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\def\finducours#1{
\vskip.5cm
\hbox{{\vrule height 2pt width \finwidth} Fin du cours $n^0$#1}
\vskip.5cm\par}

\title{BORNE SUPERIEURE}
\author{P. Pansu}

\newtheorem{theo}{Th{\'e}or{\`e}me}
\newtheorem{lemme}{Lemme}
\newtheorem{prop}[lemme]{Proposition}
\newtheorem{cor}[lemme]{Corollaire}
\newtheorem{defi}[lemme]{D{\'e}finition}
\newtheorem{rem}[lemme]{Remarque}
\newtheorem{exo}[lemme]{Exercice}
\newtheorem{exemple}[lemme]{Exemple}

\long\def\sol#1#2#3{\par\medskip\noindent {\bf Solution de l'exercice \ref{#1}.}\hskip1em{\em #2.}\par{#3}\par}

\def\R{{\bf R}}
\def\C{{\bf C}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\cR{\,\mathcal{R}\,}
\def\titre#1{\par\vskip1cm\centerline{#1}\par\vskip1cm}
\def\qed{\vrule height 5pt width 5pt}
\def\d{\displaystyle}
\def\inv#1{\frac{1}{#1}}
\def\solution{\par\medskip{\bf Solution.}\hskip5pt}
\def\preuve{\par\medskip{\bf Preuve.}\hskip5pt}

\begin{document}
\maketitle

\section{Motivation}
Grandeur et misère de $\Q$.

\subsection{Propriétés de l'ordre dans $\Q$}
\begin{itemize}
  \item L'ordre est compatible avec les opérations d'addition et de multiplication (par exemple, $x\leq y$ et $a\geq 0$ entraîne $ax\leq ay$).
  \item $\Q$ est \emph{archimédien} : pour tous $x>0$ et $y>0$, il existe $n\geq 1$ entier tel que $nx>y$. 
  \item $\Q$ est \emph{dense en soi} : si $a<b$, il existe $c\in\Q$ tel que $a<c<b$.
\end{itemize}

\subsection{Des équations sans solutions dans $\Q$}

\begin{theo}
\label{Hippias}
\emph{(Hippias)}. L'équation $x^2 =2$ n'a pas de solution dans $\Q$.
\end{theo}

Interprétation géométrique : la diagonale d'un carré de côté rationnel n'est pas rationnelle.

Interprétation graphique : la parabole d'équation $y=x^2 -2$ ne coupe pas l'axe $Ox$. 

Interprétation analytique : la propriété des valeurs intermédiaires n'est pas vraie dans $\Q$, les raisonnements par continuïté, nécessaires à la géométrie d'Euclide, sont impossibles.

Interprétation en terme d'ordre. L'ensemble $\{x\in\Q\,|\,x^2 \leq 2\}$ n'est pas un intervalle de $\Q$. Il ne possède pas de plus grand élément.

\subsection{Objectif}

$\R$ compense les faiblesses de $\Q$. On va déduire toutes les propriétés remarquables de $\R$, et les théorèmes fondamentaux de l'analyse, d'une seule propriété, l'existence de la borne supérieure.

\section{Relation d'ordre}

Le vocabulaire familier pour $\Q$ peut être utilisé dans des situations plus générales.

\subsection{Définition}

\begin{defi}
\label{defordre}
Une \emph{relation d'ordre} $\cR$ sur un ensemble $E$, c'est une relation, notée $x\cR y$, qui est
\begin{itemize}
  \item Réflexive : pour tout $x\in E$, $x\cR x$.
  \item Antisymétrique : $x\cR y$ et $y\cR x$ entraîne $x=y$.
  \item Transitive : $x\cR y$ et $y\cR z$ entraîne $x\cR z$.
\end{itemize}
\end{defi}

\begin{exemple}
\label{exordre}
$E=\Q$ avec l'ordre usuel.

$E=$ l'ensemble des parties d'un ensemble, avec l'inclusion.

