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\noindent{\bf {Universit\'e Paris-Sud}\hfill  2004/2005} {\bf S3SMP+IFIPS
Optronique}
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\centerline{ {\bf Devoir de Math\'ematiques n$^{0}$4}}
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A.  Suites r\'ecurrentes et matrices.



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I. On consid\`ere la suite de  Fibonacci d\'efinie par
$$a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\hbox{  et  }a_{1}=a_{0}=1 $$

1) On pose $A=\pmatrix{0&1\cr1&1\cr}$ et $V_{n}=\pmatrix{a_{n}\cr a_{n+1}\cr},$
pour $n\geq 0.$

\noindent Montrer que $V_{n}=A^{n}V_{0}$

$2)$ D\'eterminer le polyn\^ ome caract\'eristique de $A.$ Calculer les valeurs
propres de $A.$

\noindent $\star$( facultatif)  Comparer avec le nombre d'or $\omega,$ qui est le
rapport entre deux cot\'es
d'un rectangle, tel que si on lui retire un carr\'e au petit cot\'e on obtienne
un  rectangle semblable, c'est \`a dire dont les cot\'es sont dans le rapport
$\omega:$ faire un dessin pour
\'ecrire l'\'equation du second degr\'e qui est v\'erifi\'ee, puis  r\'esoudre.

$3)$ Exprimer $V_{0}$ dans une base de vecteurs propres de $A,$ puis exprimer
$V_{n}$ dans cette base pour  en d\'eduire la valeur $a_{n}.$



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II. On consid\`ere la suite  d\'efinie par
$$b_{n+2}=4b_{n+1}-4b_{n}\hbox{  et  }b_{1}=b_{0}=1 $$

1) On pose $B=\pmatrix{0&1\cr-4&4\cr}$ et $W_{n}=\pmatrix{b_{n}\cr b_{n+1}\cr},$
pour $n\geq 0.$

\noindent Montrer que $W_{n}=B^{n}W_{0}$

$2)$ D\'eterminer le polyn\^ ome caract\'eristique de $B,$ calculer les valeurs
propres de $B.$ 

$3)$ Montrer que, pour une valeur $\lambda$ que l'on d\'eterminera, la matrice
$N=B-\lambda I$, o\`u $I$ est la matrice unit\'e, v\'erifie $N^{2}=0.$

$4)$ Calculer $B^{n}$ et en d\'eduire $b_{n}$.

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III. On consid\`ere la suite d\'efinie par
$$c_{n+1}={{3c_{n}+4}\over{4c_{n}+3}}\hbox{  avec $c_{0}$ donn\'e. } $$

$1)$ On introduit deux suites auxiliaires $u_{n}$ et $v_{n}$ de sorte que $c_{n}={{u_{n}}\over{v_{n}}}$ et $u_{0}=c_{0}$, $v_{0}=1$.

Soit $C=\pmatrix{3&4\cr 4&3}$ : montrer que le vecteur $U_{n}=\pmatrix{u_{n}\cr v_{n}}$ v\'erifie $U_{n+1}=CU_{n}$.

$2)$ Calculer $C^{n}$ dans une base de vecteurs propres, et en d\'eduire la
valeur
de la suite dans les trois cas $c_{0}=1,$ $c_{0}=-1,$
et $c_{0}=2.$

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B. On consid\`ere la matrice
$$A=A_{a,b,c,d}=\pmatrix{0&0&0&a\cr0&0&0&b\cr0&0&0&c\cr
a&b&c&d}$$

$1)$ Calculer le rang de $A$ quand $(a,b,c)\neq (0,0,0),$ et dans le cas g\'
en\' eral.

\noindent
Quel est l'espace propre correspondant \`a la valeur propre $0?$

$2)$ On suppose $(a,b,c)\neq (0,0,0).$  Montrer que 
pour deux valeurs de $\alpha$  le vecteur
$v_{\alpha}=(a,b,c,\alpha)$ est vecteur propre de $A,$ et  que les deux 
valeurs propres correspondantes sont distinctes et non nulles.

En d\'eduire que $A$ est diagonalisable.

$3)$ Diagonaliser $A_{1,2,3,4}$ en pr\'ecisant la base de vecteurs propres
utilis\'ee et la matrice de changement de base.

$4)\star$ ( facultatif) G\'en\' eraliser en dimension $n$ quelconque.

\end