{l}⊥(X − α_{i})^{T_{k}}X^{u} condition (⋆_{u,l}).

Ceci étant dit, un simple calcul permet de conclure :

(⋆_{u,l}) ⟺ ∑_{v=0}^{T_{k}}(−1)^{T_{k}−v} \frac{(v + u + l)!}{(v + u)!} \binom{T_{k}}{v} \overline{α_{i}}^{v+u}\overline{α_{i}}^{T_{k}−v} = 0

⟺ \overline{α_{i}}^{u+T_{k}} ∑_{v=0}^{T_{k}}(−1)^{T_{k}−v} \frac{(v + u + l)!}{(v + u)!} \binom{T_{k}}{v} = 0

⟺ ∑_{v=0}^{T_{k}} \binom{T_{k}}{v} (−1)^{T_{k}−v}(v + u + l) × … × (v + u + 1) = 0.

Soit f_{u,l}(x) = x^{u+l} ∑_{v=0}^{T_{k}} \binom{T_{k}}{v} (−1)^{T_{k}−v}x^{v} = x^{u+l}(x − 1)^{T_{k}}. Alors 1 est racine de f_{u,l} d’ordre T_{k} et la condition (⋆_{u,l}) équivaut à dire que f_{u,l}^{(l)}(1) = 0. Donc (⋆_{u,l}) est vraie ce qui prouve que les g_{l} sont dans l’orthogonal.

Il reste à voir que la famille {g_{l}}_{0≤l≤T_{k}−1} est une famille libre. Pour cela, on écrit dans la base canonique la matrice M dont le l-ieme vecteur colonne est formé par g_{l}. Il suffit de montrer que M admet une matrice carrée de taille T_{k} × T_{k} dont le déterminant est non nul. Or M = (\binom{v+l}{v} \overline{α_{i}}^{v})_{{0≤v≤L \atop 0≤l≤T_{k}−1}} . Montrons que la matrice A = (\binom{v+l}{v} \overline{α_{i}}^{v})_{0≤v,l≤T_{k}−1} est

inversible. En factorisant la v-ieme ligne par \overline{α_{i}}^{v} pour tout v dans [[0, T_{k} − 1]], on en conclut que A est inversible si et seulement si B = (\binom{v+l}{v})_{0≤v,l≤T_{k}−1} l’est. Or c’est un exercice de voir que det B = 1 ≠ 0. (on remplace la ligne L_{v+1} par L_{v+1} − L_{v} en commençant par la dernière ligne et en utilisant la formule

\binom{v + 1 + l}{l} − \binom{v + l}{l} = \binom{v + l}{l − 1} .

On effectue alors un développement selon la première colonne et on se ramène au déterminant de C = (\binom{v+l}{l−1})_{1≤v,l≤T_{k}−1}. On itère ceci jusqu’à aboutir au déterminant de la matrice

(\binom{v + l}{l − (T_{k} − 1)})_{T_{k}−1≤v,l≤T_{k}−1}

qui vaut 1). Ceci conclut. □

Lemme 20 On a la majoration

|| ⋀ Eval_{i} ||^{2}≤|| g_{0} ∧ … ∧ g_{T_{k}−1} ||_{quot}^{−2} (L + T_{k})^{2T_{k}^{2}}T_{k}^{T_{k}}(L + 1)^{T_{k}} max{1, |α_{i}|}^{4LT_{k}}.

Démonstration : On veut majorer | det A_{i}|, où

A_{i} = (∑_{s=0}^{T_{k}−1} g_{u}^{(s)}(α_{i})\overline{g_{v}^{(s)}(α_{i})})_{0≤u,v≤T_{k}−1} .

Comme A_{i} = (a_{uv}) est une matrice hermitienne définie positive, on a

| det A_{i}| ≤ ∏_{u=0}^{T_{k}−1} a_{uu}.

En remplaçant ceci par les valeurs explicites de a_{uu}, on obtient

|det A_{i}| ≤ ∏_{u=0}^{T_{k}−1} ∑_{s=0}^{T_{k}−1} g_{u}^{(s)}(α_{i})\overline{g_{u}^{(s)}(α_{i})}

≤ ∏_{u=0}^{T_{k}−1} ∑_{s=0}^{T_{k}−1} |g_{u}^{(s)}(α_{i})|^{2}

Or

|g_{u}^{(s)}(α_{i})|^{2} ≤ (∑_{r=s}^{L} \frac{(r + u) × … × (u + 1)}{(r − s)!}|α_{i}^{2r−s}|)^{2} .  (4.2)

Finalement, il reste à majorer convenablement le produit de factorielles. Pour cela on distingue deux cas :

si r > T_{k}, alors

\frac{(r + u) × … × (u + 1)}{(r − s)!} ≤ \frac{(r + T_{k}) × … × (T_{k} + 1)}{(r − T_{k})!}

≤ \frac{(r + T_{k}) × … × (T_{k} + 1)}{(r − T_{k}) × ⋯ × (T_{k} + 1)}

≤ (r + T_{k}) × … × (r + 1 − T_{k}) ≤ (L + T_{k})^{T_{k}}.

si s ≤ r ≤ T_{k}, alors

\frac{(r + u) × … × (u + 1)}{(r − s)!} ≤ (r + T_{k}) × … × (T_{k} + 1)
≤ (r + T_{k})^{r} ≤ (L + T_{k})^{T_{k}}.

Dans tous les cas, on a la majoration

\frac{(r + u) × … × (u + 1)}{(r − s)!} ≤ (L + T_{k})^{T_{k}}.

En injectant ceci dans la majoration (4.2), on en déduit

|g_{u}^{(s)}(α_{i})|^{2} ≤ (L + T_{k})^{2T_{k}} (∑_{r=0}^{L} |α_{i}^{2r−s}|)^{2}
≤ (L + T_{k})^{2T_{k}}(L + 1) max{1, |α_{i}|}^{4L−2s}
≤ (L + T_{k})^{2T_{k}}(L + 1) max{1, |α_{i}|}^{4L}

Ainsi, si on reprend la majoration de | det A_{i}| on obtient

|det A_{i}| ≤ ((L + T_{k})^{2T_{k}}T_{k}(L + 1))^{T_{k}} max{1, |α_{i}|}^{4LT_{k}}.  (4.3)

On divise par || g_{0} ∧ … ∧ g_{T_{k}−1} ||_{quot}^{2} pour conclure. □

On en déduit alors la proposition 16 : en regroupant les lemmes 16 17 et 20, on obtient la majoration

log || ⋀ Eval ||≤ 2LT_{k} log ∏_{i=1}^{D} max\{1, |α_{i}|\} + \frac{1}{2}DT_{k} log D

+DT_{k}^{2} log(L + T_{k}) + \frac{1}{2}DT_{k} log(L + 1) + \frac{1}{2}DT_{k} log T_{k} − \frac{1}{2} log |∏_{i=1}^{D} det B_{i}|

où

B_{i} = (∑_{s=0}^{L} \binom{s + u}{s} \binom{s + v}{s} |α_{i}|^{2s}\overline{α_{i}}^{u}α_{i}^{v})_{0≤u,v≤T_{k}−1} .

Or l’expression qui est dans le dernier produit du membre de droite de cette majoration est une expression polynomiale symétrique en les α_{i}, à coefficients entiers. On sait de plus que det B_{i} ≠ 0. Tout comme dans la preuve du lemme 17, on en déduit donc la minoration

|∏_{i=1}^{D} det B_{i}| ≥ 1.

Pour conclure, il suffit de remarquer que log ∏_{i=1}^{D} max{1, |α_{i}|} = Dh(x^{p_{k}}) ≤ DN_{k}h(x).

4.6 Conclusion

Finalement avec les notations précédentes, on obtient

Théorème 33 Pour tout D, T et N assez grand, ainsi que pour tout L vérifiant l’inégalité D (T + n) > L ≥ 2DT, on a

4LnNDh(x) ≥ \frac{LT}{4} log N − \frac{5}{2}nD log(L + 1) − \frac{3}{2}DT^{2} log(L + T).

Démonstration : Il suffit de mettre bout à bout l’inégalité des pentes (proposition 15) ainsi que la proposition 16 appliquée pour tous les k ∈ [[−1, n − 1]]. □

On choisit pour conclure les valeurs des paramètres. En notant [ · ] la partie entière, on pose

α = 18, L = D [\frac{N}{4 log N} ] , T = [\frac{α log 2D}{log log 3D}] N = [\frac{17 · α(log 2D)^{2}}{log log 3D} ] .

Avec ce choix de paramètres le théorème précédent nous donne bien le résultat, à savoir le théorème 32. En effet,

4LNnDh(x) ≤ D · (\frac{17^{3} · α^{3}(log 2D)^{6}}{(log log 3D)^{5}} ) Dh(x)

≤ 17^{3}α^{3} · D^{2} \frac{(log 2D)^{6}}{(log log 3D)^{5}} h(x).

Par ailleurs,

4LNnDh(x) ≥ \frac{LT}{4} log N − \frac{5}{2}nD log(L + 1) − \frac{3}{2}DT^{2} log(L + T)

≥ D\frac{(log 2D)^{3}}{(log log 3D)^{2}} (\frac{α^{2} · 17}{4} − \frac{5 · α · 17}{4} − \frac{12 · α^{2}}{4} )

≥ \frac{D}{4} \frac{(log 2D)^{3}}{(log log 3D)^{2}} .

On conclut en mettant ensemble les deux inégalités précédentes.

Remarque 20 On peut se demander ce qu’aurait donnée une preuve du même type obtenue en rajoutant des multiplicitées. En fait, à partir des calculs effectués ici on peut facilement écrire une telle preuve, malheureusement ceci ne permet pas d’obtenir un meilleur résultat.

98

Théorème de Dobrowolski-Laurent pour les extensions abéliennes sur une courbe elliptique à multiplication complexe

5.1 Introduction

Soit K un corps de nombres. En notant ĥ la hauteur de Néron-Tate sur une courbe elliptique E/K et en notant K^{ab} la clôture abélienne de K, on montre dans cet article les deux résultats suivants :

Théorème 34 Si E/K est une courbe elliptique à multiplication complexe, il existe une constante c(E/K) strictement positive, telle que

∀P ∈ E(\overline{K})\E_{tors}, ĥ(P) ≥ \frac{c(E/K)}{D} (\frac{log log 5D}{log 2D})^{13} ,

où D = [K^{ab}(P) : K^{ab}].

Théorème 35 Soient c_{0} > 0 et E/K une courbe elliptique à multiplication complexe. Il existe une constante strictement positive c(E/K, c_{0}), telle que : pour toute extension abélienne F/K et pour tout point P ∈ E(\overline{K})\E_{tors} vérifiant D = [F (P) : F], si le nombre de

nombres premiers qui se ramifient dans F est borné par c_{0} (\frac{log 2D}{log log 5D})^{2}, alors on a l’inégalité

ĥ(P) ≥ \frac{c(E/K, c_{0})}{D} (\frac{log log 5D}{log 2D})^{3} .

On voit qu’en imposant une contrainte sur l’étendue de la ramification dans l’extension abélienne (théorème 35), on obtient une généralisation d’un précédent résultat de Laurent [31] (cf. le théorème 37 plus loin). Dans le cas général (théorème 34), sans imposer aucune condition, on obtient une minoration optimale aux puissances de log près, avec un exposant légerement dégradé par rapport au cas classique : on a comme puissance de log un exposant 13 au lieu d’un exposant 3 ; toutefois cet exposant 13 est le même que dans le cas multiplicatif dû à Amoroso-Zannier [6] (cf. théorème 38 plus loin). Ce théorème 34, dans le cas des courbes elliptiques à multiplication complexe, généralise au cas D quelconque un précédent résultat de Baker [8] (cf. théorème 39 plus loin). Nous donnons à la fin de l’introduction une application de notre théorème 34.

Ce type de problème remonte aux travaux de Lehmer dans les années 1930 : soit x ∈ 𝔾_{m}(\overline{ℚ})\μ_{∞} un nombre algébrique qui n’est pas une racine de l’unité. On sait par un théorème de Kronecker que sa hauteur logarithmique absolue h(x) est strictement positive. En 1933 Lehmer énonce la célèbre conjecture

Conjecture 16 (Problème de Lehmer) Il existe une constante c > 0 telle que

∀x ∈ 𝔾_{m}(\overline{ℚ})\μ_{∞}, h(x) ≥ \frac{c}{D},

où D = [ℚ(x) : ℚ].

Plus exactement, Lehmer se pose plutôt la question inverse : est-il possible de contredire cet énoncé ?

C’est en 1979 , avec le théorème de Dobrowolski [23], qu’est obtenu un résultat optimal à des puissances de log près, en direction de cette conjecture :

Théorème 36 (Dobrowolski) Il existe une constante c > 0 telle que

∀x ∈ 𝔾_{m}(\overline{ℚ})\μ_{∞}, h(x) ≥ \frac{c}{D} (\frac{log log 3D}{log 2D})^{3} ,

où D = [ℚ(x) : ℚ].

