\input amstex \def\oldfrac#1#2{\frac#1#2} \input eplain.tex \def\frac#1#2{\oldfrac#1#2} \loadeufm \loadmsam \loadmsbm \message{symbol names}\UseAMSsymbols\message{,} \font\myfontsmall=cmr10 at 8pt% \font\myfontdefault=cmr10 \font\myfontbold=cmb10 \font\mytdmfont=cmsl10 at 25pt% cmbx10 at 16pt% \font\mytdmchapfont=cmb10 at 14pt \font\mytdmheadfont=cmb10 at 10pt \font\mytdmsubheadfont=cmr10 \newif\ifshowremarks \showremarksfalse \magnification 1200 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % Fonctions utiles pour les feuilles de TD. % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcount\exno% \global\exno=0% \def\nextex{{\goodbreak\noindent\bf Exercice \global\advance\exno by 1 \the\exno.\ }}% \def\rem#1{% \ifshowremarks% \medskip% {\noindent\it #1}% \fi}% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % Mise en page % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \let\mypar=\par % Here we define right justification. \def\raggedleft{\leftskip=0pt plus 1fil \parfillskip=0pt} % Here we define the default page headers and footers. \headline={\hfil\ifnum\pageno=1\else\sl\Pagetitle\fi\hfil} \footline={\hfil\tenrm\the\pageno\hfil} \def\nextoddpage { \newpage% \ifodd\pageno% \else% \global\showpagenumflag = 0% \null% \vfil% \eject% \global\showpagenumflag = 1% \fi% } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % Commandes et Symboles % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Ici on definit la famille mathroman... \font\mathromanten=cmr10 \font\mathromanseven=cmr7 \font\mathromanfive=cmr5 \newfam\mathromanfam \textfont\mathromanfam=\mathromanten \scriptfont\mathromanfam=\mathromanseven \scriptscriptfont\mathromanfam=\mathromanfive \def\mathroman{\fam\mathromanfam} % Ici on definit la famille mathsf qui n'est pas definie dans Plain. \font\sansseriften=cmss10 \font\sansserifseven=cmss7 \font\sansseriffive=cmss5 \newfam\sansseriffam \textfont\sansseriffam=\sansseriften \scriptfont\sansseriffam=\sansserifseven \scriptscriptfont\sansseriffam=\sansseriffive \def\mathsf{\fam\sansseriffam} % Ici on definit la famille mathbf qui n'est pas definie dans Plain. \font\boldten=cmb10 \font\boldseven=cmb7 \font\boldfive=cmb5 \newfam\mathboldfam \textfont\mathboldfam=\boldten \scriptfont\mathboldfam=\boldseven \scriptscriptfont\mathboldfam=\boldfive \def\mathbf{\fam\mathboldfam} % Ici on definit \mathi et \mathj. En fait, cela n'est pas necessaire, car ces symboles existent deja sous les noms respectivement de \imath et \jmath. Mais, % ca reste une exercice interessant. \font\mycmmiten=cmmi10 \font\mycmmiseven=cmmi7 \font\mycmmifive=cmmi5 \newfam\mycmmifam \textfont\mycmmifam=\mycmmiten \scriptfont\mycmmifam=\mycmmiseven \scriptscriptfont\mycmmifam=\mycmmifive \def\mycmmi{\fam\mycmmifam} \def\hexa#1{\ifcase #1 0\or 1\or 2\or 3\or 4\or 5\or 6\or 7\or 8\or 9\or A\or B\or C\or D\or E\or