$E=$ un dictionnaire, avec l'ordre alphabétique.
\end{exemple}

\subsection{Ordre total}

\begin{defi}
\label{ordretot}
Un ensemble muni d'une relation d'ordre est dit \emph{totalement ordonné} si deux é\-lé\-ments sont toujours comparables, i.e. ou bien $x\cR y$, ou bien $y\cR x$.
\end{defi}

\begin{exemple}
\label{extot}
$\Q$, le dictionnaire, sont totalement ordonnés. L'ensemble des parties d'un ensemble ne l'est pas.
\end{exemple}

\section{Majorant, borne supérieure}

\subsection{Majorant, plus grand élément}

\begin{defi}
\label{major}
Soit $E$ un ensemble muni d'une relation d'ordre notée $\leq$. Soit $A\subset E$. Un élément $y\in E$ est un \emph{majorant} de $A$ si pour tout $x\in A$, $x\leq y$.
$y$ est un \emph{minorant} de $A$ si pour tout $x\in A$, $y\leq x$.
\end{defi}

\begin{exemple}
\label{exmajor}
Soit, dans $\Q$, $A=\{x\in\Q\,|\,x^2 \leq 2\}$. Alors $2$ est un majorant de $A$, $-2$ un minorant de $A$. $3/2$ est aussi un majorant de $A$.

Soit, dans $\Q$, $B$ l'ensemble des rationnels positifs dont la partie entière est un nombre à deux chiffres. Alors $100$ est un majorant de $B$.

Soit, dans $\Q$, $C$ l'ensemble des rationnels dont le dénominateur n'a que des chiffres $9$. Alors $C$ n'a pas de majorant.
\end{exemple}

\begin{defi}
\label{grand}
Soit $E$ un ensemble muni d'une relation d'ordre notée $\leq$. Soit $A\subset E$. Un élément $y\in A$ est \emph{le plus grand élément} de $A$ si, pour tout $x\in A$, $x\leq y$. Lorsqu'il existe, on note le plus grand élément $y=\max A$.

De même, $y\in A$ est \emph{le plus petit élément} de $A$ si, pour tout $x\in A$, $x\leq y$. Lorsqu'il existe, on note le plus petit élément $y=\min A$.
\end{defi}

\begin{exemple}
\label{exgrand}
Dans la liste de l'exemple \ref{exmajor}, $A$, $B$ et $C$ n'ont pas de plus grand élément.
\end{exemple}
C'est clair pour $C$ qui ne possède aucun majorant. Pour $B$, on remarque que si $x\in B$, alors $x<100$. Il existe un rationnel $y$ tel que $x<y<100$. Alors $y\in B$, donc $x$ n'est pas le plus grand élément de $B$. Pour $A$, on raisonne par l'absurde. Supposons que $A$ possède un plus grand élément $y$. Par définition, $y^2 <2$. Il existe un entier $n$ tel que $2-y^2 >10^{-n}$. On pose $z=y+10^{-n-1}$. Comme $y<2$,
\begin{eqnarray*}
z^2 &=&y^2 +2y.10^{-n-1}+10^{-2n-2}\\
&<&y^2 +2y.10^{-n-1}+10^{-n-1}<y^2 +5.10^{-n-1}<y^2 +10^{-n}<2.
\end{eqnarray*}
Donc $z\in B$ et $y<z$, contradiction. On conclut que $A$ n'a pas de plus grand élément.

\begin{rem}
\label{remgrandborne}
Si $A$ possède un plus grand élément $y$, alors $y$ est un majorant de $A$, et c'est évidemment le plus petit possible.
\end{rem}

\subsection{Borne supérieure}

\begin{defi}
\label{defborne}
Soit $E$ un ensemble muni d'une relation d'ordre notée $\leq$. Soit $A\subset E$. Un élément $y\in E$ est appelé \emph{borne supérieure} de $A$, noté $y=\sup A$, si
\begin{itemize}
  \item $y$ est un majorant de $A$.
  \item $y$ est le plus petit des majorants de $A$.
\end{itemize}
De même, on dit que 
$y\in E$ est la \emph{borne inférieure} de $A$, noté $y=\inf A$, si
\begin{itemize}
  \item $y$ est un majorant de $A$.
  \item $y$ est le plus petit des majorants de $A$.
\end{itemize}
\end{defi}
Clairement, si la borne supérieure de $A$ existe, elle est unique.

\begin{exemple}
\label{exborne}
Dans la liste de l'exemple \ref{exmajor}, $B$ possède une borne supérieure, c'est $100$. Ce n'est pas le plus grand élément de $B$.
\end{exemple}
En effet, tout rationnel positif dont la partie entière a deux chiffres est $<100$, donc $100$ est un majorant, et $100$ n'est pas un élément de $B$. Soit $y$ un rationnel positif, $y<100$. Alors il existe un rationnel $z$ tel que $y<z<100$. Ce $z$ appartient à $B$, donc $y$ n'est pas un majorant de $B$. On conclut que tout majorant de $B$ est $\geq 100$, donc $100$, le plus petit des majorants, est la borne supérieure de $B$.\qed

\begin{rem}
\label{atteinte}
Si $A\subset E$ possède une borne supérieure $y$ et $y\in A$, alors $y$ est le plus grand élément de $A$. Dans ce cas, on dit que la borne supérieure est \emph{atteinte}.
\end{rem}
Ce n'est pas toujours le cas, comme le montre l'exemple de l'ensemble $B$.