Peu de temps après, Laurent a étendu, dans son article [31], la conjecture de Lehmer aux courbes elliptiques sur un corps de nombres, en remplaçant la hauteur sur 𝔾_{m} par la hauteur de Néron-Tate et il a étendu le résultat de Dobrowolski au cas des courbes elliptiques E/K à multiplication complexe.

Théorème 37 (Laurent) Soit E/K une courbe elliptique à multiplication complexe. Il existe une constante strictement positive c(E/K) telle que

∀P ∈ E(\overline{K})\E_{tors}, ĥ(P) ≥ \frac{c(E/K)}{D} (\frac{log log 3D}{log 2D})^{3} ,

où D = [K(P) : K].

Dans les articles [5] et [6], Amoroso-Dvornicich et Amoroso-Zannier ont étendu le problème de Lehmer sur 𝔾_{m} au cas des extensions abéliennes relatives. Précisément, ils énoncent la conjecture et démontrent le théorème suivant :

Conjecture 17 (Amoroso-Zannier) Soit K un corps de nombres. Il existe une constante strictement positive c(K), telle que

∀x ∈ 𝔾_{m}(\overline{K})\μ_{∞}, h(x) ≥ \frac{c(K)}{D},

où D = [K^{ab}(x) : K^{ab}].

Théorème 38 (Amoroso-Zannier) Soit K un corps de nombres. Il existe une constante c(K) strictement positive, telle que

∀x ∈ 𝔾_{m}(\overline{K})\μ_{∞}, h(x) ≥ \frac{c(K)}{D} (\frac{log log 5D}{log 2D})^{13} ,

où D = [K^{ab}(x) : K^{ab}].

Ce théorème étend le résultat de Amoroso-Dvornicich qui traitait le cas où x appartenait à une extension abélienne de K, i.e., le cas D = 1. C’est précisément ce théorème, dans le cas D = 1, qui a été étendu aux courbes elliptiques à multiplication complexe, ou ayant un j-invariant non-entier, par Baker dans [8], puis par Silverman [50] dans le cas des courbes elliptiques sans multiplication complexe. Ainsi pour les courbes elliptiques, on a

Théorème 39 (Baker-Silverman) Soit E/K une courbe elliptique. Il existe une constante strictement positive c(E/K) telle que

∀P ∈ E(K^{ab})\E_{tors}, ĥ(P) ≥ c(E/K).

L’objectif du présent article est d’étendre le résultat d’Amoroso-Zannier au cas des courbes elliptiques à multiplication complexe, généralisant ainsi le résultat de Baker au cas D quelconque. Notons que le théorème 34 répond à une conjecture de David dans le cas des courbes elliptiques à multiplication complexe :

Conjecture 18 (David) Soient A/K une variété abélienne sur un corps de nombres et L un fibré en droites ample et symétrique sur A. Pour tout ε > 0, il existe une constante strictement positive c(A/K, L) telle que pour tout point P ∈ A(\overline{K}) qui n’est pas de End(A(\overline{K}))- torsion, on a

ĥ_{L}(P) ≥ \frac{c(A/K, L)}{D_{tors}^{\frac{1}{g} +ε}},

où D_{tors} = [K(A_{tors}, P) : K(A_{tors})].

En effet, le théorème 34 étant vrai pour D = [K^{ab}(P) : K^{ab}], il l’est en particulier pour D = [F (P) : F] pour toute extension abélienne F/K. De plus, quitte à remplacer K par une extension de degré borné en fonction de E, le résultat reste toujours vrai (on ne change que la constante c(E/K)). L’extension H(E_{tors})/H est abélienne pour H = K(j) corps de classes de Hilbert de E, ce qui conclut.

Le théorème 34 rend naturel de généraliser la conjecture 17 aux courbes elliptiques :

Conjecture 19 Soit E/K une courbe elliptique. Il existe une constante strictement positive c(E/K), telle que

∀P ∈ E(\overline{K})\E_{tors}, ĥ(P) ≥ \frac{c(E/K)}{D},

où D = [K^{ab}(P) : K^{ab}].

Le théorème 34 est une première étape en direction de cette conjecture 18, au moins dans le cas de multiplication complexe. On peut indiquer brièvement un des intérèts d’un tel résultat. Pour expliquer cela, on introduit quelques notations : on dit qu’une courbe (intègre) sur une variété abélienne A est transverse si elle n’est contenue dans aucun translaté de sous-variété abélienne de A différente de A. Si X est un sous-schéma fermé intègre de A et r un entier, alors Z_{x,0}^{(r)} ⊂ X(\overline{K}) est l’ensemble des points pour lesquels il existe un sous-schéma en groupes G de A avec

dim_{P} X ∩ G ≥ max {1, r − codim G} .

On dit qu’une variété abélienne simple A est de type (g, δ), si elle est de dimension g et si le rang de End(A) = 2g/δ. Enfin, on note

A^{[r]} = ⋃_{codim G≥r} G(\overline{K}),

où G est un sous-schéma en groupe de codimension indiquée. Dans son article [45], Rémond prouve :

Théorème 40 (Rémond) Soit A une variété abélienne sur \overline{K}. Nous choisissons une isogénie entre A et un produit A_{1}^{n_{1}} × ⋯ × A_{m}^{n_{m}} où m est un entier naturel et pour chaque indice i avec 1 ≤ i ≤ m la variété abélienne A_{i} est simple de type (g_{i}, δ_{i}) et n_{i} ∈ ℕ^{∗}. Soient X un sous-schéma fermé intègre de A et r, r′ deux entiers tels que 0 ≤ r ≤ r′ ≤ dim A. Nous supposons que l’une des conditions suivantes est vérifiée. (C_{1}) La conjecture (18) est vraie. (C_{2}) La variété abélienne A est à multiplication complexe et r′ > (1 + ∑_{i=1}^{m} g_{i})(r − 1). (C_{3}) On a l’inégalité

r′ > ∑_{i=1}^{m} g_{i}(n_{i} + δ_{i})\frac{r − 1}{r}.

Alors, pour toute hauteur h associée à un fibré ample L sur A et tout réel H, l’ensemble

\{P ∈ (X(\overline{K})\Z_{X,0}^{(r)}) ∩ A^{[r′]} / h(P) ≤ H\}

est fini. Si de plus X est une courbe transverse et r ≥ 2, alors X(\overline{K}) ∩ A^{[r′]} est fini.

Notons que notre théorème 34 permet déjà de simplifier la preuve du theorem 2. de Viada [57] suivant :

Théorème 41 (Viada) Soient E/K une courbe elliptique à multiplication complexe, n un entier non nul et C/K une courbe transverse dans E^{n}. Pour r ≥ 0 on considère les ensembles

S_{r}(C) := ⋃_{codim G≥r} G ∩ C(\overline{K})

où l’union porte sur les sous-groupes algébriques G de E^{n} de codimension au moins r. Alors l’ensemble S_{2}(C) est fini.

La preuve de Viada est calquée sur celle de Bombieri, Masser et Zannier [14] dans le cas de 𝔾_{m}^{n}. Elle utilise le fait que la hauteur des points de S_{1}(C) est bornée. Il s’agit du Theorem 1. du même article de Viada qui résulte simplement des propriétés fonctorielles des hauteurs et du théorème du cube pour les variétés abéliennes. Ceci étant acquis on constate, en appliquant le théorème de Northcott, qu’il suffit alors de montrer que le degré des points de S_{2}(C) est borné. C’est la partie difficile de la preuve. Viada montre ceci en deux étapes : la première consiste à montrer la finitude de l’ensemble S_{3}(C). La seconde étape consiste à montrer la finitude de S_{2}(C) en utilisant un subtil argument cohomologique. Nous montrons au chapitre 5 comment éviter cet argument cohomologique en appliquant notre théorème 34. En fait l’utilisation de ce théorème 34 permet de ramener la seconde étape à la première. Nous expliquons ceci dans la dernière partie de cet article.

Dans la suite (dernière partie exceptée) on s’attache à prouver le théorème 34. On explique à la fin comment le théorème 35 s’obtient de la même façon. La preuve est une preuve classique de transcendance à deux exceptions près : on utilise un lemme de Siegel absolu et il y a en fait deux extrapolations selon que l’on est dans une situation avec beaucoup de ramification ou non. Ceci étant dit, dans le cas non-ramifié, la preuve suit le schéma initié par Dobrowolski, à savoir une extrapolation sur les transformés par le morphisme de Frobenius. Dans le cas ramifié, on suit la preuve du cas multiplicatif de [6] en utilisant encore des transformés par Frobenius. On utilise l’astuce de Laurent [31] consistant à dédoubler les variables pour permettre une plus grande liberté dans le choix des paramètres auxiliaires. La partie 5.2 consiste en des rappels sur la hauteur de Néron-Tate et sur les propriétés dont nous aurons besoin concernant les courbes elliptiques à multiplication complexe. La partie 5.3 consiste en une série de réductions en vue de prouver les théorèmes 34 et 35. La preuve proprement dite se trouve dans les parties 5.5, 5.6 et 5.7.

Dans la preuve on se ramène à travailler avec une extension abélienne F/K finie et avec D = [F (P) : F]. Notons que l’hypothèse “F/K est abélienne” sert de manière cruciale dans les deux étapes d’extrapolation : dans l’étape où il y a peu de premiers ayant un grand indice de ramification dans F, i.e. l’étape “quasi-classique”, l’extrapolation se fait grâce au lemme 30 qui utilise de manière fondamentale l’hypothèse d’abélianité. Dans l’autre extrapolation, i.e. le cas compémentaire où beaucoup de premiers ont un grand indice de ramification dans F, l’hypothèse sert à fabriquer le groupe H_{p} du lemme 29 : on utilise pour cela le théorème de Kronecker-Weber.

5.2 Hauteur et multiplication complexe

5.2.1 Hauteur

Soient K un corps de nombres de degré d, M_{K} l’ensemble des valeurs absolues (deux à deux non équivalentes) sur K, M_{K}^{0} les valeurs absolues ultramétriques de M_{K} normalisées par |p|_{v} = p^{−1} pour toute place finie v au-dessus du nombre premier p et M_{K}^{∞} les valeurs absolues archimédiennes de M_{K}. On note d_{v} = [K_{v} : ℚ_{p}] le degré local et on définit la hauteur (logarithmique absolue) sur ℙ^{n}(\overline{ℚ}) par

h(x_{0} : …: x_{n}) = \frac{1}{d} ∑_{v∈M_{K}} d_{v} log max_{0≤i≤n} |x_{i}|_{v}.

Dans cette définition, la renormalisation par \frac{1}{d} sert juste à faire en sorte que h(x) soit indépendante du choix du corps K contenant x. De plus par la formule du produit, la hauteur est aussi indépendante du choix d’un système de coordonnées projectives.

En plongeant 𝔾_{m}^{n} dans ℙ^{n} par (x_{1}, …, x_{n}) ↦ (1 : x_{1}, …: x_{n}) ceci défini également la hauteur sur 𝔾_{m}^{n}.

Dans la suite on utilisera également la hauteur h_{2} définie sur 𝔾_{m}^{n}(\overline{ℚ}) par

h_{2}(x_{1}, …, x_{n}) = \frac{1}{d} ( ∑_{v∈M_{K}^{0}} d_{v} log max_{1≤i≤n} |x_{i}|_{v} + ∑_{v∈M_{K}^{∞}} d_{v} log \sqrt{∑_{1≤i≤n} |x_{i}|_{v}^{2}}) .

Soit N un entier. On définit comme le fait Schmidt (voir [48]) la hauteur h_{2} d’un sous-\overline{ℚ}- espace vectoriel S algébrique de dimension d de \overline{ℚ}^{N+1} par :

h_{2}(S) = h_{2}(x_{1} ∧ … ∧ x_{d}),

où x_{1}, …, x_{d} est une base de S sur un corps de nombres quelconque sur lequel S est défini.

5.2.2 Hauteur de Néron-Tate

Définition 40 Si E/K est une courbe elliptique donnée par une équation de Weierstrass, on définit la hauteur h : E(\overline{K}) → ℝ^{+} par h(P) := h(x(P) : 1), où h(x : y) est la hauteur logarithmique absolue sur ℙ^{1}(\overline{K}) définie précédemment.

Cette hauteur vérifie un certain nombre de propriétés. Nous indiquons les plus essentielles, qui nous serviront dans la suite. On renvoie par exemple au livre [30] Part B pour tout ce qui concerne les hauteurs.

Proposition 17 Sur une courbe elliptique E/K, la hauteur h vérifie :

(i) ∀P ∈ E(\overline{K}) h([m]P) = m^{2}h(P) + O(1). (ii) ∀P, Q ∈ E(\overline{K}) h(P + Q) + h(P − Q) = 2h(P) + 2h(Q) + O(1). (iii) ∀h > 0 l’ensemble \{P ∈ E(\overline{K})/ h(P) ≤ h\} est fini. Dans les affirmations précédentes, la constante O(1) dépend de E et m, mais pas des points P et Q.

