1. Où va-t-on ranger le piano ?

Les cloisons de la maison de Mr et Mme MEJ forment une ligne polygonale. Les déménageurs viennent d'apporter un piano rectangulaire au milieu du salon. Avant de décider où ranger le piano, Mr MEJ veut faire un croquis qui représente tous les endroits où on peut mettre le piano.

Dans un premier temps, on peut simplifier le problème en supposant que le piano sera seulement translaté et non tourné.

Variante : Mr MEJ a renoncé à mettre le piano dans la maison, il préfère le mettre dans la piscine qui a la forme d'une courbe lisse.

Variante : retour dans la maison polygonale, mais le piano est remplacé par une table circulaire.

Dans chacun des cas, on aimerait comparer la surface de l'ensemble des positions du piano à la surface de la maison (en fonction de la taille du piano).
 
 

2. Le marchand de tapis

Mr MEJ ouvre la porte à un marchand de tapis ambulant.

<< Quelle surface, ton salon, monsieur ?
- 70 m2.
- Parfait, j'ai là un splendide tapis d'orient de 8m sur 8m, 64 euros, pas cher du tout.
- Mais mon salon n'est pas carré !
- Pas grave, pas grave ! Je te découpe le tapis, d'abord j'obtiens deux rectangles de 3m x 8m et 5m x 8m, puis je découpe le petit rectangle en deux triangles, et le grand rectangle en deux trapèzes dont les bases font 3m et 5m. Avec un triangle et un trapèze, je forme un triangle. Je réassemble les deux grands triangles obtenus en un rectangle de 13m x 5m, le tapis tient dans ton salon. 64 euros, pas cher du tout.
- J'achète ! >>

A son retour, Mme MEJ trouve le tapis à son goût, et félicite son mari qui a acheté pour 64 euros un tapis de 65 m2.

Trouver l'erreur. Inventer d'autres combinaisons de dimensions qui se prêtent à ce jeu.
 
 

3. Tables démontables

Mme MEJ a décidé qu'elle voulait deux enfants. Mr MEJ s'arrêterait bien au premier. Au moment d'acheter une table pour la salle à manger, la discussion tourne à l'aigre : faut-il acheter une table carrée ou une table triangulaire ?

Mr Meuble trouve la solution qui sauvera le ménage MEJ. Cette table magique a quatre pieds. Son plateau est découpé en quatre pièces, un triangle et trois quadrilatères. Les trois découpes sont concourantes, l'une d'entre elles passe par deux pieds, les deux autres par un seul pied. Quand on fait tourner chacune des quatre pièces d'un demi tour autour de son axe (une diagonale pour les quadrilatères, un coté pour le triangle) qui relie deux pieds, on obtient une table en forme de triangle équilatéral. Le tour est joué.

Saurez-vous retrouver la construction géométrique qui rend ce miracle possible ? Il y a t'il d'autres façon de s'y prendre ?
 
 

4. Tas de sable

On fait tomber du sable sur une plaque polygonale. Le tas prend la forme d'un polyèdre. Quelles sont ses arêtes ? Combien y en a t'il ? On peut commencer par une plaque triangulaire, puis un quadrilatère, etc...
 
 

5. Le plus grand des deux

Alice : <<  Je suis plus vieille que toi, tu me dois le respect !
Pas d'accord, répond Benoît. D'abord, quel âge as tu ?
- Je te ne le dirai pas. >>
A l'aide d'un simple jeu de cartes, il est possible de se mettre d'accord sur la comparaison des âges sans qu'aucun des deux comparses ne découvre l'âge de l'autre. Saurez-vous trouver un moyen ? Il s'agit de définir un protocole où Alice et Benoît empilent, mélangent et retournent des cartes. En fait, le jeu de cartes peut effectuer de nombreuses tâches...
 

6. Commentaires

1    : c'est un 1, ça s'écrit 11
11  : ça fait deux 1, ça s'écrit 2 1
21  : ça fait 1211, etc...
Etudier cette suite de nombres. Y a t'il des nombres qu'on peut découper en deux moitiés GD qui évoluent indépendamment ?
 
 

7. La bataille

Alice et Benoît jouent à la bataille avec seulement les rois et les dames (soit 8 cartes). Combien de parties différentes sont possibles ? Est-ce que toutes les parties se terminent en un temps fini ? Ils rajoutent les valets : qu'est-ce que ça change ?
 
 

8. La courbe du dragon

Je découpe une bande de papier. Je la plie en deux, puis encore en deux, puis encore en deux... Lorsque je la déplie et la regarde par la tranche, je vois une courbe qui tourne tantôt à droite, tantôt à gauche. J'améliore les plis de sorte qu'à chaque virage la bande tourne exactement de 90°. Curieusement, le tracé ne se recoupe pas. En joignant quatre bandes par une extrémité, on obtient une belle figure qui remplit une partie du plan (ie passe exactement une fois dans chaque carreau de cette partie du plan), d'autant plus grande que le nombre de plis est grand. Comment cela se fait-il ?
 

9. Multiplication des courbes

Si A et B sont des parties du plan représenté par des nombres complexes, leur produit AB est l'ensemble des produits zz' obtenus lorsque z décrit A et z' décrit B.

Essayer des exemples simples : droites, demi-droites, cercles, reconnaître des courbes classiques. Chercher un algorithme pour faire le dessin.
 

10. Carrelages

11. Modèles de trafic

Au volant, Mr MEJ peste contre les embouteillages. Pourquoi est on arrêté en pleine campagne, pourquoi se retrouve-t'il toujours sur la file qui n'avance pas ? Un modèle simple de trafic, résoluble graphiquement, permet de rendre compte de plusieurs observations courantes.
 

12. Le pentagramme

Etant donné un polygone fermé, on trace les diagonales reliant chaque sommet au suivant du suivant. On obtient un nouveau polygone. On s'intéresse à la forme asymptotique du polygone obtenu.
 
 

13. Expérimentation numérique autour d'un billard non convexe

Pour ceux qui ont envie de programmer.
 
 

Plein d'autres problèmes testés : voir le site Animath/clubs, ou demander à Didier Missenard.
 
 

Bibliographie

Jean-Paul Delahaye, Jeux mathématiques et mathématiques des jeux. Bibliothèque Pour la Science (1998).

Martin Gardner, La magie des paradoxes. Bibliothèque Pour la Science (1980).

Gazette des Mathématiciens, septembre 2002, et les nombreuses références qu'elle contient.

Kaul, Anil; Farouki, Rida T., Computing Minkowski sums of plane curves. Int. J. Comput. Geom. Appl. 5, No.4, 413-432 (1995)

Farouki, Rida T.; Johnstone, John K., The bisector of a point and a plane
parametric curve. Comput. Aided Geom. Des. 11, No.2, 117-151 (1994).

Farouki, Rida T.; Pottmann, H., Exact Minkowski products of N complex disks,  Reliable Computing  8, 43-66 (2002).

Farouki, Rida T.; Moon, H. P., Minkowski geometric algebra and the
stability of characteristic polynomials, preprint

Farouki, Rida T.; Moon, H. P.; Ravani, B., Algorithms for Minkowski products and
implicitly-defined complex sets, Advances in Computational Mathematics 13,
199-229 (2000)

catalogue de courbes classiques :
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html

Schwartz, Richard, The Pentagram Map. Experimental Mathematics 1, 71-81 (1992).

Lichnewsky et al. Modélisation mathématique : un autre regard. Scopos/Springer (2002).

Mis à jour le 26 septembre 2002

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