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\newdimen\finwidth
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\def\finducours#1{
\vskip.5cm
\hbox{{\vrule height 2pt width \finwidth} Fin du cours $n^0$#1}
\vskip.5cm\par}

\title{ENSEMBLES ET APPLICATIONS}
\author{P. Pansu}

\newtheorem{theo}{Th{\'e}or{\`e}me}
\newtheorem{lemme}{Lemme}
\newtheorem{prop}[lemme]{Proposition}
\newtheorem{cor}[lemme]{Corollaire}
\newtheorem{defi}[lemme]{D{\'e}finition}
\newtheorem{rem}[lemme]{Remarque}
\newtheorem{exo}[lemme]{Exercice}
\newtheorem{exemple}[lemme]{Exemple}
\newtheorem{rappel}[lemme]{Rappel}

\long\def\sol#1#2#3{\par\medskip\noindent {\bf Solution de l'exercice \ref{#1}.}\hskip1em{\em #2.}\par{#3}\par}

\def\R{{\bf R}}
\def\C{{\bf C}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\N{{\bf N}}
\def\inv#1{\frac{1}{#1}}
\def\ri{\Rightarrow}
\def\lr{\Leftrightarrow}
\def\et{~\textrm{et}~}
\def\ou{~\textrm{ou}~}
\def\non{\textrm{non}\,}
\def\cR{\,\mathcal{R}\,}
\def\P{\mathcal{P}}
\def\q{\mathcal{Q}}
\def\titre#1{\par\vskip1cm\centerline{#1}\par\vskip1cm}
\def\qed{\vbox{\hrule height 5pt width 5pt}}
\def\d{\displaystyle}
\def\inv#1{\frac{1}{#1}}
\def\solution{\par\medskip{\bf Solution.}\hskip5pt}
\def\preuve{\par\medskip{\bf Preuve.}\hskip5pt}
\def\fleche#1{\smash{\mathop{\longrightarrow}\limits^{#1}}}

\begin{document}
\maketitle

%\setcounter{section}{2}
% Logique, différents types de raisonnement.\par
% Ensembles, éléments.\par
% Fonctions et applications.\par
% Produit, puissances.\par
% Union, intersection, somme disjointe.\par
% Cardinalités.\par
% Relations.\par
% Ensembles ordonnés, diagramme de Hasse.\par

\section{Ensembles}

\subsection{Motivation}

Comment répartir les 56 étudiants de S1-IFIPS en 3 groupes de façon compatible avec leurs choix d'options et les emplois du temps des groupes ?

Soit $I$ l'ensemble des étudiants de S1-IFIPS. A chaque option (acoustique musicale, conceptions de l'univers, énergie et environnement, forces fondamentales, matériaux, nanotechnologies, robot, physique du sport, web,...) correspond un sous-ensemble $A$, $U$, $E$, $F$, $M$, $R$, $S$, $W$... de $I$, celui des étudiants qui font cette option. Le problème est de constituer trois groupes de TD, c'est-à-dire, trois sous-ensembles $G_1$, $G_2$ et $G_3$, deux à deux disjoints, dont la réunion est $I$. Comment exprimer les contraintes ?

Seul le groupe 1 a un emploi du temps compatible avec l'option robot. Par conséquent,
\begin{eqnarray*}
R\subset G_1 .
\end{eqnarray*}
Il y a deux horaires possibles pour l'option web, l'un compatible avec le groupe 1, l'autre avec le groupe 3. Par conséquent,
\begin{eqnarray*}
W\subset G_1 \cup G_3 .
\end{eqnarray*}
Par commodité, la coordinatrice a introduit une contrainte supplémentaire : les étudiants ayant choisi web et robot iront au groupe 1, ceux qui ont choisi web mais pas robot iront au groupe 3. Cela se traduit par
\begin{eqnarray*}
W\cap R\subset G_1 ,\quad W\setminus R \subset G_3 .
\end{eqnarray*}

Les opérations réunion $\cup$, intersection $\cap$ et différence $\setminus$, la relation d'inclusion $\subset$ sont appelées opérations et relations \emph{booléennes}. Cet exemple montre qu'il est utile, pour dialoguer avec un programme d'ordinateur qui résoud ce genre de problèmes d'organisation, d'être à l'aise avec les opérations booléennes sur les sous-ensembles d'un ensemble.

%\finducours4

\subsection{Vocabulaire et notations}

On part de la notion naïve : un \emph{ensemble} est une collection $E$ d'objets tous distincts. Ceux-ci sont appelés les \emph{éléments de $E$}. $x$ élément de $E$ se note $x\in E$. Deux ensembles sont égaux lorsqu'ils ont les mêmes éléments. 

\begin{exemple}
\label{nombres}
On s'autorise à manipuler les ensembles de nombres usuels $\N$, $\Z$, $\Q$, $\R$, $\C$ sans les avoir définis précisément. 
\end{exemple}

On décrit un ensemble
\begin{itemize}
  \item Ou bien en donnant la liste de tous ses éléments. Par exemple, l'ensemble des enseignants du module de compléments de maths en S1 IFIPS est
\begin{eqnarray*}
E=\{\textrm{S. Arlot, S. Lelièvre, O. Paniagua, N. Raymond}\}.
\end{eqnarray*}
  \item Ou bien en caractérisant ses éléments parmi ceux d'un ensemble déjà connu. Par exemple, 
\begin{eqnarray*}
E=\{x\in\R\,|\,\cos x<\sin x\}.
\end{eqnarray*}
\end{itemize}

\begin{exemple}
\label{expaire}
L'ensemble $E$ des solutions de l'équation du second degré $x^2 -3x+2=0$ est
\begin{eqnarray*}
E=\{x\in\C\,|\,x^2 -3x+2=0\}=\{1,2\}.
\end{eqnarray*}
\end{exemple}

\begin{exemple}
\label{exsingl}
Il y a un ensemble qui n'a aucun élément, c'est l'\emph{ensemble vide}, noté $\emptyset$.

