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\def\ex#1{\vskip 1truecm\centerline{#1}\vskip 0.2truecm}
\def\ques#1{\vskip 0.3truecm
\noindent{\bf #1}\hskip 0.4truecm}

\begin{document}
\noindent{Universit\'e Paris-Sud}\hfill  2003/2004\par
\noindent{S3SMP+NFIO2}
\vskip 1truecm
\centerline{\smc Devoir de Mathematiques n$^{0}$1}
\centerline{à rendre avant le 3 octobre}

\ex{I}

Soit $a$ un paramètre réel. Soient $v_{1}=(2,1+a,2)$, $v_{2}=(1,1,1)$, $v_{3}=(a,a,a^{2})$, $v_{4}=(1,a,1)$ quatre vecteurs de $\R^{3}$.

\ques{1.}Déterminer, en fonction de $a$, le rang de la famille $v_{1},\ldots,v_{4}$.

\ques{2.}Extraire de la famille $v_{1},\ldots,v_{4}$ une base du sous espace $E=Vect(v_{1},\ldots,v_{4})$ engendré par les vecteurs $v_{1},\ldots,v_{4}$.

\ques{3.}Lorsque $a=0$, puis lorsque $a=1$, donner des équations de $E$. 

\ques{4.}Soit $L:\R^{4}\to\R^{3}$ l'application linéaire définie par
\begin{eqnarray*}
\pmatrix{x\cr y\cr z\cr t}\mapsto 
\left(\begin{array}{c}
2x+y+az+t\\
(1+a)x+y+az+at\\
2x+y+a^{2}z+t
\end{array}\right).
\end{eqnarray*}
Déterminer la dimension du noyau de $L$ et en donner une base.

\ques{5.}On suppose $a$ distinct de 0 et de 1. Trouver des réels non tous nuls $\lambda_{1}$, $\lambda_{ 2}$, $\lambda_{3}$ et $\lambda_{4}$ tels que $\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{ 2}v_{2}+\lambda_{3}v_{3}+\lambda_{4}v_{4}=0$.

\ex{II}

Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions de la forme $x\mapsto P(x)\cos x +Q(x)\sin x$ où $P$ et $Q$ sont des polynômes de degré inférieur ou égal à 1. 

\ques{1.}Vérifier que les fonctions $\e1$, $\e2$, $\e3$ et $\e4$ définies sur $\R$ par
$$
\e1(x)=x\cos x,\quad \e2(x)=\cos x,\quad \e3(x)=x\sin x \quad\textrm{et}\quad \e4(x)=\sin x
$$
constituent une base de $E$.

\ques{2.}Soit $f:E\to E$ l'application qui à une fonction associe sa dérivée. Calculer la matrice de $f$ dans la base $(\e1,\e2,\e3,\e4)$.

\ques{3.}Montrer que $f$ est injective. En déduire que l'espace $E$ contient une fonction $\u1$ dont la dérivée est $\e1$.

\ques{4.}Calculer $\u1$.

\vfill\eject
\noindent{Universit\'e Paris-Sud}\hfill  2003/2004\par
\noindent{S3SMP+NFIO2}
\vskip 1truecm
\centerline{\smc Corrigé du devoir de Mathematiques n$^{0}$1}


\ex{I}

\ques{1.}Soit $v=(x',y',z')$ une vecteur de $\R^{3}$. Le rang de la famille $v_{1},\ldots,v_{4}$ est égal au rang du système
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{ccc}
2x+y+az+t&=&x'\\
(1+a)x+y+az+at&=&y'\\
2x+y+a^{2}z+t&=&z'
\end{array}.
\end{eqnarray*}
On l'échelonne en choisissant comme premier pivot le coefficient de $y$ dans la première équation. Il vient
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{ccc}
y+t+az+2x&=&x'\\
(a-1)t+(a-1)x&=&-x'+y'\\
(-a+a^{2})z&=&-x'+z'
\end{array}.
\end{eqnarray*}
Si $a=0$, le système obtenu est échelonné de rang 2. Si $a=1$, il est échelonné de rang 1. Si $a\not=0$ et $a\not=1$, il est échelonné de rang 3. On conclut que le rang de la famille $(\v1,\v2,\v3,\v4)$ vaut 2 si $a=0$, 1 si $a=1$, et 3 sinon.

\ques{2.}Si $a\not=0$ et $a\not=-1$, le système est échelonné de rang 3 avec inconnues principales $y$, $t$ et $z$. Si on impose $x=0$, on trouve une solution unique. Cela signifie que $(v_{2},v_{4},v_{3})$ est une base de $E$. Si $a=0$, le système est échelonné de rang 2 avec inconnues principales $y$ et $t$. Dans ce cas, $(v_{2},v_{4})$ est une base de $E$. Si $a=1$, le système est échelonné de rang 1 avec inconnue principale $y$. Dans ce cas, $v_{2}$ est une base de $E$.

\ques{3.}D'après la question 1, si $a=0$, $E$ est de dimension $2$, il est défini par une seule équation, la condition de compatibilité du système, soit $-x'+z'=0$. Si $a=1$, $E$ est de dimension $2$, il est défini par deux équations, les conditions de compatibilité du système, soit $-x'+z'=0$ et $-x'+y'=0$.

