\documentclass[10pt]{article} \usepackage{amsmath, isolatin1} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{psfrag} \usepackage{latexsym} \textwidth=15truecm \textheight=22.8truecm \hoffset=-12mm \voffset=-9mm \baselineskip=12pt \newdimen\finwidth \finwidth=\textwidth \advance \finwidth by -3cm \def\finducours#1{ \vskip.5cm \hbox{{\vrule height 2pt width \finwidth} Fin du cours $n^0$#1} \vskip.5cm\par} \newtheorem{theo}{Th{\'e}or{\`e}me} \newtheorem{lemme}{Lemme} \newtheorem{prop}[lemme]{Proposition} \newtheorem{cor}[lemme]{Corollaire} \newtheorem{defi}[lemme]{D{\'e}finition} \newtheorem{rem}[lemme]{Remarque} \newtheorem{exo}[lemme]{Exercice} \newtheorem{nota}[lemme]{Notation} \newtheorem{exemple}[lemme]{Exemple} \newtheorem{rappel}[lemme]{Rappel} %\long\def\sol#1#2#3{\par\medskip\noindent {\bf Solution de l'exercice \ref{#1}.}\hskip1em{\em #2.}\par{#3}\par} \long\def\sol#1#2#3{} \def\R{{\bf R}} \def\C{{\bf C}} \def\Q{{\bf Q}} \def\Z{{\bf Z}} \def\N{{\bf N}} \def\inv#1{\frac{1}{#1}} \def\ri{\Rightarrow} \def\lr{\Leftrightarrow} \def\et{~\textrm{et}~} \def\ou{~\textrm{ou}~} \def\non{\textrm{non}\,} \def\cR{\,\mathcal{R}\,} \def\P{\mathcal{P}} \def\q{\mathcal{Q}} \def\titre#1{\par\vskip1cm\centerline{#1}\par\vskip1cm} \def\qed{\vbox{\hrule height 5pt width 5pt}} \def\d{\displaystyle} \def\inv#1{\frac{1}{#1}} \def\solution{\par\medskip{\bf Solution.}\hskip5pt} \def\preuve{\par\medskip{\bf Preuve.}\hskip5pt} \def\D{{\cal D}} \def\cha{I\!I\!I} \title{Distributions : complément} \begin{document} \maketitle \section{Série de Fourier d'une distribution périodique} {\bf D\'efinition.} On dit qu'une distribution $U\in \mathcal{D}'(R) $ est {\bf $T$-p\'eriodique} si on a pour une translation positive $\tau _T$ $$\tau _T (U)=U.$$ Le nombre $T$ est une {\bf p\'eriode} de la distribution $U$ et le plus petit de ces nombres est appel\'e {\bf p\'eriode fondamentale}. \par \begin{defi} Soit $U$ une distribution, $I$ un intervalle de $\R$. On dit que le support de $U$ est contenu dans $I$ si, pour toute fonction d'essai $\phi$ nulle sur $I$, $\langle U,\phi\rangle$. \end{defi} {\bf Th\'eor\`eme.} La condition n\'ecessaire et suffisante pour que $U$ soit une distribution p\'eriodique de p\'eriode $T$ est que l'on puisse trouver une distribution $V$ \`a {\sl support born\'e} $V$ telle que $$U=\sum _{k\in Z} \tau _{kT}(V)$$ \par {\bf Ex.157} Soit $f$ une fonction $T$-p\'eriodique dans $L^1 (T)$, elle d\'efinit une distribution $T$-p\'eriodique $U_f$ et on peut prendre pour $V$ la distribution r\'eguli\`ere d\'efinie par la fonction $v$ \begin{displaymath} v(t) = \left\{ \begin{array}{ll} f(t) & \textrm{si $t\in [a,a+T[$ o\`u $a\in R$}\\ 0 & \textrm{sinon} \end{array} \right. \end{displaymath} \par {\bf Ex.158} Prenons pour $V$ la distribution de Dirac \`a l'origine. Donner l'expression de la distribution $T$-p\'eriodique $\cha_T$ ainsi obtenue. %{\bf Remarque.} Les distributions p\'eriodiques sont des distributions %temp\'er\'ees. \par {\bf D\'efinition.} Soit $U$ une distribution $T$-p\'eriodique telle que $U=\sum _{k\in Z} \tau_{kT}(V)$. On appelle {\bf coefficients de Fourier} de $U$ les nombres complexes $$c_k(U) = \frac{1}{T} $$ O\`u $\omega =\frac{2\pi }{T}$ et $k\in Z$. \par {\bf Remarque.