On appelle \emph{singleton} un ensemble de la forme $E=\{x\}$.

On appelle \emph{paire} un ensemble de la forme $E=\{x,y\}$ avec $x\not=y$. Remarquer que $\{x,y\}=\{y,x\}$.
\end{exemple}

\begin{exo}
\label{exens}
Décrire l'ensemble $E$ des entiers naturels pairs, l'ensemble $F$ des entiers naturels impairs et strictement inférieurs à 8.
\end{exo}

\sol{exens}{Description d'ensembles}{
Cela revient à rédiger mathématiquement une assertion.
\begin{eqnarray*}
E=\{n\in\N\,|\,(\exists m\in\N)(n=2m)\}.
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
E=\{n\in\N\,|\,((\exists m\in\N)(n=2m+1)\et(n<8)\}=\{1,3,5,7\}.
\end{eqnarray*}
}

\subsection{Sous-ensembles}

On dit que $F$ est un \emph{sous-ensemble} de $E$, ou bien $F$ est contenu dans $E$, et on note $F\subset E$, si tout élément de $F$ appartient aussi à $E$. On dit aussi que $F$ est une {\em partie} de $E$.

\begin{exemple}
\label{exparal}
Tout rectangle est en particulier un parallélogramme. Autrement dit, l'ensemble $R$ des rectangles du plan est contenu dans l'ensemble $P$ des parallélogrammes, $R\subset P$.
\end{exemple}

\begin{rem}
\label{eg}
Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Pour montrer que $E=F$, il suffit de montrer que $F\subset E$ et $E\subset F$. 
\end{rem}

\begin{exo}
\label{exoincl}
Déterminer l'ensemble $E$ des réels qui sont strictement inférieurs à tous les rationnels strictement positifs.
\end{exo}

\sol{exoincl}{Inclusions réciproques}{
Montrons que $E=\R_- =]-\infty,0]$. En effet, si $x\in R_-$, alors $\forall y\in\Q$, $((y>0)\ri(y>x))$, donc $x\in E$. Cela montre que $\R_- \subset E$.

Réciproquement, montrons par l'absurde que $((x\in E)\ri (x\in\R_- ))$. Supposons qu'il existe $x\in E$ tel que $x\notin\R_-$. Alors $x>0$. Il existe un entier $n$ tel que $n>1/x$. Alors $x>1/n$. Or $1/n \in\Q$ et $1/n >0$, ce qui contredit l'hypothèse $x\in E$. On  conclut que $E\subset \R_-$.

On a donc montré que $E=\R_-$.
}

\begin{rem}
\label{reminclu}
L'inclusion entre ensembles correspond à l'implication. Si $F=\{x\in E\,|\,\P(x)$ est vraie $\}$ et $G=\{x\in E\,|\,\q(x)$ est vraie $\}$, alors 
\begin{eqnarray*}
(F\subset G)\lr((\forall x\in E)(P(x)\ri Q(x))).
\end{eqnarray*}
\end{rem}

\begin{exemple}
\label{exinclu}
On sait que $(\forall x\in\R)((x>1)\ri(x^2 >x))$. Par conséquent,
\begin{eqnarray*}
\{x\in\R\,|\,x>1\}\subset \{x\in\R\,|\,x^2 >x\}.
\end{eqnarray*}
\end{exemple}
\subsection{Complémentaire}

Si $F$ est un sous-ensemble de $E$, son \emph{complémentaire dans $E$} est
\begin{eqnarray*}
E\setminus F=\{x\in E\,|\,x\notin F\}.
\end{eqnarray*}
On le note parfois $\mathrm{C}_{E}F$ ou, lorsque qu'il n'y a pas d'ambiguité, $\bar{F}$. 

\begin{exemple}
\label{compl}
Dans l'ensemble $I$ des étudiants de S1 IFIPS, le complémentaire du groupe 1 est $\overline{G_1}=I\setminus G_1 =G_2 \cup G_3$.
\end{exemple}

\begin{exemple}
\label{irr}
Les éléments du complémentaire $\R\setminus\Q$ sont appelés \emph{nombres irrationnels}. $\sqrt{2}$ est l'un d'entre eux.
\end{exemple}

\begin{rem}
\label{remcompl}
Le complémentaire d'un ensemble correspond à la négation. Si $F=\{x\in E\,|\,\P(x)$ est vraie $\}$ alors $E\setminus F=\{x\in E\,|\,\non\P(x)$ est vraie $\}$.
\end{rem}

\subsection{Intersection, réunion}

L'\emph{intersection} de deux sous-ensembles $F$ et $G$ de $E$, c'est
\begin{eqnarray*}
F\cap G=\{x\in E\,|\,(x\in F)\et(x\in G)\}
\end{eqnarray*}
La \emph{réunion} de deux sous-ensembles $F$ et $G$ de $E$, c'est
\begin{eqnarray*}
F\cup G=\{x\in E\,|\,(x\in F)\ou(x\in G)\}
\end{eqnarray*}

\begin{exemple}
\label{exinter}
Dans l'ensemble $I$ des étudiants de S1 IFIPS, les étudiants qui font web et robot, c'est l'intersection $W\cap R$ de l'ensemble $W$ de ceux qui font web et de l'ensemble $R$ de ceux qui font robot.

