%&latex

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\frenchspacing
\textwidth = 15cm\textheight = 22.8cm
\hoffset = -1.1cm\voffset = -2cm
%  abr\'{e}vations  %


\let\d=\displaystyle


\def\R{\mathbb R}
\def\C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\e{\varepsilon}

% numeration automatique des exercices et questions %

\def\part#1{\bigskip\noindent{\bf #1}}


\newcount\exocount \exocount=1
\newcount\questcount \questcount=1

\def\exo{\bigskip\noindent{\bf Exercice \number\exocount {} -}
  \global\advance\exocount by 1 \questcount=1 {}}


\def\q{\noindent{\number\questcount .}
  \global\advance\questcount by 1}


\pagestyle{empty}

\begin{document}
Université Paris-Sud \hfill 2009

S4-IFIPS

\vskip1cm


\centerline{\bf TRAVAUX PRATIQUES EN MATLAB}

\vskip1cm

\section{Lancer matlab à la MdI dans les salles windows}


Entrer (login, mot de passe). Lancer matlab au moyen de l'icône sur le bureau.

A la première utilisation de l'éditeur, avant de sauvegarder un sous-programme, indiquer le chemin. Cliquer sur le bouton situé en haut, à droite de la boîte Current Directory. Dans la fenêtre qui s'ouvre, sélectionner votre répertoire personnel sur le serveur groseille (il est marqué Z:). Cliquer OK.

\section{Pr\'eambule}


Pour r\'esoudre num\'eriquement un syst\` eme diff\'erentiel 
$Y'(t)=F(t,Y(t))$, on utilisera la fonction {\tt ode45} de Matlab dont on rappelle ici la syntaxe.
On d\'efinit dans un fichier {\tt F.m} 
une fonction $F$ qui prend en argument un r\'eel {\tt t} et un vecteur {\tt Y} et renvoie un vecteur. La commande
{\tt  [t y]=ode45(@F, [${\texttt t_0} \;\;{\texttt t_1}$], ${\texttt Y_0}$)} 
renvoie alors un vecteur colonne {\tt t} subdvision de l'intervalle [${\texttt t_0}$, ${\texttt t_1}$] et une matrice {\tt y} dont la $i$-\`eme ligne correspond
\`a la valeur approch\'ee en {\tt t(i)} de la solution de donn\'ee initiale $Y({\texttt t_0})={\texttt Y_0}$.

\section{Pendule avec frottements}

L'\'equation de Newton d'un pendule sans frottements s'\'ecrit
$$
\ddot{\theta}(t)=-\omega^2\, \sin\theta(t) - \rho\, \dot{\theta}(t)\,,
$$
o\`u $\omega$ et $\rho$ sont des constantes positives.

\begin{enumerate}[{\bf 1.}] 
\item Mettre cette \'equation sous la forme d'un syst\`eme diff\'erentiel du premier ordre:
\begin{equation*}
(\mathcal{S})\qquad 
\left\{\begin{array}{rcl}
\dot{x}(t) &=& y(t)\,,\\
\dot{y}(t) &=& f(x(t),y(t))\,.
\end{array}\right.
\end{equation*}

\item D\'eterminer les points d'\'equilibre de ($\mathcal{S}$). 
On d\'esigne par A et B les points de coordonn\'ees  respectives
$(0,0)$ et $(\pi,0)$. Dans la suite, on limite l'\'etude aux seuls points A et B. Pourquoi ?

\item Etude au voisinage de A.
\begin{enumerate}[{\bf a.}]
\item D\'eterminer le syst\`eme ($\mathcal{S}_A$) obtenu par lin\'earisation de ($\mathcal{S}$) au point A. On note $M_A$ la matrice correspondante.
\item Calculer la trace et le d\'eterminant de $M_A$. Le point d'\'equilibre est-il stable ?
\item D\'eterminer les valeurs propres de $M_A$. Discuter la nature du point critique en fonction de
la valeur des param\` etres. On distinguera les cas $\rho < 2\omega$, 
$\rho=2\omega$, $\rho>2\omega$. Interpr\'etation physique ?
\item On suppose ici que $\omega=2$ et $\rho=5$. 
\begin{enumerate}[{\bf i.}]
\item D\'eterminer les \'el\'ements propres de $M_A$ ({\tt eig}). 
\item En d\'eduire l'expression des solutions de ($\mathcal{S}_A$). 
\item Repr\'esenter graphiquement quelques solutions de ($\mathcal{S}_A$)
afin de mettre en \'evidence l'allure du portrait de phase ({\tt ode45, plot}). 
\item Repr\'esenter graphiquement quelques solutions de ($\mathcal{S}$) pour des donn\'ees initiales 
proches du point critique A ({\tt ode45, plot}). Comparer.
\end{enumerate}
\item M\^emes questions dans les cas $(\omega,\rho)=(\sqrt{2},2)$ et $(\omega,\rho)=(1,2)$.
\end{enumerate}