À partir de cette hauteur, on peut en construire une plus jolie : la hauteur de Néron-Tate, notée ĥ. La définition est la suivante :

ĥ(P) = lim_{n→+∞} \frac{h([2^{n}]P)}{4^{n}}.

Les propriétés classiques de cette hauteur sont résumées dans le théorème suivant.

Théorème 42 La hauteur canonique est une forme quadratique positive semi-définie sur E(\overline{K}), telle que

d’une part ∀P ∈ E(\overline{K}) ĥ(P) = h(P) + O(1), et d’autre part, ĥ(P) = 0 ⟺ P ∈ E_{tors}.

5.2.3 Multiplication complexe

Soient K un corps de nombres et E/K une courbe elliptique à multiplication complexe par l’ordre d’un corps quadratique imaginaire k. On note O_{K} l’anneau d’entiers de K et pour toute place finie v de K on note k_{v} le corps résiduel associé à v. Quitte à faire une extension de corps ne dépendant que de E/K et quitte à prendre une courbe elliptique isogène à la courbe de départ, on peut supposer que K contient k et que l’anneau des endomorphismes de E/K est exactement O_{k}, l’anneau des entiers de k. De plus, la courbe est à multiplication complexe, donc elle a bonne réduction potentielle. Ainsi, quitte à remplacer K par une extension de degré borné (en fonction de E/K), on peut également supposer que E/K a bonne réduction en toute place de K. On fait toutes ces hypothèses dans la suite.

On fixe un point P ∈ E(\overline{K})\E_{tors} et on note D = [K^{ab}(P) : K^{ab}]. On choisit alors une extension F/K abélienne finie, telle que D = [F (P) : F], ceci étant possible car K^{ab} est le compositum des extensions abéliennes sur K.

Dans la suite, on fixe un modèle de Weierstrass de E de la forme

Y^{2} = X^{3} + a_{4}X + a_{6},

où a_{4} et a_{6} sont des éléments de K. Si ℘ est la fonction de Weierstrass associée, la courbe complexe E(ℂ) est paramétrée par X = ℘(z) et Y = ℘′(z). On rappelle que les points complexes d’une courbe elliptique sont paramétrés par l’isomorphisme de groupes de Lie complexes

ℂ/Λ → E(ℂ) : y^{2} = x^{3} + a_{4}x + a_{6}, z ↦ (℘(z), ℘′(z)) ,

où ℘(z) est la fonction de Weierstrass définie par la formule

∀z ∈ ℂ, ℘(z) = \frac{1}{z^{2}} + ∑_{ω∈Λ^{∗}} (\frac{1}{(z − ω)^{2}} − \frac{1}{ω^{2}} ) .

Soient p un nombre premier et v une place de K au-dessus de p. On rappelle le théorème fondamental, dû à Deuring [22], concernant la multiplication complexe que l’on va utiliser ici. On renvoie par exemple à [51] Chapter II pour les démonstrations.

Proposition 18 Soit E/ℂ une courbe elliptique à multiplication complexe par O_{k}, anneau d’entiers d’un corps de nombres quadratique imaginaire. Il existe un unique isomorphisme

[·] : O_{k} → End(E)

tel que pour toute différentielle invariante de E, ω ∈ Ω_{E} et pour tout α ∈ O_{k}, on a

[α]^{∗}ω = αω.

De plus le degré de [α] est égal à N_{ℚ}^{k}(α).

Théorème 43 (Deuring) Soit E/K une courbe définie sur le corps de nombres K, à multiplication complexe par le corps quadratique imaginaire k. Soient p un nombre premier et v une place de K au-dessus de p telle que E a bonne réduction en v. Alors il existe un unique α_{v} ∈ O_{k} tel que ˜[α_{v}] = Frob_{E_{v}} où E_{v} est la réduction de E sur 𝔽_{v}.

De plus au cours de la preuve de ce théorème on montre que q := N_{ℚ}^{K}(v) = N_{ℚ}^{K}(α). Dans les deux lemmes qui suivent, conséquences du théorème précédent, on note π une uniformisante dans k de l’idéal maximal 𝔐 correspondant à la place v.

Lemme 21 Pour tout élément α ∈ O_{k}, il existe deux polynômes R_{α} et S_{α} premiers entre eux, à coefficients dans O_{k} tels que

℘(αz) = \frac{R_{α}(℘(z))}{S_{α}(℘(z))}, et S̃_{α} ≠ 0.

Ces deux polynômes sont définis à multiplication par une même unité de O_{k} près. Notamment quand α = α_{v}, on a

R_{α}(X) = uX^{q} + πV (X), et S_{α}(X) = u + πW (X),

où u est une unité v-adique de O_{k} et V et W sont deux polynômes à coefficients dans O_{k}.

Lemme 22 Pour tout α ∈ O_{k}, les polynômes R̃_{α} et S̃_{α} sont premiers entre eux.

Démonstration : On trouvera par exemple une preuve de ces deux lemmes dans [31] lemmes 3.1 et 3.2 respectivement. □

Nous aurons également besoin d’un lemme sur les endomorphismes du groupe formel associé à la courbe elliptique E. Si P est un point de la courbe de coordonnées affines (X, Y), on note t = −\frac{X}{Y} et on note [α_{v}] l’opérateur du groupe formel associé à l’endomorphisme α_{v}.

Lemme 23 Il existe une série entière ψ, à coefficients dans O_{K_{v}} telle que

[α_{v}](t) = t^{p} + π_{p}ψ(t).

Démonstration : C’est le lemme 3.3 de [31]. □

5.3 Réductions

On fait maintenant les mêmes réductions que dans le cas multiplicatif dû à Amoroso-Zannier. On note P l’ensemble des nombres premiers qui se décomposent totalement dans K. Pour chacune des places v de K au-dessus d’un tel premier p, la complétion v-adique de K est K_{v} = ℚ_{p}. Pour p ∈ P, on notera donc K_{p} cette complétion dans la suite. Soient p ∈ P et F/K une extension abélienne finie, on note e_{p}(F) l’indice de ramification de p dans F et F_{v} la complétion v-adique de F en v. On a K_{p} = ℚ_{p}, donc F_{v} est une extension abélienne de ℚ_{p}. Par le théorème de Kronecker-Weber local, elle est donc contenue dans une extension cyclotomique de ℚ_{p} que l’on notera ℚ_{p}(ζ_{m}). On pose m = m_{p}(F) le plus petit entier ayant cette propriété et on définit 𝔣_{p}(F) le conducteur local de F en p comme étant la plus grande puissance de p divisant m (il s’agit bien du conducteur local au sens de la théorie du corps de classes local). On pose

𝔣(F) = ∏_{p∈P} 𝔣_{p}(F),

le conducteur de F et on note que si F′ ⊂ F alors 𝔣(F′) ≤ 𝔣(F).

Soit maintenant P un point de E(\overline{K})\E_{tors} contredisant le théorème 34, de degré minimal, i.e., tel que pour tout point P′ ∈ E(\overline{K})\E_{tors} de degré D′ < D sur K^{ab}, on a

ĥ(P′) ≥ \frac{c(E/K)}{D′} (\frac{log log 5D′}{log 2D′} )^{13} .

Lemme 24 Pour démontrer le théorème 34, on peut supposer que pour tout point de torsion T ∈ E_{tors} on a [K^{ab}(P + T) : K^{ab}] ≥ D.

Démonstration : La hauteur de Néron-Tate est invariante par translation par un point de torsion. Le résultat découle donc immédiatement de la définition du point P et de la

décroissance pour t ≥ 1 de la fonction t ↦ \frac{c(E/K)}{t} (\frac{log log 5t}{log 2t})^{13}. □

Soit A l’ensemble des extensions abéliennes finies F/K telles qu’il existe un point de torsion T ∈ E_{tors} tel que [F (P + T) : F] ≤ D, i.e., tel que [F (P + T) : F] = D par le lemme précédent. Cet ensemble est non vide, puisque par définition de K^{ab}, on sait qu’il existe une extension abélienne finie F/K telle que [F (P) : F] = [K^{ab}(P) : K^{ab}] = D. L’extension F et le point T = 0 montrent donc que A est non vide. On définit alors l’entier

𝔣 = min_{F ∈A} 𝔣(F).

Lemme 25 Avec les notations précédentes, pour démontrer le théorème 34, on peut supposer que

D = [F (P) : F] où F/K est une extension appartenant à A, contenue dans K(P). (5.1)

On peut également supposer que

𝔣(F) = 𝔣.  (5.2)

Enfin, on peut aussi supposer que

∀T ∈ E_{tors} tel que K(P + T) ⊂ K(P), on a K(P + T) = K(P).  (5.3)

Démonstration : Par définition de K^{ab}, il existe une extension abélienne finie F/K telle que D = [F (P) : F], donc appartenant à A. On prend dans A une extension F/K réalisant le min des 𝔣(F), i.e., réalisant 𝔣. Montrons qu’on peut supposer (5.3). Soit T ∈ E_{tors} tel que K(P + T) ⊂ K(P), alors, le point T est défini sur le corps de nombres K(P) car P + T − P = T. Si pour tous ces T, on a l’égalité K(P + T) = K(P), il n’y a alors rien à montrer. Sinon, on note T l’ensemble fini des points de torsion tels que K(P +T) ⊊ K(P). Soient T ∈ T et P_{1} = P + T. L’extension K(P_{1}) est une sous-extension stricte de K(P). On note T_{1} l’ensemble fini des points de torsion tels que K(P_{1} + T) ⊊ K(P_{1}). Si T_{1} est non vide, on choisit T_{1} ∈ T_{1} et on pose P_{2} = P_{1} + T_{1}. L’extension K(P_{2}) est une sous-extension stricte de K(P_{1}). On construit ainsi une chaîne

K(P_{n}) ⊊ … ⊊ K(P_{1}) ⊊ K(P).

Donc pour n assez grand, on sait que K(P_{n+1}) = K(P_{n}), autrement dit que l’ensemble T_{n+1} correspondant est vide, c’est-à-dire que

∀T ∈ E_{tors} tel que K(P_{n} + T) ⊂ K(P_{n}), on a K(P_{n} + T) = K(P_{n}).

Or par construction, on a P_{n} = P + T_{n} où T_{n} est un point de torsion de E, donc le lemme 24 précédent assure que [F (P_{n}) : F] ≥ D_{n} ≥ D. De plus on a

D_{n} = [K^{ab}(P_{n}) : K^{ab}] ≤ [F (P_{n}) : F] ≤ [F (P) : F] = D

car K(P_{n}) ⊂ K(P), donc D_{n} = D. La hauteur de Néron-Tate étant invariante par translation par un point de torsion, on a également ĥ(P_{n}) = ĥ(P). Enfin, quitte à remplacer F par F_{1} = F ∩ K(P_{n}), on voit que l’on peut aussi supposer l’hypothèse (5.1) vraie. La fonction 𝔣(·) étant croissante, l’hypothèse (5.2) est elle aussi vérifiée, ce qui conclut. □

Dans toute la suite on supposera désormais vraies les hypothèses (5.1), (5.2) et (5.3).

Remarque 21 On note que, comme K ⊂ F ⊂ K(P), on a aussi, F (P) = K(P).

On peut maintenant énoncer les deux lemmes de réduction qui nous serviront dans la suite. Le premier est inspiré du Lemma 2.1. (ii) de [6], le second est plus classique dans le cadre du probème de Lehmer.

Lemme 26 Soient p ∈ P et v une place de K au-dessus de p, alors, pour démontrer le théorème 34, on peut supposer que

soit K(α_{v}(P)) = K(P), soit [K(P) : K(α_{v}(P))] = p.

Démonstration : On considère le diagramme

[figure: K (P, E[α_{v}]); K(P); K (α_{v}(P), E[α_{v}]); G; K(α_{v}(P))]

L’extension K(P, E[α_{v}])/K(α_{v}(P), E[α_{v}]) est galoisienne d’ordre 1 ou p. En effet on a une injection naturelle Gal(\overline{K}/K(α_{v}(P), E[α_{v}])) ↪ E[α_{v}] : les conjugués de P par l’action de Gal(\overline{K}/K(α_{v}(P), E[α_{v}])) sont parmi les P +T, où T ∈ E[α_{v}] et α_{v} est une isogénie cyclique d’ordre p.

Si le groupe de Galois correspondant G est d’ordre p, alors l’extension K(P)/K(α_{v}(P)) est également d’ordre p.