Les étudiants qui ont cours le vendredi de 16h à 18h, ce sont ceux qui font l'une des options de fin d'après-midi, acoustique musicale, bulles gouttes mousses, Conceptions de l'univers, plus ceux qui font énergie et environnement et simultanément une des options du début d'après-midi,forces fondamentales, matériaux, nanotechnologies, physique du sport (l'option web du vendredi n'apparaît pas car elle est forcément couplée avec robot). Autrement dit, l'ensemble $T$ des étudiants qui ont cours le vendredi de 16h à 18h est donné par la formule
\begin{eqnarray*}
T=A\cup B\cup U\cup(E\cap(F\cup M\cup N\cup S)).
\end{eqnarray*}
\end{exemple}

\begin{rem}
\label{remunion}
L'union est à prendre au sens large, i.e. $F\cap G\subset F\cup G$. 
\end{rem}

\subsection{Règles}

Des propriétés des opérations logiques, il résulte un grand nombre de règles dont voici quelques unes. Soient $F$, $G$ et $H$ trois sous-ensembles d'un ensemble $E$.
\begin{eqnarray*}
(\non(F\subset G))&\lr&(F\cap(E\setminus G)\not=\emptyset).\\
(F\subset G)&\lr&(E\setminus G\subset E\setminus F).\\
E\setminus(F\cup H)&=&(E\setminus F)\cap(E\setminus H).\\
F\cap(G\cup H)&=&(F\cap G)\cup(F\cap H).
\end{eqnarray*}

\subsection{Unions et intersections multiples}

Si $F_1 , \ldots F_i ,\ldots$ sont des sous-ensembles d'un ensemble $E$, leur intersection $\bigcap_{i\in\N}F_i$ est l'ensemble des éléments de $E$ qui appartiennent à tous les $F_i$ et leur réunion $\bigcup_{i\in\N}F_i$ est l'ensemble des éléments de $E$ qui appartiennent à au moins un $F_i$,
\begin{eqnarray*}
\bigcap_{i\in\N}F_i =\{x\in E\,|\,(\forall i\in\N)(x\in F_i )\},\quad 
\bigcup_{i\in\N}F_i =\{x\in E\,|\,(\exists i\in\N)(x\in F_i )\}.
\end{eqnarray*}

\begin{exo}
\label{exbigint}
Déterminer l'ensemble des réels strictement positifs $x$ tel que $\sin(1/x)<0$.
\end{exo}

\sol{exbigint}{Union infinie}{
Pour tout $t\in\R$, $t>0$,
\begin{eqnarray*}
(\sin t<0)\lr((\exists k\in\N)((2k+1)\pi <t<(2k+2)\pi)).
\end{eqnarray*}
Par conséquent, pour tout $x\in\R$, $x>0$,
\begin{eqnarray*}
(\sin(1/x)<0)&\lr&((\exists k\in\N)((2k+1)\pi <\frac{1}{x}<(2k+2)\pi))\\
&\lr&((\exists k\in\N)(\frac{1}{(2k+2)\pi}<x<\frac{1}{(2k+1)\pi})).
\end{eqnarray*}
Autrement dit, 
\begin{eqnarray*}
\{x>0\,|\,\sin(\frac{1}{x})<0\}=\bigcup_{k\in\N}]\frac{1}{(2k+2)\pi},\frac{1}{(2k+1)\pi}[.
\end{eqnarray*}
}

\medskip

\textbf{Ensembles disjoints}. On dit que $F$ et $G$ sont \emph{disjoints} si $F\cap G=\emptyset$. Ne pas confondre distincts et disjoints. 

On dit que des ensembles $F_i$ sont \emph{deux à deux disjoints} si $(\forall i\in \N)$ $(\forall j\in\N)$, $i\not=j \ri F_i \cap F_j \not=\emptyset$. Ne pas confondre avec $\bigcap_{i}F_i =\emptyset$.

%\finducours5

\subsection{Différence}

La \emph{différence} de deux sous-ensembles $F$ et $G$ de $E$, c'est l'ensemble des éléments de $F$ qui n'appartiennent pas à $G$,
\begin{eqnarray*}
F\setminus G=\{x\in E\,|\,((x\in F)\et(x\notin G))\}=F\cap(E\setminus G).
\end{eqnarray*}

\begin{exemple}
\label{exdiff}
La contrainte sur les groupes de TD en S1 IFIPS peut s'écrire $W\setminus R\subset G_3$.
\end{exemple}

\subsection{Différence symétrique}

C'est l'opération booléenne qui correspond au \emph{ou exclusif}. La \emph{différence symétrique} de deux sous-ensembles $F$ et $G$ d'un ensemble $E$, c'est $F\Delta G =(F\setminus G)\cup(G\setminus F)=(F\cup G)\setminus(F\cap G)$.

\begin{exemple}
\label{exdiffsym}
Soit $F\subset\Z$ l'ensemble des entiers divisibles par 2 et 
$G\subset\Z$ l'ensemble des entiers divisibles par 3. Alors $F\Delta G$ est l'ensemble des entiers divisibles par  2 ou 3 mais pas par 6, $F\Delta G=\{\ldots,-9,-8,-4,-3,-2,0,2,3,4,8,9,14,15,\ldots\}$.
\end{exemple}

\section{Produit cartésien}

\subsection{Motivation}

Quels étudiants possèdent le numéro de téléphone de quel autre ? Soit $I$ l'ensemble des étudiants de S1 IFIPS. La façon la plus claire de présenter la réponse attendue est sous la forme d'un tableau à double entrée, dans lequel la case d'entrées $x\in I$ et $y\in I$ est cochée si et seulement si $x$ possède le numéro de téléphone de $y$. Noter que réciproquement, $y$ n'a pas nécessairement le numéro de téléphone de $x$, donc l'ordre entre $x$ et $y$ est important. Cet ensemble de couples $(x,y)$ est un sous-ensemble du produit $I\times I$.

