\documentclass{article}
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\def\R{{\bf R}}
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\def\Z{{\bf Z}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\N{{\bf N}}
\def\P{\mathcal{P}}
\def\et{~\textrm{et}~}
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\def\ex#1{\vskip 1truecm\centerline{#1}\vskip 0.2truecm}
\def\ques#1{\vskip 0.4truecm
\noindent{\bf #1}\hskip 0.4truecm}

\begin{document}

\noindent{Universit\'e Paris-Sud}\hfill  2005-2006\par
\noindent{IFIPS}\hfill S1/compléments
\vskip1truecm
\centerline{\smc Test de Mathématiques}
\centerline{en vue du contrôle en TD, 2ème semaine d'octobre}

\vskip1cm
\indent{\em Pour chacune des assertions 1 à 14, dire si elle est vraie ou fausse. La démontrer ou en donner un contre-exemple.}

\par\bigskip

\begin{enumerate}

\item Pour tous réels $x$ et $y$, $((x<y) \lr (x^2 < y^2 ))$.
\item Pour tous réels $x$ et $y$, $\d (x<y<0) \lr \big({\frac{1}{y}<\frac{1}{x}}\big)$.
\item L'assertion $\P$ suivante est vraie.
$$(\forall x\in \R)(\forall z\in \R)\quad(((x<1)\et(z\geq 0)) \ri (xz <z)).$$
\item L'assertion $\mathcal{Q}$ suivante est vraie.
$$(\forall x\in \R)\quad((x\leq 1) \ri ((\exists z\in \R)(xz <z))).$$
\item Soient $A$, $B$ et $C$ des sous-ensembles d'un ensemble $E$. Alors $C\setminus(B\setminus A)=C\setminus(A\setminus B)$.
\item Soit $f:E\to F$ une application. Si $A\subset E$, $f^{-1}(f(A))\subset A$.
\item Si $A\subset B\subset E$, alors $f(A)\subset f(B)$.
\item La réciproque de l'assertion précédente est vraie.
\item Si $A\subset B\subset E$, alors $f(A)\cap f(B)\subset f(A\cap B)$.
\item Soit $f:E\to F$ une application. Si $G\subset H\subset F$, alors $f^{-1}(G)\subset f^{-1}(H)$.
\item La réciproque de l'assertion précédente est vraie.
\item Soit $f:E\to F$ une application. Si $G\subset F$ et $H\subset F$, $f^{-1}(G\setminus H)=f^{-1}(G)\setminus f^{-1}(H)$.
\item Soient $f:E\to F$ une application, $A\subset E$, $B\subset E$, $G\subset F$. L'ensemble des éléments de $A$ dont l'image par $f$ est dans $G$ ou coïncide avec celle d'un élément de $B$ est $A\cap f^{-1}(f(B)\cup G)$.
\item Soit $E$ un ensemble de 32 personnes. L'application $f:E\to\{\textrm{janvier, ..., décembre}\}$ qui à un élément de $E$ associe son mois de naissance est surjective.

\par\bigskip

{\em Les questions 15 à 25 portent sur des manipulations d'assertions. Pour chacune, dire si la manipulation est correcte ou non. Si non, rétablir la conclusion exacte.}