\begin{exemple}
\label{exbornea}
Dans la liste de l'exemple \ref{exmajor}, $A$ ne possède pas de borne supérieure.
\end{exemple}
Par l'absurde. Supposons que $A$ possède une borne supérieure $y\in\Q$. Comme $A$ ne possède pas de plus grand élément, $y^2 >2$. Il existe un entier $n$ tel que $y^2 -2>10^{-n}$. On pose $z=y-10^{-n-1}$. On remarque que $y<2$. Si $x\geq z$,
\begin{eqnarray*}
x^2 \geq z^2 =y^2 -2y.10^{-n-1}+10^{-2n-2}>y^2 -2y.10^{-n-1}>y^2 -4.10^{-n-1}>y^2 -10^{-n}>2.
\end{eqnarray*}
Par conséquent, tout $x\in A$ est $<z$. Donc $z$ est un majorant de $A$, et $z<y$, contradiction. On conclut que $A$ n'a pas de borne supérieure.\qed

\finducours1

\section{Nombres réels}

On se contente d'une notion intuitive de nombre réel. Elle peut-être assise sur une base solide, au prix de démonstrations plutôt fastidieuses.

Un nombre réel, c'est un développement décimal illimité. 
Soit $x=0.9999...$. Alors $10x=9+x$, donc $x=1$. Plus généralement, il faut identifier un développement qui se termine par une suite de $9$ avec un nombre décimal, i.e. dont le développement se termine par une suite de zéros. 
Autrement dit, chaque nombre réel non décimal possède exactement un développement décimal, et chaque nombre décimal en possède exactement 2.

\subsection{Deux caractérisations de la borne supérieure}

\begin{prop}
\label{propborne}
Soit $A\subset \R$. Le réel $y$ est la borne supérieure de $A$ si et seulement si
\begin{itemize}
  \item $y$ est un majorant de $A$ ;
  \item $\forall \epsilon>0$, il existe $x\in A$ tel que $x>y-\epsilon$.
\end{itemize}
\end{prop}

\preuve
Soit $y=\sup A$ le plus petit des majorants de $A$. Alors $\forall \epsilon>0$, $y-\epsilon<y$ n'est pas un majorant de $A$, donc il existe $x\in A$ tel que $x>y-\epsilon$. 

Réciproquement, soit $y$ un majorant de $A$. Si $y$ n'est pas le plus petit, il existe un autre majorant $z<y$. Posant $\epsilon=y-z$, on voit que pour tout $x\in A$, $x\leq z=y-\epsilon$. C'est la contraposée de l'énoncé.\qed

\begin{prop}
\label{propbornesuite}
Soit $A\subset \R$. Le réel $y$ est la borne supérieure de $A$ si et seulement si
\begin{itemize}
  \item $y$ est un majorant de $A$ ;
  \item il existe une suite de nombres $x_n \in A$ qui converge vers $y$.
\end{itemize}
\end{prop}

\preuve
Soit $y=\sup A$ la borne supérieure de $A$. Appliquons la proposition \ref{propborne} aux nombres $\epsilon$ de la forme $1/n$, $n$ entier. Il existe $x_n \in A$ tel que $x_n>y-\inv{n}$. Comme $y$ est un majorant de $A$, $x_n \leq y$. Cela prouve que $x_n$ tend vers $y$.

Réciproquement, soit $y$ un majorant de $A$, $(x_n )$ une suite d'éléments de $A$ telle que $y=\lim x_n$. Etant donné $\epsilon >0$, il existe $N$ tel que 
\begin{eqnarray*}
n\geq N \Rightarrow |x_n -y|<\epsilon.
\end{eqnarray*}
En particulier, $x_n >y-\epsilon$, ce qu'il fallait démontrer.\qed 

\begin{exemple}
Considérons la suite $u_n = (-1)^{n}\frac{n-1}{n}$ et l'ensemble $A=\{u_n \,|\,n\geq 1\}$. Alors $\sup A=1$.
\end{exemple}
En effet, pour tout $n\geq 1$, $u_n \leq\frac{n-1}{n}\leq 1$, donc 1 est un majorant de $A$. D'autre part, la suite des termes pairs $x_n =u_{2n}=\frac{2n-1}{2n}$ converge vers $1$, donc, d'après la proposition \ref{propbornesuite}, 1 est la borne supérieure de $A$.\qed