Quels sont les couplages d'options offertes en S1-IFIPS dont les emplois du temps sont incompatibles ? Ce sont celles qui ont lieu dans la même partie de l'après-midi du vendredi, et uniquement à ce moment là. Autrement dit, ce sont les sous-ensembles à deux éléments de chacun des ensembles $D=\{F,M,N,S\}$ et $F=\{A,B,U\}$, autrement dit $\{F,M\}$, $\{F,N\}$, $\{F,S\}$, $\{M,N\}$, $\{M,S\}$, $\{N,S\}$ (l'option $E$ n'apparaît pas car elle est proposée deux fois dans l'après-midi du vendredi, l'option web du vendredi n'apparaît pas car elle est forcément couplée avec robot). On parle de sous-ensembles parce que l'ordre n'a pas d'importance.

Il faut donc distinguer {\em couples} et {\em paires}, i.e. parties à deux éléments.

\finducours3
 
\subsection{Définition}

Soient $E$ et $F$ des ensembles. Leur \emph{produit cartésien} $E\times F$ est l'ensemble qui possède un élément, appelé \emph{couple} $(x,y)$ pour chaque $x\in E$ et chaque $y\in F$, avec la convention que, pour tous $x$, $x'\in E$ et tous $y$, $y'\in F$,
\begin{eqnarray*}
((x,y)=(x',y'))\lr((x=x')\et(y=y')).
\end{eqnarray*}

\begin{exemple}
\label{exprod}
Un procès-verbal de jury d'examen est un tableau à deux entrées, en ordonnée, les candidats, en abscisse, les épreuves. Chaque note est numérotée (le mot juste est \emph{indexée}) par un couple (candidat,épreuve), c'est-à-dire, par le produit cartésien de l'ensemble des candidats par celui des épreuves.
\end{exemple}

Plus généralement, étant donnés des ensembles $E_1 ,\ldots,E_n$, on définit leur produit $E_1 \times \cdots \times E_n$ comme l'ensemble qui possède un élément, appelé \emph{$n$-uplet} $(x_1 ,\ldots,x_n )$ pour chaque $x_1 \in E_1$, $x_2 \in E_2$, ..., $x_n \in E_n$, avec la même convention. On note $E^n$ le produit de $n$ copies de $E$.


\begin{exemple}
\label{pave}
Un parallélépipède de l'espace dont les côtés sont parallèles aux axes s'identifie au produit cartésien de trois intervalles de $\R$. 
\end{exemple}

Soit $(x_1 ,\ldots,x_n )$ un élément du produit $E_1 \times \cdots \times E_n$. On appelle $x_{j}$ sa {\em $j$-ème coordonnée}, ou sa {\em $j$-ème composante}, ou sa {\em projection sur le $j$-ème facteur}. 

Soient $E_1 ,\ldots,E_n$ des ensembles finis. Si $N_i$ est le nombre d'éléments de $E_i$, alors le nombre d'éléments de $E_1 \times\cdots\times E_n$ est le produit $N_1 \ldots N_n$.

\section{Somme disjointe}

\subsection{Motivation}

Je prépare pour chaque enseignant (cours, TD, TP, communication, langue, option) une liste des étudiants de S1-IFIPS qui sont dans sa classe. J'indique sur chaque liste le nombre de noms. Quand j'ajoute ces nombres, je trouve bien plus que le nombre (57) d'étudiants en S1-IFIPS. Je trouve 57$\times$15, car chaque étudiant intéragit avec 15 enseignants différents. Effectuer cette addition me permet de vérifier que je n'ai oublié d'étudiant dans aucun enseignement.

La collection de tous les noms apparaissant sur ces listes est une somme disjointe. Un même nom peut apparaître plusieurs fois.

\subsection{Définition}

Soient $E_1 ,\ldots,E_n$ des ensembles. Leur \emph{somme disjointe} $E_1 \coprod\cdots\coprod E_n$ est un ensemble qui contient chaque élément de $E_1$, chaque élément de $E_2$, etc..., éventuellement répété. 

\begin{exemple}
\label{exsomme}
La liste des contrevenants au code de la route pour l'année 2004 est la somme disjointe des listes journalières. Un individu y apparaît autant de fois qu'il a commis de contraventions. 
\end{exemple}


Soient $E_1 ,\ldots,E_n$ des ensembles finis. Si $N_i$ est le nombre d'éléments de $E_i$, alors le nombre d'éléments de la somme disjointe $E_1 \coprod\cdots\coprod E_n$ est $N_1 +\cdots +N_n$.

