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{\bf S3SMP-NFIO2}\hfill {\bf Orsay 2003/2004}


\centerline{{\bf Devoir N$^{o}4$} \`a remettre la semaine du ?}
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\noindent {\bf Probl\`eme I.}

A.
On consid\`ere l'endomorphisme $u$ de ${\bf R}^{3}$ dont la matrice dans la base canonique est
 $$A=\pmatrix{0&1&0\cr0&0&1\cr-2&1&2\cr}$$

$1)$ Calculer et factoriser le polyn\^ome caract\'eristique de $u$.

$2)$ D\'eterminer une base de vecteurs propres de $u$ et \'ecrire la matrice
$B$ de $u$ dans cette base.

$3)$ Calculer $B^{n},$ exprimer $A^{n}$
\`a l'aide de $B^{n}$ et de la matrice de changement de base.

$4)$ En d\'eduire $A^{n}.$
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B. Application 

On consid\`ere la suite $x_{n}$ d\'efinie par r\'ecurrence
 \`a partir de $x_{0},x_{1},x_{2}$ par la formule 
$$x_{n+3}=2x_{n+2}+x_{n+1}-2x_{n}.$$

$1)$ On consid\`ere la suite de vecteurs  $X_{n}=(x_{n},x_{n+1},x_{n+2})\in {\bf R}^{3}.$

Montrer que la relation de r\'ecurrence s'exprime $X_{n+1}=u(X_{n})$ et 
$X_{0}=(x_{0},x_{1},x_{2})$ en d\'eduire une expression de $X_{n}$ \`a l'aide
de $u$ et de $X_{0}.$

$2)$ En d\'eduire une formule donnant la valeur de $x_{n}$ pour $n\geq 3$ en
 fonction des donn\`ees
$x_{0},x_{1},x_{2}.$ 

$3)$ Consid\'erer les cas particuliers 

$a:$ $x_{0}=x_{1}=x_{2}=1,$
$b:$ $x_{0}=x_{2}=1, x_{1}=-1$ et 
$c:$ $x_{0}=1, x_{1}=2, x_{2}=4.$

\noindent Ces r\'esultats n'\'etaient-ils pas pr\'evisibles?
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\noindent {\bf Probl\`eme II.} On \'etudie la diagonalisation des matrices carr\'ees d'ordre $2.$

A une matrice r\'eelle  $A=\pmatrix{a&b\cr c&d\cr}$ on associe le point $(x,y)$ du plan  avec
$x=\hbox {trÊ}A=a+d$ et $y=\det A=ad-bc.$

$1)$  Repr\'esenter les points du plan corespondant aux matrices

a: qui ont deux valeurs propres r\'eelles distinctes

b: qui ont une valeur propre double

c: qui ont deux valeurs propres complexes distinctes

$2)$ On dit qu'une matrice est scalaire si elles est 
un multiple r\'eel de la matrice identit\'e, c'est \`a dire si $a=d$ et $b=c=0.$

$2)$ Montrer qu'une matrice carr\'ee d'ordre $2$ qui a une valeur propre double ne
peut \^ etre diagonalisable que si elle est scalaire.

$3)$ En d\'eduire une condition n\'ecessaire et suffisante pour qu'une matrice non scalaire soit
diagonalisable

a) sur les r\'eels.

b) sur les complexes. 


Exprimer ces conditions sur le  dessin de la question $1).$

$4)$ En d\'eduire qu'une matrice sym\'etrique r\'eelle ( carr\`ee d'ordre $2$) 
 est 
toujours diagonalisable sur les r\`eels.

\end