\par\bigskip

\item La n\'egation de $((|x|>1)$ ou $(\d x\in \big[{\frac{1}{2}},3\big]))$ est $(\d x\in \big[-1,{\frac{1}{2}}\big])$.
\item La négation de l'assertion $\P$ de la question 3 est
$$(\exists x\in \R)(\exists z\in \R)\quad(((x<1)\et(z\geq 0)) \et (xz \geq z)).$$
\item La négation de l'assertion $\mathcal{Q}$ de la question 4 est
$$(\exists x\in \R)\quad((x\geq 1)\ou((\forall z\in \R)(xz >z))).$$
\item La réciproque de $\P$ est l'assertion
$$(\forall x\in \R)(\forall z\in \R)\quad((xz <z)\ri((x<1)\ou(z\geq 0))).$$
\item La réciproque de $\mathcal{Q}$ est l'assertion
$$(\forall x\in \R)\quad(((\exists z\in \R)(xz <z))\ri(x> 1)).$$
\item La contraposée de $\P$ est l'assertion
$$(\forall x\in \R)(\forall z\in \R)\quad((xz \geq z)\ri((x\geq1)\ou(z\leq 0))).$$
\item La contraposée de $\mathcal{Q}$ est l'assertion
$$(\forall x\in \R)\quad(((\exists z\in \R)(xz \geq z))\ri(x>1)).$$
\item L'assertion \emph{étant donnés deux entiers au moins égaux à 2, l'un se laisse toujours dépasser par une puissance de l'autre} se traduit par
\begin{eqnarray*}
(\forall a\in\N)(\forall b\in\N)(((a\geq 2)\ou(b\geq 2))\ri((\exists n\in\N)(b\leq a^n ))).
\end{eqnarray*}
\item L'assertion \emph{une condition suffisante pour que le jour de l'an tombe un dimanche est que le jour de Noël précédent soit un dimanche} se traduit par
\begin{eqnarray*}
\textrm{Jour de l'an un dimanche }\ri\textrm{ Noël un dimanche}.
\end{eqnarray*}
\item L'assertion \emph{en S1 IFIPS, il y a deux étudiants du même groupe de TD qui ont leur anniversaire le même jour} se traduit par
\begin{eqnarray*}
(\exists i\in\{1,3,4\})(\exists x\in G_i )(\exists y\in G_i )((x\not=y)\ri(\textrm{anniversaire}(x)=\textrm{anniversaire}(y))).
\end{eqnarray*}
\item L'assertion précédente signifie qu'il existe un groupe de TD tel que la restriction de l'application anniversaire à ce groupe est injective.
\end{enumerate}

\vfill\eject

\noindent{Universit\'e Paris-Sud}\hfill  2005-2006\par
\noindent{IFIPS}\hfill S1/compléments
\vskip1truecm
\centerline{\smc Corrigé du test de Mathématiques}

\begin{enumerate}

\item Pour tous réels $x$ et $y$, $((x<y) \lr (x^2 < y^2 ))$.

\textbf{C'est faux}. \emph{Prendre $x=-1$, $y=0$}.

\item Pour tous réels $x$ et $y$, $\d (x<y<0) \lr \big({\frac{1}{y}<\frac{1}{x}}\big)$.

\textbf{C'est faux}. \emph{Prendre $x=1$, $y=-1$}.

\item L'assertion $\P$ suivante est vraie.
$$(\forall x\in \R)(\forall z\in \R)\quad(((x<1)\et(z\geq 0)) \ri (xz <z)).$$

\textbf{C'est faux}. \emph{Prendre $x=0$, $z=0$}.

\item L'assertion $\mathcal{Q}$ suivante est vraie.
$$(\forall x\in \R)\quad((x\leq 1) \ri ((\exists z\in \R)(xz <z))).$$

\textbf{C'est faux}. \emph{Prendre $x=1$. Alors, pour tout $z\in\R$, $xz=z$}.

\item Soient $A$, $B$ et $C$ des sous-ensembles d'un ensemble $E$. Alors $C\setminus(B\setminus A)=C\setminus(A\setminus B)$.

\textbf{C'est faux}. \emph{Prendre $A=\emptyset$, $B=C=E\not=\emptyset$. Alors $C\setminus(B\setminus A)=\emptyset$ mais $C\setminus(A\setminus B)=E$}.

\item Soit $f:E\to F$ une application. Si $A\subset E$, $f^{-1}(f(A))\subset A$.

\textbf{C'est faux}. \emph{Prendre $E=\R$, $A=\R_+$, $f:\R\to\R$ définie par $f(x)=x^2$. Alors $f^{-1}(f(A))=\R$}.

\item Si $A\subset B\subset E$, alors $f(A)\subset f(B)$.

\textbf{C'est vrai}. \emph{Si $y\in f(A)$, il existe $x\in A$ tel que $y=f(x)$. Comme $A\subset B$, $x\in B$, donc $y=f(x)\in f(B)$. Cela prouve que $f(A)\subset f(B)$}.

\item La réciproque de l'assertion précédente est vraie.

\textbf{C'est faux}. \emph{Prendre $E=A=\R$, $B=\R_+$, $f:\R\to\R$ définie par $f(x)=x^2$. Alors $f(A)=f(B)=\R_+$, mais $A$ n'est pas contenu dans $B$}.

\item Si $A\subset B\subset E$, alors $f(A)\cap f(B)\subset f(A\cap B)$.