Si G est d’ordre 1, on va montrer qu’il existe T ∈ E[α_{v}] tel que K(P + T) ⊂ K(α_{v}(P)). On regarde l’action de Gal(\overline{K}/K(α_{v}(P)) sur l’ensemble \{P + T / T ∈ ker[α_{v}]\}. Soit il y a une seule orbite, auquel cas [K(α_{v}(P)) : K(P)] = p; soit l’orbite ω_{P}, contenant P est de cardinal m strictement inférieur à p, donc premier à p. Dans ce cas, il existe T′ ∈ E[α_{v}], tel que

∑_{T ∈ω_{P}}(P + T) = mP + T′

est stable sous l’action de Gal(\overline{K}/K(α_{v}(P)). Par le théorème de Bézout, il existe deux entiers, λ et μ tels que λm + μp = 1. Par ailleurs, en notant α_{v}^{∨} l’isogénie duale de α_{v}, on a

K ([p]P) = K (α_{v}^{∨}(α_{v}(P))) ⊂ K(α_{v}(P)).

Ainsi, on a les inclusions

K ([λ]([m]P + T′) + [μp]P)) = K (P + [λ]T′) ⊂ K(α_{v}(P)).

On a donc l’inclusion K(P + [λ]T′) ⊂ K(P). Par l’hypothèse (5.3) ceci entraîne que

K(P) = K(P + [λ]T′) ⊂ K(α_{v}(P)).

On en déduit que K(P) = K(α_{v}(P)). □

Lemme 27 Pour tout p ∈ P sauf pour au plus \frac{1}{2} log D d’entre eux et pour toute place v de K au-dessus de p, on a

F (P) = F (α_{v}(P)).

Démonstration : C’est le lemme combinatoire classique de Dobrowolski [23] (dû à Laurent [31] lemme 4.2 dans le cas des courbes elliptiques). □

Notons que l’on pourrait éviter de recourir à ce lemme combinatoire, en faisant un raisonnement du même type que dans le lemme précédent, comme il est fait dans l’article d’Amoroso-Zannier [6]. Dans la suite on notera P^{⋆} le sous-ensemble de P formé des premiers vérifiant le lemme 27 précédent.

5.4 Lemmes d’extrapolation

Dans la partie 5.6 on va faire deux extrapolations différentes, selon qu’il y a beaucoup de places de F au-dessus de P^{⋆} ayant un gros indice de ramification, ou non, tout ceci étant bien évidemment quantifié. On commence par les lemmes qui nous permettront d’extrapoler dans le cas où il y a beaucoup de ramification.

5.4.1 Lemme ramifié

Lemme 28 Soient E/K une courbe elliptique à multiplication complexe, v une place de bonne réduction ordinaire et I_{v} le groupe d’inertie de Gal(\overline{K_{v}}/K_{v}). Alors, pour tout entier n ≥ 1, on a l’isomorphisme de I_{v}-module E[α_{v}^{n}] ≃ μ_{p^{n}}.

Démonstration : C’est le lemme 3.2 de [8]. □

Le lemme suivant est inspiré du lemme 3.2. de [6].

Lemme 29 Soient p ∈ P^{⋆} et e_{p} son indice de ramification dans F. Il existe un sous-groupe H_{p} de Gal(F/K) d’ordre

| H_{p} |≥ min{e_{p}, p},

tel que

| x^{p} − σx^{p} |_{w}≤ \frac{1}{p},

pour tout x ∈ O_{F}, tout σ ∈ H_{p} et toute place w de F au-dessus de p. De plus, pour toute place v de K au-dessus de p et pour toute extension τ ∈ Gal(\overline{K}/K) de σ ∈ H_{p} − \{Id\}, on a

τ(α_{v}(P)) ≠ α_{v}(P).

Démonstration : La fabrication de H_{p} et l’estimation de son cardinal se fait comme dans l’article de Amoroso-Zannier : soient v une place de F étendant p et F_{v} le complété v-adique de F. On pose m := m_{p}(F) le plus petit entier m tel que F_{v} ⊂ ℚ_{p}(ζ_{m}). On décompose m sous la forme m = 𝔣_{p} · n où n est premier à p et 𝔣_{p} est le conducteur local de F en p.

Si p ne se ramifie pas dans F, alors e_{p} = 1 et H_{p} = {Id} convient. On peut donc supposer que p se ramifie dans F, donc a fortiori dans ℚ(ζ_{m}). Ainsi p divise le conducteur local 𝔣_{p}. On pose Σ_{p} le groupe de Galois de l’extension ℚ_{p}(ζ_{m})/ℚ_{p}(ζ_{m/p}). C’est un groupe cyclique d’ordre p ou p − 1 selon que p^{2} divise 𝔣_{p} ou non. Par la propriété de minimalité de m, Σ_{p} ne fixe pas F_{v}, donc induit par restriction un sous-groupe non-trivial H_{v}^{∗} de Gal(F_{v}/K_{p}). On note que si p^{2} ne divise pas 𝔣_{p}, alors l’ordre de H_{v}^{∗} est au moins e_{p} car l’extension ℚ_{p}(ζ_{m/p})/ℚ_{p} est non-ramifiée ; alors que si p^{2} divise 𝔣_{p}, nécessairement H_{v}^{∗} est d’ordre p. On définit H_{v} comme étant l’image isomorphe de H_{v}^{∗} dans Gal(F/K). On peut voir que H_{v}^{∗} ne dépend pas de v, mais seulement de p. Il en est de même de H_{v} que l’on note désormais H_{p}. On a déja obtenu l’estimation de son cardinal.

Montrons la propriété de congruence : soit O l’anneau des entiers de ℚ_{p}(ζ_{m}). On a

∀x ∈ O, ∀σ ∈ Σ_{p} x^{p} ≡ σx^{p} mod pO,  (5.4)

(cf. par exemple [6] p. 717). Ainsi pour tout x ∈ O_{F} et pour tout σ ∈ H_{p}, l’entier x^{p}−σx^{p} ∈ F est d’ordre supérieur à e_{p} en v.

Montrons maintenant la dernière propriété. Soient σ ∈ H_{p} − \{Id\} et τ ∈ Gal(\overline{K}/K) une extension de σ. Supposons par l’absurde que τ(α_{v}(P)) = α_{v}(P). Soit 𝔼 le sous-corps de F fixe par σ. On a [𝔼(α_{v}(P)) : 𝔼] = [F (α_{v}(P)) : F]. De plus, par le lemme 27, le point P est défini sur la même extension de F que α_{v}(P). Donc,

[𝔼(α_{v}(P)) : 𝔼] = [F (α_{v}(P)) : F] = [F (P) : F] = D.  (5.5)

On va maintenant montrer que | Σ_{p} |= p : tout d’abord, comme 𝔼 est strictement inclus dans F, on a [F (P) : 𝔼] > [F (P) : F] et donc, d’après (5.5),

[F (P) : 𝔼(α_{v}(P))] = \frac{[F (P) : 𝔼]}{[𝔼(α_{v}(P)) : 𝔼]} = \frac{[F (P) : 𝔼]}{[F (P) : F]} > 1.  (5.6)

Par ailleurs, d’après la remarque 5.3, on a K(P) = F (P) et K ⊂ 𝔼(α_{v}(P)) ⊂ F (P). Ainsi, [F (P) : 𝔼(α_{v}(P))] divise [K(P) : K(α_{v}(P))]. Si K(P) = K(α_{v}(P)), alors τ fixe K(P) = F (P) donc fixe F ce qui contredit le choix de σ ≠ Id. Ainsi, par le lemme 26, l’extension K(P)/K(α_{v}(P)) est de degré p. On en déduit que l’extension F (P)/𝔼(α_{v}(P)) qui est non triviale par (5.6), est de degré p. On a ainsi

[F (α_{v}(P)) : 𝔼(α_{v}(P))] = \frac{[F (P) : 𝔼(α_{v}(P))]}{[F (P) : F (α_{v}(P))]} = [F (P) : 𝔼(α_{v}(P))] = p par le lemme 27.

L’extension F/𝔼 étant galoisienne, on en déduit que | H_{p} |= [F : 𝔼] = p, donc par construction de H_{p} on obtient | Σ_{p} |= p.

On sait que sur une courbe elliptique à multiplication complexe, on a bonne réduction ordinaire en toutes les places v au-dessus d’un premier p ∈ P. On peut donc appliquer le lemme 28 dans notre situation. Par ce lemme on sait que les points de α_{v}^{k}-torsion sont définis sur ℚ_{p}(ζ_{p^{k}}) ⊂ ℚ_{p}(ζ_{m}). Ainsi F_{v}(E[α_{v}^{k}]) ⊂ ℚ(ζ_{m}), donc le groupe de Galois Σ_{p} induit par restriction un sous-groupe non-trivial de Gal(F (E[α_{v}^{k}])/K) qui est cyclique d’ordre p par le paragraphe précédent. Soit donc 𝔽 ⊂ F (E[α_{v}^{k}]) son sous-corps fixe. Soient x ∈ 𝔼 et ρ ∈ G_{1} = Gal(F (E[α_{v}^{k}])/𝔽) − {Id}. Puisque [F : 𝔼] = p, le morphisme σ engendre le groupe Gal(F/𝔼), donc il existe un entier u tel que ρ_{F} = σ^{u}. Notamment, on en déduit que ρ(x) = x, c’est-à-dire que

𝔼 ⊂ 𝔽.  (5.7)

On va maintenant montrer qu’il existe un point de α_{v}^{k}-torsion T tel qu’on ait l’inclusion 𝔽(P + T) ⊂ 𝔽(α_{v}(P)). Si 𝔽(P) ⊂ 𝔽(α_{v}(P)), il n’y a rien à montrer. Sinon, on a a fortiori l’inclusion stricte

𝔽(α_{v}(P)) ⊊ F (E[α_{v}^{k}], P ) .

Les extensions étant galoisiennes, [F (E[α_{v}^{k}], α_{v}(P)) : 𝔽(α_{v}(P))] divise [F (E[α_{v}^{k}]) : 𝔽] = p. De plus, par le lemme 27, F (E[α_{v}^{k}], P) = F (E[α_{v}^{k}], α_{v}(P)), donc on a l’égalité

[F (E[α_{v}^{k}], P ) : 𝔽 (α_{v}(P))] = p.

Ainsi, le morphisme de restriction

res : Gal (F (E[α_{v}^{k}], P)/𝔽(α_{v}(P))) → Gal (F (E[α_{v}^{k}])/𝔽) ,

entre groupes de même cardinaux est un isomorphisme. Soit ρ̃ un générateur du groupe cyclique Gal (F (E[α_{v}^{k}], P)/𝔽(α_{v}(P))). Il existe un point de α_{v}-torsion T_{1} tel que

ρ̃(P) = P + T_{1}.

De plus, par le lemme 28, on a l’isomorphisme de I_{v}-modules, E[α_{v}^{k}] ≃ μ_{p^{k}}, donc si T_{2} est un point de E[α_{v}^{k}]\E[α_{v}^{k−1}], alors le point T_{3} = ρ(T_{2}) − T_{2} est d’ordre p. Finalement, il existe un entier v tel que

T_{1} = vT_{3}.

On pose T = −rT_{2}. On a alors

ρ(P + T) = P + T_{1} − vρ(T_{2}) = P + vT_{3} − vT_{3} − vT_{2} = P + T.

Ceci nous donne bien l’inclusion 𝔽(P + T) ⊂ 𝔽(α_{v}(P)).

En utilisant (5.5) et (5.7), on obtient

[𝔽(P + T) : 𝔽] ≤ [𝔽(α_{v}(P) : 𝔽] ≤ [𝔼(α_{v}(P) : 𝔼] = D.

Or par construction, 𝔽_{v} ⊂ ℚ_{p}(ζ_{m/p}) et 𝔽 ⊂ F (E[α_{v}^{k}]), donc

𝔣_{p}(𝔽) ≤ \frac{p^{k}}{p} < 𝔣_{p}(F), et, si l ≠ p, 𝔣_{l}(𝔽) ≤ 𝔣_{l}(F).

On en conclut, que

[𝔽(P + T) : 𝔽] ≤ D et, 𝔣(𝔽) < 𝔣(F) = 𝔣,

ce qui contredit la définition de 𝔣. Ceci conclut la preuve par l’absurde. □

5.4.2 Lemme non-ramifié

On passe maintenant au lemme qui va nous permettre de faire l’extrapolation dans le cas où il n’y a pas beaucoup de ramification. Il s’agit du même lemme que dans le cas multiplicatif.

Lemme 30 Soit p ∈ P^{⋆}, il existe Φ_{p} ∈ Gal(F/K) tel que

| x^{p} − Φ_{p}x |_{v}≤ p^{− \frac{1}{ep}} ,

où x ∈ O_{F} et v est une valuation sur \overline{ℚ} étendant p.

Démonstration : C’est le lemme 3.1. de [6]. □

5.5 Lemme de Siegel

Dans la suite, on considère un point P_{1} qui sera soit P soit α_{v}(P). On note ℘(u) la coordonnée x de P_{1} et on note ℘(u_{1}), …, ℘(u_{D}) les différents conjugués de ℘(u) sur F. On dit que les u_{i} sont les conjugués de u.

