\documentclass{article} \usepackage{amsmath} \usepackage[ansinew]{inputenc} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[dvips]{graphicx} \textwidth=15truecm \textheight=22.8truecm \hoffset=-12mm \voffset=-9mm \baselineskip=12pt \def\R{{\bf R}} \def\C{{\bf C}} \def\Z{{\bf Z}} \def\Q{{\bf Q}} \def\N{{\bf N}} \def\P{\mathcal{P}} \def\et{~\textrm{et}~} \def\ou{~\textrm{ou}~} \def\ri{\Rightarrow} \def\qed{\vrule height 5pt width 5pt} \def\d{\displaystyle} \def\inv#1{\frac{1}{#1}} \font\smc=cmcsc10 \def\ex#1{\vskip 1truecm\centerline{#1}\vskip 0.2truecm} \def\ques#1{\vskip 0.4truecm \noindent{\bf #1}\hskip 0.4truecm} \begin{document} \noindent{Universit\'e Paris-Sud}\hfill 2006-2007\par \noindent{S1-IFIPS}\hfill Compléments de Mathématiques \vskip1truecm \centerline{\smc Contrôle continu de Mathématiques 2} \centerline{\sl 17 novembre 2006, durée 2h} \centerline{\sl Documents et calculettes interdits} \centerline{Barême indicatif : I=4, II=5, III=2, IV=2, V=7} \ex{I} \ques{1.}Ecrire la contraposée de l'implication suivante et démontrer qu'elle est vraie pour tout $y$ réel. \begin{eqnarray*} ((\forall x\in\R)~(\frac{1}{x^{2}+1}< y^2 )) \Rightarrow ((y>1)\ou(y<-1)). \end{eqnarray*} \ques{2.}Quelle est la réciproque de l'assertion précédente ? Est-elle vraie pour tout $y$ réel ? Si oui, la démontrer. Si non, donner un contre exemple. \ex{II} Soit $I$ l'ensemble des étudiants de S1-IFIPS. On note $A\subset I\times I$ l'ensemble des couples $(x,y)$ tels que $x$ et $y$ \emph{ont le même âge}. On rappelle que $I$ est divisé en 3 groupes de TD notés $G_1$, $G_2$ et $G_3$. Traduire les assertions suivantes par des assertions mathématiques. \begin{enumerate} \item Il y a un groupe de TD dont tous les étudiants ont le même âge. \item La négation de l'assertion précédente. \item Il y a exactement un groupe de TD dont tous les étudiants ont le même âge. \item Dans chaque groupe de TD on peut trouver un étudiant qui a le même âge que tous les étudiants de l'un des autres groupes. \item Il y a un groupe de TD tel que tout étudiant de S1-IFIPS ait le même âge que l'un des étudiants de ce groupe. \end{enumerate} \ex{III} Pour $n\geq 1$, on note $u_n$ la somme des carrés des nombres entiers compris entre 1 et $n$. Sans calculer $u_{n}$, montrer par récurrence que pour tout $n\geq 1$, $u_n \leq \frac{n(n+1)^2}{3}$. \ex{IV} Soit $I$ l'ensemble des étudiants de S1-IFIPS. On note $A$ l'ensemble des étudiants qui ont une automobile, $B$ celui des étudiants qui jouent au basket, $C$ celui des étudiants qui prennent un café en arrivant à la fac le matin. On considère l'ensemble $D$ des étudiants qui ont une voiture mais ne jouent pas au basket et ne boivent pas de café. On s'intéresse aussi à l'ensemble $F$ des étudiants qui jouent au basket ou bien boivent du café, mais n'ont pas de voiture. \ques{1.} Ecrire des formules (ne faisant intervenir que $\cap$, $\cup$, les parties $A$, $B$ et $C$ et leurs complémentaires) qui définissent $D$ et $F$. \ques{2.} Déterminer $D\cap F$ et $D\cup F$. \ex{V} En vue d'un prochain week-end d'intégration, un étudiant rassemble des titres de chansons démodées, classées par interprète. \begin{center} \begin{tabular}{|l|l|l|} \hline Interprète&Titre&Année\\\hline\hline J. Clerc & Femmes... je vous aime & 1982\\ J. Clerc & Ma préférence & 1978\\ J. Clerc & Melissa & 1984\\ J.-J. Goldman & Comme toi & 1982\\ J.