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\newcount\numero
\numero=0
\def\exo{\par\vskip0.3cm
\advance\numero by 1
\textbf{\the\numero.}\hskip1em}
\def\det{\mathrm{det}}
\newcount\numerobis
\numerobis=0
\def\sol{\par\vskip0.5cm
\advance\numerobis by 1
\textbf{\the\numerobis.}\hskip1em}
\def\det{\mathrm{det}}
\def\R{\mathbf{R}}
\def\ques#1{\vskip 0.3truecm
\noindent{\bf #1}\hskip 0.4truecm}

\begin{document}
Université Paris-Sud \hfill 2004/2005\par
S3SMP
\vskip.5cm
\begin{center}
\textbf{Contrôle continu de mathématiques n$^{0}$ 1}

11 octobre 2004, durée 30mn
\end{center}


\exo
En utilisant un déterminant, dire pour quelles valeurs de $a$ l'application linéaire $f_{a}:\mathbf{R}^{3}\to\mathbf{R}^{3}$ de matrice $\left(\begin{array}{ccc}
2a     &    -a   &    0  \\
-1     &    1    &    a  \\
 3     &    2a   &    a^{2}
\end{array}\right)$ est-elle bijective ?

\vskip3cm

\exo
On pose $\Delta_{a}=
\left|\begin{array}{ccc}
a   &  -1    & -1   \\
2   &  1-a   &  a   \\
1   &   1    & 1
\end{array}\right|$. 

\ques{a.}Calculer $\Delta_{0}$.

\vskip 3cm

\ques{b.}Trouver la ou les erreurs dans le calcul suivant.
\begin{eqnarray*}
\Delta_{a}&=&
\left|\begin{array}{ccc}
a   &   -1    & -1   \\
2   &   1-a   &  a   \\
0   &   a+1   & a+1
\end{array}\right|
=
(a+1)
\left|\begin{array}{ccc}
a   &   -1   & -1   \\
2   &   1-a  &  a   \\
0   &   1    &  1
\end{array}\right| \\
&=&
(a+1)
\left|\begin{array}{ccc}
a   &   -1   &  0      \\
2   &   1-a  & 1-2a    \\
0   &   1    &  0
\end{array}\right|
=
(a+1)
\left|\begin{array}{ccc}
a   &  0      \\
2   & 1-2a    \\
\end{array}\right|
=
(a+1)a(1-2a).
\end{eqnarray*}
\vskip3cm

\exo
En utilisant un déterminant, écrire une équation du plan de $\R^{3}$ engendré par les vecteurs $v_{1}=\left(\begin{array}{c}
2a  \\
-1  \\
 3 
\end{array}\right)$ et $v_{2}=\left(\begin{array}{ccc}
-a \\
1  \\
2a 
\end{array}\right)$.

%\end{document}

\vfill\eject

Université Paris-Sud \hfill 2003/2004\par
S3SMP
\vskip1cm
\begin{center}

\textbf{Contrôle continu de mathématiques n$^{0}$ 1 - Réponses}
\end{center}
\vskip1cm

\sol
On calcule le déterminant de $f_{a}$. On ajoute 2 fois la 2ème colonne à la première, puis on développe suivant la première ligne.
\begin{eqnarray*}
\left|\begin{array}{ccc}
2a     &    -a   &    0  \\
-1     &    1    &    a  \\
 3     &    2a   &    a^{2}
\end{array}\right|
=
\left|\begin{array}{ccc}
0        &    -a   &    0  \\
1        &    1    &    a  \\
3+4a     &    2a   &    a^{2}
\end{array}\right|
=a
\left|\begin{array}{cc}
1        &   a  \\
3+4a     &  a^{2}
\end{array}\right|
=a^{2}(-3-3a).
\end{eqnarray*}
$f_{a}$ est bijective si et seulement si son déterminant est non nul, i.e. si et seulement si $a\not=0$ et $a\not=1$.

\sol
On trouve $\Delta_{0}=1$, ce qui indique que le calcul qui suit est faux. La première égalité est fausse. En effet, l'opération effectuée remplace la 3ème ligne $L_{3}$ par $aL_{3}-L_{1}$, ce qui n'est pas une opération élémentaire. La seconde égalité est correcte : un facteur commun à tous les coefficients d'une ligne peut sortir du déterminant. La troisième égalité est fausse. En effet, l'opération effectuée remplace la 3ème colonne $C_{3}$ par $C_{2}-C_{3}$, ce qui n'est pas une opération élémentaire. La quatrième égalité est fausse. En effet, on développe suivant la dernière ligne, mais sans appliquer le bon signe. La dernière égalité est correcte.

\sol
Pour obtenir une équation du plan engendré par $v_{1}$ et $v_{2}$, il suffit de développer suivant la dernière colonne le déterminant
\begin{eqnarray*}
\left|\begin{array}{ccc}
2a     &    -a   &    x  \\
-1     &    1    &    y  \\
 3     &    2a   &    z
\end{array}\right|
&=&
x\left|\begin{array}{cc}
-1     &    1    \\
 3     &    2a   
\end{array}\right|
-y\left|\begin{array}{cc}
2a     &    -a \\
 3     &    2a 
\end{array}\right|
+z\left|\begin{array}{cc}
2a     &    -a  \\
-1     &    1   
\end{array}\right| \\
&=&
(-3-2a)x+(-3a-4a^{2})y+az=0.
\end{eqnarray*}

\end{document}