%\finducours6

\section{Applications}

\subsection{Motivation}

La liste des étudiants de S1 IFIPS se présente comme un tableau. A chaque étudiant sont associés
\begin{itemize}
\item un nom ;
\item un prénom ;
\item un jour et un mois de naissance ;
\item deux options ;
\item un numéro de groupe.
\end{itemize}
Notons $\mathcal{MOT}$ l'ensemble des mots (chaînes de caractères). Notons $O=\{A,B,E,F,M,N,R,S,W,U...\}$ l'ensemble des options disponibles en S1 IFIPS.

L'application nom $:E\to\mathcal{MOT}$ associe à un étudiant son nom.

L'application date $:E\to\N\times\N$ associe à un étudiant son jour et son mois de naissance.

L'application options $E\to O\times O$ associe à un étudiant les deux options qu'il a choisies.

L'application numéro de groupe $:E\to\N$ ne prend que 3 valeurs.

\medskip

Un étudiant est-il uniquement déterminé par son jour anniversaire ? Autrement dit, si je sais la date d'anniversaire, est-ce que je sais de quel étudiant il s'agit ? Si c'est le cas, on dit que l'application date est \emph{injective}.

%Probablement non, l'application date n'est sans doute pas injective. En revanche, ils sont dans des groupes différents, donc l'application (date,numéro de groupe)$:E\to\N\times\N\times\N$ est injective.

\medskip

Tous les couplages d'options ont ils été demandés ? Certainement pas, car il y a des couplages incompatibles du point de vue de l'emploi du temps. On dit que l'application options $E\to O\times O$ n'est pas \emph{surjective}. 

L'ensemble des couplages effectivement demandés par des étudiants du groupe 3 est l'\emph{image} du groupe $G_{3}$ par cette application.

L'ensemble des étudiants du groupe 3 qui ont demandé matériaux et robot est l'\emph{image réciproque} de $(M,R)$ par la \emph{restriction} de l'application option au sous-ensemble $G_{3}$.

\medskip

Les termes mathématiques {\em injective}, {\em surjective}, {\em image}, {\em image réciproque}, {\em restriction}... vont être bientôt définis. Les exemples ci-dessus montrent qu'ils font partie de la vie de tous les jours. Ils jouent aussi un rôle en sciences.

En mathématiques, ils expriment l'existence ou l'unicité d'une solution $x$ à une équation de la forme $f(x)=y$.

En physique, les grandeurs sont rarement mesurées de façon directe. Par exemple, la distance d'une étoile s'évalue au moyen de son décalage vers le rouge. Encore faut-il être sûr que la loi, i.e. l'application distance $\mapsto$ décalage est injective. Plus complexe, la transformation mathématique qui associe à un corps avec ses constituants et leurs diverses propriétés mécaniques le signal récupéré par l'échographe.

En informatique, on peut voir tout programme comme une application. Un programme comporte des arguments (données à fournir en entrée) et retourne un résultat, c'est donc une application de l'ensemble des entrées acceptées vers l'ensemble des résultats valides. L'injectivité signifie qu'on peut en principe reconstituer les données à partir du résultat.

\subsection{Définitions}

Une {\em application}, c'est deux ensembles $E$ (l'ensemble de départ ou de définition) et $F$ (l'ensemble d'arrivée) et un procédé $f$ pour associer à chaque élément $x$ de $E$ un élément de $F$ noté $f(x)$. Lorsque l'espace d'arrivée $F=\R$, on parle souvent de {\em fonction}.

\begin{exemple}
\label{exappl}
\begin{itemize}
\item La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\sin x$. Sous-entendu $F=\R$. 
\item La fonction $f$ définie sur $]0,1[$ par $\d f(x)=\frac{1}{x^{2}-x}$. Sous-entendu $F=\R$. 
\item L'application {\em identique} $id_E :E\to E$, définie par $id_E (x)=x$. 
\item La {\em fonction caractéristique} ou {\em fonction indicatrice} $c_{A}:E\to\{0,1\}$ d'un sous-ensemble $A$ de $E$, définie par $c_{A}(x)=1$ si $x\in A$, $c_{A}(x)=0$ sinon.
\item L'application $\C\to\C$ appelée {\em conjugaison}, qui, à un nombre complexe $z=x+iy$ associe son conjugué $\bar{z}=x-iy$. 
\item Une application de $\N$ dans $\R$ (resp. $\C$) s'appelle une {\em suite} de réels (resp. de complexes), et on note volontiers $u_{n}$ au lieu de $f(n)$. Par exemple, $u_{n}=\frac{1}{n+1}$.
\end{itemize}
\end{exemple}

\subsection{Graphe}

Le {\em graphe} d'une application $f:E\to F$ est le sous-ensemble $gr(f)=\{(x,f(x)))\,|\,x\in E\}$ du produit $E\times F$.

\begin{exemple}
\label{exgraphe}
La courbe représentative d'une fonction définie sur une partie de $\R$ est le graphe de cette fonction.
\end{exemple}
Une courbe représentative coupe chaque droite parallèle à l'axe $Oy$ en au plus un point. Un cercle n'est donc pas la courbe représentative d'une fonction.

