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\noindent{\bf #1}\hskip 0.4truecm}

\begin{document}
Université Paris-Sud \hfill 2004/2005\par
S3SMP
\vskip.5cm
\begin{center}
\textbf{Contrôle continu de mathématiques n$^{0}$ 4}

6 décembre 2004, durée 30mn
\end{center}

\exo
Déterminer l'ensemble des valeurs de $a$ pour lesquelles la matrice $A_{a}=\begin{pmatrix}a&1\\ 0&2 \end{pmatrix}$ est diagonalisable.

\vskip5cm

\exo
Soit $M=\begin{pmatrix}0&0&1\\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{pmatrix}$ (c'est la matrice associée à une permutation circulaire). Vérifier que $M^{3}=I$. $M$ est-elle diagonalisable sur $\R$ ? sur $\C$ ?
\vskip5cm

\exo
Calculer les puissances de la matrice $A_{2}=\begin{pmatrix}2&1\\ 0&2 \end{pmatrix}$.

%\end{document}

\vfill\eject

Université Paris-Sud \hfill 2004/2005\par
S3SMP
\vskip1cm
\begin{center}

\textbf{Corrigé du contrôle continu de mathématiques n$^{0}$ 4}

6 décembre 2004, durée 30mn
\end{center}
\vskip1cm

\sol
Comme $A_{a}$ est triangulaire, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux. Si $a\not=2$, il y a deux valeurs propres distinctes $a$ et $2$, donc $A_{a}$ est diagonalisable sur $\R$. Si $a=2$, il y a une valeur propre double. L'espace propre $E_{2}$ est la droite d'équation $y=0$, elle est de dimension 1, alors que la multiplicité vaut 2. Par conséquent, $A_{2}$ n'est pas diagonalisable. L'ensemble des valeurs de $a$ telles que $A_{a}$ soit diagonalisable (sur $\R$) est $\R\setminus\{2\}$.

\sol
En itérant 3 fois une permutation circulaire, on obtient l'identité. Donc $M^{3}=I$. On peut aussi faire le calcul direct. Autrement dit, $Q(M)=0$ où $Q$ est le polynôme $Q(x)=x^{3}-1$. Sur $\C$, $Q$ est scindé et ses racines sont simples, donc $M$ est diagonalisable sur $\C$. On peut calculer le polynôme caractéristique, voir que c'est $Q$. Comme il a des racines non réelles, $M$ n'est pas diagonalisable sur $\R$. On peut aussi raisonner. Si $M$ était diagonalisable sur $\R$, ses valeurs propres seraient des racines réelles de $Q$, donc elles seraient égales à 1. Autrement dit, 1 serait valeur propre triple. Une telle matrice n'est diagonalisable que si elle est diagonale, ce qui n'est pas le cas de $M$. On conclut que $M$ n'est pas diagonalisable sur $\R$.

\sol
On écrit $A_{2}=2I+B$ où $B=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}$, et on applique la formule du binôme
\begin{eqnarray*}
A_{2}^{k}=2^{k}I+k2^{k-1}B=\begin{pmatrix}2^{k}&k2^{k-1}\\ 0&2^{k} \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
\end{document}