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%%dimensions
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%numerotation des exercices

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exercice}{Exercice}
\newtheorem{exerciced}[exercice]{Exercice$^*$}

%%%quelques macros utiles

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\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Sp}{\mathbb{S}}
\newcommand{\LL}{\mathcal{L}}

\def \reel{\RR}
\def \nat{ \NN}
\def\ent{\ZZ}
\def\complex{\CC}
\def\norm#1{\left\|\, #1\,\right\|}
\def\abs#1{\vert #1\vert}

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\newcommand{\fns}{\footnotesize}
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\newcommand{\ol}{\overline}


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\newcommand{\foral}{\;\forall\,}


\newcommand{\pr}{\prime}
\newcommand{\Id}{\textrm{Id}}


\newcommand{\rplusbar}{\ol{\RR_+}}
\newcommand{\meme}{m\^eme}
\newcommand{\theo}{th\'eor\`eme}
\newcommand{\ep}{\varepsilon}
\newcommand{\si}{\sigma}
\newcommand{\ele}{\'el\'ement}

\newcommand{\den}{d\'enombrable}
\newcommand{\comp}{\,{}^{\textnormal{c}}\!}

\newcommand{\lims}{\ol\lim}
\newcommand{\limi}{\ul\lim}
\newcommand{\cad}{c'est-\`a-dire\ }
\newcommand{\ssi}{si et seulement si\ }
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\newcommand{\calS}{\mathcal{S}}
\def\inv#1{\frac{1}{#1}}

\begin{document}


\begin{tabular}{l c r}
Universit\'e de Paris-Sud Orsay, 2004/2005  &   \ \ \  \ \ \ \  & DEUG MIAS, Option Topologie
\end{tabular}

\vskip 10pt

\begin{center}
Devoir 3, à rendre la semaine du 16 mai 2005
\end{center}
\vskip 12pt

\begin{exercice}
\label{riemann}
\begin{enumerate}
  \item Etudier la suite définie pour $n\geq 1$ par
\begin{eqnarray*}
u_n =\inv{\sqrt{n^2 +n}}+\inv{\sqrt{n^2 +2n}}+\cdots+\inv{\sqrt{n^2 +n^2}}.
\end{eqnarray*}
  \item Etudier la suite définie pour $n\geq 1$ par
\begin{eqnarray*}
v_n =\inv{4n^2 -1}+\inv{4n^2 -4}+\cdots+\inv{4n^2 -n^2}.
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
\label{pointsdroites}
Soit $P_1 ,P_2 ,\ldots,P_n ,\ldots$ une suite de points du plan. Montrer qu'il existe une droite du plan qui ne contient aucun des points $P_n$.
\end{exercice}

\vfill\eject


\begin{tabular}{l c r}
Universit\'e de Paris-Sud Orsay, 2004/2005  &   \ \ \  \ \ \ \  & DEUG MIAS, Option Topologie
\end{tabular}

\vskip 10pt

\begin{center}
Corrigé du devoir 3
\end{center}
\vskip 12pt

\long\def\sol#1#2#3{\par\medskip\noindent {\bf Solution de l'exercice \ref{#1}.}\hskip1em{\em #2.}\par{#3}\par}

\sol{riemann}{Etude de suites}{
1. On constate que $u_n$ est une somme de Riemann relative à la fonction définie sur $[0,1]$ par $f(x)=(1+x)^{-1/2}$,
\begin{eqnarray*}
u_n =\inv{n}(f(\inv{n})+f(\frac{2}{n})+\cdots+f(\frac{n}{n})).
\end{eqnarray*}
Comme $f$ est continue, $u_n$ converge vers 
\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}f(t)\,dt=[2(1+x)^{1/2}]_{0}^{1}=2(\sqrt{2}-1).
\end{eqnarray*}
\bigskip
2. Soit $g$ la fonction définie sur $[0,1]$ par $g(x)=\inv{4-x^2}$. La $n$-ème somme de Riemann relative à $g$ s'écrit
\begin{eqnarray*}
S_n &=&\inv{n}\sum_{k=1}^{n}g(\frac{k}{n})\\
&=&\inv{n}(\sum_{k=1}^{n}\frac{n^2}{4n^2 -k^2})\\
&=&nv_n .
\end{eqnarray*}
Comme $g$ est continue, $S_n$ converge vers
\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}g(t)\,dt&=&\int_{0}^{1}\inv{4}(\inv{2-t}+\inv{2+t})\,dt\\
&=&[\inv4\ell n(\frac{2+t}{2-t})]_{0}^{1}\\
&=&\inv4 \ell n(3).
\end{eqnarray*}
Par conséquent, $v_n \sim \frac{\ell n(3)}{4n}$.
}

\vskip1cm

\sol{pointsdroites}{Points et droites}{
Comme le plan $\R^2$ n'est pas dénombrable, il existe un point $Q$ qui est distinct de tous les $P_n$. Notons $D_n$ la droite passant par $Q$ et $P_n$. L'ensemble des pentes des droites $D_n$ est dénombrable, alors que $\R$ ne l'est pas. Il existe donc un réel $m$ qui n'est la pente d'aucune des $D_n$. La droite $D$ passant par $Q$ et de pente $m$ ne contient donc aucun des $P_n$.}

\end{document}