\textbf{C'est vrai}. \emph{En fait, si $A\subset B$, $f(A)\subset f(B)$ (question 7), donc $f(A)\cap f(B)=f(A)$, $A\cap B=A$, donc $f(A\cap B)=f(A)=f(A)\cap f(B)$}.

\item Soit $f:E\to F$ une application. Si $G\subset H\subset F$, alors $f^{-1}(G)\subset f^{-1}(H)$.

\textbf{C'est vrai}. \emph{Si $x\in f^{-1}(G)$, alors $f(x)\subset G$. Comme $G\subset H$, $f(x)\in H$ donc $x\in f^{-1}(H)$. Cela prouve que $f^{-1}(G)\subset f^{-1}(H)$}.

\item La réciproque de l'assertion précédente est vraie.

\textbf{C'est faux}. \emph{Prendre $E=F=\R$, $G=\{-2\}$, $H=\{-1\}$, $f:\R\to\R$ définie par $f(x)=x^2$. Alors $f^{-1}(G)=f^{-1}(H)=\emptyset$ mais $G$ n'est pas contenu dans $H$}.

\item Soit $f:E\to F$ une application. Si $G\subset F$ et $H\subset F$, $f^{-1}(G\setminus H)=f^{-1}(G)\setminus f^{-1}(H)$.

\textbf{C'est vrai}. \emph{$x\in f^{-1}(G\setminus H)$ si et seulement si $(f(x)\in G)\et(f(x)\notin H)$, i.e. si et seulement si $(x\in f^{-1}(G))\et(x\notin f^{-1}(H))$, i.e. si et seulement si $x\in f^{-1}(G)\setminus f^{-1}(H)$}.

\item Soient $f:E\to F$ une application, $A\subset E$, $B\subset E$, $G\subset F$. L'ensemble des éléments de $A$ dont l'image par $f$ est dans $G$ ou coïncide avec celle d'un élément de $B$ est $A\cap f^{-1}(f(B)\cup G)$.

\textbf{C'est vrai}. \emph{Soit $x\in A$ tel que $f(x)\in G$ ou il existe $x'\in B$ tel que $f(x')=f(x)$. Alors $f(x)\in f(B)\cup G$, donc $x\in f^{-1}(f(B)\cup G)$, donc $x\in A\cap f^{-1}(f(B)\cup G)$. Inversement, soit $x\in A\cap f^{-1}(f(B)\cup G)$. Alors, d'une part, $x\in A$. D'autre part, $f(x)\in f(B)\cup G$, donc $f(x)\in G$ ou il existe $x'\in B$ tel que $f(x')=f(x)$. Autrement dit, $x$ est un élément de $A$ dont l'image par $f$ est dans $G$ ou coïncide avec celle d'un élément de $B$}.

\item Soit $E$ un ensemble de 32 personnes. L'application $f:E\to\{\textrm{janvier, ..., décembre}\}$ qui à un élément de $E$ associe son mois de naissance est surjective.

\textbf{C'est faux}. \emph{Prendre 32 personnes parmi les français qui sont nés en janiver (il doit y en avoir des millions)}.

\item La n\'egation de $((|x|>1)$ ou $(\d x\in \big[{\frac{1}{2}},3\big]))$ est $(\d x\in \big[-1,{\frac{1}{2}}\big])$.

\textbf{Manipulation incorrecte}. \emph{Le réel $x=\frac{1}{2}$ satisfait les deux assertions. La négation de $((|x|>1)$ ou $(\d x\in \big[\frac{1}{2},3\big]))$ est
$((|x|\leq 1)$ et $(\d x\not\in \big[\frac{1}{2},3\big]))$, soit $(x\in [-1,\frac{1}{2}[)$.}

\item La négation de l'assertion $\P$ de la question 3 est
$$(\exists x\in \R)(\exists z\in \R)\quad(((x<1)\et(z\geq 0)) \et (xz \geq z)).$$

\textbf{Manipulation correcte}. \emph{On utilise la règle suivante : la négation de $A\ri B$ est $A\et \non B$.}

\item La négation de l'assertion $\mathcal{Q}$ de la question 4 est
$$(\exists x\in \R)\quad((x\geq 1)\ou((\forall z\in \R)(xz >z))).$$
\textbf{Manipulation incorrecte}. \emph{La négation de l'assertion
$$(\forall x\in \R)\quad((x\leq 1) \ri ((\exists z\in \R)(xz <z))).$$
est
$$(\exists x\in \R)\quad((x\leq 1) \et ((\forall z\in \R)(xz \geq z))).$$
}