\subsection{Restriction, prolongement}

Soit $f:E\to F$ une application entre ensembles et $A\subset E$ une partie de $E$. La {\em restriction} de $f$ à $A$ est l'application $f_{|A}:A\to F$ définie par $f_{|A}(x)=f(x)$ pour $x\in A$.

\begin{exemple}
\label{exrestr}
Soit $f:\R\to\R$ la fonction définie par $f(x)=x^{2}$. Elle n'est pas croissante, mais sa restriction à $[0,+\infty[$ est croissante, sa restriction à $]-\infty,0]$ est décroissante.
\end{exemple}

{\em Prolonger} $f:E\to F$ à des ensembles $E'$ contenant $E$ et $F'$ contenant $F$, c'est trouver une application $g:E'\to F'$ telle que pour tout $x\in E$, $f(x)=g(x)$.

\begin{exemple}
\label{exprol}
Soit $f:\R\setminus\{0\}\to\R$ la fonction définie par $\d f(x)=\frac{\sin x}{x}$. Sa courbe représentative suggère fortement de la prolonger à $\R$ entier en posant $g(0)=1$. Pourquoi ?
\end{exemple}

\subsection{Composition d'applications}

Si $f:E\to F$ et $g:F\to H$ sont des applications, on définit l'\emph{application composée} $g\circ f:E\to H$ par $g\circ f(x)=g(f(x))$, pour $x\in E$.

\begin{exemple}
\label{excomp}
Soit \emph{prems :} $\mathcal{MOT}\to \mathcal{LETTRE}$ l'application qui à un mot associe sa première lettre. Alors 
\emph{prems}$\circ$\emph{nom} associe à un étudiant la première lettre de son nom,
\begin{eqnarray*}
\textrm{prems}\circ\textrm{nom}(\textrm{Wei Wei Zhao})=\textrm{Z}.
\end{eqnarray*}
\end{exemple}

\begin{exemple}
\label{excomposition}
Soit $f:\R_+\to\R$ définie par $f(x)=\sqrt{x}$ et $g:\R\to\R$ définie par $g(y)=\sin y$. Alors $g\circ f(x)=\sin(\sqrt{x})$ est définie sur $\R_+$ est n'est pas périodique. $f\circ g(y)=\sqrt{\sin x}$ est une fonction périodique, définie seulement sur une réunion d'intervalles. Par conséquent, $g\circ f\not=f\circ g$. 
\end{exemple}

\begin{prop}
\label{associ}
La composition des applications est associative, i.e. si
$\d E\fleche{f}F\fleche{g}G\fleche{h}H$, alors
\begin{eqnarray*}
h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f,
\end{eqnarray*}
qu'on peut donc noter $h\circ g\circ f$.
\end{prop}

\preuve
Les deux applications composées ont même ensemble de départ $E$ et même ensemble d'arrivée $H$. Si $x\in E$, $(h\circ(g\circ f))(x)=h((g\circ f(x)))=h(g(f(x)))=(h\circ g)(f(x))=((h\circ g)\circ f)(x)$.\qed

\subsection{Image d'une partie}

Si $f:E\to F$ est une application et $A\subset E$ un sous-ensemble de $E$, son \emph{image} (aussi appelée \emph{image directe}) est
\begin{eqnarray*}
f(A)=\{f(x)\,|\,x\in A\}=\{y\in F\,|\,(\exists x\in A)(y=f(x))\}.
\end{eqnarray*}

\begin{exemple}
\label{eximage}
Quels sont les couplages d'options choisis par les étudiants du groupe 3 ? C'est l'image de $G_3 \subset I$ par l'application options.
\end{exemple}

%\finducours7

\begin{exo}
\label{exoc}
Soit $f:\C\setminus\{0\}\to \C\setminus\{0\}$ l'application définie par $f(z)=1/z$. Soient $A=\{z\in\C\setminus\{0\}\,|\,|z|\leq 1\}$ et $B=\{z\in\C\setminus\{0\}\,|\,\Re e(z)>0\}$. Déterminer les images de $A$ et de $B$ par $f$.
\end{exo}

\sol{exoc}{Image dans $\C$}{
Posons $A'=\{z\in\C\setminus\{0\}\,|\,|z|\geq 1\}$. Montrons que $f(A)=A'$. Si $z\not=0$ et $|z|\leq 1$, alors $|f(z)|=|1/z|=1/|z|\geq 1$, donc $f(z)\in A'$. Cela prouve que $f(A)\subset A'$. Réciproquement, soit $w\in A'$. Posons $z=1/w$. Alors $f(z)=w$ et $|z|=1/|w|\leq 1$, donc $z\in A$. Cela prouve que $A'\subset f(A)$. On conclut que $f(A)=A'$.

Montrons que $f(B)=B$. Si $\Re e(z)>0$, alors
\begin{eqnarray*}
\Re e(f(z))=\Re e(1/z)=\Re e(\bar{z}/z\bar{z})=\Re e(\bar{z})/z\bar{z}=\Re e(z)/z\bar{z}>0,
\end{eqnarray*}
donc $f(z)\in B$. Cela prouve que $f(B)\subset B$.
Réciproquement, on applique $f$ aux deux côtés de l'inclusion $f(B)\subset B$. Il vient $f\circ f(B)\subset f(B)$. Or $f\circ f$ est l'application identique, donc $B\subset f(B)$. On conclut que $f(B)=B$.
}

\subsection{Image réciproque d'une partie}

Si $f:E\to F$ est une application et $B\subset F$ un sous-ensemble de $A$, son \emph{image réciproque} est
\begin{eqnarray*}
f^{-1}(B)=\{x\in E\,|\,f(x)\in B\}.
\end{eqnarray*}

\begin{exemple}
\label{eximagerec}
Quels sont les prénoms des étudiants du groupe 3 qui ont mis \emph{Astrophysique} en premier choix ? C'est l'image par l'application prénom de l'image réciproque de $\{A\}$ par la restriction à $G_3$ de l'application premier choix,
\begin{eqnarray*}
\textrm{prénom}(\textrm{premier choix}_{|G_3}^{-1}(\{A\}))=\{\textrm{Hakim, Vincent, Thomas}\}.
\end{eqnarray*}
\end{exemple}

\begin{exo}
\label{exoimrec}
Soit $f:\R\to\R$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\sin x$. Soit $B=]-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2[$. Déterminer $f^{-1}(B)$.
\end{exo}