Danger : la borne supérieure d'une suite n'est pas toujours la limite d'une sous-suite.

\begin{exemple}
Considérons la suite $v_n = (-1)^{n}\frac{n+1}{n}$ et l'ensemble $B=\{v_n \,|\,n\geq 1\}$. Alors $\sup B=3/2$.
\end{exemple}
En effet, pour tout $n\geq 2$, $v_n \leq\frac{n+1}{n}\leq 3/2$, et $v_1 <0\leq 3/2$, donc $3/2$ est un majorant de $B$. D'autre part, $3/2=v_2 \in B$ est le plus grand élément de $B$, donc \emph{a fortiori} la borne supérieure de $B$.\qed

Autrement dit, dans cet exemple, la suite $x_{n}$ dont l'existence est garantie par la proposition \ref{propbornesuite} est stationnaire.

\subsection{Supériorité de $\R$ sur $\Q$}

\begin{theo}
\label{existe}
Soit $A\subset \R$ un ensemble non vide qui possède un minorant. Alors $A$ possède une borne inférieure.
\end{theo}

\preuve
Elle repose sur la propriété suivante des entiers : tout ensemble $E$ d'entiers possède un plus petit élément. C'est clair, car pour tout $x\in E$, les éléments de $E$ inférieurs à $x$ sont en nombre fini.

Quitte à translater $A$, on peut supposer que le minorant donné est $0$. Soit $m=b_k b_{k-1}\cdots b_0$ la plus petite des parties entières des éléments de $A$. Par construction, $m$ est un minorant de $A$ et il y a des éléments de $A$ dans l'intervalle $[m,m+1[$. Soit $a_1$ le plus petit des premiers chiffres après la virgule des éléments de $A\cap [m,m+1[$. Par construction, $b_k b_{k-1}\cdots b_0 .a_1 =m+a_1 .10^{-1}$ est un minorant de $A$ et il y a des éléments de $A$ dans l'intervalle $[m+a_1 .10^{-1},m+(a_1 +1).10^{-1}[$. Soit $a_2$ le plus petit des seconds chiffres après la virgule des éléments de $A\cap [m+a_1 .10^{-1},n+(a_1 +1).10^{-1}[$. Par construction, $b_k b_{k-1}\cdots b_0 .a_1 a_2 =m+a_1 .10^{-1}+a_2 .10^{-2}$ est un minorant de $A$ et il y a des éléments de $A$ dans l'intervalle $[m+a_1 .10^{-1}+a_2 .10^{-2},m+
a_1 .10^{-1}+(a_2 +1).10^{-2}[$. 

On continue indéfiniment. On produit ainsi un développement décimal illimité
\begin{eqnarray*}
y=b_k b_{k-1}\cdots b_0 .a_1 a_2 \cdots a_n \cdots, 
\end{eqnarray*}
limite de nombres décimaux $y_n =b_k b_{k-1}\cdots b_0 .a_1 a_2 \cdots a_n$. Alors $y$ est un minorant de $A$. En effet, si $x\in A$, alors $x\geq y_n$ pour tout $n$, donc, en passant à la limite, $x\geq y$. Aussi, pour tout $n$, il existe $x_n \in A\cap [y_n ,y_n +10^{-n}[$. La suite $x_n$ converge vers $y$. D'après la proposition \ref{propbornesuite}, $y$ est la borne inférieure de $A$.\qed

\subsection{Suites croissantes}

\begin{theo}
\label{suitecroissante}
Soit $(u_n )$ une suite croissante majorée de réels. Alors $u_n$ possède une limite finie.
\end{theo}

\preuve
Soit $y=\sup\{u_n \}$. Soit $\epsilon>0$. D'après la proposition \ref{propborne}, il existe $N$ tel que $u_N > y-\epsilon$. Pour $n\geq N$,
\begin{eqnarray*}
y\geq u_n \geq u_N > y-\epsilon,
\end{eqnarray*}
d'où $|u_n -y |<\epsilon$. Autrement dit, $y=\lim u_n $.\qed

\begin{rem}
Clairement, cette propriété n'est pas vraie dans $\Q$.
\end{rem}
Prendre la suite des approximations décimales de $\sqrt{2}$.

\begin{exo}
\label{suitecroissantenon}
Soit $u_n$ une suite croissante de réels. On suppose que $(u_n )$ ne possède aucun majorant. Alors $u_n$ tend vers $+\infty$.
\end{exo}

\sol{suitecroissantenon}{Suite croissante non majorée}{
Soit $T\in \R$. Comme $T$ n'est pas un majorant de $\{u_n \}$, il existe $N$ tel que $u_N >T$. Pour $n\geq N$, $u_n \geq u_N \geq T$. Autrement dit, $\lim u_n =+\infty$.}

\begin{cor}
\label{seriepositif}
Soit $v_n \geq u_n \geq 0$.  On suppose que la série de terme général $v_n$ est convergente. Alors la série de terme général $u_n$ est convergente.
\end{cor}

\subsection{Caractérisation des intervalles}

Dans un ensemble totalement ordonné, on peut parler d'\emph{intervalles}, comme l'ensemble des mots compris entre \texttt{ordre} et \texttt{total} dans le dictionnaire.