F\fi} \mathchardef\mathi="7\hexa\mycmmifam7B \mathchardef\mathj="7\hexa\mycmmifam7C % Ici je definit \mybeth, \mygimmel et \mydaleth \font\mymsbmten=msbm10 at 8pt%8.5pt \font\mymsbmseven=msbm7 at 5.6pt%6pt \font\mymsbmfive=msbm5 at 4pt%4.25pt \newfam\mymsbmfam \textfont\mymsbmfam=\mymsbmten \scriptfont\mymsbmfam=\mymsbmseven \scriptscriptfont\mymsbmfam=\mymsbmfive \def\mymsbm{\fam\mymsbmfam} \mathchardef\mybeth="7\hexa\mymsbmfam69 \mathchardef\mygimmel="7\hexa\mymsbmfam6A \mathchardef\mydaleth="7\hexa\mymsbmfam6B % Ici je definit les fonctions \proclaim et \endproclaim. Les premieres versions sont plus jolies mais je ne sais pas comment les couper verticalement, et il y % a alors des problemes de mise en page. Les deuxiemes versions sont plus simples, mais il n'y a pas de problem de mise en page. \newif\ifinproclaim% \global\inproclaimfalse% \def\proclaim#1{% \medskip% % % J'insere ici un bgroup pour que les variables que je definis ici soit uniquement locales. % \bgroup% \inproclaimtrue% \setbox10=\vbox\bgroup\leftskip=0.8em\noindent{\bf #1}\sl% } \def\endproclaim{% \egroup% \setbox11=\vtop{\noindent\vrule height \ht10 depth \dp10 width 0.1em}% \wd11=0pt% \setbox12=\hbox{\copy11\kern 0.3em\copy11\kern 0.3em}% \wd12=0pt% \setbox13=\hbox{\noindent\box12\box10}% \noindent\unhbox13% \egroup% \medskip\ignorespaces% } \def\proclaim#1{% \medskip% \bgroup% \inproclaimtrue% \noindent{\bf #1}% \nobreak\medskip% \sl% } \def\endproclaim{% \mypar\egroup\penalty\proclaimpenalty\medskip\ignorespaces% } \def\noskipproclaim#1{% \medskip% \bgroup% \inproclaimtrue% \noindent{\bf #1}\nobreak\sl% } \def\endnoskipproclaim{% \mypar\egroup\penalty\proclaimpenalty\medskip\ignorespaces% } % Ici on definit quelques autres commandes dont on aura besoin, en particulier, le colon francais. \def\derivee#1{\frac{\partial}{\partial #1}} \def\colon{\hphantom{0}:} \def\proof{{\noindent\bf Proof:\ }} \def\demonstration{{\noindent\sl D\'emonstration :\ }} \def\remarque{{\noindent\sl Remarque :\ }} \def\remark{{\noindent\sl Remark:\ }} \def\suite#1#2{({#1}_{#2})_{#2\in\Bbb{N}}} \def\mlim{\mathop{{\mathroman Lim}}} \def\mlimsup{\mathop{{\mathroman LimSup}}} \def\mliminf{\mathop{{\mathroman LimInf}}} \def\msup{\mathop{{\mathroman Sup}}} \def\minf{\mathop{{\mathroman Inf}}} \def\msf#1{{\mathsf #1}} \def\mbf#1{{\mathbf #1}} \def\psl{\Bbb{P}SL} \def\qed{~$\square$} \def\munion{\mathop{\cup}} \def\minter{\mathop{\cap}} \def\myitem#1{% \ifinproclaim% \item{#1}% \else% \noindent\hbox to .5cm{\hfill#1\hss}%\kern 0.1em}% \fi}% \catcode`\@=11 \def\Eqalign#1{\null\,\vcenter{\openup\jot\m@th\ialign{% \strut\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil% &&\quad\strut\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$% \hfil\crcr #1\crcr}}\,} \catcode`\@=12 \def\myeqalign{\Eqalign} \def\endmyeqalign{} \def\makeop#1{% \global\expandafter\def\csname op#1\endcsname{{\mathroman #1}}}% \def\makeopsmall#1{% \global\expandafter\def\csname op#1\endcsname{{\mathroman{\lowercase{#1}}}}}% \makeopsmall{ArcTan}% \makeopsmall{ArcCos}% \makeop{Arg}% \makeop{Det}% \makeop{Log}% \makeop{Re}% \makeop{Im}% \makeop{Dim}% \makeopsmall{Tan}% \makeop{Ker}% \makeopsmall{Cos}% \makeopsmall{Sin}% \makeop{Exp}% \makeopsmall{Tanh}% \makeop{Tr}% \def\nameSLfam{\Cal{SL}^+_\theta}% \def\nameclosedSLfam{\overline{\Cal{SL}}^+_\theta}% \makeop{End}% \makeop{Long}% \makeop{Ch}% \makeop{Exp}% \makeop{Int}% \makeop{Ext}% \makeop{Aire}% \makeop{Im}% \makeop{Conf}% \makeop{Exp}% \makeop{Mod}% \makeop{Log}% \makeop{Ext}% \makeop{Int}% \makeop{Dist}% \makeop{Aut}% \makeop{Id}% \makeop{SO}% \makeop{Homeo}% \makeop{Vol}% \makeop{Ric}% \makeop{Hess}% \makeop{Euc}% \makeop{Isom}% \makeop{Max}% \makeop{Long}% \makeop{Fixe}% \makeop{Wind}% \makeop{Ad}% \makeop{loc}% \makeop{Ln}% \makeop{Min}% \makeop{Max}% \def\opTildeHomeo{{\mathroman H\widetilde{omeo}}}% \let\emph=\bf \document \def\Pagetitle{Univ. Paris XI 2004/2005\hfill S4 MIAS, Option Topologie, Feuille 2} \line{Universit\'e Paris-Sud XI, Orsay\hfil Ann\'ee universitaire 2004/2005} \bigskip \line{\hfil DEUG S4 MIAS, Option Topologie\hfil} \line{\hfil Liste d'exercices 2\hfil} \bigskip \nextex Soit $(u_n)_{n\geqslant 0}$ une suite de r\'eels telle que les sous-suites $(u_2n)$, $(u_{2n+1})$ and $(u_{3n})$ convergent. Montrer que la suite $(u_n)$ converge. \rem{Joli. Les suites $(u_2n)$ et $(u_{2n+1})$ assurent que tous les \'el\'ements sont pris en compte et la suite $(u_{3n})$ les relient.} \medskip % \nextex \myitem{(i)} Montrer que pour tout entier $n\geqslant 1$, il existe $k_n\in\Bbb{N}$ et $0\leqslant p_n<2^{k_n}$ uniques tels que $n=2^{k_n}+p_n$. \rem{Posons $k_n:=Sup\left\{k\text{ t.q. }2^k\leqslant n\right\}$ et $p_n := n - 2^{k_n}$. On utilise le fait que la borne sup\'erieure d'un sous-ensemble born\'e de $\Bbb{N}$ est atteinte.} \medskip \myitem{(ii)} On pose $u_n := p_n/2^{k_n}$. Verifier que $(u_n)$ est born\'ee. Trouver une sous-suite qui converge vers $0$ et une autre qui converge vers $1$. \rem{Trivialement $u_n < 1$. Posons $p_n := 2^n + 1$ et $q_n := 2^n - 1$. Alors $(u_{p_n})_{n\geqslant 0}\rightarrow 0$ et $(u_{q_n})_{n\geqslant 0}\rightarrow 1$.} \medskip \myitem{(iii)} Soit $x\in [0,1]$. Montrer qu'il existe une sous suite de $(u_n)$ qui converge vers $x$ (consid\'erer la partie enti\`ere du r\'eel $2^n x$). \rem{Effectivement, c'est la suite qu'il faut.} \medskip % \nextex Soit $(u_n)_{n\geqslant 0}$ une suite born\'ee de r\'eels. \medskip \myitem{(i)} Montrer que $(u_n)$ converge si et seulement si elle ne poss\`ede qu'une seule valeur d'adhérence. Et si la suite n'est pas born\'ee? \rem{(a) Plusieurs \'etapes : (i) supposons qu'il existe une limite. Alors il existe une valeur d'adh\'erence. Supposons qu'il y en a deux. Alors il n'existe pas de limite, ce qui est absurde. (ii) Supposons qu'il existe une seule valeur d'adh\'erence. Alors toute sous suite poss\`ede une sous sous suite qui converge vers ce point. Donc la suite converge (b) Posons $a_{2n} := 1$, $a_{2n+1} := n$.