Soient L et T deux entiers strictement positifs et N ∈]\sqrt{L}, 2\sqrt{L}[ un nombre premier (qui existe par le “postulat de Bertrand”). On va construire une fonction

φ(z) = ∑_{λ_{1}=0}^{L} ∑_{λ_{2}=0}^{L} p(λ_{1}, λ_{2})℘(z)^{λ_{1}}℘(Nz)^{λ_{2}}

avec p(λ_{1}, λ_{2}) ∈ \overline{ℤ} non tous nuls, telle que : φ n’est pas constamment nulle sur E(ℂ), φ est nulle en les conjugués u_{i} de u avec multiplicité T et les coefficients p(·, ·) sont bien controlés. Le premier point est assuré par le choix de N et le fait que les p(·, ·) ne sont pas tous nuls, le second découle d’un lemme de Siegel absolu.

Lemme 31 Soient n un entier et S un sous \overline{ℚ}-espace vectoriel de dimension d de \overline{ℚ}^{n}. Pour tout ε > 0, il existe un vecteur x ∈ S tel que

h_{2}(x) ≤ \frac{h_{2}(S)}{d} + \frac{log d}{2} + ε.

Démonstration : cf. [21] lemme 4.7 et la remarque qui suit. □

Proposition 19 Soient L, T et k trois entiers positifs tels que L^{2} ≥ kT et k^{c_{2}} > (L + T)^{2} pour une certaine constante absolue c_{2} > 0. Avec les notations précédentes, on peut construire la fonction φ, s’annulant en u_{1}, …, u_{k} avec multiplicité supérieure à T, telle que

h(φ) ≤ \frac{ckT}{(L + 1)^{2} − kT} (LN^{2}ĥ(P_{1}) + T log(T + L) + T log N + L) + log L,

où c est une constante ne dépendant que de E/K.

Démonstration : Par récurrence sur t ≤ T, on montre qu’il existe un polynôme Q_{λ_{1},λ_{2},t} dans O_{k}[X_{1}, …, X_{4}] de degré partiel en chaque variable majoré par L + 2t, à coefficients de valeur absolue majorée par c_{1}k^{c_{2}t} et tel que

\frac{d^{t}}{dz^{t}} (℘(z)^{λ_{1}}℘(Nz)^{λ_{2}}) = Q_{λ_{1},λ_{2},t} (℘(z), ℘′(z), ℘(Nz), ℘′(Nz)) .

Au rang t = 0, le polynôme Q = X_{1}^{λ_{1}}X_{3}^{λ_{2}} convient. Supposons la propriété vraie au rang t et montrons-la au rang t+1 : en notant abusivement Q_{t} le polynôme Q_{λ_{1},λ_{2},t}, on a

\frac{d^{t+1}}{dz^{t+1}} (℘(z)^{λ_{1}}℘(Nz)^{λ_{2}}) = \frac{d}{dz} \frac{d^{t}}{dz^{t}} (℘(z)^{λ_{1}}℘(Nz)^{λ_{2}})

= \frac{d}{dz} Q_{t} (℘(z), ℘′(z), ℘(Nz), ℘′(Nz))

= \frac{∂Q_{t}}{∂X_{1}} (·) ℘′(z) + … + N \frac{∂Q}{∂X_{4}} (·) ℘′′(Nz).

En utilisant la relation ℘′′(Nz) = 6℘(Nz)^{2} + 2a_{4}, on pose donc

Q_{t+1} = X_{2} \frac{∂Q_{t}}{∂X_{1}} + … + N(6X_{3}^{2} + 2a_{4})\frac{∂Q_{t}}{∂X_{4}} .

On a clairement deg_{X_{i}}Q_{t+1} ≤ L + 2(t + 1). De plus, en notant q_{i,t} les coefficients de Q_{t}, on a

|q_{i,t+1}| ≤ 6c_{1}N(L + 2t)k^{c_{2}t} ≤ 12c_{1}\sqrt{L}(L + 2T)k^{c_{2}t} ≤ c_{1}k^{c_{2}(t+1)}.

Finalement, le système ∀t ≤ T − 1, ∀i ∈ [[1, k]], φ^{(t)}(u_{i}) = 0 s’écrit :

∀t ≤ T − 1, ∀i ∈ [[1, k]], ∑_{λ_{1}=0}^{L} ∑_{λ_{2}=0}^{L} p(λ_{1}, λ_{2})Q_{λ_{1},λ_{2},t} (℘(u_{i}), ℘′(u_{i}), ℘(Nu_{i}), ℘′(Nu_{i})) = 0.

Pour tout 0 ≤ i ≤ k, posons

∀0 ≤ t ≤ T − 1, ∀0 ≤ λ_{1}, λ_{2} ≤ L, α_{(λ_{1},λ_{2}),t}^{(i)} = Q_{λ_{1},λ_{2},t} (℘(u_{i}), ℘′(u_{i}), ℘(Nu_{i}), ℘′(Nu_{i})) .

On considère les vecteurs

y_{i,t} = (α_{(0,0),t}^{(i)}, …, α_{(L,0),t}^{(i)}, …, α_{(L,L),t}^{(i)}) ∈ \overline{ℚ}^{(L+1)^{2}}.

Comme dans [19] p.42 inégalité (18) et suivante, on vérifie que les coefficients du système

y_{i,t} · x = 0, 0 ≤ i ≤ k, 0 ≤ t ≤ T − 1

avec x ∈ \overline{ℚ}^{(L+1)^{2}} sont tous de hauteur au plus

c_{3} (LN^{2}ĥ(P_{1}) + T log(T + L) + T log N + L) .

Par ailleurs, le \overline{ℚ}-espace vectoriel

S = \{x ∈ \overline{ℚ}^{(L+1)^{2}} / y_{i,t} · x = 0, 0 ≤ i ≤ k, 0 ≤ t ≤ T − 1 \}

est de dimension (L + 1)^{2} − kT et les vecteurs y_{i,t} forment une base de l’orthogonal S^{⊥}. De plus, le Lemma IV p.10 de [48], nous indique que

h_{2} (S) = h_{2} (S^{⊥}) ≤ ∑_{i,t} h_{2}(y_{i,t}) ≤ c_{3}kT (LN^{2}ĥ(P_{1}) + T log(T + L) + T log N + L) .

On applique le lemme 31 avec ε = \frac{1}{2} log \frac{(L+1)^{2}}{(L+1)^{2}−kT}. On a ainsi obtenu la fonction voulue, avec des coefficients dans \overline{ℚ} et avec la hauteur projective h_{2}. En fait, en appliquant une remarque de Roy et Thunder [46], on peut également trouver une solution à coefficients entiers algébriques et avec la hauteur h. La remarque consiste à dire que si x ∈ \overline{ℚ}^{n}, il existe a ∈ \overline{ℚ} tel que ax est à coefficients entiers algébriques et tel que h(ax) = h_{2}(ax) = h_{2}(x). □

5.6 Extrapolation

Il y a deux cas, selon que l’on a “beaucoup” de premiers ayant “beaucoup” de ramification ou non (ceci étant quantifié). On commence par le cas qui sera utilisé quand il n’y a pas beaucoup de grande ramification.

Proposition 20 Soient L_{1} et T_{1} deux entiers strictement positifs d’ordre de grandeur polynomial en D, tels que L_{1}^{2} ≥ DT_{1}. On pose P_{1} = P et on considère la fonction φ obtenue dans la proposition 19 avec L = L_{1}, T = T_{1} et k = D. Soient p ∈ P^{⋆} et v une place étendant p sur \overline{K}. Pour tout t ≤ min\{L_{1}, \frac{T_{1}}{2} \} et pour tout τ ∈ Gal(\overline{K}/K) étendant le morphisme Φ_{p} du lemme 30, on a

log | τ(φ)^{(t)})(α_{p}u) |_{v}≤ −\frac{T_{1}}{2e_{p}} log p + 8L_{1} log max\{1, | ℘(Nα_{v}u) |_{v}\}.

Démonstration : Il s’agit essentiellement du deuxième pas de [31] à la différence que l’on utilise un lemme de Siegel absolu, ce qui conduit à supposer l’annulation en un point et en tous ses conjugués, ainsi qu’à faire intervenir l’indice de ramification e_{p} de p dans F. On étend v au corps \overline{K}(X) en posant | X |_{v}= 1.

Il y a deux cas : soit ℘(u) est un v-entier, soit non.

Cas 1 : on vérifie simplement que l’on peut écrire φ^{(t)} comme un polynôme en les variables ℘(z), ℘(Nz), \frac{℘′(Nz)}{℘′(z)} de degré partiels en ℘(Nz) et \frac{℘′(Nz)}{℘′(z)} respectivement majorés par 3(L_{1} + t) ≤ 6L_{1} et par 1. On en déduit l’existence d’une fraction rationnelle G, telle que S_{N}(X)^{8L_{1}}G(X) soit un polynôme à coefficients dans O\overline{K} et vérifiant

G(℘(z)) = φ^{(t)}(z)^{2}.

La fraction rationnelle G(X) admet donc un zéro d’ordre supérieur à T_{1} aux points X = ℘(u_{1}), …, X = ℘(u_{D}). Notons Δ = ∑ a_{i}X^{i} le polynôme minimal unitaire sur F de ℘(u). Par hypothèse sur ℘(u), il est à coefficients entiers algébriques. Ainsi, il existe un polynôme H à coefficients v-entiers, tel que

S_{N}(X)^{8L_{1}}G(X) = Δ(X)^{T_{1}}H(X).  (5.8)

Si π_{p} est une uniformisante au-dessus de p dans K et π_{p,F} une uniformisante de p dans F, par le petit théorème de Fermat et le lemme 30, on obtient donc

τ (Δ) (℘(α_{v}u)) = τ (Δ) (℘(u)^{p}) = (Δ(℘(u)))^{p} = 0 mod π_{p,F} ,

et ce, pour tout π_{p,F} au-dessus de π_{p}. En substituant ℘(α_{v}u) à X dans (5.8) et en appliquant τ aux coefficients des polynômes S, G, H et Δ, on en déduit que le membre de droite de cette égalité transformée par τ est d’ordre en π_{p} supérieur à \frac{T_{1}}{e_{p}}. Il reste maintenant à majorer l’ordre en π_{p} de τ(S_{N})(℘(α_{v}u). Or S_{N} est à coefficients dans K, donc est, de même que R_{N}, invariant par τ. De plus,

℘(Nα_{v}u) = \frac{R_{N}(℘(α_{v}u))}{S_{N}(℘(α_{v}u))}.

D’après le lemme 22, les polynômes R_{N} et S_{N} réduits mod π_{p} sont premiers entre eux. Autrement dit, l’un des deux nombres R_{N}(℘(α_{v}u)), S_{N}(℘(α_{v}u)) est une unité de O\overline{K_{v}}. Si c’est S_{N}(℘(α_{v}u)), on a fini, sinon, c’est R_{N}(℘(α_{v}u)) et donc

ord_{π_{p}}(S_{N}(℘(α_{v}u)) = −ord_{π_{p}}℘(Nα_{v}u).

Cas 2 : Si ℘(u) n’est pas un v-entier, on fait un changement de carte comme dans le b) du deuxième pas de Laurent [31] : on effectue le changement de variable projectif

t = −\frac{X}{Y} et, s = −\frac{1}{Y} .

Alors s s’exprime en fonction du paramètre local t par une série entière s(t) à coefficients v-entiers. On considère cette fois la fonction

(℘′(z)℘′(Nz))^{−(L_{1}+t)} φ^{(t)}(z), à la place de φ^{(t)}(z)^{2}.

Elle s’écrit comme un polynôme en les variables −\frac{℘(z)}{℘′(z)}, −\frac{1}{℘(z)}, −\frac{℘(Nz)}{℘′(Nz)} et −\frac{1}{℘′(Nz)}. Il existe donc une série entière G, à coefficients v-entiers, telle que

G(t) = (℘′(z)℘′(Nz))^{−(L_{1}+t)} φ^{(t)}(z).  (5.9)

Soient ξ = −\frac{℘(u)}{℘′(u)} le paramètre local associé au point P et Δ le polynôme minimal unitaire de ξ sur F_{v}. D’après l’hypothèse, le nombre ξ est dans l’idéal maximal \overline{𝔪_{v}}, donc tous les coefficients de Δ, sauf le coefficient dominant, sont divisibles par π_{p}. Le théorème de préparation de Weierstrass montre qu’il existe une série entière H, à coefficients v-entiers, telle que

G(t) = Δ(t)^{(T_{1}−t)}H(t).

Dans cette identité on substitue t = [α_{v}](ξ) = ξ^{p} + π_{p}ψ(ξ) par le lemme 23. On conclut alors comme dans le premier cas (il faut savoir majorer

ord_{π_{p}}(℘′(α_{v}u)℘′(Nα_{v}u)) = ord_{π_{p}}s([α_{v}](ξ)) + ord_{π_{p}}s([Nα_{v}](ξ)).

