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\textbf{\the\numero.}\hskip1em}
\def\det{\mathrm{det}}
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\textbf{\the\numerobis.}\hskip1em}
\def\det{\mathrm{det}}
\def\R{\mathbf{R}}
\def\ques#1{\vskip 0.3truecm
\noindent{\bf #1}\hskip 0.4truecm}

\begin{document}
Université Paris-Sud \hfill 2004/2005\par
S3SMP
\vskip.5cm
\begin{center}
\textbf{Contrôle continu de mathématiques n$^{0}$ 3}

22 novembre 2004, durée 30mn
\end{center}

\exo
Soit $C$ la surface cônique paramétrée par $(u,v)\mapsto s(u,v)=\begin{pmatrix}
v\cos u \\ v\sin u \\ v
\end{pmatrix}$ pour $u\in[0,\pi/2]$, $v\in [-1,1]$. Calculer son aire.

\vskip6cm

\exo
Soit $w$ le champ de vecteurs défini sur $\R^3$ par $w(x,y,z)=\begin{pmatrix}
x^2 \\ -y^2 \\ (z+1)^2
\end{pmatrix}$. 
Déterminer le signe du flux de $w$ à travers le disque unité du plan $\{z=0\}$ orienté par $(0,0,1)$.

\vskip4cm

\exo
Soit $w$ le champ de vecteurs défini sur $\R^3$ par $w(x,y,z)=\begin{pmatrix}
x^2 \\ (z+1)^{2}\\ -y^2
\end{pmatrix}$. Que vaut sa divergence~? En déduire le flux de $w$ à travers la sphère unité orientée par la normale sortante.

\end{document}

\vfill\eject

Université Paris-Sud \hfill 2004/2005\par
S3SMP
\vskip1cm
\begin{center}

\textbf{Corrigé du contrôle continu de mathématiques n$^{0}$ 3}

22 novembre 2004, durée 30mn
\end{center}
\vskip1cm

\sol
On calcule
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial s}{\partial u}=\begin{pmatrix}
-v\sin u \\ v \cos u \\ 0
\end{pmatrix},\quad \frac{\partial s}{\partial u}=\begin{pmatrix}
\cos u \\ \sin u \\ 1
\end{pmatrix},
\end{eqnarray*},
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial s}{\partial u}\wedge\frac{\partial s}{\partial v}=\begin{pmatrix}
v\cos u \\ v\sin u \\ -v
\end{pmatrix}, \parallel \frac{\partial s}{\partial u}\wedge\frac{\partial s}{\partial v}\parallel= |v|\sqrt{2},
\end{eqnarray*}
d'où
\begin{eqnarray*}
aire(C)=\int_{-1}^{1}\int_{0}^{\pi/2}|v|\sqrt{2}\,du\,dv
=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\int_{-1}^{1}|v|\,dv
=\pi\sqrt{2}\int_{0}^{1}v\,dv
=\frac{\pi}{\sqrt{2}}.
\end{eqnarray*}

\sol
En chaque point du disque, le vecteur $w$ pointe vers le haut. Son produit scalaire avec la normale $(0,0,1)$ est strictement positif (il vaut 1), donc le flux est strictement positif.

\sol
On calcule $div(w)=2x$. Or l'intégrale de $x$ sur la boule unité $B$ vaut 0, par symétrie ou par le théorème de Fubini,
\begin{eqnarray*}
\int\hskip-6pt\int\hskip-6pt\int_{B}x\,dx\,dy\,dz
=\int_{y^2 +z^2 <1}(\int_{-\sqrt{1-y^2 -z^2}}^{\sqrt{1-y^2 -z^2}}x\,dx)\,dy\,dz=\int_{y^2 +z^2 <1}0\,dy\,dz=0.
\end{eqnarray*}
D'après le théorème d'Ostrogradsky, le flux de $w$ à travers la sphère est égal à l'intégrale de la divergence, donc il est nul.
\end{document}