\sol{exoimrec}{Image réciproque dans $\R$}{
On s'appuie sur deux dessins, le cercle unité coupé par la bande $|y|<\sqrt{2}/2$, et la sinusoïde coupée par la bande $|y|<\sqrt{2}/2$, et sur le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle $]-\pi/4,7\pi/4]$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|ccccccccccccc|}
\hline
$x$          &$-\frac{\pi}{4}$&&$\frac{\pi}{4}$&&$\frac{\pi}{2}$&&$\frac{3\pi}{4}$&&$\frac{5\pi}{4}$&&$\frac{3\pi}{2}$&&$\frac{7\pi}{4}$  \\\hline
$\sin x$   &$-\frac{\sqrt{2}}{2}$&$\nearrow$&$\frac{\sqrt{2}}{2}$&$\nearrow$&$1$&$\searrow$&$\frac{\sqrt{2}}{2}$&$\searrow$&$-\frac{\sqrt{2}}{2}$&$\searrow$&$-1$&$\nearrow$  &$-\frac{\sqrt{2}}{2}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Soit $A=\bigcup_{k\in\Z}]2k\pi-\pi/4,2k\pi+\pi/4[\cup]2k\pi+3\pi/4,2k\pi+5\pi/4[$. Montrons que $f^{-1}(B)=A$. Si $x\in A$, alors modulo $2\pi$, $x\in]-\pi/4,\pi/4[\cup]3\pi/4,5\pi/4[$, donc $f(x)=\sin x \in ]-\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2[=B$. Cela prouve que $f^{-1}(B)$ contient $A$. Réciproquement, soit $x\in\R$ tel que $f(x)\in B$. Alors il existe $k\in\Z$ tel que $x-2k\pi\in]-\pi/4,7\pi/4]$. Alors $f(x-2k\pi)=f(x)\in B$, ce qui entraîne que $x-2k\pi\in]-\pi/4,\pi/4[\cup]3\pi/4,5\pi/4[$. Autrement dit, $x\in A$. Cela montre que $f^{-1}(B)\subset A$. On conclut que $f^{-1}(B)=A$.
}

\subsection{Applications injectives}

On dit qu'une application $f:E\to F$ est \emph{injective} si, pour tous $x$, $y\in E$,
\begin{eqnarray*}
x\not=y\ri f(x)\not=y.
\end{eqnarray*}

\begin{exemple}
\label{exinj}
Une fonction $f:A\to \R$, où $A\subset\R$, est injective si et seulement si sa courbe représentative coupe toute droite parallèle à l'axe $Ox$ en au plus un point. Un trinôme du second degré n'est donc jamais injectif.
\end{exemple}

\begin{rem}
\label{reminj}
Si $E$ et $F$ sont des ensembles finis et s'il existe une application injective de $E$ dans $F$, alors $E$ a moins d'éléments que $F$.
\end{rem}

\begin{exemple}
\label{exnoninj}
Soit $I$ l'ensemble des étudiants du S1 IFIPS. L'application \emph{date d'anniversaire}$:E\to\{1,2,\ldots,31\}\times\{1,2,\ldots,12\}$ est-elle injective ?
\end{exemple}
Le tableau suivant donne les jours et mois de naissance des 54 étudiants du S1 IFIPS présents en cours de Math2 le 11 septembre 2006.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
janvier&février&mars&avril&mai&juin&juillet&août&sept.&oct.&nov.&déc.  \\\hline
2,8,9&23&5,10&1,12 & 7&1,5&3,5&27&17&15&6 &10,15   \\
11,11&   &18  &13,15&17&21&9   &28&23&17&16&15,17   \\
12,13&   &23  &21,23&23&23&9  &    &     &25&   &17,23   \\
15,15&   &27  &23,30&26&25&22&    &     &25&   &24        \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On trouve 7 dates (11 janvier, 15 janvier, 23 avril, 9 juillet, 25 octobre, 15 décembre, 17 décembre) qui sont la date d'anniversaire de deux étudiant(e)s. Par conséquent, l'application \emph{date de naissance} n'est pas injective.

\begin{exo}
\label{exoinj}
L'application $f:\R_+ \times\R\to\C$ définie par $f(r,\theta)=re^{i\theta}$ est-elle injective ? Sa restriction à $A=]0,+\infty[\times\R$ l'est-elle ? Sa restriction à $B=]0,+\infty[\times[0,2\pi[$ l'est-elle ?
\end{exo}

\sol{exoinj}{Injectivité}{
Non, car $f(0,0)=f(0,\pi)=0$. La restriction à $A$ non plus, car $(1,0)\in A$, $(1,2\pi)\in A$ mais $f(1,0)=f(1,2\pi)=1$. En revanche, la restriction de $f$ à $B$ est injective. En effet, si $f(r,\theta)=f(r',\theta')=w$, alors $r=|w|=r'$ et $\theta=\arg(w)=\theta'$ modulo $2\pi$. Si $\theta$, $\theta'\in[0,2\pi[$, ce n'est possible que si $\theta=\theta'$. On conclut que $f_{|B}$ est injective.
}

