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\def\ex#1{\vskip .5truecm\centerline{#1}\vskip 0.2truecm}
\def\ques#1{\vskip 0.2truecm
\noindent{\bf #1}\hskip 0.4truecm}

\begin{document}
\noindent{Universit\'e Paris-Sud}\hfill  2004/2005\par
\noindent{S3SMP+IFIPS Optronique}
\vskip 1truecm
\centerline{\smc Devoir de Mathematiques n$^{0}$1}
\centerline{à rendre avant le 15 octobre}

\ex{I}
\ques{1.}Montrer successivement que les déterminants suivants sont des entiers divisibles par 100, sans les calculer.
\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
1&6&100 \\
3&5&200\\
8&2&300
\end{vmatrix},\quad
\begin{vmatrix}
1&6&101 \\
3&5&203\\
8&2&308
\end{vmatrix},\quad
\begin{vmatrix}
1&6&161 \\
3&5&253\\
8&2&328
\end{vmatrix}.
\end{eqnarray*}

\ques{2.}Sachant que les nombres 1067, 1455, 582, 9700 sont divisibles par 97, montrer, sans le calculer, que le déterminant
\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix}
1&0&6&7 \\
1&4&5&5\\
0&5&8&2\\
9&7&0&0
\end{vmatrix}
\end{eqnarray*}
est un entier divisible par 97.

\ex{II}

Soit $a$ un réel.

\ques{1.}Calculer
\begin{eqnarray*}
D_2 =\begin{vmatrix}
1+a^2 &a \\
a&1+a^2
\end{vmatrix}\quad\textrm{et}\quad D_3 =\begin{vmatrix}
1+a^2 &a&0 \\
a&1+a^2&a\\
0&a&1+a^2
\end{vmatrix}.
\end{eqnarray*}
On exprimera le résultat comme somme de puissances croissantes de $a$.

\ques{2.}En développant convenablement le déterminant
\begin{eqnarray*}
D_4 =\begin{vmatrix}
1+a^2 &a&0&0 \\
a&1+a^2&a&0\\
0&a&1+a^2&a\\
0&0&a&1+a^2
\end{vmatrix},
\end{eqnarray*}
trouver une relation entre $D_4$, $D_3$ et $D_2$. Calculer $D_4$ en exprimant le résultat comme somme de puissances croissantes de $a$.

\ques{3.}Pour tout $n\geq 5$, on définit de façon analogue $D_n$, le déterminant de la matrice $n\times n$ dont tous les coefficients sont 0 sauf ceux de la diagonale principale qui valent $1+a^2$ et ceux des deux diagonales voisines qui valent $a$.
\ques{3.a.}Conjecturer la valeur de $D_n$.
\ques{3.b.}S'inspirer de la question 2 pour établir une relation entre $D_n$, $D_{n-1}$ et $D_{n-2}$, pour tout $n\geq 4$.
\ques{3.c.}Démontrer par récurrence la conjecture faite en 3.a.
\end{document}