\item La réciproque de $\P$ est l'assertion
$$(\forall x\in \R)(\forall z\in \R)\quad((xz <z)\ri((x<1)\ou(z\geq 0))).$$

\textbf{Manipulation correcte}. \emph{On utilise la régle suivante : la réciproque de $A\ri B$ est $B\ri A$.}

\item La réciproque de $\mathcal{Q}$ est l'assertion
$$(\forall x\in \R)\quad(((\exists z\in \R)(xz <z))\ri(x> 1)).$$

\textbf{Manipulation incorrecte}. \emph{La réciproque de
$$(\forall x\in \R)\quad((x\leq 1) \ri ((\exists z\in \R)(xz <z))).$$
est
$$(\forall x\in \R)\quad(((\exists z\in \R)(xz <z))\ri (x\leq 1)).$$
}

\item La contraposée de $\P$ est l'assertion
$$(\forall x\in \R)(\forall z\in \R)\quad((xz \geq z)\ri((x\geq1)\ou(z\leq 0))).$$

\textbf{Manipulation incorrecte}. \emph{La contraposée de
$$(\forall x\in \R)(\forall z\in \R)\quad(((x<1)\et(z\geq 0)) \ri (xz <z)).$$
est
$$(\forall x\in \R)(\forall z\in \R)\quad((xz \geq z) \ri ((x\geq 1)\ou(z< 0))).$$
}

\item La contraposée de $\mathcal{Q}$ est l'assertion
$$(\forall x\in \R)\quad(((\exists z\in \R)(xz \geq z))\ri(x>1)).$$

\textbf{Manipulation correcte}. \emph{On utilise la régle suivante : la contraposée de $A\ri B$ est $\non B\ri \non A$.}

\item L'assertion \emph{étant donnés deux entiers au moins égaux à 2, l'un se laisse toujours dépasser par une puissance de l'autre} se traduit par
\begin{eqnarray*}
(\forall a\in\N)(\forall b\in\N)(((a\geq 2)\ou(b\geq 2))\ri((\exists n\in\N)(b\leq a^n ))).
\end{eqnarray*}

\textbf{Traduction incorrecte}. \emph{La traduction correcte est 
\begin{eqnarray*}
(\forall a\in\N)(\forall b\in\N)(((a\geq 2)\et(b\geq 2))\ri((\exists n\in\N)(b\leq a^n ))).
\end{eqnarray*}
}

\item L'assertion \emph{une condition suffisante pour que le jour de l'an tombe un dimanche est que le jour de Noël précédent soit un dimanche} se traduit par
\begin{eqnarray*}
\textrm{Jour de l'an un dimanche }\ri\textrm{ Noël un dimanche}.
\end{eqnarray*}

\textbf{Traduction incorrecte}. \emph{La traduction correcte est 
\begin{eqnarray*}
\textrm{Noël un dimanche }\ri\textrm{ Jour de l'an un dimanche}.
\end{eqnarray*}
}

\item L'assertion \emph{en S1 IFIPS, il y a deux étudiants du même groupe de TD qui ont leur anniversaire le même jour} se traduit par
\begin{eqnarray*}
(\exists i\in\{1,3,4\})(\exists x\in G_i )(\exists y\in G_i )((x\not=y)\ri(\textrm{anniversaire}(x)=\textrm{anniversaire}(y))).
\end{eqnarray*}

\textbf{Traduction incorrecte}. \emph{La formule proposée est toujours vraie (prendre $x=y$). La traduction correcte est 
\begin{eqnarray*}
(\exists i\in\{1,3,4\})(\exists x\in G_i )(\exists y\in G_i )((x\not=y)\et(\textrm{anniversaire}(x)=\textrm{anniversaire}(y))).
\end{eqnarray*}}

\item L'assertion précédente signifie qu'il existe un groupe de TD tel que la restriction de l'application anniversaire à ce groupe est injective.

\textbf{Traduction incorrecte}. \emph{L'assertion 24 signifie précisément qu'il existe un groupe de TD tel que la restriction de l'application anniversaire à ce groupe n'est pas injective.
}
\end{enumerate}

\end{document}