Puisque N est premier à p, ces dernières quantités sont toutes deux égales à

−\frac{3}{2}ord_{π_{p}}℘(Nα_{v}u) (cf. paragraphes 3 et 6 de [55]).

Remplaçant dans (5.9), z par α_{v}u et t par [α_{v}](ξ) on peut alors conclure). □

On passe maintenant à la proposition qui nous servira quand il y a beaucoup de grande ramification.

Proposition 21 Soient L_{2} et T_{2} deux entiers d’ordre de grandeur polynomial en D et Λ_{2} un entier strictement positif, tels que L_{2}^{2} ≥ DT_{2}Λ_{2}. On considère la fonction φ obtenue dans la proposition 19 avec L = L_{2}, T = T_{2}, k = DΛ_{2} et avec

{u_{1}, …, u_{k}} := {α_{v}u_{i} /i ∈ {1, …, D} et v décrivant un ensemble P_{2}^{⋆} de cardinal Λ_{2}} .

Pour tout t ≤ min\{L_{2}, \frac{T_{2}}{2} \}, pour tout v dans l’ensemble P_{2}^{⋆} et pour tout τ ∈ Gal(\overline{K}/K) tel que τ_{F} ∈ H_{p}, p/v ∈ P_{2}^{⋆}, on a

log | τ(φ^{(t)})(α_{p}u) |_{v}≤ −\frac{T_{2}}{2} log p + 8L_{2} log max\{1, | ℘(Nα_{v}u) |_{v}\}.

Démonstration : Là encore il y a deux cas selon que ℘(u) est un v-entier ou non. On commence par le cas où c’est un v-entier. On étend v au corps \overline{K}(X) en posant | X |_{v}= 1 et on fait la même preuve que précédemment, en montrant cette fois-ci que

τ (Δ_{α_{v}}) (℘(α_{v}u)) = 0 mod π_{p},

où Δ_{α_{v}} est le polynôme minimal de ℘(α_{v}u). Pour montrer ceci, on note Δ^{(p)} le polynôme minimal de ℘(u) où l’on a élevé les coefficients à la puissance p. On a alors

τ (Δ_{α_{v}}) (℘(α_{v}u)) = τ (Δ^{(p)}) (℘(α_{v}u)) mod π_{p} par le petit théorème de Fermat,
= Δ^{(p)}(℘(α_{v}u)) mod π_{p} par le lemme 29,
= Δ^{(p)}(℘(u)^{p}) mod π_{p},
= (Δ(℘(u)))^{p} mod π_{p},
= 0.

Si ℘(u) n’est pas un v-entier, on utilise le même argument que dans le cas 2 de la proposition 20 précédente pour conclure de la même façon. □

5.7 Conclusion

5.7.1 Le cas du théorème 34

En notant [·] la partie entière, on pose C une constante assez grande (de sorte que les inégalités soient vérifiées) ne dépendant que de E/K et on pose

N_{1} = [C^{4} \frac{(log 2D)^{6}}{(log log 5D)^{5}} ] et E = [C (\frac{log 2D}{log log 5D})^{2}] .

Pour p entre N_{1}/2 et N_{1}, le théorème de Chebotarev nous indique qu’il y a plus de Λ =

[\frac{C^{4}}{2} (\frac{log 2D}{log log 5D})^{6}] tels p. En notant e_{v} l’indice de ramification de v dans F, on a : soit il y

a plus de Λ_{1} = Λ/2 nombres premiers p ayant une place v avec un e_{v} ≤ E, soit il y a plus de Λ_{2} = Λ/2 nombres premiers p ayant toutes les places v avec un e_{v} > E. On va traiter chaque cas séparément et conclure dans chacun de ces deux cas.

Cas 1 : il y a plein de v ayant peu de ramification, i.e., il y a plus de Λ_{1} = Λ/2 nombres premiers p ayant une place v avec un e_{v} ≤ E.

Dans ce cas, on note P_{1}^{⋆} le sous-ensemble de P^{⋆} correspondant à Λ_{1} et on introduit les paramètres suivants :

L_{1} = [C^{3}D\frac{(log 2D)^{5}}{(log log 5D)^{6}} ] , T_{1} = [C^{\frac{9}{2}} D\frac{(log 2D)^{7}}{(log log 5D)^{9}} ] , et, T′_{1} = [C^{3}D\frac{(log 2D)^{4}}{(log log 5D)^{6}} ] ,

et N est un nombre premier tel que \frac{1}{2} \sqrt{L_{1}} ≤ N ≤ \sqrt{L_{1}}.

Proposition 22 Pour tout p ∈ P_{1}^{⋆}, pour tout τ étendant Φ_{p}^{−1} et pour tout t ≤ T′_{1}, la fonction τ^{−1} (φ^{(t)}) de la proposition 20 s’annule en α_{v}u.

Démonstration : En notant

ζ = N_{F (P)/F} (τ (φ^{(t)}) (α_{v}u)) ,

on a grâce à la proposition 20,

log | ζ |_{v}≤ −\frac{DT_{1} log p}{2e_{v}} + 8L_{1} ∑_{w/v} D_{w} log max (1, | ℘(Nα_{v}u |_{w}) .

On en déduit

log | ζ |_{v}≤ −c_{12} \frac{DT_{1} log p}{2E} + DL_{1} (c_{10} + N^{2}pĥ(P)) .

Or par hypothèse sur ĥ(P), on a N^{2}pĥ(P) ≤ N^{2}N_{1}ĥ(P) ≤ c_{11}. En remplaçant les paramètres par leur valeur, on obtient donc

log | ζ |_{v}≤ −C^{\frac{7}{2}} D^{2} \frac{(log 2D)^{5}}{(log log 5D)^{6}} .

Ainsi, si ζ est non nul,

h(ζ) = h(ζ)^{−1} ≥ \frac{d_{v}}{d} log max\{1, | ζ^{−1} |_{v}\} ≥ C^{\frac{7}{2}} D^{2} \frac{(log 2D)^{5}}{(log log 5D)^{6}} .  (5.10)

Par ailleurs, un calcul classique (cf. par exemple [19] p.50) permet d’écrire

h(ζ) ≤ c_{15}DT′_{1} log(T′_{1} + L_{1}) + c_{16}DL_{1}N^{2}pĥ(P) + c_{17}Dh(φ)

où h(φ) est donnée par la proposition (19) :

h(φ) ≤ \frac{cDT_{1}}{(L_{1} + 1)^{2} − DT_{1}} (L_{1}N^{2}ĥ(P) + T_{1} log(T_{1} + L_{1}) + T_{1} log N + L_{1}) + log L_{1}.

en remplaçant les paramètres par leur valeur, on obtient :

h(ζ) ≤ c_{15}C^{3}D^{2} \frac{(log 2D)^{5}}{(log log 5D)^{6}} + c_{16}C^{3}D^{2} \frac{(log 2D)^{5}}{(log log 5D)^{6}} + c_{17}C^{3}D^{2} \frac{(log 2D)^{5}}{(log log 5D)^{6}} ,

Soit

h(ζ) ≤ c_{18}C^{3}D^{2} \frac{(log 2D)^{5}}{(log log 5D)^{6}} .  (5.11)

En comparant les inégalités (5.10) et (5.11), on obtient une contradiction pour C suffisamment grand, ce qui conclut. □

Puisque l’on travaille avec des p ∈ P^{⋆} ⊂ P, on a [F (α_{v}(P)) : F] = D. Donc, on obtient ainsi, en comptant les multiplicités, au moins

DT′_{1}Λ_{1} ≥ \frac{1}{2}C^{7}D^{2} \frac{(log 2D)^{10}}{(log log 5D)^{12}}  (5.12)

racines. Or en utilisant la relation

℘(Nz) = \frac{R_{N}(℘(z))}{S_{N}(℘(z))},

on peut écrire φ sous la forme

φ(z) = F (℘(z)),

où F est une fraction rationnelle de degré majoré par

(N^{2} + 1)L_{1} ≤ 2L_{1}^{2} ≤ 2C^{6}D^{2} \frac{(log 2D)^{10}}{(log log 5D)^{12}} .  (5.13)

En comparant (5.12) et (5.13), on en déduit que la fraction F est identiquement nulle. Donc il en est de même pour φ, ce qui est absurde par le choix de N. Le théorème est donc démontré dans ce cas.

Cas 2 : il y a plein de v ayant beaucoup de ramification, i.e., il y a plus de Λ_{2} = Λ/2 nombres premiers p ayant toutes les places v avec un e_{v} > E.

Dans ce cas, on note P_{2}^{⋆} le sous-ensemble de P^{⋆} correspondant à Λ_{2} et on introduit les paramètres suivants :

L_{2} = [C^{\frac{35}{8}} D\frac{(log 2D)^{7}}{(log log 5D)^{8}} ] , T_{2} = [C^{\frac{9}{2}} D\frac{(log 2D)^{7}}{(log log 5D)^{9}} ] et, T′_{2} = [C^{4}D\frac{(log 2D)^{6}}{(log log 5D)^{8}} ] ,

et N est un nombre premier tel que \frac{1}{2} \sqrt{L_{2}} ≤ N ≤ \sqrt{L_{2}}.

Proposition 23 Pour tout p ∈ P_{2}^{⋆}, pour tout τ tel que τ_{F} ∈ H_{p} et pour tout t ≤ T′_{2}, la fonction τ^{−1} (φ^{(t)}) de la proposition 21 s’annule en α_{v}u.

Démonstration : En notant

ζ = N_{F (P)/F} (τ (φ^{(t)}) (α_{v}u)) ,

on a grâce à la proposition 21,

log | ζ |_{v}≤ −\frac{DT_{2} log p}{2} + 8L_{2} ∑_{w/v} D_{w} log max (1, | ℘(Nα_{v}u |_{w}) .

On en déduit

log | ζ |_{v}≤ −c_{12} \frac{DT_{2} log p}{2} + DL_{2} (c_{10} + N^{2}pĥ(P)) .

Or par hypothèse sur ĥ(P), on a N^{2}pĥ(P) ≤ N^{2}N_{1}ĥ(P) ≤ c_{11}. En remplaçant les paramètres par leur valeur, on obtient donc

log | ζ |_{v}≤ −c_{13}C^{\frac{9}{2}} D^{2} \frac{(log 2D)^{7}}{(log log 5D)^{8}} .

Ainsi, si ζ est non nul, on a

h(ζ) = h(ζ^{−1}) ≥ \frac{d_{v}}{d} log max\{1, | ζ^{−1} |_{v}\} ≥ c_{14}C^{\frac{9}{2}} D^{2} \frac{(log 2D)^{7}}{(log log 5D)^{8}} .  (5.14)

Par ailleurs, le même calcul que précédemment permet d’écrire

h(ζ) ≤ c_{15}DT′_{2} log(T′_{2} + L_{2}) + c_{16}DL_{2}N^{2}pĥ(P) + c_{17}Dh(φ)

où h(φ) est donnée par la proposition (19) :

h(φ) ≤ \frac{cDΛ_{2}T_{2}}{(L_{2} + 1)^{2} − DΛ_{2}T_{2}} (L_{2}N^{2}ĥ(P) + T_{2} log(T_{2} + L_{2}) + T_{2} log N + L_{2}) + log L_{2}.

en remplaçant les paramètres par leur valeur, on obtient :

h(ζ) ≤ (c_{15}C^{4} + c_{16}C^{\frac{35}{8}} + c_{17}C^{\frac{17}{4}} ) D^{2} \frac{(log 2D)^{7}}{(log log 5D)^{8}} ,

soit,

h(ζ) ≤ c_{18}C^{\frac{17}{4}} D^{2} \frac{(log 2D)^{7}}{(log log 5D)^{8}} .  (5.15)

En comparant les inégalités (5.14) et (5.15), on obtient une contradiction, ce qui conclut. □

Puisque l’on travaille avec des p ∈ P^{⋆} ⊂ P, on a [F (α_{v}(P)) : F] = D. Donc, on obtient ainsi, en comptant les multiplicités, au moins

EDT′_{2}Λ_{2} ≥ \frac{1}{2}C^{9}D^{2} \frac{(log 2D)^{14}}{(log log 5D)^{16}}  (5.16)

racines. Or en utilisant la relation

℘(Nz) = \frac{R_{N}(℘(z))}{S_{N}(℘(z))},

on peut écrire φ sous la forme

φ(z) = F (℘(z)),

où F est une fraction rationnelle de degré majoré par

(N^{2} + 1)L_{2} ≤ 2L_{2}^{2} ≤ 2C^{\frac{35}{4}} D^{2} \frac{(log 2D)^{14}}{(log log 5D)^{16}} .  (5.17)

En comparant (5.16) et (5.17), on en déduit que la fraction F est identiquement nulle. Donc il en est de même pour φ, ce qui est absurde par le choix de N. Le théorème est donc démontré dans ce cas. Il est donc démontré dans tous les cas. □

5.7.2 Le cas du théorème 35

Pour prouver le théorème 35, on fait essentiellement la même preuve que pour le théorème 34 : on peut faire les mêmes réductions et on a uniquement besoin de la partie non-ramifiée de la preuve précédente. La seule chose qui change est le choix des paramètres permettant de conclure.