} Le nombre $$ est parfaitement d\'efini puisque la fonction $t\to e^{-ik\omega t}$ est une fonction $C^\infty$ et que le support de $V$ est born\'e. \par {\bf Th\'eor\`eme.} Soit $U$ une distribution $T$-p\'eriodique, alors $$U= \lim_{N\to \infty} (\mathcal{D}')\sum_{k=-N}^{k=+N} c_k(U)e^{ik\omega t}$$ et pour $k\neq 0$ on a $|c_k(U)|\leq Cons.|k|^r$, o\`u $r$ est un entier positif. \par {\bf Inversement.} Une suite de nombres $\{ c_k\}_{-\infty}^\infty$ satisfaisant \`a l'in\'egalit\'e pr\'ec\'edente est la suite des coefficients de Fourier d'une distribution $T$-p\'eriodique. \begin{prop} Soit $U'$ la d\'eriv\'ee de la distribution $T$-p\'eriodique $U$, on a alors $$c_k(U')= ik\omega c_k (U).$$ \end{prop} \par {\bf Ex.160} Calculer les coefficients de Fourier $c_k(I\!I\!I_T)$ et $c_k \cha_T$. \section{Méthode de la variation de la constante} \textbf{Motivation}. Considérons un système physique, par exemple, un oscillateur harmonique gouverné par une équation différentielle de la forme $ay''+by'+cy=F(t)$, où $F(t)$ est un terme de forçage. On donne au sysème une impulsion brutale au temps $t=0$. Cela signifie que $F(t)$ est proportionnel à la distribution de Dirac à l'origine. Quelle est la réponse du système ? On est amené à résoudre des équations différentielles dont le second membre est une distribution, avec inconnue distribution. \subsection{Cas des équations différentielles du premier ordre} On commence par résoudre les équations différentielles de la forme $$(\mathcal{E})\quad a(x)y'+b(x)y=U,$$ où $a$ et $b$ sont des fonctions indéfiniment dérivables sur $\R$, $a$ ne s'annule pas et $U$ est une distribution. \begin{prop} La méthode classique de résolution s'étend au cas où le second membre est une distribution. \end{prop} \begin{enumerate} \item On résoud l'équation homogène. On trouve des solutions proportionnelles, $f(x)=C\,e^{c(x)}$ où $c$ est une primitive de $-b/a$. \item On cherche une solution particulière de l'équation $(\mathcal{E})$ sous la forme $T=e^{c(x)}U$, où $U$ est une distribution inconnue. Cela conduit à $T'=e^{-c}U$, qui possède une solution $T_{0}$. \item Toutes les solutions sont de la forme $T=T_{0}+C\,e^{c(x)}$. \end{enumerate} \begin{exemple} Résoudre l'équation différentielle $y'+2xy=\delta_{0}$. \end{exemple} Les solutions de l'équation homogène sont de la forme $f(x)=C\,e^{x^{2}}$. Il reste à résoudre $T'=e^{-x^{2}}\delta_{0}=\delta_{0}$, soit $T_{0}=H$, fonction d'Heaviside. Toutes les solutions sont de la forme $T=(H+C)e^{x^{2}}$. \subsection{Cas des équations différentielles à coefficients constants} Revenons au problème initial, un oscillateur qu'on brutalise. Tant que $t<0$, il ne se passe rien, donc la solution est nulle. Lorsque $t>0$, le système oscille librement, son mouvement est solution de l'équation {\em homogène} $ay''+by'+cy=0$. Donc on peut penser que la solution est de la forme $f(t)H$ où $f$ est solution de l'équation homogène. \begin{prop} L'équation différentielle $a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+ a_{1}y'+a_{0}y=\delta_0$ possède une solution de la forme $f(t)H$ où $f$ est solution de l'équation homogène $a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1}+\cdots+ a_{1}y'+a_{0}y=0$. \end{prop} \end{document} \begin{defi} Si $U$ est une distribution et $\phi$ une fonction d'essai, on peut définir une fonction $U\star\phi$ par \begin{eqnarray*} U\star\phi(x)=