} \medskip \myitem{(ii)} On suppose de plus que $\mlim e^{iu_n} = 1$ et $\mlim e^{i\sqrt{2}u_n} = 1$. Montrer que $\mlim u_n = 0$. \rem{Soit $u$ une valeur d'adh\'erence. En prennant une sous suite, et en utilisant la continuit\'e, on montre que $e^{iu} = e^{i\sqrt{2}u} = 1$ et donc $u=0$.} \medskip % %\nextex Soit $(u_n)_{n\geqslant 0}$ une suite born\'ee de r\'eels. On note $v_n := \minf\left\{u_p, p\geqslant n\right\}$ et $w_n := \msup\left\{u_p,p\geqslant n\right\}$. Ces suites convergent vers $v$ et $w$ (cf. l'exercice $12$ de la feuille $1$).\medskip %\myitem{(i)} V\'erifier que $v$ et $w$ sont des valeurs d'adh\'erence de $(u_n)$. %\rem{Pour tout $\epsilon>0$ et pour tout $N\in\Bbb{N}$ il existe $n,m\geqslant N$ tel que $u_n\in]v_n -\epsilon,v_n+\epsilon[$ et $u_m\in]w_m-\epsilon,w_m+\epsilon[$.}\medskip %\myitem{(ii)} Montrer que $v$ et $w$ sont respectivement la plus {\emph petite} et la plus {\emph grande} valeur d'adh\'erence de $(u_n)$. On les appelle {\emph limite inf\'erieure} et {\emph limite sup\'erieure} de la suite $(u_n)$, et sont souvent not\'ees $\mliminf u_n$ et $\mlimsup u_n$. %\rem{D'abord, $v\leqslant w$. Ensuite, soit $y>w$ une valeur d'adh\'erence de $(u_n)$. On obtient une sous-suite qui converge vers $w$. Puisque cette sous-suite est major\'ee par $(w_n)$, on obtient une contradiction.} \medskip % \nextex Soit $[a,b]$ un intervalle ferm\'e et born\'e dans $\Bbb{R}$. Soit $f:[a,b]\rightarrow]0,+\infty[$ une fonction continue et positive sur $[a,b]$. On veut montrer qu'il existe $\lambda>0$ tel que $f(t)\geqslant\lambda$ pour tout $t\in [a,b]$. \medskip \myitem{(i)} Supposons le contraire. Montrer qu'il existe une suite $(t_n)_{n\in\Bbb{N}}$ telle que $f(t_n)\rightarrow 0$. \medskip \myitem{(ii)} Montrer qu'il existe une sous-suite de $(t_n)_{n\in\Bbb{N}}$ qui converge dans $[a,b]$. \medskip \myitem{(iii)} Montrer comment on peut utiliser cette sous-suite pour obtenir une contradiction. \medskip \noindent On vient de montrer alors qu'il existe $\lambda>0$ tels que $f(t)\geqslant\lambda$ pour tout $t\in [a,b]$. On dit que $f$ est {\emph minor\'ee} par un r\'eel positif sur $[a,b]$. \medskip \myitem{(iv)} Montrer qu'il existe $\Lambda>0$ tel que $f(t)\leqslant\Lambda$ pour tout $t\in [a,b]$. \medskip \noindent On dit que $f$ est {\emph major\'ee} sur $[a,b]$. \medskip \myitem{(v)} Trouver une fonction $f:]0,1]\rightarrow]0,+\infty[$ qui n'est pas major\'ee sur $]0,1]$. Trouver une fonction $f:]0,1]\rightarrow]0,\infty[$ qui n'est pas minor\'ee par un r\'eel positif sur $]0,1]$. \medskip % \nextex{\bf *\ } Soit $[a,b]$ un intervalle ferm\'e et born\'e dans $\Bbb{R}$. Soit $X$ un sous-ensemble de $\Bbb{R}$. Soit $f:[a,b]\rightarrow X$ une fonction continue et bijective. Soit $X=f([a,b])$ l'image de $f$. \medskip \myitem{(i)} D\'efinissons $\varphi:[0,\pi]\rightarrow [-1,1]$ par $\varphi(t) = Cos(t)$. Montrer que $\varphi$ est bijective. \medskip \myitem{(ii)} D\'efinissons $\psi:[0,4]\rightarrow [0,16]$ par $\psi(t) = t^2$. Montrer que $\psi$ est bijective. \medskip \noindent Soit $g:X\rightarrow [a,b]$ l'inverse de $f$. On veut montrer que $g$ est continue. \medskip \myitem{(iii)} Supposons le contraire. En utilisant la d\'efinition de la continuit\'e, montrer qu'il existe $x_0\in X$ un point dans $X$ et $(x_n)_{n\in\Bbb{N}}$ une suite dans $X$ qui converge vers $x_0$ tels que $(g(x_n))_{n\in\Bbb{N}}$ ne converge pas vers $g(x_0)$. \medskip \myitem{(iv)} En utilisant la d\'efinition de la convergence, montrer qu'il existe un r\'eel $\epsilon>0$ et une sous-suite $(y_n)_{n\in\Bbb{N}}$ de $(x_n)_{n\in\Bbb{N}}$ telle que $\left|g(y_n)-g(x_0)\right|\geqslant\epsilon$ pour tout $n$. \medskip \myitem{(v)} Montrer qu'il existe un point $p\in [a,b]$ et une sous-suite $(z_n)_{n\in\Bbb{N}}$ de $(y_n)_{n\in\Bbb{N}}$ telle que $(g(z_n))_{n\in\Bbb{N}}$ converge vers $p$. \medskip \myitem{(vi)} Montrer que $\left|p-g(x_0)\right|\geqslant\epsilon$. \medskip \noindent Il s'ensuit que $p\neq g(x_0)$ et donc que $f(p)\neq f(g(x_0) = x_0$. En m\^eme temps, on sait que $f(g(z_n))=z_n$ pour tout $n$. \medskip \myitem{(vii)} En rappelant que $(z_n)_{n\in\Bbb{N}}$ converge vers $x_0$, montrer que $f(p)=x_0$ pour obtenir une contradiction et conclure. \medskip % % Ancien exercice 5. Je l'ai enleve parce-qu'il est un peu dur. % %\nextex Soit $f:\Bbb{R}_+^*\times\Bbb{R}_+^*\rightarrow\Bbb{R}_+^*$ une fonction continue telle que %\medskip %\myitem{-} Pour tout $x\leqslant x'$ et $y\leqslant y'$ on ait $f(x,y)\leqslant f(x',y')$. %\medskip %\myitem{-} Il existe $l>0$ tel que pour tout $x>l$, $f(x,x)x$. %\rem{J'ai chang\'e de l'exercice de l'ann\'ee derni\`ere qui \'etait fausse (on prend $f(x,y) = x+y$).} %\medskip %\myitem{(i)} V\'erifier que les fonctions $f(x,y)=\opLn(1+x)+\opLn(1+y)$ et $f(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ v\'erifient ces conditions. %\rem{(a) Il suffit de le verifier ind\'ependament pour $x$ et pour $y$. (b) Faire un graphe. Montrer que pour $x$ petit $2\opLn(1+x)\geqslant x$ et pour $x$ grand %$2\opLn(1+x)\leqslant x$. Ensuite montrer qu'il n'existe qu'un seule $x>0$ tel que $x=2\opLn(x)$. {\bf Comment montre-t-on cela?} C'est plus facile pour la seconde function.} %\medskip %\myitem{(ii)} Soit $u_0,u_1>0$, et pour tout $n\geqslant 1$, $(u_{n+1})=f(u_n,u_{n-1})$. Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers $l$. On commencera par \'etablir par %r\'ecurrence : pour tout $n\geqslant 0$, $\alpha\leqslant u_n\leqslant\beta$, o\`u $\alpha = \opMin(u_0,u_1,l)$ et $\beta = \opMax(u_0,u_1,l)$. On s'int\'eressa %ensuite \`a $\mliminf u_n$ et $\mlimsup u_n$. %\rem{(a) Il faut le faire cas par cas. (b) {\bf C'est un peu dur.