\item Etude au voisinage de B.
\begin{enumerate}[{\bf a.}]
\item D\'eterminer le syst\`eme lin\'earis\'e en B. On note ($\mathcal{S}_B$) le lin\'earis\'e et $M_B$ la matrice correspondante.
\item Calculer la trace et le d\'eterminant de $M_B$. Le point critique consid\'er\'e est-il stable ?
\item D\'eterminer les valeurs propres de $M_B$ ({\tt eig}). D\'eterminer la nature du point critique en fonction de
la valeur des param\` etres. La distinction effectu\'ee au {\bf 3.c.} est-elle pertinente ici ?
\item Etude du cas $\omega=2$ et $\rho=3$. El\'ements propres de $M_B$ ({\tt eig}). 
Portrait de phase de ($\mathcal{S}_B$). Repr\'esentation graphique des solutions de ($\mathcal{S}$) au voisinage de B
({\tt ode45, plot}).
\end{enumerate}

\item On s'int\'eresse ici --- sans d\'emonstration --- \`a l'allure g\'en\'erale du portrait de phase de ($\mathcal{S}$).
On pourra consid\'erer les cas o\`u les param\`etres $(\omega,\rho)$ sont  $(2,5)$, $(\sqrt{2},2)$ ou $(1,2)$.

\begin{enumerate}[{\bf a.}]
\item Repr\'esenter graphiquement quelques solutions de ($\mathcal{S}$). 
%On peut essayer des donn\'es initiales $(\theta,\dot{\theta})=(-5+\frac{k}{4},\pm 2)$ pour $k=0,\dots,40$. 
\item Conjecturer le comportement asymptotique des solutions. 
\item D\'eterminer les fronti\`eres du "bassin d'attraction" de chaque point critique. Mettre en \'evidence des trajectoires 
exceptionnelles.
\item Quelle est l'influence de la valeur des param\`etres sur le comportement qualitatif des trajectoires ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Oscillateur de Van der Pol}


L'\'equation suivante, dite \'equation de Van der Pol, mod\'elise un syst\`eme --- par exemple un circuit \'electrique --- pr\'esentant des oscillations non-lin\'eaires:
$$(\mathcal{V})\qquad 
\ddot{x}(t) +(\mu + x^2(t))\,\dot{x}(t) +x(t)=0\,,
$$
o\`u $\mu$ est une constante mesurant la dissipation. Si $\mu>0$ le syst\`eme dissipe son \'energie. Si $\mu<0$
alors au contraire le syst\`eme comprend un composant actif qui lui apporte de l'\'energie. 
\begin{enumerate}[{\bf 1.}]
\item Mettre ($\mathcal{V}$) sous la forme d'un syst\`eme diff\'erentiel:
\begin{equation*}
(\mathcal{S})\qquad \left\{
\begin{array}{rcl}
\dot{x}(t) &=& y(t)\,,\\
\dot{y}(t) &=& f(x(t),y(t))\,.
\end{array}\right.
\end{equation*}

\item V\'erifier que ($\mathcal{S}$) admet une unique solution stationnaire.

\item Comportement au voisinage de l'origine.

\begin{enumerate}[{\bf a.}]
\item D\'eterminer le syst\`eme ($\mathcal{S}_0$) obtenu par lin\'earisation de ($\mathcal{S}$) au voisinage de l'origine.
On note $M_0$ la matrice correspondante.
\item D\'eterminer les valeurs propres de $M_0$. Discuter la stabilit\'e du point critique en fonction de la valeur de $\mu$.
Qu'observe-t-on ?
\item On suppose $|\mu|<2$. Quelle est l'allure des solutions de ($\mathcal{S}_0$) ?
\end{enumerate}

\item On consid\`ere le cas $\mu=1$. Tracer quelques solutions de ($\mathcal{S}$) et conjecturer le comportement asymptotique
global du syst\`eme.

\item On consid\`ere le cas $\mu=-1$. Tracer quelques solutions de ($\mathcal{S}$). Mettre en \'evidence la pr\'esence d'une 
trajectoire exceptionnelle. 

\item Que se passe-t-il pour des valeurs interm\'ediaires du param\` etre $\mu$ ?

\end{enumerate}


\end{document}