\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[ansinew]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[dvips]{graphicx}
%\pagestyle{empty}
\textwidth=15truecm
\textheight=22.8truecm
\hoffset=-12mm
\voffset=-9mm
\baselineskip=12pt


\def\R{{\bf R}}
\def\C{{\bf C}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\N{{\bf N}}
\def\P{\mathcal{P}}
\def\et{~\textrm{et}~}
\def\ou{~\textrm{ou}~}
\def\non{\textrm{non}}
\def\ri{\Rightarrow}
\def\lr{\Leftrightarrow}
\def\qed{\vrule height 5pt width 5pt}
\def\d{\displaystyle}
\def\inv#1{\frac{1}{#1}}
\font\smc=cmcsc10
\def\ex#1{\vskip 1truecm\centerline{#1}\vskip 0.2truecm}
\def\ques#1{\vskip 0.4truecm
\noindent{\bf #1}\hskip 0.4truecm}

\begin{document}

\noindent{Universit\'e Paris-Sud}\hfill  2006-2007\par
\noindent{IFIPS}\hfill S1-Math2
\vskip1truecm
\centerline{\smc Test de Mathématiques}
\centerline{en vue du contrôle en TD, 2ème semaine d'octobre}

\vskip1cm
\indent{\em Pour chacune des assertions 1 à 8, dire si elle est vraie ou fausse. La démontrer ou en donner un contre-exemple.}

\par\bigskip

\begin{enumerate}

\item Pour tous réels $x$ et $y$ non nuls, $\d ((x<y) \lr (xy^2 < y^3 ))$.
\item Pour tous réels $x$ et $y$, $\d (x>y>0) \lr \big({\frac{1}{x}<\frac{1}{y}}\big)$.
\item L'assertion $\P$ suivante est vraie.
$$(\forall x\in \R)(\forall z\in \R)\quad(((x\leq 1)\et(z > 0)) \ri (xz < z)).$$
\item L'assertion $\mathcal{Q}$ suivante est vraie.
$$(\forall x\in \R)\quad((x\geq 1) \ri ((\exists z\in \R)(xz >z))).$$
\item Soient $A$, $B$ et $C$ des sous-ensembles d'un ensemble $E$. Le complémentaire de $A\cup(B\cap C)$ est $\bar{A}\cap(\bar{B}\cup\bar{C})$.
\item Soient $A$, $B$ et $C$ des sous-ensembles d'un ensemble $E$. Alors $C\setminus(B\cup A)=(C\setminus A)\setminus B$.
\item Soient $A$, $B$ et $C$ des sous-ensembles d'un ensemble $E$. Alors $C\cap(B\setminus A)=(C\cap B)\setminus A$.
\item Soient $A$, $B$ et $C$ des sous-ensembles d'un ensemble $E$. Alors $C\cup(B\setminus A)=(C\cup B)\setminus A$.

\par\bigskip

{\em Les questions 9 à 18 portent sur des manipulations d'assertions. Pour chacune, dire si la manipulation est correcte ou non. Si non, rétablir la conclusion exacte.}

\par\bigskip

\item La n\'egation de $((x^2 \geq 1)$ ou $(\d x\in \big]{\frac{1}{2}},3\big]))$ est $(\d x \in \big[-1,{\frac{1}{2}}\big])$.
\item La négation de l'assertion $\P$ de la question 3 est
$$(\exists x\in \R)(\exists z\in \R)\quad(((x\leq1)\et(z> 0)) \et (xz \geq z)).$$
\item La négation de l'assertion $\mathcal{Q}$ de la question 4 est
$$(\exists x\in \R)\quad((x\geq 1)\ou((\forall z\in \R)(xz\leq z))).$$
\item La réciproque de $\P$ est l'assertion
$$(\forall x\in \R)(\forall z\in \R)\quad((xz <z)\ri((x\leq 1)\ou(z > 0))).$$
\item La réciproque de $\mathcal{Q}$ est l'assertion
$$(\forall x\in \R)\quad(((\exists z\in \R)(xz \leq z))\ri(x \geq 1)).$$
\item La contraposée de $\P$ est l'assertion
$$(\forall x\in \R)(\forall z\in \R)\quad((xz \leq z)\ri((x>1)\ou(z\leq 0))).$$
\item La contraposée de $\mathcal{Q}$ est l'assertion
$$(\forall x\in \R)\quad(((\exists z\in \R)(xz \leq z))\ri(x<1)).$$
\item L'assertion \emph{étant donnés trois entiers, si leur produit est non nul, alors chacun d'entre eux est non nul} se traduit par
\begin{eqnarray*}
(\forall a\in\N)(\forall b\in\N)(\forall c\in\N)((abc\not=0)\ri((a\not=0)\et(b\not=0)\et(c\not=0))).
\end{eqnarray*}
\item L'assertion \emph{une condition nécessaire pour qu'une année soit bissextile est que son millesime soit un multiple de 4} se traduit par
\begin{eqnarray*}
\textrm{L'année $n$ est bissextile }\ri\textrm{ $n$ est un multiple de 4}.
\end{eqnarray*}
\item L'assertion \emph{en S1-IFIPS, il y a dans chaque groupe de TD deux étudiants qui ont leur anniversaire le même jour} se traduit par
\begin{eqnarray*}
(\forall i\in\{1,2,3\})(\exists x\in G_i )(\exists y\in G_i )((x\not=y)\ou(\textrm{anniversaire}(x)=\textrm{anniversaire}(y))).
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\end{document}