\documentclass{article} \usepackage[dvips]{graphicx} %\usepackage{amsmath} \usepackage{isolatin1} \pagestyle{empty} \textwidth=15truecm \textheight=22.8truecm \hoffset=-12mm \voffset=-9mm \advance\vsize by 1cm \baselineskip=12pt \font\smc=cmcsc10 \def\R{{\bf R}} \def\C{{\bf C}} \def\N{{\bf N}} \def\a#1{a^{#1}} \def\e#1{e_{#1}} \def\l#1{\lambda_{#1}} \def\v#1{v_{#1}} \def\w#1{w_{#1}} \def\u#1{u_{#1}} \def\inv#1{{1\over{#1}}} \def\d{\displaystyle} \def\ex#1{\vskip 1truecm\centerline{#1}\vskip 0.2truecm} \def\ques#1{\vskip 0.3truecm \noindent{\bf #1}\hskip 0.4truecm} \begin{document} \noindent{Universit\'e Paris-Sud}\hfill 2003/2004\par \noindent{S3SMP+NFIO2} \vskip 1truecm \centerline{\smc Devoir de Mathematiques n$^{0}$2} \centerline{à rendre avant le 24 octobre} \ex{I} On consid\` ere les matrices $$M=\pmatrix{y^{2}+z^{2}&yx&zx\cr xy&x^{2}+z^{2}&zy\cr xz&yz&x^{2}+y^{2}\cr}\hbox{ et }N=\pmatrix{0&z&y\cr z&0&x\cr y& x& 0 \cr}.$$ Calculer $\det M$ et $\det N,$ et v\' erifier que $\det M=(\det N)^{2}.$ Ne pouvait-on pas le pr\' evoir? \ex{II} Pour le calcul du d\' eterminant de la matrice $$M(a,b,c)=\pmatrix{a&b&c\cr b&c&a\cr c&a&b\cr},\hbox{ on introduit } X=\pmatrix{1&1&1\cr 1&j&j^{2}\cr1& j^{2}&j\cr},$$ o\` u $j=e^{2i\pi\over 3},$ dont on rappelle qu'il v\' erifie $j^{3}=1$ et $1+j+j^{2}=0.$ \ques{a.}Calculer $X^{2},$ v\' erifier que c'est une matrice mon\^ omiale, c'est \` a dire avec un seul coefficient non nul par ligne et par colonne, en d\' eduire la valeur de $(\det X)^{2}.$ \ques{b.}Montrer que la matrice $X M(a,b,c)X$ est diagonale, et calculer son d\' eterminant. \ques{c.}En d\' eduire que $\det M(a,b,c)=-(a+b+c)(a+jb+j^{2}c)(a+j^{2}b+jc).$ \ex{III}Pour le calcul du d\' eterminant de la matrice $$M(a,b,c,d)= \pmatrix{a&b&c&d\cr b&c&d&a\cr c&d&a&b\cr d&a&b&c\cr},\hbox{ on introduit } Y=\pmatrix{1&1&1&1\cr 1&i&-1&-i\cr1& -1&1&-1\cr1&-i&-1&i\cr}.$$ \ques{a.}Calculer $Y^{2},$ v\' erifier que c'est une matrice mon\^ omiale, c'est \` a dire avec un seul coefficient non nul par ligne et par colonne, en d\' eduire la valeur de $(\det Y)^{2}.$ \ques{b.}Montrer que la matrice $Y M(a,b,c,d)Y$ est diagonale, et calculer son d\' eterminant. \ques{c.}En d\' eduire que $\det M(a,b,c,d)=-(a+b+c+d)(a+ib-c-id)(a-b+c-d)(a-ib-c+id).$ \end{document} \vskip 10pt III. On consid\` ere le d\' eterminant d'ordre $n+1$ $D(a_{1},\ldots a_{n,};b_{1}\ldots,b_{n})=\det \pmatrix{1&1&1&\ldots&1&1\cr b_{1}&a_{1}&a_{1}&\ldots &a_{1}&a_{1}\cr b_{1}&b_{2}&a_{2}&\ldots&a_{2}&a_{2}\cr \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\cr \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\cr b_{1}&b_{2}&b_{3}&\ldots&b_{n}&a_{n}\cr}.$ Montrer par r\' ecurrence que l'on a $D(a_{1},\ldots a_{n,};b_{1}\ldots,b_{n})=\prod_{i=1,\ldots,n}(a_{i}-b_{i}),$ et pour cela on pourra ajouter \` a la deuxi\` eme ligne un multiple de la premi\` ere, et d\' evelopper ensuite le d\' eterminant. \vskip 10pt IV. On consid\` ere le d\' eterminant d'ordre $n$ $D(a_{1},\ldots a_{n};b_{1}\ldots,b_{n})=\det \pmatrix {{1\over{a_{1}+b_{1}}}&{1\over{a_{1}+b_{2}}} &\ldots&\ldots&{1\over{a_{1}+b_{n}}}\cr {1\over{a_{2}+b_{1}}}&{1\over{a_{2}+b_{2}}}& \ldots&\ldots&{1\over{a_{2}+b_{n}}}\cr \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\cr \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\cr {1\over{a_{n}+b_{1}}}&{1\over{a_{n}+b_{2}}} &\ldots&\ldots&{1\over{a_{n}+b_{n}}}\cr} ,$ c'est \` a dire celui de la matrice dont le coefficient matriciel $a_{i,j}={1\over{a_{i}+b_{j}}}$ pour $i,j=1,\ldots,n$ avec des $a_{i}+b_{j}\neq 0.$ Montrer que $$D(a_{1},\ldots a_{n,};b_{1}\ldots,b_{n})= {{\prod_{i