-J. Goldman & Envole moi & 1984\\ J.-J. Goldman & Je marche seul & 1985\\ J.-J. Goldman & Là bas & 1987\\ J.-J. Goldman & Pas toi & 1985\\ R. Gotainer & Femmes à lunettes & 1990\\ R. Gotainer & Le mambo du décalco & 1982\\ R. Gotainer & Le youki & 1990\\ R. Gotainer & Primitif & 1990\\ E. Mitchell & Couleur menthe à l'eau & 1980\\ E. Mitchell & La dernière séance & 1977\\ Renaud & Dans mon H.L.M & 1980\\ Renaud & Dès que le vent soufflera & 1983\\ Renaud & It is not because you are & 1980\\ Renaud & Laisse béton & 1977\\ Renaud & Mistral gagnant & 1986\\ Renaud & Morgane de toi & 1983\\ Rita Mitsouko & Don't forget the night & 1984\\ Rita Mitsouko & Nuit d'ivresse & 1987\\ Rita Mitsouko & Singing in the shower & 1988\\ H.-F. Thiéfaine & Lorelei sebasto cha & 1982\\ \hline \end{tabular} \end{center} On note $T$ l'ensemble des titres, $I$ celui des interprètes, $X=\{1,2,3,4,5,6\}$, $A=\{1977,1978,\ldots,$ 1989, 1990\}. On note $a:T\to A$ l'application qui donne l'année de parution d'une chanson, $i:T\to I$ l'application qui donne l'interprète d'un titre, et $n:I\to X$ l'application qui donne le nombre de chansons par artiste. \ques{1.}L'application $a$ est-elle injective ? surjective ? L'application $n$ est-elle injective ? surjective ? \ques{2.}Soit $E$ l'ensemble des artistes ayant interprété au moins 4 titres de la liste, dont au moins un en 1988 ou après. On note $Y=\{1988, 1989, 1990\}$ et $Z=\{4,5,6\}$. Exprimer $E$ au moyen des opérations image, image réciproque, $\cup$, $\cap$. Faire la liste des éléments de $E$. \ques{3.}L'étudiant souhaite sélectionner une chanson par année entre 1980 et 1990 inclus. Sa sélection consiste en une partie $S$ de $T$. Quelles conditions doit satisfaire la restriction de $a$ à $S$ ? Une telle sélection est-elle possible ? En sus de celles figurant sur le tableau, l'étudiant a en réserve 2 autres chansons. Cela peut-il suffire pour compléter la sélection ? \ques{4.}Soit $R$ un sous-ensemble de $T$ tel que la restriction de $a$ à $R$ est injective. Combien, au maximum, $R$ comporte-t'il d'éléments ? Donner un exemple de sous-ensemble $R$ tel que la restriction de $a$ à $R$ soit injective et ayant le nombre maximal d'éléments. \vfill\eject \noindent{Universit\'e Paris-Sud}\hfill 2006-2007\par \noindent{S1-IFIPS}\hfill Compléments de Mathématiques \vskip1truecm \centerline{\smc Corrigé du contrôle continu de Mathématiques 2} \centerline{17 novembre 2006} \ex{I} \ques{1.}Contraposée. \begin{eqnarray*} ((y\leq 1)\et (y\geq -1))\Rightarrow (\exists x\in\R)~(\frac{1}{x^{2}+1}\geq y^2 ). \end{eqnarray*} Démonstration. Si $y\leq 1$ et $y\geq -1$, alors $|y|\leq 1$. On peut élever au carré les deux membres de cette inégalité entre nombres positifs ou nuls, donc \begin{eqnarray*} y^{2}=|y|^{2}\leq 1. \end{eqnarray*} Prenons $x=0$. Alors $\frac{1}{x^{2}+1}=1\geq y^2$. On a donc prouvé, par un exemple, qu'il existe un $x\in\R$ tel que $\frac{1}{x^{2}+1}\geq y^2$, c.q.f.d. \ques{2.}La réciproque est \begin{eqnarray*} (\forall y\in\R)~(((y>1)\ou(y<-1))\ri (\forall x\in\R)~(\frac{1}{x^{2}+1}1$ ou $y<-1$. Dans les deux cas, $y^2 >1$. D'autre part, soit $x$ un réel. $x^2 \geq 0$ entraîne $x^2 +1 \geq 1$. On peut prendre l'inverse des deux membres de cette inégalité entre réels strictement positifs, à condition de changer le sens de l'inégalité, et il vient $\frac{1}{x^2 +1}\leq 1