\documentclass[12pt]{article} %%% packages \usepackage{amsmath,amssymb,amscd,amsthm,latexsym,amsfonts} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[T1]{fontenc} %%dimensions \setlength{\oddsidemargin}{-0.4cm} \setlength{\topmargin}{-1cm} \textheight 22.4cm \textwidth 16cm %numerotation des exercices \pagestyle{empty} \theoremstyle{definition} \newtheorem{exercice}{Exercice} \newtheorem{exerciced}[exercice]{Exercice$^*$} %%%quelques macros utiles \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\Sp}{\mathbb{S}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \def\bignorm#1{\left\|\, #1\,\right\|} \def \reel{\RR} \def \nat{ \NN} \def\ent{\ZZ} \def\complex{\CC} \def\norm#1{\left\|\, #1\,\right\|} \def\abs#1{\vert #1\vert} \newcommand{\der}{\partial} \newcommand{\uar}{\uparrow} \newcommand{\dar}{\downarrow} \newcommand{\lra}{\longrightarrow} \newcommand{\lla}{\longleftarrow} \newcommand{\ra}{\rightarrow} \newcommand{\fns}{\footnotesize} \newcommand{\scrsi}{\scriptsize} \newcommand{\ul}{\underline} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\exist}{\;\exists\,} \newcommand{\foral}{\;\forall\,} \newcommand{\pr}{\prime} \newcommand{\Id}{\textrm{Id}} \newcommand{\rplusbar}{\ol{\RR_+}} \newcommand{\meme}{m\^eme} \newcommand{\theo}{th\'eor\`eme} \newcommand{\ep}{\varepsilon} \newcommand{\si}{\sigma} \newcommand{\ele}{\'el\'ement} \newcommand{\dist}{{\rm dist \, }} \newcommand{\den}{d\'enombrable} \newcommand{\comp}{\,{}^{\textnormal{c}}\!} \newcommand{\lims}{\ol\lim} \newcommand{\limi}{\ul\lim} \newcommand{\cad}{c'est-\`a-dire\ } \newcommand{\ssi}{si et seulement si\ } \newcommand{\al}{\alpha} \newcommand{\be}{\beta} \newcommand{\calO}{\mathcal{O}} \newcommand{\calN}{\mathcal{N}} \newcommand{\calL}{\mathcal{L}} \newcommand{\calC}{\mathcal{C}} \newcommand{\calD}{\mathcal{D}} \newcommand{\calR}{\mathcal{R}} \newcommand{\calG}{\mathcal{G}} \newcommand{\calP}{\mathcal{P}} \newcommand{\calF}{\mathcal{F}} \newcommand{\calE}{\mathcal{E}} \newcommand{\VV}{\mathcal{V}} \begin{document} \begin{tabular}{l c r} Universit\'e de Paris-Sud Orsay & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & Ann\'ee universitaire 2004-2005 \end{tabular} \vskip 15pt \begin{center} DEUG S4 MIAS, Option Topologie Liste d'exercices 1 \end{center} \vskip 10pt Les premiers exercices sont des exercices de révision. \vskip 7pt \begin{exercice} Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ une suite de réels qui tend vers $l \in \R$. \begin{itemize} \item[\bf(i)] Vérifier qu'une telle suite est bornée. \item[\bf(ii)] Montrer que la suite de terme général $v_N := {1 \over N} \sum_{k=1}^n u_n$ converge aussi vers $l$. \item[\bf(iii)] On dit que $v_N$ est la somme de Cesaro d'ordre $N$ associée à la suite $(u_n)_{n \geq 1}$. Si la suite $(v_N)_{N \geq 1}$ converge, en est-il de m\^eme pour la suite $(u_n)_{n \geq 1}$ ? \end{itemize} \end{exercice} \vskip 7pt \begin{exercice} Soit $f$ une fonction continue sur $[0,+\infty[$, dérivable sur $]0,+\infty[$. On suppose que la dérivée $f'$ admet une limite finie $\ell$ à droite en $0$. Montrer que $f$ est dérivable à droite en $0$. \end{exercice} \vskip 7pt \begin{exercice} Montrer que la suite de terme général $I_n := \int_0^{\pi / 2} ( \cos t )^n dt$ tend vers $0$. On pourra esquisser les graphes des fonctions $t \mapsto ( \cos t )^n$ sur $[0,\pi/2]$ et mener une analyse d'une part au voisinage de $0$ et d'autre part sur le reste de l'intervalle. \end{exercice} \vskip 7pt \begin{exercice} Montrer que la suite de terme général $I_n := \int_0^{+\infty} (\frac{\sin t}{t})^n \,dt$ tend vers $0$. Pour cela, montrer que $t\mapsto \frac{\sin t}{t}$ est décroissante sur $[0,\pi/2]$, puis s'inspirer de l'exercice précédent pour majorer l'intégrale sur $[0,\pi/2]$. Pour $[\pi/2,+\infty[$, majorer $t\mapsto(\frac{\sin t}{t})^n$ par une fonction puissance dont on peut calculer l'intégrale. \end{exercice} \vskip 7pt \begin{exercice} Soit $f$ une fonction continue sur $[0,+\infty[$, telle que $f(0)\not=0$. On suppose la fonction $t\mapsto \frac{f(t)}{t}$ intégrable sur $[1,+\infty[$. Soit $a>0$. On pose $\displaystyle I_a =\int_{1}^{+\infty}\frac{f(2at)-f(at)}{t}\,dt$. Montrer que $I_a$ admet une limite lorsque $a$ tend vers $0$. On pourra faire d'abord un changement de variable qui ramène $I_{a}$ à une intégrale sur un intervalle fini où $f$ n'apparaît qu'une fois, puis appliquer le théorème de la moyenne. \end{exercice} \vskip 7pt \begin{exercice} Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ une suite de réels positifs qui n'est pas majorée. Construire une suite extraite $(u_{\phi(n)})_{n \geq 1}$ qui tend vers l'infini. \end{exercice} \vskip 7pt \begin{exercice} Déterminer (lorsqu'elles existent) les bornes supérieures et inférieures des sous-ensembles de $\R$ suivants. Sont-elles atteintes ? - $A = \left \{ {1 \over n} \ , \ n \geq 1 \right \}$ - $B = \left \{ { n - {1 \over n} \over n + {1 \over n} } \ , \ n \geq 1 \right \}$ - $C = \left \{ e^{-t} \ , \ t > 0 \right \}$ - $D =\left \{ { \sin t \over t } , t > 0 \right \}$ \end{exercice} \vskip 7pt \begin{exercice} Soit $A$ une partie non vide et bornée de $\R$. \begin{itemize} \item[\bf(i)] Montrer qu'il existe une suite $(x_n)_{n \geq 0}$ de points de $A$ qui converge vers $\sup A$. En déduire la m\^eme propriété pour $\inf A$. \item[\bf(ii)] Montrer que $\sup \{ \abs {x-y} \, , \, x \in A \, , \, y \in A \} = \sup A - \inf A$. \end{itemize} \end{exercice} \vskip 7pt \begin{exercice} Soit $A$ une partie non vide de $\R$ et $f,g : A \to \R$ deux fonctions bornées. Vérifier que l'on a : \[ \sup_{x \in A} f(x) + \inf_{x \in A} g(x) \leq \sup_{x \in A} ( f(x) + g(x) ) \leq \sup_{x \in A} f(x) + \sup_{x \in A} g(x) . \] \end{exercice} \vskip 7pt \begin{exercice} Soit $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\R$. Déterminer $\sup (A+B)$ et $\sup (A \cup B)$ en fonction de $\sup A$ et $\sup B$. \end{exercice} \vskip 7pt \begin{exercice} Soit $A$ une partie non vide de $\R$. \begin{itemize} \item[\bf(i)] Vérifier que la fonction $x \mapsto \inf_{a \in A} \abs {x - a}$ est bien définie. On la note $\dist(.,A)$ (pourquoi ?). \item[\bf(ii)] Montrer que cette fonction est 1-Lipschitzienne, c'est à dire : \[ \forall (x,y) \in \R \times \R \, , \, \abs {\dist(x,A) - \dist(y,A)} \leq \abs{x-y} . \] En déduire qu'elle continue sur $\R^2$ (on écrira la définition avec $\epsilon$, $\eta$). \item[\bf(iii)] Que se passe-t-il si on remplace $\R$ par $\R^2$, et $\abs{.}$ par la norme euclidienne $\bignorm {.}$ ? \end{itemize} \end{exercice} \vskip 7pt \begin{exercice} Soit $(x_n)_{n \geq 0}$ une suite bornée de réels. On pose : \[ v_n := \inf \, \{ x_p \, , \, p \geq n \} \ \textrm{ et } \ w_n := \sup \, \{ x_p \, , \, p \geq n \} . \] \begin{itemize} \item[\bf(i)] Montrer que les suites $(v_n)_n$ et $(w_n)_n$ convergent. On note $v$ et $w$ leurs limites respectives. Vérifier que $v \leq w$. \item[\bf(ii)] Vérifier que si $v = w$, alors la suite $(x_n)_n$ converge. \end{itemize} \end{exercice} \vskip 7pt \begin{exercice} Soit $I_n = [a_n , b_n]$ une suite décroissante de segments de $\R$. On suppose que $\lim_{n \to +\infty} ( b_n -a_n ) = 0$. Montrer qu'il existe $a \in \R$ tel que $\cap_{n \geq 0} [a_n , b_n] = \{ a \}$. \end{exercice} \vskip 7pt \begin{exercice} Soit $f : [0,1] \to [0,1] $ une fonction. Montrer qu'elle admet au moins un point fixe lorsque $f$ est continue, puis lorsque $f$ est seulement supposée croissante (on pourra dans ce cas considérer l'ensemble $\{ x \in [0,1] \ , \ f(x) \leq x \}$). \end{exercice} \vskip 7pt \begin{exerciced} Soit $f : [a,b] \to \R$ une fonction continue. On note $g : [a,b] \to \R$ la fonction définie par $g(x) = \sup_{t \in [a,x]} f(t)$. Montrer que $g$ est la plus petite fonction \emph{croissante} majorant $f$. Vérifier que $g$ est continue. \end{exerciced} \end{document}