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  {\bf\noindent Exercice~\arabic{exercisenr}\ }}{\normalsize}

%%%%%%%%%% End TeXmacs macros

\begin{document}
\def\e{{\rm e}}
\begin{flushleft}
  Universit\'e Paris-Sud{\hspace*{\fill}}IFIPS
  
  Centre d'Orsay{\hspace*{\fill}}2005-2006 second semestre
\end{flushleft}



\begin{center}
  \textbf{\large Math\'ematiques}

  \bigskip

\bigskip  
  \textbf{Contr\^{o}le num\'ero 1\\
Jeudi 9 Mars 2006}
\end{center}
\def\e{{\rm e}}
\def\R{{\bf R}}
\def\12{\frac{1}{2}}
\begin{exercise}
Soit $D$ le domaine $D=\{(x,y)\in \R^{2}| x,y\geq 0,\: x+ y\leq 1\}$
et soit 
\[
 I= \int_{D}(x+ y)\e^{x}\e^{y}dxdy.
\]
1) Calculer $I$ \`a l'aide du th\'eor\`eme de Fubini.

\medskip\noindent
2) Calculer $I$ \`a l'aide du th\'eor\`eme de changement de variables.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $D$ le domaine $D=\{(x,y)\in \R^{2}| x^{2}+ y^{2}<x,\: x^{2}+
y^{2}>y\}$. 

\medskip\noindent
1) Dessiner le domaine $D$.

\medskip\noindent
2) Calculer l'int\'egrale:
\[
 I=\int_{D}\sqrt{x^{2}+ y^{2}}dxdx.
\]
\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $D$ le domaine $D=\{(x,y,z)| x^{2}+ y^{2}\leq z^{2}+ 1, \: -1\leq
z\leq 1\}$.

\medskip\noindent
Calculer le volume de $D$.
\end{exercise}
\begin{exercise}
Calculer les limites suivantes:
\[
\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x- \sin(2x)}{x(1-\cos x)}
\]
\[
\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\12}-(1-x)^{\12}-\sin x}{ 2x + \e^{-x}-
\e^{x}}
\]
\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $f$ la fonction d\'efinie par $f(x)= 1+x + \frac{x\ln(x)}{1-x}$.

\medskip\noindent
(1) D\'eterminer le domaine de d\'efinition de $f$.

\medskip\noindent
(2) Montrer que $f$ peut \^{e}tre prolong\'ee par
continuit\'e \`a $[0,+\infty[$ et d\'eterminer son prolongement, que l'on
notera encore par $f$.

\medskip\noindent
(3) D\'eterminer le domaine de d\'erivabilit\'e de $f$ et
calculer $f'$. 

\medskip\noindent
(4) D\'eterminer la position du graphe de $f$ par rapport
\`a sa tangente au point d'abscisse $1$.

{\it Indication: on pourra commencer par calculer un DL \`a un ordre
convenable de $f$ en $x=1$.}
\end{exercise}

\end{document}