\subsection{Applications surjectives}

On dit qu'une application $f:E\to F$ est \emph{surjective} si, pour tout $y\in F$, il existe $x\in E$ tel que $f(x)=y$. Autrement dit, $f$ est surjective si et seulement si $f(E)=F$.

\begin{exemple}
\label{exsurj}
Une fonction $f:A\to \R$, où $A\subset\R$, est surjective si et seulement si sa courbe représentative coupe toutes les droites parallèle à l'axe $Ox$ en au moins un point. Un trinôme du second degré n'est donc jamais surjectif.
\end{exemple}

\begin{rem}
\label{remsurj}
Si $E$ et $F$ sont des ensembles finis et s'il existe une application surjective de $E$ dans $F$, alors $E$ a plus d'éléments que $F$.
\end{rem}

\begin{exemple}
\label{exnonsurj}
Soit $I$ l'ensemble des étudiants du S1 IFIPS. L'application \emph{jour de naissance}$:I\to\{1,2,\ldots,31\}$ est-elle surjective ?
\end{exemple}
On constate que les jours suivants n'apparaissent pas dans le tableau de l'exemple \ref{exnoninj} : $\{4,14,19,20,29,31\}$. L'application \emph{jour de naissance} n'est donc pas surjective.

\begin{exo}
\label{exosurj}
L'application $f:\R_+ \times\R\to\C$ définie par $f(r,\theta)=re^{i\theta}$ est-elle surjective ? Sa restriction à $A=]0,+\infty[\times\R$ l'est-elle ? Quelle est l'image de $A$ par $f$ ? et l'image de $B$ ?
\end{exo}

\sol{exosurj}{Surjectivité}{
Si $w\in\C$, alors $w=|w|e^{i\arg(w)}=f(|w|,\theta)$, où $\theta$ est une détermination quelconque de l'argument de $w$. On conclut que $f$ est surjective. 

Si $r\not=0$, $f(r,\theta)\not=0$. Par conséquent, $f(A)$ est contenue dans $\C\setminus\{0\}$. Donc $f_{|A}$ n'est pas surjective. 

\emph{A fortiori}, $f(B)\subset f(A)\subset \C\setminus\{0\}$. Réciproquement, si $w\in\C$, $w\not=0$, alors $w=|w|e^{i\arg(w)}=f(|w|,\theta)$ pour la détermination $\theta$ de l'argument de $w$ qui se trouve dans l'intervalle $[0,2\pi[$. Par conséquent, l'image de $f_{|B}$ contient $\C\setminus\{0\}$. On conclut que $f(B)=\C\setminus\{0\}$. 

\emph{A fortiori}, $\C\setminus\{0\}\subset f(B)\subset f(A)$, donc $f(A)=\C\setminus\{0\}$. 
}

\subsection{Applications bijectives}

On dit qu'une application $f:E\to F$ est \emph{bijective} si, pour tout $y\in F$, il existe un et un seul $x\in E$ tel que $f(x)=y$. Autrement dit, $f$ est bijective si et seulement si $f$ est à la fois injective et surjective.

\begin{exemple}
\label{exbij}
Une fonction $f:A\to \R$, où $A\subset\R$, est bijective si et seulement si sa courbe représentative coupe toutes les droites parallèle à l'axe $Ox$ en exactement un point. Une fonction affine non constante est bijective.
\end{exemple}

\begin{rem}
\label{rembij}
Si $E$ et $F$ sont des ensembles finis et s'il existe une application bijective de $E$ dans $F$, alors $E$ a autant d'éléments que $F$.
\end{rem}

\begin{exo}
\label{exobij}
Montrer que l'application $f:]0,+\infty[\times[0,2\pi[\to\C\setminus\{0\}$ définie par $f(r,\theta)=re^{i\theta}$ est bijective.
\end{exo}

\sol{exoinj}{Bijectivité}{
On a montré en \ref{exoinj} que cette application est injective, puis en \ref{exosurj} que cette application est surjective. Elle est donc bijective.
}

\begin{defi}
\label{defrecipr}
Soit $f:E\to F$ une application bijective. Sa réciproque $f^{-1}:F\to E$ est définie par l'assertion
\begin{eqnarray*}
(f(x)=y)\lr(x=f^{-1}(y)).
\end{eqnarray*}
\end{defi}

\begin{exemple}
\label{exreciproque}
La réciproque de l'application $f:]0,+\infty[\times[0,2\pi[\to\C\setminus\{0\}$ définie par $f(r,\theta)=re^{i\theta}$ est $g:\C\setminus\{0\}\to]0,+\infty[\times[0,2\pi[$ définie par $g(w)=(|w|,\theta)$ où $\theta$ est la détermination de l'argument de $w$ qui appartient à l'intervalle $[0,2\pi[$.
\end{exemple}

\section{A retenir/à savoir faire}

A retenir
\begin{itemize}
  \item La signification des symboles $\subset$, $\cap$, $\cup$, passage au complémentaire.
  \item Ne pas confondre distinct et disjoint, couple et paire.
  \item La signification des termes image, image réciproque, injective, surjective, bijective.
\end{itemize}

\medskip
A savoir faire
\begin{itemize}
  \item Montrer l'égalité de deux ensembles $E=F$ en prouvant les deux inclusions $E\subset F$ et $F\subset E$.
  \item Manipuler des formules faisant intervenir les symboles $\cap$, $\cup$ et le passage au complémentaire.
  \item Calculer une image, une image réciproque.
\end{itemize}

\end{document}