En notant [·] la partie entière et C une constante assez grande (de sorte que les inégalités soient vérifiées) ne dépendant que de E/K et de c_{0}, on pose E = 1 et

N_{1} = [3C^{2} \frac{(log 2D)^{2}}{log log 5D}] .

Pour p entre N_{1}/2 et N_{1}, le théorème de Chebotarev nous indique qu’il y a plus de Λ =

[\frac{C^{2}}{2} (\frac{log 2D}{log log 5D})^{2}] tels p. On note P_{1}^{⋆} le sous-ensemble de P correspondant à Λ et on introduit

les paramètres suivants :

L_{1} = [C^{2}D\frac{log 2D}{log log 5D}] , T_{1} = [2CD\frac{log 2D}{log log 5D}] , et, T′_{1} = [\frac{C^{2}}{2} D] ,

et N est un nombre premier tel que \frac{1}{2} \sqrt{L_{2}} ≤ N ≤ \sqrt{L_{2}}.

Le même argument qu’au cas 1 du paragraphe précédent nous permet alors de conclure.

Remarque 22 Notons que bien que la preuve de ce théorème 35 soit moralement la même que celle du théorème de [31], le fait d’utiliser un lemme de Siegel absolu conduit à un choix différent des paramètres pour faire fonctionner l’étape d’extrapolation.

5.8 Application du théorème 34

En fait une version affaiblie du théorème 34 suffit déjà. Précisément, on utilisera le corollaire suivant :

Corollaire 10 Soient E/K une courbe elliptique à multiplication complexe et ε un réel strictement positif. On note K^{ab} la clôture abélienne de K. Il existe une constante strictement positive c(E/K, ε) telle que

∀P ∈ E(\overline{K})\E_{tors}, ĥ(P) ≥ \frac{c(E/K, ε)}{D^{1+ε}},

où D = [K^{ab}(P) : K^{ab}].

On reprend les notations de l’article [57], et on va montrer comment éviter la seconde partie de la preuve (parties 4.3 et 4.4 et 6 de l’article [57]).

Soient n ≥ r ≥ 0 et P ∈ S_{n−r}(C). On note K(P) le corps de définition de P. On note x_{i} : C → E les applications coordonnées définies par la composition de l’immersion fermée C ↪ E^{n} et de la i-ème projection E^{n} → E. Comme E est à multiplication complexe, on sait que son anneau d’endomorphismes est un ordre O = ℤ+τℤ dans un corps quadratique imaginaire. On définit alors n morphismes supplémentaires : ∀1 ≤ i ≤ n, x_{n+i} = τx_{i}. On note

Γ = ⟨x_{1}, …, x_{n}⟩_{End(E)}

le coordinate module (définition de [57] p.51) : c’est le ℤ-module engendré par les x_{i} avec 1 ≤ i ≤ 2n. On considère par ailleurs le ℤ-module (qui est de rang 2r comme il suit du lemma 2. de [57])

Γ_{P} := ⟨x_{1}(P), …, x_{2n}(P)⟩_{End(E)} .

Dans sa proposition 2. de [57], Viada montre que K ((Γ_{P})_{tors}) ⊂ K(P) et elle montre également qu’il existe des éléments ℤ-linéairement indépendants g_{1}, …, g_{2r} de Γ_{P}, définis sur K(P) et engendrant la partie libre de Γ_{P}. Ainsi on peut écrire pour tout 1 ≤ i ≤ 2n,

x_{i}(P) = ∑_{j=1}^{2r} a_{ij}g_{j} + T_{i}

où T_{i} est un point de torsion. On pose ν_{j} = (a_{1j}, …, a_{nj}) et on pose | ν_{j} |= max_{i} | a_{ij} |. Avec ces notations on a l’inégalité (19) de [57] :

∏_{i=1}^{2r} ĥ(g_{i}) ≪ ∏_{i=1}^{2r} | ν_{i} |^{−2} .  (5.18)

Dans son corollary 1. Viada obtient alors l’inégalité

d ≪ (NR ∏_{i=1}^{2r} | ν_{i} |)^{\frac{1}{n−r}}  (5.19)

où d = [K(P) : K] et N et R sont deux entiers tels que (Γ_{P})_{tors} ≃ ℤ/Nℤ × ℤ/Rℤ. (Ces entiers existent par la proposition 2. de [57].)

Dans son corollary 2. Viada obtient enfin les inégalités

(NR)^{1−ε} ≪ d ≪ (NR)^{\frac{1}{n−r−1−ε}} .

Ainsi d est borné en fonction de N et si n − r ≥ 3 on obtient l’inégalité

(NR)^{1−ε} ≪ (NR)^{\frac{1}{2−ε}}

Ce qui permet de borner N et donc de conclure. Dans le cas où n − r = 2, autrement dit le cas qui nous intéresse réellement, on obtient juste

(NR)^{1−ε} ≪ (NR)^{\frac{1}{1−ε}}

ce qui ne permet malheureusement pas de conclure, d’où la nécessité d’une seconde étape assez technique dans l’article [57]. On montre maintenant, et c’est là la nouveauté, comment conclure dans le cas général en utilisant notre corollaire 10 et en réutilisant ce qui a été fait jusqu’à présent. On se place désormais dans le cas où n − r = 2. On note K_{N} = K ((Γ_{P})_{tors}). On peut toujours supposer que K = K(j(E)), donc K_{N}/K est une sousextension abélienne de l’extension abélienne K (E[N]) /K. On pose D = [K(P) : K_{N}]. On a, en utilisant toujours le corollary 2. de [57],

D = \frac{d}{[K_{N} : K]} ≪ (NR)^{\frac{1}{1−ε}} (NR)^{−(1−ε)} ≤ (NR)^{3ε}  (5.20)

si ε est suffisament petit. Par ailleurs, les points g_{1},…, g_{2r} sont des points d’ordre infini de E(K(P)). En appliquant le corollaire 10 puis l’inégalité (5.20), on obtient

∏_{i=1}^{2r} ĥ(g_{i}) ≫ D^{−2r−2rε} ≫ (NR)^{−6rε(1+ε)} ≫ (NR)^{−12nε}.  (5.21)

On a ainsi

(NR)^{1−ε} ≪ d ≪ (NR ∏_{i=1}^{2r} | ν_{i} |)^{\frac{1}{2}} par l’inégalité (5.19)

≪ (NR)^{\frac{1}{2}} ∏_{i=1}^{2r} ĥ(g_{i})^{− \frac{1}{4}} par l’inégalité (5.18)
≪ (NR)^{\frac{1}{2} +3nε} par l’inégalité (5.21)

Ceci permet de conclure la preuve du théorème en prenant ε assez petit.

126

Deux remarques concernant le problème de Lehmer sur les variétés abéliennes

On montre ici que la première partie de la conjecture de Lehmer abélienne (minoration des points engendrant la variété abélienne en terme de l’indice d’obstruction), formulée dans [19] entraîne la seconde partie de cette conjecture (minoration des points non de torsion en fonction du degré du point et de la dimension du plus petit sous-groupe algébrique contenant le point). De même pour le résultat non-conjectural, ce qui permet d’améliorer le précédent meilleur résultat connu, dû à Masser [33], pour la minoration des points d’ordre infini sur les variétés abéliennes de type C.M. Par ailleurs on montre que la conjecture de Lehmer abélienne entraîne la conjecture de Lehmer abélienne multihomogène a priori plus forte, telles qu’elles sont énoncées dans [19]. On montre également que toute avancée en direction de la conjecture de Lehmer entraîne une avancée similaire en direction de la conjecture multihomogène. En utilisant le résultat principal de [19] on en déduit, en direction de la conjecture multihomogène, une minoration optimale aux puissances de log près dans le cas des variétés abéliennes de type C.M.

6.1 Sur la conjecture de Lehmer sur les variétés abéliennes

Rappelons la conjecture de Lehmer abélienne, formulée dans [19] conjecture 1.4. On note δ_{L}(P) l’indice d’obstruction de P.

Conjecture 20 (David-Hindry) Soient A/K une variété abélienne de dimension g sur un corps de nombres et L un fibré en droites symétrique ample sur A. Il existe une constante strictement positive c(A/K, L) telle que pour tout point P ∈ A(\overline{K}) d’ordre infini modulo toute sous-variété abélienne stricte de A, on a

ĥ_{L}(P) ≥ \frac{c(A/K, L)}{δ_{L}(P)}.  (6.1)

De plus, en terme du degré D = [K(P) : K], on a pour tout point P ∈ A(\overline{K}) qui n’est pas de torsion

ĥ_{L}(P) ≥ \frac{c(A/K, L)}{D^{\frac{1}{g_{0}}}},  (6.2)

où g_{0} est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique contenant le point P.

En utilisant le théorème de David et Hindry [19] on obtient un résultat, optimal aux puissances de log près en direction de l’inégalité (6.2) de la conjecture précédente.

Théorème 44 Si A/K est de type C.M., alors il existe une constante strictement positive c(A/K, L) telle que pour tout point P ∈ A(\overline{K}) d’ordre infini, on a

ĥ_{L}(P) ≥ \frac{c(A/K, L)}{D^{\frac{1}{g_{0}}}} (log 2D)^{−κ(g_{0})} ,

où D = [K(P) : K], où g_{0} est la dimension du plus petit sous-groupe algébrique de A contenant P et où κ(g_{0}) = (2g_{0}(g_{0} + 1)!)^{g_{0}+2}.

Démonstration : C’est une conséquence immédiate du corollaire 4 de [42] (chapitre 2 de cette thèse) appliqué à la variété V = \overline{\{P \}} image schématique de P dans A sur K. On peut faire une preuve directe (ce qui permet d’utiliser le résultat principal de [19] sans avoir à faire intervenir en plus leur remarque utilisant l’indice d’obstruction) : on commence par le cas où A = ∏_{i=1}^{n} A_{i}^{r_{i}}, les A_{i} étant des variétés abéliennes simples deux à deux non-isogènes et où L est le fibré en droites ample et symétrique associé au plongement

A = ∏_{i=1}^{n} A_{i}^{r_{i}} ↪ ∏_{i=1}^{n} ℙ_{n_{i}}^{r_{i}} ↪^{Segre} ℙ^{N},

les A_{i} étant plongées dans ℙ_{n_{i}} par des fibrés L_{i} très amples et symétriques. On note G le plus petit sous-groupe algébrique contenant V. On note G^{0} la composante connexe de l’identité de G. C’est une sous-variété abélienne de A et elle est donc isogène à B = ∏_{i=1}^{n} A_{i}^{s_{i}} où 0 ≤ s_{i} ≤ r_{i}. On note alors π : A → B une projection naturelle obtenue par oubli de certaines coordonnées, de sorte que π_{|G} est une isogénie. Montrons que l’on est dans les conditions d’application du théorème principal de [19] en prenant comme variété abélienne B et comme point π(P).

Si π(P) est d’ordre fini modulo une sous-variété abélienne stricte de B, en notant H le plus petit sous-groupe algébrique contenant π(P), on a dimH < dimB. Ainsi G_{1} = G ∩ π^{−1}(H) est un sous-groupe algébrique strict de G (car π_{|G} est une isogénie), contenant V. Ceci est absurde.

Si π(P) est d’ordre fini, comme π est une isogénie, le point P est aussi d’ordre fini. Ceci est absurde.

Finalement, π(P) est un point d’ordre infini modulo toute sous-variété abélienne de B. On peut donc appliquer le théorème principal de [19]. Par ailleurs, la hauteur et le degré sont définis relativement aux plongements

A = ∏_{i=1}^{n} A_{i}^{r_{i}} ↪ ∏_{i=1}^{n} ℙ_{n_{i}}^{r_{i}} ↪^{Segre} ℙ^{N_{A}} et B = ∏_{i=1}^{n} A_{i}^{s_{i}} ↪ ∏_{i=1}^{n} ℙ_{n_{i}}^{s_{i}} ↪^{Segre} ℙ^{N_{B}}.

De plus l’application \overline{π} : ∏_{i=1}^{n} ℙ_{n_{i}}^{r_{i}} → ∏_{i=1}^{n} ℙ_{n_{i}}^{s_{i}} est la projection linéaire définie par oubli de coordonnées. Dans ce cas, et pour ces plongements, on a

ĥ_{M_{B}}(π(P)) ≤ ĥ_{M}(P) et deg π(P) ≤ deg P.