Dans $\Q$ ou $\R$, il y a 9 types d'intervalles (non vides),
\begin{eqnarray*}
[a,b],\quad ]a,b],\quad[a,b[,\quad ]a,b[,\quad ]-\infty,b],\quad ]-\infty,b[,\quad [a,+\infty[, \quad ]a,+\infty[, ]-\infty,+\infty[.
\end{eqnarray*}

\begin{prop}
\label{intervalle}
Soit $I\subset\R$ un sous-ensemble \emph{convexe}, i.e. qui possède la propriété suivante : si $a\in I$ et $b\in I$, alors $[a,b]\in I$. Alors $I$ est un intervalle.
\end{prop}

\preuve
Supposons d'abord $I$ majoré et minoré. Soit $a=\inf I$, $b=\sup I$. Alors $I\subset [a,b]$. De plus, $]a,b[\subset I$. En effet, d'après la proposition \ref{propbornesuite}, il existe des suites $a_n \in I$ et $b_n \in I$ telles que $a_n$ tend vers $a$ et $b_n$ tend vers $b$. Si $x\in ]a,b[$, alors pour $n$ assez grand $a_n < x < b_n$, d'où $x\in[a_n ,b_n ]\subset I$. Cela prouve que $I$ est l'un des 4 intervalles de bornes $a$ et $b$.

Si $I$ n'est pas minoré, remplacer $a$ par $-\infty$ avec la même preuve. Si $I$ n'est pas majoré, remplacer $b$ par $+\infty$ avec la même preuve. \qed

\begin{rem}
Cet énoncé est faux dans $\Q$. 
\end{rem} 
L'ensemble $\{x\in\Q\,|\,x^2 \leq 2\}$ est convexe dans $\Q$ mais n'est pas un intervalle, car sinon il posséderait une borne supérieure et une borne inférieure dans $\Q$.

\subsection{Intervalles emboîtés}

\begin{theo}
\label{emboite}
Soient $[a_n ,b_n]$ des intervalles bornés \emph{emboîtés}, i.e. $[a_{n+1} ,b_{n+1}]\subset [a_n ,b_n]$. Alors l'intersection $J=\bigcap_{n}[a_n ,b_n]$ est un intervalle fermé non vide. Si, de plus, $b_n -a_n$ tend vers $0$, $J$ est réduit à un point.
\end{theo}

\preuve
Par hypothèse, pour tout $n$, $a_1 \leq a_n \leq b_n \leq b_1$. La suite $a_n$ est croissante et majorée par $b_1$, la suite $b_n$ est décroissante est minorée par $a_1$. Par conséquent elles admettent des limites finies $a$ et $b$, et $\sup\{a_n \} =a\leq b=\inf\{b_n \}$. Clairement, pour tout $n$, $[a,b]\subset[a_n ,b_n]$ donc il est contenu dans l'intersection $J$. Inversement, si $x<a$, alors pour $n$ assez grand, $x<a_n$, donc $x\notin[a_n ,b_n]$, donc $x\notin J$. De même, $J$ ne contient pas les points $x>b$, donc $J=[a,b]$. Enfin, si $b_n -a_n$ tend vers 0, $a=b$.\qed

\begin{cor}
\label{adjacent}
Soient $a_n$ et $b_n$ des suites \emph{adjacentes}, i.e. $a_n$ est croissante, $b_n$ décroissante, $a_n \leq b_n$, et $b_n -a_n$ tend vers 0. Alors $a_n$ et $b_n$ convergent vers la même limite finie. 
\end{cor}

\begin{cor}
\label{alterne}
Soit $u_n$ une suite telle que $(-1)^n u_n$ décroît et tend vers 0. Alors la série de terme général $u_n$ est convergente. 
\end{cor}
En effet, les suites $a_n =\sum_{p=1}^{2n-1}u_{p}$ et $b_n =\sum_{p=1}^{2n}u_{p}$ sont adjacentes.\qed
\end{document}