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%%dimensions
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%numerotation des exercices

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exercice}{Exercice}
\newtheorem{exerciced}[exercice]{Exercice$^*$}

%%%quelques macros utiles

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\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Sp}{\mathbb{S}}
\newcommand{\LL}{\mathcal{L}}

\def \reel{\RR}
\def \nat{ \NN}
\def\ent{\ZZ}
\def\complex{\CC}
\def\norm#1{\left\|\, #1\,\right\|}
\def\abs#1{\vert #1\vert}

\newcommand{\der}{\partial}
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\newcommand{\ra}{\rightarrow}



\newcommand{\fns}{\footnotesize}
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\newcommand{\ul}{\underline}
\newcommand{\ol}{\overline}


\newcommand{\exist}{\;\exists\,}
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\newcommand{\pr}{\prime}
\newcommand{\Id}{\textrm{Id}}


\newcommand{\rplusbar}{\ol{\RR_+}}
\newcommand{\meme}{m\^eme}
\newcommand{\theo}{th\'eor\`eme}
\newcommand{\ep}{\varepsilon}
\newcommand{\si}{\sigma}
\newcommand{\ele}{\'el\'ement}

\newcommand{\den}{d\'enombrable}
\newcommand{\comp}{\,{}^{\textnormal{c}}\!}

\newcommand{\lims}{\ol\lim}
\newcommand{\limi}{\ul\lim}
\newcommand{\cad}{c'est-\`a-dire\ }
\newcommand{\ssi}{si et seulement si\ }
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\begin{document}


\begin{tabular}{l c r}
Universit\'e de Paris-Sud Orsay, 2004/2005  &   \ \ \  \ \ \ \  & DEUG MIAS, Option Topologie
\end{tabular}

\vskip 10pt

\begin{center}
Devoir 1, à rendre la semaine du 21 au 25 février 2005
\end{center}
\vskip 12pt

Une partie $\GG$ non vide de $\R$ est un sous-groupe additif si :
\[ \forall \,  (x , y)  \,  \in \GG \times \GG  \, , \,  x - y \in \GG.  \]
On se fixe pour toute la suite un tel sous-groupe additif $\GG$ de $\R$ non trivial, c'est à dire non réduit à $\{ 0 \}$. On note $\GG^+$ la partie $\GG \cap \R^*_+$.

\vskip 10pt
\noindent \bf{Questions préliminaires :} \rm 

\begin{itemize}
\item[\bf(i)] Vérifier que pour tout $x \in \GG$ et tout entier relatif $k \in \Z$, on a $kx \in \GG$.
\item[\bf(ii)] Justifier l'existence de $\al := \inf \GG^+$.
\end{itemize}

\vskip 10pt
\noindent \bf{Supposons $\al > 0$ :} \rm 

\begin{itemize}
\item[\bf(i)] Montrer que $\al$ est un élément de $\GG^+$ (autrement dit, la borne inférieure de $\GG^+$ est en fait un minimum). On pourra raisonner par l'absurde : montrer qu'il existe $g_1, g_2 \in \GG^+$ tels que $\al < g_1 < g_2 < 2\al$ et conclure.
\item[\bf(ii)] En déduire que $\GG^+ = \{ n\al \, , \, n \in \N^*  \}$, puis que $\GG =  \{ n\al \, , \, n \in \Z  \}$. On a donc $\GG = \al \Z$.
\end{itemize}

\vskip 10pt
\noindent \bf{Supposons $\al = 0$ :} \rm 
\begin{itemize}
\item[\bf(i)] Montrer que pour tout $\eta >0$, l'intervalle $]0,\eta[$ rencontre $\GG^+$. 
\item[\bf(ii)] En déduire que tout intervalle $]a,b[$ (avec $a > 0$) rencontre $\GG^+$, puis que tout intervalle $]a,b[$ de $\R$ rencontre $\GG$. On dit alors que $\GG$ est \emph{dense} dans $\R$. 
\end{itemize}

\vskip 11pt
\noindent \bf{Application I : } \rm 
On dit qu'une fonction $f : \R \to \R$ est périodique s'il existe un réel $T > 0$ vérifiant :
\[ \forall \,  x   \in \R  \, , \,  f(x+T) = f(x).  \]
Un réel $T$ vérifiant ces propriétés est appelé une \emph{période}.
\begin{itemize}
\item[\bf(i)] Soit $f$ une fontion non constante, périodique et continue. Montrer qu'il existe une période $T_0$ telle que pour toute autre période $T$, il existe $n \in \N^*$ vérifiant $T = n T_0$. On pourra s'intéresser à l'ensemble :
\[ H = \{  \omega \in \R \, , \, \forall x \in \R \, , \, f(x+\omega) = f(x)  \}  . \]
\item[\bf(ii)] Si on supprime l'hypothèse de continuité, existe-t-il encore une ``plus petite période'' $T_0$ ? Considérer par exemple la fonction indicatrice des rationnels.
\end{itemize}
 
\vskip 11pt
\noindent \bf{Application II :} \rm 
\begin{itemize}
\item[\bf(i)] Soient  $a \in \R$ et $b \in \R^*$ tels que $a/b \notin \Q$. Montrer que l'ensemble :
\[   E = \{ na + mb \, , \, m,n \in \Z \} \]
est dense dans $\R$. 
\item[\bf(ii)] En déduire que pour tout $x \in [0,1] \setminus \Q$, on a :
\[   \sup_{n \in \Z} \, \abs {\sin \, n\pi x}  = 1 . \]
\end{itemize}


\end{document}