Ceci nous donne

ĥ_{M}(P) ≥ ĥ_{M_{B}}(π(P)), d’où par le théorème de [19],

≥ \frac{c(B, M_{B})}{(deg π(P))^{\frac{1}{g_{0}}}} (log 2 deg π(P))^{−κ(g_{0})}

≥ \frac{c(B, M_{B})}{(deg P)^{\frac{1}{g_{0}}}} (log 2 deg P)^{−κ(g_{0})} .

≥ \frac{c′(A, M)}{(deg P)^{\frac{1}{g_{0}}}} (log 2 deg P)^{−κ(g_{0})} ,

où on a pris pour c′(A, M) le minimum des c(B, M_{B}) quand s_{i} varie dans [[0, r_{i}]].

Dans le cas général, la variété abélienne A est donnée avec une isogénie ρ vers la variété abélienne B = ∏_{i=1}^{n} A_{i}^{r_{i}}. Soit P d’ordre infini de la variété abélienne de A. Le point Q = ρ(P) est un point d’ordre infini de la variété abélienne de B. Il résulte facilement de la preuve de la proposition 14. de [40] qu’il existe c′(A, L) tel que

ĥ_{L}(P) ≥ c′(A, L)ĥ_{M}(Q).

Ainsi en appliquant le résultat précédent, on en déduit presque l’inégalité voulue : il faut encore remplacer le degré deg Q par deg P. Or deg Q ≤ deg P. Ceci permet de conclure.□

Ce résultat améliore le meilleur résultat précédemment connu, dû à Masser qui obtient dans [33], pour tout point P d’ordre infini de A(\overline{K}) :

ĥ_{L}(P) ≥ \frac{c(A/K, L)}{D^{2} log 2D}.

En faisant la même preuve et en appliquant la partie (6.1) de la conjecture 20 au lieu du théorème de [19], on obtient le

Corollaire 11 La partie (6.1) de la conjecture 20 entraîne sa partie (6.2).

6.2 Sur la conjecture de Lehmer multihomogène sur les variétés abéliennes

Soit A/K une variété abélienne de dimension g. Quitte à augmenter un peu K (cf. par exemple [42] lemme 2), on peut supposer (et on suppose) que tous les endomorphismes de A sont définis sur K. On note ĥ_{L} la hauteur de Néron-Tate sur A(\overline{K}) associée à un diviseur ample et symétrique L. Pour tout entier n on pose L_{n} = L^{⊠n} fibré en droites symétrique ample sur A^{n} et on note ĥ_{L_{n}} la hauteur de Néron-Tate associée. On commence par un lemme.

Lemme 32 Soit (P_{1}, …, P_{n}) un point de A^{n}(\overline{K}). On a

ĥ_{L_{n}}(P_{1}, …, P_{n}) = ∑_{i=1}^{n} ĥ_{L}(P_{i}).

Démonstration : C’est une conséquence formelle des propriétés de fonctorialité des hauteurs de Weil et de la définition de la hauteur de Néron-Tate. □

En utilisant ce lemme, on démontre le résultat suivant :

Théorème 45 Si A/K est de type C.M., alors, pour tout entier n ∈ ℕ il existe une constante c(A/K, L, n) > 0 telle que pour tout point (P_{1}, …, P_{n}) ∈ A^{n}(\overline{K}) d’ordre infini modulo toute sous-variété abélienne stricte de A^{n}, on a :

∏_{i=1}^{n} ĥ_{L}(P_{i}) ≥ \frac{c(A/K, L, n)}{D^{\frac{1}{g}}} (log 2D)^{−nκ(g)} ,

où D = [K(P_{1}, …, P_{n}) : K].

Démonstration : Soient A_{1}, …, A_{n} des entiers strictement positifs et Q_{1}, …, Q_{n} des points de A(\overline{K}) tels que pour tout i, P_{i} = A_{i}Q_{i}. On a

ĥ_{L_{n}}(Q_{1}, …, Q_{n}) = ∑_{i=1}^{n} ĥ_{L}(Q_{i}) = ∑_{i=1}^{n} A_{i}^{−2}ĥ_{L}(P_{i}),

et,

[K(Q_{1}, …, Q_{n}) : K]^{\frac{1}{ng}} ≤ (A_{1}^{2g} × ⋯ × A_{n}^{2g}D)^{\frac{1}{ng}} .

Le théorème de David-Hindry nous donne alors

∑_{i=1}^{n} A_{i}^{−2}ĥ_{L}(P_{i}) ≥ \frac{c(A/K, L, n)}{(∏_{i=1}^{n} Ai^{\frac{2}{n}} ) D^{\frac{1}{gn}}} (log ((∏_{i=1}^{n} A_{i})D))^{−κ(g)} .

On pose maintenant, pour tout 1 ≤ i ≤ n,

x_{i} = \frac{13ĥ(P_{i})}{4 min_{j} ĥ(P_{j})}, et A_{i} = [\sqrt{x_{i}}].

Pour tout i, on a x_{i} ≥ \frac{13}{4} et x_{i} ≥ A_{i}^{2} ≥ \frac{x_{i}}{3} . Ainsi,

∑_{i=1}^{n} A_{i}^{−2}ĥ_{L}(P_{i}) ≤ \frac{3 × 4}{13}n min_{j} ĥ_{L}(P_{j}),

et

∏_{i=1}^{n} A_{i}^{2} ≤ (\frac{13}{4 min_{j} ĥ_{L}(P_{j})})^{n} ∏_{i=1}^{n} ĥ_{L}(P_{i}).

Donc,

min_{j} ĥ_{L}(P_{j}) ≥ c_{10}(A/K, L, n) ∑_{i=1}^{n} A_{i}^{−2}ĥ_{L}(P_{i})

≥ \frac{c_{11}(A/K, L, n)}{(∏_{i=1}^{n} Ai^{\frac{2}{n}} ) D^{\frac{1}{gn}}} (log 2D ∏_{i=1}^{n} A_{i})^{−κ(g)}

≥ \frac{4c_{11}(A/K, L, n) min_{j} ĥ_{L}(P_{j})}{13 ∏_{i=1}^{n} ĥ_{L}(P_{i})^{\frac{1}{n}} D^{\frac{1}{gn}}} (log 2D ∏_{i=1}^{n} A_{i})^{−κ(g)} .

Par ailleurs, on a la majoration

log ∏_{i=1}^{n} A_{i} ≤ n log (\frac{13}{2 min_{j} ĥ_{L}(P_{j})}) + 2 log ∏_{i=1}^{n} ĥ_{L}(P_{i}).

Or on peut toujours supposer que les ĥ_{L}(P_{i}) sont inférieurs à 1, donc,

log ∏_{i=1}^{n} A_{i} ≤ n log (\frac{13}{2 min_{j} ĥ_{L}(P_{j})}) .

Ainsi,

log 2D ∏_{i=1}^{n} A_{i} ≤ n log (\frac{13D^{\frac{1}{n}}}{2 min_{j} ĥ_{L}(P_{j})}) .

On en déduit que

∏_{i=1}^{n} ĥ_{L}(P_{i})^{\frac{1}{n}} ≥ \frac{c_{1}(A/K, n)}{D^{\frac{1}{ng}}} (log \frac{D^{\frac{1}{n}}}{min_{j} ĥ_{L}(P_{j})})^{−κ(g)} .

Le point (P_{1}, …, P_{n}) étant d’ordre infini modulo toute sous-variété abélienne, les points P_{i} sont en particulier d’ordre infini sur A. Le résultat inconditionnel de Masser sur la minoration de la hauteur des points sur les variétés abéliennes, theorem de [35], nous donne donc :

log \frac{D^{\frac{1}{n}}}{min_{j} ĥ_{L}(P_{j})} ≤ c_{2}(A/K, L, n) log 2D.

Ainsi, on en déduit

∏_{i=1}^{n} ĥ_{L}(P_{i}) ≥ \frac{c_{3}(A/K, L, n)}{D^{\frac{1}{g}}} (log 2D)^{−nκ(g)}

ce qui conclut. □

Remarque 23 Si au lieu de faire appel au théorème 1.5. de [19] dans la preuve du théorème 45 on applique la conjecture 20, alors on en déduit le résultat suivant :

Théorème 46 Soient A/K une variété abélienne de dimension g sur le corps de nombres K et L un fibré en droites symétrique ample sur A. Si la conjecture 20 est vraie pour (A/K, L) alors, pour tout entier n ∈ ℕ il existe une constante c(A/K, L, n) > 0 telle que pour tout point (P_{1}, …, P_{n}) ∈ A^{n}(\overline{K}) d’ordre infini modulo toute sous-variété abélienne stricte de A^{n}, on a :

∏_{i=1}^{n} ĥ_{L}(P_{i}) ≥ \frac{c(A/K, L, n)}{D^{\frac{1}{g}}},

où D = [K(P_{1}, …, P_{n}) : K].

Remarque 24 En fait dans leur article [19], les auteurs formulent également une conjecture multihomogène du problème de Lehmer abélien. Plutôt que de supposer le point (P_{1}, …, P_{n}) d’ordre infini modulo toute sous-variété abélienne stricte de A^{n}, il supposent les points P_{i} linéairement indépendants dans A. Précisément ils donnent la conjecture 1.6 suivante :

Conjecture 21 (David-Hindry) Soient A/K une variété abélienne de dimension g sur un corps de nombres et L un fibré en droites symétrique ample sur A. Pour tout entier n ∈ ℕ il existe une constante c(A/K, L, n) > 0 telle que pour tout n-uplet (P_{1}, …, P_{n}) de points d’ordre infini dans A(\overline{K}), End(A)-linéairement indépendants, on a :

∏_{i=1}^{n} ĥ_{L}(P_{i}) ≥ \frac{c(A/K, L, n)}{D^{\frac{1}{g}}},

où D = [K(P_{1}, …, P_{n}) : K].

Dans la formulation de la conjecture 21 qu’ils donnent, David-Hindry écrivent “linéairement indépendants” sans préciser s’il s’agit de ℤ-linéairement ou de End(A)-linéairement indépendants. Il paraît préférable de préciser. En effet, si on comprend l’assertion “linéairement indépendants” comme ℤ-linéairement indépendants, alors la conjecture 21 est fausse comme le montre l’exemple suivant : on prend E/K une courbe elliptique à multiplication complexe par un corps quadratique imaginaire contenu dans K. On se donne α ∈ End(E) un endomorphisme qui n’est pas la multiplication par un entier, on se donne également un point P_{1} d’ordre infini dans E(\overline{K}) et pour tout n ≥ 1, on choisit des points P_{n} tels que nP_{n} = P_{1}. Enfin on pose Q_{n} = α(P_{n}). Puisque P_{1} est d’ordre infini, les points P_{n} et Q_{n} sont ℤ-linéairement indépendants. De plus on a

ĥ(P_{n})ĥ(Q_{n}) = \frac{N(α)}{n^{4}}ĥ(P_{1})^{2},

et,

D_{n} := [K(P_{n}, Q_{n}) : K] = [K(P_{n}) : K] ≤ cn^{2}.

Donc,

ĥ(P_{n})ĥ(Q_{n}) ≤ \frac{c′}{D_{n}^{2}} .

Ceci montre que l’hypothèse “ℤ-linéairement indépendants” est insuffisante.

Par contre en supposant les points End(A)-linéairement indépendants, la situation est bien meilleure. Précisément, on a le

Théorème 47 La conjecture 20 entraîne la conjecture 21.

Démonstration : Soit n > 0 un entier. Au vu du théorème 46, la seule chose à prouver, est de montrer que l’hypothèse (i) : “les points (P_{1}, …, P_{n}) sont End(A)-linéairement indépendants”, entraîne l’hypothèse (ii) : “le point P = (P_{1}, …, P_{n}) est d’ordre infini modulo toute sous-variété abélienne stricte de A^{n}.” On va plutôt montrer que non(ii) implique non(i). Si non(ii) est vraie, alors, il existe un endomorphisme φ, non-nul, de A^{n} tel que φ(P) = 0. Or on peut écrire φ(P) = (φ_{1}(P), …, φ_{n}(P)), où les φ_{i} sont des morphismes de A^{n} vers A non tous nuls. On suppose par exemple que φ_{1} est non-nul. En notant ψ_{i} la restriction de φ_{1} à la i-eme composante de A^{n}, on obtient ainsi n endomorphismes de A, ψ_{1}, …, ψ_{n}, non tous nuls et tels que

∑_{i=1}^{n} ψ_{i}(P_{i}) = φ_{1}(P) = 0.

Autrement dit, les points P_{1}, …, P_{n} sont End(A)-linéairement dépendants. □

Enfin la même preuve permet de constater que le théorème 46 entraîne un énoncé analogue en remplaçant l’hypothèse “d’ordre infini modulo toute sous-variété abélienne stricte” par “End(A)-linéairement indépendants”. Ce dernier résultat à également été montré par Viada [57] proposition 4. dans le cas particulier où A est une courbe elliptique.

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