\ques{4.}Le rang de $L$ est égal à celui du système, soit $3$ si $a\not=0$, $1$, 2 si $a=0$ et $1$ si $a=1$. La dimension du noyau vaut donc $1$ si $a\not=0$, $1$, 2 si $a=0$ et $3$ si $a=1$. Le noyau étant l'ensemble des solutions du système homogène, on en trouve une base comme suit. 

Si $a\not=0$, $1$, on impose $x=1$ et on résoud le système obtenu, soit
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{ccc}
y+t+az+2&=&0\\
(a-1)t+(a-1)&=&0\\
(a-\a2)z&=&0
\end{array}.
\end{eqnarray*}
On trouve une solution unique $w=(1,-1,0,-1)$. Le noyau de $L$ est donc la droite vectorielle engendrée par $w$.

Si $a=0$, on impose successivement $z=1$, $x=0$ et $z=0$, $x=1$. Dans le premier cas, on obtient
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{ccc}
y+t&=&0\\
-t&=&0\\
\end{array},
\end{eqnarray*}
qui possède la solution unique $\w1=(0,0,1,0)$. Dans le second cas, on obtient
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{ccc}
y+t+2&=&0\\
-t-1&=&0\\
\end{array},
\end{eqnarray*}
qui possède la solution unique $\w2=(1,-1,0,-1)$. 
On conclut que $(\w1,\w2)$ est une base du noyau de $L$.

Si $a=1$, on impose successivement $t=1$, $z=x=0$, puis $z=1$, $t=x=0$ et enfin $x=1$, $t=z=0$. On obtient les 3 vecteurs $\u1=(0,-1,0,1)$, $\u2=(0,-1,1,0)$ et $\u3=(1,-2,0,0)$.
On conclut que $(\u1,\u2,\u3)$ est une base du noyau de $L$.

\ques{5.}On remarque que $\l1\v1+\l2\v2+\l3\v3+\l4\v4=0$ si et seulement si $(\l1,\l2,\l3,\l4)$ est dans le noyau de $L$. D'après 4, il suffit de prendre $\l1=1$, $\l2=-1$, $\l3=0$ et $\l4=-1$.

\ex{II}

\ques{1.}Soit $u\in E$. Alors il existe des polynômes $P$ et $Q$ tels que, pour tout $x\in\R$, $u(x)=P(x)\cos x +Q(x)\sin x$. Si $P(x)=\l1 x+\l2$ et $Q(x)=\l3 x+\l4$, alors $u=\l1\e1+\l2\e2+\l3\e3+\l4\e4$. Par conséquent $(\e1,\e2,\e3,\e4)$ engendre $E$.

Supposons que la fonction $u=\l1\e1+\l2\e2+\l3\e3+\l4\e4=P(x)\cos x +Q(x)\sin x$ est identiquement nulle. Alors le polynôme $P$ s'annule en tous les multiples de $\pi$. Il est donc identiquement nul. De même, le polynôme $Q$ s'annule en tous les nombres de la forme $\frac{\pi}{2}+2\pi k$, $k\in \mathbf{Z}$, donc il est identiquement nul. Par conséquent, $\l1=\l2=\l3=\l4=0$. On conclut que $\e1$, $\e2$, $\e3$ et $\e4$ sont linéairement indépendants, ils forment donc une base de $E$.

\ques{2.}On calcule 
\begin{eqnarray*}
f(\e1) & = & \cos x -x\sin x=\e2-\e3, \\
f(\e2) & = & -\sin x =-\e4,\\
f(\e3) &=& \sin x +x\cos x=\e4+\e1,\\
f(\e4) &=& \cos x =\e2. 
\end{eqnarray*}
Par conséquent, la matrice de $f$ dans la base $(\e1,\e2,\e3,\e4)$ est
\begin{eqnarray*}
\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 1\\
-1& 0 & 0 & 0\\
0 & -1&1 & 0
\end{array}\right).
\end{eqnarray*}

\ques{3.}Il suffit de calculer le noyau de $f$. Il s'agit de résoudre le système
\begin{displaymath}
\left\{\begin{array}{ccc}
z &=& 0   \\
x+t &=& 0\\
-x &=& 0\\
-y+z &=& 0   
\end{array}.
\end{displaymath}
On trouve que la seule solution est $x=y=z=t=0$. Par conséquent, le noyau $\textrm{ker}\,f$ est réduit à $\{0\}$, et $f$ est injective. 

D'après le théorème noyau-image, $f$ est aussi surjective, donc il existe $\u1\in E$ telle que $f(\u1)=\e1$, autrement dit, la dérivée de la fonction $\u1$ est $\e1$.

\ques{4.}Il s'agit de résoudre le système
\begin{displaymath}
\left\{\begin{array}{ccc}
z &=& 1   \\
x+t &=& 0\\
-x &=& 0\\
-y+z &=& 0   
\end{array}.
\end{displaymath}
Or celui-ci possède l'unique solution $(0,1,1,0)$. On conclut que $\u1=\e2+\e3$. Autrement dit, $\u1(x)=\cos x +x\sin x$, qui est bien une primitive de $x\cos x$.
\end{document}