}} %\medskip % %\nextex Soit $(u_n)_{n\geqslant 0}$ une suite born\'ee de r\'eels v\'erifiant $u_{n+1}= u_n + u_n^2 + \epsilon_n$, o\`u $\mlim\epsilon_n=0$. Montrer que $\lim u_n=0$ en calculant $\mliminf u_n$ et $\mlimsup u_n$. %\rem{{\bf Je vais reflechir la dessus plus tard.}} \medskip % \nextex Soit $a\in]0,6[$ un param\`etre et $f_0:[0,1]\rightarrow\Bbb{R}$ d\'efinie par $f_a(x)=x^4+x^2-ax$. \medskip \myitem{(i)} V\'erifier que $g(a)=\minf_{t\in [0,1]}f_a(t)$ existe et est atteinte en un unique point not\'e $x(a)$. \rem{$f_a(t)$ est minor\'e par $-6$ pour tout $t\in [0,1]$ et pour tout $a$. La d\'eriv\'ee seconde est positive et donc la fonction est strictement convexe, d'o\`u l'unicit\'e.} \noindent On se propose de montrer que les fonctions $a\mapsto x(a)$ et $a\mapsto g(a)$ sont continues sur $]0,6[$ \medskip \myitem{(ii)} Soit $a\in ]0,6[$ et $(a_n)$ une suite de $]0,6[$ qui converge vers $a$. En consid\'erant $f'_{a_n}(x(a_n))$, montrer que $x(a)$ est l'unique valeur d'adhérence de $(x(a_n))$. \rem{Pour $a<2$, $x(a)$ est l'unique point tel que $f'_a(x(a))=0$. Donc, si $a<0$, par la continuit\'e, tout point d'adh\'erence $x_0$ de la suite $(x(a_n))$ satisfait \`a $f'_a(x_0)=0$, et donc $x_0=x(a)$. {\bf Il faut revenir l\`a dessus.}} \medskip \myitem{(iii)} Conclure \`a l'aide de l'exercice $3$. \rem{La suite est born\'ee et a une unique valeur d'adhérence.} \medskip % \nextex \myitem{(i)} Soit $I$ un intervalle de $\Bbb{R}$ et $f:I\rightarrow\Bbb{R}$ d\'erivable, \`a d\'eriv\'ee born\'ee. Montrer que $f$ est uniform\'ement continue sur $I$. \rem{$\left|f(x+t)-f(x)\right|\leqslant \int_x^{x+t}\left|f'(s)\right|ds \leqslant \left|t\right|B$} \medskip \myitem{(ii)} Les fonctions suivantes sont-elles uniform\-\'ement continues ? $\opSin(x)$ sur $\Bbb{R}$, $\sqrt{x}$ sur $\Bbb{R}^+$, $\opLn(x)$ sur $]0,1[$ et $\opLn(x)$ sur $[1,+\infty[$. \rem{$d\opSin = \opCos$ donc oui. $d\sqrt{x}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Cela est born\'e sur $[1,+\infty[$ et donc $\sqrt{x}$ est uniform\'ement continue sur $[1,+\infty[$. Pusiqu'elle est continue et donc uniform\'ement continue sur $[0,1]$, elle est uniform\'ement continue sur $\Bbb{R}^+$. $\opLn(x)\rightarrow-\infty$ lorsque $x\rightarrow 0$, et donc elle n'est pas uniform\'ement continue. $d\opLn(x)=\frac{1}{x}$ et donc donc $\opLn(x)$ est continue sur $[1,+\infty[$.} \medskip % \nextex Soit $f:\Bbb{R}\rightarrow\Bbb{R}$ une fonction continue admettant des limites en $+\infty$ et $-\infty$. Montrer que $f$ est uniform\'ement continue sur $\Bbb{R}$. \rem{Soit $\epsilon>0$. Il existe $R>0$ tel que $x,y>R\Rightarrow \left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon$ et $x,y